y 3 üzeri x fonksiyonunun özellikleri. Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği Gösteri materyali Ders-konuşma Fonksiyon kavramı. Fonksiyon özellikleri. Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği. 10. Sınıf Tüm hakları saklıdır. Telif Hakkı ve Telif Hakkı ile

Ders ilerlemesi: Tekrarlama. İşlev. Fonksiyonların özellikleri. Yeni materyal öğrenme. 1. Güç fonksiyonunun tanımı. Güç fonksiyonunun tanımı. 2. Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri. Çalışılan materyalin konsolidasyonu. Sözlü sayma. Sözlü sayma. Ders özeti. Ev ödevi Ev ödevi.

Bir fonksiyonun tanım alanı ve değerlerin alanı Bağımsız değişkenin tüm değerleri, fonksiyonun tanım alanını oluşturur x y=f(x) f Fonksiyonun tanım alanı Fonksiyonun değerlerinin alanı Tümü Bağımlı değişkenin aldığı değerler, Fonksiyon fonksiyonunun değerlerinin alanını oluşturur. Fonksiyon özellikleri

Bir fonksiyonun grafiği Bir fonksiyon verilsin, burada xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Bir fonksiyonun grafiği, apsisleri argümanın değerlerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir, ve koordinatlar fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir. İşlev. Fonksiyon özellikleri

Y x Fonksiyonun tanım bölgesi ve değer aralığı 4 y=f(x) Fonksiyonun tanım bölgesi: Fonksiyonun değerlerinin bölgesi: Fonksiyon. Fonksiyon özellikleri

Çift fonksiyon y x y=f(x) Çift fonksiyonun grafiği op-amp eksenine göre simetriktir.F(-x) = f(x) olsa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır. Fonksiyon fonksiyonunun tanım kümesinden herhangi bir x. Fonksiyon özellikleri

Tek fonksiyon y x y=f(x) Tek fonksiyonun grafiği O(0;0) orijinine göre simetriktir. f(-x) = -f(x) ise y=f(x) fonksiyonuna tek denir bölgedeki herhangi bir x için fonksiyon tanımları Fonksiyon. Fonksiyon özellikleri

Kuvvet fonksiyonunun tanımı P'nin belirli bir gerçel sayı olduğu fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. p y=x p P=x y 0 Dersin ilerleyişi

Güç fonksiyonu x y 1. Formun güç fonksiyonlarının tanım alanı ve değer aralığı, burada n – doğal sayı, hepsi gerçek sayılardır. 2. Bu işlevler tuhaftır. Grafikleri orijine göre simetriktir. Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Rasyonel pozitif üslü kuvvet fonksiyonları Etki Alanı - hepsi pozitif sayılar ve 0 sayısı. Bu üslü fonksiyonların değer aralığı da tamamı pozitif sayılar ve 0 sayısıdır. Bu fonksiyonlar ne çift ne de tektir. y x Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Rasyonel güç fonksiyonu negatif gösterge. Bu tür fonksiyonların tanım alanı ve değer aralığının tümü pozitif sayılardır. Fonksiyonlar ne çift ne de tektir. Bu tür işlevler tüm tanım alanları boyunca azalır. y x Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri Dersin ilerleyişi

Ulusal Araştırma Üniversitesi

Uygulamalı Jeoloji Bölümü

Yüksek matematik üzerine özet

Konuyla ilgili: “Temel temel işlevler,

özellikleri ve grafikleri"

Tamamlanmış:

Kontrol:

Öğretmen

Tanım. y=ax (burada a>0, a≠1) formülüyle verilen fonksiyona a tabanlı üstel fonksiyon denir.

Ana özellikleri formüle edelim üstel fonksiyon:

1. Tanımın tanım kümesi tüm reel sayılar kümesidir (R).

2. Aralık - tüm pozitif gerçek sayıların kümesi (R+).

3. a > 1 için fonksiyon sayı doğrusu boyunca artar; 0'da<а<1 функция убывает.

