Güven aralığı. Güven aralığı

Güven aralığı(CI; İngilizce'de güven aralığı - CI), bir örneklemle yapılan bir çalışmada elde edilen, bu tür tüm hastaların popülasyonu (genel popülasyon) hakkında sonuçlara varmak amacıyla çalışma sonuçlarının doğruluğunun (veya belirsizliğinin) bir ölçüsünü verir. %95 GA'nın doğru tanımı şu şekilde formüle edilebilir: Bu tür aralıkların %95'i popülasyondaki gerçek değeri içerecektir. Bu yorum biraz daha az doğrudur: CI, gerçek değeri içerdiğinden %95 emin olabileceğiniz değer aralığıdır. CI kullanılırken, test sonucunda elde edilen P değerinin aksine, niceliksel etkinin belirlenmesine vurgu yapılır. İstatistiksel anlamlılık. P değeri herhangi bir niceliği tahmin etmez, bunun yerine "etki yok" boş hipotezine karşı kanıtın gücünün bir ölçüsü olarak hizmet eder. P'nin değeri tek başına bize farkın büyüklüğü ve hatta yönü hakkında hiçbir şey söylemez. Bu nedenle bağımsız P değerleri makalelerde veya özetlerde kesinlikle bilgi verici değildir. Buna karşılık, CI hem tedavinin faydası gibi acil ilginin etkisinin boyutunu hem de kanıtların gücünü gösterir. Bu nedenle DI doğrudan KDT uygulamasıyla ilgilidir.

CI tarafından örneklenen istatistiksel analize yönelik tahmin yaklaşımı, ilgilenilen etkinin miktarını (tanı testinin duyarlılığı, öngörülen vakaların oranı, tedaviyle göreceli risk azalması vb.) ölçmeyi ve aynı zamanda bu konudaki belirsizliği ölçmeyi amaçlar. etki. Çoğu zaman CI, tahminin her iki tarafındaki gerçek değerin muhtemelen yer aldığı değer aralığıdır ve bundan %95 emin olabilirsiniz. P değeri gibi %95 olasılığı kullanma anlaşması da keyfidir.<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

CI, farklı hasta örnekleri üzerinde yapılan aynı çalışmanın aynı sonuçları üretmeyeceği, ancak sonuçlarının gerçek ancak bilinmeyen bir değer etrafında dağılacağı fikrine dayanmaktadır. Başka bir deyişle CI bunu "örneğe bağlı değişkenlik" olarak tanımlıyor. CI, diğer sebeplerden kaynaklanan ilave belirsizliği yansıtmamaktadır; özellikle seçici kaybın takip üzerindeki etkisini, zayıf uyumu veya hatalı sonuç ölçümünü, körleme eksikliğini vb. içermez. Bu nedenle CI her zaman toplam belirsizlik miktarını eksik tahmin eder.

Güven Aralığı Hesaplaması

Tablo A1.1. Seçilen klinik ölçümler için standart hatalar ve güven aralıkları

Tipik olarak bir CI, iki oran arasındaki fark (d) gibi bir miktarın gözlemlenen tahmininden ve bu farkın tahminindeki standart hatadan (SE) hesaplanır. Bu şekilde elde edilen yaklaşık %95 GA d ± 1,96 SE'dir. Formül, sonuç ölçüsünün niteliğine ve CI'nin kapsamına göre değişir. Örneğin, aselüler boğmaca aşısının randomize, plasebo kontrollü bir deneyinde, aşı alan 1670 bebekten 72'sinde (%4,3) boğmaca gelişti ve kontrol grubunda 1665 bebekten 240'ında (%14,4) boğmaca gelişti. Mutlak risk azalması olarak bilinen yüzde farkı %10,1'dir. Bu farkın SE'si %0,99'dur. Buna göre %95 GA, %10,1 + %1,96 x %0,99'dur; 8,2'den 12,0'a.

Farklı felsefi yaklaşımlarına rağmen CI'ler ve istatistiksel anlamlılık testleri matematiksel olarak yakından ilişkilidir.

Dolayısıyla P değeri “anlamlıdır”, yani. R<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

Tahminin CI cinsinden ifade edilen belirsizliği (yanlışlığı) büyük ölçüde örneklem boyutunun kareköküyle ilgilidir. Küçük numuneler büyük numunelerden daha az bilgi sağlar ve CI daha küçük bir numunede buna uygun olarak daha geniştir. Örneğin, Helicobacter pylori enfeksiyonunu teşhis etmek için kullanılan üç testin performansını karşılaştıran bir makale, üre nefes testinin duyarlılığının %95,8 (%95 CI 75-100) olduğunu bildirdi. %95,8'lik rakam etkileyici olsa da, J. pylori'li 24 yetişkin hastadan oluşan küçük bir örneklem, geniş güven aralığının da gösterdiği gibi, bu tahminde önemli bir belirsizlik olduğu anlamına geliyor. Nitekim yüzde 75'lik alt sınır, yüzde 95,8'lik tahminin çok altında. Aynı duyarlılık 240 kişilik bir örneklemde gözlemlenirse %95 GA 92,5-98,0 olur ve bu da testin oldukça duyarlı olduğuna dair daha fazla güvence sağlar.

