Ev » moda elbiseler » Karmaşık trigonometrik denklemlerin çözüm örnekleri. Trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler

Karmaşık trigonometrik denklemlerin çözüm örnekleri. Trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Giriş 2

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri 5

Cebirsel 5

Aynı isimli trigonometrik fonksiyonların eşitlik koşulunu kullanarak denklem çözme 7

Çarpanlara ayırma 8

Homojen denklem 10'a indirgeme

Yardımcı açının tanıtılması 11

Ürünü toplam 14'e dönüştür

Evrensel ikame 14

Sonuç 17

giriiş

Onuncu sınıfa kadar, hedefe götüren birçok alıştırmanın eylem sırası kural olarak açıkça tanımlanmıştır. Örneğin, doğrusal ve ikinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen denklemler vb. Bahsedilen örneklerin her birinin çözüm ilkesini ayrıntılı olarak incelemeden, başarılı bir çözüm için gerekli olan genel şeyleri not ediyoruz.

Çoğu durumda, görevin ne tür bir görev olduğunu belirlemeniz, hedefe götüren eylemlerin sırasını hatırlamanız ve bu eylemleri gerçekleştirmeniz gerekir. Açıkçası, bir öğrencinin denklem çözme tekniklerinde uzmanlaşmadaki başarısı veya başarısızlığı, esas olarak denklemin türünü ne kadar iyi belirleyebildiğine ve çözümünün tüm aşamalarının sırasını ne kadar iyi hatırlayabildiğine bağlıdır. Elbette öğrencinin aynı dönüşümleri ve hesaplamaları yapma becerisine sahip olduğu varsayılmaktadır.

Bir okul çocuğu trigonometrik denklemlerle karşılaştığında tamamen farklı bir durum ortaya çıkar. Üstelik denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini tespit etmek zor değil. Olumlu bir sonuca yol açacak bir eylem planı bulmada zorluklar ortaya çıkar. Ve burada öğrenci iki sorunla karşı karşıyadır. Denklemin görünümüne göre türünü belirlemek zordur. Ve türünü bilmeden, mevcut birkaç düzine formül arasından istenen formülü seçmek neredeyse imkansızdır.

Öğrencilerin trigonometrik denklemlerin karmaşık labirentinde yollarını bulmalarına yardımcı olmak için, öğrencilere ilk önce yeni bir değişken eklendiğinde ikinci dereceden denklemlere indirgenen denklemler öğretilir. Daha sonra homojen denklemleri ve bunlara indirgenebilenleri çözerler. Kural olarak her şey, sol tarafı çarpanlara ayırmanın gerekli olduğu ve ardından faktörlerin her birini sıfıra eşitleyen denklemlerle biter.

Derslerde tartışılan bir buçuk düzine denklemin öğrenciyi trigonometrik "deniz"de bağımsız bir yolculuğa çıkarmak için yeterli olmadığını fark eden öğretmen, kendi birkaç tavsiyesini daha ekler.

Trigonometrik bir denklemi çözmek için şunları denemeniz gerekir:

Denklemde yer alan tüm fonksiyonları “aynı açılara” getirin;

Denklemi "özdeş fonksiyonlara" indirgeyin;

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın, vb.

Ancak trigonometrik denklemlerin temel türlerini ve çözümlerini bulmanın çeşitli ilkelerini bilmelerine rağmen, birçok öğrenci daha önce çözülenlerden biraz farklı olan her denklem karşısında kendilerini şaşkına çeviriyor. Şu veya bu denklemi elde ederken ne için çabalamamız gerektiği, neden bir durumda çift açı formüllerinin, diğerinde yarım açının ve üçüncüsünde toplama formüllerinin vb. kullanılması gerektiği belirsizliğini koruyor.

Tanım 1. Trigonometrik denklem, bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonların işareti altında yer aldığı bir denklemdir.

Tanım 2. Bir trigonometrik denklemin içerdiği tüm trigonometrik fonksiyonlar eşit argümanlara sahipse, eşit açılara sahip olduğu söylenir. Bir trigonometrik denklem, trigonometrik fonksiyonlardan yalnızca birini içeriyorsa aynı fonksiyonlara sahip olduğu söylenir.

Tanım 3. Trigonometrik fonksiyonlar içeren bir monomiyalin kuvveti, içinde yer alan trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerinin üslerinin toplamıdır.

Tanım 4. Bir denklemin içerdiği tüm monomların derecesi aynıysa bu denkleme homojen denir. Bu dereceye denklemin derecesi denir.

