Yan kaburga nedir? Düz prizma – Bilgi Hipermarketi

Tanım 1. Prizmatik yüzey
Teorem 1. Prizmatik bir yüzeyin paralel kesitleri hakkında
Tanım 2. Prizmatik bir yüzeyin dik kesiti
Tanım 3. Prizma
Tanım 4. Prizma yüksekliği
Tanım 5. Sağ prizma
Teorem 2. Prizmanın yan yüzeyinin alanı

Paralel borulu:
Tanım 6. Paralel borulu
Teorem 3. Paralel borunun köşegenlerinin kesişimi hakkında
Tanım 7. Sağ paralel yüzlü
Tanım 8. Dikdörtgen paralel yüzlü
Tanım 9. Paralel borunun ölçümleri
Tanım 10. Küp
Tanım 11. Rhombohedron
Teorem 4. Dikdörtgen bir paralel borunun köşegenleri üzerinde
Teorem 5. Prizmanın hacmi
Teorem 6. Düz prizmanın hacmi
Teorem 7. Dikdörtgen bir paralelyüzün hacmi

Prizma iki yüzü (tabanları) paralel düzlemlerde bulunan ve bu yüzlerde bulunmayan kenarları birbirine paralel olan bir çokyüzlüdür.
Tabanlar dışındaki yüzlere denir yanal.
Yan yüzlerin ve tabanların kenarlarına denir prizma kaburgaları, kenarların uçlarına denir prizmanın köşeleri. Yan kaburgalar Tabanlara ait olmayan kenarlara denir. Yan yüzlerin birleşimine denir prizmanın yan yüzeyi ve tüm yüzlerin birleşimine denir prizmanın tüm yüzeyi. Prizma yüksekliğiüst taban noktasından alt taban düzlemine bırakılan dikmeye veya bu dikmenin uzunluğuna denir. Doğrudan prizma Yan kenarları taban düzlemlerine dik olan prizmaya denir. Doğru tabanında düzenli bir çokgen bulunan düz prizma (Şekil 3) denir.

Tanımlar:
l - yan kaburga;
P - taban çevresi;
S o - taban alanı;
H - yükseklik;
P^ - dikey kesit çevresi;
S b - yan yüzey alanı;
V - hacim;
S p prizmanın toplam yüzeyinin alanıdır.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Tanım 1 . Prizmatik bir yüzey, bir düz çizgiye paralel birkaç düzlemin parçalarından oluşan ve bu düzlemlerin birbiri ardına kesiştiği düz çizgilerle sınırlanan bir şekildir*; bu çizgiler birbirine paraleldir ve denir prizmatik yüzeyin kenarları.
*Her iki ardışık düzlemin kesiştiği ve son düzlemin ilk düzlemle kesiştiği varsayılmaktadır.

Teorem 1 . Prizmatik bir yüzeyin birbirine paralel (ancak kenarlarına paralel olmayan) düzlemlerle bölümleri eşit çokgenlerdir.
ABCDE ve A"B"C"D"E" prizmatik bir yüzeyin iki paralel düzlemin kesitleri olsun. Bu iki çokgenin eşit olduğundan emin olmak için ABC ve A"B"C" üçgenlerinin eşit olduğunu göstermek yeterlidir. eşit ve aynı dönme yönüne sahiptirler ve aynı durum ABD ve A"B"D", ABE ve A"B"E" üçgenleri için de geçerlidir. Ancak bu üçgenlerin karşılık gelen kenarları, belirli bir düzlemin iki paralel düzlemle kesişme çizgisi gibi paraleldir (örneğin, AC, AC'ye paraleldir); bundan bu kenarların eşit olduğu sonucu çıkar (örneğin, AC, A "C"ye eşittir) zıt taraflar paralelkenar ve bu kenarların oluşturduğu açıların eşit ve aynı yöne sahip olduğu.

Tanım 2 . Prizmatik bir yüzeyin dik bir kesiti, bu yüzeyin kenarlarına dik bir düzlemle kesitidir. Önceki teoreme göre, aynı prizmatik yüzeyin tüm dik bölümleri eşit çokgenler olacaktır.

Tanım 3 . Prizma, prizmatik bir yüzey ve birbirine paralel (ancak prizmatik yüzeyin kenarlarına paralel olmayan) iki düzlemle sınırlanan bir çokyüzlüdür.
Bu son düzlemlerde yer alan yüzlere denir prizma üsleri; prizmatik yüzeye ait yüzler - yan yüzler; prizmatik yüzeyin kenarları - prizmanın yan kaburgaları. Önceki teoreme göre prizmanın tabanı eşit çokgenler. Prizmanın tüm yan yüzleri - paralelkenarlar; tüm yan kaburgalar birbirine eşittir.
Açıkçası, ABCDE prizmasının tabanı ve AA" kenarlarından birinin boyutu ve yönü verilirse, o zaman BB", CC", ... AA" kenarına eşit ve paralel kenarlar çizerek bir prizma oluşturmak mümkündür. .

Tanım 4 . Bir prizmanın yüksekliği, tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir (HH").

Tanım 5 . Tabanları prizmatik yüzeyin dik bölümleri ise prizmaya düz denir. Bu durumda prizmanın yüksekliği elbette yan kaburga; yan kenarlar olacak dikdörtgenler.
Prizmalar yan yüz sayısına göre sınıflandırılabilir. eşit sayıçokgenin taban görevi gören kenarları. Böylece prizmalar üçgen, dörtgen, beşgen vb. olabilir.

Teorem 2 . Prizmanın yan yüzeyinin alanı, yan kenarın ürününe ve dik bölümün çevresine eşittir.
ABCDEA"B"C"D"E" belirli bir prizma olsun ve dik kesitini abcde etsin, böylece ab, bc, .. parçaları yan kenarlarına dik olsun. ABA"B" yüzü bir paralelkenardır; alanı AA tabanının çarpımına ab ile çakışan bir yüksekliğe eşittir; ВСВ "С" yüzünün alanı, ВВ" tabanının bc yüksekliğine göre çarpımına eşittir, vb. Sonuç olarak, yan yüzey(yani yan yüzlerin alanlarının toplamı), yan kenarın çarpımına, diğer bir deyişle AA", BB", .. bölümlerinin toplam uzunluğunun ab+bc+cd toplamına eşittir. +de+ea.

“A Alın” video kursu ihtiyacınız olan tüm konuları içerir başarılı tamamlama Matematikte 60-65 puanlık Birleşik Devlet Sınavı. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematik. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans malzemesi, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Düz prizma hakkında genel bilgi

Bir prizmanın yan yüzeyine (daha kesin olarak yan yüzey alanına) denir. toplam yan yüzlerin alanları. Prizmanın toplam yüzeyi, yan yüzey ve taban alanlarının toplamına eşittir.

Teorem 19.1. Düz bir prizmanın yan yüzeyi, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin, yani yan kenarın uzunluğunun çarpımına eşittir.

Kanıt. Düz prizmanın yan yüzleri dikdörtgendir. Bu dikdörtgenlerin tabanları prizmanın tabanında yer alan çokgenin kenarları olup, yükseklikleri de yan kenarların uzunluğuna eşittir. Prizmanın yan yüzeyinin şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

burada a 1 ve n taban kenarlarının uzunluklarıdır, p prizmanın tabanının çevresidir ve I yan kenarların uzunluğudur. Teorem kanıtlandı.

Pratik görev

Sorun (22) . Eğik bir prizmada gerçekleştirilir bölüm, yan kaburgalara dik ve tüm yan kaburgaları kesen. Kesitin çevresi p'ye ve yan kenarları l'ye eşitse prizmanın yan yüzeyini bulun.

Çözüm. Çizilen bölümün düzlemi prizmayı iki parçaya böler (Şekil 411). Bunlardan birini prizmanın tabanlarını birleştirerek paralel çeviriye tabi tutalım. Bu durumda tabanı orijinal prizmanın kesiti olan ve yan kenarları l'ye eşit olan düz bir prizma elde ederiz. Bu prizma orijinaliyle aynı yan yüzeye sahiptir. Böylece orijinal prizmanın yan yüzeyi pl'ye eşittir.

İşlenen konunun özeti

Şimdi prizmalarla ilgili ele aldığımız konuyu özetlemeye çalışalım ve prizmanın hangi özelliklere sahip olduğunu hatırlayalım.

Prizma özellikleri

İlk olarak, bir prizmanın tüm tabanları eşit çokgenlerden oluşur;
İkincisi, bir prizmanın tüm yan yüzleri paralelkenardır;
Üçüncüsü, prizma gibi çok yönlü bir figürde tüm yan kenarlar eşittir;

Ayrıca prizma gibi çokyüzlülerin düz veya eğimli olabileceği de unutulmamalıdır.

Hangi prizmaya düz prizma denir?

Bir prizmanın yan kenarı tabanının düzlemine dik olarak yerleştirilmişse, böyle bir prizmaya düz prizma denir.

Düz bir prizmanın yan yüzlerinin dikdörtgen olduğunu hatırlamak gereksiz olmayacaktır.

Hangi tür prizmaya eğik denir?

Ancak bir prizmanın yan kenarı taban düzlemine dik değilse, bunun eğimli bir prizma olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Hangi prizmaya doğru denir?

Düzgün bir çokgen düz bir prizmanın tabanında yer alıyorsa, o zaman böyle bir prizma düzenlidir.

Şimdi normal prizmanın sahip olduğu özellikleri hatırlayalım.

Düzenli bir prizmanın özellikleri

İlk olarak, her zaman nedenler doğru prizma normal çokgenler hizmet eder;
İkincisi, düzgün bir prizmanın yan yüzlerini düşünürsek, bunlar her zaman eşit dikdörtgenlerdir;
Üçüncüsü, yan kaburgaların boyutlarını karşılaştırırsanız, normal bir prizmada bunlar her zaman eşittir.
Dördüncüsü, doğru bir prizma her zaman düzdür;
Beşinci olarak, eğer normal bir prizmada yan yüzler kare şeklindeyse, böyle bir şekle genellikle yarı düzenli çokgen denir.

Prizma kesiti

Şimdi prizmanın kesitine bakalım:

Ev ödevi

Şimdi öğrendiğimiz konuyu problem çözerek pekiştirmeye çalışalım.

Eğik bir üçgen prizma çizelim, kenarları arasındaki mesafe 3 cm, 4 cm ve 5 cm olacak ve bu prizmanın yan yüzeyi 60 cm2 olacaktır. Bu parametrelere sahip olarak bu prizmanın yan kenarını bulun.

Geometrik şekillerin sadece geometri derslerinde değil, derslerde de sürekli etrafımızı sardığını biliyor musunuz? Gündelik YaşamŞu veya bu geometrik şekle benzeyen nesneler var.

Evde, okulda, işte herkesin bir bilgisayarı var, sistem birimi düz prizma şeklindedir.

Basit bir kalem alırsanız kalemin ana kısmının prizma olduğunu göreceksiniz.

Şehrin merkezi caddesinde yürürken ayaklarımızın altında altıgen prizma şeklindeki bir kiremitin yattığını görüyoruz.

A. V. Pogorelov, 7-11. Sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı

Ders: Prizma, tabanları, yan kaburgaları, yüksekliği, yan yüzeyi; düz prizma; doğru prizma

Prizma

Önceki sorulardan düz şekilleri bizimle öğrendiyseniz, üç boyutlu şekilleri çalışmaya tamamen hazırsınız demektir. Öğreneceğimiz ilk katı prizma olacaktır.

Prizma hacimsel bir cisimdir çok sayıda yüzler.

Bu şeklin tabanlarında paralel düzlemlerde bulunan iki çokgen vardır ve tüm yan yüzleri paralelkenar şeklindedir.

Şekil 1. Şekil. 2

Öyleyse bir prizmanın neyden oluştuğunu bulalım. Bunu yapmak için Şekil 1'e dikkat edin.

Daha önce de belirtildiği gibi, bir prizmanın birbirine paralel iki tabanı vardır; bunlar ABCEF ve GMNJK beşgenleridir. Üstelik bu çokgenler birbirine eşittir.

Prizmanın diğer tüm yüzlerine yan yüzler denir - paralelkenarlardan oluşurlar. Örneğin BMNC, AGKF, FKJE vb.

Tüm yan yüzlerin toplam yüzeyine denir Yanal yüzey.

Her bir bitişik yüz çiftinin ortak bir tarafı vardır. Çok ortak taraf kaburga denir. Örneğin MV, SE, AB, vb.

Prizmanın üst ve alt tabanı dik olarak birbirine bağlanırsa buna prizmanın yüksekliği adı verilecektir. Şekilde yükseklik OO 1 düz çizgisi olarak işaretlenmiştir.

İki ana prizma türü vardır: eğik ve düz.

Prizmanın yan kenarları tabanlara dik değilse böyle bir prizma denir. eğimli.

Bir prizmanın tüm kenarları tabanlara dik ise bu tür prizmaya prizma denir. dümdüz.

Bir prizmanın tabanları düzgün çokgenler (kenarları eşit olanlar) içeriyorsa, böyle bir prizmaya prizma denir. doğru.

Bir prizmanın tabanları birbirine paralel değilse bu tür prizmaya prizma denir. kesilmiş.

Şekil 2'de görebilirsiniz.

Prizmanın hacmini ve alanını bulmak için formüller

Hacmi bulmak için üç temel formül vardır. Uygulamada birbirlerinden farklıdırlar:

Bir prizmanın yüzey alanını bulmak için benzer formüller:

Prizma. Paralel borulu

Prizma iki yüzü eşit n-gon olan bir çokyüzlüdür (bazlar) , paralel düzlemlerde uzanır ve geri kalan n yüz paralelkenardır (yan yüzler) . Yan kaburga Prizmanın tabana ait olmayan tarafına prizmanın tarafı denir.

Yan kenarları taban düzlemlerine dik olan prizmaya prizma denir. dümdüz prizma (Şekil 1). Yan kenarlar taban düzlemlerine dik değilse prizma denir. eğimli . Doğru Prizma, tabanları düzgün çokgenler olan dik prizmadır.

Yükseklik prizma, tabanların düzlemleri arasındaki mesafedir. Diyagonal Prizma, aynı yüze ait olmayan iki köşeyi birleştiren bir segmenttir. Çapraz bölüm Aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzleme prizmanın kesiti denir. Dikey bölüm prizmanın yan kenarına dik olan bir düzleme prizmanın kesiti denir.

Yan yüzey alanı Bir prizmanın tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamına eşittir. Toplam yüzey alanı prizmanın tüm yüzlerinin alanlarının toplamı (yani yan yüzlerin alanları ile tabanların alanlarının toplamı) denir.

Rastgele bir prizma için aşağıdaki formüller doğrudur::

Nerede ben– yan kaburganın uzunluğu;

H- yükseklik;

P

Q

S tarafı

S dolu

S tabanı– üslerin alanı;

V– prizmanın hacmi.

Düz bir prizma için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P– taban çevresi;

ben– yan kaburganın uzunluğu;

H- yükseklik.

paralel yüzlü tabanı paralelkenar olan prizmaya denir. Yan kenarları tabanlara dik olan paralelyüzlüye denir doğrudan (İncir. 2). Yan kenarlar tabanlara dik değilse, paralel boru denir. eğimli . Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüzlüye denir dikdörtgen. Tüm kenarları eşit olan dikdörtgen paralelyüzlüye ne ad verilir? küp

Ortak köşeleri olmayan paralelyüzlü yüzlere ne ad verilir? zıt . Bir köşeden çıkan kenarların uzunluklarına denir ölçümler paralel yüzlü. Paralel borulu bir prizma olduğundan, ana elemanları prizmalarda tanımlandığı gibi tanımlanır.

Teoremler.

1. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve onu ikiye böler.

2. Dikdörtgen bir paralel boruda, köşegen uzunluğunun karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir:

3. Dikdörtgen paralel borunun dört köşegeninin tümü birbirine eşittir.

Rastgele bir paralelyüzlü için aşağıdaki formüller geçerlidir:

Nerede ben– yan kaburganın uzunluğu;

H- yükseklik;

P– dikey kesit çevresi;

Q– Dik kesit alanı;

S tarafı– yan yüzey alanı;

S dolu- toplam yüzey alanı;

S tabanı– üslerin alanı;

V– prizmanın hacmi.

Sağ paralel yüzlü için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P– taban çevresi;

ben– yan kaburganın uzunluğu;

H– sağ paralelyüzün yüksekliği.

Dikdörtgen paralel yüzlü için aşağıdaki formüller doğrudur:

(3)

Nerede P– taban çevresi;

H- yükseklik;

D– diyagonal;

ABC– paralelyüzlü ölçümler.

Bir küp için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede A– kaburga uzunluğu;

D- küpün köşegeni.

Örnek 1. Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeni 33 dm'dir ve boyutları 2: 6: 9 oranındadır. Paralel borunun boyutlarını bulun.

Çözüm. Paralel borunun boyutlarını bulmak için formül (3) kullanıyoruz, yani. Bir küpoidin hipotenüsünün karesinin boyutlarının karelerinin toplamına eşit olması gerçeğiyle. ile belirtelim k orantılılık faktörü. Daha sonra paralel borunun boyutları 2'ye eşit olacaktır. k, 6k ve 9 k. Problem verileri için formül (3)'ü yazalım:

Bu denklemi çözmek k, şunu elde ederiz:

Bu, paralel borunun boyutlarının 6 dm, 18 dm ve 27 dm olduğu anlamına gelir.

Cevap: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Örnek 2. Eğimli bir cismin hacmini bulun üçgen prizma tabanı 8 cm kenarlı bir eşkenar üçgen olan, yan kenarı tabanın kenarına eşit ve tabana 60° açıyla eğimli ise.

Çözüm . Bir çizim yapalım (Şekil 3).

Eğik prizmanın hacmini bulmak için tabanının ve yüksekliğinin alanını bilmeniz gerekir. Bu prizmanın tabanının alanı, bir kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin alanıdır.Bunu hesaplayalım:

Bir prizmanın yüksekliği tabanları arasındaki mesafedir. Üstten AÜst tabanın 1'i, alt tabanın düzlemine dik olarak indirin A 1 D. Uzunluğu prizmanın yüksekliği olacaktır. D'yi düşünün A 1 reklam: çünkü bu yan kenarın eğim açısıdır A 1 A taban düzlemine, A 1 A= 8 cm Bu üçgenden şunu buluyoruz A 1 D:

Şimdi hacmi formül (1) kullanarak hesaplıyoruz:

Cevap: 192 cm3.

Örnek 3. Düzenli bir altıgen prizmanın yan kenarı 14 cm, en büyük çapraz bölümün alanı 168 cm2'dir. Prizmanın toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 4)

En büyük çapraz bölüm bir dikdörtgendir A.A. 1 GG 1 köşegenden beri reklam düzenli altıgen ABCDEF en geniş olanıdır. Prizmanın yan yüzey alanını hesaplamak için tabanın kenarını ve yan kenar uzunluğunu bilmek gerekir.

Çapraz bölümün alanını (dikdörtgen) bilerek tabanın köşegenini buluruz.

O zamandan beri

O zamandan beri AB= 6cm.

O halde tabanın çevresi:

Prizmanın yan yüzeyinin alanını bulalım:

Bir kenarı 6 cm olan düzgün altıgenin alanı:

Prizmanın toplam yüzey alanını bulun:

Cevap:

Örnek 4. Sağ paralel borunun tabanı bir eşkenar dörtgendir. Çapraz kesit alanları 300 cm2 ve 875 cm2'dir. Paralel borunun yan yüzeyinin alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 5).

Eşkenar dörtgenin kenarını şu şekilde gösterelim: A, bir eşkenar dörtgenin köşegenleri D 1 ve D 2, paralel yüzlü yükseklik H. Sağ paralel borunun yan yüzeyinin alanını bulmak için tabanın çevresini yükseklikle çarpmak gerekir: (formül (2)). Temel çevre p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, Çünkü ABCD- eşkenar dörtgen H = AA 1 = H. O. Bulmak gerek A Ve H.

Çapraz bölümleri ele alalım. AA 1 SS 1 - bir tarafı eşkenar dörtgenin köşegeni olan bir dikdörtgen AC = D 1, ikinci – yan kenar AA 1 = H, Daha sonra

Bölüm için de aynı şekilde BB 1 GG 1 şunu elde ederiz:

Paralelkenarın köşegenlerin karelerinin toplamı tüm kenarlarının karelerinin toplamına eşit olması özelliğini kullanarak eşitliği elde ederiz. Aşağıdakini elde ederiz.