Ev » Tam için » Asal sayı kuralları. Asal olmayan sayılar

Asal sayı kuralları. Asal olmayan sayılar

asal sayı kalansız olarak yalnızca iki doğal sayıya bölünebilen doğal (pozitif tam sayı) bir sayıdır: kendine ve kendine. Başka bir deyişle, bir asal sayının tam olarak iki doğal böleni vardır: ve sayının kendisi.

Tanım gereği, bir asal sayının tüm bölenlerinden oluşan küme iki öğelidir, yani. bir kümeyi temsil eder.

Tüm asal sayıların kümesi sembolü ile gösterilir. Böylece asal sayılar kümesinin tanımı nedeniyle şunu yazabiliriz: .

Asal sayıların sırası şuna benzer:

Aritmetiğin Temel Teoremi

Aritmetiğin Temel Teoremi birden büyük her doğal sayının asal sayıların çarpımı olarak ve çarpanların sırasına göre benzersiz bir şekilde temsil edilebileceğini belirtir. Dolayısıyla asal sayılar kümenin temel "yapı taşlarıdır" doğal sayılar.

Doğal sayı genişletmesi title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonik:

asal sayı nerede ve . Örneğin, bir doğal sayının kanonik açılımı şuna benzer: .

Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı olarak temsil etmeye de denir. bir sayının çarpanlarına ayrılması.

Asal Sayıların Özellikleri

Eratostenes Eleği

Asal sayıları aramak ve tanımak için en ünlü algoritmalardan biri Eratostenes eleği. Yani bu algoritmaya, algoritmanın yazarı sayılan Yunan matematikçi Cyrene'li Eratosthenes'in adı verilmiştir.

Belirli bir sayıdan küçük tüm asal sayıları bulmak için Eratosthenes'in yöntemini uygulayarak şu adımları izlemeniz gerekir:

Aşama 1.İkiden 'ye kadar olan tüm doğal sayıları yazın, yani. .
Adım 2. Değişkene value değerini, yani en küçük asal sayıya eşit değeri atayın.
Aşama 3. Listede 'den 'ye kadar olan ve katı olan tüm sayıların üzerini çizin, yani: .
Adım 4. Listede 'den büyük olan ilk çaprazlanmamış sayıyı bulun ve bu sayının değerini bir değişkene atayın.
Adım 5. Sayıya ulaşılana kadar 3. ve 4. adımları tekrarlayın.

Algoritmayı uygulama süreci şöyle görünecektir:

Algoritmanın uygulanması işlemi sonunda listede kalan çaprazlanmamış sayıların tümü, 'den 'ye kadar olan asal sayılar kümesi olacaktır.

Goldbach varsayımı

“Petros Amca ve Goldbach Hipotezi” kitabının kapağı

Asal sayılar uzun süredir matematikçiler tarafından inceleniyor olmasına rağmen, asal sayılar ile ilgili pek çok problem günümüzde çözülememiştir. En ünlü çözülmemiş problemlerden biri Goldbach'ın hipotezi aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:

İkiden büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak temsil edilebileceği doğru mudur (Goldbach'ın ikili hipotezi)?
5'ten büyük her tek sayının toplam olarak gösterilebileceği doğru mu? üç basit sayılar (üçlü Goldbach hipotezi)?

Üçlü Goldbach hipotezinin ikili Goldbach hipotezinin özel bir durumu olduğu veya matematikçilerin dediği gibi üçlü Goldbach hipotezinin ikili Goldbach hipotezinden daha zayıf olduğu söylenmelidir.

Goldbach'ın varsayımı, 2000 yılında Bloomsbury USA (ABD) ve Faber ve Faber (İngiltere) yayın şirketlerinin tanıtım amaçlı pazarlama çalışmaları sayesinde matematik camiası dışında da geniş çapta tanındı. "Petros Amca ve Goldbach'ın Varsayımları" kitabını yayınlayan bu yayınevleri, kitabın basım tarihinden itibaren 2 yıl içinde Goldbach'ın hipotezini kanıtlayana 1 milyon ABD doları ödül verme sözü verdi. Bazen yayıncıların verdiği söz konusu ödül, Milenyum Ödülü Sorunlarını çözmeye yönelik ödüllerle karıştırılıyor. Yanlış anlaşılmasın, Goldbach'ın hipotezi, Clay Enstitüsü tarafından "milenyum mücadelesi" olarak sınıflandırılmamıştır, ancak her ne kadar Riemann hipotezi- “milenyumun zorluklarından” biri.

“Asal sayılar” kitabı. Sonsuzluğa giden uzun yol"

“Matematik Dünyası” kitabının kapağı. asal sayılar. Sonsuzluğa giden uzun yol"

Ek olarak, ek açıklamasında şöyle yazan büyüleyici bir popüler bilim kitabını okumanızı tavsiye ederim: “Asal sayıların araştırılması matematikteki en paradoksal problemlerden biridir. Bilim adamları birkaç bin yıldır bunu çözmeye çalışıyorlar, ancak yeni versiyonlar ve hipotezlerle birlikte büyüyen bu gizem hala çözülmemiş durumda. Asal sayıların ortaya çıkışı herhangi bir sisteme tabi değildir: doğal sayılar dizisinde kendiliğinden ortaya çıkarlar, matematikçilerin sıralarındaki kalıpları belirlemeye yönelik tüm girişimlerini göz ardı ederler. Bu kitap, okuyucunun bilimsel fikirlerin antik çağlardan günümüze kadar olan evriminin izini sürmesine ve asal sayıların araştırılmasına ilişkin en ilginç teorileri tanıtmasına olanak tanıyacak."

Ayrıca bu kitabın ikinci bölümünün başından alıntı yapacağım: “Asal sayılar bizi matematiğin en başlangıçlarına götüren ve giderek karmaşıklaşan bir yolda bizi en ön sıralara taşıyan önemli konulardan biridir. modern bilim. Bu nedenle büyüleyici ve etkileyici olanı takip etmek çok faydalı olacaktır. karmaşık tarih asal sayı teorisi: tam olarak nasıl gelişti, şu anda genel kabul görmüş gerçekler ve gerçekler tam olarak nasıl toplandı. Bu bölümde, nesiller boyu matematikçilerin asal sayıların ortaya çıkışını öngören bir kuralı (araştırma ilerledikçe giderek anlaşılması zor hale gelen bir kuralı) bulmak için doğal sayıları nasıl dikkatle incelediğini göreceğiz. Ayrıca tarihsel bağlama da detaylı bir şekilde bakacağız: matematikçilerin hangi koşullar altında çalıştığını ve çalışmalarının, günümüzde kullanılan bilimsel yöntemlerden oldukça farklı olan mistik ve yarı dini uygulamaları ne ölçüde içerdiğini. Ancak yavaş yavaş ve zorlukla, 17. ve 18. yüzyıllarda Fermat ve Euler'e ilham veren yeni görüşlerin zemini hazırlandı.”

İlya'nın cevabı doğru ama çok ayrıntılı değil. Bu arada, 18. yüzyılda bir sayı hâlâ asal sayı olarak kabul ediliyordu. Örneğin Euler ve Goldbach gibi büyük matematikçiler. Goldbach, milenyumun yedi probleminden biri olan Goldbach hipotezinin yazarıdır. Orijinal formülasyon, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini belirtir. Üstelik başlangıçta asal sayı olarak 1 dikkate alınıyordu ve şunu görüyoruz: 2 = 1+1. Bu, hipotezin orijinal formülasyonunu karşılayan en küçük örnektir. Daha sonra düzeltildi ve ifade şu şekilde oldu: modern görünüm: “4 ile başlayan her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak gösterilebilir.”

Tanımını hatırlayalım. Asal sayı, yalnızca 2 farklı doğal böleni olan bir p doğal sayısıdır: p'nin kendisi ve 1. Tanımdan çıkan sonuç: p asal sayısının yalnızca bir asal böleni vardır - p'nin kendisi.

Şimdi 1'in asal sayı olduğunu varsayalım. Tanım gereği, bir asal sayının yalnızca bir asal böleni vardır; kendisi. Daha sonra, 1'den büyük herhangi bir asal sayının, kendisinden farklı bir asal sayıya (1'e) bölünebildiği ortaya çıktı. Ancak iki farklı asal sayı birbirine bölünemez çünkü aksi takdirde bunlar asal sayılar değil bileşik sayılardır ve bu da tanıma aykırıdır. Bu yaklaşımla, yalnızca 1 asal sayının olduğu ortaya çıkıyor - birimin kendisi. Ama bu çok saçma. Bu nedenle 1 asal sayı değildir.