Tanım 5. Yalnızca fonksiyonları içeren trigonometrik denklem günah Ve çünkü Trigonometrik fonksiyonlara göre tüm monomlar aynı dereceye sahipse ve trigonometrik fonksiyonların kendileri eşit açılara sahipse ve monomların sayısı denklemin sırasından 1 büyükse homojen olarak adlandırılır.

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

Trigonometrik denklemlerin çözümü iki aşamadan oluşur: denklemin en basit formunu elde edecek şekilde dönüştürülmesi ve elde edilen en basit trigonometrik denklemin çözülmesi. Trigonometrik denklemleri çözmek için yedi temel yöntem vardır.

BEN. Cebirsel yöntem. Bu yöntem cebirden iyi bilinmektedir. (Değişken değiştirme ve ikame yöntemi).

Denklemleri çözün.

Gösterimi tanıtalım X=2 günah3 T, alıyoruz

Bu denklemi çözerek şunu elde ederiz:
veya

onlar. yazılabilir

İşaretlerin varlığı nedeniyle ortaya çıkan çözümü kaydederken derece
bunu yazmanın bir anlamı yok.

Cevap:

Haydi belirtelim

İkinci dereceden bir denklem elde ederiz
. Kökleri sayılardır
Ve
. Bu nedenle bu denklem en basit trigonometrik denklemlere indirgenir
Ve
. Bunları çözerek şunu buluyoruz
veya
.

Cevap:
;
.

Haydi belirtelim

koşulu karşılamıyor

Araç

Cevap:

Denklemin sol tarafını dönüştürelim:

Böylece bu başlangıç denklemi şu şekilde yazılabilir:

yani

Belirledikten sonra
, alıyoruz
Bu ikinci dereceden denklemi çözersek:

koşulu karşılamıyor

Orijinal denklemin çözümünü yazıyoruz:

Cevap:

ikame
bu denklemi ikinci dereceden bir denkleme indirger
. Kökleri sayılardır
Ve
. Çünkü
ise verilen denklemin kökleri yoktur.

Cevap: Kök yok.

II. Aynı isimli trigonometrik fonksiyonların eşitlik koşulunu kullanarak denklemleri çözme.

A)
, Eğer

B)
, Eğer

V)
, Eğer

Bu koşulları kullanarak aşağıdaki denklemleri çözmeyi düşünün:

a) şıkkında söylenenleri kullanarak denklemin ancak ve ancak şu şekilde bir çözümü olduğunu buluruz:
.

Bu denklemi çözerek şunu buluruz:
.

İki grup çözümümüz var:

.

7) Denklemi çözün:
.

b) maddesinin koşulunu kullanarak şunu çıkarıyoruz:
.

Bu ikinci dereceden denklemleri çözerek şunu elde ederiz:

8) Denklemi çözün
.

Bu denklemden şunu çıkarıyoruz. Bu ikinci dereceden denklemi çözerek şunu buluruz:

.

III. Faktorizasyon.

Bu yöntemi örneklerle ele alıyoruz.

9) Denklemi çözün
.

Çözüm. Denklemin tüm terimlerini sola taşıyalım: .

Denklemin sol tarafındaki ifadeyi dönüştürüp çarpanlara ayıralım:
.

1)
2)

Çünkü
Ve
sıfır değerini kabul etmiyorum

aynı anda her iki parçayı da bölüyoruz

için denklemler
,

Cevap:

10) Denklemi çözün:

Çözüm.

veya

Cevap:

11) Denklemi çözün

Çözüm:

1)
2)
3)

Cevap:

IV. Homojen bir denkleme indirgenme.

Homojen bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:

Tüm üyelerini sol tarafa taşıyın;

Tüm ortak faktörleri parantezlerin dışına yerleştirin;

Tüm faktörleri ve parantezleri sıfıra eşitleyin;

Sıfıra eşit parantezler, daha düşük dereceye sahip homojen bir denklem verir ve bu denklemin şuna bölünmesi gerekir:
(veya
) son sınıfta;

Ortaya çıkan cebirsel denklemi çözün
.

Örneklere bakalım:

12) Denklemi çözün:

Çözüm.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:
,

Tanımlamaların tanıtılması
, isim

Bu denklemin kökleri:

dolayısıyla 1)
2)

Cevap:

13) Denklemi çözün:

Çözüm. Çift açı formüllerini ve temel trigonometrik özdeşliği kullanarak bu denklemi yarım argümana indirgeyebiliriz:

Benzer terimleri azalttıktan sonra elimizde:

Homojen son denklemi şuna bölmek:
, alıyoruz

belirteceğim
ikinci dereceden bir denklem elde ederiz
kökleri sayılar olan

Böylece

İfade
sıfıra gider
yani en
,
.