4. Genel formun bir fonksiyonudur.

, xО [-3;3] aralığında
, xО [-3;3] aralığında

n'nin ОR sayısı olduğu y(x)=x n formundaki bir fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. N sayısı farklı değerler alabilir: hem tam sayı hem de kesirli, hem çift hem de tek. Buna bağlı olarak güç fonksiyonu farklı bir forma sahip olacaktır. Güç fonksiyonları olan ve bu tür bir eğrinin temel özelliklerini aşağıdaki sırayla yansıtan özel durumları ele alalım: güç fonksiyonu y=x² (çift üslü fonksiyon - bir parabol), güç fonksiyonu y=x³ (tek üslü fonksiyon) - kübik parabol) ve fonksiyon y=√x (x üssü ½) (kesirli üslü fonksiyon), negatif tamsayı üslü fonksiyon (hiperbol).

Güç fonksiyonu y=x²

1. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;

2. E(y)= ve aralıkta artar

Güç fonksiyonu y=x³

1. y=x³ fonksiyonunun grafiğine kübik parabol denir. y=x³ kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

2. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;

3. E(y)=(-∞;∞) – fonksiyon, tanım alanındaki tüm değerleri alır;

4. x=0 y=0 olduğunda – fonksiyon O(0;0) koordinatlarının orijininden geçer.

5. Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

6. Fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir).

, xО [-3;3] aralığında

X³'ün önündeki sayısal faktöre bağlı olarak fonksiyon dik/düz ve artan/azalan olabilir.

Negatif tamsayı üslü kuvvet fonksiyonu:

Eğer n üssü tek ise, böyle bir kuvvet fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Tamsayı negatif üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Herhangi bir n için D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), eğer n tek sayı ise; E(y)=(0;∞), eğer n bir çift sayı ise;

3. Eğer n tek sayı ise fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalır; n bir çift sayı ise fonksiyon (-∞;0) aralığında artar ve (0;∞) aralığında azalır.

4. Eğer n tek bir sayı ise fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir); n bir çift sayıysa, bir işlev çifttir.

5. Fonksiyon, n tek sayı ise (1;1) ve (-1;-1) noktalarından, n çift sayı ise (1;1) ve (-1;1) noktalarından geçer.

, xО [-3;3] aralığında

Kesirli üslü kuvvet fonksiyonu

Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun (resim) şekilde gösterilen fonksiyonun grafiği vardır. Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir: (resim)

1. D(x) ОR, eğer n tek sayı ise ve D(x)=
, xО aralığında
, xО [-3;3] aralığında

Logaritmik fonksiyon y = log a x aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım kümesi D(x)О (0; + ∞).

2. Değer aralığı E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Fonksiyon ne çift ne de tektir (genel biçimde).

4. Fonksiyon a > 1 için (0; + ∞) aralığında artar, 0 için (0; + ∞) aralığında azalır< а < 1.

y = log a x fonksiyonunun grafiği, y = a x fonksiyonunun grafiğinden, y = x düz çizgisine göre bir simetri dönüşümü kullanılarak elde edilebilir. Şekil 9'da a > 1 için logaritmik fonksiyonun grafiği ve Şekil 10'da 0 için bir grafik gösterilmektedir.< a < 1.

; xО aralığında
; xО aralığında

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x fonksiyonlarına trigonometrik fonksiyonlar denir.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x fonksiyonları tektir ve y = cos x fonksiyonu çifttir.

Fonksiyon y = sin(x).

1. Tanım alanı D(x) ОR.

2. Değer aralığı E(y) О [ - 1; 1].

3. Fonksiyon periyodiktir; ana periyot 2π'dir.

4. Fonksiyon tektir.

5. Fonksiyon [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ve [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y = sin(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 11’de gösterilmektedir.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Güç fonksiyonları. Özellikler. Grafikler"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"

Güç fonksiyonları, tanım alanı.

Arkadaşlar, son dersimizde rasyonel üslü sayılarla çalışmayı öğrendik. Bu derste kuvvet fonksiyonlarına bakacağız ve kendimizi üssün rasyonel olduğu durumla sınırlayacağız.
Şu formdaki fonksiyonları ele alacağız: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Öncelikle üssü $\frac(m)(n)>1$ olan fonksiyonları ele alalım.
Bize belirli bir $y=x^2*5$ fonksiyonu verilsin.
Geçen derste verdiğimiz tanıma göre: eğer $x≥0$ ise fonksiyonumuzun tanım tanım kümesi $(x)$ ışınıdır. Fonksiyon grafiğimizi şematik olarak gösterelim.

Fonksiyonun özellikleri $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Ne çift ne de tektir.
3. $$ artar,
b) $(2,10)$,
c) ray $$'da.
Çözüm.
Çocuklar, en iyisini nasıl bulduğumuzu hatırlıyor musunuz? en küçük değer 10. sınıfta bir segment üzerinde çalışıyor mu?
Doğru, türevi kullandık. Örneğimizi çözelim ve en küçük ve en büyük değeri bulmak için algoritmayı tekrarlayalım.
1. Verilen fonksiyonun türevini bulun:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Türev, orijinal fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca mevcuttur, bu durumda kritik noktalar yoktur. Durağan noktaları bulalım:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
64$x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ve $x_2=\sqrt(64)=4$.
Belirli bir segment yalnızca bir çözüm içerir: $x_2=4$.
Segmentin uçlarında ve ekstremum noktasında fonksiyonumuzun değerlerinin bir tablosunu oluşturalım:
Cevap: $y_(name)=-862.65$ at $x=9$; $y_(maks.)=38,4$, $x=4$'da.

Örnek. Denklemi çözün: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Çözüm. $y=x^(\frac(4)(3))$ fonksiyonunun grafiği artar ve $y=24-x$ fonksiyonunun grafiği azalır. Arkadaşlar, siz ve ben biliyoruz: eğer bir fonksiyon artarken diğeri azalırsa, o zaman bunlar yalnızca bir noktada kesişir, yani tek bir çözümümüz olur.
Not:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Yani, $x=8$ ile $16=16$ doğru eşitliğini elde ettik, denklemimizin çözümü budur.
Cevap: $x=8$.

Örnek.
Fonksiyonun grafiğini çizin: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Çözüm.
Fonksiyonumuzun grafiği $y=x^(\frac(3)(4))$ fonksiyonunun grafiğinden 3 birim sağa ve 2 birim yukarı kaydırılarak elde edilir.

Örnek. $y=x^(-\frac(4)(5))$ doğrusuna $x=1$ noktasındaki teğet için bir denklem yazın.
Çözüm. Teğet denklemi bildiğimiz formülle belirlenir:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizim durumumuzda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Türevini bulalım:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Hesaplayalım:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Teğet denklemini bulalım:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Cevap: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. Segmentte fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun: $y=x^\frac(4)(3)$:
a) $$.
b) $(4.50)$.
c) ray $$'da.
3. Denklemi çözün: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Fonksiyonun grafiğini oluşturun: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $x=1$ noktasındaki $y=x^(-\frac(3)(7))$ düz çizgisine teğet için bir denklem oluşturun.

Bir kuvvet fonksiyonunu dikkate almanın kolaylığı için, 4 ayrı durumu ele alacağız: doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu, tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu, rasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu ve irrasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu.

Doğal üslü kuvvet fonksiyonu

Öncelikle doğal üssü olan derece kavramını tanıtalım.

Tanım 1

Doğal üssü $n$ olan bir $a$ gerçek sayısının kuvveti, her biri $a$ sayısına eşit olan $n$ faktörlerinin çarpımına eşit bir sayıdır.

Resim 1.

$a$ derecenin temelidir.

$n$ üstür.

Şimdi doğal üssü, özellikleri ve grafiği olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

Tanım 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$, doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.

Daha fazla kolaylık sağlamak için, $f\left(x\right)=x^(2n)$ çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ve $f\left(x\right)=x^ tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ayrı ayrı ele alıyoruz. (2n-1)$ ($n\in N)$.

Doğal çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- fonksiyon çifttir.

Değer alanı -- $\

Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ kadar azalır ve $x\in (0,+\infty)$ kadar artar.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.

Etki alanının uçlarındaki davranış:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Şekil 2).

Şekil 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ fonksiyonunun grafiği

Doğal tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fonksiyon tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Aralığın tamamı gerçek sayılardır.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ için.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ için içbükeydir ve $x\in (0,+\infty)$ için dışbükeydir.

Grafik (Şekil 3).

Şekil 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ fonksiyonunun grafiği

Tamsayı üssüyle kuvvet fonksiyonu

Öncelikle tam sayı üssü olan derece kavramını tanıtalım.

Tanım 3

Derece gerçek Numara$n$ tamsayı üssüyle $a$ aşağıdaki formülle belirlenir:

Şekil 4.

Şimdi tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu, özelliklerini ve grafiğini ele alalım.

Tanım 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$, tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.

Derece sıfırdan büyükse, doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu durumuna geliriz. Yukarıda zaten tartışmıştık. $n=0$ için $y=1$ doğrusal fonksiyonunu elde ederiz. Değerlendirmesini okuyucuya bırakıyoruz. Geriye negatif tam sayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini dikkate almak kalıyor.

Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

Tanımın etki alanı $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$'dır.

Üs çift ise fonksiyon çifttir, tek ise fonksiyon tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Kapsam:

Üs çift ise $(0,+\infty)$; tek ise $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Tek bir üs için fonksiyon $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ olarak azalır. Üs çift ise fonksiyon $x\in (0,+\infty)$ olarak azalır. ve $x\in \left(-\infty ,0\right)$ olarak artar.

Tanımın tüm alanı boyunca $f(x)\ge 0$

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri sunulmuştur. Farklı anlamlarüs. Temel formüller, tanım alanları ve değer kümeleri, eşlik, monotonluk, artan ve azalan, ekstremum, dışbükeylik, bükülmeler, koordinat eksenleriyle kesişim noktaları, limitler, belirli değerler.

Güç fonksiyonlarına sahip formüller

Güç fonksiyonunun tanım alanında y = x p elimizde var aşağıdaki formüller:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Üssü sıfıra eşit olan güç fonksiyonu, p = 0

Güç fonksiyonunun üssü y = x p sıfıra eşitse, p = 0, bu durumda güç fonksiyonu tüm x ≠ 0 için tanımlanır ve bire eşit bir sabittir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Doğal tek üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 1, 3, 5, ...

Doğal tek üssü n = 1, 3, 5, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k + 1, burada k = 0, 1, 2, 3, ... negatif olmayan bir tam sayıdır. Aşağıda bu tür fonksiyonların özellikleri ve grafikleri verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, ....

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < ∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
-∞'da< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 1 için fonksiyon onun tersidir: x = y
n ≠ 1 için, ters fonksiyon n derecesinin köküdür:

Doğal çift üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 2, 4, 6, ...

Doğal çift üssü n = 2, 4, 6, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... - doğal. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< ∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 için monoton olarak azalır
x ≥ 0 için monoton olarak artar
Aşırılıklar: minimum, x = 0, y = 0
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 2 için, Kare kök:
n ≠ 2 için, n derecesinin kökü:

Negatif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = -1, -2, -3, ...

Tamsayı negatif üssü n = -1, -2, -3, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Eğer k = 1, 2, 3, ... bir doğal sayı olmak üzere n = -k koyarsak, o zaman şu şekilde temsil edilebilir:

Üssün çeşitli değerleri için negatif tamsayı üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = -1, -2, -3, ... .

Tek üs, n = -1, -3, -5, ...

Aşağıda tek negatif üssü n = -1, -3, -5, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y ≠ 0
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -1 olduğunda,
n'de< -2 ,

Çift üs, n = -2, -4, -6, ...

Aşağıda çift negatif üslü n = -2, -4, -6, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -2'de,
n'de< -2 ,

Rasyonel (kesirli) üslü kuvvet fonksiyonu

Rasyonel (kesirli) üssü olan bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün; burada n bir tamsayı, m > 1 ise bir doğal sayıdır. Üstelik n, m'nin ortak bölenleri yoktur.

Kesirli göstergenin paydası tektir

Kesirli üssün paydası tek olsun: m = 3, 5, 7, ... . Bu durumda kuvvet fonksiyonu x p hem pozitif hem de pozitif için tanımlanır. negatif değerler argüman x. p üssü belirli sınırlar içinde olduğunda bu tür güç fonksiyonlarının özelliklerini ele alalım.

P değeri negatiftir, p< 0

Rasyonel üs (paydası tek olan m = 3, 5, 7, ...) sıfırdan küçük olsun: .

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel bir negatif üsle güç fonksiyonlarının grafikleri, burada m = 3, 5, 7, ... - tek.

Tek pay, n = -1, -3, -5, ...

Y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini rasyonel bir negatif üsle sunuyoruz; burada n = -1, -3, -5, ... tek bir negatif tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... bir tek doğal tamsayı.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y ≠ 0
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = -2, -4, -6, ...

Rasyonel negatif üslü y = x p güç fonksiyonunun özellikleri; burada n = -2, -4, -6, ... çift negatif bir tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal tam sayıdır .

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

P değeri pozitif, birden küçük, 0< p < 1

Rasyonel üssü (0) olan bir güç fonksiyonunun grafiği< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Tek pay, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

İhtisas: -∞ < x < +∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < +∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вниз
x > 0 için: yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 2, 4, 6, ...

Rasyonel üssü 0 olan y = x p güç fonksiyonunun özellikleri sunulmuştur.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

İhtisas: -∞ < x < +∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< +∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно убывает
x > 0 için: monoton olarak artar
Aşırılıklar: x = 0'da minimum, y = 0
Dışbükey: x ≠ 0 için yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
İmza: x ≠ 0 için, y > 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = 1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

P indeksi birden büyüktür, p > 1

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel üslü (p > 1) bir güç fonksiyonunun grafiği, burada m = 3, 5, 7, ... - tek.

Tek pay, n = 5, 7, 9, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: . Burada n = 5, 7, 9, ... - tek doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < ∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
-∞'da< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 4, 6, 8, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: . Burada n = 4, 6, 8, ... - çift doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< ∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 монотонно убывает
x > 0 için monoton olarak artar
Aşırılıklar: x = 0'da minimum, y = 0
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = 1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Kesirli göstergenin paydası çifttir

Kesirli üssün paydası çift olsun: m = 2, 4, 6, ... . Bu durumda argümanın negatif değerleri için x p kuvvet fonksiyonu tanımlanmaz. Özellikleri, irrasyonel üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleriyle örtüşmektedir (sonraki bölüme bakınız).

İrrasyonel üslü kuvvet fonksiyonu

İrrasyonel p üssüne sahip bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün. Bu tür fonksiyonların özellikleri yukarıda tartışılanlardan farklıdır çünkü x argümanının negatif değerleri için tanımlanmamıştır. İçin pozitif değerler argümanında, özellikler yalnızca p üssünün değerine bağlıdır ve p'nin tam sayı, rasyonel veya irrasyonel olmasına bağlı değildir.

p üssünün farklı değerleri için y = x p.

Negatif üslü p ile kuvvet fonksiyonu< 0

İhtisas: x > 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Monoton: monoton olarak azalır
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
Sınırlar: ;
Özel anlamı: x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Pozitif üssü p > 0 olan kuvvet fonksiyonu

Gösterge birden az 0< p < 1

İhtisas: x ≥ 0
Çoklu anlamlar: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
Dışbükey: yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Gösterge birden büyük p > 1

İhtisas: x ≥ 0
Çoklu anlamlar: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.