1 ve 0, başka bir sayı sınıfını oluşturur; cebirsel alanın bazı alt kümelerindeki n'li işlemlere göre nötr elemanlar sınıfı. Ayrıca toplama işlemi açısından 1 aynı zamanda tamsayılar halkası için de üretici bir elemandır.

Bu düşünceyle asal sayıların diğer cebirsel yapılardaki benzerlerini keşfetmek zor değildir. 1: 2, 4, 8, 16 vb.'den başlayarak 2'nin kuvvetlerinden oluşan çarpımsal bir grubumuz olduğunu varsayalım. 2 burada biçimlendirici bir unsur görevi görüyor. Bu gruptaki asal sayı, en küçük elementten büyük olan ve yalnızca kendisine ve en küçük elemente bölünebilen sayıdır. Bizim grubumuzda sadece 4 kişide bu tür özellikler var, bu kadar. Grubumuzda artık asal sayı yok.

Eğer 2 bizim grubumuzda da bir asal sayı olsaydı, o zaman ilk paragrafa bakın; yine sadece 2'nin asal sayı olduğu ortaya çıkar.

Asal sayı, yalnızca kendisine ve bire bölünebilen doğal sayıdır.

Geriye kalan sayılara bileşik sayılar denir.

Asal doğal sayılar

Ancak tüm doğal sayılar asal sayı değildir.

Asal doğal sayılar yalnızca kendilerine ve bire bölünebilen sayılardır.

Asal sayılara örnekler:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Asal Tam Sayılar

Buradan yalnızca doğal sayıların asal sayı olduğu sonucu çıkar.

Bu, asal sayıların zorunlu olarak doğal sayılar olduğu anlamına gelir.

Ancak tüm doğal sayılar aynı zamanda tamsayılardır.

Bu nedenle asal sayıların tümü tam sayıdır.

Asal sayılara örnekler:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Asal sayılar bile

Yalnızca tek bir çift asal sayı vardır; iki sayısı.

Diğer asal sayıların tümü tektir.

Neden ikiden büyük bir çift sayı asal sayı olamaz?

Ancak ikiden büyük herhangi bir çift sayı bire ve ikiye değil, kendine bölünebileceğinden, yani böyle bir sayının her zaman üç, hatta daha fazla böleni olacaktır.

Biri hariç tüm doğal sayılar asal ve bileşik olarak ikiye ayrılır. Asal sayı, yalnızca iki böleni olan bir doğal sayıdır: bir ve kendisi. Diğerlerinin tümüne kompozit denir. Asal sayıların özellikleri, matematiğin özel bir dalı olan sayılar teorisi tarafından incelenmektedir. Halka teorisinde asal sayılar indirgenemez elemanlarla ilişkilidir.

İşte 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73'ten başlayan asal sayılar dizisi , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,... vb.

Aritmetiğin temel teoremine göre birden büyük olan her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak gösterilebilir. Aynı zamanda doğal sayıları çarpanların sırasına göre temsil etmenin tek yolu budur. Buradan yola çıkarak asal sayıların doğal sayıların elementer parçaları olduğunu söyleyebiliriz.

Bir doğal sayının bu temsiline, bir doğal sayının asal sayılara ayrıştırılması veya bir sayının çarpanlarına ayrılması denir.

En eskilerden biri ve etkili yollar Asal sayıların hesaplanması “Erasstophenes eleği”dir.

Uygulama, Erastofen eleği kullanılarak asal sayıları hesapladıktan sonra, olup olmadığını kontrol etmenin gerekli olduğunu göstermiştir. verilen numara basit. Bu amaçla basitlik testleri adı verilen özel testler geliştirilmiştir. Bu testlerin algoritması olasılıksaldır. En sık kriptografide kullanılırlar.

Bu arada, bazı sayı sınıfları için özel etkili asallık testleri vardır. Örneğin Mersenne sayılarının asallığını kontrol etmek için Luc-Lehmer testi, Fermat sayılarının asallığını kontrol etmek için Pepin testi kullanılır.

Sonsuz sayıda sayının olduğunu hepimiz biliyoruz. Haklı olarak şu soru ortaya çıkıyor: O halde kaç tane asal sayı var? Ayrıca sonsuz sayıda asal sayı vardır. Bu önermenin en eski kanıtı, Elementler kitabında ortaya konan Öklid'in kanıtıdır. Öklid'in kanıtı şuna benzer:

Asal sayıların sayısının sonlu olduğunu varsayalım. Bunları çarpıp bir ekleyelim. Ortaya çıkan sayı, sonlu asal sayılar kümesinden herhangi birine bölünemez çünkü bunlardan herhangi birine bölünmenin geri kalanı bir verir. Bu nedenle sayının bu kümede yer almayan bir asal sayıya bölünebilmesi gerekir.

