Parantezsiz karmaşık denklemler. Parantezli bir denklem nasıl çözülür?

En önemli becerilerden biri 5. sınıfa giriş basit denklemleri çözme yeteneğidir. 5.sınıf henüz ilkokula çok uzak olmadığından öğrencinin çözebileceği çok fazla denklem türü yoktur. İsterseniz çözmeniz gereken tüm temel denklem türlerini size tanıtacağız. fizik ve matematik okuluna girmek.

Tip 1: "soğanlı"
Bunlar neredeyse karşılaşacağınız denklemlerdir. herhangi bir okula kabul veya ayrı bir görev olarak 5. sınıf kulübü. Diğerlerinden ayırt edilmesi kolaydır: içlerinde değişken yalnızca bir kez mevcuttur. Örneğin veya.
Çok basit bir şekilde çözülürler: sadece bilinmeyene "ulaşmanız", onu çevreleyen gereksiz her şeyi yavaş yavaş "kaldırmanız" gerekir - sanki bir soğanı soyuyormuş gibi - adı da buradan gelir. Bunu çözmek için ikinci sınıftan birkaç kuralı hatırlamanız yeterli. Hepsini listeleyelim:

Ek

1. terim1 + terim2 = toplam
2. terim1 = toplam - terim2
3. terim2 = toplam - terim1

Çıkarma

1. eksilen - çıkarılan = fark
2. eksilen = çıkan + fark
3. çıkan = eksi - fark

Çarpma işlemi

1. faktör1 * faktör2 = ürün
2. faktör1 = ürün: faktör2
3. faktör2 = çarpım: faktör1

Bölüm

1. temettü: bölen = bölüm
2. bölen = bölen * bölüm
3. bölen = bölen: bölüm

Bu kuralların nasıl uygulanacağına dair bir örneğe bakalım.

Böldüğümüze dikkat edin açık ve alıyoruz. Bu durumda böleni ve bölümü biliyoruz. Bölünmeyi bulmak için böleni bölümle çarpmanız gerekir:

Kendimize biraz daha yakınlaştık. Şimdi şunu görüyoruz eklenir ve ortaya çıkar. Bu, terimlerden birini bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerektiği anlamına gelir:

Ve bilinmeyenden bir “katman” daha kaldırıldı! Şimdi ürünün bilinen bir değeri () ve bilinen bir çarpanı () olan bir durum görüyoruz.

Şimdi durum “eksik - çıkarma = fark”

Ve son adım bilinen çarpımdır () ve faktörlerden biridir ()

Tip 2: parantezli denklemler
Bu tür denklemler en sık problemlerde bulunur - tüm problemlerin %90'ı 5. sınıfa giriş. Farklı "soğan denklemleri" buradaki değişken birkaç kez görünebilir, dolayısıyla önceki paragraftaki yöntemleri kullanarak çözmek imkansızdır. Tipik denklemler: veya
Asıl zorluk braketleri doğru şekilde açmaktır. Bunu doğru bir şekilde yapmayı başardıktan sonra benzer terimleri (sayılardan sayılara, değişkenlerden değişkenlere) azaltmalısınız ve bundan sonra en basitini elde ederiz. "soğan denklemi" bunu çözebiliriz. Ama önce ilk şeyler.

Genişleyen parantez. Bu durumda kullanılması gereken birkaç kural vereceğiz. Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, öğrenci parantezleri ancak 70-80 tamamlanmış problemden sonra doğru şekilde açmaya başlar. Temel kural şudur: Parantez dışındaki herhangi bir faktör, parantez içindeki her terimle çarpılmalıdır. Parantez önündeki eksi işareti de içindeki tüm ifadelerin işaretini değiştirir. Yani, açıklamanın temel kuralları:

Benzerini getirmek. Burada her şey çok daha kolay: Terimleri eşittir işaretiyle aktararak, bir tarafta yalnızca bilinmeyen terimlerin, diğer tarafta yalnızca sayıların olmasını sağlamanız gerekir. Temel kural şudur: Aktarılan her terim işaretini değiştirir; eğer birlikteyse, birlikte olur ve tam tersi. Başarılı bir transferden sonra toplam bilinmeyen sayısını, değişkenlerin eşitliğinin diğer tarafındaki toplam sayıyı saymak ve basit bir çözümü çözmek gerekir. "soğan denklemi".

Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.

Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?

Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.

En basit denklem inşaat anlamına gelir:

Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:

1. Varsa parantezleri genişletin;
2. Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
3. Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
4. Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.

Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:

1. Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
2. Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.

Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.

Denklem çözme örnekleri

Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.

Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:

1. Öncelikle varsa parantezleri genişletmeniz gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
2. Daha sonra benzerlerini birleştirin
3. Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.

Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerlerini vermeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.

Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.

Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ancak zaten anladığınız gibi en basit görevlerle başlayacağız.

Basit doğrusal denklemleri çözme şeması

İlk olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:

1. Varsa parantezleri genişletin.
2. Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
3. Benzer terimleri sunuyoruz.
4. Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.

Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor, içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.

Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme

Görev No.1

İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen unutmayın: yalnızca bireysel terimlerden bahsediyoruz. Bunu yazalım:

Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle dördüncü adıma geçiyoruz: katsayıya bölelim:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Böylece cevabı aldık.

Görev No.2

Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:

Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:

İşte benzerlerinden bazıları:

Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'ın herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.

Görev No.3

Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Burada birkaç parantez var, ancak hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önlerinde farklı işaretler var. Bunları parçalayalım:

Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hadi matematik yapalım:

Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler

Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:

• Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
• Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.

Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır, hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı, sıfır alırsanız yanlış yaptığınızı varsaymamalısınız.

Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.

Bu basit gerçeği anlamak, lisede böyle şeyler yapmanın olağan karşılandığı aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Daha karmaşık denklemlere geçelim. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar kesinlikle iptal edilecektir.

Örnek No.1

Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:

Şimdi gizliliğe bir göz atalım:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:

\[\varhiçbir şey\]

ya da kökleri yoktur.

Örnek No.2

Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:

Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:

\[\varhiçbir şey\],

ya da kökleri yoktur.

Çözümün nüansları

Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökü olmayan iki denklemi ele aldık.

Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:

Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.

Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.

Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:

Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Çünkü denklemleri çözmek her zaman bir dizi temel dönüşümdür; burada basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememe, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açar.

Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak, her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.

Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.

Görev No.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:

Biraz gizlilik yapalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Son adımı tamamlayalım:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.

Görev No.2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:

Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:

Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

İşte benzer terimler:

Son cevabı bir kez daha aldık.

Çözümün nüansları

Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: Birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda, bunu şu kurala göre yaparız: İlk terimden ilk terimi alırız ve her elemanla çarparız. ikinci; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikinciden gelen her elemanla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.

Cebirsel toplam hakkında

Bu son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak istiyorum. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.

Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.

Kesirli Denklem Çözme

Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:

1. Parentezleri aç.
2. Ayrı değişkenler.
3. Benzerlerini getirin.
4. Orana bölün.

Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.

Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Kesirlerden kurtulun.
2. Parentezleri aç.
3. Ayrı değişkenler.
4. Benzerlerini getirin.
5. Orana bölün.

“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.

Örnek No.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Şimdi genişletelim:

Değişkeni ayırıyoruz:

Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nihai çözümü bulduk, ikinci denkleme geçelim.

Örnek No.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem çözüldü.

Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.

Anahtar noktaları

Temel bulgular şunlardır:

• Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
• Parantez açma yeteneği.
• Bir yerlerde ikinci dereceden fonksiyonlarınız varsa endişelenmeyin; büyük ihtimalle sonraki dönüşümler sürecinde bunlar azalacaktır.
• Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.

Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!

Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. Örneğin\(5·3+7\) sayısal ifadesinde önce çarpma, sonra toplama hesaplanır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Örnek. Parantezi genişletin: \(-(4m+3)\).
Çözüm : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Örnek. Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Örnek. Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm : Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..

Örnek. Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm : Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.

Örnek. İfadeyi basitleştirin: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Çözüm : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Son durumu dikkate almaya devam ediyor.

Bir parantez bir parantezle çarpıldığında, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Örnek. Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm : Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi kaldırın - terimlerinin her birini ikinci parantezle çarpın:

Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- Her şey sırayla...

Sonra ikincisi.

Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:

Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.

Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Eğer c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.

Parantez içinde parantez

Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.

Bu tür görevleri başarıyla çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
- parantezleri örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.

Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
Çözüm :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Burada parantezlerin üçlü iç içe geçmesi var. En içtekiyle başlayalım (yeşille vurgulanmış). Braketin önünde bir artı var, bu yüzden kolayca çıkıyor.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Şimdi ikinci braketi, ara braketi açmanız gerekiyor. Ancak ondan önce bu ikinci parantez içindeki hayalet benzeri terimlerin anlatımını basitleştireceğiz.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Şimdi ikinci braketi açıyoruz (mavi renkle vurgulanmıştır). Parantez bir faktör olmadan önce - yani parantez içindeki her terim onunla çarpılır.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Ve son parantezi açın. Parantez önünde eksi işareti vardır, dolayısıyla tüm işaretler terstir.

Parantezleri genişletmek matematikte temel bir beceridir. Bu beceri olmadan 8. ve 9. sınıfta C'nin üzerinde not almanız mümkün değildir. Bu nedenle bu konuyu iyi anlamanızı tavsiye ederim.

Parantezli bir denklemin nasıl çözüleceğini mi arıyorsunuz? . Açıklama ve açıklama içeren ayrıntılı bir çözüm, en karmaşık sorunu bile anlamanıza yardımcı olacaktır ve parantez içindeki denklemlerin nasıl çözüleceği bir istisna değildir. Ödevlere, testlere, olimpiyatlara ve üniversiteye girişe hazırlanmanıza yardımcı olacağız. Ve hangi örnek olursa olsun, hangi matematik sorgusunu girerseniz girin, zaten bir çözümümüz var. Örneğin, "parantezli bir denklem nasıl çözülür?"

Çeşitli matematik problemlerinin, hesap makinelerinin, denklemlerin ve fonksiyonların kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu matematiği eski çağlardan beri kullanmıştır ve o zamandan bu yana kullanımı giderek artmıştır. Ancak artık bilim yerinde durmuyor ve örneğin parantezli bir denklemin nasıl çözüleceği, parantez içindeki denklemlerin nasıl çözüleceği, parantez içindeki denklemlerin nasıl çözüleceği gibi sorunları çözebilen çevrimiçi bir hesap makinesi gibi faaliyetinin meyvelerinin tadını çıkarabiliyoruz. Parantezli denklem çözümü, Parantezli denklem nasıl çözülür, Parantezli denklem nasıl çözülür? Bu sayfada, parantezli bir denklemin nasıl çözüleceği de dahil olmak üzere her türlü soruyu çözmenize yardımcı olacak bir hesap makinesi bulacaksınız. (örneğin, parantezli bir denklemin nasıl çözüleceği).

Matematikteki herhangi bir problemi nerede çözebilirsiniz ve ayrıca parantezli bir denklemi Çevrimiçi olarak nasıl çözebilirsiniz?

Bir denklemin parantezle nasıl çözüleceği problemini web sitemizde çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, herhangi bir karmaşıklıktaki çevrimiçi sorunu birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca video talimatlarını izleyebilir ve görevinizi web sitemize doğru şekilde nasıl gireceğinizi öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa hesap makinesi sayfasının sol alt kısmındaki sohbette sorabilirsiniz.

Parantez açılıp benzer terimler getirildikten sonra şu şekli alan, bir bilinmeyenli denklem

balta + b = 0 a ve b'nin keyfi sayılar olduğu yere denir Doğrusal Denklem bilinmeyen biriyle. Bugün bu doğrusal denklemleri nasıl çözeceğimizi bulacağız.

Örneğin, tüm denklemler:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - doğrusal.

Denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bilinmeyenin değerine denir. karar veya denklemin kökü .

Örneğin, 3x + 7 = 13 denkleminde bilinmeyen x yerine 2 sayısını yazarsak, doğru eşitlik olan 3 2 +7 = 13'ü elde ederiz. Bu, x = 2 değerinin çözüm veya kök olduğu anlamına gelir. denklemin.

Ve x = 3 değeri, 3x + 7 = 13 denklemini gerçek eşitliğe dönüştürmez çünkü 3 2 +7 ≠ 13. Bu, x = 3 değerinin denklemin bir çözümü veya kökü olmadığı anlamına gelir.

Herhangi bir doğrusal denklemin çözülmesi, formdaki denklemlerin çözülmesine indirgenir

balta + b = 0.

