Ev » Sonbahar ayakkabıları » Çok fazla çaba harcamadan matematik problemlerini çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Matematikte yüzdeler. Yüzde problemleri

Çok fazla çaba harcamadan matematik problemlerini çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Matematikte yüzdeler. Yüzde problemleri

Hepsi için okul yıllarıÇocuğunuzun birçok sorunu çözmesi gerekecek ve bunların hepsi farklı görünse de, bunları çözme algoritması hala şunları içeriyor: genel noktalar ve bunları anladıktan ve bu algoritmayı takip ederek çocuk neredeyse her sorunu çözebilecektir. 1-3.sınıflardaki bir öğrenci problem çözme taktiklerinde ustalaşırsa, lisede sadece matematikte değil, fizik, kimya ve geometride de problemleri tohum gibi çözecektir.

Problem çözmede hatalar

Görevler bölümlere ayrılabilir: durum, soru, çözüm, cevap.

İlk ve en ana hata- Çocuk dikkatsizce, sorunun koşullarını gelişigüzel okur.

Örneğin bir sorun. Petya'nın 8 jetonu var, yani Vasya'dan 3 eksik. Vasya'nın kaç parası var?

Çocuk "3 daha az" görüyor, bu da bir şeyin alınması gerektiği anlamına geliyor, ancak yalnızca 8'den uzaklaşabilirsiniz, yani Vasya için 8-3 = 5 jeton çıkıyor. Ancak koşulları dikkatlice okursanız Petya'nın daha az şekeri var.

Böyle bir karışıklığı önlemek için çocuğun görevin koşullarını yazmasını isteyin.

P. - 8 m x 3 m.<

İkinci hata ise kararda.

Bir görevde yalnızca bir soru olduğunda her şey basittir. Ancak bir problemde birden fazla bilinmeyen varsa çözüm zorlaşır. Eyleme göre karar veriyoruz. Öncelikle hangi verinin eksik olduğunu belirleyelim, sonra bu sayıları bulalım, yerine koyalım ve sorunu çözelim.

Üçüncü hata - cevabın yanlış kaydedilmesi.

Örneğin kaç tane jeton bulmanız gerekiyor ve çocuk kaç kişi yazıyor. Cevabı yazmadan önce görevin sorusunu tekrar dikkatlice okumalısınız. Cevapta bulmamız gerekenleri yazıyoruz. Cevap bir sayıyla başlıyor.

Çözüm algoritması

Sorunu dikkatlice okuyun ve ne dediğini hayal edin.
Bilinenleri, bilinmeyenleri, bulunması gerekenleri bir diyagram şeklinde yazın.
Problemdeki soruyu hemen cevaplayıp cevaplayamayacağınızı düşünün.
Cevabı bulmak için öncelikle eksik olan değerleri hesaplayın.
Sorunun ana sorusunun cevabını bulun.
Cevabı kontrol edin.
Görev sorusunu tekrar okuyun.
Cevabı yazın.

Herhangi bir problemi çözerken bilinen iki veriyi kullanarak üçüncüsünü buluruz. Karar verirken, sanki bir topu çözüyormuş gibi, sondan mantık yürütürüz. Bunu bilmek için buna ihtiyacımız var ve bunu bilmek için tüm verilere sahibiz.

Çocuğunuza akıl yürütmeyi öğretin. Eğer bu onun için zorsa fazladan veya eksik veri içeren problemler üzerinde pratik yapın.

Vasya 8 yaşında. 5 numaralı dairede 7 numaralı evde yaşıyor. Karşı dairede yaşayan bir kuzeni var. Kardeşim Vasya'dan 3 yaş büyük. Ayrıca 2 kedileri ve bir hamsterleri var.

Cevabı bulmak ve soruyu göreve eklemek için gerekmeyen verilerin üzerini çizmeniz gerekir.

Vasya 8 yaşında. 5 numaralı dairede 7 numaralı evde yaşıyor. Karşı dairede yaşayan bir kuzeni var. Kardeşim Vasya'dan 3 yaş büyük. Ayrıca 2 kedileri ve bir hamsterleri var. Erkek kardeşin kaç yaşında?

İkinci eğitim seçeneği ise tek bir çözüm için birden fazla problemi kendiniz bulmaktır.

Örneğin: 8+3

Vasya bu çeyrekte 8 dörtlü ve 3 beşli daha aldı. Vasya kaç A aldı?

Akvaryumda 8 lepistes ve 3 yayın balığı vardı. Akvaryumda kaç balık vardı?

Üçüncü seçenek ise veri eksik olan koşulu tamamlamaktır.

Örnek: Vasya'nın 4 şekeri var ve Sonya'nın daha azı var. Sonya'nın kaç şekeri var?

Koşulu ekleyelim: Vasya'nın 4 şekeri var ve Sonya'nın 2 daha az. Sonya'nın kaç tane tatlısı var?

Okurken netlik sağlamak için çözüm için gerekli verileri vurgulayabilirsiniz.

Ana görev türleri

Basit toplama ve çıkarma problemleri

Bu bölümde matematikte Birleşik Devlet Sınavına temel, uzmanlık düzeyi olarak hazırlanıyoruz - problemlerin analizini, testleri, sınavın tanımını ve faydalı öneriler sunuyoruz. Kaynağımızı kullanarak, en azından problemlerin nasıl çözüleceğini anlayacak ve 2019'da matematikte Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçebileceksiniz. Başlamak!

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 11. sınıftaki her öğrenci için zorunlu bir sınavdır, dolayısıyla bu bölümde sunulan bilgiler herkes için geçerlidir. Matematik sınavı temel ve özel olmak üzere iki türe ayrılır. Bu bölümde, iki seçenek için ayrıntılı bir açıklama ile her görev türünün bir analizini sunuyorum. Birleşik Devlet Sınavı görevleri kesinlikle tematiktir, dolayısıyla her konu için kesin öneriler verebilir ve bu tür görevleri çözmek için özel olarak gerekli olan teoriyi sağlayabilirsiniz. Aşağıda teoriyi inceleyebileceğiniz ve örnekleri analiz edebileceğiniz ödevlere bağlantılar bulacaksınız. Örnekler sürekli olarak yenilenir ve güncellenir.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavının temel seviyesinin yapısı

Temel düzeyde matematik sınav kağıdı aşağıdakilerden oluşur: bir parça 20 kısa cevaplı görev dahil. Tüm görevler, günlük durumlarda matematiksel bilginin uygulanmasında temel becerilerin ve pratik becerilerin gelişimini test etmeyi amaçlamaktadır.

1-20 arası görevlerin her birinin cevabı tamsayı, sondaki ondalık sayı , veya sayı dizisi .

Kısa cevaplı bir görev, görevi tamamlama talimatlarında verilen formda 1 numaralı cevap formuna doğru cevap yazılırsa tamamlanmış sayılır.

Standart mantıksal problemlerin, basit ve standart olmayan matematik problemlerinin nasıl çözüleceğini öğrenmek için bunları çözmenin temel tekniklerini ve yöntemlerini bilmek önemlidir. Sonuçta çoğu durumda aynı problemi çözmek ve doğru cevaba ulaşmak farklı şekillerde yapılabilir.

Farklı çözüm yöntemlerini bilmek ve anlamak, yanıt almanın en hızlı ve en kolay yolunu seçmek için her özel durumda hangi yöntemin en iyi olduğunu belirlemenize yardımcı olacaktır.

“Klasik” mantık problemleri, amacı nesneleri tanımak veya verilen koşullara göre belirli bir sıraya koymak olan kelime problemlerini içerir.

Daha zorlu ve heyecan verici problem türleri, bazı ifadelerin doğru, diğerlerinin yanlış olduğu problemlerdir. Taşıma, kaydırma, tartma ve dökmeyi içeren problemler, çok çeşitli standart dışı mantık problemlerinin en çarpıcı örnekleridir.

Mantıksal problemleri çözmek için temel yöntemler

muhakeme yöntemi;
doğruluk tablolarının kullanılması;
akış şeması yöntemi;
mantık cebiri (ifadelerin cebiri) aracılığıyla;
grafiksel (“mantıksal durum ağacı”, Euler çemberi yöntemi dahil);
matematiksel bilardo yöntemi.

İlkokulda (6-12 yaş arası çocuklar) kullanmanızı önerdiğimiz, mantık problemlerini çözmenin üç popüler yoluna örneklerle daha yakından bakalım:

sıralı akıl yürütme yöntemi;
bir tür akıl yürütme yöntemi - “sondan itibaren”;
tablo yöntemi.

Sıralı akıl yürütme yöntemi

Basit problemleri çözmenin en kolay yolu, bilinen tüm koşulları kullanarak sıralı akıl yürütmedir. Sorunun koşulları olan ifadelerden elde edilen sonuçlar, yavaş yavaş sorulan sorunun cevabına yol açar.

Onlar masada Mavi , Yeşil , Kahverengi Ve Turuncu

Üçüncüsü ise adında en çok harf bulunan kalemdir. Mavi arasında kalem yatıyor Kahverengi Ve Turuncu .

Kalemleri açıklanan sıraya göre düzenleyin.