Asal sayı dağılım teoremi, π(n) ile gösterilen, n'den küçük asal sayıların sayısının n / ln(n) olarak arttığını belirtir.

Asal sayılar üzerinde binlerce yıl çalıştıktan sonra bilinen en büyük asal sayı 243112609 - 1'dir. Bu sayı 12.978.189 ondalık basamağa sahiptir ve Mersenne asal sayısıdır (M43112609). Bu keşif, 23 Ağustos 2008'de uCLA Üniversitesi Matematik Fakültesi'nde, Mersenne asal sayılar projesi GIMPS'e yönelik dağıtılmış aramanın bir parçası olarak yapıldı.

Ev ayırt edici özellik Mersenne sayıları oldukça etkili bir Luc-Lemaire asallık testinin varlığıdır. Onun yardımıyla Mersenne asal sayıları uzun bir süre boyunca bilinen en büyük asal sayılar haline geldi.

Ancak bugüne kadar asal sayılara ilişkin pek çok soruya kesin yanıt alınamadı. 5. Uluslararası Matematik Kongresi'nde Edmund Landau asal sayılar alanındaki temel sorunları formüle etti:

Goldbach'ın problemi veya Landau'nun ilk problemi, 2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ve 5'ten büyük her tek sayının üç asal sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini kanıtlamanın veya çürütmenin gerekli olmasıdır.
Landau'nun ikinci problemi şu soruya bir cevap bulmayı gerektiriyor: küme mi " basit ikizler» - farkı 2 olan asal sayılar?
Legendre'nin varsayımı veya Landau'nun üçüncü problemi şudur: n2 ile (n + 1)2 arasında her zaman bir asal sayı olduğu doğru mudur?
Landau'nun dördüncü problemi: n2 + 1 formundaki asal sayılar kümesi sonsuz mudur?
Yukarıdaki problemlerin yanı sıra Fibonacci sayısı, Fermat sayısı vb. birçok tam sayı dizisinde sonsuz sayıda asal sayının belirlenmesi problemi bulunmaktadır.

Makalede asal ve bileşik sayı kavramları tartışılmaktadır. Bu sayıların tanımları örneklerle verilmiştir. Asal sayıların sayısının sınırsız olduğuna dair bir kanıt sunacağız ve bunu Eratosthenes yöntemini kullanarak asal sayılar tablosuna kaydedeceğiz. Bir sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu belirlemek için kanıtlar verilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Asal ve Bileşik Sayılar - Tanımlar ve Örnekler

Asal ve bileşik sayılar pozitif tam sayılar olarak sınıflandırılır. Birden büyük olmaları gerekir. Bölenler ayrıca basit ve bileşik olarak ikiye ayrılır. Bileşik sayılar kavramını anlamak için öncelikle bölen ve kat kavramlarını incelemelisiniz.

Tanım 1

Asal sayılar, birden büyük ve kendisi ve 1 olmak üzere iki pozitif böleni olan tam sayılardır.

Tanım 2

Bileşik sayılar birden büyük ve en az üç pozitif böleni olan tam sayılardır.

Bir ne asal ne de bileşik sayıdır. Tek bir pozitif böleni olduğundan diğer tüm pozitif sayılardan farklıdır. Pozitif tam sayıların tümüne doğal sayılar denir, yani saymada kullanılır.

Tanım 3

asal sayılar yalnızca iki pozitif böleni olan doğal sayılardır.

Tanım 4

Bileşik sayı ikiden fazla pozitif böleni olan bir doğal sayıdır.

1'den büyük olan herhangi bir sayı ya asaldır ya da bileşiktir. Bölünebilme özelliğinden şunu elde ederiz: 1 ve a sayısı her zaman herhangi bir a sayısının bölenleri olacaktır, yani hem kendisine hem de 1'e bölünebilir. Tam sayıların tanımını verelim.

Tanım 5

Asal olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir.

Asal sayılar: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sadece kendilerine ve 1'e bölünebilirler. Bileşik sayılar: 6, 63, 121, 6697. Yani 6 sayısını 2 ve 3'e, 63 sayısını da 1, 3, 7, 9, 21, 63 ve 121 sayısını 11, 11'e ayrıştırabiliriz yani bölenleri 1, 11, 121 olacaktır. 6697 sayısı 37 ve 181'e ayrıştırılmıştır. Asal sayı ve eş asal sayı kavramlarının farklı kavramlar olduğunu unutmayın.