Serbest terimi denklemin sol tarafından sağa taşıyalım, b'nin önündeki işareti tersine çevirelim, şunu elde ederiz:

a ≠ 0 ise x = ‒ b/a .

Örnek 1. 3x + 2 =11 denklemini çözün.

2'yi denklemin sol tarafından sağa doğru hareket ettirelim, 2'nin önündeki işareti ters tarafa çevirelim, şunu elde ederiz:
3x = 11 – 2.

O zaman çıkarma işlemini yapalım
3x = 9.

X'i bulmak için ürünü bilinen bir faktöre bölmeniz gerekir;
x = 9:3.

Bu, x = 3 değerinin denklemin çözümü veya kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 3.

a = 0 ve b = 0 ise 0x = 0 denklemini elde ederiz. Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b de 0'a eşittir. Bu denklemin çözümü herhangi bir sayıdır.

Örnek 2. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 denklemini çözün.

Parantezleri genişletelim:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

İşte bazı benzer terimler:
0x = 0.

Cevap: x - herhangi bir sayı.

a = 0 ve b ≠ 0 ise 0x = - b denklemini elde ederiz. Bu denklemin hiçbir çözümü yoktur, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b ≠ 0 olur.

Örnek 3. x + 8 = x + 5 denklemini çözün.

Bilinmeyen içeren terimleri sol tarafta, serbest terimleri ise sağ tarafta gruplayalım:
x – x = 5 – 8.

İşte bazı benzer terimler:
0х = ‒ 3.

Cevap: Çözüm yok.

Açık Şekil 1 doğrusal bir denklemin çözümü için bir diyagram gösterir

Tek değişkenli denklemleri çözmek için genel bir şema çizelim. Örnek 4'ün çözümünü ele alalım.

Örnek 4. Diyelim ki denklemi çözmemiz gerekiyor

1) Denklemin tüm terimlerini paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarpın.

2) İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Bilinmeyen ve serbest terimler içeren terimleri ayırmak için parantezleri açın:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Bir bölümde bilinmeyenleri içeren terimleri, diğer bölümde ise serbest terimleri gruplayalım:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Benzer terimleri sunalım:
- 22x = - 154.

6) – 22'ye bölersek, şunu elde ederiz:
x = 7.

Gördüğünüz gibi denklemin kökü yedidir.

Genellikle böyle denklemler aşağıdaki şema kullanılarak çözülebilir:

a) denklemi tamsayı formuna getirin;

b) braketleri açın;

c) bilinmeyeni içeren terimleri denklemin bir kısmında, serbest terimleri ise diğer kısmında gruplandırın;

d) benzer üyeleri getirmek;

e) Benzer terimlerin getirilmesinden sonra elde edilen aх = b formundaki bir denklemi çözün.

Ancak bu şema her denklem için gerekli değildir. Birçok basit denklemi çözerken, birinciden değil ikinciden başlamalısınız ( Örnek. 2), üçüncü ( Örnek. 13) ve hatta örnek 5'teki gibi beşinci aşamadan itibaren.

Örnek 5. 2x = 1/4 denklemini çözün.

Bilinmeyeni bulun x = 1/4:2,
x = 1/8 .

Ana durum sınavında bulunan bazı doğrusal denklemlerin çözümüne bakalım.

Örnek 6. 2 (x + 3) = 5 – 6x denklemini çözün.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Cevap: - 0,125

Örnek 7. Denklemi çözün – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Cevap: 2.3

Örnek 8. Denklemi çözün

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Örnek 9. f(x + 2) = 3 7 ise f(6)'yı bulun

Çözüm

f(6)'yı bulmamız gerektiğinden ve f(x + 2)'yi bildiğimizden,
o zaman x + 2 = 6.

Doğrusal denklem x + 2 = 6'yı çözüyoruz,
x = 6 – 2, x = 4 elde ederiz.

Eğer x = 4 ise
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Cevap: 27.

Hala sorularınız varsa veya denklem çözmeyi daha detaylı anlamak istiyorsanız PROGRAM'daki derslerime kaydolun. Sana yardım etmekten memnun olacağım!

TutorOnline ayrıca eğitmenimiz Olga Alexandrovna'nın hem doğrusal denklemleri hem de diğerlerini anlamanıza yardımcı olacak yeni bir video dersini izlemenizi önerir.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.