Çözüm:

Hadi Konuşalım. Her bir sonraki kalemin bulunması gereken konum hakkında sonuçlar çıkarmak için sürekli olarak problemin koşullarını kullanırız.

“Kahverengi” kelimesi en çok harfe sahip, yani üçüncü sırada yer alıyor.
Mavi kalemin kahverengi ile turuncu arasında yer aldığı biliniyor. Kahverenginin sağında yalnızca bir konum vardır; bu, kahverengi ile başka bir kalem arasına mavi yerleştirmenin yalnızca kahverenginin soluna mümkün olduğu anlamına gelir.
Bir sonraki sonuç bir öncekine dayanmaktadır: mavi kalem ikinci konumda, turuncu kalem ise birinci konumdadır.
Yeşil kalem için kalan son sıra ise dördüncü sıradır.

"Sondan" yöntemi

Bu çözüm yöntemi, bir tür akıl yürütme yöntemidir ve belirli eylemleri gerçekleştirmenin sonucunu bildiğimiz ve sorunun orijinal resmi geri yüklemek olduğu sorunlar için mükemmeldir.

Büyükanne üç torunu için simit pişirip onları masanın üzerine bıraktı. Önce Kolya bir şeyler atıştırmak için içeri girdi. Bütün simitleri saydı, payını aldı ve kaçtı.
Anya daha sonra eve geldi. Kolya'nın simitleri alıp saydı ve üçe bölerek kendi payına düşeni aldığını bilmiyordu.
Gelen üçüncü kişi ise geri kalan unlu mamulleri üçe paylaştırıp kendi payını alan Gena'ydı.
Masada 8 simit kaldı.

Herkesin eşit yemesi için her bir kişi kalan sekiz simitten kaç tane yemelidir?

Çözüm:

Tartışmaya sondan başlayalım.
Gena, Anya ve Kolya'ya (her biri 4) 8 simit bıraktı. Kendisinin 4 simit yediği ortaya çıktı: 8 + 4 = 12.
Anya kardeşlere 12 simit bıraktı (her biri 6 adet). Bu, kendisinin 6 parça yediği anlamına gelir: 12 + 6 = 18.
Kolya erkeklere 18 simit bıraktı. Bu, kendisinin 9: 18 + 9 = 27 yediği anlamına gelir.

Büyükanne, herkesin 9 parça almasını umarak masaya 27 simit koydu. Kolya zaten payını yediği için Anya 3, Gena ise 5 simit yemeli.

Doğruluk tablolarını kullanarak mantıksal problemleri çözme

Yöntemin özü, problemin koşullarını ve elde edilen muhakeme sonuçlarını problem için özel olarak derlenmiş tablolara kaydetmektir. İfadenin doğru veya yanlış olmasına bağlı olarak ilgili tablo hücreleri “+” ve “-” veya “1” ve “0” işaretleri ile doldurulur.

Üç sporcu ( kırmızı , mavi Ve yeşil) basketbol oynadı.
Top sepete girdiğinde kırmızı olan bağırdı: "Mavi topu attı."
Mavi itiraz etti: “Yeşil olan topu attı.”
Green, "Ben atmadım" dedi.

Üç kişiden sadece biri yalan söylerse topu kim attı?

Çözüm:

İlk olarak bir tablo derlenir: Koşulda yer alan tüm ifadeler sol tarafa, olası cevap seçenekleri ise üst tarafa yazılır.

Daha sonra tablo sırayla doldurulur: doğru ifadeler “+” işaretiyle, yanlış ifadeler ise “-” işaretiyle işaretlenir.

İlk cevabı ele alalım (“top atıldı kırmızı"), solda yazılan ifadeleri analiz edip dolduralım Birinci kolon.
Varsayımımıza dayanarak (“top atıldı kırmızı"), "mavi topu attı" ifadesi yalandır. Hücreye “-“ koyun.
“Yeşil topu attı” sözü de yalandır. Hücreyi “-“ işaretiyle doldurun.
Green'in "Ben atmadım" sözü doğrudur. Hücreye “+” koyun.

İkinci cevabı ele alalım (varsayalım ki yeşil topu attı) ve doldur ikinci kolon.
“Mavi topu attı” sözü yalandır. Hücreye “-“ koyun.
“Top yeşil tarafından atıldı” ifadesi « - doğru. Hücreyi “+” işaretiyle doldurun.
Green'in "Ben atmadım" sözü yalandır. Hücreye “-“ koyun.

Ve son olarak üçüncü seçenek: varsayalım ki “top atıldı mavi«.
Ardından “top mavi tarafından atıldı” ifadesi « - doğru. Hücreye “+” koyun.
“Yeşil topu attı” sözü yalandır. Hücreyi “-“ işaretiyle doldurun. Green'in "Ben atmadım" sözü doğrudur. Hücreye “+” koyun.

Koşula göre üç adamdan sadece biri yalan söylediğinden, tamamlanmış tabloda olacağı cevap seçeneğini seçiyoruz. sadece bir yanlış ifade (sütunda bir işaret “-“). Üçüncü sütun uygundur.

Bu, doğru cevabın mavi olanın topu attığı anlamına gelir.

Akış şeması yöntemi

Akış şeması yöntemi, sıvıların tartılması ve dökülmesiyle ilgili sorunların çözümü için en iyi seçenek olarak kabul edilir. Bu tür bir sorunu çözmenin alternatif bir yolu (seçenekleri numaralandırma yöntemi) her zaman optimal değildir ve bunu sistematik olarak adlandırmak oldukça zordur.

Akış şeması yöntemini kullanarak sorunları çözme prosedürü aşağıdaki gibidir:

grafiksel olarak (bir blok diyagramla) işlem sırasını açıklıyoruz;
bunların uygulanma sırasını belirlemek;
Mevcut durumları tabloya kaydediyoruz.

Mantıksal düşünmenin gelişimi hakkındaki LogicLike Kursunun tamamında size bu ve mantıksal problemleri çözmenin diğer yöntemleri hakkında örneklerle ve çözüm sürecinin bir açıklamasıyla daha fazla bilgi vereceğiz.

Blogumuzun düzenli okuyucuları ve LogicLike öğrencileri için özel olarak toplanan en fazlasını tahmin edin, mantık problemlerini binlerce çocuk ve yetişkinle birlikte çevrimiçi olarak çözün!

Bu makalede, nereden başlayacağınızı bilmiyorsanız matematik problemlerini nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz.

Çoğu zaman, okul çocukları sorunları çözerken "sersemliğe girerler" - kafalarında sis vardır, düşünceler bir yere dağılmıştır ve görünüşe göre onları toplamak artık mümkün değildir.

Açık Görev Bankası'ndan bir problem çözme örneğini kullanarak düşüncelerinizi toplamak için hangi basit eylemleri yapmanız gerektiğini ve problemleri nasıl doğru şekilde çözebileceğinizi göstermek istiyorum.

Sorunlar nasıl çözülür? Görev B13 (No. 26582)

Bir bisikletçi A şehrinden B şehrine sabit hızla gidiyor, aralarındaki mesafe 98 km. Ertesi gün öncekinden 7 km/saat daha fazla bir hızla geri döndü. Yolda 7 saat mola verdi. Sonuç olarak geri dönüşte de A'dan B'ye giderken harcadığı sürenin aynısını harcadı. Bisikletçinin A'dan B'ye giderken hızını bulun. Cevabı km/saat olarak verin.

1. Sorunu dikkatlice okuyun. Belki birkaç kez.

2. Problemde hangi sürecin tartışıldığını ve bu süreci hangi formüllerin tanımladığını belirleriz. Bu formülleri yazalım. Bu durumda bu bir hareket görevidir ve bu süreci açıklayan formül S=vt'dir.

3. Denklemin parçası olan her değişkenin boyutunu yazıyoruz:

S - mesafe - km
v - hız - km/sa
t - zaman - saat

Ortaya çıkan formülleri kontrol ederken boyutu bilmek bize yardımcı olacaktır.

4. Problem cümlesinde yer alan tüm sayıları, ne anlama geldiklerini ve boyutlarını yazıyoruz:

98 km - şehirler arası mesafe,

7 km/saat: Bisikletçinin geri dönüşteki hızı, A şehrinden B şehrine giden yoldaki hızdan çok daha fazladır.

Bisikletçinin durduğu saat saat 7'dir (şu anda bisiklete binmiyordu)

5. Görev sorusunu tekrar okuyun.

6. Hangi miktarı bilinmeyen olarak kabul edeceğimize karar verin. Problemde bilinmesi gereken miktarı bilinmeyen olarak almak uygundur. Bu durumda bisikletçinin A noktasından B noktasına giderken hızıdır.

O halde A noktasından B noktasına giden bisikletçinin hızı x olsun. O halde bisikletlinin geri dönüşteki hızı, A şehrinden B şehrine giderkenki hızından 7 km/saat daha fazla olduğundan x+7'ye eşittir.