Asal sayıları kullanmayı kolaylaştırmak için bir tablo kullanmanız gerekir:

Mevcut tüm doğal sayıları içeren bir tablo gerçekçi değildir, çünkü bunlardan sonsuz sayıda vardır. Sayılar 10000 veya 1000000000 boyutlarına ulaştığında Eratosthenes Eleği kullanmayı düşünmelisiniz.

Son ifadeyi açıklayan teoremi ele alalım.

Teorem 1

Birden büyük bir doğal sayının 1 dışındaki en küçük pozitif böleni asal sayıdır.

Kanıt 1

a'nın 1'den büyük bir doğal sayı olduğunu, b'nin a'nın bir olmayan en küçük böleni olduğunu varsayalım. Çelişki yöntemini kullanarak b'nin asal sayı olduğunu kanıtlamak gerekir.

B'nin bileşik bir sayı olduğunu varsayalım. Buradan b için hem 1'den hem de b'den farklı bir bölen olduğunu anlıyoruz. Böyle bir bölen b 1 olarak gösterilir. 1. koşulun sağlanması gerekiyor< b 1 < b tamamlanmıştı.

Koşuldan a'nın b'ye bölündüğü, b'nin b 1'e bölündüğü açıktır, bu da bölünebilirlik kavramının şu şekilde ifade edildiği anlamına gelir: a = bq ve b = b 1 · q 1 , buradan a = b 1 · (q 1 · q) , burada q ve q 1 tamsayılardır. Tam sayıların çarpımı kuralına göre, tam sayıların çarpımının a = b 1 · (q 1 · q) biçiminde eşitliğe sahip bir tam sayı olduğunu biliyoruz. Görülüyor ki b 1 a sayısının böleni. Eşitsizlik 1< b 1 < b Olumsuz karşılık gelir, çünkü b'nin a'nın en küçük pozitif ve 1 olmayan böleni olduğunu bulduk.

Teorem 2

Sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Kanıt 2

Muhtemelen sonlu sayıda n doğal sayısını alıyoruz ve bunları p 1, p 2, …, p n olarak gösteriyoruz. Belirtilenlerden farklı bir asal sayı bulma seçeneğini ele alalım.

p 1, p 2, ..., p n + 1'e eşit olan p sayısını dikkate alalım. p 1, p 2, ..., p n formundaki asal sayılara karşılık gelen sayıların her birine eşit değildir. p sayısı asaldır. Daha sonra teoremin kanıtlanmış olduğu kabul edilir. Bileşik ise p n + 1 notasyonunu almanız gerekir. ve bölenin p 1, p 2, ..., p n'den herhangi biriyle çakışmadığını gösterin.

Eğer durum böyle olmasaydı p 1, p 2, ..., p n çarpımının bölünebilme özelliğine göre , pn + 1'e bölünebileceğini bulduk. p n + 1 ifadesinin olduğuna dikkat edin p sayısının bölünmesi p 1, p 2, ..., p n + 1 toplamına eşittir. p n + 1 ifadesini elde ederiz Bu toplamın 1'e eşit olan ikinci teriminin bölünmesi gerekir, ancak bu imkansızdır.

Verilen asal sayılar arasında herhangi bir asal sayının bulunabileceği görülmektedir. Buradan sonsuz sayıda asal sayının olduğu sonucu çıkar.

Çok fazla asal sayı olduğundan tablolar 100, 1000, 10000 vb. sayılarla sınırlıdır.

Asal sayılar tablosunu derlerken, böyle bir görevin 2'den 100'e kadar sayıların sıralı olarak kontrol edilmesini gerektirdiğini dikkate almalısınız. Bölen yoksa tabloya kaydedilir, bileşik ise tabloya girilmez.

Gelin adım adım bakalım.

2 sayısıyla başlarsanız, yalnızca 2 böleni vardır: 2 ve 1, bu da tabloya girilebileceği anlamına gelir. 3 numarayla aynı. 4 sayısı bileşiktir; 2 ve 2'ye ayrıştırılması gerekir. 5 sayısı asaldır, yani tabloya kaydedilebilir. Bunu 100 sayısına kadar yapın.