Randomize kontrollü çalışmalarda (RKÇ'ler), anlamlı olmayan sonuçlar (yani P>0.05 olanlar) yanlış yorumlanmaya özellikle duyarlıdır. CI burada özellikle faydalıdır çünkü sonuçların klinik olarak faydalı gerçek etkiyle ne kadar tutarlı olduğunu gösterir. Örneğin kolonik sütür ve zımba anastomozunu karşılaştıran bir RKÇ'de yara enfeksiyonu hastaların sırasıyla %10,9 ve %13,5'inde gelişti (P ​​= 0,30). Bu fark için %95 GA %2,6'dır (−2 ila +8). 652 hastayı içeren bu çalışmada bile, iki prosedürden kaynaklanan enfeksiyonların görülme sıklığında az da olsa bir fark olması mümkündür. Ne kadar az araştırma o kadar belirsizlik demektir. Sung ve diğerleri. 100 hastada akut varis kanamasında oktreotid infüzyonunu akut skleroterapiyle karşılaştırmak için bir RKÇ gerçekleştirdi. Oktreotid grubunda kanama kontrol oranı %84; skleroterapi grubunda - %90, bu da P = 0,56'yı verir. Devam eden kanama oranlarının söz konusu çalışmada yara enfeksiyonuna ilişkin oranlarla benzer olduğunu unutmayın. Ancak bu durumda müdahaleler arasındaki fark için %95 GA %6'dır (-7 ila +19). Bu aralık, klinik açıdan ilgi çekici olabilecek %5'lik farkla karşılaştırıldığında oldukça geniştir. Açıkçası, çalışma etkililik açısından önemli bir farkı göz ardı etmiyor. Bu nedenle yazarların varis kanamasının tedavisinde oktreotid infüzyonu ve skleroterapinin eşit derecede etkili olduğu yönündeki sonucu kesinlikle geçersizdir. Burada olduğu gibi mutlak risk azaltımı (ARR) için %95 CI'nın sıfır içerdiği bu gibi durumlarda, NNT için CI'nın (tedavi edilmesi gereken sayı) yorumlanması oldukça zordur. TGA ve CI, ACP'nin karşılıklarından elde edilir (bu değerler yüzde olarak verilmişse 100 ile çarpılır). Burada NPL = 100: 6 = 16,6 ve %95 GA -14,3 ile 5,3 arasında elde edilir. Tablodaki “d” dipnotundan da anlaşılacağı üzere. A1.1, bu CI, 5,3'ten sonsuza kadar NPL ve 14,3'ten sonsuza kadar NPL değerlerini içerir.

CI'ler en sık kullanılan istatistiksel tahminler veya karşılaştırmalar için oluşturulabilir. RCT'ler için ortalama oranlar, göreceli riskler, olasılık oranları ve NLR'ler arasındaki farkı içerir. Benzer şekilde, tanısal test doğruluğu çalışmalarında yapılan tüm önemli tahminler için (duyarlılık, özgüllük, pozitif tahmin değeri (hepsi basit oranlardır) ve olasılık oranları) meta analizlerde ve kontrolle karşılaştırmada elde edilen tahminler için CI'ler elde edilebilir. çalışmalar. MDI'lerin bu kullanımlarının çoğunu kapsayan bir kişisel bilgisayar programı, İstatistiklerin Güvenle kitabının ikinci baskısında mevcuttur. Oranlar için CI'lerin hesaplanmasına yönelik makrolar, Excel ve SPSS ve Minitab istatistik programları için ücretsiz olarak http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm adresinde mevcuttur.

Tedavi etkisine ilişkin çoklu tahminler

CI'ler birincil çalışma sonuçları için tercih edilirken, tüm sonuçlar için gerekli değildir. CI klinik olarak önemli karşılaştırmalarla ilgilidir. Örneğin, iki grubu karşılaştırırken doğru GA, yukarıdaki örneklerde gösterildiği gibi gruplar arasındaki farka göre oluşturulan güven aralığıdır, her gruptaki tahmin için oluşturulabilen güven aralığı değildir. Her gruptaki tahminler için ayrı CI'lar sağlamak yararlı olmayacağı gibi, bu sunum yanıltıcı da olabilir. Benzer şekilde, farklı alt gruplardaki tedavilerin etkinliğini karşılaştırırken doğru yaklaşım, iki (veya daha fazla) alt grubu doğrudan karşılaştırmaktır. Eğer CI hiçbir etkiye karşılık gelen değeri hariç tutmuyorsa ve diğerleri bunu dışlamıyorsa, bir tedavinin yalnızca bir alt grupta etkili olduğunu varsaymak yanlıştır. CI'ler aynı zamanda birden fazla alt gruptaki sonuçları karşılaştırırken de faydalıdır. İncirde. A 1.1, magnezyum sülfatla ilgili plasebo kontrollü bir RCT'deki kadın alt gruplarında preeklampsili kadınlarda göreceli eklampsi riskini göstermektedir.

Pirinç. A1.2. Orman grafiği, sığır rotavirüs aşısının ishalin önlenmesinde plaseboyla karşılaştırıldığında kullanıldığı 11 randomize klinik çalışmanın sonuçlarını göstermektedir. Göreceli ishal riskini tahmin etmek için %95'lik bir güven aralığı kullanıldı. Siyah karenin boyutu bilgi miktarıyla orantılıdır. Ek olarak, tedavi etkinliğinin özet tahmini ve %95 güven aralığı (baklava deseniyle gösterilir) gösterilir. Meta-analiz, önceden belirlenmiş bazı modellerden daha büyük bir rastgele etki modeli kullanmıştır; örneğin bu, örneklem büyüklüğünün hesaplanmasında kullanılan boyut olabilir. Daha sıkı bir kriter, tüm CI aralığının önceden belirlenmiş bir minimum değerden daha fazla fayda göstermesini gerektirir.

İstatistiksel önem eksikliğini iki tedavinin eşit derecede etkili olduğunun bir göstergesi olarak almanın yanlışlığını daha önce tartışmıştık. İstatistiksel anlamlılığı klinik önemle eşitlememek de aynı derecede önemlidir. Sonuç istatistiksel olarak anlamlı olduğunda ve tedavi etkinliği tahmininin büyüklüğü olduğunda klinik önem varsayılabilir.

Çalışmalar, sonuçların istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını, hangilerinin klinik açıdan önemli olduğunu ve hangilerinin olmadığını gösterebilir. İncirde. A1.2, tüm CI'nin geçerli olduğu dört testin sonuçlarını gösterir.<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

İstatistik problemlerini çözme yöntemlerinden biri de güven aralığının hesaplanmasıdır. Örneklem büyüklüğü küçük olduğunda nokta tahminine tercih edilen bir alternatif olarak kullanılır. Güven aralığını hesaplama sürecinin oldukça karmaşık olduğu unutulmamalıdır. Ancak Excel program araçları bunu bir şekilde basitleştirmenize olanak tanır. Bunun pratikte nasıl yapıldığını öğrenelim.