7. Bir denklem oluşturuyoruz. Bunu yapmak için hareket denkleminin üçüncü niceliğini (zaman) ilk ikisi cinsinden ifade ederiz. Daha sonra:

Bir bisikletçinin A noktasından B noktasına gitmesi için gereken süre 98/x'tir,

ve B'den A'ya giden yolda - 98/(x+7)+7 - bisikletçinin dönüş yolunda 7 saat durduğunu, yani seyahat süresinin hareket süresi ile park etme süresinin toplamı olduğunu unutmayın. zaman.

Zaman için bir denklem oluşturalım. Bir kez daha problem cümlesinde zamanla ilgili olarak şöyle yazıldığını okuyoruz: Sonuç olarak geri dönüşte de A'dan B'ye giderken harcadığı zamanın aynısını geçirdi. Yani "orada" geçen süre, geçen süreye eşittir. zaman "geri". "Orada" zamanı ve "geri"de geçen zamanı eşitlersek denklemi elde ederiz:

98/x=98/(x+7)+7.

Denklemde yer alan miktarların boyutlarını bir kez daha kontrol ediyoruz - örneğin kilometrelere saat eklemediğimizden emin olmamız gerekiyor.

8. Denklemi çözün. Şimdi denklemi çözmeye odaklanmalıyız. Bunu yapmak için bunun ne tür bir denklem olduğunu belirliyoruz. Bilinmeyen kesirlerin paydasında olduğundan bu rasyonel bir denklemdir. Bunu çözmek için tüm terimleri sola kaydırmanız ve kesirleri ortak bir paydaya getirmeniz gerekir. 98 ve 7 sayılarının 7'nin katı olduğuna dikkat edin.

Çözümü basitleştirmek için denklemin her iki tarafını da 7'ye böleriz. Denklemi elde ederiz: 14/x=14/(x+7)+1

Bundan sonra tüm terimleri sola taşıyıp ortak paydaya getiriyoruz ve payı sıfıra eşitliyoruz.

Pay'a giriyoruz: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 Parantezleri açalım, benzer terimleri toplayalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim.

Kökleri -14 ve 7'dir.

-14 sayısı problemin koşullarına uymuyor: Hız pozitif olmalı.

Sorunun sorusunu bir kez daha okuyup bulduğumuz değerle ilişkilendiriyoruz: Bisikletçinin A noktasından B noktasına giderken bilinmeyen hızını aldık ve aynı değeri bulmamız gerekiyor.

Cevap: 7 km/saat.

Sorunlar nasıl çözülür? Sonuç olarak

Sorunu çözme yolunun tamamını küçük parçalara ayırdığımızı ve her bölümde özellikle belirli bir eylem hakkında düşünmeye odaklandığımızı unutmayın. Ve ancak bu eylem tamamlandıktan sonra bir sonraki adıma geçildi.

Ne yapacağınız belli olmadığında, şu anda hangi küçük adımı atabileceğinize karar vermeniz, onu atmanız ve ardından bir sonraki adımı düşünmeniz gerekir.

Bir problemi çözmek genellikle mantıksal akıl yürütme ve hesaplamalar yoluyla bir miktarın değerini bulmaktan ibarettir. Örneğin, bir nesnenin hızını, zamanını, mesafesini, kütlesini veya bir şeyin miktarını bulun.

Bu problem denklem kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için, istenen değer bir değişken aracılığıyla gösterilir, ardından bir denklem oluşturulup mantıksal akıl yürütme kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra denklemin çözümünün problemin koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol ederler.

Ders içeriği

Bilinmeyen İçeren İfadelerin Yazılması

Bir problemin çözümüne, bu problem için bir denklemin hazırlanması eşlik eder. Sorunları incelemenin ilk aşamasında, belirli bir yaşam durumunu tanımlayan harf ifadelerinin nasıl oluşturulacağını öğrenmeniz önerilir. Bu aşama zor değildir ve sorunun çözümü sürecinde incelenebilir.

Matematiksel bir ifade kullanılarak yazılabilecek çeşitli durumları ele alalım.

Sorun 1. Babanın yaşı X yıllar. Annem iki yaş daha genç. Oğul babasından 3 kat daha küçüktür. İfadeleri kullanarak herkesin yaşını yazın.

Çözüm:

Sorun 2. Babanın yaşı X yaşında, annesi babasından 2 yaş küçüktür. Oğul babadan 3 kat, kız ise anneden 3 kat daha küçüktür. İfadeleri kullanarak herkesin yaşını yazın.

Çözüm:

Sorun 3. Babanın yaşı X yaşında, annesi babasından 3 yaş küçüktür. Oğul babadan 3 kat, kız ise anneden 3 kat daha küçüktür. Baba, anne, oğul ve kızın yaşları toplamı 92 olduğuna göre her kişi kaç yaşındadır?

Çözüm:

Bu problemde ifadelerin yazılmasının yanı sıra her aile üyesinin yaşının da hesaplanması gerekmektedir.

Öncelikle ifadeleri kullanarak her aile üyesinin yaşını yazalım. Değişken başına X Babanın yaşını alalım ve bu değişkeni kullanarak geri kalan ifadeleri oluşturalım:

Şimdi her aile üyesinin yaşını belirleyelim. Bunu yapmak için bir denklem oluşturup çözmemiz gerekiyor. Denklemin tüm bileşenleri zaten hazır. Geriye sadece bunları bir araya getirmek kalıyor.

Baba, anne, oğul ve kızın yaşlarının eklenmesiyle toplam 92 yaş elde edildi:

Her yaş için bir matematiksel ifade derledik. Bu ifadeler denklemimizin bileşenleri olacaktır. Bu diyagrama ve yukarıda verilen tabloya göre denklemimizi kuralım. Yani baba, anne, oğul, kız kelimelerini tabloda bunlara karşılık gelen ifadeyle değiştiriyoruz:

Annenin yaşını belirten ifade x - 3, netlik sağlamak için parantez içine alınmıştır.

Şimdi ortaya çıkan denklemi çözelim. Başlangıç olarak mümkün olduğunca parantezleri genişletebilirsiniz:

Denklemi kesirlerden kurtarmak için her iki tarafı da 3 ile çarpın

Ortaya çıkan denklemi iyi bilinen kimlik dönüşümlerini kullanarak çözelim:

Değişkenin değerini bulduk X. Bu değişken babanın yaşının sorumlusuydu. Bu, babanın yaşının 36 olduğu anlamına gelir.

Babanın yaşını bildiğinizde ailenin geri kalan üyelerinin yaşlarını hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için değişkenin değerini değiştirmeniz gerekir. X Belirli bir aile üyesinin yaşından sorumlu olan ifadelere.

Sorun, annenin babadan 3 yaş küçük olduğunu söyledi. İfadesini kullanarak yaşını belirttik x−3. Değişken değer X artık biliniyor ve annenin yaşını hesaplamak için ifadeye ihtiyacımız var x - 3 yerine X bulunan değeri değiştirin 36

x − 3 = 36 − 3 = Annem 33 yaşında.

Geriye kalan aile üyelerinin yaşı da benzer şekilde belirlenir:

Sınav:

Sorun 4. Bir kilogram elma maliyeti X ruble 300 ruble karşılığında kaç kilogram elma alınabileceğini hesaplayan bir ifade yazınız.

Çözüm

Bir kilogram elmanın maliyeti varsa X ruble, o zaman 300 ruble karşılığında bir kilogram elma satın alabilirsiniz.

Örnek. Bir kilogram elmanın maliyeti 50 ruble. Daha sonra 300 ruble karşılığında 6 kilogram elma satın alabilirsiniz.

Sorun 5. Açık X ruble 5 kg elma aldı. Bir kilogram elmanın kaç rubleye mal olduğunu hesaplayan bir ifade yazın.

Çözüm

5 kg elma ödenseydi X ruble, o zaman bir kilogram rubleye mal olacak

Örnek. 300 rubleye 5 kg elma satın alındı. Daha sonra bir kilogram elma 60 rubleye mal olacak.

Sorun 6. Tom, John ve Leo teneffüs sırasında kafeteryaya gittiler ve bir sandviç ve bir fincan kahve aldılar. Sandviç buna değer X ruble ve bir fincan kahve - 15 ruble. Her şey için 120 ruble ödendiğini biliyorsanız sandviçin maliyetini belirleyin?

Çözüm

Elbette bu problem üç kuruş kadar basit ve denklemlere başvurmadan çözülebilir. Bunu yapmak için, 120 ruble'den üç fincan kahvenin maliyetini (15 × 3) çıkarmanız ve sonucu 3'e bölmeniz gerekir.

Ama amacımız problem için bir denklem oluşturup bu denklemi çözmek. Yani bir sandviçin maliyeti X ruble Bunlardan sadece üçü satın alındı. Bu, maliyeti üç kat artırarak üç sandviç için kaç ruble ödendiğini açıklayan bir ifade elde ettiğimiz anlamına gelir.

3x – üç sandviçin maliyeti

Üç fincan kahvenin maliyeti ise 15×3 olarak yazılabilir. 15, bir fincan kahvenin maliyetidir ve 3, çarpandır (Tom, John ve Leo), bu maliyeti üç katına çıkarır.

