İkinci dereceden denklemler. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Önemli! Çift çokluğun köklerinde fonksiyon işaret değiştirmez.

Not! Bir okul cebir dersindeki herhangi bir doğrusal olmayan eşitsizlik, aralık yöntemi kullanılarak çözülmelidir.

Size detaylı bir teklif sunuyorum aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmek için algoritma, bunu takip ederek hatalardan kaçınabilirsiniz doğrusal olmayan eşitsizlikleri çözme.

Negatif diskriminantlı ikinci dereceden denklemleri çözme

Bildiğimiz gibi,

Ben 2 = - 1.

Aynı zamanda

(- Ben ) 2 = (- 1 Ben ) 2 = (- 1) 2 Ben 2 = -1.

Dolayısıyla -1'in karekökünün en az iki değeri vardır, yani Ben Ve - Ben . Ama belki daha fazlası da vardır Karışık sayılar kimin kareleri -1'e eşit?

Bu soruyu açıklığa kavuşturmak için, bir karmaşık sayının karesinin a + bi - 1'e eşittir. O zaman

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - B 2 = - 1

İki karmaşık sayı ancak ve ancak gerçek kısımları ve sanal kısımlarının katsayıları eşitse eşittir. Bu yüzden

{	ve 2 - B 2 = - 1 ab = 0 (1)

(1) numaralı sistemin ikinci denklemine göre sayılardan en az biri A Ve B sıfır olmalıdır. Eğer B = 0, o zaman elde ettiğimiz ilk denklemden A 2 = - 1. Sayı A gerçek ve bu nedenle A 2 > 0. Negatif olmayan sayı A 2, negatif bir sayı olan 1'e eşit olamaz. Bu nedenle eşitlik B = 0V bu durumda imkansız. Bunu itiraf etmek kalıyor A = 0, ancak sistemin ilk denkleminden şunu elde ederiz: - B 2 = - 1, B = ± 1.

Bu nedenle kareleri -1 olan tek karmaşık sayılar Ben Ve - Ben , Geleneksel olarak bu şu şekilde yazılır:

√-1 = ± Ben .

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak öğrenciler, kareleri negatif bir sayıya eşit olan tam olarak iki sayı olduğuna ikna edilebilirler. A . Bu sayılar √ yapay zeka ve -√ yapay zeka . Geleneksel olarak şu şekilde yazılır:

√- A = ± √ yapay zeka .

√'nin altında A burada aritmetik yani pozitif kökü kastediyoruz. Örneğin √4 = 2, √9 =.3; Bu yüzden

√-4 = + 2Ben , √-9= ± 3 Ben

Daha önce negatif diskriminantlı ikinci dereceden denklemleri ele alırken bu tür denklemlerin kökleri olmadığını söylüyorduk, şimdi bunu söyleyemeyiz. İkinci dereceden denklemler Negatif diskriminantların karmaşık kökleri vardır. Bu kökler bildiğimiz formüllere göre elde edilir. Örneğin denklem verilsin X 2 + 2X + 5 = 0; Daha sonra

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 Ben .

Bu yüzden, verilen denklem iki kökü vardır: X 1 = - 1 +2Ben , X 2 = - 1 - 2Ben . Bu kökler karşılıklı olarak eşleniktir. Toplamlarının -2 ve çarpımlarının 5 olması ilginçtir, dolayısıyla Vieta teoremi geçerlidir.

Karmaşık sayı kavramı

Karmaşık sayı, a + ib biçiminde bir ifadedir; burada a ve b herhangi bir gerçek sayıdır, i ise sanal birim adı verilen özel bir sayıdır. Bu tür ifadeler için eşitlik kavramları ile toplama ve çarpma işlemleri şu şekilde tanıtılmaktadır:

1. a + ib ve c + id adlı iki karmaşık sayının ancak ve ancak şu şartla eşit olduğu söylenir:
   a = b ve c = d.
2. a + ib ve c + id olmak üzere iki karmaşık sayının toplamı bir karmaşık sayıdır
   a + c + i (b + d).
3. İki karmaşık sayının a + ib ve c + id çarpımı bir karmaşık sayıdır
   ac – bd + i (rek + bc).

Karmaşık sayılar genellikle tek bir harfle gösterilir; örneğin z = a + ib. Gerçek sayı a'ya karmaşık sayı z'nin gerçel kısmı denir, gerçel kısım a = Re z ile gösterilir. Gerçek sayı b'ye karmaşık sayı z'nin imajiner kısmı denir, imajiner kısım ise b = Im z ile gösterilir. Bu isimler, karmaşık sayıların aşağıdaki özel özelliklerinden dolayı seçilmiştir.

Z = a + i · 0 formundaki karmaşık sayılar üzerindeki aritmetik işlemlerin, gerçek sayılarla tamamen aynı şekilde gerçekleştirildiğine dikkat edin. Gerçekten mi,

Sonuç olarak, a + i · 0 formundaki karmaşık sayılar doğal olarak gerçek sayılarla tanımlanır. Bu nedenle, bu türden karmaşık sayılara basitçe gerçek sayı denir. Yani çok gerçek sayılar karmaşık sayılar kümesinde bulunur. Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. Bunu tespit ettik, yani

Gerçek sayıların aksine, 0 + ib formundaki sayılara tamamen sanal denir. Çoğunlukla basitçe bi yazarlar, örneğin 0 + i 3 = 3 i. Tamamen sanal olan i1 = 1 i = i sayısının şaşırtıcı bir özelliği vardır:
Böylece,

№ 4 .1. Matematikte bir sayı işlevi, alanları ve değerleri sayı kümelerinin alt kümeleri olan, genellikle gerçek sayılar kümesi veya karmaşık sayılar kümesi olan bir işlevdir.

Bir fonksiyonun grafiği

Bir fonksiyon grafiğinin parçası

Bir işlevi belirtme yöntemleri

[düzenlemek] Analitik metod

Tipik olarak bir işlev, değişkenleri, işlemleri ve işlemleri içeren bir formül kullanılarak belirtilir. temel işlevler. Belki parça parça bir görev, yani farklı Farklı anlamlar argüman.

[düzenlemek] Tablo yöntemi

Bir işlev, tüm olası bağımsız değişkenleri ve bunların değerlerini listeleyerek belirtilebilir. Bundan sonra, gerekirse, tabloda bulunmayan argümanlar için fonksiyon enterpolasyon veya ekstrapolasyon yoluyla daha ayrıntılı olarak tanımlanabilir. Örnekler arasında bir program rehberi, bir tren tarifesi veya Boole fonksiyonu değerleri tablosu yer alır:

[düzenlemek] Grafik yöntemi

Bir osilogram, belirli bir fonksiyonun değerini grafiksel olarak ayarlar.

Bir fonksiyon, grafiğindeki bir dizi noktayı bir düzlem üzerinde görüntüleyerek grafiksel olarak belirtilebilir. Bu, fonksiyonun nasıl görünmesi gerektiğine dair kaba bir taslak veya osiloskop gibi bir cihazdan alınan okumalar olabilir. Bu spesifikasyon yönteminde kesinlik eksikliği olabilir ancak bazı durumlarda diğer spesifikasyon yöntemleri hiçbir şekilde uygulanamaz. Ayrıca bu belirleme yöntemi, fonksiyonun en temsili, anlaşılması kolay ve yüksek kaliteli buluşsal analizinden biridir.

[düzenlemek] Özyinelemeli yol

Bir fonksiyon yinelemeli olarak, yani kendisi aracılığıyla belirtilebilir. Bu durumda bazı fonksiyon değerleri diğer değerleri üzerinden belirlenir.

• faktöriyel;
• Fibonacci sayıları;
• Ackermann fonksiyonu.

[düzenlemek] Sözlü yöntem

Bir fonksiyon, doğal dildeki sözcüklerle açık bir şekilde, örneğin giriş ve çıkış değerlerinin veya fonksiyonun bu değerler arasındaki yazışmaları tanımladığı algoritmanın açıklanmasıyla açıklanabilir. İle birlikte grafiksel olarak Her ne kadar doğal diller resmi diller kadar belirleyici olmasa da bazen bir işlevi tanımlamanın tek yolu budur.

• pi'deki bir rakamı numarasına göre döndüren bir işlev;
• zamanda belirli bir noktada evrendeki atom sayısını döndüren bir fonksiyon;
• Bir kişiyi argüman olarak alan ve o kişi doğduktan sonra doğacak insan sayısını döndüren bir işlev

KOMPLEKS NUMARALAR XI

§ 253. Negatif sayılardan kareköklerin çıkarılması.
Negatif diskriminantlı ikinci dereceden denklemleri çözme

Bildiğimiz gibi,

Ben 2 = - 1.

Aynı zamanda

(- Ben ) 2 = (- 1 Ben ) 2 = (- 1) 2 Ben 2 = -1.

Dolayısıyla -1'in karekökünün en az iki değeri vardır, yani Ben Ve - Ben . Ama kareleri -1'e eşit olan başka karmaşık sayılar da olabilir mi?

Bu soruyu açıklığa kavuşturmak için, bir karmaşık sayının karesinin a + bi - 1'e eşittir. O zaman

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - B 2 = - 1

İki karmaşık sayı ancak ve ancak gerçek kısımları ve sanal kısımlarının katsayıları eşitse eşittir. Bu yüzden

{	A 2 - B 2 = - 1 ab = 0 (1)

(1) numaralı sistemin ikinci denklemine göre sayılardan en az biri A Ve B sıfır olmalıdır. Eğer B = 0, o zaman elde ettiğimiz ilk denklemden A 2 = - 1. Sayı A gerçek ve bu nedenle A 2 > 0. Negatif olmayan sayı A 2, negatif bir sayı olan 1'e eşit olamaz. Bu nedenle eşitlik B = 0 bu durumda imkansızdır. Bunu itiraf etmek kalıyor A = 0, ancak sistemin ilk denkleminden şunu elde ederiz: - B 2 = - 1, B = ± 1.

Bu nedenle kareleri -1 olan tek karmaşık sayılar Ben Ve - Ben , Geleneksel olarak bu şu şekilde yazılır:

√-1 = ± Ben .

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak öğrenciler, kareleri negatif bir sayıya eşit olan tam olarak iki sayı olduğuna ikna edilebilirler. A . Bu sayılar √ A Ben ve -√ A Ben . Geleneksel olarak şu şekilde yazılır:

√- A = ± √ A Ben .

√'nin altında A burada aritmetik yani pozitif kökü kastediyoruz. Örneğin √4 = 2, √9 =.3; Bu yüzden

√-4 = + 2Ben , √-9 = ± 3 Ben

Daha önce negatif diskriminantlı ikinci dereceden denklemleri ele alırken bu tür denklemlerin kökleri olmadığını söylüyorduk, şimdi bunu söyleyemeyiz. Negatif diskriminantlara sahip ikinci dereceden denklemlerin karmaşık kökleri vardır. Bu kökler bildiğimiz formüllere göre elde edilir. Örneğin denklem verilsin X 2 + 2X + 5 = 0; Daha sonra

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 Ben .

Yani bu denklemin iki kökü var: X 1 = - 1 +2Ben , X 2 = - 1 - 2Ben . Bu kökler karşılıklı olarak eşleniktir. Toplamlarının -2 ve çarpımlarının 5 olması ilginçtir, dolayısıyla Vieta teoremi geçerlidir.

Egzersizler

2022. (Set no.) Denklemleri çözün:

A) X 2 = -16; B) X 2 = - 2; 3'te X 2 = - 5.

2023. Kareleri eşit olan tüm karmaşık sayıları bulun:

A) Ben ; b) 1 / 2 - √ 3 / 2 Ben ;

2024. İkinci dereceden denklemleri çözün:

A) X 2 - 2X + 2 = 0; 4) X 2 + 4X + 5 = 0; V) X 2 - 14X + 74 = 0.

Denklem sistemlerini çözün (No. 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2X- 3sen = 1 xy = 1

2027. Gerçek katsayılı ve negatif diskriminantlı ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karşılıklı eşlenik olduğunu kanıtlayın.