Bu method uygunsuz ve uzun. Bir masa oluşturabilirsiniz, ancak harcamanız gerekecek çok sayıda zaman. Bölenleri bulma sürecini hızlandıracak bölünebilme kriterlerini kullanmak gerekir.

Eratosthenes eleğini kullanan yöntemin en uygun olduğu kabul edilir. Örnek olarak aşağıdaki tablolara bakalım. Başlangıç olarak 2, 3, 4, ..., 50 sayıları yazılır.

Şimdi 2'nin katı olan tüm sayıların üzerini çizmeniz gerekiyor. Sıralı üst çizgileri gerçekleştirin. Şöyle bir tablo elde ediyoruz:

5'in katı olan sayıların üzerini çizmeye devam ediyoruz. Şunu elde ederiz:

7, 11'in katı olan sayıların üzerini çizin. Sonuçta tablo şuna benziyor

Teoremin formülasyonuna geçelim.

Teorem 3

A tabanı sayısının en küçük pozitif ve 1 olmayan böleni a'yı aşmaz; burada a, aritmetik kök belirli bir sayı.

Kanıt 3

Bileşik bir a sayısının en küçük bölenini b olarak belirtmek gerekir. a = b · q olan bir q tam sayısı vardır ve b ≤ q'ya sahibiz. Formdaki eşitsizlikler kabul edilemez b > q,Çünkü koşul ihlal edilmiştir. b ≤ q eşitsizliğinin her iki tarafı herhangi bir sayı ile çarpılmalıdır. pozitif sayı b 1'e eşit değil. b 2 ≤ a ve b ≤ a olmak üzere b · b ≤ b · q sonucunu elde ederiz.

Kanıtlanmış teoremden, tablodaki sayıların üzerinin çizilmesinin, b 2'ye eşit ve b 2 ≤ a eşitsizliğini karşılayan bir sayıyla başlamanın gerekli olduğu gerçeğine yol açtığı açıktır. Yani, 2'nin katı olan sayıların üzerini çizerseniz, süreç 4 ile başlar ve 3'ün katları 9 ile başlar ve bu şekilde 100'e kadar devam eder.

Eratosthenes teoremini kullanarak böyle bir tablo derlemek, tüm bileşik sayıların üzeri çizildiğinde, n'yi aşmayan asal sayıların kalacağını gösterir. N = 50 olan örnekte n = 50 elde ederiz. Buradan Eratosthenes süzgecinin, değeri 50'nin kökünün değerinden büyük olmayan tüm bileşik sayıları elediğini anlıyoruz. Numaraların aranması üzeri çizilerek yapılır.

Çözmeden önce sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu bulmanız gerekir. Bölünebilme kriterleri sıklıkla kullanılır. Aşağıdaki örnekte buna bakalım.

örnek 1

898989898989898989 sayısının bileşik olduğunu kanıtlayın.

Çözüm

Belirli bir sayının rakamlarının toplamı 9 8 + 9 9 = 9 17'dir. Bu, 9'a bölünebilme testine göre 9 · 17 sayısının 9'a bölünebileceği anlamına gelir. Bundan kompozit olduğu sonucu çıkar.

Bu tür işaretler bir sayının asallığını kanıtlayamaz. Doğrulama gerekiyorsa başka eylemler de gerçekleştirilmelidir. En uygun yol sayıları numaralandırmaktır. İşlem sırasında asal ve bileşik sayılar bulunabilir. Yani sayıların a değerini aşmaması gerekir. Yani, a sayısının şu şekilde ayrıştırılması gerekir: asal faktörler. eğer bu sağlanırsa, o zaman a sayısı asal sayılabilir.

Örnek 2

11723'ün bileşik veya asal sayısını belirleyin.

Çözüm

Şimdi 11723 sayısının tüm bölenlerini bulmanız gerekiyor. 11723'ü değerlendirmemiz gerekiyor.

Buradan 11723'ü görüyoruz< 200 , то 200 2 = 40 000 ve 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

11723 sayısının daha doğru bir tahmini için 108 2 = 11 664 ifadesini yazmanız gerekir ve 109 2 = 11 881 , O 108 2 < 11 723 < 109 2 . 11723 sonucu çıkıyor< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Genişlettiğimizde 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 sayıları asal sayılardır. Tüm bu süreç bir sütunla bölünme olarak gösterilebilir. Yani 11723'ü 19'a bölün. Kalansız bölme işlemi yaptığımız için 19 sayısı onun çarpanlarından biridir. Bölmeyi bir sütun olarak temsil edelim: