Logaritma değeri. Logaritmik İfadeler

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi veya onunla bağlantı.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızca toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, yasal işlemlerde ve/veya kamuya açık talepler veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bu makalenin odak noktası logaritma. Burada logaritmanın tanımını vereceğiz, kabul edilen gösterimi göstereceğiz, logaritma örnekleri vereceğiz, doğal ve ondalık logaritmalardan bahsedeceğiz. Bundan sonra ana konuya bakalım logaritmik özdeşlik.

Sayfada gezinme.

logaritmanın tanımı

Logaritma kavramı, bir problemi belirli bir ters anlamda çözerken, bir üs bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar. bilinen değer derece ve bilinen esas.

Ancak bu kadar önsöz yeter, artık "logaritma nedir" sorusunu yanıtlamanın zamanı geldi? İlgili tanımı verelim.

Tanım.

b'nin a tabanına göre logaritması burada a>0, a≠1 ve b>0, sonuç olarak b'yi elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üstür.

Bu aşamada, söylenen "logaritma" kelimesinin hemen iki takip sorusunu gündeme getirmesi gerektiğine dikkat çekiyoruz: "hangi sayı" ve "hangi temelde?" Başka bir deyişle, logaritma yoktur, yalnızca bir sayının bir tabana göre logaritması vardır.

Hemen giriş yapalım logaritma gösterimi: Bir b sayısının a tabanına göre logaritması genellikle log a b olarak gösterilir. B sayısının e tabanına göre logaritmasının ve 10 tabanına göre logaritmasının sırasıyla kendi özel isimleri lnb ve logb vardır, yani log e b değil lnb yazarlar ve log 10 b değil lgb yazarlar.

Şimdi şunu verebiliriz: .
Ve kayıtlar mantıklı değil, çünkü ilkinde logaritma işareti altında negatif bir sayı ikincisinde tabanında negatif bir sayı, üçüncüsünde logaritma işaretinin altında negatif bir sayı ve tabanında bir birim vardır.

Şimdi konuşalım logaritma okuma kuralları. Log a b, "b'nin a tabanına göre logaritması" olarak okunur. Örneğin, log 2 3, üçün 2 tabanına göre logaritmasıdır ve iki virgül üçte ikinin 2 tabanına göre logaritmasıdır. Kare kök beş üzerinden. e tabanına göre logaritmaya denir doğal logaritma ve lnb gösterimi "b'nin doğal logaritması" olarak okunur. Örneğin ln7, yedinin doğal logaritması ve bunu pi'nin doğal logaritması olarak okuyacağız. 10 tabanındaki logaritmanın özel bir adı da vardır: ondalık logaritma ve lgb "b'nin ondalık logaritması" olarak okunur. Örneğin, lg1 birin ondalık logaritmasıdır ve lg2,75 iki virgül yedi beş yüzde birinin ondalık logaritmasıdır.

Logaritmanın tanımının verildiği a>0, a≠1 ve b>0 koşulları üzerinde ayrıca durmakta yarar var. Bu kısıtlamaların nereden geldiğini açıklayalım. Yukarıda verilen logaritmanın tanımından doğrudan çıkan, denilen formun eşitliği bunu yapmamıza yardımcı olacaktır.

a≠1 ile başlayalım. Bir üzeri herhangi bir kuvvet bire eşit olduğundan eşitlik yalnızca b=1 olduğunda doğru olabilir, ancak log 1 1 herhangi bir kuvvet olabilir gerçek Numara. Bu belirsizliği önlemek için a≠1 varsayılmaktadır.

a>0 koşulunun uygunluğunu gerekçelendirelim. Logaritmanın tanımı gereği a=0 olduğunda eşitliği elde ederiz ve bu da ancak b=0 ile mümkündür. Ancak log 0 0, sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı olabilir, çünkü sıfırın sıfırdan farklı herhangi bir kuvveti sıfırdır. a≠0 koşulu bu belirsizlikten kaçınmamızı sağlar. Ve ne zaman bir<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Son olarak, b>0 koşulu a>0 eşitsizliğinden kaynaklanır, çünkü a pozitif tabanlı bir kuvvetin değeri her zaman pozitiftir.