2028. Vieta teoreminin yalnızca negatif olmayan diskriminantlı denklemler için değil, ikinci dereceden tüm denklemler için doğru olduğunu kanıtlayın.

2029. Kökleri aşağıdaki gibi olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklem oluşturun:

A) X 1 = 5 - Ben , X 2 = 5 + Ben ; B) X 1 = 3Ben , X 2 = - 3Ben .

2030. Köklerinden biri (3 -)'ye eşit olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklem oluşturun. Ben ) (2Ben - 4).

2031. Köklerinden biri eşit olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklem oluşturun 32 - Ben
1- 3Ben .

Hadi birlikte çalışalım ikinci dereceden denklemler. Bunlar çok popüler denklemler! tam olarak Genel görünüm ikinci dereceden denklem şuna benzer:

Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür?Önünüzde bu formda ikinci dereceden bir denklem varsa, o zaman her şey basittir. Hatırlayalım sihirli kelime ayrımcı . Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur. Yani ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işaretinin altındaki ifade ayrımcı. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Hesapladığımız formül bu. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin, ilk denklem için A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Bu kadar.

Bu formülü kullanırken hangi durumlar mümkündür? Sadece üç vaka var.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak bu, konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz eşitsizliklerde rol oynuyor.

3. Diskriminant negatiftir. İtibaren negatif sayı Kare kökçıkarılmadı. İyi tamam. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Her şey çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, yap bunu!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada bir = -6; b = -5; c = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak yaklaşık 30 saniye sürecektir ve hata sayısı keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir şans ver. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığımız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrendiler ki bu da iyi. Nasıl doğru bir şekilde belirleneceğini biliyorsun a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Bunu anladın mı anahtar kelime Burada - dikkatle mi?

Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler . Ayrıca diskriminantla da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. a, b ve c.

Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! Bu kadar. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Hiçbir ayrım yapmadan. İlkini ele alalım tamamlanmamış denklem. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor? Bu kadar...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x = 0, veya x = 4

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, diskriminant kullanmaktan çok daha basittir.

İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u şuraya taşı: Sağ Taraf. Şunu elde ederiz:

Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:

Ayrıca iki kök . x = +3 ve x = -3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...

İlk randevu. İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendin için karar ver. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol etme son şey denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz Üye senin burcunla . Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Hatayı arayın. İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Gittikçe daha az hata olacak.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi önceki bölümde anlatıldığı gibi ortak bir paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...

Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Bu kadar! Çözmek bir zevktir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik tavsiye:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!

Kesirli denklemler. ODZ.

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler. Bu aynı.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

İlkokulda nasıl eğitildiniz? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Nasıl olduğunu unut korkunç rüya! Kesirleri eklerken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor, bu da denklemin şu şekilde çarpılması gerektiği anlamına geliyor: 2(x+2). Çarpmak:

Bu, kesirlerin yaygın bir çarpımıdır, ancak bunu ayrıntılı olarak açıklayacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü Sağ Taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Klasik ikinci dereceden denklem. Ancak önümüzdeki eksi iyi değil. Her zaman -1 ile çarparak veya bölerek bundan kurtulabilirsiniz. Ancak örneğe yakından bakarsanız, bu denklemi -2'ye bölmenin en iyisi olduğunu fark edeceksiniz! Bir anda eksi ortadan kaybolacak ve oranlar daha cazip hale gelecek! -2'ye bölün. Sol tarafta - terim terim ve sağda - sıfırı -2'ye (sıfır) bölerseniz şunu elde ederiz:

Diskriminant aracılığıyla çözüyoruz ve Vieta teoremini kullanarak kontrol ediyoruz. Aldık x = 1 ve x = 3. İki kök.

Gördüğünüz gibi ilk durumda dönüşümden sonra denklem doğrusal hale geldi, ancak burada ikinci dereceden hale geliyor. Kesirlerden kurtulduktan sonra tüm X'ler azalır. Geriye 5=5 gibi bir şey kalıyor. Bu demektir x herhangi bir şey olabilir. Ne olursa olsun yine de azalacak. Ve işe yarayacak Saf gerçek, 5=5. Ancak kesirlerden kurtulduktan sonra 2=7 gibi tamamen yanlış olduğu ortaya çıkabilir. Ve bu şu anlama geliyor çözüm yok! Herhangi bir X'in doğru olmadığı ortaya çıkıyor.

Gerçekleştirilmiş ana yolçözümler kesirli denklemler ? Basit ve mantıklıdır. Hoşumuza gitmeyen her şeyin kaybolması için orijinal ifadeyi değiştiriyoruz. Veya müdahale ediyor. Bu durumda bunlar kesirlerdir. Aynısını her türlü yapacağız karmaşık örnekler logaritmalar, sinüsler ve diğer dehşetlerle. Biz Her zaman Bütün bunlardan kurtulalım.

Ancak orijinal ifadeyi ihtiyacımız olan yönde değiştirmemiz gerekiyor. kurallara göre, evet... Ustalığı matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlıktır. Yani bunda ustalaşıyoruz.

Şimdi bunlardan birini nasıl atlayacağımızı öğreneceğiz. Birleşik Devlet Sınavında ana pusu! Ama önce bakalım bu duruma düşecek misiniz, düşmeyecek misiniz?

Basit bir örneğe bakalım:

Konu zaten tanıdık, her iki tarafı da çarpıyoruz (x – 2), şunu elde ederiz:

Parantezle hatırlatırım (x – 2) Sanki tek bir bütünsel ifadeyle çalışıyoruz!

Burada artık paydalara bir tane yazmadım, onursuz... Ve paydalara parantez çizmedim, hariç x – 2 hiçbir şey yok, çizmene gerek yok. Kısaltalım:

Parantezleri açın, her şeyi sola taşıyın ve benzerlerini verin:

Çözüyoruz, kontrol ediyoruz, iki kök alıyoruz. x = 2 Ve x = 3. Harika.

Ödevin kökü veya birden fazla kök varsa bunların toplamını yazmanız gerektiğini varsayalım. Ne yazacağız?

Cevabın 5 olduğuna karar verirseniz, pusuya düşürüldü. Ve görev size verilmeyecektir. Boşuna çalıştılar... Doğru cevap 3.

Sorun ne?! Ve bir kontrol yapmaya çalışıyorsun. Bilinmeyenlerin değerlerini yerine koyun orijinalörnek. Ve eğer x = 3 her şey harika bir şekilde birlikte büyüyecek, 9 = 9 elde edeceğiz, o zaman x = 2 Sıfıra bölme olacak! Kesinlikle yapamayacağınız şey. Araç x = 2 bir çözüm değildir ve cevapta dikkate alınmaz. Bu sözde yabancı veya ekstra köktür. Sadece onu atıyoruz. Son kök birdir. x = 3.

Nasıl yani?! – Öfkeli ünlemler duyuyorum. Bize bir denklemin bir ifadeyle çarpılabileceği öğretildi! Bu kimlik dönüşümü!

Evet, aynı. Küçük bir koşul altında - çarptığımız (böldüğümüz) ifade - sıfırdan farklı. A x – 2 en x = 2 sıfıra eşittir! Yani her şey adil.

Peki şimdi ne yapabilirim? İfadeyle çarpmıyor musunuz? Her seferinde kontrol etmeli miyim? Yine belirsiz!

Sakin ol! Panik yapma!

Bu zor durumda bizi üç sihirli harf kurtaracak. Ne düşündüğünü biliyorum. Sağ! Bu ODZ . Kabul Edilebilir Değerler Alanı.

Tüm kurs arasında Okul müfredatı Cebirde en kapsamlı konulardan biri ikinci dereceden denklemler konusudur. Bu durumda ikinci dereceden bir denklem, ax 2 + bx + c = 0 biçiminde bir denklem olarak anlaşılır; burada a ≠ 0 (okuyun: a ile x kare artı be x artı ce eşittir sıfır, burada a değil) sıfıra eşit). Bu durumda asıl yer, ikinci dereceden bir denklemin diskriminantını bulmak için kullanılan formüllerdir. belirtilen tür, ikinci dereceden bir denklemde köklerin varlığını veya yokluğunu ve bunların sayısını (varsa) belirlemenizi sağlayan bir ifade olarak anlaşılır.

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının formülü (denklemi)

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının genel kabul görmüş formülü şu şekildedir: D = b 2 – 4ac. Belirtilen formülü kullanarak diskriminantı hesaplayarak, yalnızca ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığını ve sayısını belirlemekle kalmaz, aynı zamanda ikinci dereceden denklemin türüne bağlı olarak birkaç tane bulunan bu kökleri bulmak için bir yöntem de seçebilirsiniz.

Diskriminantın sıfır olması ne anlama gelir \ Diskriminantın sıfır olması durumunda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

Ayrımcı, formülden aşağıdaki gibi, Latin harfi D ile gösterilir. Ayrımcının sıfıra eşit olması durumunda, ax 2 + bx + c = 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem olduğu sonucuna varılmalıdır; burada a ≠ 0, basitleştirilmiş formülle hesaplanan tek bir köke sahiptir. Bu formül yalnızca diskriminant sıfır olduğunda geçerlidir ve şu şekilde görünür: x = –b/2a, burada x ikinci dereceden denklemin köküdür, b ve a ikinci dereceden denklemin karşılık gelen değişkenleridir. İkinci dereceden bir denklemin kökünü bulmak için ihtiyacınız olan şey olumsuz anlam b değişkeni, a değişkeninin değerinin iki katına bölünür. Ortaya çıkan ifade ikinci dereceden bir denklemin çözümü olacaktır.

Diskriminant kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözme

Yukarıdaki formülü kullanarak diskriminant hesaplanırken pozitif bir değer elde edilirse (D sıfırdan büyüktür), ikinci dereceden denklemin aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanan iki kökü vardır: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Çoğu zaman, diskriminant ayrı olarak hesaplanmaz, ancak diskriminant formülü biçimindeki radikal ifade, kökün çıkarıldığı D değeriyle basitçe ikame edilir. b değişkeni çift bir değere sahipse, a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin köklerini hesaplamak için şunu da kullanabilirsiniz: aşağıdaki formüller: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, burada k = b/2.

Bazı durumlarda, ikinci dereceden denklemleri pratik olarak çözmek için, x 2 + px + q = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı için x 1 + x 2 = –p değerini belirten Vieta Teoremini kullanabilirsiniz. doğru olacaktır ve belirtilen denklemin köklerinin çarpımı için – ifade x 1 x x 2 = q.

Diskriminant sıfırdan küçük olabilir mi?

Diskriminant değerini hesaplarken, açıklanan durumların hiçbirinin kapsamına girmeyen bir durumla karşılaşabilirsiniz - diskriminantın negatif bir değere sahip olması (yani sıfırdan küçük olması). Bu durumda, a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri olmadığı genel olarak kabul edilir, bu nedenle çözümü diskriminantın ve yukarıdaki formüllerin hesaplanmasıyla sınırlı olacaktır. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için bu durumda geçerli olmayacaktır. Aynı zamanda ikinci dereceden denklemin cevabında “denklemin gerçek kökleri yoktur” yazmaktadır.

Açıklayıcı video:

Diskriminant çok değerli bir terimdir. Bu makalede, belirli bir polinomun geçerli çözümlerinin olup olmadığını belirlemenizi sağlayan bir polinomun diskriminantından bahsedeceğiz. İkinci dereceden bir polinomun formülü şurada görünür: okul kursu cebir ve analiz. Bir diskriminant nasıl bulunur? Denklemi çözmek için ne gerekiyor?