Sorunun şartlarına göre her şey için 120 ruble ödendi. Ne yapılması gerektiğine dair yaklaşık bir diyagramımız zaten var:

Üç sandviçin ve üç fincan kahvenin maliyetini anlatan ifadeleri zaten hazırladık. Bunlar ifadeler 3 X ve 15 × 3. Diyagramı kullanarak bir denklem oluşturup çözeceğiz:

Yani bir sandviçin maliyeti 25 ruble.

Sorun ancak denklemi doğru bir şekilde oluşturulmuşsa doğru şekilde çözülebilir. Kök bulmayı öğrendiğimiz sıradan denklemlerin aksine, problem çözmeye yönelik denklemlerin kendine özgü uygulamaları vardır. Böyle bir denklemin her bir bileşeni sözel biçimde açıklanabilir. Bir denklem oluştururken, bunu veya bu bileşeni neden bileşimine dahil ettiğimizi ve buna neden ihtiyaç duyulduğunu anlamak zorunludur.

Denklemin bir eşitlik olduğunu da unutmamak gerekir, çözdükten sonra sol tarafın sağ tarafa eşit olması gerekir. Derlenen denklem bu fikirle çelişmemelidir.

Denklemin iki kaseden oluşan bir terazi ve terazinin durumunu gösteren bir ekran olduğunu düşünelim.

Ekran şu anda eşittir işareti gösteriyor. Sol kasenin neden sağ kaseye eşit olduğu açık - kaselerde hiçbir şey yok. Terazinin durumunu ve kaselerin üzerinde herhangi bir şeyin olmayışını aşağıdaki eşitliği kullanarak yazıyoruz:

0 = 0

Terazinin sol tarafına bir karpuz koyalım:

Sol kase sağ kaseden daha ağır bastı ve ekran eşit değil işaretini (≠) göstererek alarm verdi. Bu işaret sol kasenin sağ kaseye eşit olmadığını gösterir.

Şimdi sorunu çözmeye çalışalım. Sol kasede bulunan karpuzun ağırlığını öğrenmek istediğinizi varsayalım. Ama nasıl biliyorsun? Sonuçta terazilerimiz yalnızca sol kefenin sağ kefeye eşit olup olmadığını kontrol etmek için tasarlandı.

Denklemler kurtarmaya geliyor. Denklemin tanımı gereği olduğunu hatırlayın eşitlik, değerini bulmak istediğiniz bir değişkeni içerir. Bu durumda ölçekler tam da bu denklemin rolünü oynuyor ve karpuzun kütlesi, değeri bulunması gereken bir değişken. Amacımız bu denklemi doğru kurmaktır. Anlayın, teraziyi dengeleyin ki karpuzun kütlesini hesaplayabilesiniz.

Teraziyi dengelemek için sağ kefeye ağır bir nesne yerleştirebilirsiniz. Mesela oraya 7 kg'lık bir ağırlık koyalım.

Şimdi tam tersine, sağdaki çanak soldakinden daha ağır basıyor. Ekranda hâlâ kaselerin eşit olmadığı görülüyor.

Sol kaseye 4 kg'lık bir ağırlık koymaya çalışalım.

Artık terazi dengelendi. Resimde sol kasenin sağ kaseyle aynı hizada olduğu görülüyor. Ve ekranda eşittir işareti görünüyor. Bu işaret sol kasenin sağ kaseye eşit olduğunu gösterir.

Böylece bir denklem elde ettik; bilinmeyeni içeren bir eşitlik. Soldaki kase, 4. bileşenden ve değişkenden oluşan denklemin sol tarafıdır. X(karpuz kütlesi) ve sağdaki kase ise 7. bileşenden oluşan denklemin sağ tarafıdır.

Denklemin kökünün 4 + olduğunu tahmin etmek zor değil X= 7 eşittir 3. Bu da karpuzun kütlesinin 3 kg olduğu anlamına gelir.

Diğer görevlerde de durum benzer. Bilinmeyen bir değeri bulmak için denklemin sol veya sağ tarafına çeşitli öğeler eklenir: terimler, faktörler, ifadeler. Okul problemlerinde bu unsurlar zaten verilmiştir. Geriye kalan tek şey bunları doğru bir şekilde yapılandırmak ve bir denklem oluşturmaktır. Bu örnekte, karpuzun kütlesini hesaplamak için farklı kütlelerin ağırlıklarını deneyerek seçim yapıyorduk.

Doğal olarak problemde verilen verilerin öncelikle denklem içerisine dahil edilebilecek forma getirilmesi gerekmektedir. Bu nedenle dedikleri gibi “Beğenseniz de beğenmeseniz de, düşünmek zorundasınız”.

Aşağıdaki problemi ele alalım. Babanın yaşı oğluyla kızının yaşlarının toplamına eşittir. Oğul kızının iki katı kadar, babasından ise yirmi yaş küçüktür. Herkes kaç yaşında?

Kızın yaşı şu şekilde belirtilebilir: X. Bir oğlunun yaşı kızının iki katı ise yaşı 2 olarak gösterilir. X. Problem cümlesinde kız ve oğlunun yaşlarının babanın yaşına eşit olduğu belirtilmektedir. Bu, babanın yaşının toplamla gösterileceği anlamına gelir X + 2X

İfadede benzer terimler verilebilir. O zaman babanın yaşı 3 olarak gösterilecektir. X

Şimdi bir denklem oluşturalım. Bilinmeyeni bulabileceğimiz bir eşitlik elde etmemiz gerekiyor X. Terazi kullanalım. Sol tarafa babanın yaşını yazıyoruz (3 X) ve sağ tarafta oğlunun yaşı (2) X)

Sol kasenin neden sağ kaseye göre daha ağır olduğu ve ekranın neden (≠) işaretini gösterdiği açıktır. Babanın yaşının oğlunun yaşından büyük olması mantıklıdır.

Ama bilinmeyeni hesaplayabilmemiz için teraziyi dengelememiz gerekiyor. X. Bunu yapmak için sağ kaseye bir miktar sayı eklemeniz gerekir. Sorunda tam olarak hangi sayı belirtiliyor? Durum, oğlunun babasından 20 yaş küçük olduğunu belirtti. Yani teraziye konulması gereken rakam 20 yıldır.

Bu 20 yılı terazinin sağ tarafına eklersek terazi dengelenecektir. Yani oğlumuzu babanın yaşına yetiştireceğiz.

Artık terazi dengelendi. Sonuç bir denklemdir kolaylıkla çözülebilecek bir durum:

X Kızımızın yaşını belirttik. Artık bu değişkenin değerini bulduk. Kızı 20 yaşında.

Son olarak babanın yaşını hesaplayalım. Sorun, oğul ve kızın yaşlarının toplamına yani (20 + 40) yıla eşit olduğunu söyledi.

Sorunun ortasına dönelim ve bir noktaya dikkat edelim. Babanın ve oğlunun yaşını teraziye koyduğumuzda sol kefe sağ kefeye göre daha ağır basıyordu

Ama biz bu sorunu doğru kaseye bir 20 yıl daha ekleyerek çözdük. Sonuç olarak teraziler dengelendi ve eşitliği elde ettik

Ancak bu 20 yılı sağdaki kaseye eklemek değil, soldaki kaseden çıkarmak mümkündü. Bu durumda da eşitliği elde ederiz

Bu sefer denklemi elde ediyoruz . Denklemin kökü hala 20

Yani denklemler Ve eşdeğerdir. Eşdeğer denklemlerin aynı köklere sahip olduğunu hatırlıyoruz. Bu iki denkleme yakından bakıldığında 20 sayısının sağ taraftan sol tarafa ters işaretle aktarılmasıyla ikinci denklemin elde edildiği görülür. Ve bu eylem, önceki derste de belirtildiği gibi denklemin köklerini değiştirmez.

Sorunu çözmenin başında ailedeki her bireyin yaşının başka ifadelerle belirtilebileceğine de dikkat etmeniz gerekiyor.

Diyelim ki oğlunun yaşı şu şekilde gösteriliyor: X ve kızından iki kat daha büyük olduğuna göre, kızının yaşını (anlayın, oğlunun iki katı kadar küçük yapın) ile belirtin. Babanın yaşı da kız ve erkek çocukların yaşlarının toplamı olduğundan, ifadesi ile gösterilir. Ve son olarak mantıksal olarak doğru bir denklem oluşturmak için oğlunuzun yaşına 20 sayısını eklemeniz gerekir çünkü baba ondan yirmi yaş büyüktür. Sonuç tamamen farklı bir denklemdir. . Bu denklemi çözelim

Gördüğünüz gibi sorunun yanıtları değişmedi. Oğlum henüz 40 yaşında. Kızı henüz yaşlı, babası ise 40+20 yaşında.

Başka bir deyişle sorun çeşitli yöntemler kullanılarak çözülebilir. Bu nedenle şu veya bu sorunu çözemeyeceğiniz için umutsuzluğa kapılmamalısınız. Ancak sorunu çözmenin en basit yollarının olduğunu unutmamanız gerekir. Şehir merkezine farklı rotalardan ulaşabilirsiniz ancak her zaman en uygun, en hızlı ve en güvenli rota vardır.