Elde ettiğimiz denklemin çözümü bu sayıları içermiyor.

Cevap:
, .

V. Yardımcı açının tanıtılması.

Formun bir denklemini düşünün

Nerede a, b, c- katsayılar, X- Bilinmeyen.

Bu denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Şimdi denklemin katsayıları sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani: her birinin modülü bir'i geçmez ve karelerinin toplamı 1'e eşittir.

Daha sonra bunları buna göre belirleyebiliriz
(Burada - yardımcı açı) ve denklemimiz şu şekli alır: .

Daha sonra

Ve onun kararı

Sunulan gösterimlerin karşılıklı olarak değiştirilebilir olduğunu unutmayın.

14) Denklemi çözün:

Çözüm. Burada
yani denklemin her iki tarafını da şuna böleriz:

Cevap:

15) Denklemi çözün

Çözüm. Çünkü
, o zaman bu denklem denkleme eşdeğerdir

Çünkü
, o zaman öyle bir açı var ki
,
(onlar.
).

Sahibiz

Çünkü
, sonunda şunu elde ederiz:

Formdaki denklemlerin ancak ve ancak şu durumlarda bir çözümü olduğunu unutmayın:

16) Denklemi çözün:

Bu denklemi çözmek için trigonometrik fonksiyonları aynı argümanlarla gruplandırırız

Denklemin her iki tarafını ikiye böleriz

Trigonometrik fonksiyonların toplamını çarpıma dönüştürelim:

Cevap:

VI. Bir ürünü toplama dönüştürme.

Burada ilgili formüller kullanılır.

17) Denklemi çözün:

Çözüm. Sol tarafı toplama dönüştürelim:

VII.Evrensel ikame.

bu formüller herkes için doğrudur

ikame
evrensel denir.

18) Denklemi çözün:

Çözüm: Değiştirin ve
yoluyla ifade etmelerine
ve belirtmek
.

Rasyonel bir denklem elde ederiz
, kareye dönüşür
.

Bu denklemin kökleri sayılardır
.

Bu nedenle problem iki denklemin çözümüne indirgendi
.

Bunu bulduk
.

Değeri görüntüle
verilen değerin değiştirilmesiyle kontrol edilerek doğrulanan orijinal denklemi karşılamıyor T orijinal denkleme.

Cevap:
.

Yorum. Denklem 18 başka bir şekilde çözülebilirdi.

Bu denklemin her iki tarafını da 5'e (yani
):
.

Çünkü
o zaman böyle bir sayı var
, Ne
Ve
. Bu nedenle denklem şu şekli alır:
veya
. Buradan bunu buluyoruz
Nerede
.

19) Denklemi çözün
.

Çözüm. Fonksiyonlardan beri
Ve
en büyük değeri 1'e eşitse, toplamları 2'ye eşitse
Ve
yani aynı anda
.

Cevap:
.

Bu denklem çözülürken fonksiyonların sınırlılığı kullanıldı.

Çözüm.

“Trigonometrik denklemlerin çözümü” konusu üzerinde çalışırken her öğretmenin aşağıdaki tavsiyelere uyması yararlı olacaktır:

Trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yöntemleri sistematik hale getirin.

Denklemin analizini gerçekleştirmek için gerekli adımları ve belirli bir çözüm yöntemini kullanmanın tavsiye edilebilirliğine ilişkin işaretleri kendiniz seçin.

Yöntemi uygularken faaliyetlerinizi kendi başınıza izlemenin yollarını düşünün.

Çalışılan yöntemlerin her biri için "kendi" denklemlerinizi oluşturmayı öğrenin.

Ek No.1

Homojen veya homojene indirgenebilir denklemleri çözün.

1.	Temsilci
	Temsilci

	Temsilci
5.	Temsilci
	Temsilci
7.	Temsilci
	Temsilci

Çoğunu çözerken matematik problemleriÖzellikle 10. sınıftan önce gerçekleşenlerde, hedefe götürecek eylemlerin sırası açıkça tanımlanır. Bu tür problemler arasında örneğin doğrusal ve ikinci dereceden denklemler, doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden denklemlere indirgenen denklemler yer alır. Bahsedilen sorunların her birini başarıyla çözme ilkesi şu şekildedir: Ne tür bir sorunu çözdüğünüzü belirlemeniz, istenen sonuca yol açacak gerekli eylem sırasını hatırlamanız gerekir; cevaplayın ve şu adımları izleyin.

Belirli bir problemi çözmedeki başarının veya başarısızlığın esas olarak çözülen denklem türünün ne kadar doğru belirlendiğine, çözümünün tüm aşamalarının sırasının ne kadar doğru yeniden üretildiğine bağlı olduğu açıktır. Elbette bu durumda aynı dönüşümleri ve hesaplamaları yapabilme becerisine sahip olmak gerekir.

ile durum farklı trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini tespit etmek hiç de zor değil. Doğru cevaba yol açacak eylemlerin sırasını belirlerken zorluklar ortaya çıkar.

Bir denklemin görünümüne göre türünü belirlemek bazen zordur. Ve denklemin türünü bilmeden, birkaç düzine trigonometrik formül arasından doğru olanı seçmek neredeyse imkansızdır.

Trigonometrik bir denklemi çözmek için şunları denemeniz gerekir:

1. Denklemde yer alan tüm fonksiyonları “aynı açılara” getirin;
2. Denklemi “özdeş fonksiyonlara” getirebilecek;
3. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın, vb.

Hadi düşünelim Trigonometrik denklemlerin çözümü için temel yöntemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Bir trigonometrik fonksiyonu bilinen bileşenler cinsinden ifade edin.

Adım 2. Formülleri kullanarak işlev bağımsız değişkenini bulun:

çünkü x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

günah x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arkctg a + πn, n Є Z.

Aşama 3. Bilinmeyen değişkeni bulun.

Örnek.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Çözüm.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cevap: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Değişken değiştirme

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Denklemi trigonometrik fonksiyonlardan birine göre cebirsel forma indirgeyin.

Adım 2. Ortaya çıkan işlevi t değişkeniyle belirtin (gerekirse t'ye kısıtlamalar getirin).

Aşama 3. Ortaya çıkan cebirsel denklemi yazın ve çözün.

Adım 4. Ters değiştirme yapın.

Adım 5. En basit trigonometrik denklemi çözün.

Örnek.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Çözüm.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t olsun, burada |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t+3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2, |t| koşulunu sağlamaz ≤ 1.

4) günah(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cevap: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Denklem sırası azaltma yöntemi

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Dereceyi azaltmak için formülü kullanarak bu denklemi doğrusal bir denklemle değiştirin:

günah 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Adım 2. Ortaya çıkan denklemi yöntem I ve II'yi kullanarak çözün.

Örnek.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Çözüm.

1) çünkü 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 · çünkü 2x = 5/4;

3/2 çünkü 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cevap: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homojen denklemler

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Bu denklemi forma indirgeyin

a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)

veya görünüme

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci derecenin homojen denklemi).

Adım 2. Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:

a) çünkü x ≠ 0;

b) çünkü 2 x ≠ 0;

ve tan x denklemini elde edin:

a) tan rengi x + b = 0;

b) a ten rengi 2 x + b arktan x + c = 0.

Aşama 3. Bilinen yöntemleri kullanarak denklemi çözün.

Örnek.

5sin 2 x + 3sin x çünkü x – 4 = 0.

Çözüm.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

günah 2 x + 3sin x · çünkü x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, bunun anlamı

tg x = 1 veya tg x = -4.

İlk denklemden x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Trigonometrik formüller kullanarak bir denklemi dönüştürme yöntemi

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Olası tüm trigonometrik formülleri kullanarak, bu denklemi I, II, III, IV yöntemleriyle çözülen bir denkleme dönüştürün.

Adım 2. Ortaya çıkan denklemi bilinen yöntemleri kullanarak çözün.

Örnek.

günah x + günah 2x + günah 3x = 0.

Çözüm.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x çünkü x + sin 2x = 0.

2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

İlk denklemden 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.

x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci denklemden x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Sonuç olarak x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri çözme yeteneği ve becerisi çok Daha da önemlisi, onların gelişimi hem öğrenci hem de öğretmen açısından ciddi çaba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. pek çok problem trigonometrik denklemlerin çözümüyle ilişkilidir.Bu tür problemlerin çözüm süreci, trigonometri elemanlarının incelenmesiyle elde edilen bilgi ve becerilerin çoğunu bünyesinde barındırır.

Trigonometrik denklemler matematik öğrenme sürecinde ve genel olarak kişisel gelişim sürecinde önemli bir yer tutar.

Hala sorularınız mı var? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Trigonometrik denklemler kolay bir konu değildir. Çok çeşitlidirler.) Örneğin, bunlar:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = bebek karyolası(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Vesaire...

Ancak bu (ve diğer tüm) trigonometri canavarlarının iki ortak ve zorunlu özelliği vardır. Birincisi - inanmayacaksınız - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) İkincisi: x'li tüm ifadeler bulunur aynı işlevler dahilinde. Ve sadece orada! X bir yerde görünüyorsa dıştan,Örneğin, sin2x + 3x = 3, bu zaten karma tipte bir denklem olacak. Bu tür denklemler bireysel bir yaklaşım gerektirir. Bunları burada ele almayacağız.

Bu dersimizde de kötü denklemleri çözmeyeceğiz.) Burada şu konuları ele alacağız: en basit trigonometrik denklemler. Neden? Evet çünkü çözüm herhangi trigonometrik denklemler iki aşamadan oluşur. İlk aşamada kötülük denklemi çeşitli dönüşümlerle basit bir denkleme indirgenir. İkincisinde bu en basit denklem çözülür. Başka yol yok.

Yani ikinci aşamada sorun yaşarsanız ilk aşamanın pek bir anlamı kalmıyor.)

Temel trigonometrik denklemler neye benzer?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Burada A herhangi bir sayıyı temsil eder. Herhangi.

Bu arada, bir fonksiyonun içinde saf bir X olmayabilir, ancak aşağıdaki gibi bir tür ifade olabilir:

cos(3x+π /3) = 1/2

vesaire. Bu hayatı zorlaştırır, ancak trigonometrik bir denklemi çözme yöntemini etkilemez.

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür?

Trigonometrik denklemler iki şekilde çözülebilir. İlk yol: mantığı ve trigonometrik çemberi kullanmak. Burada bu yola bakacağız. İkinci yol - hafıza ve formüllerin kullanılması - bir sonraki derste tartışılacaktır.

İlk yol açık, güvenilir ve unutulması zordur.) Trigonometrik denklemleri, eşitsizlikleri ve her türlü zorlu standart dışı örnekleri çözmek için iyidir. Mantık hafızadan daha güçlüdür!)

Trigonometrik çember kullanarak denklem çözme.

Temel mantığı ve trigonometrik çemberi kullanma yeteneğini dahil ediyoruz. Nasıl olduğunu bilmiyor musun? Ancak... Trigonometride zorlanacaksınız...) Ama önemi yok. "Trigonometrik çember...... Nedir?" derslerine bir göz atın. ve "Trigonometrik bir daire üzerinde açıların ölçülmesi." Orada her şey basit. Ders kitaplarından farklı olarak...)

Ah bilirsin!? Ve hatta "Trigonometrik çemberle pratik çalışma" konusunda ustalaştınız!? Tebrikler. Bu konu size yakın ve anlaşılır gelecektir.) Özellikle sevindirici olan, trigonometrik çemberin hangi denklemi çözdüğünüzün umrunda olmamasıdır. Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant - onun için her şey aynı. Tek çözüm ilkesi vardır.

Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi alıyoruz. En azından bu:

cosx = 0,5

X'i bulmamız gerekiyor. İnsan dilinde konuşmanız gerekir kosinüsü 0,5 olan (x) açısını bulun.

Daha önce çemberi nasıl kullanıyorduk? Üzerine bir açı çizdik. Derece veya radyan cinsinden. Ve hemen testere Bu açının trigonometrik fonksiyonları. Şimdi tam tersini yapalım. Dairenin üzerine 0,5'e eşit bir kosinüs çizelim ve hemen göreceğiz köşe. Geriye kalan tek şey cevabı yazmaktır.) Evet, evet!

Bir daire çizin ve kosinüsü 0,5'e eşit olarak işaretleyin. Elbette kosinüs ekseninde. Bunun gibi:

Şimdi bu kosinüsün bize verdiği açıyı çizelim. Farenizi resmin üzerine getirin (veya tabletinizdeki resme dokunun) ve göreceksin tam bu köşe X.

Hangi açının kosinüsü 0,5'tir?

x = π /3

çünkü 60°= çünkü( π /3) = 0,5

Bazıları şüpheyle kıkırdayacak, evet... Her şey ortadayken çember çizmeye değer miydi sanki... Elbette kıkırdayabilirsiniz...) Ama gerçek şu ki bu hatalı bir cevap. Daha doğrusu yetersiz. Çember uzmanları burada kosinüs değeri 0,5 olan bir sürü başka açının da bulunduğunu biliyorlar.

Hareketli tarafı OA'yı çevirirseniz tam dönüş A noktası orijinal konumuna geri dönecektir. Aynı kosinüs 0,5'e eşit. Onlar. açı değişecek 360° veya 2π radyan ve kosinüs - hayır. Yeni açı 60° + 360° = 420° de denklemimizin çözümü olacaktır, çünkü

Bunun gibi sonsuz sayıda tam dönüş yapılabilir... Ve tüm bu yeni açılar trigonometrik denklemimizin çözümü olacaktır. Ve yanıt olarak hepsinin bir şekilde yazılması gerekiyor. Tüm. Aksi takdirde karar sayılmaz, evet...)