İkinci dereceden ikinci dereceden bir polinom veya denklem denir i * w ^ 2 + j * w + k 0'a eşittir; burada “i” ve “j” sırasıyla birinci ve ikinci katsayılardır, “k” bazen “küçümseme terimi” olarak adlandırılan bir sabittir ve “w” bir değişkendir. Kökleri, kimliğe dönüştüğü değişkenin tüm değerleri olacaktır. Böyle bir eşitlik i, (w - w1) ve (w - w2) çarpımının 0'a eşit olması şeklinde yeniden yazılabilir. Bu durumda, "i" katsayısı sıfır olmazsa o zaman fonksiyonun onda olacağı açıktır. sol taraf ancak x'in w1 veya w2 değerini alması durumunda sıfır olacaktır. Bu değerler polinomun sıfıra eşitlenmesinin sonucudur.

İkinci dereceden bir polinomun sıfır olduğu bir değişkenin değerini bulmak için, onun katsayıları üzerine inşa edilen ve diskriminant olarak adlandırılan yardımcı bir yapı kullanılır. Bu tasarım D formülüne göre hesaplanır: j * j - 4 * i * k. Neden kullanılıyor?

1. Geçerli sonuçların olup olmadığını söyler.
2. Bunların hesaplanmasına yardımcı oluyor.

Bu değer gerçek köklerin varlığını nasıl gösterir:

• Pozitif ise reel sayıların bölgesinde iki kök bulunabilir.
• Diskriminant sıfır ise her iki çözüm de aynıdır. Tek bir çözüm olduğunu söyleyebiliriz o da reel sayılar alanındandır.
• Diskriminant sıfırdan küçükse polinomun gerçek kökleri yoktur.

Malzemeyi güvence altına almak için hesaplama seçenekleri

Toplam için (7 * w^2; 3 * w; 1) 0'a eşit D'yi 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 formülünü kullanarak hesaplıyoruz, -19 elde ediyoruz. Sıfırın altındaki bir diskriminant değeri, gerçek satırda hiçbir sonuç olmadığını gösterir.

2 * w^2 - 3 * w + 1'in 0'a eşdeğer olduğunu düşünürsek D, (-3) kare eksi (4; 2; 1) sayılarının çarpımı olarak hesaplanır ve 9 - 8'e, yani 1'e eşittir. Pozitif değer gerçek doğru üzerinde iki sonuç olduğunu söylüyor.

Toplamı (w ^ 2; 2 * w; 1) alıp 0'a eşitlersek, D iki kare eksi (4; 1; 1) sayılarının çarpımı olarak hesaplanır. Bu ifade 4 - 4'e sadeleşecek ve sıfıra gidecektir. Sonuçların aynı olduğu ortaya çıktı. Bu formüle yakından bakarsanız bunun “tam kare” olduğu anlaşılacaktır. Bu, eşitliğin (w + 1) ^ 2 = 0 şeklinde yeniden yazılabileceği anlamına gelir. Bu problemde sonucun “-1” olduğu ortaya çıktı. D'nin 0'a eşit olduğu durumlarda eşitliğin sol tarafı her zaman "toplamın karesi" formülü kullanılarak daraltılabilir.

Köklerin hesaplanmasında diskriminant kullanımı

Bu yardımcı yapı yalnızca gerçek çözümlerin sayısını göstermekle kalmaz, aynı zamanda bunların bulunmasına da yardımcı olur. Genel formülİkinci derece denklemin hesaplanması:

w = (-j +/- d) / (2 * i), burada d, 1/2'nin kuvvetinin ayırt edicisidir.

Diyelim ki diskriminant sıfırın altında, bu durumda d sanal ve sonuçlar sanaldır.

D sıfırsa d eşittir D üzeri 1/2 de sıfırdır. Çözüm: -j / (2 * i). Yine 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 dikkate alındığında -2 / (2 * 1) = -1'e eşdeğer sonuçlar buluyoruz.

Diyelim ki D > 0, o zaman d bir gerçel sayıdır ve buradaki cevap iki kısma ayrılır: w1 = (-j + d) / (2 * i) ve w2 = (-j - d) / (2 * i) ). Her iki sonuç da geçerli olacaktır. 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0'a bakalım. Burada diskriminant ve d birlerdir. w1'in (3 + 1) bölü (2 * 2) veya 1'e eşit olduğu ve w2'nin (3 - 1) bölü 2 * 2 veya 1/2'ye eşit olduğu ortaya çıktı.

İkinci dereceden bir ifadeyi sıfıra eşitlemenin sonucu algoritmaya göre hesaplanır:

1. Geçerli çözümlerin sayısının belirlenmesi.
2. Hesaplama d = D^(1/2).
3. (-j +/- d) / (2 * i) formülüne göre sonucu bulma.
4. Elde edilen sonucun doğrulama için orijinal eşitlikle değiştirilmesi.

Bazı özel durumlar

Katsayılara bağlı olarak çözüm biraz basitleştirilebilir. Açıkçası, eğer bir değişkenin ikinci kuvvetine olan katsayısı sıfır ise, o zaman doğrusal bir eşitlik elde edilir. Bir değişkenin birinci kuvvete olan katsayısı sıfır olduğunda iki seçenek mümkündür:

1. serbest terim negatif olduğunda polinom kareler farkına genişletilir;
2. pozitif bir sabit için hiçbir gerçek çözüm bulunamaz.

Serbest terim sıfır ise kökler (0; -j) olacaktır.

Ancak çözüm bulmayı kolaylaştıran başka özel durumlar da var.

Azaltılmış ikinci derece denklem

Verilen denir böyle ikinci dereceden bir üç terimli, burada baş terimin katsayısı birdir. Bu durum için köklerin toplamının değişkenin birinci kuvvet katsayısının -1 ile çarpımına eşit olduğunu ve çarpımın “k” sabitine karşılık geldiğini belirten Vieta teoremi uygulanabilir.

Dolayısıyla w1 + w2 eşittir -j ve eğer birinci katsayı bir ise w1 * w2 k'ye eşittir. Bu gösterimin doğruluğunu doğrulamak için, ilk formülden w2 = -j - w1'i ifade edebilir ve bunu ikinci w1 * (-j - w1) = k eşitliğinde değiştirebilirsiniz. Sonuç, orijinal eşitlik w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0'dır.

Not etmek önemlidir i * w ^ 2 + j * w + k = 0'a “i”ye bölünerek ulaşılabilir. Sonuç şu şekilde olacaktır: w^2 + j1 * w + k1 = 0, burada j1, j/i'ye ve k1, k/i'ye eşittir.

Halihazırda çözülmüş olan 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0'a, sonuçları w1 = 1 ve w2 = 1/2'ye bakalım. Sonuç olarak ikiye bölmemiz gerekiyor w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Bulunan sonuçlar için teoremin koşullarının doğru olup olmadığını kontrol edelim: 1 + 1/2 = 3/ 2 ve 1*1/2 = 1/2.

Hatta ikinci faktör

Bir değişkenin birinci kuvvetine (j) çarpanı 2'ye bölünebiliyorsa o zaman formülü basitleştirmek ve D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k diskriminantının dörtte biri üzerinden bir çözüm aramak mümkün olacaktır. w = (-j +/- d/2) / i ortaya çıkıyor, burada d/2 = D/4 üzeri 1/2.

Eğer i = 1 ve j katsayısı çift ise, o zaman çözüm -1 ile w değişkeninin katsayısının yarısı, artı/eksi bu yarının karesinin kökü eksi “k” sabitinin çarpımı olacaktır. Formül: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Daha yüksek diskriminant sırası

Yukarıda tartışılan ikinci derece trinomiyalin diskriminantı en sık kullanılan özel durumdur. Genel durumda, bir polinomun diskriminantı şöyledir: bu polinomun köklerinin farklarının çarpımlı kareleri. Bu nedenle diskriminantın sıfıra eşit olması en az iki çoklu çözümün varlığını gösterir.

i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0'ı düşünün.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Diskriminantın sıfırı aştığını varsayalım. Bu, reel sayılar bölgesinde üç kökün olduğu anlamına gelir. Sıfırda birden fazla çözüm var. Eğer D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Videomuzda diskriminantın hesaplanması hakkında detaylı bilgi verilecektir.

Sorunuza cevap alamadınız mı? Yazarlara bir konu önerin.