Ev » Saç kesimi » Belirli bir integral kullanarak bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır? Döndürülerek oluşturulan bir cismin hacminin hesaplanması.

Belirli bir integral kullanarak bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır? Döndürülerek oluşturulan bir cismin hacminin hesaplanması.

Bir devrim cismin hacmini kullanarak nasıl hesaplanır kesin integral?

Ayrıca belirli bir integral kullanarak düzlemsel bir şeklin alanını bulma konunun en önemli uygulaması bir devrim cismin hacminin hesaplanması. Materyal basittir, ancak okuyucunun hazırlıklı olması gerekir: çözebilmeniz gerekir. belirsiz integraller orta karmaşıklık ve Newton-Leibniz formülünü uygulayın kesin integral . Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Usta okuryazar ve hızlı teknoloji metodolojik materyal kullanılarak çizim yapılabilir . Ama aslında çizimlerin öneminden sınıfta defalarca bahsetmiştim. .

Genel olarak integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır; belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını, dönen bir cismin hacmini, bir yayın uzunluğunu, bir dairenin yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. bir vücut ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser kalın!

Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Tanıtıldı mı? ... Acaba kim neyi sundu... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ancak ek olarak, bu şekil iki şekilde de döndürülebilir ve döndürülebilir:

– x ekseni etrafında; – ordinat ekseni etrafında.

Bu makale her iki durumu da inceleyecektir. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilgi çekicidir; en fazla zorluğa neden olur, ancak aslında çözüm, x ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme yöntemiyle hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma problemi ve size alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı anlatacağım. Materyal konuya çok iyi uyduğu için bu pek de bir bonus değil.

En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

örnek 1

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani bir düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni tanımladığını unutmayın. Bir çizimin daha verimli ve hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır . Bu bir Çin hatırlatmasıdır ve bu noktada daha fazla üzerinde durmayacağım.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir; eksen etrafında dönen şekildir. Döndürmenin bir sonucu olarak sonuç, eksene göre simetrik olan hafif oval bir uçan dairedir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama ben referans kitabına bakamayacak kadar tembelim, o yüzden devam ediyoruz.

Dönen bir cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düz şekil üstteki parabol grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki fonksiyonun karesi alınır: dolayısıyla bir devrim cismin hacmi her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Bu formülü kullanarak bir dönme cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevabınızda boyutu - kübik birimleri belirtmelisiniz. Yani dönme gövdemizde yaklaşık 3,35 "küp" vardır. Neden kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vb. Hayal gücünüzün uçan daireye kaç tane yeşil adam koyabileceği budur.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun,

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın ve

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde ,,, çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Kendi ekseni etrafında döndüğünde dört köşeli gerçeküstü bir çörek haline geliyor.

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark.

Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde kesik koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini ile gösterelim.

Daire içine alınmış şekli düşünün yeşil. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çörekimizin" hacmidir.

Dönen cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanırız:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen dönme gövdesinin hacmi:

Cevap:

İlginçtir ki bu durumdaçözüm, kesik koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilir.

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve size geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle kitapta Perelman'ın (o değil) fark ettiği ciltlerle ilgili yanılsamalar yaşarlar. Eğlenceli geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrimin gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, bu da çok büyük görünüyor. Bu arada, ortalama bir insan tüm hayatı boyunca bir odanın 18 metrekaresine eşdeğer sıvı içer, bu da tam tersine çok küçük bir hacim gibi görünüyor.

Genel olarak SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yazdığı aynı kitap, mizahçının dediği gibi çok iyi gelişiyor, düşünmeyi ve sorunlara orijinal, standart dışı çözümler aramayı öğretiyor. Geçenlerde bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ederim, hümanistlerin bile okuyabileceği bir kitap. Hayır, boş zaman teklif ettiğim için gülümsemenize gerek yok, iletişimde bilgi ve geniş ufuklar harika bir şey.

Lirik bir incelemeden sonra karar vermek uygun olur. yaratıcı görev:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin ekseni etrafında dönmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Lütfen her şeyin bantta gerçekleştiğini, başka bir deyişle pratikte hazır entegrasyon sınırlarının verildiğini unutmayın. Ayrıca grafikleri doğru çizmeye çalışın. trigonometrik fonksiyonlar, eğer argüman ikiye bölünürse: grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulmaya çalışın trigonometrik tablolara göre ve çizimi daha doğru bir şekilde tamamlayın. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Düz bir figürün bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması

İkinci paragraf birincisinden daha da ilginç olacak. Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de test çalışmalarında oldukça yaygın bir konu. Yol boyunca dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yöntem eksen boyunca entegrasyondur, bu sadece becerilerinizi geliştirmenize olanak sağlamakla kalmayacak, aynı zamanda size en karlı çözüm yolunu bulmayı da öğretecektir. Bunun pratik bir yanı da var. hayatın anlamı! Matematik öğretim yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunuzun bize çok faydası oldu, artık etkili yöneticileriz ve personeli en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edinilen bilgiyi amacına uygun olarak kullandığım için ona da büyük şükranlarımı sunuyorum =).

Örnek 5

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şekil verildiğinde ,,.

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun. 2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun.

Dikkat! Sadece ikinci noktayı okumak isteseniz bile, önce mutlaka ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşuyor. Kareyle başlayalım.

1) Bir çizim yapalım:

Fonksiyonun parabolün üst dalını, fonksiyonun da parabolün alt dalını belirttiğini görmek kolaydır. Önümüzde "kendi tarafında duran" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak olan istenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Sınıfta tartışılan “olağan” şekilde bulunabilir. Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır . Ayrıca şeklin alanı alanların toplamı olarak bulunur: – segmentte ; - segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda olağan çözüm neden kötü? Öncelikle iki integralimiz var. İkincisi, integraller köklerdir ve integrallerdeki kökler bir hediye değildir ve ayrıca integralin sınırlarını değiştirirken kafanız karışabilir. Aslında integraller elbette öldürücü değil ama pratikte her şey çok daha üzücü olabilir, ben sadece problem için "daha iyi" fonksiyonları seçtim.

Daha rasyonel bir çözüm var: bu, başka bir yere taşınmayı içerir. ters fonksiyonlar ve eksen boyunca entegrasyon.

Ters fonksiyonlara nasıl ulaşılır? Kabaca söylemek gerekirse “x”i “y”ye kadar ifade etmeniz gerekiyor. İlk önce parabole bakalım:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgiyle daha kolaydır:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa doğru eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam kırmızı noktalı çizgiyle gösterilen segmentin üzerinde yer alıyor. Dahası, segmentte düz bir çizgi parabolün üzerinde bulunur; bu, şeklin alanının size zaten tanıdık gelen formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyon sınırları ayarlanmalıdırkesinlikle aşağıdan yukarıya !

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Lütfen entegrasyonu nasıl yaptığımı not edin, bu en rasyonel yoldur ve görevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açıklanacaktır.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayalım.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Yani mavi renkle gölgelenen şekil eksen etrafında dönmektedir. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "havada uçan kelebek"tir.

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. Öncelikle ters fonksiyonlara gitmemiz gerekiyor. Bu zaten önceki paragrafta ayrıntılı olarak yapılmış ve açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğip figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, dönen bir cismin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ederiz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmini belirtiyoruz.

Kelebeğimizin hacmi hacim farkına eşittir.

Dönel bir cismin hacmini bulmak için formülü kullanırız:

Önceki paragraftaki formülden farkı nedir? Sadece mektupta.

Ancak yakın zamanda bahsettiğim entegrasyonun avantajını bulmak çok daha kolay , önce integrali 4'üncü kuvvete yükseltmek yerine.

Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Kullanarak yetkin ve hızlı grafik oluşturma tekniklerinde uzmanlaşabilirsiniz. öğretim materyalleri ve Grafiklerin Geometrik Dönüşümleri. Ama aslında çizimlerin öneminden sınıfta defalarca bahsetmiştim.

Genel olarak integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır; belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını, dönen bir cismin hacmini, yay uzunluğunu, dönme yüzey alanını ve daha fazlasını hesaplayabilirsiniz. Daha. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser kalın!

– apsis ekseni etrafında;
– ordinat ekseni etrafında.

En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz şekil

örnek 1

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni belirlediğini unutmayın. Bir çizimin daha verimli ve hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Bu bir Çin hatırlatmasıdır ve şu anda Artık durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiş, eksen etrafında dönen şekildir.Döndürme sonucunda eksene göre simetrik olan hafif oval bir uçan daire elde edilir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama referans kitabında herhangi bir şeyi açıklığa kavuşturamayacak kadar tembelim, o yüzden devam ediyoruz.

Dönen bir cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Bir devrim cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düzlem şekli üstteki parabolün grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: , dolayısıyla integral her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Bu formülü kullanarak bir dönme cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, ve çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Kendi ekseni etrafında döndüğünde dört köşeli gerçeküstü bir çörek haline geliyor.

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark.

Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde kesik koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çörekimizin" hacmidir.

Dönel bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanırız:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda çözümün kesik koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilmesi ilginçtir.

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve size geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle ciltlerle ilgili yanılsamalar yaşarlar, bu da Perelman'ın (başka biri) kitapta fark ettiği bir şeydir. Eğlenceli geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrimin gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, bu da çok büyük görünüyor. Bu arada, ortalama bir insan tüm hayatı boyunca bir odanın 18 metrekaresine eşdeğer sıvı içer, bu da tam tersine çok küçük bir hacim gibi görünüyor.

Genel olarak SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yayınlanan aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, çok iyi gelişiyor, size orijinali aramayı anlıyor ve öğretiyor. standart dışı çözümler sorunlar. Geçenlerde bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ederim, hümanistlerin bile okuyabileceği bir kitap. Hayır, boş zaman teklif ettiğim için gülümsemenize gerek yok, iletişimde bilgi ve geniş ufuklar harika bir şey.

Lirik bir incelemeden sonra, yaratıcı bir görevi çözmek tam olarak uygundur:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Lütfen tüm durumların bantta gerçekleştiğini, yani entegrasyon için hazır limitlerin verildiğini unutmayın. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru çizin, size bununla ilgili ders materyalini hatırlatayım grafiklerin geometrik dönüşümleri: eğer argüman ikiye bölünürse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulmanız tavsiye edilir trigonometrik tablolara göreÇizimi daha doğru tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Dönmeyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz şekil

İkinci paragraf birincisinden daha da ilginç olacak. Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de oldukça sık karşılaşılan bir konudur. testler. Yol boyunca dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yöntem eksen boyunca entegrasyondur, bu sadece becerilerinizi geliştirmenize olanak sağlamakla kalmayacak, aynı zamanda size en karlı çözüm yolunu bulmayı da öğretecektir. Bunda pratik bir hayat anlamı da var! Matematik öğretim yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunuzun bize çok faydası oldu, artık etkili yöneticileriz ve personeli en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edinilen bilgiyi amacına uygun olarak kullandığım için ona da büyük şükranlarımı sunuyorum =).

Herkese tavsiye ederim, hatta tam mankenler bile. Ayrıca, ikinci paragrafta öğrenilenler çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez yardım sağlayacaktır..

Örnek 5

Düz bir rakam verildiğinde çizgilerle sınırlı , , .

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun.

Dikkat! Sadece ikinci noktayı okumak isteseniz bile, önce mutlaka ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kareyle başlayalım.

1) Bir çizim yapalım:

Fonksiyonun parabolün üst dalını, fonksiyonun da parabolün alt dalını belirttiğini görmek kolaydır. Önümüzde "kendi tarafında duran" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak olan istenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Sınıfta tartışılan “olağan” şekilde bulunabilir. Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Ayrıca şeklin alanı alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Daha rasyonel bir çözüm var: Ters fonksiyonlara geçmek ve eksen boyunca integral almaktan ibarettir.

Ters fonksiyonlara nasıl ulaşılır? Kabaca söylemek gerekirse “x”i “y”ye kadar ifade etmeniz gerekiyor. İlk önce parabole bakalım:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgiyle daha kolaydır:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa doğru eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam kırmızı noktalı çizgiyle gösterilen segmentin üzerinde yer alıyor. Bu durumda, segmentte düz bir çizgi parabolün üzerinde bulunur; bu, şeklin alanının zaten bildiğiniz formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyonun sınırları belirlenmeli kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Lütfen entegrasyonu nasıl yaptığımı not edin, bu en rasyonel yoldur ve görevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açıklanacaktır.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayalım.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Yani mavi renkle gölgelenen şekil eksen etrafında dönmektedir. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "havada uçan kelebek"tir.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğip figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, dönen bir cismin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ediyoruz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve elde edilen dönme gövdesinin hacmiyle belirtiyoruz.

Kelebeğimizin hacmi hacim farkına eşittir.

Dönel bir cismin hacmini bulmak için formülü kullanırız:

Önceki paragraftaki formülden farkı nedir? Sadece mektupta.

Ancak yakın zamanda bahsettiğim entegrasyonun avantajını bulmak çok daha kolay , önce integrali 4'üncü kuvvete yükseltmek yerine.

Cevap:

Ancak hasta bir kelebek değil.

Lütfen aynı düz şeklin eksen etrafında döndürülmesi durumunda, doğal olarak farklı bir hacme sahip, tamamen farklı bir dönme gövdesi elde edeceğinizi unutmayın.

Örnek 6

Çizgilerle ve bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil verilmiştir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğruların sınırladığı bir düzlem şeklinin alanını değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İlgilenenler ayrıca bir şeklin alanını “olağan” şekilde bulabilir, böylece 1) noktasını kontrol edebilirler. Ancak tekrar ediyorum, düz bir şekli eksen etrafında döndürürseniz, farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönme gövdesi elde edersiniz, bu arada, doğru cevap (ayrıca sorunları çözmeyi sevenler için).

Görevin önerilen iki noktasının tam çözümü dersin sonundadır.

Evet, dönme gövdelerini ve entegrasyonun sınırlarını anlamak için başınızı sağa eğmeyi unutmayın!

Tanım 3. Dönel cisim, düz bir şeklin, şekille kesişmeyen ve onunla aynı düzlemde yer alan bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cisimdir.

Dönme ekseni, şeklin simetri ekseni ise şekille kesişebilir.

Teorem 2.
, eksen
ve düz bölümler
Ve

bir eksen etrafında döner
. Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.

(2)

Kanıt. Böyle bir gövde için apsisli kesit yarıçaplı bir dairedir
, Araç
ve formül (1) gerekli sonucu verir.

Şekil iki sürekli fonksiyonun grafikleriyle sınırlıysa
Ve
ve çizgi bölümleri
Ve
, Ve
Ve
sonra x ekseni etrafında döndürüldüğünde hacmi

Örnek 3. Bir daireyle sınırlanan bir dairenin döndürülmesiyle elde edilen torusun hacmini hesaplayın

apsis ekseni etrafında.

R karar. Belirtilen daire aşağıda fonksiyonun grafiği ile sınırlandırılmıştır.
ve yukarıdan –
. Bu fonksiyonların karelerinin farkı:

Gerekli hacim

(İntegral grafiği üst yarım dairedir, dolayısıyla yukarıda yazılan integral yarım dairenin alanıdır).

Örnek 4. Tabanlı parabolik segment
ve yükseklik , tabanın etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini hesaplayın (Cavalieri'nin "limon").