Matematik bunu basit ve zarif bir şekilde yapabilir. Kısa bir cevapla yazın sonsuz küme kararlar. İşte denklemimiz için şöyle görünüyor:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Şifresini çözeceğim. Hala yaz anlamlı bir şekilde Aptalca gizemli harfler çizmekten daha hoş, değil mi?)

π /3 - burası bizim bulunduğumuz köşenin aynısı testere daire üzerinde ve azimli kosinüs tablosuna göre.

2π radyan cinsinden tam bir devrimdir.

N - bu tam olanların sayısıdır, yani. tüm devir/dakika Açıktır ki N 0, ±1, ±2, ±3... vb.'ye eşit olabilir. Kısa girişte belirtildiği gibi:

n ∈ Z

N ait ( ∈ ) tam sayılar kümesi ( Z ). Bu arada, mektup yerine N harfler iyi kullanılabilir k, m, t vesaire.

Bu gösterim herhangi bir tam sayıyı alabileceğiniz anlamına gelir N . En az -3, en az 0, en az +55. Ne istersen. Bu sayıyı cevaba koyarsanız belirli bir açı elde edersiniz ve bu kesinlikle sert denklemimizin çözümü olacaktır.)

Veya başka bir deyişle, x = π /3 sonsuz bir kümenin tek köküdür. Diğer tüm kökleri elde etmek için, π /3'e herhangi bir sayıda tam devir eklemek yeterlidir ( N ) radyan cinsinden. Onlar. 2πn radyan.

Tüm? HAYIR. Zevki kasıtlı olarak uzatıyorum. Daha iyi hatırlamak için.) Denklemimizin cevaplarının yalnızca bir kısmını aldık. Çözümün bu ilk bölümünü şu şekilde yazacağım:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - sadece bir kök değil, kısa biçimde yazılmış bir dizi kök.

Ancak kosinüs değeri 0,5 olan açılar da vardır!

Cevabını yazdığımız resmimize dönelim. İşte burada:

Farenizi resmin üzerine getirin ve görürüz başka bir açı ayrıca 0,5'lik bir kosinüs verir. Sizce neye eşittir? Üçgenler aynı... Evet! Açıya eşittir X sadece olumsuz yönde gecikti. Burası köşe -X. Ama biz zaten x'i hesapladık. π /3 veya 60°. Bu nedenle güvenle yazabiliriz:

x 2 = - π /3

Elbette tam dönüşlerle elde edilen tüm açıları ekliyoruz:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Şimdilik bu kadar.) Trigonometrik çemberde testere(elbette kim anlar)) Tüm 0,5 kosinüs veren açılar. Ve bu açıları kısa matematiksel formda yazdık. Cevap iki sonsuz kök dizisiyle sonuçlandı:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Bu doğru cevap.

Umut, Trigonometrik denklemlerin çözümü için genel prensip Bir daire kullanmak açıktır. Verilen denklemden kosinüsü (sinüs, teğet, kotanjant) bir daire üzerinde işaretliyoruz, ona karşılık gelen açıları çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz. Elbette hangi köşelerde olduğumuzu bulmamız gerekiyor. testere daire üzerinde. Bazen bu o kadar da açık değildir. Eh, burada mantığın gerekli olduğunu söyledim.)

Örneğin başka bir trigonometrik denkleme bakalım:

Lütfen denklemlerde mümkün olan tek sayının 0,5 sayısı olmadığını dikkate alın!) Bunu yazmak benim için kökleri ve kesirleri yazmaktan daha uygun.

Genel prensiplere göre çalışıyoruz. Bir daire çiziyoruz, işaretliyoruz (tabii ki sinüs ekseninde!) 0,5. Bu sinüse karşılık gelen tüm açıları aynı anda çiziyoruz. Bu resmi elde ediyoruz:

Önce açıyı ele alalım X ilk çeyrekte. Sinüs tablosunu hatırlıyoruz ve bu açının değerini belirliyoruz. Bu basit bir mesele:

x = π /6

Tüm dönüşleri hatırlıyoruz ve vicdan rahatlığıyla ilk cevap dizisini yazıyoruz:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

İşin yarısı tamamlandı. Ama şimdi belirlememiz gerekiyor. ikinci köşe... Kosinüs kullanmaktan daha zordur, evet... Ama mantık bizi kurtaracak! İkinci açı nasıl belirlenir x aracılığıyla mı? Evet Kolay! Resimdeki üçgenler aynı ve kırmızı köşe X açıya eşit X . Sadece negatif yönde π açısından sayılır. Bu yüzden kırmızıdır.) Ve cevap için pozitif yarı eksen OX'tan doğru ölçülmüş bir açıya ihtiyacımız var, yani. 0 derecelik bir açıyla.

İmleci çizimin üzerine getiriyoruz ve her şeyi görüyoruz. Resmi karmaşıklaştırmamak için ilk köşeyi kaldırdım. İlgilendiğimiz açı (yeşille çizilmiş) şuna eşit olacaktır:

π - x

X bunu biliyoruz π /6 . Bu nedenle ikinci açı şu şekilde olacaktır:

π - π /6 = 5π /6

Yine tam devrimler eklemeyi hatırlıyoruz ve ikinci cevap serisini yazıyoruz:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Bu kadar. Tam bir cevap iki dizi kökten oluşur:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Teğet ve kotanjant denklemler, trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılan aynı genel prensip kullanılarak kolayca çözülebilir. Tabii ki trigonometrik bir daire üzerinde teğet ve kotanjantın nasıl çizileceğini biliyorsanız.

Yukarıdaki örneklerde sinüs ve kosinüsün tablo değerini kullandım: 0,5. Onlar. öğrencinin bildiği anlamlardan biri mutlak.Şimdi yeteneklerimizi genişletelim diğer tüm değerler. Karar ver, öyleyse karar ver!)

Diyelim ki bu trigonometrik denklemi çözmemiz gerekiyor:

Kısa tablolarda böyle bir kosinüs değeri yoktur. Bu korkunç gerçeği soğukkanlılıkla görmezden geliyoruz. Bir daire çizin, kosinüs ekseninde 2/3'ü işaretleyin ve karşılık gelen açıları çizin. Bu resmi elde ediyoruz.

İlk önce ilk çeyrekteki açıya bakalım. Keşke x'in neye eşit olduğunu bilseydik, cevabı hemen yazardık! Bilmiyoruz... Başarısızlık!? Sakinlik! Matematik kendi insanını zor durumda bırakmaz! Bu durum için yay kosinüslerini buldu. Bilmemek? Boşuna. Öğrenin, düşündüğünüzden çok daha kolay. Bu bağlantıda "ters trigonometrik fonksiyonlar" ile ilgili tek bir hileli büyü yok... Bu konuda bu gereksizdir.

Biliyorsanız kendinize şunu söyleyin: "X, kosinüsü 2/3 olan bir açıdır." Ve hemen, tamamen ark kosinüs tanımına göre şunu yazabiliriz:

Ek devrimleri hatırlıyoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk kök serisini sakince yazıyoruz:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci açının ikinci kök dizisi neredeyse otomatik olarak yazılır. Her şey aynı, yalnızca X (arccos 2/3) eksi olacak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ve bu kadar! Bu doğru cevap. Tablo değerlerinden bile daha kolay. Hiçbir şeyi hatırlamanıza gerek yok.) Bu arada, en dikkatli kişi bu resmin ark kosinüs yoluyla çözümü gösterdiğini fark edecektir. özünde cosx = 0,5 denklemi için resimdekinden hiçbir farkı yoktur.

Kesinlikle! Genel prensip tam da budur! Kasıtlı olarak neredeyse aynı iki resim çizdim. Çember bize açıyı gösterir X kosinüsüne göre. Tablosal kosinüs olup olmadığı herkes tarafından bilinmiyor. Bunun ne tür bir açı olduğuna, π /3'e veya ark kosinüsün ne olduğuna karar vermek bize kalmış.

Sinüs ile aynı şarkı. Örneğin:

Tekrar bir daire çizin, sinüsü 1/3'e eşit olarak işaretleyin, açıları çizin. Elde ettiğimiz resim şu:

Ve yine resim denklemle hemen hemen aynı sinx = 0,5.İlk çeyreğe yine kornerden başlıyoruz. Sinüsü 1/3 ise X neye eşittir? Sorun değil!

Artık ilk kök paketi hazır:

x 1 = yaysin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci açıyı ele alalım. Tablo değeri 0,5 olan örnekte şuna eşitti:

π - x

Burada da durum tamamen aynı olacak! Sadece x farklıdır, yay 1/3'tür. Ne olmuş!? İkinci kök paketini güvenle yazabilirsiniz:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Bu tamamen doğru bir cevaptır. Her ne kadar pek tanıdık gelmese de. Ama açıktır, umarım.)

Trigonometrik denklemler daire kullanılarak bu şekilde çözülür. Bu yol açık ve anlaşılırdır. Belirli bir aralıkta köklerin seçimi ile trigonometrik denklemlerden, trigonometrik eşitsizliklerden tasarruf eden kişidir - bunlar genellikle neredeyse her zaman bir daire içinde çözülür. Kısacası standart görevlerden biraz daha zor olan her görevde.

Bilgiyi pratikte uygulayalım mı?)

Trigonometrik denklemleri çözün:

İlk olarak, daha basit, doğrudan bu dersten.

Şimdi durum daha karmaşık.

İpucu: Burada daireyi düşünmeniz gerekecek. Şahsen.)

Ve şimdi görünüşte basitler... Bunlara özel durumlar da deniyor.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

İpucu: Burada bir daire içinde iki seri cevabın olduğu ve nerede bir cevap olduğunu bulmanız gerekiyor... Ve iki seri cevap yerine bir cevabın nasıl yazılacağını. Evet, böylece sonsuz sayıdan tek bir kökü bile kaybolmaz!)

Aslında çok basit):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

İpucu: Burada arksinüs ve arkkosinüsün ne olduğunu bilmeniz gerekiyor? Arktanjant, arkkotanjant nedir? En basit tanımlar. Ancak herhangi bir tablo değerini hatırlamanıza gerek yok!)

Cevaplar elbette bir karmaşa):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Sadece düşünceli bir şekilde(o kadar modası geçmiş bir kelime var ki...) Ve bağlantıları takip edin. Ana bağlantılar daireyle ilgilidir. Trigonometri olmadan, gözleri bağlı olarak yolda geçmeye benzer. Bazen işe yarar.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Bilginin entegre uygulanmasına ilişkin bir ders.

Dersin Hedefleri.

Trigonometrik denklemleri çözmek için çeşitli yöntemleri gözden geçirin.
Denklem çözerek öğrencilerin yaratıcı yeteneklerini geliştirmek.
Öğrencileri kendi eğitim faaliyetlerini öz kontrole, karşılıklı kontrole ve öz analize teşvik etmek.

Ekipman: ekran, projektör, referans materyali.

Dersler sırasında

Giriş konuşması.

Trigonometrik denklemleri çözmenin ana yöntemi, onları en basit hallerine indirgemektir. Bu durumda, çarpanlara ayırma gibi olağan yöntemlerin yanı sıra yalnızca trigonometrik denklemleri çözmek için kullanılan teknikler kullanılır. Bu tekniklerin pek çoğu vardır, örneğin çeşitli trigonometrik ikameler, açı dönüşümleri, trigonometrik fonksiyonların dönüşümleri. Herhangi bir trigonometrik dönüşümün gelişigüzel uygulanması genellikle denklemi basitleştirmez, ancak onu felaket derecede karmaşıklaştırır. Denklemi çözmek için genel bir plan geliştirmek, denklemi en basit hale getirmenin bir yolunu çizmek için, önce açıları - denklemde yer alan trigonometrik fonksiyonların argümanlarını - analiz etmeniz gerekir.

Bugün trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerinden bahsedeceğiz. Doğru seçilen yöntem çoğu zaman çözümü önemli ölçüde basitleştirebilir, bu nedenle trigonometrik denklemleri en uygun yöntemi kullanarak çözmek için incelediğimiz tüm yöntemler her zaman akılda tutulmalıdır.

II. (Projektör kullanarak denklem çözme yöntemlerini tekrarlıyoruz.)

1. Trigonometrik bir denklemi cebirsel bir denkleme indirgeme yöntemi.

Tüm trigonometrik fonksiyonları aynı argümanla tek bir fonksiyon üzerinden ifade etmek gerekir. Bu, temel trigonometrik özdeşlik ve sonuçları kullanılarak yapılabilir. Bir trigonometrik fonksiyona sahip bir denklem elde ediyoruz. Bunu yeni bir bilinmeyen olarak alarak cebirsel bir denklem elde ederiz. Köklerini buluyoruz ve en basit trigonometrik denklemleri çözerek eski bilinmeyene dönüyoruz.

2. Çarpanlara ayırma yöntemi.

Açıları değiştirmek için, argümanların azaltılması, toplamı ve farkı formüllerinin yanı sıra trigonometrik fonksiyonların toplamını (farkını) bir çarpıma veya tam tersini dönüştürmek için kullanılan formüller genellikle faydalıdır.

günah x + günah 3x = günah 2x + sin4x