Standart dışı problemleri çözme yöntemleri. Sorunları çözmek için standart olmayan yöntemler
“İkinci dereceden eşitsizlikleri çözme” - Bir eşitsizliği çözün. Fonksiyon sıfırları nedir? Çözüm ikinci dereceden eşitsizlikler. Bir fonksiyonun sıfırları nasıl bulunur? Dersin amacı: İkinci dereceden bir fonksiyonun birinci katsayısının işaretine ne bağlıdır? Diskriminantın işareti ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü nasıl etkiler?
"Eşitsizlikleri Çözme 2" - Sayısal eşitsizliklerin özelliklerini gözden geçirin. Mental aritmetik zihin için bir egzersizdir. Matematiğe ilgiyi geliştirmek. Denklemlerin grafiksel çözüm aşamaları. İşaretleyiciler, boya kalemleri farklı renkler, cetveller, bilgisayarlar. Birinci dereceden eşitsizliklerin tek değişkenle çözülmesi (grafiksel çözüm). Teçhizat. Bilginin güncellenmesi.
“Standart olmayan dersler” - Ders düzenlemede şablondan, yürütmede rutin ve formalizmden vazgeçilmesi. Standart dışı ders formlarının eğitim sürecine etkisi. Ders sırasında sınıf öğrencilerinin aktif faaliyetlere maksimum katılımı. MO planı: Hazırlık dönemi, fiili ders analizi. Değerlendirmeyi biçimlendirici (ve sadece etkili değil) bir araç olarak kullanmak.
“Eşitsizliklerin özellikleri” - Eşitsizliklerin özellikleri. Eşitsizlik nedir? Sözlü çalışma. Eşitsizliklerin hangi özelliklerini biliyorsunuz? Sayısal eşitsizliklerin toplanması ve çarpımı. Eşitsizliği kanıtlayın. Eşitsizliği çözün. Eşitsizliğin tanımı. Eşitsizliği çözmek için hangi özellikleri kullandınız? Eşitsizlikleri çözme. Eşitsizlikler.
“İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler” - İrrasyonel eşitsizlikler. İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler. 3. Yardımcı değişkenlerin tanıtılması. Çözüm yöntemleri. 5. ODZ'yi bularak denklemin kökleri için arama alanını daraltmak. İrrasyonel denklemler Çözüm yöntemleri. 1. Üs alma. 6. Grafik yöntemi. Parametreli irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler.
“Denklemler ve Eşitsizlikler” - Sistem Çözümü grafiksel olarak. 2. Eşitsizliği sağlayan sayıların toplamını bulun. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun. "Denklemleri ve eşitsizlikleri çözme." Görev formülasyonları. CIM'lerdeki eşitsizlikler. x*y çarpımını bulun; burada (x;y) sistemin çözümüdür. Y=x+2. x2 – 2x – 3 =0 x2 –3 = 2x olarak gösterelim.
Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam versiyonÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir
giriiş
Okulda alınan matematik eğitimi önemli bir bileşendir Genel Eğitim ve genel kültür modern adam. Modern insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. A son başarılar fizik, teknoloji ve Bilişim teknolojisi gelecekte de durumun aynı kalacağından şüpheniz olmasın. Bu nedenle, birçok pratik problemin çözümü, çözüme bağlıdır. çeşitli türler denklemler.
Denklemler okul cebir dersinde önde gelen bir yere sahiptir. Çalışmalarına diğer konulardan daha fazla zaman ayrılır. okul kursu matematik. Denklem teorisinin gücü, yalnızca doğa yasalarının bilgisi için teorik öneme sahip olması değil, aynı zamanda belirli pratik amaçlara da hizmet etmesidir.