Problem çözme örnekleri

Görev 1.İki pakette sadece 30 adet defter bulunmaktadır. İlk paketten ikinciye 2 defter aktarılsaydı, ilk pakette ikincinin iki katı kadar defter olurdu. Her pakette kaç adet defter vardı?

Çözüm

ile belirtelim X ilk paketteki not defterlerinin sayısı. Toplamda 30 not defteri olsaydı ve değişken X ilk paketteki defter sayısı ise ikinci paketteki defter sayısı 30 − ifadesiyle gösterilecektir. X. Yani toplam defter sayısından birinci paketteki defter sayısını çıkararak ikinci paketteki defter sayısını elde ederiz.

ve bu iki defteri ikinci pakete ekleyin

Mevcut ifadelerden bir denklem oluşturmaya çalışalım. Her iki not defteri yığınını da teraziye koyun

Soldaki kase sağdakinden daha ağırdır. Çünkü problem cümlesi, ilk paketten iki defter alıp ikinciye koyduktan sonra, ilk paketteki defter sayısının ikincidekinin iki katı olduğunu söylüyor.

Terazileri eşitleyip denklemi elde etmek için sağ tarafı ikiye katlayalım. Bunu yapmak için 2 ile çarpın

Sonuç bir denklemdir. Bu denklemi çözelim:

İlk paketi değişken aracılığıyla belirttik X. Artık anlamını bulduk. Değişken X 22'ye eşittir. Bu, ilk pakette 22 defter olduğu anlamına gelir.

İkinci paketi ise 30 − ifadesiyle gösterdik. X ve değer bir değişken olduğundan X Artık biliyoruz ki ikinci paketteki defter sayısını hesaplayabiliriz. 30 – 22 yani 8 parçaya eşittir.

Sorun 2. İki kişi patates soyuyordu. Biri dakikada iki patates soydu, ikincisi ise üç patates soydu. Birlikte 400 parçayı temizlediler. İkincisi birincisinden 25 dakika daha fazla çalıştığına göre her kişi ne kadar süre çalıştı?

Çözüm

ile belirtelim X Birinci kişinin çalışma süresi. İkinci kişi birinciden 25 dakika daha fazla çalıştığı için zamanı şu ifadeyle gösterilecektir:

İlk işçi dakikada 2 patates soydu ve çalıştığından beri X dakika sonra toplamda 2'yi temizledi X patates.

İkinci adam dakikada üç patates soydu ve dakikalarca çalıştığı için toplam patates soydu.

Birlikte 400 patates soydular

Mevcut bileşenleri kullanarak bir denklem oluşturup çözeceğiz. Denklemin sol tarafında her kişinin soyduğu patatesler, sağ tarafında ise bunların toplamı olacaktır:

Bu problemi bir değişken aracılığıyla çözmenin başında X Birinci kişinin çalışma süresini belirttik. Artık bu değişkenin değerini bulduk. İlk kişi 65 dakika çalıştı.

Ve ikinci kişi dakikalarca çalıştı ve değişkenin değeri X Artık biliniyor, o zaman ikinci kişinin çalışma süresini hesaplayabiliriz - 65 + 25, yani 90 dakikaya eşittir.

Andrei Petrovich Kiselev'in Cebir Ders Kitabından Problem. Çay çeşitlerinden 32 kg'lık karışım yapılır. Birinci sınıfın bir kilogramı 8 ruble, ikinci sınıfın maliyeti 6 ruble. 50 kopek Karışımın bir kilogramı (kar veya zarar olmadan) 7 ruble ise, her iki çeşitten de kaç kilogram alınır. 10 kopek mi?

Çözüm

ile belirtelim X bir sürü birinci sınıf çay. Daha sonra ikinci sınıf çayın kütlesi 32 − ifadesiyle gösterilecektir. X

Bir kilogram birinci sınıf çay 8 rubleye mal oluyor. Bu sekiz ruble birinci sınıf çayın kilogram sayısıyla çarpılırsa kaç rubleye mal olduğunu öğrenebilirsiniz. X kg birinci sınıf çay.

Bir kilogram ikinci sınıf çayın maliyeti 6 ruble. 50 kopek Bu 6 ruble ise. 50 kopek 32 ile çarpın - x, o zaman 32'nin kaç rubleye mal olduğunu öğrenebilirsiniz - x kg ikinci sınıf çay.

Koşullar, karışımın bir kilogramının 7 rubleye mal olduğunu söylüyor. 10 kopek Toplamda 32 kg karışım hazırlandı. 7 rubleyi çarpalım. 10 kopek 32'de 32 kg'lık karışımın ne kadara mal olduğunu öğrenebiliriz.

Denklemi oluşturacağımız ifadeler şimdi aşağıdaki formu alır:

Mevcut ifadelerden bir denklem oluşturmaya çalışalım. Terazinin sol kefesine birinci ve ikinci sınıf çay karışımlarının maliyetini, sağ kefeye ise karışımın 32 kg'lık maliyetini yani karışımın toplam maliyetini koyalım. her iki çay türü:

Bu problemi bir değişken aracılığıyla çözmenin başında X Birinci sınıf çayın kütlesini belirledik. Artık bu değişkenin değerini bulduk. Değişken X 12.8'e eşit. Bu, karışımı hazırlamak için 12,8 kg birinci sınıf çayın alındığı anlamına gelir.

Ve ifade 32 aracılığıyla - x ikinci sınıf çayın kütlesini belirledik ve değer değişken olduğundan X Artık biliniyor ki, ikinci sınıf çayın kütlesini hesaplayabiliyoruz. 32 − 12,8'e yani 19,2'ye eşittir. Bu, karışımı hazırlamak için 19,2 kg ikinci sınıf çayın alındığı anlamına gelir.

Sorun 3. Bir bisikletçi 8 km/saat hızla bir mesafe katetmiştir. İlkinden 3 km daha uzun olan başka bir yoldan dönmek zorunda kaldı ve 9 km/saat hızla dönmesine rağmen daha fazla dakika harcadı. Yollar ne kadar uzundu?

Çözüm

Bazı problemler kişinin çalışmamış olabileceği konuları kapsayabilir. Bu görev böyle bir görev yelpazesine aittir. Mesafe, hız ve zaman kavramlarını kapsar. Buna göre böyle bir problemi çözebilmek için problemde konuşulanlar hakkında fikir sahibi olmanız gerekir. Bizim durumumuzda mesafenin, hızın ve zamanın ne olduğunu bilmemiz gerekiyor.

Problem iki yolun mesafelerini bulmayı içermektedir. Bu mesafeleri hesaplamamızı sağlayacak bir denklem oluşturmalıyız.

Mesafe, hız ve zamanın birbiriyle nasıl bağlantılı olduğunu hatırlayalım. Bu miktarların her biri bir değişmez denklem kullanılarak açıklanabilir:

Kendi denklemimizi oluşturmak için bu denklemlerden birinin sağ tarafını kullanacağız. Hangisi olduğunu bulmak için sorunun metnine geri dönmeniz ve anlayacak bir şeyler aramanız gerekir.

Bisikletçinin dönüş yolunda daha fazla dakika harcadığı anı yakalayabilirsiniz. Bu ipucu bize denklemi kullanabileceğimizi söylüyor, yani Sağ Taraf. Bu, değişkeni içeren bir denklem oluşturmamızı sağlayacaktır. S .

O halde ilk yolun uzunluğunu şu şekilde gösterelim: S. Bisikletçi bu rotayı 8 km/saat hızla kat etti. Zaman kat edilen mesafenin hıza oranı olduğundan, bu yolu kat etmesi için geçen süre ifadeyle gösterilecektir.

Bisikletçinin dönüş yolu ise 3 kilometre daha uzundu. Bu nedenle mesafesi şu ifadeyle gösterilecektir: S+ 3. Bisikletçi bu yolu 9 km/saat hızla kat etti. Bu, onun bu yolu kat ettiği sürenin ifadesi ile gösterileceği anlamına gelir.

Şimdi mevcut ifadelerden bir denklem oluşturalım

Sağdaki kase soldakinden daha ağırdır. Bunun nedeni sorunun bisikletçinin dönüş yolunda daha fazla zaman harcadığını söylemesidir.

Teraziyi dengelemek için aynı dakikaları sol tarafa ekleyin. Ama önce dakikaları saate çevirelim, çünkü problemde hız dakika başına metre cinsinden değil, saat başına kilometre cinsinden ölçülüyor.

Dakikayı saate çevirmek için 60'a bölmeniz gerekir.

Dakikalar saat eder. Bu saatleri denklemin sol tarafına ekleyin:

Ortaya çıkan denklem . Bu denklemi çözelim. Kesirlerden kurtulmak için parçanın her iki tarafı da 72 ile çarpılabilir. Daha sonra, iyi bilinen kimlik dönüşümlerini kullanarak değişkenin değerini buluruz. S

Bir değişken aracılığıyla Sİlk yolun mesafesini işaretledik. Artık bu değişkenin değerini bulduk. Değişken S 15'e eşittir. Bu, ilk yolun mesafesinin 15 km olduğu anlamına gelir.