Bu noktayı sonuçlandırmak için diyelim ki, logaritmanın belirtilen tanımı, logaritma işaretinin altındaki sayının tabanın belirli bir kuvveti olduğunda logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanıyor. Aslında bir logaritmanın tanımı, eğer b=a p ise, b sayısının a tabanına göre logaritmasının p'ye eşit olduğunu belirtmemize olanak tanır. Yani loga a p =p eşitliği doğrudur. Örneğin, 2 3 =8 olduğunu, ardından log 2 8=3 olduğunu biliyoruz. Makalede bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

İle başlayalım bir logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: Birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0'ı günlüğe kaydet herhangi bir a>0 için a≠1. Kanıt zor değildir: Yukarıdaki a>0 ve a≠1 koşullarını karşılayan herhangi bir a için a 0 = 1 olduğundan, kanıtlanacak log a 1=0 eşitliği logaritmanın tanımından hemen çıkar.

Dikkate alınan özelliğin uygulamasına örnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .

Bir sonraki özelliğe geçelim: tabanına eşit bir sayının logaritması bire eşittir, yani, log a=1 a>0 için a≠1. Aslında, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan logaritmanın tanımı gereği log a a=1 olur.

Logaritmaların bu özelliğini kullanma örnekleri log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 eşitlikleridir.

Örneğin, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve .

İki çarpımının logaritması pozitif sayılar x ve y bu sayıların logaritmasının çarpımına eşittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bir çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre a log a x =x ve a log a y =y olduğundan, a log a x ·a log a y =x·y. Böylece, logaritmanın tanımına göre eşitliğin kanıtlandığı log a x+log a y =x·y olur.

Bir çarpımın logaritması özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve .

Bir çarpımın logaritmasının özelliği, x 1 , x 2 , …, x n pozitif sayılarından oluşan sonlu bir n sayısının çarpımına şu şekilde genelleştirilebilir: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu eşitlik sorunsuz bir şekilde kanıtlanabilir.

Örneğin bir çarpımın doğal logaritması üç sayının toplamı ile değiştirilebilir. doğal logaritmalar sayılar 4 , e ve .

İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir. Bir bölümün logaritmasının özelliği, a>0, a≠1, x ve y'nin bazı pozitif sayılar olduğu formdaki bir formüle karşılık gelir. Bu formülün geçerliliği, bir çarpımın logaritması formülünün yanı sıra kanıtlanmıştır: çünkü , daha sonra bir logaritmanın tanımı gereği.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: .

Konusuna geçelim kuvvetin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün çarpımına ve bu derecenin tabanının modülünün logaritmasına eşittir. Bir kuvvetin logaritmasının bu özelliğini formül olarak yazalım: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.

Öncelikle bu özelliği pozitif b için kanıtlayalım. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b, ardından b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize olanak tanır ve ortaya çıkan ifade, kuvvet özelliği nedeniyle a p·log a b'ye eşittir. Böylece b p =a p·log a b eşitliğine ulaşıyoruz ve bundan logaritmanın tanımına göre log a b p =p·log a b sonucunu çıkarıyoruz.

Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalıyor. Burada negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift p üsleri için anlamlı olduğunu görüyoruz (çünkü b p derecesinin değeri sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde logaritmanın bir anlamı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P. Daha sonra b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, buradan log a b p =p·log a |b| .

Örneğin, ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Önceki mülkten kaynaklanmaktadır kökten logaritmanın özelliği: n'inci kökün logaritması, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritması ile çarpımına eşittir, yani, , burada a>0, a≠1, n – doğal sayı, birden büyük, b>0.

Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (bkz.) ve kuvvetin logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: .

Bu özelliği kullanmanın bir örneğini burada bulabilirsiniz: .

