Logaritmaların farklı çözüm örnekleri. Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları

Talimatlar

Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritma. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.

Kaynaklar:

• bir sabitin türevi

Peki fark nedir? IR rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa kare kök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir yazın, sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alacaktır, yani. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle verilen denklem kökleri yoktur.

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler karekökü olmayan , Sağ Taraf ve sonra kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; ilkinden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılıncaya kadar. Böylece basit aritmetik işlemler yardımıyla ortaya çıkan problem çözülecektir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Nitekim iki terimin toplamının karesi, birincinin karesi artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesine eşittir, yani (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Ders kitabını matematiksel analizle ilgili tekrarlayın veya yüksek Matematik belirli bir integraldir. Bilindiği üzere çözüm kesin integral türevi bir integral veren bir fonksiyon var. Bu fonksiyona antiderivatif denir. Bu prensibe dayanarak ana integraller inşa edilir.
İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman, tablo biçimi ancak integrali basitleştirmek için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni türönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa, rotor akışından bazılarına geçmenizi sağlar. vektör işlevi belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale.

Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi

Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, o zaman onu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.

Çözümü olan görevler logaritmik ifadeleri dönüştürme Birleşik Devlet Sınavında oldukça yaygındır.

Onlarla minimum sürede başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için, temel logaritmik kimliklerin yanı sıra bazı formülleri de bilmeniz ve doğru kullanmanız gerekir.

Bu: a log a b = b, burada a, b > 0, a ≠ 1 (Doğrudan logaritmanın tanımından çıkar).

log a b = log c b / log c a veya log a b = 1/log b a
burada a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
burada a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
burada a, b, c > 0 ve a, b, c ≠ 1

Dördüncü eşitliğin geçerliliğini göstermek için sol ve sağ tarafların a tabanına göre logaritmasını alalım. Log a (a log with b) = log a (b log with a) veya log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log ca); b ile giriş yapın = b ile giriş yapın.

Logaritmaların eşitliğini kanıtlamış olduk, yani logaritmaların altındaki ifadeler de eşittir. Formül 4 kanıtlandı.

Örnek 1.

81 log 27 5 log 5 4'ü hesaplayın.

Çözüm.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Dolayısıyla,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

O zaman 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz.

Hesaplayın (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Bir ipucu olarak, 0,2 = 1/5 = 5-1; log 0,2 5 = -1.

Cevap: 5.

Örnek 2.

Hesapla (√11) kayıt √3 9- günlük 121 81 .

Çözüm.

İfadeleri değiştirelim: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (formül 3 kullanıldı).

O halde (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Örnek 3.

Günlük 2 24 / günlük 96 2 - günlük 2 192 / günlük 12 2'yi hesaplayın.

Çözüm.

Örnekte yer alan logaritmaları 2 tabanlı logaritmalarla değiştiriyoruz.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

günlük 2 192 = günlük 2 (2 6 3) = (günlük 2 2 6 + günlük 2 3) = (6 + günlük 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Sonra log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra 3 sayısını elde ederiz. (İfadeyi sadeleştirirken log 2 3'ü n ile gösterip ifadeyi basitleştirebiliriz.)

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Cevap: 3.

Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:

Hesapla (günlük 3 4 + günlük 4 3 + 2) günlük 3 16 günlük 2 144 3.

Burada 3 tabanlı logaritmaya geçiş yapmak ve parçalara ayırmak gerekiyor. asal faktörler büyük sayılar.

Cevap:1/2

Örnek 4.

Verilen üç sayı A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Bunları artan sırada düzenleyin.

Çözüm.

Sayıları A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3'e dönüştürelim; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Onları karşılaştıralım

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ve log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Veya 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Cevap. Bu nedenle sayıların yerleştirilme sırası şu şekildedir: C; A; İÇİNDE.

Örnek 5.

Aralıkta kaç tam sayı var (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Çözüm.

1/16 sayısının 3 sayısının hangi kuvvetleri arasında yer aldığını belirleyelim. 1/27 alıyoruz< 1 / 16 < 1 / 9 .

y = log 3 x fonksiyonu arttığına göre log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Log 6 (4/3) ile 1/5'i karşılaştıralım. Bunun için 4/3 ve 6 1/5 sayılarını karşılaştırıyoruz. Her iki sayıyı da 5'inci kuvvete çıkaralım. (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243 elde ederiz< 6. Следовательно,

günlük 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Bu nedenle aralık (log 3 1 / 16 ; log 6 48) [-2; 4] ve üzerine -2 tam sayıları yerleştirilir; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Cevap: 7 tam sayı.

Örnek 6.

3 lglg 2/ lg 3 - lg20'yi hesaplayın.

Çözüm.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

O halde 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Cevap 1.

Örnek 7.

Log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A olduğu biliniyor. Log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2)'yi bulun.

Çözüm.

Sayılar (√3 + 1) ve (√3 – 1); (√6 – 2) ve (√6 + 2) eşleniktir.

Aşağıdaki ifade dönüşümünü gerçekleştirelim

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

O halde log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Cevap: 2 – A.

Örnek 8.

İfadeyi basitleştirin ve yaklaşık değerini bulun (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Çözüm.

Tüm logaritmaları şuna indiririz: Ortak zemin 10.

(günlük 3 2 günlük 4 3 günlük 5 4 günlük 6 5 ... günlük 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (lg 2'nin yaklaşık değeri bir tablo, hesap cetveli veya hesap makinesi kullanılarak bulunabilir).

Cevap: 0,3010.

Örnek 9.

Log √ a b 3 = 1 ise log a 2 b 3 √(a 11 b -3)'ü hesaplayın. (Bu örnekte a 2 b 3 logaritmanın tabanıdır).

Çözüm.

Log √ a b 3 = 1 ise 3/(0,5 log a b = 1. Ve log a b = 1/6.

O halde log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) log a b = 1/ olduğunu düşünürsek 6'dan (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1 elde ederiz.

Cevap: 2.1.

Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:

Log 0,7 27 = a ise log √3 6 √2,1'i hesaplayın.

Cevap: (3 + a) / (3a).

Örnek 10.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125'i hesaplayın.

Çözüm.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formül 4))

9 + 6 = 15 elde ederiz.

Cevap: 15.

Hala sorularınız mı var? Logaritmik bir ifadenin değerini nasıl bulacağınızdan emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Logaritmik ifadeler, çözüm örnekleri. Bu yazıda logaritma çözümüyle ilgili problemlere bakacağız. Görevler bir ifadenin anlamını bulma sorusunu sorar. Logaritma kavramının birçok görevde kullanıldığını ve anlamını anlamanın son derece önemli olduğunu belirtmek gerekir. Birleşik Devlet Sınavına gelince, logaritma denklemleri çözerken, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.

Logaritmanın anlamını anlamak için örnekler verelim:

Temel logaritmik kimlik:

Logaritmanın her zaman hatırlanması gereken özellikleri:

*Çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.

* * *

*Bir bölümün (kesir) logaritması, faktörlerin logaritmaları arasındaki farka eşittir.

* * *

*Üssün logaritması üssün logaritması ile üssün çarpımına eşittir.

* * *

*Yeni bir temele geçiş

* * *

Daha fazla özellik:

* * *

Logaritmanın hesaplanması üslü sayıların özelliklerinin kullanımıyla yakından ilgilidir.

Bunlardan bazılarını listeleyelim:

Bu özelliğin özü, pay paydaya aktarıldığında ve tam tersi durumda üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:

Bu özellikten bir sonuç:

* * *

Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır ancak üsler çarpılır.

* * *

Gördüğünüz gibi logaritma kavramının kendisi basittir. Önemli olan ihtiyaç duyulan şey İyi pratik, bu da belli bir beceri kazandırır. Elbette formül bilgisi gereklidir. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi geliştirilmemişse, çözerken basit görevler Hata yapmak kolaydır.

Pratik yapın, önce matematik dersindeki en basit örnekleri çözün, ardından daha karmaşık olanlara geçin. Gelecekte, “korkutucu” logaritmaların nasıl çözüldüğünü kesinlikle göstereceğim; Birleşik Devlet Sınavında görünmeyecekler ama ilgi çekiciler, kaçırmayın!

Bu kadar! Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Logaritma nedir?

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olduğu düşünülür. Özellikle logaritmalı denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! Bana inanmıyor musun? İyi. Şimdi sadece 10 - 20 dakika içinde:

1. Anlayacaksınız logaritma nedir.

2. Bütün bir sınıfı çözmeyi öğrenin üstel denklemler. Onlar hakkında hiçbir şey duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritmaları hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için çarpım tablosunu ve bir sayının üssünü nasıl yükselteceğinizi bilmeniz yeterli...

Şüphelerin varmış gibi hissediyorum... Peki, tamam, zamanı işaretle! Gitmek!

Öncelikle şu denklemi kafanızda çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Pek çok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı logaritmik ifade türü vardır:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
2. Tabanı 10 olan ondalık a.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Bunların her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve ardından tek bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi, sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. negatif sayılar. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Değeri doğru bir şekilde belirlemek için bilinmeyen derece derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler için güç tablosuna ihtiyacınız olacaktır. Karmaşık konular hakkında hiçbir şey bilmeyenler tarafından bile kullanılabilir. matematik konuları. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. İçin negatif güçler kurallar aynı: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki biçimde bir ifade verildiğinde: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik eşitsizlikÇünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işareti altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin, logaritma 2 x = √9) cevapta bir veya daha fazla spesifik sayısal değeri ima etmesi, bir eşitsizliği çözerken ise her iki kabul edilebilir değer aralığının da belirtilmesidir. Bu fonksiyon kırılarak değerler ve noktalar belirlenir. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

1. Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
2. Ürünün logaritması şu şekilde temsil edilebilir: aşağıdaki formül: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda önkoşulşu şekildedir: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
3. Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Üniversiteye kabul veya geçme için giriş sınavları matematikte bu tür problemlerin nasıl doğru şekilde çözüleceğini bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme uygulanabilir. belirli kurallar. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. Genel görünüm. Uzun olanları basitleştirin logaritmik ifadelerözelliklerini doğru kullanırsanız mümkündür. Onları hızlıca tanıyalım.

Karar verirken logaritmik denklemler, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar başvurulması gerekiyor logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Şimdi logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

1. Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük önem b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle de Birleşik Devlet Sınavında birçok logaritmik problemle karşılaşılır ( Devlet sınavı tüm okuldan ayrılanlar için). Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
• Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.