Logaritmanın genişletilmesi. Kişisel bilgilerin korunması
Problem B7 basitleştirilmesi gereken bazı ifadeler vermektedir. Sonuç, cevap kağıdınıza yazılabilecek normal bir sayı olmalıdır. Tüm ifadeler geleneksel olarak üç türe ayrılır:
- Logaritmik,
- Gösterge niteliğinde,
- Kombine.
Saf haliyle üstel ve logaritmik ifadeler neredeyse hiç bulunmaz. Ancak bunların nasıl hesaplandığını bilmek kesinlikle gereklidir.
Genel olarak B7 problemi oldukça basit bir şekilde çözülür ve ortalama bir mezunun yetenekleri dahilindedir. Açık algoritmaların eksikliği, standardizasyonu ve monotonluğu ile telafi edilmektedir. Bu tür sorunları basit bir şekilde çözmeyi öğrenebilirsiniz. büyük miktar eğitim.
Logaritmik İfadeler
B7 problemlerinin büyük çoğunluğu şu veya bu şekilde logaritma içerir. Bu konu geleneksel olarak zor kabul edilir, çünkü çalışması genellikle final sınavlarına toplu hazırlık dönemi olan 11. sınıfta gerçekleşir. Sonuç olarak, pek çok mezun logaritma konusunda oldukça belirsiz bir anlayışa sahiptir.
Ancak bu görevde hiç kimse derin teorik bilgiye ihtiyaç duymaz. Yalnızca basit akıl yürütme gerektiren ve bağımsız olarak kolayca öğrenilebilecek en basit ifadelerle karşılaşacağız. Logaritmalarla baş etmek için bilmeniz gereken temel formüller aşağıda verilmiştir:
Ek olarak, kökleri ve kesirleri rasyonel bir üslü kuvvetlerle değiştirebilmeniz gerekir, aksi takdirde bazı ifadelerde logaritma işaretinin altından çıkarılacak hiçbir şey olmayacaktır. Değiştirme formülleri:
Görev. İfadelerin anlamını bulun:
günlük 6 270 – günlük 6 7,5
günlük 5 775 – günlük 5 6,2
İlk iki ifade logaritmanın farkı olarak dönüştürülür:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 – log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.
Üçüncü ifadeyi hesaplamak için hem temelde hem de argümanda güçleri ayırmanız gerekecek. İlk önce iç logaritmayı bulalım:
Sonra - harici:
Log a log b x formunun yapıları karmaşık görünüyor ve çoğu kişi tarafından yanlış anlaşılıyor. Bu arada, bu sadece logaritmanın logaritması, yani. log a (log b x ). İlk olarak, iç logaritma hesaplanır (log b x = c koyun) ve ardından harici olan: log a c.
Gösterici İfadeler
A ve k sayılarının keyfi sabitler olduğu ve a > 0 olduğu a k formundaki herhangi bir yapıya üstel ifade diyeceğiz. Bu tür ifadelerle çalışma yöntemleri oldukça basittir ve 8. sınıf cebir derslerinde tartışılmaktadır.
Aşağıda kesinlikle bilmeniz gereken temel formüller bulunmaktadır. Bu formüllerin pratikte uygulanması kural olarak sorun yaratmaz.
- bir n · bir m = bir n + m;
- bir n / bir m = bir n - m;
- (bir n ) m = bir n · m ;
- (a · b ) n = a n · b n;
- (a : b ) n = bir n : b n.
Karşılanırsa karmaşık ifade derecelerle ve ona nasıl yaklaşılacağı belli değil, evrensel bir teknik kullanıyorlar - ayrıştırma asal faktörler. Sonuç olarak büyük sayılar Derece tabanlarındaki ifadeler yerini basit ve anlaşılır unsurlara bırakmıştır. O zaman geriye kalan tek şey yukarıdaki formülleri uygulamaktır - ve sorun çözülecektir.
Görev. İfadelerin değerlerini bulun: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Çözüm. Güçlerin tüm temellerini basit faktörlere ayıralım:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Birleşik görevler
Formülleri biliyorsanız, tüm üstel ve logaritmik ifadeler tam anlamıyla tek bir satırda çözülebilir. Ancak B7 Probleminde kuvvetler ve logaritmalar oldukça güçlü kombinasyonlar oluşturacak şekilde birleştirilebilir.
Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafik, tanım kümesi, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, açılımı güç serisi ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak temsili.
Tanım
Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.
Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.
Temelli tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
y = fonksiyonunun grafiği x olarak.
Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak), y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla üstel grafikten elde edilir.