Ve ikinci yolun mesafesini ifadeyle belirttik. S+3 ve değişkenin değerinden bu yana S Artık bilindiği üzere ikinci yolun mesafesini hesaplayabiliriz. Bu mesafe 15+3'ün toplamı yani 18 km'ye eşittir.

Sorun 4. İki araba otoyolda aynı hızla ilerlemektedir. Birincisi hızını 10 km/saat artırırsa, ikincisi de hızı 10 km/saat azaltırsa birincisi aynı yolu 2 saatte, ikincisi ise 3 saatte kat edecektir.Arabalar hangi hızla gidiyor?

Çözüm

ile belirtelim v her arabanın hızı. Problemin ilerleyen kısımlarında ipuçları verilmektedir: Birinci arabanın hızını 10 km/saat artırın ve ikinci arabanın hızını 10 km/saat azaltın. Bu ipucunu kullanalım

Ayrıca bu hızlarda (10 km/saat artırılıp azaltılarak) ilk aracın aynı mesafeyi 2 saatte kat edeceği, ikinci aracın ise 3 saatte kat edeceği söyleniyor. İfade etmek "gibi birçok" olarak anlaşılabilir “İlk arabanın kat ettiği mesafe eşittir ikinci aracın kat ettiği mesafe".

Hatırladığımız gibi mesafe formülle belirlenir. Bu harf denkleminin sağ tarafıyla ilgileniyoruz - bu, değişkeni içeren bir denklem oluşturmamızı sağlayacak v .

Yani hızla v + 10 km/saat ilk araba geçecek 2(v+10) km ve ikincisi geçecek 3(v - 10) km. Bu durumda arabalar aynı mesafeyi kat edeceklerinden denklemi elde etmek için bu iki ifadeyi eşit işaretiyle bağlamak yeterlidir. Daha sonra denklemi elde ederiz. Hadi çözelim:

Sorun arabaların aynı hızda hareket etmesinden kaynaklanıyordu. Bu hızı değişken aracılığıyla belirttik v. Artık bu değişkenin değerini bulduk. Değişken v 50'ye eşittir. Bu, her iki arabanın hızının 50 km/saat olduğu anlamına gelir.

Sorun 5. Gemi akıntıya karşı 11 saatte kat ettiği mesafeyi nehir boyunca 9 saatte kat ediyor. Nehrin akışı 2 km/saat ise teknenin kendi hızını bulunuz.

Çözüm

ile belirtelim v geminin kendi hızı. Nehrin akış hızı 2 km/saattir. Nehir boyunca geminin hızı v + 2 km/saat ve akıntıya karşı - (v – 2) km/saat.

Problem ifadesinde, motorlu geminin nehir boyunca 9 saatte, akıntıya karşı 11 saatte kat ettiği mesafenin aynısını kat ettiği belirtiliyor. İfade etmek "aynı şekilde" olarak anlaşılabilir “Bir motorlu geminin nehir boyunca 9 saatte kat ettiği mesafe, eşittir geminin nehir akışına karşı 11 saatte kat ettiği mesafe". Yani mesafeler aynı olacaktır.

Mesafe formülle belirlenir. Kendi denklemimizi oluşturmak için bu harf denkleminin sağ tarafını kullanalım.

Yani 9 saat içinde gemi nehir boyunca geçecek 9(v + 2) km ve akıntıya karşı 11 saat içinde - 11(v - 2) km. Her iki ifade de aynı mesafeyi tanımladığı için birinci ifadeyi ikinciye eşitleyelim. Sonuç olarak denklemi elde ederiz. Hadi çözelim:

Bu da geminin kendi hızının 20 km/saat olduğu anlamına geliyor.

Sorunları çözerken, çözümün nerede arandığını önceden belirlemek faydalı bir alışkanlıktır.

Sorunun bir yayanın belirli bir yolu kat etmesi için gereken süreyi bulmayı gerektirdiğini varsayalım. Değişken aracılığıyla zamanı belirttik T Daha sonra bu değişkeni içeren bir denklem oluşturduk ve değerini bulduk.

Bir cismin hareket zamanının hem tam sayı hem de kesirli değerler alabildiğini (örneğin 2 saat, 1,5 saat, 0,5 saat) pratikten biliyoruz.O halde bu sorunun çözümünün rasyonel sayılar kümesinde arandığını söyleyebiliriz. Q 2 h, 1,5 h, 0,5 h değerlerinin her biri kesir olarak temsil edilebildiğinden.

Bu nedenle bilinmeyen bir miktar bir değişken tarafından tanımlandıktan sonra bu miktarın hangi kümeye ait olduğunu belirtmekte fayda vardır. Örneğimizde zaman T rasyonel sayılar kümesine aittir Q

T ∈ Q

Değişkene bir kısıtlama da girebilirsiniz T yalnızca pozitif değerler alabileceğini gösterir. Nitekim bir cisim bir yolda belirli bir süre geçirdiyse bu sürenin negatif olması mümkün değildir. Bu nedenle ifadenin yanında T∈ Q değerinin sıfırdan büyük olması gerektiğini belirtiyoruz:

T∈ R, T > 0

Denklemi çözersek şunu elde ederiz: olumsuz anlam değişken için T, bu durumda sorunun yanlış çözüldüğü sonucuna varabiliriz çünkü bu çözüm koşulu karşılamayacak T∈ Q , T> 0 .

Başka bir örnek. Belirli bir işi yapacak kişi sayısını bulmamız gereken bir problemi çözüyorsak, bu sayıyı değişken aracılığıyla gösterirdik. X. Böyle bir sorunda çözüm sette aranırdı doğal sayılar

X ∈ N

Aslında kişi sayısı bir tamsayı, örneğin 2 kişi, 3 kişi, 5 kişi. Ancak 1,5 (bir tam kişi ve yarım kişi) veya 2,3 (iki tam kişi ve bir kişinin onda üçü daha) değil.

Burada kişi sayısının sıfırdan büyük olması gerektiği belirtilebilir, ancak doğal sayılar kümesinde yer alan sayılar N kendileri pozitiftir ve sıfırdan büyüktür. Bu sette yok negatif sayılar ve 0 sayısı. Bu nedenle x > 0 ifadesinin yazılmasına gerek yoktur.

Sorun 6. Okulu onarmak için marangozlardan 2,5 kat daha fazla boyacıya sahip bir ekip geldi. Kısa süre sonra ustabaşı ekibe dört boyacı daha ekledi ve iki marangozu başka bir şantiyeye transfer etti. Sonuç olarak takımda marangozlardan 4 kat daha fazla boyacı vardı. Ekipte başlangıçta kaç boyacı ve kaç marangoz vardı?

Çözüm

ile belirtelim X Başlangıçta onarım için gelen marangozlar.

Marangozların sayısı sıfırdan büyük bir tam sayıdır. Bu nedenle şunu belirtiyoruz X doğal sayılar kümesine aittir

X∈N

Marangozlardan 2,5 kat daha fazla ressam vardı. Bu nedenle boyacı sayısı şu şekilde belirtilecektir: 2,5x.

Boyacı sayımızı da 4 artıracağız

Şimdi marangoz ve boyacıların sayısı şu ifadelerle belirtilecektir:

Mevcut ifadelerden bir denklem oluşturmaya çalışalım:

Sağdaki kase daha büyük çünkü takıma dört ressam daha eklendikten ve iki marangoz başka bir yere taşındıktan sonra takımdaki boyacıların sayısı marangozlardan 4 kat daha fazla çıktı. Ölçekleri eşitlemek için sol tavayı 4 kat artırmanız gerekir:

Denklemi bulduk. Hadi çözelim:

Bir değişken aracılığıyla X marangozların başlangıç sayısı belirlendi. Artık bu değişkenin değerini bulduk. Değişken X 8'e eşittir. Bu, başlangıçta takımda 8 marangozun olduğu anlamına gelir.

Boyacı sayısı da 2,5 ifadesiyle belirtildi. X ve değişkenin değerinden beri X Artık boyacıların sayısını hesaplayabileceğimizi biliyoruz - bu 2,5 × 8'e yani 20'ye eşittir.

Görevin başlangıcına dönüyoruz ve koşulun karşılandığından emin oluyoruz X∈ N. Değişken X 8'e eşittir ve doğal sayılar kümesinin elemanları N bunların hepsi 1, 2, 3 ile başlayan ve sonsuza kadar devam eden sayılardır. Aynı sette bulduğumuz 8 rakamı da bulunmaktadır.

8 ∈N

Aynı şey ressamların sayısı için de söylenebilir. 20 sayısı doğal sayılar kümesine aittir:

20 ∈N

Sorunun özünü anlamak ve denklemi doğru bir şekilde oluşturmak için kaseli terazi modelini kullanmak hiç de gerekli değildir. Diğer modelleri kullanabilirsiniz: segmentler, tablolar, diyagramlar. Sorunun özünü iyi tanımlayacak kendi modelinizi oluşturabilirsiniz.

Sorun 9. Sütün %30'u kutudan döküldü. Sonuç olarak içinde 14 litre kaldı. Başlangıçta kutuda kaç litre süt vardı?

Çözüm

İstenilen değer, kutudaki başlangıç litre sayısıdır. Litre sayısını bir çizgi olarak çizelim ve bu çizgiyi X olarak işaretleyelim.

Sütün yüzde 30'unun tenekeden döküldüğü söyleniyor. Şekilde yaklaşık %30'u vurgulayalım.

Yüzde, tanımı gereği bir şeyin yüzde biridir. Sütün %30'u döküldüyse kalan %70'i kutuda kaldı. Bu %70, problemde belirtilen 14 litreye karşılık gelmektedir. Şekilde kalan %70'i vurgulayalım.

Artık bir denklem oluşturabilirsiniz. Bir sayının yüzdesini nasıl bulacağımızı hatırlayalım. Bunu yapmak için bir şeyin toplam miktarı 100'e bölünür ve elde edilen sonuç istenen yüzdeyle çarpılır. %70'i oluşturan 14 litrenin de aynı şekilde elde edilebileceğini not ediyoruz: orijinal litre sayısı X 100'e bölün ve elde edilen sonucu 70 ile çarpın. Tüm bunları 14 sayısına eşitleyin

Veya daha basit bir denklem elde edin: %70'i 0,70 olarak yazın, ardından X ile çarpın ve bu ifadeyi 14'e eşitleyin.

Bu, başlangıçta kutuda 20 litre süt olduğu anlamına gelir.

Sorun 9. İki alaşım altın ve gümüş aldık. Bu metallerin birinde miktarı 1:9, diğerinde ise 2:3 oranındadır. Altın ve gümüş oranının 1 olacağı 15 kg yeni bir alaşım elde etmek için her alaşımdan ne kadar alınması gerekir? : 4?

Çözüm

Öncelikle 15 kg yeni alaşımda ne kadar altın ve gümüş bulunacağını bulmaya çalışalım. Sorun, bu metallerin içeriğinin 1: 4 oranında olması gerektiğini, yani alaşımın bir kısmının altın, dört kısmının gümüş olması gerektiğini belirtmektedir. O zaman alaşımdaki parçaların toplamı 1 + 4 = 5 olacak ve bir parçanın kütlesi 15: 5 = 3 kg olacaktır.

15 kg alaşımda ne kadar altın bulunacağını belirleyelim. Bunu yapmak için 3 kg'ı altının parça sayısıyla çarpın:

3 kg × 1 = 3 kg

15 kg alaşımda ne kadar gümüş bulunacağını belirleyelim:

3 kg × 4 = 12 kg

Bu, 15 kg ağırlığındaki bir alaşımın 3 kg altın ve 12 kg gümüş içereceği anlamına gelir. Şimdi orijinal alaşımlara dönelim. Her birini kullanmanız gerekiyor. ile belirtelim X birinci alaşımın kütlesi ve ikinci alaşımın kütlesi 15 − ile gösterilebilir X

Problemde verilen tüm oranları yüzde olarak ifade edip aşağıdaki tabloyu bunlarla dolduralım:

İlk alaşımda altın ve gümüş oranı 1:9 olduğundan toplam kısımlar 1 + 9 = 10 olacaktır. Bunlardan altın olacak ve gümüş .

Bu verileri bir tabloya aktaralım. Sütunun ilk satırına %10 gireceğiz "alaşımdaki altın yüzdesi", %90'ını da sütunun ilk satırına gireceğiz "alaşımdaki gümüş yüzdesi" ve son sütunda "alaşım kütlesi" bir değişken ekleyelim X, çünkü ilk alaşımın kütlesini bu şekilde belirledik:

İkinci alaşımla da benzer şekilde ilerliyoruz. İçindeki altın ve gümüş 2:3 oranındadır. O zaman toplam kısımlar 2 + 3 = 5 olacaktır. Bunlardan altın olacaktır. ve gümüş .

Bu verileri bir tabloya aktaralım. Sütunun ikinci satırına %40 gireceğiz "alaşımdaki altın yüzdesi", sütunun ikinci satırına da %60 girilecektir "alaşımdaki gümüş yüzdesi" ve son sütunda "alaşım kütlesi" 15 − ifadesini girelim X, çünkü ikinci alaşımın kütlesini bu şekilde belirledik:

Son satırı dolduralım. Ortaya çıkan 15 kg ağırlığındaki alaşım 3 kg altın içerecektir. alaşım ve gümüş olacak alaşım Son sütunda ortaya çıkan alaşımın 15 kütlesini yazıyoruz.

Artık denklemler oluşturmak için bu tabloyu kullanabilirsiniz. Hatırlayalım. Her iki alaşımın altını ayrı ayrı toplarsak ve bu toplamı, ortaya çıkan alaşımdaki altının kütlesine eşitlersek, değerin neye eşit olduğunu bulabiliriz. X.

İlk alaşım 0,10 altın içeriyordu X ve ikinci alaşımda 0,40(15 − X). Daha sonra ortaya çıkan alaşımdaki altının kütlesi, birinci ve ikinci alaşımlardan elde edilen altının kütlelerinin toplamı olacaktır ve bu kütle, yeni alaşımın %20'sidir. Ve yeni alaşımın %20'si daha önce hesapladığımız 3 kg altındır. Sonuç olarak denklemi elde ederiz 0,10X+ 0.40(15 − X) = 3 . Bu denklemi çözelim:

Başlangıçta aracılığıyla X ilk alaşımın kütlesini belirledik. Artık bu değişkenin değerini bulduk. Değişken X 10'a eşittir. İkinci alaşımın kütlesini de 15 − olarak gösterdik. X ve değişkenin değerinden bu yana X Artık biliniyor, o zaman ikinci alaşımın kütlesini hesaplayabiliriz, 15 − 10 = 5 kg'a eşittir.

Bu, altın ve gümüş oranının 1:4 olduğu 15 kg ağırlığında yeni bir alaşım elde etmek için birinci alaşımdan 10 kg, ikinci alaşımdan 5 kg almanız gerektiği anlamına gelir.

Denklem, sonuç tablosunun ikinci sütunu kullanılarak oluşturulabilir. O zaman denklemi elde ederiz 0,90X+ 0.60(15 − X) = 12. Bu denklemin kökü de 10

Sorun 10. Bakır içeriği %6 ve %11 olan iki katmandan oluşan cevher bulunmaktadır. Zengin cevherle karıştırıldığında %8 bakır içeriğine sahip 20 ton elde etmek için ne kadar düşük tenörlü cevher alınmalıdır?

Çözüm

ile belirtelim X düşük dereceli cevher kütlesi. 20 ton cevher elde edilmesi gerektiğinden 20 zengin cevher alınacaktır X. Düşük tenörlü cevherdeki bakır içeriği %6 olduğundan X ton cevher 0,06 içerecek X ton bakır. Zengin cevherde bakır içeriği %11, 20 - X ton zengin cevher 0,11(20 − X) ton bakır.

Ortaya çıkan 20 ton cevherin %8 bakır içermesi gerekir. Bu, 20 ton bakır cevherinin 20 × 0,08 = 1,6 ton içereceği anlamına gelir.

0,06 ifadelerini ekleyelim X ve 0,11(20 − X) ve bu miktarı 1,6'ya eşitleyin. Denklemi elde ederiz 0,06x+ 0,11(20 − X) = 1,6

Bu denklemi çözelim:

Bu, %8 bakır içeriğine sahip 20 ton cevher elde etmek için 12 ton düşük tenörlü cevher almanız gerektiği anlamına gelir. Zenginler 20 − 12 = 8 ton alacak.

Sorun 11. Artırarak ortalama sürat 250 m/dk'dan 300 m/dk'ya çıkan sporcu mesafeyi 1 dakika daha hızlı koşmaya başladı. Mesafe nedir?

Çözüm

Parkurun uzunluğu (veya parkurun mesafesi) aşağıdaki gerçek denklemle tanımlanabilir:

Kendi denklemimizi oluşturmak için bu denklemin sağ tarafını kullanalım. Başlangıçta sporcu bu mesafeyi dakikada 250 metre hızla koştu. Bu hızda mesafe uzunluğu 250 ifadesiyle açıklanacaktır. T

Daha sonra sporcu hızını dakikada 300 metreye çıkardı. Bu hızda mesafe uzunluğu şu ifadeyle açıklanacaktır: 300 ton

Mesafenin uzunluğunun sabit bir değer olduğunu unutmayın. Sporcu hızını artırsa da azaltsa da mesafenin uzunluğu değişmeyecektir.

Bu, 250 ifadesini eşitlememizi sağlar T 300 ifadesine T, çünkü her iki ifade de aynı mesafenin uzunluğunu tanımlıyor

250T = 300T

Ancak sorun, sporcunun dakikada 300 metre hızla mesafeyi 1 dakika daha hızlı koşmaya başlamasıdır. Yani dakikada 300 metre hızla hareket süresi bir kat azalacaktır. Bu nedenle, denklem 250'de T= 300T sağ tarafta süre bir azaltılmalıdır:

Dakikada 250 metre hızla sporcu bu mesafeyi 6 dakikada koşmaktadır. Hızı ve zamanı bilerek mesafenin uzunluğunu belirleyebilirsiniz:

S= 250 × 6 = 1500 m

Ve atlet dakikada 300 metrelik bir hızla bu mesafeyi koşar. T− 1, yani 5 dakikada. Daha önce de söylediğimiz gibi mesafenin uzunluğu değişmez:

S= 300 × 5 = 1500 m

Sorun 12. Bir sürücü 15 km öndeki yayaya yetişiyor. İlki her saat başı 10 km, ikincisi ise sadece 4 km yol alırsa sürücünün yayaya yetişmesi kaç saat sürer?

