Ev » Şapkalar » Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü. Kesirli rasyonel denklemler

Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü. Kesirli rasyonel denklemler

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri ele alıyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden denklem. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri, ikinci eşitsizliği çözerken elde edilen değişkenin geçersiz değerleriyle çakışmadığı için her ikisi de çözümdür verilen denklem.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm terimleri, sağ taraf 0 olacak şekilde sol tarafa taşıyın.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta tüm terimleri şuraya taşıyalım: Sol Taraf 0 sağda kalacak şekilde şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Kaynakça

Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. - M.: Eğitim, 2006.

Pedagojik Fikirler Festivali" Herkese açık ders" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

§ 1 Tamsayı ve kesirli rasyonel denklemler

Bu dersimizde rasyonel denklem, rasyonel ifade, tam ifade, kesirli ifade gibi kavramlara bakacağız. Rasyonel denklemleri çözmeyi düşünelim.

Rasyonel denklem, sol ve sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu bir denklemdir.

Rasyonel ifadeler şunlardır:

Kesirli.

Tamsayı ifadesi, sıfırdan farklı bir sayıya toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini kullanan sayılardan, değişkenlerden, tam sayı kuvvetlerinden oluşur.

Örneğin:

Kesirli ifadeler, bir değişkene veya değişkenli bir ifadeye bölünmeyi içerir. Örneğin:

Kesirli bir ifade, içinde yer alan değişkenlerin tüm değerleri için bir anlam ifade etmez. Örneğin, ifade

x = -9'da bu mantıklı değil çünkü x = -9'da payda sıfıra gidiyor.

Bu, rasyonel bir denklemin tam sayı veya kesirli olabileceği anlamına gelir.

Tam bir rasyonel denklem, sol ve sağ tarafların tam ifadeler olduğu rasyonel bir denklemdir.

Örneğin:

Kesirli rasyonel denklem, sol veya sağ tarafların kesirli ifadeler olduğu rasyonel bir denklemdir.

Örneğin:

§ 2 Bütün bir rasyonel denklemin çözümü

Bütün bir rasyonel denklemin çözümünü düşünelim.

Örneğin:

Denklemin her iki tarafını da içerdiği kesirlerin paydalarının en küçük ortak paydasıyla çarpalım.

Bunun için:

1. 2, 3, 6 numaralı paydaların ortak paydasını bulun. 6'ya eşittir;

2. Her kesir için ek bir faktör bulun. Bunu yapmak için ortak payda 6'yı her bir paydaya bölün.

kesir için ek faktör

3. Kesirlerin paylarını karşılık gelen ek faktörlerle çarpın. Böylece denklemi elde ederiz

verilen denkleme eşdeğerdir

Sol tarafta parantezleri açacağız, Sağ Taraf Terimin işaretini tersine kaydırarak sola doğru hareket ettirelim.

Polinomun benzer terimlerini getirelim ve

Denklemin doğrusal olduğunu görüyoruz.

Bunu çözdükten sonra x = 0,5 olduğunu buluruz.

§ 3 Kesirli rasyonel denklemin çözümü

Kesirli bir rasyonel denklem çözmeyi düşünelim.

Örneğin:

1. Denklemin her iki tarafını, içerdiği rasyonel kesirlerin paydalarının en küçük ortak paydasıyla çarpın.

x + 7 ve x - 1 paydalarının ortak paydasını bulalım.

(x + 7)(x - 1) çarpımlarına eşittir.

2. Her rasyonel kesir için ek bir faktör bulalım.

Bunu yapmak için ortak paydayı (x + 7)(x - 1) her bir paydaya bölün. Kesirler için ek faktör

x - 1'e eşit,

kesir için ek faktör

x+7'ye eşittir.

3. Kesirlerin paylarını karşılık gelen ek faktörlerle çarpın.

Bu denkleme eşdeğer olan (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) denklemini elde ederiz.

4.Binom'u sol ve sağdaki binom ile çarpın ve aşağıdaki denklemi elde edin

5. Tersine aktarırken her terimin işaretini değiştirerek sağ tarafı sola hareket ettiriyoruz:

6. Polinomun benzer terimlerini sunalım:

7. Her iki taraf da -1'e bölünebilir. İkinci dereceden bir denklem elde ederiz:

8. Çözdükten sonra kökleri bulacağız

Denklemden beri.

sol ve sağ taraflar kesirli ifadelerdir ve kesirli ifadelerde değişkenlerin bazı değerleri için payda sıfır olabiliyor o zaman x1 ve x2 bulunca ortak paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek gerekir .

x = -27'de ortak payda (x + 7)(x - 1) kaybolmaz; x = -1'de ortak payda da sıfır değildir.

Dolayısıyla hem -27 hem de -1 kökleri denklemin kökleridir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken, kabul edilebilir değerlerin aralığını hemen belirtmek daha iyidir. Ortak paydanın sıfıra gittiği değerleri ortadan kaldırın.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmenin başka bir örneğini ele alalım.

Örneğin denklemi çözelim

Kesirin paydasını denklemin sağ tarafına çarpanlara ayırıyoruz

Denklemi elde ederiz

Paydaların (x - 5), x, x(x - 5) ortak paydasını bulalım.

Bu x(x - 5) ifadesi olacaktır.

Şimdi denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığını bulalım

Bunu yapmak için ortak paydayı sıfır x(x - 5) = 0'a eşitliyoruz.

Çözerek x = 0 veya x = 5'te ortak paydanın sıfıra gittiğini bulduğumuz bir denklem elde ederiz.

Bu, x = 0 veya x = 5'in denklemimizin kökleri olamayacağı anlamına gelir.

Artık ek çarpanlar bulunabilir.

Rasyonel kesirler için ek faktör

kesir için ek faktör

(x - 5) olacak,

ve kesrin ek faktörü

Payları karşılık gelen ek faktörlerle çarpıyoruz.

x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) denklemini elde ederiz.

Sol ve sağdaki parantezleri açalım, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Aktarılan terimlerin işaretini değiştirerek terimleri sağdan sola taşıyalım:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ve benzer terimleri getirdikten sonra ikinci dereceden x2 - 3x - 10 = 0 denklemi elde ediyoruz. Çözdükten sonra x1 = -2 köklerini buluyoruz; x2 = 5.

Ancak x = 5'te x(x - 5) ortak paydasının sıfıra gittiğini zaten öğrenmiştik. Bu nedenle denklemimizin kökü

x = -2 olacaktır.

§ 4 Kısa özet ders

Hatırlanması gereken önemli:

Kesirli rasyonel denklemleri çözerken aşağıdakileri yapın:

1. Denklemde yer alan kesirlerin ortak paydasını bulun. Ayrıca, eğer kesirlerin paydaları çarpanlarına ayrılabiliyorsa, bunları çarpanlarına ayırın ve ardından ortak paydayı bulun.

2. Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarpın: ek faktörleri bulun, payları ek faktörlerle çarpın.

3. Ortaya çıkan denklemin tamamını çözün.

4. Ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden eleyin.

Kullanılan literatürün listesi:

Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Telyakovsky S.A. tarafından düzenlenmiştir. Cebir: ders kitabı. 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar. - M.: Eğitim, 2013.
Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf: İki bölüm halinde. Bölüm 1: Ders Kitabı. genel eğitim için kurumlar. - M.: Mnemosyne.
Rurukin A.N. Cebirde ders gelişmeleri: 8. sınıf - M.: VAKO, 2010.
Cebir 8. sınıf: ders planları Yu.N.'nin ders kitabına göre. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neşkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. TL Afanasyeva, Los Angeles Tapilina. -Volgograd: Öğretmen, 2005.

Rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerle tanışalım, tanımlarını verelim, örnekler verelim ve ayrıca en yaygın problem türlerini analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasyonel denklem: tanım ve örnekler

Rasyonel ifadelerle tanışma okulun 8. sınıfında başlar. Bu dönemde cebir derslerinde öğrenciler notlarında rasyonel ifadeler içeren denklemlerle ilgili ödevlerle giderek daha fazla karşılaşmaya başlıyorlar. Ne olduğu konusunda hafızamızı tazeleyelim.

Tanım 1

Rasyonel denklem her iki tarafın da rasyonel ifadeler içerdiği bir denklemdir.

Çeşitli kılavuzlarda başka bir formülasyon bulabilirsiniz.

Tanım 2

Rasyonel denklem- bu, sol tarafı rasyonel bir ifade içeren ve sağ tarafı sıfır içeren bir denklemdir.

Rasyonel denklemler için verdiğimiz tanımlar aynı şeyden söz ettikleri için eşdeğerdir. Sözlerimizin doğruluğu, herhangi bir rasyonel ifade için P Ve Q denklemler P = S Ve P - S = 0 eşdeğer ifadeler olacaktır.

Şimdi örneklere bakalım.

örnek 1

Rasyonel denklemler:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rasyonel denklemler, tıpkı diğer türdeki denklemler gibi, 1'den birkaçına kadar herhangi bir sayıda değişken içerebilir. İlk önce şuna bakacağız basit örnekler Denklemlerin yalnızca bir değişken içereceği. Ve sonra görevi yavaş yavaş karmaşıklaştırmaya başlayacağız.

Rasyonel denklemler iki büyük gruba ayrılır: tam sayı ve kesirli. Her bir gruba hangi denklemlerin uygulanacağını görelim.

Tanım 3

Bir rasyonel denklemin sol ve sağ tarafları tüm rasyonel ifadeleri içeriyorsa tamsayı olacaktır.

Tanım 4

Bir rasyonel denklemin parçalarından biri veya her ikisi de kesir içeriyorsa kesirli olacaktır.

Kesirli rasyonel denklemler mutlaka bir değişkene bölünmeyi içerir veya değişken paydada bulunur. Denklemlerin tamamının yazılmasında böyle bir bölümleme yoktur.

Örnek 2

3 x + 2 = 0 Ve (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– tüm rasyonel denklemler. Burada denklemin her iki tarafı da tam sayı ifadeleriyle temsil edilmektedir.

1 x - 1 = x 3 ve x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 kesirli rasyonel denklemlerdir.

Bütün rasyonel denklemler doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri içerir.

Denklemlerin tamamını çözme

Bu tür denklemleri çözmek genellikle onları eşdeğer cebirsel denklemlere dönüştürmekten ibarettir. Bu, aşağıdaki algoritmaya uygun olarak denklemlerin eşdeğer dönüşümlerinin gerçekleştirilmesiyle elde edilebilir:

Öncelikle denklemin sağ tarafında sıfır alıyoruz, bunun için denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sol tarafına taşıyıp işaretini değiştirmemiz gerekiyor;
daha sonra denklemin sol tarafındaki ifadeyi bir polinoma dönüştürürüz standart görünüm.

Cebirsel bir denklem elde etmeliyiz. Bu denklem orijinal denkleme eşdeğer olacaktır. Kolay durumlar, sorunu çözmek için tüm denklemi doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme indirgememize olanak tanır. İÇİNDE Genel dava cebirsel bir derece denklemini çözüyoruz N.

Örnek 3

Tüm denklemin köklerini bulmak gerekiyor 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Çözüm

Eşdeğer bir cebirsel denklem elde etmek için orijinal ifadeyi dönüştürelim. Bunun için denklemin sağ tarafında yer alan ifadeyi sol tarafa aktarıp işaretin tersini koyacağız. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Şimdi sol taraftaki ifadeyi standart formda bir polinoma dönüştürelim ve bu polinomla gerekli işlemleri yapalım:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Orijinal denklemin çözümünü ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başardık. x 2 − 5 x − 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı pozitiftir: D = (− 5) 2− 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Bu şu anlama gelir, gerçek kökler iki tane olacak. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak bunları bulalım:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 veya x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 veya x 2 = - 1

Çözüm sırasında bulduğumuz denklemin köklerinin doğruluğunu kontrol edelim. Bunun için aldığımız sayıları orijinal denklemde yerine koyarız: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Ve 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. İlk durumda 63 = 63 , saniyede 0 = 0 . Kökler x=6 Ve x = − 1 aslında örnek koşulda verilen denklemin kökleridir.

Cevap: 6 , − 1 .

"Bir denklemin tamamının derecesi"nin ne anlama geldiğine bakalım. Bir denklemin tamamını cebirsel formda temsil etmemiz gereken durumlarda bu terimle sıklıkla karşılaşacağız. Konsepti tanımlayalım.

Tanım 5

Tüm denklemin derecesi- bu derece cebirsel denklem, orijinal tamsayı denklemine eşdeğerdir.

Yukarıdaki örnekteki denklemlere bakarsanız şunu tespit edebilirsiniz: tüm bu denklemin derecesi ikincidir.

Dersimiz ikinci derece denklemlerin çözümüyle sınırlı olsaydı konunun tartışması burada bitebilirdi. Ama bu o kadar basit değil. Üçüncü dereceden denklemleri çözmek zorluklarla doludur. Ve dördüncü dereceden daha yüksek denklemler için genel formüller kökler. Bu bakımdan üçüncü, dördüncü ve diğer derecedeki denklemlerin tamamının çözülmesi, bir takım başka teknik ve yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.

Rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için en yaygın kullanılan yaklaşım, çarpanlara ayırma yöntemine dayanmaktadır. Bu durumda eylemlerin algoritması aşağıdaki gibidir:

sıfırın kaydın sağ tarafında kalması için ifadeyi sağ taraftan sola doğru hareket ettiriyoruz;
Sol taraftaki ifadeyi faktörlerin bir ürünü olarak temsil ediyoruz ve ardından daha basit denklemlerden oluşan bir diziye geçiyoruz.

Örnek 4

(x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) denkleminin çözümünü bulun.

Çözüm

İfadeyi kaydın sağ tarafından sola doğru kaydırıyoruz. zıt işaret: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Sol tarafı standart formun bir polinomuna dönüştürmek, bize dördüncü dereceden bir cebirsel denklem vereceği için uygun değildir: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Dönüşümün kolaylığı böyle bir denklemin çözümündeki tüm zorlukları haklı çıkarmaz.

Diğer tarafa gitmek çok daha kolay: ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım x 2 − 10 x + 13 . Böylece formun bir denklemine ulaşıyoruz (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Şimdi ortaya çıkan denklemi iki ikinci dereceden denklemle değiştiriyoruz x 2 − 10 x + 13 = 0 Ve x 2 − 2 x − 1 = 0 ve bunların köklerini diskriminant aracılığıyla bulun: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Cevap: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Aynı şekilde yeni bir değişken ekleme yöntemini de kullanabiliriz. Bu yöntem, orijinal tamsayı denklemindeki derecelerden daha düşük derecelere sahip eşdeğer denklemlere geçmemizi sağlar.

Örnek 5

Denklemin kökleri var mı? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Çözüm

Şimdi bir rasyonel denklemin tamamını cebirsel bir denkleme indirgemeye çalışırsak, rasyonel kökleri olmayan 4. dereceden bir denklem elde ederiz. Bu nedenle diğer tarafa gitmemiz daha kolay olacaktır: denklemdeki ifadenin yerini alacak yeni bir y değişkeni eklemek x 2 + 3 x.

Şimdi tüm denklemle çalışacağız (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Denklemin sağ tarafını ters işaretle sola kaydırıp gerekli dönüşümleri yapalım. Şunu elde ederiz: y 2 + 4 y + 3 = 0. İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: y = − 1 Ve y = − 3.

Şimdi ters değiştirme işlemini yapalım. İki denklem elde ediyoruz x 2 + 3 x = − 1 Ve x 2 + 3 · x = − 3 . Bunları x 2 + 3 x + 1 = 0 olarak yeniden yazalım ve x 2 + 3 x + 3 = 0. Elde edilenlerden ilk denklemin köklerini bulmak için ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanıyoruz: - 3 ± 5 2. İkinci denklemin diskriminantı negatiftir. Bu, ikinci denklemin gerçek köklerinin olmadığı anlamına gelir.

Cevap:- 3 ± 5 2

Tam denklemler yüksek dereceler Görevlerde oldukça sık karşılaşıyoruz. Onlardan korkmanıza gerek yok. Başvurmaya hazır olmanız gerekiyor standart dışı yöntem bir dizi yapay dönüşüm de dahil olmak üzere çözümleri.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Bu alt konuyu değerlendirmeye p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma ile başlayacağız; burada p(x) Ve q(x)– bütün rasyonel ifadeler. Diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümü her zaman belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne indirgenebilir.

p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözmek için en yaygın kullanılan yöntem aşağıdaki ifadeye dayanmaktadır: sayısal kesir sen v, Nerede v- bu, sıfırdan farklı, yalnızca kesir payının sıfıra eşit olduğu durumlarda sıfıra eşit bir sayıdır. Yukarıdaki ifadenin mantığını takip ederek, p (x) q (x) = 0 denkleminin çözümünün iki koşulun yerine getirilmesine indirgenebileceğini iddia edebiliriz: p(x)=0 Ve q(x) ≠ 0. Bu, p (x) q (x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma oluşturmanın temelidir:

tüm rasyonel denklemin çözümünü bulun p(x)=0;
çözüm sırasında bulunan kökler için koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederiz q(x) ≠ 0.

Bu koşul sağlanıyorsa bulunan kök, sağlanmıyorsa kök soruna çözüm değildir.

Örnek 6

3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm

p (x) q (x) = 0 formunda, p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 olan kesirli bir rasyonel denklemle uğraşıyoruz. Doğrusal denklemi çözmeye başlayalım 3 x - 2 = 0. Bu denklemin kökü x = 2 3.

Koşulu karşılayıp karşılamadığını görmek için bulunan kökü kontrol edelim. 5 x 2 − 2 ≠ 0. Bunu yapmak için ifadeye sayısal bir değer koyun. Şunu elde ederiz: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Koşul karşılanıyor. Bu demektir x = 2 3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap: 2 3 .

Kesirli rasyonel denklemleri p (x) q (x) = 0 çözmek için başka bir seçenek daha var. Bu denklemin denklemin tamamına eşdeğer olduğunu hatırlayın p(x)=0 orijinal denklemin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında. Bu, p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözerken aşağıdaki algoritmayı kullanmamıza olanak tanır:

denklemi çözün p(x)=0;
x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını bulun;
orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleri olarak x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında yer alan kökleri alıyoruz.

Örnek 7

x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 denklemini çözün.

Çözüm

İlk önce ikinci dereceden denklemi çözelim x 2 − 2 x − 11 = 0. Köklerini hesaplamak için çift ikinci katsayı için kök formülünü kullanırız. Aldık D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ve x = 1 ± 2 3.

Artık orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini bulabiliriz. Bunların hepsi rakamlar x 2 + 3 x ≠ 0. Aynısı x (x + 3) ≠ 0, buradan x ≠ 0, x ≠ − 3.

Şimdi çözümün ilk aşamasında elde edilen x = 1 ± 2 3 köklerinin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında olup olmadığını kontrol edelim. geldiklerini görüyoruz. Bu, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü x = 1 ± 2 3 olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 1 ± 2 3

Açıklanan ikinci çözüm yöntemi ilkinden daha kolay x değişkeninin izin verilen değer aralığının kolayca bulunabildiği ve denklemin köklerinin bulunduğu durumlarda p(x)=0 mantıksız. Örneğin, 7 ± 4 · 26 9. Kökler rasyonel olabilir ancak büyük bir pay veya paydaya sahip olabilir. Örneğin, 127 1101 Ve − 31 59 . Bu, durumu kontrol ederken zaman kazandırır q(x) ≠ 0: ODZ'ye göre uygun olmayan köklerin dışlanması çok daha kolaydır.

Denklemin köklerinin olduğu durumlarda p(x)=0 tam sayılardır, p (x) q (x) = 0 formundaki denklemleri çözmek için açıklanan algoritmalardan ilkini kullanmak daha uygundur. Bir denklemin tamamının köklerini daha hızlı bulun p(x)=0 ve ardından koşulun kendileri için karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin q(x) ≠ 0 ODZ'yi bulmak ve ardından denklemi çözmek yerine p(x)=0 bu ODZ'de. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Örnek 8

Denklemin köklerini bulun (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Çözüm

Denklemin tamamına bakarak başlayalım (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 ve onun köklerini bulmak. Bunu yapmak için denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme yöntemini uyguluyoruz. Orijinal denklemin, üçü doğrusal ve 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 olmak üzere dört denklemden oluşan bir diziye eşdeğer olduğu ortaya çıktı ve biri ikinci derecedendir. Kökleri bulma: ilk denklemden x = 1 2, ikinciden itibaren – x=6, üçüncüden – x = 7 , x = − 2 , dördüncüden – x = − 1.

Elde edilen kökleri kontrol edelim. ADL'yi belirleyin bu durumda Bizim için zor çünkü bunun için beşinci dereceden cebirsel denklemi çözmemiz gerekecek. Denklemin sol tarafında yer alan kesrin paydasının sıfıra gitmemesi durumunu kontrol etmek daha kolay olacaktır.

İfadedeki x değişkeninin yerine kökleri sırayla koyalım x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 ve değerini hesaplayın:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Gerçekleştirilen doğrulama, orijinal kesirli rasyonel denklemin köklerinin 1 2, 6 ve 6 olduğunu tespit etmemizi sağlar. − 2 .

Cevap: 1 2 , 6 , - 2

Örnek 9

5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kesirli rasyonel denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Denklemle çalışmaya başlayalım (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Köklerini bulalım. Bu denklemi ikinci dereceden ve denklemlerin bir kombinasyonu olarak hayal etmek bizim için daha kolaydır. doğrusal denklemler 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Ve x - 2 = 0.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kök formülünü kullanırız. İlk denklemden iki kök x = 7 ± 69 10, ikincisinden ise iki kök elde ederiz. x = 2.

Koşulları kontrol etmek için köklerin değerini orijinal denklemde yerine koymamız oldukça zor olacaktır. X değişkeninin ODZ'sini belirlemek daha kolay olacaktır. Bu durumda, x değişkeninin ODZ'si, koşulun karşılandığı durumlar dışındaki tüm sayılardır x 2 + 5 x - 14 = 0. Şunu elde ederiz: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Şimdi bulduğumuz köklerin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığına ait olup olmadığını kontrol edelim.

Kökler x = 7 ± 69 10 -'e aittir, dolayısıyla bunlar orijinal denklemin kökleridir ve x = 2- ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.

Cevap: x = 7 ± 69 10 .

p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemin payının bir sayı içerdiği durumları ayrı ayrı inceleyelim. Bu gibi durumlarda pay sıfırdan farklı bir sayı içeriyorsa denklemin kökleri olmayacaktır. Bu sayı sıfıra eşitse denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayı olacaktır.

Örnek 10

Kesirli rasyonel denklemi çözün - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Çözüm

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden bu denklemin kökleri olmayacaktır. Bu, x'in hiçbir değerinde problem ifadesinde verilen kesirin değerinin sıfıra eşit olmayacağı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Örnek 11

0 x 4 + 5 x 3 = 0 denklemini çözün.

Çözüm

Kesirin payı sıfır içerdiğinden denklemin çözümü, x değişkeninin ODZ'sinden herhangi bir x değeri olacaktır.

Şimdi ODZ'yi tanımlayalım. X'in tüm değerlerini içerecektir. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Denklemin çözümleri x 4 + 5 x 3 = 0öyle 0 Ve − 5 , çünkü bu denklem denkleme eşdeğerdir x 3 (x + 5) = 0 ve bu da iki x 3 = 0 denkleminin birleşimine eşdeğerdir ve x + 5 = 0, bu köklerin görülebildiği yer. İstenilen kabul edilebilir değer aralığının, hariç herhangi bir x olduğu sonucuna varıyoruz. x = 0 Ve x = − 5.

0 x 4 + 5 x 3 = 0 kesirli rasyonel denkleminin, sıfır ve - 5 dışında herhangi bir sayı olan sonsuz sayıda çözümü olduğu ortaya çıktı.

Cevap: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Şimdi keyfi biçimdeki kesirli rasyonel denklemler ve bunları çözme yöntemleri hakkında konuşalım. Şu şekilde yazılabilirler: r(x) = s(x), Nerede r(x) Ve s(x)– rasyonel ifadeler ve bunlardan en az biri kesirlidir. Bu tür denklemlerin çözülmesi, p(x) q(x) = 0 formundaki denklemlerin çözülmesine indirgenir.

Denklemin sağ tarafındaki bir ifadeyi ters işaretli olarak sola aktararak eşdeğer bir denklem elde edebileceğimizi zaten biliyoruz. Bu şu anlama gelir: denklem r(x) = s(x) denklemin eşdeğeridir r (x) - s (x) = 0. Ayrıca rasyonel bir ifadeyi rasyonel kesre dönüştürmenin yollarını da zaten tartıştık. Bu sayede denklemi kolaylıkla dönüştürebiliriz. r (x) - s (x) = 0 p(x) q(x) formunun özdeş rasyonel kesrine dönüştürür.

Böylece orijinal kesirli rasyonel denklemden hareket ediyoruz r(x) = s(x)çözmeyi öğrendiğimiz p (x) q (x) = 0 formundaki bir denkleme.

Geçişler yapılırken dikkate alınmalıdır. r (x) - s (x) = 0 p(x)q(x) = 0'a ve sonra p(x)=0 x değişkeninin izin verilen değer aralığının genişlemesini dikkate almayabiliriz.

Orijinal denklemin olması oldukça mümkündür. r(x) = s(x) ve denklem p(x)=0 dönüşümlerin sonucunda eşdeğer olmaktan çıkacaklar. O zaman denklemin çözümü p(x)=0 bize yabancı olacak kökler verebilir r(x) = s(x). Bu bağlamda, her durumda yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanarak doğrulamanın yapılması gerekmektedir.

Konuyu incelemenizi kolaylaştırmak için, tüm bilgileri formun kesirli rasyonel denklemini çözmeye yönelik bir algoritmada özetledik. r(x) = s(x):

ifadeyi sağ taraftan ters işaretle aktarıyoruz ve sağdan sıfır alıyoruz;
orijinal ifadeyi rasyonel bir kesire dönüştürün p (x) q (x) , kesirler ve polinomlarla sırayla işlemler gerçekleştirin;
denklemi çözün p(x)=0;
ODZ'ye ait olduklarını kontrol ederek veya orijinal denklemde ikame yaparak yabancı kökleri belirleriz.

Görsel olarak eylem zinciri şöyle görünecek:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminasyon DIŞ KÖKLER

Örnek 12

Kesirli rasyonel denklemi çözün x x + 1 = 1 x + 1 .

Çözüm

Şimdi x x + 1 - 1 x + 1 = 0 denklemine geçelim. Denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi p (x) q (x) formuna dönüştürelim.

Bunu yapmak için rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indirgememiz ve ifadeyi basitleştirmemiz gerekecek:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

- 2 x - 1 x (x + 1) = 0 denkleminin köklerini bulmak için denklemi çözmemiz gerekiyor − 2 x − 1 = 0. Bir kök alıyoruz x = - 1 2.

Tek yapmamız gereken yöntemlerden herhangi birini kullanarak kontrol etmek. İkisine de bakalım.

Ortaya çıkan değeri orijinal denklemde yerine koyalım. - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 elde ederiz. Doğru sayısal eşitliğe ulaştık − 1 = − 1 . Bu demektir x = − 1 2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi ODZ'yi kontrol edelim. X değişkeninin izin verilen değer aralığını belirleyelim. Bu, - 1 ve 0 hariç tüm sayı kümesi olacaktır (x = − 1 ve x = 0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Elde ettiğimiz kök x = − 1 2 ODZ'ye aittir. Bu, orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: − 1 2 .

Örnek 13

x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Kesirli rasyonel bir denklemle uğraşıyoruz. Bu nedenle algoritmaya göre hareket edeceğiz.

İfadeyi sağ taraftan sola doğru ters işaretle taşıyalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Gerekli dönüşümleri yapalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Denkleme varıyoruz x = 0. Bu denklemin kökü sıfırdır.

Bu kökün orijinal denklemin dışında olup olmadığını kontrol edelim. Değeri orijinal denklemde yerine koyalım: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin hiçbir anlamı yok. Bu, 0'ın yabancı bir kök olduğu ve orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olmadığı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Eğer diğer eşdeğer dönüşümleri algoritmaya dahil etmediysek, bu onların kullanılamayacağı anlamına gelmez. Algoritma evrenseldir ancak sınırlamak için değil, yardımcı olmak için tasarlanmıştır.

Örnek 14

Denklemi çözün 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Çözüm

En kolay yol, verilen kesirli rasyonel denklemi algoritmaya göre çözmektir. Ama başka bir yol daha var. Bunu düşünelim.

Sağ ve sol taraftan 7 çıkarırsak şunu elde ederiz: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Bundan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sayıya eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. karşılıklı sayı sağ taraftan, yani 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Her iki taraftan da 3 çıkarın: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Benzer şekilde, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, buradan 1 5 - x 2 = 1 3 ve ardından 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

Cevap: x = ± 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri ele alıyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm terimleri, sağ taraf 0 olacak şekilde sol tarafa taşıyın.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta, 0 sağda kalacak şekilde tüm terimleri sola kaydırırız.

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Kaynakça

Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. Genel eğitim kurumları için ders kitabı. - M.: Eğitim, 2006.

Pedagojik fikirler festivali "Açık Ders" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

Kesirli Denklem ÇözmeÖrneklere bakalım. Örnekler basit ve açıklayıcıdır. Onların yardımıyla en anlaşılır şekilde anlayabileceksiniz.
Örneğin basit x/b + c = d denklemini çözmeniz gerekir.

Bu tür bir denkleme doğrusal denir çünkü Payda yalnızca sayıları içerir.

Çözüm, denklemin her iki tarafının b ile çarpılmasıyla gerçekleştirilir, ardından denklem x = b*(d – c) formunu alır, yani. kesrin sol tarafındaki paydası birbirini götürür.

Örneğin, kesirli bir denklemin nasıl çözüleceği:
x/5+4=9
Her iki tarafı da 5 ile çarparız. Şunu elde ederiz:
x+20=45
x=45-20=25

Bilinmeyenlerin paydada olduğu başka bir örnek:

Bu tür denklemlere kesirli-rasyonel veya basitçe kesirli denir.

Kesirli bir denklemi kesirlerden kurtularak çözeriz, bundan sonra bu denklem çoğu zaman normal şekilde çözülen doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. Aşağıdaki noktaları dikkate almanız yeterlidir:

paydayı 0'a getiren değişkenin değeri kök olamaz;
Bir denklemi =0 ifadesine bölemez veya çarpamazsınız.

İzin verilen değerler bölgesi (ADV) kavramının yürürlüğe girdiği yer burasıdır - bunlar, denklemin anlamlı olduğu denklemin köklerinin değerleridir.

Bu nedenle denklemi çözerken kökleri bulmak ve ardından ODZ'ye uygunluklarını kontrol etmek gerekir. ODZ'mize uymayan kökler yanıtın dışında bırakılır.

Örneğin, kesirli bir denklemi çözmeniz gerekir:

Yukarıdaki kurala göre x = 0 olamaz, yani. Bu durumda ODZ: x – sıfırdan farklı herhangi bir değer.

Denklemin tüm terimlerini x ile çarparak paydadan kurtuluruz

Ve olağan denklemi çözüyoruz

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Cevap: x = 1/3

Daha karmaşık bir denklemi çözelim:

ODZ burada da mevcuttur: x -2.

Bu denklemi çözerken her şeyi bir tarafa taşıyıp kesirleri ortak paydaya getirmeyeceğiz. Hemen denklemin her iki tarafını da tüm paydaları aynı anda iptal edecek bir ifadeyle çarpacağız.

Paydaları azaltmak için sol tarafı x+2 ile, sağ tarafı ise 2 ile çarpmanız gerekir. Bu, denklemin her iki tarafının da 2(x+2) ile çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Bu, yukarıda tartıştığımız kesirlerin en yaygın çarpımıdır.

Aynı denklemi biraz farklı yazalım

Sol taraf (x+2), sağ taraf ise 2 azaltılır. İndirgemenin ardından olağan doğrusal denklemi elde ederiz:

x = 4 – 2 = 2, bu bizim ODZ'mize karşılık gelir

Cevap: x = 2.

Kesirli Denklem Çözme göründüğü kadar zor değil. Bu yazımızda bunu örneklerle gösterdik. Eğer herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız kesirli denklemler nasıl çözülür, ardından yorumlarda aboneliğinizi iptal edin.

Görüntüleme