Şimdi kanıtlayalım yeni bir logaritma tabanına geçme formülü tür . Bunu yapmak için log c b=log a blog·log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b sayısını a log a b olarak temsil etmemize ve ardından log c b=log ca log a b olarak göstermemize olanak tanır. Derecenin logaritmasının özelliğini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b =log a b log c a. Bu, log c b=log a b·log c a eşitliğini kanıtlar; bu, logaritmanın yeni tabanına geçiş formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmaya ilişkin birkaç örnek gösterelim: ve .

Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenize olanak tanır. Örneğin, onun yardımıyla doğal veya ondalık logaritmalar böylece logaritma değerini logaritma tablosundan hesaplayabilirsiniz. Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlarla değerleri bilindiğinde belirli bir logaritmanın değerini bulmayı da sağlar.

Formun c=b'si için yeni bir logaritma tabanına geçiş için formülün özel bir durumu sıklıkla kullanılır. . Bu, log a b ve log b a – olduğunu gösterir. Örneğin, .

Formül de sıklıkla kullanılır Logaritma değerlerini bulmak için uygundur. Sözlerimizi doğrulamak için formun logaritmasının değerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Sahibiz . Formülü kanıtlamak için logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullanmak yeterlidir: .

Logaritmaların karşılaştırılması özelliklerini kanıtlamak için kalır.

Herhangi bir pozitif sayı için b 1 ve b 2, b 1 olduğunu kanıtlayalım. log a b 2 ve a>1 için – eşitsizlik log a b 1

Son olarak, logaritmanın listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Kendimizi birinci kısmının ispatıyla sınırlayalım, yani a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 ise ispatlayacağız. 1 doğrudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritmanın bu özelliğinin geri kalan ifadeleri benzer bir prensibe göre kanıtlanmıştır.

Tam tersi yöntemi kullanalım. 1 >1, 2 >1 ve 1 için olduğunu varsayalım. 1 doğrudur log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmanın özelliklerine dayanarak bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olur. O halde aynı tabanlara sahip kuvvetlerin özelliklerine göre b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri geçerli olmalıdır, yani a 1 ≥a 2. Böylece a 1 koşuluyla çelişkiye geldik

Kaynakça.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Bir sayının logaritması N dayalı A üs denir X oluşturmanız gereken A numarayı almak için N

Şartıyla
,
,

Logaritmanın tanımından şu sonuç çıkıyor
yani
- bu eşitlik temel logaritmik özdeşliktir.

10 tabanına göre logaritmalara ondalık logaritma denir. Yerine
yazmak
.

Tabana göre logaritmalar e doğal olarak adlandırılır ve belirlenir
.

Logaritmanın temel özellikleri.

Birin logaritması herhangi bir taban için sıfıra eşittir.

Ürünün logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.

3) Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir

Faktör
logaritmalardan tabana geçiş modülü denir A tabandaki logaritmalara B .

2-5 arasındaki özellikleri kullanarak, karmaşık bir ifadenin logaritmasını logaritmalar üzerinde yapılan basit aritmetik işlemlerin sonucuna indirgemek genellikle mümkündür.

Örneğin,

Bir logaritmanın bu tür dönüşümlerine logaritma denir. Logaritmanın tersi olan dönüşümlere potansiyasyon denir.

Bölüm 2. Yüksek matematiğin unsurları.

1. Sınırlar

Fonksiyonun sınırı
sonlu bir sayıdır A eğer xx 0 önceden belirlenmiş her biri için
öyle bir sayı var ki
en kısa sürede
, O
.

Limiti olan bir fonksiyon ondan sonsuz küçük bir miktarda farklılık gösterir:
, nerede- b.m.v., yani.
.

Örnek. İşlevi düşünün
.

Çabalarken
, işlev sen sıfıra doğru eğilim gösterir:

1.1. Limitlerle ilgili temel teoremler.

Sabit bir değerin limiti bu sabit değere eşittir

.

Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının (farkının) limiti, bu fonksiyonların limitlerinin toplamına (farkına) eşittir.

Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir.

Paydanın limiti sıfır değilse, iki fonksiyonun bölümünün limiti, bu fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir.

Harika Sınırlar

,
, Nerede

1.2. Limit Hesaplama Örnekleri

Ancak tüm limitler bu kadar kolay hesaplanmıyor. Çoğu zaman, limitin hesaplanması şu türden bir belirsizliğin ortaya çıkarılmasına indirgenir: veya .

.

2. Bir fonksiyonun türevi

Bir fonksiyonumuz olsun
, segmentte sürekli
.

Argüman biraz artış var
. Daha sonra fonksiyon bir artış alacaktır
.

Bağımsız değişken değeri fonksiyon değerine karşılık gelir
.

Bağımsız değişken değeri
fonksiyon değerine karşılık gelir.

Buradan, .

Bu oranın limitini bulalım.
. Eğer bu limit mevcutsa buna verilen fonksiyonun türevi denir.

Tanım 3 Verilen bir fonksiyonun türevi
argümanla argümanın artışı keyfi olarak sıfıra yaklaştığında, bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir.

Bir fonksiyonun türevi
aşağıdaki gibi belirlenebilir:

; ; ; .

Tanım 4Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine denir farklılaşma.

2.1. Türevin mekanik anlamı.

Katı bir cismin ya da maddesel bir noktanın doğrusal hareketini düşünelim.

Zamanın bir noktasında izin ver hareket noktası
uzaktaydı başlangıç ​​pozisyonundan
.

Bir süre sonra
mesafe kat etti
. Davranış =- maddi bir noktanın ortalama hızı
. Bunu dikkate alarak bu oranın limitini bulalım.
.

Sonuç olarak, maddi bir noktanın anlık hareket hızının belirlenmesi, yolun zamana göre türevinin bulunmasına indirgenir.

2.2. Türevin geometrik değeri

Grafiksel olarak tanımlanmış bir fonksiyonumuz olsun
.

Pirinç. 1. Türevin geometrik anlamı

Eğer
, sonra işaret et
, noktaya yaklaşarak eğri boyunca hareket edecek
.

Buradan
yani argümanın belirli bir değeri için türevin değeri Belirli bir noktada tanjantın eksenin pozitif yönü ile oluşturduğu açının tanjantına sayısal olarak eşittir
.

2.3. Temel farklılaşma formülleri tablosu.

Güç fonksiyonu

Üstel fonksiyon

Logaritmik fonksiyon

Trigonometrik fonksiyon

Ters trigonometrik fonksiyon

2.4. Farklılaşma kuralları.

Türevi

Fonksiyonların toplamının (farkının) türevi

İki fonksiyonun çarpımının türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevi

2.5. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Fonksiyon verilsin
şeklinde temsil edilebilecek şekilde

Ve
değişken burada o zaman bir ara argümandır

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, verilen fonksiyonun ara argümana göre türevi ile ara argümanın x'e göre türevinin çarpımına eşittir.

Örnek 1.

Örnek 2.

3. Diferansiyel fonksiyon.

Olsun
, belirli bir aralıkta türevlenebilir
bırak gitsin en bu fonksiyonun bir türevi var

,

o zaman yazabiliriz

(1),

Nerede - sonsuz küçük bir miktar,

ne zamandan beri

Tüm eşitlik koşullarını (1) ile çarpmak
sahibiz:

Nerede
- b.m.v. yüksek mertebeden.

Büyüklük
fonksiyonun diferansiyeli denir
ve belirlenmiş

.

3.1. Diferansiyelin geometrik değeri.

Fonksiyon verilsin
.

İncir. 2. Diferansiyelin geometrik anlamı.

.

Açıkçası, fonksiyonun diferansiyeli
belirli bir noktadaki teğetin koordinatındaki artışa eşittir.

3.2. Çeşitli mertebelerden türevler ve diferansiyeller.

eğer oradaysa
, Daha sonra
birinci türev denir.

Birinci türevin türevine ikinci dereceden türev denir ve şöyle yazılır:
.

Fonksiyonun n'inci dereceden türevi
(n-1)'inci dereceden türev olarak adlandırılır ve şöyle yazılır:

.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline ikinci diferansiyel veya ikinci derece diferansiyel denir.

.

.

3.3 Biyolojik problemlerin farklılaşmayı kullanarak çözülmesi.

Görev 1. Çalışmalar, bir mikroorganizma kolonisinin büyümesinin yasalara uygun olduğunu göstermiştir.
, Nerede N – mikroorganizmaların sayısı (bin olarak), T – zaman (günler).

b) Bu dönemde koloninin nüfusu artacak mı yoksa azalacak mı?

Cevap. Koloninin boyutu artacaktır.

Görev 2. Göldeki su, patojen bakterilerin içeriğini izlemek için periyodik olarak test edilir. Başından sonuna kadar T testten sonraki günler, bakteri konsantrasyonu orana göre belirlenir

.

Gölde ne zaman minimum bakteri konsantrasyonu olacak ve içinde yüzmek mümkün olacak mı?

Çözüm: Bir fonksiyon, türevi sıfır olduğunda maksimum veya minimuma ulaşır.

,

Maksimum veya minimumun 6 gün sonra olacağını belirleyelim. Bunu yapmak için ikinci türevi alalım.

Cevap: 6 gün sonra minimum bakteri konsantrasyonu olacaktır.

Bir b sayısının a tabanına göre logaritması, b sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken üstür.

Eğer öyleyse.

Logaritma - aşırı önemli matematiksel miktarçünkü logaritmik hesaplama sadece üstel denklemlerin çözülmesine değil, aynı zamanda üstellerle çalışmaya, üstel ve logaritmik fonksiyonların farklılaştırılmasına, entegre edilmesine ve hesaplanacak daha kabul edilebilir bir forma yönlendirilmesine de olanak tanır.

Temas halinde

Logaritmanın tüm özellikleri üstel fonksiyonların özellikleriyle doğrudan ilişkilidir. Örneğin, gerçek şu ki anlamına gelir:

Belirli problemleri çözerken logaritmanın özelliklerinin, kuvvetlerle çalışma kurallarından daha önemli ve faydalı olabileceği unutulmamalıdır.

Bazı kimlikleri sunalım:

Temel cebirsel ifadeler şunlardır:

;

.

Dikkat! yalnızca x>0, x≠1, y>0 için var olabilir.

Doğal logaritmanın ne olduğu sorusunu anlamaya çalışalım. Matematiğe özel ilgi iki türü temsil eder- birincisinin tabanı “10” rakamıdır ve “ondalık logaritma” olarak adlandırılır. İkincisine doğal denir. Doğal logaritmanın tabanı “e” sayısıdır. Bu yazımızda detaylı olarak konuşacağımız şey budur.

Tanımlar:

• lg x - ondalık;
• ln x - doğal.

Özdeşliği kullanarak ln e = 1 olduğunu ve lg 10=1 gerçeğini görebiliriz.

Doğal logaritma grafiği

Standart klasik yöntemi nokta nokta kullanarak doğal logaritmanın bir grafiğini oluşturalım. Dilerseniz fonksiyonu inceleyerek fonksiyonu doğru kurup kurmadığımızı kontrol edebilirsiniz. Ancak logaritmanın nasıl doğru şekilde hesaplanacağını bilmek için onu "manuel" olarak nasıl oluşturacağınızı öğrenmek mantıklıdır.

Fonksiyon: y = ln x. Grafiğin geçeceği noktaların bir tablosunu yazalım:

Neden x argümanının bu özel değerlerini seçtiğimizi açıklayalım. Her şey kimlikle ilgili: . Doğal logaritma için bu özdeşlik şöyle görünecektir:

Kolaylık sağlamak için beş referans noktası alabiliriz:

;

;

.

;

.

Dolayısıyla doğal logaritmaların hesaplanması oldukça basit bir iştir; üstelik kuvvetlerle yapılan işlemlerin hesaplanmasını basitleştirir, bunları sıradan çarpma.

Bir grafiği noktadan noktaya çizerek yaklaşık bir grafik elde ederiz:

Doğal logaritmanın tanım alanı (yani X argümanının tüm geçerli değerleri), sıfırdan büyük tüm sayılardır.

Dikkat! Doğal logaritmanın tanım alanı yalnızca pozitif sayıları içerir! Tanımın kapsamına x=0 dahil değildir. Logaritmanın varlığına ilişkin koşullar göz önüne alındığında bu imkansızdır.

Değer aralığı (yani y = ln x fonksiyonunun tüm geçerli değerleri), aralıktaki tüm sayılardır.

Doğal log sınırı

Grafiği incelerken şu soru ortaya çıkıyor: fonksiyon y noktasında nasıl davranıyor?<0.

Açıkçası, fonksiyonun grafiği y eksenini geçme eğilimindedir, ancak x'in doğal logaritması nedeniyle bunu yapamayacaktır.<0 не существует.

Doğallığın sınırı kayıtşu şekilde yazılabilir:

Logaritmanın tabanını değiştirme formülü

Doğal bir logaritmayla uğraşmak, keyfi bir tabanı olan bir logaritmayla uğraşmaktan çok daha kolaydır. Bu nedenle herhangi bir logaritmayı doğal logaritmaya nasıl indirgeyebileceğimizi veya doğal logaritmalar aracılığıyla keyfi bir tabana nasıl ifade edebileceğimizi öğrenmeye çalışacağız.

Logaritmik özdeşlikle başlayalım:

O zaman herhangi bir sayı veya değişken y şu şekilde temsil edilebilir:

burada x herhangi bir sayıdır (logaritmanın özelliklerine göre pozitif).

Bu ifade her iki tarafta logaritmik olarak alınabilir. Bunu isteğe bağlı bir z tabanı kullanarak yapalım:

Özelliği kullanalım (sadece “c” yerine şu ifadeyi kullanalım):

Buradan evrensel formülü elde ederiz:

.

Özellikle z=e ise:

.

İki doğal logaritmanın oranı aracılığıyla bir logaritmayı keyfi bir tabana göre temsil edebildik.

Sorunları çözüyoruz

Doğal logaritmaları daha iyi anlamak için çeşitli problem örneklerine bakalım.

Sorun 1. ln x = 3 denklemini çözmek gerekir.

Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: eğer öyleyse, şunu elde ederiz:

Sorun 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 denklemini çözün.

Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if ,then ise şunu elde ederiz:

.

Logaritmanın tanımını tekrar kullanalım:

.

Böylece:

.

Cevabı yaklaşık olarak hesaplayabilir veya bu formda bırakabilirsiniz.

Görev 3. Denklemi çözün.

Çözüm: Bir değişiklik yapalım: t = ln x. O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır:

.

İkinci dereceden bir denklemimiz var. Diskriminantını bulalım:

Denklemin ilk kökü:

.

Denklemin ikinci kökü:

.

t = ln x yerine koyma işlemi yaptığımızı hatırlayarak şunu elde ederiz:

İstatistik ve olasılık teorisinde logaritmik büyüklüklere çok sık rastlanır. Bu şaşırtıcı değil, çünkü e sayısı genellikle üstel niceliklerin büyüme oranını yansıtır.

Bilgisayar bilimi, programlama ve bilgisayar teorisinde, örneğin hafızada N bit depolamak için logaritmalarla oldukça sık karşılaşılır.

Fraktallar ve boyut teorilerinde logaritmalar sürekli olarak kullanılmaktadır, çünkü fraktalların boyutları yalnızca onların yardımıyla belirlenmektedir.

Mekanik ve fizikte Logaritmanın kullanılmadığı bölüm bulunmamaktadır. Barometrik dağılım, istatistiksel termodinamiğin tüm ilkeleri, Tsiolkovsky denklemi vb. yalnızca logaritma kullanılarak matematiksel olarak tanımlanabilecek süreçlerdir.

Kimyada Nernst denklemlerinde ve redoks işlemlerinin açıklamalarında logaritmalar kullanılır.

Şaşırtıcı bir şekilde, müzikte bile bir oktavın parça sayısını bulmak için logaritmalar kullanılıyor.

Doğal logaritma Fonksiyon y=ln x özellikleri

Doğal logaritmanın ana özelliğinin kanıtı