Bu yöntem çeşitli istatistiksel büyüklüklerin aralık tahmini için kullanılır. Bu hesaplamanın asıl görevi nokta tahmininin belirsizliklerinden kurtulmaktır.

Excel'de bu yöntemi kullanarak hesaplama yapmak için iki ana seçenek vardır: varyans bilindiğinde ve bilinmediğinde. İlk durumda, fonksiyon hesaplamalar için kullanılır. GÜVEN NORMU ve ikincisinde - MÜTEVİL.ÖĞRENCİ.

Yöntem 1: GÜVEN NORMU işlevi

Şebeke GÜVEN NORMUİstatistiksel işlevler grubuna ait olan , ilk olarak Excel 2010'da ortaya çıktı. Bu programın önceki sürümleri onun analogunu kullanıyor GÜVEN. Bu operatörün amacı popülasyon ortalaması için normal dağılmış bir güven aralığı hesaplamaktır.

Sözdizimi aşağıdaki gibidir:

GÜVENİLİRLİK.NORM(alfa;standart_kapalı;boyut)

"Alfa"— güven düzeyini hesaplamak için kullanılan anlamlılık düzeyini gösteren bir argüman. Güven düzeyi aşağıdaki ifadeye eşittir:

(1-"Alfa")*100

"Standart sapma"- Bu, özü adından da anlaşılan bir argümandır. Bu, önerilen örneğin standart sapmasıdır.

"Boyut"— örneklem boyutunu tanımlayan argüman.

Bu operatöre ilişkin tüm argümanlar gereklidir.

İşlev GÜVENöncekiyle tamamen aynı argümanlara ve olasılıklara sahiptir. Sözdizimi şöyledir:

GÜVEN(alfa; standart_kapalı; boyut)

Gördüğünüz gibi farklar yalnızca operatörün adındadır. Uyumluluk nedeniyle bu işlev Excel 2010 ve daha yeni sürümlerde özel bir kategoride bırakılmıştır. "Uyumluluk". Excel 2007 ve önceki sürümlerinde, ana istatistiksel operatör grubunda bulunur.

Güven aralığı limiti aşağıdaki formül kullanılarak belirlenir:

X+(-)GÜVEN NORMU

Nerede X seçilen aralığın ortasında yer alan ortalama örnek değeridir.

Şimdi belirli bir örnek kullanarak güven aralığının nasıl hesaplanacağına bakalım. Tabloda listelenen farklı sonuçlarla sonuçlanan 12 test gerçekleştirildi. Bu bizim bütünlüğümüzdür. Standart sapma 8'dir. Güven aralığını %97 güven düzeyinde hesaplamamız gerekir.

1. Veri işleme sonucunun görüntüleneceği hücreyi seçin. Düğmeye tıklayın "İşlev Ekle".



2. Görünür İşlev Sihirbazı. Kategoriye git "İstatistiksel" ve adı vurgulayın "GÜVEN.NORMU". Bundan sonra düğmeye tıklayın "TAMAM".



3. Argümanlar penceresi açılır. Alanları doğal olarak argümanların adlarına karşılık gelir.
   İmleci ilk alana yerleştirin - "Alfa". Burada önem düzeyini belirtmeliyiz. Hatırladığımız gibi güven seviyemiz %97 idi. Aynı zamanda şu şekilde hesaplandığını da söylemiştik:

   (1-güven düzeyi)/100

   Yani, değeri değiştirerek şunu elde ederiz:

   Basit hesaplamalarla argümanın olduğunu anlıyoruz. "Alfa" eşittir 0,03 . Bu değeri alana girin.

   Bilindiği gibi koşula göre standart sapma şuna eşittir: 8 . Bu nedenle sahada "Standart sapma" bu numarayı yazmanız yeterli.

   Tarlada "Boyut" gerçekleştirilen test öğelerinin sayısını girmeniz gerekir. Hatırladığımız kadarıyla onların 12 . Ancak formülü otomatikleştirmek ve her yeni test yaptığımızda düzenlememek için bu değeri sıradan bir sayıyla değil, operatörü kullanarak ayarlayalım. KONTROL ETMEK. Öyleyse imleci alana yerleştirelim "Boyut" ve ardından formül çubuğunun solunda bulunan üçgene tıklayın.

   Son kullanılan işlevlerin bir listesi görüntülenir. Operatör ise KONTROL ETMEK yakın zamanda tarafınızca kullanıldıysa bu listede olması gerekir. Bu durumda ismine tıklamanız yeterlidir. Aksi takdirde, bulamazsanız asıl konuya gidin "Diğer fonksiyonlar...".



4. Zaten tanıdık bir tane beliriyor İşlev Sihirbazı. Tekrar gruba dönelim "İstatistiksel". Orada adı vurguluyoruz "KONTROL ETMEK". Düğmeye tıklayın "TAMAM".



5. Yukarıdaki ifadenin argüman penceresi görünür. Bu işlev, belirli bir aralıkta sayısal değerler içeren hücrelerin sayısını hesaplamak için tasarlanmıştır. Sözdizimi aşağıdaki gibidir:

   COUNT(değer1, değer2,…)

   Bağımsız değişken grubu "Değerler" sayısal verilerle dolu hücrelerin sayısını hesaplamak istediğiniz aralığa bir referanstır. Toplamda 255'e kadar bu tür argüman olabilir, ancak bizim durumumuzda yalnızca bir tanesine ihtiyacımız var.

   İmleci alana yerleştirin "Değer1" ve sol fare düğmesini basılı tutarak sayfada koleksiyonumuzu içeren aralığı seçin. Daha sonra adresi alanda görüntülenecektir. Düğmeye tıklayın "TAMAM".



6. Bundan sonra uygulama hesaplamayı yapacak ve sonucu bulunduğu hücrede gösterecektir. Bizim özel durumumuzda formül şöyle görünüyordu:

   GÜVEN NORMU(0,03,8,COUNT(B2:B13))

   Hesaplamaların genel sonucu şuydu: 5,011609 .



7. Ama hepsi bu değil. Hatırladığımız gibi güven aralığı limiti, hesaplama sonucunun örnek ortalamasına eklenmesi ve çıkarılmasıyla hesaplanır. GÜVEN NORMU. Bu şekilde güven aralığının sırasıyla sağ ve sol sınırları hesaplanır. Örnek ortalamanın kendisi operatör kullanılarak hesaplanabilir ORTALAMA.

   Bu operatör seçilen bir sayı aralığının aritmetik ortalamasını hesaplamak için tasarlanmıştır. Aşağıdaki oldukça basit sözdizimine sahiptir:

   ORTALAMA(sayı1,sayı2,…)

   Argüman "Sayı" tek bir sayısal değer olabileceği gibi hücrelere veya bunları içeren aralıkların tamamına referans da olabilir.

   Bu nedenle, ortalama değer hesaplamasının görüntüleneceği hücreyi seçin ve düğmeye tıklayın. "İşlev Ekle".



8. Açılır İşlev Sihirbazı. Kategoriye geri dönüyoruz "İstatistiksel" ve listeden bir ad seçin "ORTALAMA". Her zaman olduğu gibi düğmeye tıklayın "TAMAM".



9. Argümanlar penceresi açılır. İmleci alana yerleştirin "1 numara" ve farenin sol düğmesini basılı tutarak tüm değer aralığını seçin. Koordinatlar alanda görüntülendikten sonra butonuna tıklayın. "TAMAM".



10. daha sonrasında ORTALAMA hesaplama sonucunu bir sayfa öğesinde görüntüler.



11. Güven aralığının doğru sınırını hesaplıyoruz. Bunu yapmak için ayrı bir hücre seçin ve işareti koyun «=» ve fonksiyon hesaplamalarının sonuçlarının bulunduğu sayfa öğelerinin içeriğini toplayın ORTALAMA Ve GÜVEN NORMU. Hesaplamayı gerçekleştirmek için düğmeye basın Girmek. Bizim durumumuzda aşağıdaki formülü elde ettik:

    Hesaplama sonucu: 6,953276



12. Aynı şekilde güven aralığının sol sınırını da ancak bu sefer hesaplama sonucundan hesaplıyoruz. ORTALAMA operatör hesaplamasının sonucunu çıkarın GÜVEN NORMU. Örneğimiz için elde edilen formül aşağıdaki türdendir:

    Hesaplama sonucu: -3,06994



13. Güven aralığının hesaplanmasına ilişkin tüm adımları ayrıntılı olarak anlatmaya çalıştık, bu nedenle her formülü ayrıntılı olarak anlattık. Ancak tüm eylemleri tek bir formülde birleştirebilirsiniz. Güven aralığının sağ sınırının hesaplanması şu şekilde yazılabilir:

    ORTALAMA(B2:B13)+GÜVEN.NORM(0,03,8,SAYIM(B2:B13))



14. Sol kenarlık için benzer bir hesaplama şu şekilde görünecektir:

    ORTALAMA(B2:B13)-GÜVEN.NORM(0,03,8,SAYIM(B2:B13))

Yöntem 2: TRUST.STUDENT işlevi

Ek olarak Excel'in güven aralığının hesaplanmasıyla ilişkili başka bir işlevi vardır - MÜTEVİL.ÖĞRENCİ. Yalnızca Excel 2010'da göründü. Bu operatör, Öğrenci dağılımını kullanarak nüfus güven aralığını hesaplar. Varyansın ve buna bağlı olarak standart sapmanın bilinmediği durumlarda kullanılması çok uygundur. Operatör sözdizimi şöyledir:

GÜVENİLİRLİK.ÖĞRENCİ(alfa,standart_kapalı,boyut)

Gördüğünüz gibi bu durumda operatörlerin isimleri değişmeden kaldı.

Önceki yöntemde ele aldığımız aynı popülasyon örneğini kullanarak, bilinmeyen standart sapmaya sahip bir güven aralığının sınırlarını nasıl hesaplayacağımızı görelim. Geçen seferki güven düzeyini %97 olarak alalım.

1. Hesaplamanın gerçekleştirileceği hücreyi seçin. Düğmeye tıklayın "İşlev Ekle".



2. Açılan İşlev Sihirbazı kategoriye git "İstatistiksel". Bir ad seçin "GÜVENİLİR ÖĞRENCİ". Düğmeye tıklayın "TAMAM".



3. Belirtilen operatör için argümanlar penceresi başlatılır.

   Tarlada "Alfa", güven düzeyinin %97 olduğu göz önüne alındığında sayıyı yazıyoruz 0,03 . İkinci kez bu parametrenin hesaplanmasının ilkeleri üzerinde durmayacağız.

   Bundan sonra imleci alana getirin "Standart sapma". Bu sefer bu gösterge bizim için bilinmiyor ve hesaplanması gerekiyor. Bu, özel bir işlev kullanılarak yapılır - STDSAPMA.V. Bu operatörün penceresini açmak için formül çubuğunun solundaki üçgene tıklayın. Açılan listede istenilen adı bulamazsak öğeye gidin "Diğer fonksiyonlar...".



4. Başlangıçlar İşlev Sihirbazı. Kategoriye taşınıyorum "İstatistiksel" ve içindeki adı işaretleyin "STDEV.V". Daha sonra düğmeye tıklayın "TAMAM".



5. Argümanlar penceresi açılır. Operatörün görevi STDSAPMA.V bir numunenin standart sapmasını belirlemektir. Sözdizimi şuna benzer:

   STANDART SAPMA.B(sayı1;sayı2;…)

   Argümanı tahmin etmek zor değil "Sayı" seçim öğesinin adresidir. Seçim tek bir diziye yerleştirilmişse bu aralığa bağlantı sağlamak için yalnızca bir bağımsız değişken kullanabilirsiniz.

   İmleci alana yerleştirin "1 numara" ve her zaman olduğu gibi farenin sol düğmesini basılı tutarak koleksiyonu seçin. Koordinatlar alana geldikten sonra düğmeye basmak için acele etmeyin "TAMAM"çünkü sonuç yanlış olacaktır. İlk önce operatör argümanları penceresine geri dönmemiz gerekiyor MÜTEVİL.ÖĞRENCİ son argümanı eklemek için. Bunu yapmak için formül çubuğunda karşılık gelen adı tıklayın.



6. Zaten tanıdık olan fonksiyona ilişkin argüman penceresi yeniden açılır. İmleci alana yerleştirin "Boyut". Operatör seçimine gitmek için zaten aşina olduğumuz üçgene tekrar tıklayın. Anladığınız gibi, bir isme ihtiyacımız var "KONTROL ETMEK". Bu fonksiyonu önceki yöntemdeki hesaplamalarda kullandığımız için bu listede mevcut, o yüzden üzerine tıklamanız yeterli. Bulamazsanız, ilk yöntemde açıklanan algoritmayı izleyin.



7. Bağımsız değişkenler penceresine girdikten sonra KONTROL ETMEK, imleci alana yerleştirin "1 numara" ve fare düğmesini basılı tutarak koleksiyonu seçin. Daha sonra düğmeye tıklayın "TAMAM".



8. Bundan sonra program bir hesaplama yapar ve güven aralığı değerini görüntüler.



9. Sınırları belirlemek için yine örnek ortalamasını hesaplamamız gerekecek. Ancak, formülü kullanan hesaplama algoritması göz önüne alındığında ORTALAMAönceki yöntemde olduğu gibi ve sonuç değişmese bile, ikinci kez bu konu üzerinde detaylı olarak durmayacağız.



10. Hesaplama sonuçlarının eklenmesi ORTALAMA Ve MÜTEVİL.ÖĞRENCİ güven aralığının doğru limitini elde ederiz.



11. Operatörün hesaplama sonuçlarından çıkarma ORTALAMA hesaplama sonucu MÜTEVİL.ÖĞRENCİ güven aralığının sol limitine sahibiz.



12. Hesaplama tek formülde yazılırsa, bizim durumumuzda doğru sınırın hesaplanması şöyle görünecektir:

    ORTALAMA(B2:B13)+GÜVEN.ÖĞRENCİ(0,03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))



13. Buna göre sol sınırı hesaplama formülü şöyle görünecektir:

    ORTALAMA(B2:B13)-GÜVEN.ÖĞRENCİ(0,03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))

Gördüğünüz gibi Excel araçları güven aralığını ve sınırlarını hesaplamayı çok daha kolay hale getiriyor. Bu amaçla varyansı bilinen ve bilinmeyen örnekler için ayrı operatörler kullanılır.

Ve diğerleri... Bunların hepsi, bir örnek olmasa da genel bir popülasyon mevcut olsaydı elde edilebilecek teorik analoglarının tahminleridir. Ancak ne yazık ki genel nüfus çok pahalı ve çoğu zaman erişilemiyor.

Aralık tahmini kavramı

Herhangi bir örnek tahmininin bir miktar yayılması vardır, çünkü belirli bir örnekteki değerlere bağlı rastgele bir değişkendir. Bu nedenle, daha güvenilir istatistiksel sonuçlar için, yalnızca nokta tahmini değil, aynı zamanda yüksek olasılıklı aralık da bilinmelidir. γ (gama) değerlendirilen göstergeyi kapsar θ (teta).

Resmi olarak bunlar böyle iki değerdir (istatistik) T 1 (X) Ve T 2 (X), Ne T1< T 2 , bunun için belirli bir olasılık seviyesinde γ koşul yerine getirildi:

Kısacası büyük ihtimalle γ veya daha fazlası gerçek gösterge noktaların arasındadır T 1 (X) Ve T 2 (X) alt ve üst sınırlar olarak adlandırılan güven aralığı.

Güven aralıkları oluşturmanın koşullarından biri maksimum darlığıdır, yani. mümkün olduğu kadar kısa olmalıdır. Arzu oldukça doğal, çünkü... araştırmacı istenen parametrenin konumunu daha doğru bir şekilde lokalize etmeye çalışır.

Buradan güven aralığının dağılımın maksimum olasılıklarını kapsaması gerektiği sonucu çıkar. ve değerlendirmenin kendisi merkezde olmalıdır.

Yani, (gerçek göstergenin tahminden) yukarıya doğru sapma olasılığı aşağı doğru sapma olasılığına eşittir. Asimetrik dağılımlarda sağdaki aralığın soldaki aralığa eşit olmadığını da belirtmek gerekir.

Yukarıdaki şekil, güven olasılığı ne kadar yüksekse aralığın da o kadar geniş olduğunu, doğrudan bir ilişki olduğunu açıkça göstermektedir.

Bu, bilinmeyen parametrelerin aralık tahmini teorisine kısa bir girişti. Matematiksel beklenti için güven sınırlarını bulmaya geçelim.

Matematiksel beklenti için güven aralığı

Orijinal veriler üzerinden dağıtılırsa ortalama normal bir değer olacaktır. Bu, normal değerlerin doğrusal bir kombinasyonunun da normal dağılıma sahip olduğu kuralından kaynaklanır. Bu nedenle olasılıkları hesaplamak için normal dağılım yasasının matematiksel aygıtını kullanabiliriz.

Ancak bu, genellikle bilinmeyen iki parametrenin (beklenti ve varyans) bilinmesini gerektirir. Elbette parametreler (aritmetik ortalama ve ) yerine tahminler kullanabilirsiniz, ancak bu durumda ortalamanın dağılımı tamamen normal olmayacak, aşağıya doğru hafifçe düzleşecektir. Bu gerçek, keşfini Biometrica dergisinin Mart 1908 sayısında yayınlayan İrlandalı William Gosset tarafından akıllıca not edildi. Gizlilik amacıyla Gosset kendisini Öğrenci olarak imzaladı. Öğrenci t dağılımı bu şekilde ortaya çıktı.

Ancak K. Gauss'un astronomik gözlemlerdeki hataları analiz ederken kullandığı verilerin normal dağılımı, dünya yaşamında son derece nadirdir ve tespit edilmesi oldukça zordur (yüksek doğruluk için yaklaşık 2 bin gözleme ihtiyaç vardır). Bu nedenle normallik varsayımını bir kenara bırakıp orijinal verilerin dağılımına bağlı olmayan yöntemleri kullanmak en iyisidir.

Şu soru ortaya çıkıyor: Bilinmeyen bir dağılımın verilerinden hesaplanırsa aritmetik ortalamanın dağılımı nedir? Cevap olasılık teorisinde iyi bilinenler tarafından verilmektedir. Merkezi Limit Teoremi(CPT). Matematikte bunun birkaç çeşidi vardır (formülasyonlar yıllar içinde geliştirilmiştir), ancak bunların hepsi, kabaca konuşursak, çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin toplamının normal dağılım yasasına uyduğu ifadesine indirgenir.

Aritmetik ortalama hesaplanırken rastgele değişkenlerin toplamı kullanılır. Buradan aritmetik ortalamanın, beklentinin orijinal verinin beklentisi olduğu ve varyansın olduğu normal bir dağılıma sahip olduğu ortaya çıkıyor.

Akıllı insanlar CLT'yi nasıl kanıtlayacaklarını biliyorlar, ancak bunu Excel'de yapılan bir deney yardımıyla doğrulayacağız. 50 eşit dağılımlı rastgele değişkenden oluşan bir örneği simüle edelim (RASTGELEARADA Excel fonksiyonunu kullanarak). Daha sonra bu tür 1000 örnek oluşturacağız ve her birinin aritmetik ortalamasını hesaplayacağız. Bunların dağılımına bakalım.

Ortalamanın dağılımının normal yasaya yakın olduğu görülmektedir. Örneklem büyüklüğü ve sayısı daha da büyütülürse benzerlik daha da iyi olacaktır.

Artık CLT'nin geçerliliğini kendi gözlerimizle gördüğümüze göre, belirli bir olasılıkla gerçek ortalamayı veya matematiksel beklentiyi kapsayan aritmetik ortalama için güven aralıklarını kullanarak hesaplayabiliriz.

Üst ve alt limitleri belirlemek için normal dağılımın parametrelerini bilmeniz gerekir. Kural olarak hiçbiri yoktur, bu nedenle tahminler kullanılır: aritmetik ortalama Ve örnek varyans. Tekrar ediyorum, bu yöntem yalnızca büyük örneklerde iyi bir yaklaşım sağlar. Örnekler küçük olduğunda genellikle Öğrenci dağılımının kullanılması önerilir. İnanmayın! Ortalamaya ilişkin Öğrenci dağılımı yalnızca orijinal veriler normal şekilde dağıtıldığında oluşur, yani neredeyse hiçbir zaman gerçekleşmez. Bu nedenle, gerekli veri miktarı için hemen bir minimum çubuk belirlemek ve asimptotik olarak doğru yöntemleri kullanmak daha iyidir. 30 gözlemin yeterli olduğunu söylüyorlar. 50 alın - yanılmayacaksınız.

T 1.2– güven aralığının alt ve üst sınırları

– örnek aritmetik ortalama

0– numunenin standart sapması (tarafsız)

N - örnek boyut

γ – güven olasılığı (genellikle 0,9, 0,95 veya 0,99'a eşittir)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– standart normal dağılım fonksiyonunun ters değeri. Basitçe söylemek gerekirse, bu, aritmetik ortalamadan alt veya üst sınıra kadar olan standart hataların sayısıdır (bu üç olasılık, 1,64, 1,96 ve 2,58 değerlerine karşılık gelir).

Formülün özü, aritmetik ortalamanın alınması ve ardından belirli bir miktarın ayrılmasıdır ( γ ile) standart hatalar ( s 0 /√n). Her şey biliniyor, alın ve düşünün.

Kişisel bilgisayarların yaygınlaşmasından önce normal dağılım fonksiyonunun değerleri ve bunun tersi elde ediliyordu. Günümüzde hala kullanılmaktadırlar ancak hazır Excel formüllerini kullanmak daha etkilidir. Yukarıdaki formüldeki ( , ve ) tüm öğeler Excel'de kolayca hesaplanabilir. Ancak güven aralığını hesaplamak için hazır bir formül var - GÜVEN NORMU. Sözdizimi aşağıdaki gibidir.

GÜVENİLİRLİK.NORM(alfa;standart_kapalı;boyut)

alfa- yukarıda benimsenen gösterimde 1- γ'ya eşit olan anlamlılık düzeyi veya güven düzeyi, yani. matematiksel olasılığıbeklenti güven aralığının dışında olacaktır. 0,95 güven düzeyiyle alfa 0,05'tir vb.

standart_kapalı– örnek verilerin standart sapması. Standart hatayı hesaplamaya gerek yoktur; Excel'in kendisi n'nin köküne bölünecektir.

boyut– örneklem büyüklüğü (n).

GÜVEN NORMU fonksiyonunun sonucu, güven aralığını hesaplama formülündeki ikinci terimdir; yarım aralık Buna göre alt ve üst noktalar ortalama ± elde edilen değerdir.

Böylece, aritmetik ortalama için güven aralıklarının hesaplanmasına yönelik, orijinal verilerin dağılımına bağlı olmayan evrensel bir algoritma oluşturmak mümkündür. Evrenselliğin bedeli asimptotik doğasıdır, yani. nispeten büyük numunelerin kullanılması ihtiyacı. Ancak modern teknoloji çağında gerekli miktarda veriyi toplamak genellikle zor değildir.

Güven aralıklarını kullanarak istatistiksel hipotezleri test etme

(modül 111)

İstatistikte çözülen temel sorunlardan biri. Özü kısaca şu şekildedir. Örneğin genel nüfusun beklentisinin bir değere eşit olduğu varsayımı yapılır. Daha sonra belirli bir beklenti için gözlemlenebilecek örnek ortalamaların dağılımı oluşturulur. Daha sonra bu koşullu dağılımda gerçek ortalamanın nerede bulunduğuna bakarlar. Kabul edilebilir sınırların ötesine geçerse, böyle bir ortalamanın ortaya çıkması pek olası değildir ve deney bir kez tekrarlanırsa neredeyse imkansızdır; bu, başarılı bir şekilde reddedilen hipotezle çelişir. Ortalama kritik seviyenin ötesine geçmezse, hipotez reddedilmez (ama aynı zamanda kanıtlanmaz!).

Dolayısıyla, beklenti durumumuzda güven aralıkları yardımıyla bazı hipotezleri de test edebilirsiniz. Bunu yapmak çok kolaydır. Diyelim ki belirli bir örneklem için aritmetik ortalama 100'e eşit. Hipotez, beklenen değerin örneğin 90 olduğu test ediliyor. Yani soruyu ilkel olarak sorarsak, kulağa şöyle geliyor: doğru olabilir mi? Ortalamanın değeri 90'a eşit olduğunda gözlenen ortalamanın 100 olduğu ortaya çıktı mı?

Bu soruyu cevaplamak için ayrıca standart sapma ve örneklem büyüklüğü hakkında bilgiye ihtiyacınız olacak. Standart sapmanın 30 ve gözlem sayısının 64 olduğunu varsayalım (kökü kolayca çıkarabilmek için). O halde ortalamanın standart hatası 30/8 veya 3,75'tir. %95 güven aralığını hesaplamak için ortalamanın her iki tarafına iki standart hata (daha kesin olarak 1,96) eklemeniz gerekir. Güven aralığı yaklaşık 100±7,5 veya 92,5 ile 107,5 arasında olacaktır.

Daha fazla gerekçe aşağıdaki gibidir. Test edilen değer güven aralığı dahilindeyse hipotezle çelişmez çünkü rastgele dalgalanmaların sınırları dahilindedir (%95 olasılıkla). Kontrol edilen nokta güven aralığının dışındaysa, böyle bir olayın olasılığı çok düşüktür, her halükarda kabul edilebilir seviyenin altındadır. Bu, gözlemlenen verilerle çeliştiği için hipotezin reddedildiği anlamına gelir. Bizim durumumuzda beklenen değere ilişkin hipotez güven aralığının dışındadır (test edilen 90 değeri 100±7,5 aralığına dahil değildir), dolayısıyla reddedilmelidir. Yukarıdaki ilkel soruyu yanıtlayarak şunu söylemek gerekir: hayır, olamaz, her halükarda bu çok nadiren olur. Çoğu zaman, hipotezin yanlışlıkla reddedilmesinin spesifik olasılığını (p-seviyesi) belirtirler ve güven aralığının oluşturulduğu belirtilen seviyeyi değil, daha fazlasını başka bir zamanda belirtirler.

Gördüğünüz gibi ortalama (veya matematiksel beklenti) için bir güven aralığı oluşturmak zor değildir. Önemli olan özü kavramak, sonra işler yoluna girecek. Uygulamada çoğu durumda, ortalamanın her iki tarafında yaklaşık iki standart hata genişliğinde olan %95'lik bir güven aralığı kullanılır.

Şimdilik bu kadar. Herşey gönlünce olsun!

Herhangi bir örnek, genel popülasyon hakkında yalnızca yaklaşık bir fikir verir ve tüm örnek istatistiksel özellikler (ortalama, mod, varyans...), çoğu durumda hesaplanması mümkün olmayan genel parametrelerin bir tahminidir veya bir tahminidir. genel nüfusun erişilemezliği (Şekil 20).

Şekil 20. Örnekleme hatası

Ancak belirli bir olasılıkla istatistiksel özelliğin gerçek (genel) değerinin yer aldığı aralığı belirleyebilirsiniz. Bu aralığa denir D güven aralığı (CI).

Yani %95 olasılıkla genel ortalama değer şu aralıkta yer almaktadır:

itibaren, (20)

Nerede T – Öğrenci testinin tablo değeri α =0.05 ve F= N-1

Bu durumda %99 GA da bulunabilir T için seçildi α =0,01.

Güven aralığının pratik önemi nedir?

Geniş bir güven aralığı, örnek ortalamasının popülasyon ortalamasını doğru şekilde yansıtmadığını gösterir. Bunun nedeni genellikle yetersiz örneklem büyüklüğü veya heterojenliğidir. büyük dağılım. Her ikisi de ortalamada daha büyük bir hata verir ve buna bağlı olarak daha geniş bir CI verir. Bu da araştırma planlama aşamasına dönmenin temelidir.

CI'nin üst ve alt sınırları, sonuçların klinik olarak anlamlı olup olmayacağına dair bir tahmin sağlar

Grup özellikleri çalışmasının sonuçlarının istatistiksel ve klinik önemi sorusu üzerinde biraz ayrıntılı olarak duralım. İstatistiğin görevinin, örnek verilere dayanarak genel popülasyonlardaki en azından bazı farklılıkları tespit etmek olduğunu hatırlayalım. Klinisyenlerin karşılaştığı zorluk, teşhis veya tedaviye yardımcı olacak farklılıkları (sadece herhangi birini değil) tespit etmektir. Ve istatistiksel sonuçlar her zaman klinik sonuçların temelini oluşturmaz. Bu nedenle hemoglobinde istatistiksel olarak anlamlı 3 g/l'lik bir azalma endişe kaynağı değildir. Ve tam tersine, eğer insan vücudundaki bir sorun tüm nüfus düzeyinde yaygın değilse, bu, bu sorunla ilgilenmemek için bir neden değildir.

İstatistiklerde iki tür tahmin vardır: nokta ve aralık. Nokta tahmini Bir popülasyon parametresini tahmin etmek için kullanılan tek örnek istatistiğidir. Örneğin, örnek ortalama popülasyonun matematiksel beklentisinin ve örnek varyansının nokta tahminidir S2- popülasyon varyansının nokta tahmini σ2. örnek ortalamasının popülasyonun matematiksel beklentisinin tarafsız bir tahmini olduğu gösterilmiştir. Bir numune ortalamasına tarafsız denir çünkü tüm numune ortalamalarının ortalaması (aynı numune büyüklüğüne sahip) N) genel popülasyonun matematiksel beklentisine eşittir.

Örneklem farklılığını sağlamak için S2 nüfus varyansının tarafsız bir tahmini haline geldi σ2, örnek varyansın paydası şuna eşit ayarlanmalıdır: N – 1 , Ama değil N. Başka bir deyişle popülasyon varyansı, tüm olası örnek varyanslarının ortalamasıdır.

Popülasyon parametrelerini tahmin ederken örnek istatistiklerin aşağıdaki gibi olduğu akılda tutulmalıdır: , belirli örneklere bağlıdır. Bu gerçeği dikkate almak için, aralık tahmini genel popülasyonun matematiksel beklentisi, örnek ortalamaların dağılımını analiz eder (daha fazla ayrıntı için bkz.). Oluşturulan aralık, gerçek popülasyon parametresinin doğru tahmin edilme olasılığını temsil eden belirli bir güven düzeyi ile karakterize edilir. Bir özelliğin oranını tahmin etmek için benzer güven aralıkları kullanılabilir R ve nüfusun ana dağıtılmış kütlesi.

Notu veya formatında indirin, formattaki örnekler

Bilinen bir standart sapma ile popülasyonun matematiksel beklentisi için bir güven aralığı oluşturmak

Bir özelliğin popülasyondaki payı için bir güven aralığı oluşturmak

Bu bölüm, güven aralığı kavramını kategorik verilere kadar genişletir. Bu, özelliğin popülasyondaki payını tahmin etmemizi sağlar Rörnek paylaşımı kullanma RS=X/N. Belirtildiği gibi, eğer miktarlar NR Ve N(1 – s) 5 sayısını aştığında, binom dağılımı normal olarak tahmin edilebilir. Bu nedenle, bir özelliğin popülasyondaki payını tahmin etmek için R güven düzeyi eşit olan bir aralık oluşturmak mümkündür (1 – α)x100%.

Nerede PS- özelliğin örnek oranı şuna eşittir: X/N yani başarı sayısı örneklem büyüklüğüne bölünür, R- özelliğin genel popülasyondaki payı, Z- standartlaştırılmış normal dağılımın kritik değeri, N- örnek boyut.

Örnek 3. Son bir ayda doldurulan 100 adet faturadan oluşan bir örneğin bilgi sisteminden çıkarıldığını varsayalım. Diyelim ki bu faturalardan 10 tanesi hatalı derlendi. Böylece, R= 10/100 = 0,1. %95 güven düzeyi Z = 1,96 kritik değerine karşılık gelir.

Böylece faturaların %4,12 ila %15,88'inin hata içerme olasılığı %95'tir.

Belirli bir örneklem büyüklüğü için, özelliğin popülasyondaki oranını içeren güven aralığı, sürekli bir rastgele değişkene göre daha geniş görünür. Bunun nedeni, sürekli bir rastgele değişkenin ölçümlerinin, kategorik verilerin ölçümlerinden daha fazla bilgi içermesidir. Başka bir deyişle, yalnızca iki değer alan kategorik veriler, dağılımlarının parametrelerini tahmin etmek için yetersiz bilgi içerir.

İÇİNDEsonlu bir popülasyondan elde edilen tahminlerin hesaplanması

Matematiksel beklentinin tahmini. Nihai popülasyon için düzeltme faktörü ( fpc) standart hatayı bir faktör azaltmak için kullanıldı. Popülasyon parametre tahminleri için güven aralıkları hesaplanırken örneklerin geri getirilmeden alındığı durumlarda bir düzeltme faktörü uygulanır. Böylece, güven düzeyi eşit olan matematiksel beklenti için bir güven aralığı elde edilir. (1 – α)x100%, aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek 4. Sonlu bir popülasyon için düzeltme faktörünün kullanımını göstermek amacıyla, yukarıda Örnek 3'te tartışılan ortalama fatura miktarı için güven aralığını hesaplama sorununa dönelim. Bir şirketin ayda 5.000 fatura düzenlediğini ve X=110,27 dolar, S= 28,95$, N = 5000, N = 100, α = 0,05, t99 = 1,9842. Formül (6)'yı kullanarak şunu elde ederiz:

Bir özelliğin payının tahmini. Geri dönüşsüz seçim yaparken, güven düzeyine eşit olan özelliğin oranına ilişkin güven aralığı (1 – α)x100%, aşağıdaki formülle hesaplanır:

Güven Aralıkları ve Etik Sorunlar

Bir popülasyonu örneklerken ve istatistiksel sonuçlar çıkarırken sıklıkla etik sorunlar ortaya çıkar. Bunlardan en önemlisi, örnek istatistiklerin güven aralıkları ve nokta tahminlerinin ne kadar uyumlu olduğudur. İlişkili güven aralıklarını (genellikle %95 güven düzeyinde) ve bunların türetildiği örneklem boyutunu belirtmeden nokta tahminlerini yayınlamak kafa karışıklığı yaratabilir. Bu, kullanıcıya nokta tahmininin tam olarak tüm popülasyonun özelliklerini tahmin etmek için ihtiyaç duyduğu şey olduğu izlenimini verebilir. Bu nedenle, herhangi bir araştırmada odak noktasının nokta tahminleri değil, aralık tahminleri olması gerektiğini anlamak gerekir. Ayrıca numune boyutlarının doğru seçilmesine özellikle dikkat edilmelidir.

Çoğu zaman, istatistiksel manipülasyonun nesneleri, nüfusun belirli siyasi konulardaki sosyolojik araştırmalarının sonuçlarıdır. Aynı zamanda anket sonuçları gazetelerin ön sayfalarında yayınlanıyor, örnekleme hatası ve istatistiksel analiz metodolojisi ise ortada bir yerde yayınlanıyor. Elde edilen nokta tahminlerinin geçerliliğini kanıtlamak için, elde edildikleri örneklem büyüklüğünün, güven aralığının sınırlarının ve anlamlılık düzeyinin belirtilmesi gerekmektedir.

Sonraki not

Levin ve arkadaşlarının Yönetici İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 448–462

Merkezi Limit Teoremi yeterince büyük bir örneklem büyüklüğü ile ortalamaların örneklem dağılımının normal bir dağılımla yaklaşık olarak tahmin edilebileceğini belirtmektedir. Bu özellik nüfusun dağılım türüne bağlı değildir.