Doğal logaritma şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler değişken x. Tanım alanında monoton bir şekilde artar.
x'te → 0 doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞).
X → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi güç fonksiyonu Pozitif üssü a olan x a, logaritmadan daha hızlı büyür.
Doğal logaritmanın özellikleri
Tanım alanı, değerler kümesi, ekstrema, artış, azalma
Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.
lnx değerleri
1 = 0
Doğal logaritmalar için temel formüller
Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:
Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları
Baz değiştirme formülü
Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.
Ters fonksiyon
Doğal logaritmanın tersi üstür.
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse.
Türev lnx
Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >
İntegral
İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Bu yüzden,
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R ve tartışma φ
:
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.
Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.
Kuvvet serisi genişletmesi
Genişleme gerçekleştiğinde:
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Çözümü olan görevler dönüşüm logaritmik ifadeler Birleşik Devlet Sınavında oldukça yaygındır.
Onlarla minimum sürede başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için, temel logaritmik kimliklere ek olarak, daha fazla formülü bilmeniz ve doğru kullanmanız gerekir.
Bu: a log a b = b, burada a, b > 0, a ≠ 1 (Doğrudan logaritmanın tanımından çıkar).
log a b = log c b / log c a veya log a b = 1/log b a
burada a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
burada a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
burada a, b, c > 0 ve a, b, c ≠ 1
Dördüncü eşitliğin geçerliliğini göstermek için soldaki logaritmayı alalım ve Sağ Taraf a'ya dayanarak. Log a (a log with b) = log a (b log with a) veya log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log ca); b ile giriş yapın = b ile giriş yapın.
Logaritmaların eşitliğini kanıtlamış olduk, yani logaritmaların altındaki ifadeler de eşittir. Formül 4 kanıtlandı.
Örnek 1.
81 log 27 5 log 5 4'ü hesaplayın.
Çözüm.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Dolayısıyla,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
O zaman 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz.
Hesaplayın (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Bir ipucu olarak, 0,2 = 1/5 = 5-1; log 0,2 5 = -1.
Cevap: 5.
Örnek 2.
Hesapla (√11) kayıt √3 9- günlük 121 81 .
Çözüm.
İfadeleri değiştirelim: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (formül 3 kullanıldı).
O halde (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Örnek 3.
Günlük 2 24 / günlük 96 2 - günlük 2 192 / günlük 12 2'yi hesaplayın.
Çözüm.
Örnekte yer alan logaritmaları 2 tabanlı logaritmalarla değiştiriyoruz.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
günlük 2 192 = günlük 2 (2 6 3) = (günlük 2 2 6 + günlük 2 3) = (6 + günlük 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Sonra log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra 3 sayısını elde ederiz. (İfadeyi sadeleştirirken log 2 3'ü n ile gösterip ifadeyi basitleştirebiliriz.)
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Cevap: 3.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:
Hesapla (günlük 3 4 + günlük 4 3 + 2) günlük 3 16 günlük 2 144 3.
Burada 3 tabanlı logaritmaya geçiş yapmak ve büyük sayıları asal çarpanlara ayırmak gerekiyor.
Cevap:1/2
Örnek 4.
Verilen üç sayı A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Bunları artan sırada düzenleyin.
Çözüm.
Sayıları A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3'e dönüştürelim; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Onları karşılaştıralım
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ve log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Veya 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Cevap. Bu nedenle sayıların yerleştirilme sırası şu şekildedir: C; A; İÇİNDE.
Örnek 5.
Aralıkta kaç tam sayı var (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Çözüm.
1/16 sayısının 3 sayısının hangi kuvvetleri arasında yer aldığını belirleyelim. 1/27 alıyoruz< 1 / 16 < 1 / 9 .
y = log 3 x fonksiyonu arttığına göre log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Log 6 (4/3) ile 1/5'i karşılaştıralım. Bunun için 4/3 ve 6 1/5 sayılarını karşılaştırıyoruz. Her iki sayıyı da 5'inci kuvvete çıkaralım. (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243 elde ederiz< 6. Следовательно,
günlük 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Bu nedenle aralık (log 3 1 / 16 ; log 6 48) [-2; 4] ve üzerine -2 tam sayıları yerleştirilir; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Cevap: 7 tam sayı.
Örnek 6.
3 lglg 2/ lg 3 - lg20'yi hesaplayın.
Çözüm.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
O halde 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Cevap 1.
Örnek 7.
Log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A olduğu biliniyor. Log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2)'yi bulun.
Çözüm.
Sayılar (√3 + 1) ve (√3 – 1); (√6 – 2) ve (√6 + 2) eşleniktir.
Aşağıdaki ifade dönüşümünü gerçekleştirelim
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
O halde log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Cevap: 2 – A.
Örnek 8.
İfadeyi basitleştirin ve yaklaşık değerini bulun (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Çözüm.
Tüm logaritmaları şuna indiririz: Ortak zemin 10.
(günlük 3 2 günlük 4 3 günlük 5 4 günlük 6 5 ... günlük 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (lg 2'nin yaklaşık değeri bir tablo, hesap cetveli veya hesap makinesi kullanılarak bulunabilir).
Cevap: 0,3010.
Örnek 9.
Log √ a b 3 = 1 ise log a 2 b 3 √(a 11 b -3)'ü hesaplayın. (Bu örnekte a 2 b 3 logaritmanın tabanıdır).
Çözüm.
Log √ a b 3 = 1 ise 3/(0,5 log a b = 1. Ve log a b = 1/6.
O halde log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) log a b = 1/ olduğunu düşünürsek 6'dan (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1 elde ederiz.
Cevap: 2.1.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:
Log 0,7 27 = a ise log √3 6 √2,1'i hesaplayın.
Cevap: (3 + a) / (3a).
Örnek 10.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125'i hesaplayın.
Çözüm.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formül 4))
9 + 6 = 15 elde ederiz.
Cevap: 15.
Hala sorularınız mı var? Logaritmik bir ifadenin değerini nasıl bulacağınızdan emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
İle başlayalım bir logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: Birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0'ı günlüğe kaydet herhangi bir a>0 için a≠1. Kanıt zor değildir: Yukarıdaki a>0 ve a≠1 koşullarını karşılayan herhangi bir a için a 0 = 1 olduğundan, kanıtlanacak log a 1=0 eşitliği logaritmanın tanımından hemen çıkar.
Dikkate alınan özelliğin uygulamasına örnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .
Bir sonraki özelliğe geçelim: tabanına eşit bir sayının logaritması bire eşittir, yani, log a=1 a>0 için a≠1. Aslında, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan logaritmanın tanımı gereği log a a=1 olur.
Logaritmaların bu özelliğini kullanma örnekleri log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 eşitlikleridir.
Örneğin, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve 
.
İki çarpımının logaritması pozitif sayılar x ve y bu sayıların logaritmasının çarpımına eşittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bir çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre a log a x =x ve a log a y =y olduğundan, a log a x ·a log a y =x·y. Böylece, logaritmanın tanımına göre eşitliğin kanıtlandığı log a x+log a y =x·y olur.
Bir çarpımın logaritması özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve 
.
Bir çarpımın logaritmasının özelliği, x 1 , x 2 , …, x n pozitif sayılarından oluşan sonlu bir n sayısının çarpımına şu şekilde genelleştirilebilir: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu eşitlik sorunsuz bir şekilde kanıtlanabilir.
Örneğin bir çarpımın doğal logaritması üç sayının toplamı ile değiştirilebilir. doğal logaritmalar sayılar 4 , e ve .
İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir. Bir bölümün logaritmasının özelliği, a>0, a≠1, x ve y'nin bazı pozitif sayılar olduğu formdaki bir formüle karşılık gelir. Bu formülün geçerliliği, bir çarpımın logaritması formülünün yanı sıra kanıtlanmıştır: çünkü 
, daha sonra bir logaritmanın tanımı gereği.
Logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: 
.
Konusuna geçelim kuvvetin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün çarpımına ve bu derecenin tabanının modülünün logaritmasına eşittir. Bir kuvvetin logaritmasının bu özelliğini formül olarak yazalım: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.
Öncelikle bu özelliği pozitif b için kanıtlayalım. Temel bilgiler logaritmik özdeşlik b sayısını a log a b olarak temsil etmemizi sağlar, sonra b p =(a log a b) p olur ve ortaya çıkan ifade, kuvvet özelliği nedeniyle a p·log a b'ye eşittir. Böylece b p =a p·log a b eşitliğine ulaşıyoruz ve bundan logaritmanın tanımına göre log a b p =p·log a b sonucunu çıkarıyoruz.
Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalıyor. Burada negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift p üsleri için anlamlı olduğunu görüyoruz (çünkü b p derecesinin değeri sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde logaritmanın bir anlamı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P. Daha sonra b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, buradan log a b p =p·log a |b| .
Örneğin, 
ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Önceki mülkten kaynaklanmaktadır kökten logaritmanın özelliği: n'inci kökün logaritması, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritması ile çarpımına eşittir, yani, 
, burada a>0, a≠1, n – doğal sayı, birden büyük, b>0.
Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (bkz.) ve kuvvetin logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: 
.
Bu özelliği kullanmanın bir örneğini burada bulabilirsiniz: 
.
Şimdi kanıtlayalım yeni bir logaritma tabanına geçme formülü tür 
. Bunu yapmak için log c b=log a blog·log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b sayısını a log a b olarak temsil etmemize ve ardından log c b=log ca log a b olarak göstermemize olanak tanır. Derecenin logaritmasının özelliğini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b =log a b log c a. Bu, log c b=log a b·log c a eşitliğini kanıtlar; bu, logaritmanın yeni tabanına geçiş formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir.
Logaritmanın bu özelliğini kullanmaya ilişkin birkaç örnek gösterelim: ve 
.
Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenize olanak tanır. Örneğin, onun yardımıyla doğal veya ondalık logaritmalar böylece logaritma değerini logaritma tablosundan hesaplayabilirsiniz. Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlarla değerleri bilindiğinde belirli bir logaritmanın değerini bulmayı da sağlar.
Formun c=b'si için yeni bir logaritma tabanına geçiş için formülün özel bir durumu sıklıkla kullanılır. 
. Bu, log a b ve log b a – olduğunu gösterir. Örneğin, 
.
Formül de sıklıkla kullanılır 
Logaritma değerlerini bulmak için uygundur. Sözlerimizi doğrulamak için formun logaritmasının değerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Sahibiz 
. Formülü kanıtlamak için 
logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullanmak yeterlidir: 
.
Logaritmaların karşılaştırılması özelliklerini kanıtlamak için kalır.
Herhangi bir pozitif sayı için b 1 ve b 2, b 1 olduğunu kanıtlayalım. log a b 2 ve a>1 için – eşitsizlik log a b 1 Son olarak, logaritmanın listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Kendimizi birinci kısmının ispatıyla sınırlayalım, yani a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 ise ispatlayacağız. 1 doğrudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritmanın bu özelliğinin geri kalan ifadeleri benzer bir prensibe göre kanıtlanmıştır. Tam tersi yöntemi kullanalım. 1 >1, 2 >1 ve 1 için olduğunu varsayalım. 1 doğrudur log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmanın özelliklerine dayanarak bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: 
Ve 
sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olur. O halde aynı tabanlara sahip kuvvetlerin özelliklerine göre b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri geçerli olmalıdır, yani a 1 ≥a 2. Böylece a 1 koşuluyla çelişkiye geldik
Kaynakça.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).
Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını anlatacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.
Matematikte tanım
Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.
Logaritma türleri
Pek çok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı logaritmik ifade türü vardır:
- Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
- Tabanı 10 olan ondalık a.
- Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.
Bunların her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve ardından tek bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.
Kurallar ve bazı kısıtlamalar
Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:
- "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
- a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.
Logaritmalar nasıl çözülür?
Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.
Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.
Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:
Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler için güç tablosuna ihtiyacınız olacaktır. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!
Denklemler ve eşitsizlikler
Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarsak log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.
Aşağıdaki ifade verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik bir eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen “x” değeri logaritmik işaretin altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.
Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin, logaritma 2 x = √9) cevapta bir veya daha fazla spesifik sayısal değeri ima etmesi, bir eşitsizliği çözerken ise her iki kabul edilebilir değer aralığının da belirtilmesidir. Bu fonksiyon kırılarak değerler ve noktalar belirlenir. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.
Logaritmalarla ilgili temel teoremler
Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.
- Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
- Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda zorunlu koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
- Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.
Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.
Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;
ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.
Sorun ve eşitsizlik örnekleri
Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri nasıl doğru bir şekilde çözeceğinizi bilmeniz gerekir.
Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Öncelikle ifadenin basitleştirilip sadeleştirilemeyeceğini veya genel bir forma indirgenip indirgenemeyeceğini öğrenmelisiniz. Uzun logaritmik ifadeleri, özelliklerini doğru kullanırsanız basitleştirebilirsiniz. Onları hızlıca tanıyalım.
Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.
İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmaları çözmek için logaritmik kimlikleri veya bunların özelliklerini uygulamanız gerekir. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.
Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle
Şimdi logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.
- Bir çarpımın logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit faktörlere ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.
Birleşik Devlet Sınavından Ödevler
Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle de Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problemle karşılaşılır. Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.
Sorunlara örnekler ve çözümler Birleşik Devlet Sınavının resmi versiyonlarından alınmıştır. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.
Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.
- Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
- Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.