Konunun alaka düzeyi cebir, geometri ve fizik derslerinde ikinci dereceden denklemleri çözerken sıklıkla karşılaştığımızdır. Mekansal formlar ve niceliksel ilişkilerle ilgili sorunların çoğu gerçek dünyaçeşitli denklem türlerini çözmeye gelir. İnsanlar bunları çözmenin yollarını öğrenerek bilim ve teknolojiden (ulaşım, ulaşım, ulaşım) çeşitli sorulara yanıtlar bulurlar. Tarım, endüstri, iletişim vb.). Bu nedenle, her öğrencinin ikinci dereceden denklemleri doğru ve rasyonel bir şekilde çözebilmesi gerekir; bu, 9. sınıf, 10 ve 11. sınıflar da dahil olmak üzere daha karmaşık problemleri çözerken ve sınavları geçerken benim için de yararlı olabilir.
Hedef:İkinci dereceden denklemleri çözmenin standart ve standart dışı yollarını keşfedin
Görevler
- En çok belirtin bilinen yöntemler denklem çözme
- Denklemleri çözmenin standart olmayan yollarını açıklama
- Bir sonuç çıkarmak
Çalışmanın amacı: ikinci dereceden denklemler
Çalışma konusu:İkinci dereceden denklemleri çözmenin yolları
Araştırma Yöntemleri:
- Teorik: araştırma konusuyla ilgili literatürün incelenmesi;
- Analiz: literatürün incelenmesinden elde edilen bilgiler; İkinci dereceden denklemlerin çeşitli yollarla çözülmesiyle elde edilen sonuçlar.
- İkinci dereceden denklemlerin çözümünde kullanımlarının rasyonelliği açısından yöntemlerin karşılaştırılması.
Bölüm 1. İkinci dereceden denklemler ve standart çözümler
1.1.Tanım ikinci dereceden denklem
İkinci dereceden denklem formun denklemi denir balta 2 + bx + c= 0, burada X- değişken , a, b Ve İle- bazı sayılar ve A≠ 0.
Sayılar a, b Ve İle - ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Sayı A birinci katsayı denir, sayı B- ikinci katsayı ve sayı C- ücretsiz bir üye.
Tam ikinci dereceden denklemüç terimin de mevcut olduğu ikinci dereceden bir denklemdir, yani ve с katsayıları sıfırdan farklıdır.
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem or, c'deki katsayılardan en az birinin sıfıra eşit olduğu bir denklemdir.
Tanım 3.İkinci dereceden bir denklemin kökü Ah 2 + BX + İle= 0, ikinci dereceden trinomialin geçerli olduğu x değişkeninin herhangi bir değeridir. Ah 2 + BX+ İle sıfıra gider.
Tanım 4. İkinci dereceden bir denklemi çözmek, tamamını bulmak anlamına gelir
kökler veya köklerin olmadığını tespit edin.
Örnek: - 7 x+ 3 =0
Formun denklemlerinin her birinde A + bx + c= 0, burada A≠ 0, değişkenin en yüksek derecesi X- kare. Bu nedenle adı: ikinci dereceden denklem.
Katsayının olduğu ikinci dereceden bir denklem X 2 eşittir 1 denir verilen ikinci dereceden denklem.
Örnek
X 2 - 11x+ 30=0, X 2 -8x= 0.
1.2.İkinci dereceden denklemlerin çözümü için standart yöntemler
İkinci dereceden denklemleri binomun karesini alarak çözme
Bilinmeyenlerin katsayılarının ve serbest terimin sıfırdan farklı olduğu ikinci dereceden bir denklemin çözülmesi. İkinci dereceden bir denklemi çözmenin bu yöntemine binomun karesinin alınması denir.
Denklemin Sol Tarafını Çarpanlarına Ayırma.
Denklemi çözelim x 2 + 10x - 24 = 0. Sol tarafı çarpanlarına ayıralım:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).
Bu nedenle denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: (x + 12)(x - 2) = 0
Faktörlerden en az birinin sıfır olması durumunda faktörlerin çarpımı sıfırdır.
Cevap: -12; 2.
Formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözme.
İkinci dereceden bir denklemin diskriminantıbalta 2 + bx + C= 0 ifade b 2 - 4ac = D - bu denklemin gerçek kökleri olup olmadığına karar verilen işarete göre.
D değerine bağlı olarak olası durumlar:
- Eğer D>0 ise denklemin iki kökü vardır.
- Eğer d= 0 ise denklemin bir kökü vardır: x =
- Eğer D< 0 ise denklemin kökleri yoktur.
Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme.
Teorem: Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, buradan alınan ikinci katsayıya eşittir. zıt işaret ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir.
Verilen ikinci dereceden denklem:
x 2 + bx + c= 0.
İkinci katsayıyı p harfiyle, serbest terimi ise q harfiyle gösterelim:
x 2 + piksel + q= 0 ise
x 1 + x 2 = - p; x 1 x 2 = q
Bölüm 2. İkinci dereceden denklemleri çözmek için standart olmayan yöntemler
2.1 İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özelliklerini kullanarak çözme
İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri, denklemin köklerini hızlı ve sözlü olarak bulmanıza yardımcı olacak ikinci dereceden denklemleri çözmenin bir yoludur:
balta 2 + bx + c= 0
- Eğera+ b+c= 0, o zamanX 1 = 1, X 2 =
Örnek. x 2 + 3x - 4 = 0 denklemini düşünün.
A+ b + c = 0 ise x 1 = 1, x 2 =
1+3+(-4) = 0, bu durumda x 1 = 1, x 2 = = - 4
Diskriminantı bularak elde edilen kökleri kontrol edelim:
D=b2- 4ac= 3 2 - 4·1·(-4) = 9+16= 25
x 1 = = = = = - 4
Bu nedenle eğer +b +c= 0 ise x 1 = 1, x 2 =
- Eğerb = A + C , OX 1 = -1, X 2 =
x 2 + 4X+1 = 0, a=3, b=4, c=1
Eğer b=A + C, sonra x 1 = -1, x 2 = , sonra 4 = 3 + 1
Denklemin kökleri: x 1 = -1, x 2 =
Yani bu denklemin kökleri -1 ve. Diskriminantı bularak bunu kontrol edelim:
D=b2- 4ac= 4 2 - 4 3 1 = 16 - 12 = 4
x 1 = = = = = - 1
Buradan, b=A + C, bu durumda x 1 = -1, x 2 =
2.2. “Transfer” Yöntemi
Bu yöntemle katsayı A sanki ona "atılmış" gibi serbest terimle çarpılır, bu yüzden buna denir aktarım yöntemi. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.
Eğer A± b+c≠0 ise transfer tekniği kullanılır:
3x 2 +4x+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0
“Transfer” yöntemini kullanarak şunu elde ederiz:
X 2 + 4x+3= 0
Böylece Vieta teoremini kullanarak denklemin köklerini elde ederiz:
x 1 = - 3, x 2 = -1.
Ancak denklemin köklerinin 3'e (“atılan sayıya”) bölünmesi gerekir:
Bu, kökleri elde ettiğimiz anlamına gelir: x 1 = -1, x 2 = .
Cevap: ; - 1
2.3 Katsayıların düzenliliğini kullanarak çözüm
- Denklem isebalta 2 + bx + c= 0, katsayıB= (A 2 +1) ve katsayıC = A, o zaman kökleri x 1 = - A, x 2 =
balta 2 +(bir 2 + 1)∙ x + a= 0
Örnek. Denklem 3'ü düşünün x 2 +10x+3 = 0.
Böylece denklemin kökleri şöyle olur: x 1 = -3 , x 2 =
D=b2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64
x 1 = = = = = - 3
x 2 = = = = = ; Bu nedenle x 1 = - A, x 2 =
- Denklem isebalta 2 - bx + c= 0, katsayıB= (A 2 +1) ve katsayıC = A, o zaman kökleri x 1 = A, x 2 =
Bu nedenle çözülmesi gereken denklem şu şekilde olmalıdır:
balta 2 -(bir 2 + 1)∙ x+ a= 0
Örnek. Denklem 3'ü düşünün x 2 - 10x+3 = 0.
, x 2 =
Bu çözümü diskriminant kullanarak kontrol edelim:
D=b2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64
A, x 2 =
- Denklem isebalta 2 + bx - c= 0, katsayıB= (A 2 -1) ve katsayıC = A, o zaman kökleri x 1 = - A, x 2 =
Bu nedenle çözülmesi gereken denklem şu şekilde olmalıdır:
balta 2 +(ve 2 - 1)∙ x - a= 0
Örnek. Denklem 3'ü düşünün x 2 + 8x - 3 = 0..
Böylece denklemin kökleri şöyle olur: X 1 = - 3, X 2 =
Bu çözümü diskriminant kullanarak kontrol edelim:
D=b2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100
x 1 = = = = = - 3
x 2 = = = = = ;Dolayısıyla, x 1 = - A, x 2 =
- Denklem isebalta 2 - bx - c= 0, katsayıB= (A 2 -1) ve katsayıC = A, o zaman kökleri x 1 = A, x 2 =
Bu nedenle çözülmesi gereken denklem şu şekilde olmalıdır:
balta 2 -(ve 2 - 1)∙ x - a= 0
Örnek. Denklem 3'ü düşünün x 2 - 8x - 3 = 0..
Böylece denklemin kökleri şöyle olur: x 1 = 3 , x2 = -
Bu çözümü diskriminant kullanarak kontrol edelim:
D=b2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100
x 2 = = = = = 3; Bu nedenle x 1 = A, x2 = -
2.4. Pusula ve cetvel kullanarak çözüm
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için aşağıdaki yöntemi öneriyorum ah 2 +Bx + c = 0 bir pusula ve cetvel kullanarak (Şekil 6).
İstenilen dairenin eksenle kesiştiğini varsayalım.
noktalı apsis B(x1;0) Ve D(x2;0), Nerede x 1 Ve x 2- denklemin kökleri ah 2 +Bx + c = 0 ve noktalardan geçer
bir(0;1) Ve C(0;C/ A) ordinat ekseninde. O halde sekant teoremine göre, O.B. . Aşırı doz = O.A. . OC, Neresi OC = = =
Çemberin merkezi dik doğruların kesiştiği noktadadır SF Ve SK., akorların ortasında restore edildi AC. Ve BD, Bu yüzden
1) S noktalarını (dairenin merkezi) oluşturun ve A(0; 1) ;
2) yarıçaplı bir daire çizin S.A.;
3) bu dairenin eksenle kesişme noktalarının apsisi Ah orijinal ikinci dereceden denklemin kökleridir.
Bu durumda üç durum mümkündür.
1) Çemberin yarıçapı merkezin koordinatından daha büyüktür (GİBİ > SK., veyaR > A + C/2 A) , daire Ox eksenini iki noktada keser (Şekil 7a) B(x1;0) Ve D(x2;0), Nerede x 1 Ve x 2- ikinci dereceden denklemin kökleri ah 2 +Bx + c = 0.
2) Çemberin yarıçapı merkezin ordinatına eşittir (GİBİ = S.B., veyaR = A + C/2 A) , daire Ox eksenine (Şekil 8b) bu noktada temas eder. B(x1;0) burada x 1 ikinci dereceden denklemin köküdür.
3) Çemberin yarıçapı merkezin koordinatından küçüktür GİBİ< S, R<
Çemberin apsis ekseni ile ortak noktası yoktur (Şekil 7c), bu durumda denklemin çözümü yoktur.
A)AS>SB, R>
B) AS=SB, R=
V) GİBİ
İki çözüm X 1 VeX 2 Bir çözüm X 1 Herhangi bir karar yok
Örnek.
Denklemi çözelim x 2 - 2x - 3 = 0(Şekil 8).
Çözüm. Formülleri kullanarak dairenin merkez noktasının koordinatlarını belirleyelim:
X = - = - = 1,
sen = = = -1
A (0; 1) olan SA yarıçaplı bir daire çizelim.
Cevap: x1 = -1; x 2 = 3.
2.5 İkinci dereceden denklemlerin çözümü için geometrik yöntem.
Geometrinin cebirden daha gelişmiş olduğu eski zamanlarda, ikinci dereceden denklemler cebirsel olarak değil geometrik olarak çözülüyordu. El-Harezmî'nin “Cebir”inden ünlü bir örnek vereceğim.
Örnekler.
1) Denklemi çözelim x 2 + 10x = 39.
Orijinalde bu problem şu şekilde formüle edilmiştir: “Bir kare ve on kök 39'a eşittir” (Şekil 9).
Çözüm. Kenarı x olan bir kare düşünün, her birinin diğer tarafı 2,5 olacak şekilde kenarlarına dikdörtgenler yapılmıştır, dolayısıyla her birinin alanı 2,5x olur. Ortaya çıkan şekil daha sonra yeni bir ABCD karesine tamamlanır, köşelerde her birinin kenarı 2,5 ve alanı 6,25 olan dört eşit kare oluşturulur.
Kare S kare ABCD alanların toplamı olarak temsil edilebilir:
orijinal kare x 2, dört dikdörtgen (4. 2,5x = 10x) ve dört bitişik kare (6,25. 4 = 25) yani S = x 2 + 10x + 25. Değiştirme
x 2 + 10x sayı 39 , bunu anladık S = 39 + 25 = 64 yani karenin kenarı ABCD yani çizgi segmenti AB = 8. Gerekli taraf için X elde ettiğimiz orijinal karenin:
x = 8 - 2 - 2 = 3
2) Ama örneğin eski Yunanlılar denklemi nasıl çözdüler? y 2 + 6y - 16 = 0.
ÇözümŞekil 10'da sunulmuştur.
y 2 + 6y = 16 veya y 2 + 6y + 9 = 16 + 9.
Çözüm.İfade y 2 + 6y + 9 Ve 16 + 9 geometrik olarak temsil etmek
aynı kare ve orijinal denklem y 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0- aynı denklem. Bunu nereden anlıyoruz y + 3 = ± 5, veya y 1 = 2, y 2 = - 8(pirinç. .
Şekil 10
3) Geometrik denklemi çözün y 2 - 6y - 16 = 0.
Denklemi dönüştürdüğümüzde şunu elde ederiz:
y 2 - 6y = 16.
Şekil 11'de ifadenin "görüntülerini" buluyoruz y 2 - 6y, onlar. kenarı y olan bir karenin alanından, kenarı y olan bir karenin alanını çıkarın 3 . Bu şu anlama gelir: eğer ifadeye yıl 2 - 6 yıl eklemek 9 , sonra kenarı olan bir karenin alanını elde ederiz y - 3. İfadeyi değiştirme yıl 2 - 6 yıl 16'ya eşit sayı,
şunu elde ederiz: (y - 3) 2 = 16 + 9, onlar. y - 3 = ± √25, veya y - 3 = ± 5, burada y 1 = 8 Ve y2 = - 2.
Çözüm
Araştırma çalışmamı yürütürken belirlenen amaç ve hedeflerle başa çıktığıma, yukarıda belirtilen konu üzerinde çalışılan materyali genelleştirebildiğime ve sistematik hale getirebildiğime inanıyorum.
İkinci dereceden denklemleri çözmenin her yönteminin kendine özgü olduğuna dikkat edilmelidir. Bazı çözümler, testler ve sınavlardaki görevleri çözerken önemli olan zamandan tasarruf etmenize yardımcı olur. Konu üzerinde çalışırken hangi yöntemlerin standart, hangilerinin standart dışı olduğunu bulma görevini belirledim.
Bu yüzden, standart yöntemler(ikinci dereceden denklemleri çözerken daha sık kullanılır):
- Binomun karesini alarak çözme
- Sol tarafı çarpanlara ayırma
- Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme
- Vieta teoremini kullanarak çözüm
- Denklemlerin grafik çözümü
- İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri
- Katsayıları aktararak çözüm
- Katsayı modelini kullanarak çözüm
- Pergel ve cetvel kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.
- Gerçek eksen aralıklarındaki denklemin incelenmesi
- Geometrik yöntem
Her yöntemin kendine has özellikleri ve uygulama sınırları olduğu unutulmamalıdır.
Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme
Oldukça kolay bir yol, denklemin köklerini hemen görmeyi mümkün kılarken yalnızca tam köklerin bulunmasını kolaylaştırır.
Transfer yöntemini kullanarak denklemleri çözme
Minimum sayıda adımda, Vieta teoremi yöntemiyle birlikte kullanılan bir denklemin köklerini bulabilirsiniz ve yalnızca tam kökleri bulmak da kolaydır.
İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri
İkinci dereceden bir denklemin köklerini sözel olarak bulmak için erişilebilir bir yöntem, ancak yalnızca bazı denklemler için uygundur
İkinci dereceden bir denklemin grafiksel çözümü
İkinci dereceden bir denklemi çözmenin görsel bir yolu, ancak grafik çizerken hatalar meydana gelebilir
Pusula ve cetvel kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme
İkinci dereceden bir denklemi çözmenin görsel bir yolu, ancak hatalar da meydana gelebilir
İkinci dereceden denklemleri çözmek için geometrik yöntem
Tam kare seçme yöntemine benzer görsel bir yöntem
Denklemleri farklı şekillerde çözerek, ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir dizi yöntem bilerek, öğrenme sürecinde önerilen herhangi bir denklemi çözebileceğiniz sonucuna vardım.
Aynı zamanda, ikinci dereceden denklemleri çözmenin daha rasyonel yollarından birinin, katsayıyı "aktarma" yöntemi olduğu unutulmamalıdır. Bununla birlikte, en evrensel yöntem, formül kullanarak denklem çözmenin standart yöntemi olarak düşünülebilir, çünkü bu yöntem, bazen daha uzun bir sürede de olsa, herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmenize olanak tanır. Ayrıca “transfer” yöntemi, katsayıların özelliği ve Vieta teoremi gibi çözüm yöntemleri, sınavlarda ve testlerde görevleri çözerken çok önemli olan zamandan tasarruf etmenize yardımcı olur.
Çalışmamın 9-11. sınıf öğrencilerinin yanı sıra rasyonel ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmek ve final sınavlarına iyi hazırlanmak isteyenlerin ilgisini çekeceğini düşünüyorum. İkinci dereceden denklemlerin tarihinin dikkate alınması ve bunları çözme yöntemlerinin sistemleştirilmesi nedeniyle matematik öğretmenlerinin de ilgisini çekecektir.
Kaynakça
- Glaser, G.I. Okulda matematiğin tarihi / G.I. Glazer.-M.: Aydınlanma, 1982-340 s.
- Gusev, V.A. Matematik. Referans malzemeleri/V.A. Gusev, A.G. Mordkovich - M.: Eğitim, 1988, 372 s.
- Kovaleva G. I., Konkina E. V. “Denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için fonksiyonel yöntem”, 2014
- Kulagin E. D. “Matematikte 300 rekabetçi problem”, 2013
- Potapov M.K. “Denklemler ve eşitsizlikler. Standart dışı çözüm yöntemleri" M. "Drofa", 2012
- .Barvenov S. A “Cebirsel denklemleri çözme yöntemleri”, M. “Aversev”, 2006
- Suprun V.P. “Matematik problemlerini çözmek için standart dışı yöntemler” - Minsk “Polymya”, 2010
- Shabunin M.I. “Üniversitelere başvuranlar için matematik kılavuzu”, 2005.
- Bashmakov M.I. Cebir: ders kitabı. 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar. - M.: Eğitim, 2004. - 287 s.
- Shatalova S. Ders - “İkinci dereceden denklemler” konulu atölye çalışması - 2004.
Okul çocuklarının araştırma ve yaratıcı çalışmaları için belediye yarışması
"Bilime Adım Atın"
MATEMATİK bölümü
Ders: İrrasyonel problemleri çözmek için standart olmayan yöntemler
denklemler.
Nuzhdina Maria, MAOU Ortaokulu No. 2
10. sınıf, Karymskoe köyü
Bilimsel danışman: Vasilyeva Elena Valerievna,
matematik öğretmeni
MAOU ortaokulu No. 2, Karymskoe köyü
Karymskoe köyü, 2013
Özet……………………………………………………………………………….3
Araştırma planı……………………………………………………………4-5
İş tanımı:
§1. İrrasyonel denklemleri çözmek için temel teknikler………………6-9
§2. İrrasyonel denklemleri bilinmeyenin yerine koyarak çözmek…10-14
§3. Modüle indirgenebilen irrasyonel denklemler………….15-17
§4. Çarpanlara ayırma………………………………………………..18-19
§5. Formun denklemleri………………………………………………………20-22
§6. İrrasyonel denklemlerde geometrik ortalama teoremi
; ……………………………23-24
4) Referans listesi………………………………………………………..25
Dipnot.
Araştırma çalışmamızın konusu: “İrrasyonel denklemlerin çözümünde standart dışı teknikler.”
Çalışmayı gerçekleştirirken şunları yapmak gerekliydi: farklı çözüm yöntemlerini karşılaştırmak; genel yöntemlerden özel yöntemlere veya tam tersi yönde geçiş yapın; ileri sürülen iddiaları tartışmak ve kanıtlamak; Çeşitli kaynaklardan toplanan bilgileri inceler ve sentezler. Bu bağlamda aşağıdaki araştırma yöntemleri ayırt edilebilir: ampirik; mantıksal ve teorik (araştırma); adım adım; üreme ve buluşsal;
Yapılan çalışmalar sonucunda aşağıdakiler elde edildi sonuçlar ve sonuçlar:
İrrasyonel denklemleri çözmek için birçok teknik vardır;
İrrasyonel denklemlerin tümü standart teknikler kullanılarak çözülemez;
Sıklıkla meydana gelen, karmaşık irrasyonel denklemlerin en basit denklemlere indirgenmesini sağlayan ikameleri inceledik;
İrrasyonel denklemleri çözmek için standart dışı tekniklere baktık
Konu: “İrrasyonel denklemleri çözmek için standart dışı teknikler”
Nuzhdina M.P., Trans-Baykal Bölgesi, Karymskoye köyü, MAOU Ortaokulu No. 2, 10. sınıf.
Araştırma planı.
Nesne alanı Araştırmamızı yürüttüğümüz alan cebirdir. Bir obje araştırma- denklemleri çözme. Pek çok denklem arasında irrasyonel denklemleri ele aldık - öğe Araştırmamız.
Okul cebir dersinde sadece standart yöntemler ve çözüm teknikleri (kuvvete yükseltilmiş ve basit yerine koyma teknikleri) dikkate alınır. Ancak araştırma sırasında standart teknik ve yöntemlerin çözmeye yetmediği irrasyonel denklemlerin olduğu ortaya çıktı. Bu tür denklemler diğer, daha rasyonel yöntemler kullanılarak çözülür.
Bu nedenle bu tür çözüm tekniklerini çalışmanın gerekli ve ilginç bir çalışma olduğuna inanıyoruz.
Araştırma sırasında çok sayıda irrasyonel denklemin olduğu ve bunları türlerine ve yöntemlerine göre gruplandırmanın sorunlu olduğu ortaya çıktı.
Amaç Araştırma, irrasyonel denklemleri çözme yöntemlerinin incelenmesi ve sistemleştirilmesidir.
Hipotez: İrrasyonel denklemleri çözmek için standart olmayan yöntemler biliyorsanız, bu, bazı Olimpiyat ve Birleşik Devlet Sınavı test görevlerinin yerine getirilmesinin kalitesini artıracaktır.
Hedeflere ulaşmak ve hipotezi test etmek için aşağıdakileri çözmek gerekir: görevler:
İrrasyonel denklem türlerini açıklar.
Türler ve çözüm yöntemleri arasında bağlantı kurun.
DL'yi kontrol etmenin ve bulmanın önemini değerlendirin.
İrrasyonel denklemleri çözerken standart olmayan durumları göz önünde bulundurun (geometrik ortalama teoremi, fonksiyonların monotonluğunun özellikleri).
Araştırma sürecinde, M.I.Skanavi, I.F. Sharygina, O.Yu.Cherkasov, A.N.Rurukin, I.T.Borodulya gibi yazarlar tarafından birçok ders kitabının yanı sıra "Okulda Matematik" bilimsel-teorik ve metodolojik dergisinden makaleler incelenmiştir.
Konu: “İrrasyonel denklemleri çözmek için standart dışı teknikler”
Nuzhdina M.P., Trans-Baykal Bölgesi, Karymskoye köyü, MAOU Ortaokulu No. 2, 10. sınıf.
İş tanımı.
§1 İrrasyonel denklemleri çözmek için temel teknikler
y(x) fonksiyonu bilinmeyen bir x miktarının köklerini veya x'e bağlı ifadeleri içeriyorsa, y(x)=0 denklemi irrasyoneldir.
Birçok irrasyonel denklem yalnızca kök kavramlarına ve denklemin izin verilen değerlerinin aralığına (ADV) dayanarak çözülebilir, ancak bazıları çalışmada tartışılacak olan başka yöntemler de vardır.
İrrasyonel denklemleri çözmenin ana tekniği, denklemin bir kısmındaki radikali izole etmek, ardından denklemin her iki kısmını da uygun güce yükseltmektir. Eğer böyle birkaç radikal varsa, o zaman denklemin orijinal gücüne tekrar tekrar yükseltilmesi gerekir; bu arada, tek radikalin işareti altındaki ifadenin negatif olmamasına dikkat etmeye gerek yoktur.
Bununla birlikte, eşit bir kuvvete yükseltildiğinde yabancı kökler, yani orijinal denklemin çözümü olmayan kökler görünebilir.
Dolayısıyla böyle bir karar yöntemi kullanılırken köklerin kontrol edilmesi ve gereksiz olanların atılması gerekir; bu durumda doğrulama, kararın bir unsurudur ve gereksiz köklerin ortaya çıkmadığı ancak kararın gidişatının belirlendiği durumlarda bile gereklidir. görünebilecekleri şekilde. Öte yandan bazen kontrol yapmak, gerekli olduğunu kanıtlamaktan daha kolaydır.
Birkaç örneğe bakalım:
Cevap: Kök yok
– yabancı kök
Bu örneklerde irrasyonel denklemlerin çözümüne yönelik standart yöntemlere baktık (her iki tarafın da üssünü almak ve kökleri kontrol etmek).
Ancak birçok irrasyonel denklem şu şekilde çözülebilir:
yalnızca denklemin kökü ve ODZ kavramlarına dayanmaktadır.
Denklem yalnızca çift dereceli radikalleri içerdiğinden eşitsizlik sistemini çözmek yeterlidir.
3x -2x 2 +5 ≥0 (ODZ denkleminin koşulları)
4х 2 -26х +40 ≥0
Bu eşitsizlik sistemini çözerek elde ederiz:
x € Burada x = 2,5.
x € (-∞; 2,5] ᴗ )