Çözüm

Bu görev . Kapanma hızının belirlenmesi ve sürücü ile yaya arasındaki başlangıçtaki mesafenin bu hıza bölünmesiyle çözülebilir.

Kapanma hızı, düşük hızın yüksek hızdan çıkarılmasıyla belirlenir:

10 km/saat – 4 km/saat = 6 km/saat (kapanma hızı)

15 kilometrelik mesafe her saat başı 6 kilometre azalacak. Ne zaman tamamen küçüleceğini öğrenmek için (sürücü yayayı yakaladığında), 15'i 6'ya bölmeniz gerekir.

15:6 = 2,5 saat

2,5 H bu tam iki saat yarım saat eder. Ve yarım saat 30 dakikadır. Bu, sürücünün yayaya 2 saat 30 dakika içinde yetişeceği anlamına geliyor.

Bu problemi denklemi kullanarak çözelim.

Daha sonra bir sürücü saatte 10 km hızla yolda onu takip etti. Ve yaya hızı sadece 4 km/saattir. Bu, sürücünün bir süre sonra yayaya yetişeceği anlamına gelir. Bu sefer bulmamız lazım.

Sürücü yayaya yetiştiğinde bu, aynı mesafeyi birlikte kat ettikleri anlamına gelecektir. Sürücü ve yaya tarafından kat edilen mesafe aşağıdaki denklemle tanımlanır:

Kendi denklemimizi oluşturmak için bu denklemin sağ tarafını kullanalım.

Sürücünün kat ettiği mesafe 10 ifadesiyle tanımlanacaktır. T. Yaya, sürücüden önce yola çıkıp 15 km yol kat etmeyi başardığı için kat ettiği mesafe 4 ifadesiyle anlatılacaktır. T + 15 .

Sürücü yayaya yetiştiği anda ikisi de aynı mesafeyi kat etmiş olacaktır. Bu, sürücünün ve yaya tarafından kat edilen mesafeleri eşitlememizi sağlar:

Sonuç basit bir denklemdir. Hadi çözelim:

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Sorun 1. Bir yolcu treni bir şehirden diğerine yük treninden 45 dakika daha hızlı ulaşıyor. Bir yolcu treninin hızı 48 km/saat ve bir yük treninin hızı 36 km/saat olduğuna göre şehirler arası mesafeyi hesaplayınız.

Çözüm

Bu problemde tren hızları saatte kilometre cinsinden ölçülüyor. Bu nedenle problemde belirtilen 45 dakikayı saate çevireceğiz. 45 dakika 0,75 saattir

Bir yük treninin şehre varma süresini değişkenle ifade edelim. T. Bir yolcu treni bu şehre 0,75 saat daha hızlı geldiği için seyahat süresi şu ifadeyle belirtilecektir: t - 0,75

Yolcu treni 48( t - 0,75) km ve emtia 36 T km. Çünkü Hakkında konuşuyoruz yaklaşık aynı mesafede, ilk ifadeyi ikinciye eşitliyoruz. Sonuç olarak denklemi elde ederiz 48(t - 0.75) = 36T . Hadi çözelim:

Şimdi şehirler arası mesafeyi hesaplayalım. Bunu yapmak için yük treninin hızını (36 km/saat) seyahat ettiği süre ile çarpın. T. Değişken değer Tşimdi biliniyor - üç saate eşit

36 × 3 = 108 kilometre

Mesafeyi hesaplamak için yolcu treninin hızını da kullanabilirsiniz. Ancak bu durumda değişkenin değeri

Değişken değer T 1.2'ye eşittir. Bu, arabaların 1,2 saat sonra buluştuğu anlamına geliyor.

Cevap: arabalar 1,2 saat sonra buluştu.

Sorun 3. Fabrikanın üç atölyesinde sadece 685 işçi var. İkinci atölyede birinciye göre üç kat daha fazla işçi var ve üçüncüde ikinci atölyeye göre 15 daha az işçi var. Her atölyede kaç işçi var?

Çözüm

İzin vermek Xİlk atölyede işçiler vardı. İkinci atölyede birinciden üç kat daha fazla işçi vardı, dolayısıyla ikinci atölyedeki işçi sayısı 3 ifadesi ile gösterilebilir. X. Üçüncü atölyede ikinciye göre 15 daha az işçi vardı. Bu nedenle üçüncü atölyedeki işçi sayısı 3 ifadesi ile gösterilebilir. x− 15 .

Sorun toplamda 685 işçinin olduğunu söylüyor, dolayısıyla şu ifadeleri ekleyebiliriz: X, 3X, 3x− 15 ve bu miktarı 685 sayısına eşitliyoruz. Sonuç olarak denklemi elde ediyoruz x+ 3x + ( 3x− 15) = 685

Bir değişken aracılığıyla Xİlk atölyedeki işçi sayısı belirtildi. Şimdi bu değişkenin değerini bulduk, 100'e eşit. Bu, ilk atölyede 100 işçinin olduğu anlamına geliyor.

İkinci çalıştayda 3 kişi vardı. X işçiler, yani 3 × 100 = 300. Üçüncü atölyede ise 3 kişi vardı. x− 15 yani 3 × 100 – 15 = 285

Cevap:İlk atölyede 100, ikinci atölyede 300, üçüncü atölyede ise 285 işçi vardı.

Görev 4. İki tamir atölyesinin bir hafta içinde 18 motoru plana göre onarması gerekiyor. İlk atölye planı %120, ikinci atölye ise %125 oranında yerine getirerek bir hafta içinde 22 motoru onardılar. Her atölyenin bu hafta için nasıl bir motor onarım planı vardı?

Çözüm

İzin vermek Xİlk atölyenin motorları onarması gerekiyordu. Daha sonra ikinci atölyenin onarılması gerekti 18 − X motorlar.

İlk atölye planını %120 oranında yerine getirdiği için bu, 1.2 onarım yaptığı anlamına geliyor. X motorlar. İkinci atölye ise planını %125 oranında gerçekleştirdi, yani 1.25(18 − X) motorlar.

Sorun 22 motorun onarıldığını söylüyor. Bu nedenle ifadeleri ekleyebiliriz 1,2X ve 1,25(18 - x) , sonra bu toplamı 22 sayısına eşitleyin. Sonuç olarak denklemi elde ederiz 1,2x+ 1,25(18- x) = 22

Bir değişken aracılığıyla X ilk atölyede onarılacak motor sayısı belirtildi. Şimdi bu değişkenin değerini bulduk, 10'a eşit. Bu, ilk atölyenin 10 motoru tamir etmesi gerektiği anlamına geliyor.

Ve 18 − ifadesi aracılığıyla X ikinci atölyede onarılacak motor sayısı belirtildi. Bu, ikinci atölyenin 18 − 10 = 8 motoru onarması gerektiği anlamına geliyor.

Cevap:İlk atölyenin 10 motoru, ikinci atölyenin ise 8 motoru onarması gerekiyordu.

Sorun 5. Ürünün fiyatı %30 arttı ve şu anda 91 ruble. Fiyat artışından önce ürünün maliyeti ne kadardı?

Çözüm

İzin vermek X fiyat artışından önce ürünün maliyeti ruble. Fiyat %30 arttıysa bu 0,30 arttı demektir X ruble Fiyat artışının ardından ürün 91 rubleye mal olmaya başladı. x'i 0,30'a ekle X ve bu toplamı 91'e eşitliyoruz. Sonuç olarak denklemi elde ediyoruz Sayıyı %10 oranında azaltmak 45 ile sonuçlandı. orijinal anlam sayılar. x−

Cevap:%12'lik bir tuz çözeltisi elde etmek için 1 kg %10'luk çözeltiye 0,25 kg %20'lik çözelti eklemeniz gerekir.

Problem 12. Konsantrasyonları %20 ve %30 olan iki tuz çözeltisi verilmiştir. 25 kg %25,2'lik bir çözelti elde etmek için bir kapta her çözeltiden kaç kilogram karıştırılmalıdır?

Çözüm

İzin vermek Xİlk çözeltinin kg'ı alınmalıdır. 25 kg'lık çözelti hazırlamak gerektiğinden ikinci çözeltinin kütlesi 25 - x ifadesi ile gösterilebilir.

İlk çözelti 0,20x kg tuz, ikincisi ise 0,30(25 − x) kg tuz içerecektir. Ortaya çıkan çözeltinin tuz içeriği 25 × 0,252 = 6,3 kg olacaktır. 0,20x ve 0,30(25 − x) ifadelerini toplayalım ve bu toplamı 6,3'e eşitleyelim. Sonuç olarak denklemi elde ederiz