R karar. Parabolünü şekilde gösterildiği gibi yerleştireceğiz. Daha sonra denklemi
, Ve
. Parametrenin değerini bulalım :
. Yani gerekli hacim:

Teorem 3. Negatif olmayan sürekli bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış eğrisel bir yamuk olsun
, eksen
ve düz bölümler
Ve
, Ve
, bir eksen etrafında döner
. Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi formülle bulunabilir.

(3)

Kanıt fikri. Segmenti ayırdık
noktalar

parçalara ayırın ve düz çizgiler çizin
. Yamuğun tamamı, yaklaşık olarak tabanı olan dikdörtgenler olarak kabul edilebilecek şeritlere ayrılacaktır.
ve yükseklik
.

Ortaya çıkan silindiri, böyle bir dikdörtgeni kendi ekseni boyunca döndürerek kesip açıyoruz. Boyutlarla “neredeyse” paralel yüzlü bir elde ediyoruz:
,
Ve
. hacmi
. Yani, bir devrim cismin hacmi için yaklaşık eşitliğe sahip olacağız.

Tam eşitliği elde etmek için limite gidilmelidir.
. Yukarıda yazılan toplam, fonksiyonun integral toplamıdır.
bu nedenle limitte formül (3)'ten integrali elde ederiz. Teorem kanıtlandı.

Not 1. Teorem 2 ve 3'teki koşul
ihmal edilebilir: formül (2) genellikle işarete duyarsızdır
ve formül (3)'te yeterlidir
ile ikame edilmiş
.

Örnek 5. Parabolik segment (taban
, yükseklik ) yükseklik etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

Çözüm. Parabolünü şekildeki gibi yerleştirelim. Ve dönme ekseni şekille kesişse de, bu eksen simetri eksenidir. Bu nedenle segmentin yalnızca sağ yarısını dikkate almamız gerekiyor. Parabol denklemi
, Ve
, Araç
. Hacim için elimizde:

Not 2. Eğrisel bir yamuğun eğrisel sınırı parametrik denklemlerle verilirse
,
,
Ve
,
daha sonra değiştirme işlemiyle (2) ve (3) formüllerini kullanabilirsiniz. Açık
Ve
Açık
değiştiğinde T itibaren
önce .

Örnek 6. Şekil sikloidin ilk yayı ile sınırlıdır
,
,
ve x ekseni. Bu rakamın aşağıdakiler etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun: 1) eksen
; 2) eksenler
.

Çözüm. 1) Genel formül
Bizim durumumuzda:

2) Genel formül
Figürümüz için:

Öğrencileri tüm hesaplamaları kendileri yapmaya davet ediyoruz.

Not 3. Sürekli bir çizgiyle sınırlanan kavisli bir sektör olsun
ve ışınlar
,

, kutupsal bir eksen etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmi formül kullanılarak hesaplanabilir.

Örnek 7. Bir kardioid ile sınırlandırılmış bir figürün parçası
, çemberin dışında uzanmak
, kutupsal bir eksen etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

Çözüm. Her iki çizgi ve dolayısıyla sınırladıkları şekil kutup eksenine göre simetriktir. Bu nedenle sadece ilgili kısmı dikkate almak gerekir.
. Eğriler kesişiyor
Ve

en
. Ayrıca rakam iki sektörün farkı olarak kabul edilebilir ve dolayısıyla hacim iki integralin farkı olarak hesaplanabilir. Sahibiz:

Görevler Bağımsız bir karar için.

1. Tabanı
, yükseklik , tabanın etrafında döner. Dönel cismin hacmini bulun.

2. Tabanı eşit olan bir devrim paraboloidinin hacmini bulun. ve yüksekliği .

3. Bir asteroit tarafından sınırlanan şekil
,
apsis ekseni etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

4. Çizgilerle sınırlanmış şekil
Ve
x ekseni etrafında döner. Dönel cismin hacmini bulun.

Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düzlem şekli üstteki parabolün grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki fonksiyonun karesi alınır: , dolayısıyla bir devrim cismin hacmi her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Bu formülü kullanarak bir dönme cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, ve çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim: