İlk ondaki asal sayılar neden. Bir sayının asal olup olmadığı nasıl kontrol edilir

Bölenlerin numaralandırılması. Tanım gereği sayı N yalnızca 2'ye ve 1 ve kendisi dışındaki diğer tam sayılara tam olarak bölünemiyorsa asaldır. Yukarıdaki formül gereksiz adımları ortadan kaldırır ve zaman tasarrufu sağlar: örneğin bir sayının 3'e bölünüp bölünemediğini kontrol ettikten sonra 9'a bölünüp bölünemediğini kontrol etmeye gerek yoktur.

• Floor(x) işlevi, x'i x'ten küçük veya ona eşit olan en yakın tam sayıya yuvarlar.

Modüler aritmetik hakkında bilgi edinin.İşlem "x mod y"dir (mod, Latince kelime"modülo", "x'i y'ye böl ve kalanı bul" anlamına gelir. Başka bir deyişle, modüler aritmetikte belirli bir değere ulaşıldığında buna denir. modül, sayılar tekrar sıfıra "döner". Örneğin bir saat, zamanı 12 modülüyle tutar: saat 10, 11 ve 12'yi gösterir ve sonra 1'e döner.

• Çoğu hesap makinesinde mod tuşu bulunur. Bu bölümün sonunda bu fonksiyonun büyük sayılar için manuel olarak nasıl değerlendirileceği gösterilmektedir.

asal sayı kalansız olarak yalnızca iki doğal sayıya bölünebilen doğal (pozitif tam sayı) bir sayıdır: kendine ve kendine. Başka bir deyişle, bir asal sayının tam olarak iki doğal böleni vardır: ve sayının kendisi.

Tanım gereği, bir asal sayının tüm bölenlerinden oluşan küme iki öğelidir, yani. bir kümeyi temsil eder.

Tüm asal sayıların kümesi sembolü ile gösterilir. Böylece asal sayılar kümesinin tanımı nedeniyle şunu yazabiliriz: .

Asal sayıların sırası şuna benzer:

Aritmetiğin Temel Teoremi

Aritmetiğin Temel Teoremi birden büyük her doğal sayının asal sayıların çarpımı olarak ve çarpanların sırasına göre benzersiz bir şekilde temsil edilebileceğini belirtir. Böylece, asal sayılar setin temel "yapı taşlarıdır" doğal sayılar.

Doğal sayı genişletmesi title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonik:

asal sayı nerede ve . Örneğin, bir doğal sayının kanonik açılımı şuna benzer: .

Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı olarak temsil etmeye de denir. bir sayının çarpanlarına ayrılması.

Asal Sayıların Özellikleri

Eratostenes Eleği

Asal sayıları aramak ve tanımak için en ünlü algoritmalardan biri Eratostenes eleği. Yani bu algoritmaya, algoritmanın yazarı sayılan Yunan matematikçi Cyrene'li Eratosthenes'in adı verilmiştir.

Belirli bir sayıdan küçük tüm asal sayıları Eratosthenes'in yöntemini kullanarak bulmak için şu adımları izleyin:

Aşama 1.İkiden 'ye kadar olan tüm doğal sayıları yazın, yani. .
Adım 2. Değişkene value değerini, yani en küçük asal sayıya eşit değeri atayın.
Aşama 3. Listede 'den 'ye kadar olan ve katı olan tüm sayıların üzerini çizin, yani: .
Adım 4. Listede 'den büyük olan ilk çaprazlanmamış sayıyı bulun ve bu sayının değerini bir değişkene atayın.
Adım 5. Sayıya ulaşılana kadar 3. ve 4. adımları tekrarlayın.

Algoritmayı uygulama süreci şöyle görünecektir:

Algoritmanın uygulanması işlemi sonunda listede kalan çaprazlanmamış sayıların tümü, 'den 'ye kadar olan asal sayılar kümesi olacaktır.

Goldbach varsayımı

“Petros Amca ve Goldbach Hipotezi” kitabının kapağı

Asal sayılar uzun süredir matematikçiler tarafından inceleniyor olmasına rağmen, asal sayılar ile ilgili pek çok problem günümüzde çözülememiştir. En ünlü çözülmemiş problemlerden biri Goldbach'ın hipotezi aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:

• İkiden büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak temsil edilebileceği doğru mudur (Goldbach'ın ikili hipotezi)?
• 5'ten büyük her tek sayının toplam olarak gösterilebileceği doğru mu? üç basit sayılar (üçlü Goldbach hipotezi)?

Üçlü Goldbach hipotezinin ikili Goldbach hipotezinin özel bir durumu olduğu veya matematikçilerin dediği gibi üçlü Goldbach hipotezinin ikili Goldbach hipotezinden daha zayıf olduğu söylenmelidir.

Goldbach'ın varsayımı, 2000 yılında Bloomsbury USA (ABD) ve Faber ve Faber (İngiltere) yayın şirketlerinin tanıtım amaçlı pazarlama çalışmaları sayesinde matematik camiası dışında da geniş çapta tanındı. "Petros Amca ve Goldbach'ın Varsayımları" kitabını yayınlayan bu yayınevleri, kitabın basım tarihinden itibaren 2 yıl içinde Goldbach'ın hipotezini kanıtlayana 1 milyon ABD doları ödül verme sözü verdi. Bazen yayıncıların verdiği söz konusu ödül, Milenyum Ödülü Sorunlarını çözmeye yönelik ödüllerle karıştırılıyor. Yanlış anlaşılmasın, Goldbach'ın hipotezi, Clay Enstitüsü tarafından "milenyum mücadelesi" olarak sınıflandırılmamıştır, ancak her ne kadar Riemann hipotezi- “milenyumun zorluklarından” biri.

“Asal sayılar” kitabı. Sonsuzluğa giden uzun yol"

“Matematik Dünyası” kitabının kapağı. Asal sayılar. Sonsuzluğa giden uzun yol"

Ek olarak, ek açıklamasında şöyle yazan büyüleyici bir popüler bilim kitabını okumanızı tavsiye ederim: “Asal sayıların araştırılması matematikteki en paradoksal problemlerden biridir. Bilim adamları birkaç bin yıldır bunu çözmeye çalışıyorlar, ancak yeni versiyonlar ve hipotezlerle birlikte büyüyen bu gizem hala çözülmemiş durumda. Asal sayıların ortaya çıkışı herhangi bir sisteme tabi değildir: doğal sayılar dizisinde kendiliğinden ortaya çıkarlar, matematikçilerin sıralarındaki kalıpları belirlemeye yönelik tüm girişimlerini göz ardı ederler. Bu kitap, okuyucunun bilimsel kavramların antik çağlardan günümüze kadar olan evriminin izini sürmesine ve asal sayıların araştırılmasına ilişkin en ilginç teorileri tanıtmasına olanak tanıyacak."

Ayrıca bu kitabın ikinci bölümünün başından alıntı yapacağım: “Asal sayılar bizi matematiğin en başlangıçlarına götüren ve giderek karmaşıklaşan bir yolda bizi en ön sıralara taşıyan önemli konulardan biridir. modern bilim. Bu nedenle büyüleyici ve etkileyici olanı takip etmek çok faydalı olacaktır. karmaşık tarih asal sayı teorisi: tam olarak nasıl gelişti, şu anda genel kabul görmüş gerçekler ve gerçekler tam olarak nasıl toplandı. Bu bölümde, nesiller boyu matematikçilerin asal sayıların ortaya çıkışını öngören bir kuralı (araştırma ilerledikçe giderek anlaşılması zor hale gelen bir kuralı) bulmak için doğal sayıları nasıl dikkatle incelediğini göreceğiz. Ayrıca tarihsel bağlama da detaylı bir şekilde bakacağız: matematikçilerin hangi koşullar altında çalıştığını ve çalışmalarının, günümüzde kullanılan bilimsel yöntemlerden oldukça farklı olan mistik ve yarı dini uygulamaları ne ölçüde içerdiğini. Ancak yavaş yavaş ve zorlukla, 17. ve 18. yüzyıllarda Fermat ve Euler'e ilham veren yeni görüşlerin zemini hazırlandı.”

Makalede asal ve bileşik sayı kavramları tartışılmaktadır. Bu sayıların tanımları örneklerle verilmiştir. Asal sayıların sınırsız olduğuna dair bir kanıt sunacağız ve bunu Eratosthenes yöntemini kullanarak asal sayılar tablosuna kaydedeceğiz. Bir sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu belirlemek için kanıtlar verilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Asal ve Bileşik Sayılar - Tanımlar ve Örnekler

Asal ve bileşik sayılar pozitif tam sayılar olarak sınıflandırılır. Birden büyük olmaları gerekir. Bölenler ayrıca basit ve bileşik olarak ikiye ayrılır. Bileşik sayılar kavramını anlamak için öncelikle bölen ve kat kavramlarını incelemelisiniz.

Tanım 1

Asal sayılar, birden büyük ve kendisi ve 1 olmak üzere iki pozitif böleni olan tam sayılardır.

Tanım 2

Bileşik sayılar birden büyük ve en az üç pozitif böleni olan tam sayılardır.

Bir ne asal ne de bileşik sayıdır. Tek bir pozitif böleni olduğundan diğer tüm pozitif sayılardan farklıdır. Pozitif tam sayıların tümüne doğal sayılar denir, yani saymada kullanılır.

Tanım 3

asal sayılar yalnızca iki pozitif böleni olan doğal sayılardır.

Tanım 4

Bileşik sayı ikiden fazla pozitif böleni olan bir doğal sayıdır.

1'den büyük olan herhangi bir sayı ya asaldır ya da bileşiktir. Bölünebilme özelliğinden şunu elde ederiz: 1 ve a sayısı her zaman herhangi bir a sayısının bölenleri olacaktır, yani hem kendisine hem de 1'e bölünebilir. Tam sayıların tanımını verelim.

Tanım 5

Asal olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir.

Asal sayılar: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sadece kendilerine ve 1'e bölünebilirler. Bileşik sayılar: 6, 63, 121, 6697. Yani 6 sayısını 2 ve 3'e, 63 sayısını da 1, 3, 7, 9, 21, 63 ve 121 sayısını 11, 11'e ayrıştırabiliriz yani bölenleri 1, 11, 121 olacaktır. 6697 sayısı 37 ve 181'e ayrıştırılmıştır. Asal sayı ve eş asal sayı kavramlarının farklı kavramlar olduğunu unutmayın.

Asal sayıları kullanmayı kolaylaştırmak için bir tablo kullanmanız gerekir:

Mevcut tüm doğal sayıları içeren bir tablo gerçekçi değildir, çünkü bunlardan sonsuz sayıda vardır. Sayılar 10000 veya 1000000000 boyutlarına ulaştığında Eratosthenes Eleği kullanmayı düşünmelisiniz.

Son ifadeyi açıklayan teoremi ele alalım.

Teorem 1

Birden büyük bir doğal sayının 1 dışındaki en küçük pozitif böleni asal sayıdır.

Kanıt 1

a'nın 1'den büyük bir doğal sayı olduğunu, b'nin a'nın bir olmayan en küçük böleni olduğunu varsayalım. Çelişki yöntemini kullanarak b'nin asal sayı olduğunu kanıtlamak gerekir.

B'nin bileşik bir sayı olduğunu varsayalım. Buradan b için hem 1'den hem de b'den farklı bir bölen olduğunu anlıyoruz. Böyle bir bölen b 1 olarak gösterilir. 1. koşulun sağlanması gerekiyor< b 1 < b tamamlanmıştı.

Koşuldan a'nın b'ye bölündüğü, b'nin b 1'e bölündüğü açıktır, bu da bölünebilirlik kavramının şu şekilde ifade edildiği anlamına gelir: a = bq ve b = b 1 · q 1 , buradan a = b 1 · (q 1 · q) , burada q ve q 1 tamsayılardır. Tam sayıların çarpımı kuralına göre, tam sayıların çarpımının a = b 1 · (q 1 · q) biçiminde eşitliğe sahip bir tam sayı olduğunu biliyoruz. Görülüyor ki b 1 a sayısının böleni. Eşitsizlik 1< b 1 < b Olumsuz karşılık gelir, çünkü b'nin a'nın en küçük pozitif ve 1 olmayan böleni olduğunu bulduk.

Teorem 2

Sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Kanıt 2

Muhtemelen sonlu sayıda n doğal sayısını alıyoruz ve bunları p 1, p 2, …, p n olarak gösteriyoruz. Belirtilenlerden farklı bir asal sayı bulma seçeneğini ele alalım.

p 1, p 2, ..., p n + 1'e eşit olan p sayısını dikkate alalım. p 1, p 2, ..., p n formundaki asal sayılara karşılık gelen sayıların her birine eşit değildir. p sayısı asaldır. Daha sonra teoremin kanıtlanmış olduğu kabul edilir. Bileşik ise p n + 1 notasyonunu almanız gerekir. ve bölenin p 1, p 2, ..., p n'den herhangi biriyle çakışmadığını gösterin.

Eğer durum böyle olmasaydı p 1, p 2, ..., p n çarpımının bölünebilme özelliğine göre , pn + 1'e bölünebileceğini bulduk. p n + 1 ifadesinin olduğuna dikkat edin p sayısının bölünmesi p 1, p 2, ..., p n + 1 toplamına eşittir. p n + 1 ifadesini elde ederiz Bu toplamın 1'e eşit olan ikinci teriminin bölünmesi gerekir, ancak bu imkansızdır.

Verilen asal sayılar arasında herhangi bir asal sayının bulunabileceği görülmektedir. Buradan sonsuz sayıda asal sayının olduğu sonucu çıkar.

Çok fazla asal sayı olduğundan tablolar 100, 1000, 10000 vb. sayılarla sınırlıdır.

Asal sayılar tablosunu derlerken, böyle bir görevin 2'den 100'e kadar sayıların sıralı olarak kontrol edilmesini gerektirdiğini dikkate almalısınız. Bölen yoksa tabloya kaydedilir, bileşik ise tabloya girilmez.

Gelin adım adım bakalım.

2 sayısıyla başlarsanız, yalnızca 2 böleni vardır: 2 ve 1, bu da tabloya girilebileceği anlamına gelir. 3 numarayla aynı. 4 sayısı bileşiktir; 2 ve 2'ye ayrıştırılması gerekir. 5 sayısı asaldır, yani tabloya kaydedilebilir. Bunu 100 sayısına kadar yapın.

Bu method uygunsuz ve uzun. Bir masa oluşturabilirsiniz, ancak harcamanız gerekecek çok sayıda zaman. Bölenleri bulma sürecini hızlandıracak bölünebilme kriterlerini kullanmak gerekir.

Eratosthenes eleğini kullanan yöntemin en uygun olduğu kabul edilir. Örnek olarak aşağıdaki tablolara bakalım. Başlangıç ​​olarak 2, 3, 4, ..., 50 sayıları yazılır.

Şimdi 2'nin katı olan tüm sayıların üzerini çizmeniz gerekiyor. Sıralı üst çizgileri gerçekleştirin. Şöyle bir tablo elde ediyoruz:

5'in katı olan sayıların üzerini çizmeye devam ediyoruz. Şunu elde ederiz:

7, 11'in katı olan sayıların üzerini çizin. Sonuçta tablo şuna benziyor

Teoremin formülasyonuna geçelim.

Teorem 3

A tabanı sayısının en küçük pozitif ve 1 olmayan böleni a'yı aşmaz; burada a, aritmetik kök belirli bir sayı.

Kanıt 3

Bileşik bir a sayısının en küçük bölenini b olarak belirtmek gerekir. a = b · q olan bir q tam sayısı vardır ve b ≤ q'ya sahibiz. Formdaki eşitsizlikler kabul edilemez b > q,Çünkü koşul ihlal edilmiştir. b ≤ q eşitsizliğinin her iki tarafı herhangi bir sayı ile çarpılmalıdır. pozitif sayı b 1'e eşit değil. b 2 ≤ a ve b ≤ a olmak üzere b · b ≤ b · q sonucunu elde ederiz.

Kanıtlanmış teoremden, tablodaki sayıların üzerinin çizilmesinin, b 2'ye eşit ve b 2 ≤ a eşitsizliğini karşılayan bir sayıyla başlamanın gerekli olduğu gerçeğine yol açtığı açıktır. Yani, 2'nin katı olan sayıların üzerini çizerseniz, süreç 4 ile başlar ve 3'ün katları 9 ile başlar ve bu şekilde 100'e kadar devam eder.

Eratosthenes teoremini kullanarak böyle bir tablo derlemek, tüm bileşik sayıların üzeri çizildiğinde, n'yi aşmayan asal sayıların kalacağını gösterir. N = 50 olan örnekte n = 50 elde ederiz. Buradan Eratosthenes süzgecinin, değeri 50'nin kökünün değerinden büyük olmayan tüm bileşik sayıları elediğini anlıyoruz. Numaraların aranması üzeri çizilerek yapılır.

Çözmeden önce sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu bulmanız gerekir. Bölünebilme kriterleri sıklıkla kullanılır. Aşağıdaki örnekte buna bakalım.

örnek 1

898989898989898989 sayısının bileşik olduğunu kanıtlayın.

Çözüm

Belirli bir sayının rakamlarının toplamı 9 8 + 9 9 = 9 17'dir. Bu, 9'a bölünebilme testine göre 9 · 17 sayısının 9'a bölünebileceği anlamına gelir. Bundan kompozit olduğu sonucu çıkar.

Bu tür işaretler bir sayının asallığını kanıtlayamaz. Doğrulama gerekiyorsa başka eylemler de gerçekleştirilmelidir. En uygun yol sayıları numaralandırmaktır. İşlem sırasında asal ve bileşik sayılar bulunabilir. Yani sayıların a değerini aşmaması gerekir. Yani, a sayısının şu şekilde ayrıştırılması gerekir: asal faktörler. eğer bu sağlanırsa, o zaman a sayısı asal sayılabilir.

Örnek 2

11723'ün bileşik veya asal sayısını belirleyin.

Çözüm

Şimdi 11723 sayısının tüm bölenlerini bulmanız gerekiyor. 11723'ü değerlendirmemiz gerekiyor.

Buradan 11723'ü görüyoruz< 200 , то 200 2 = 40 000 ve 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

11723 sayısının daha doğru bir tahmini için 108 2 = 11 664 ifadesini yazmanız gerekir ve 109 2 = 11 881 , O 108 2 < 11 723 < 109 2 . 11723 sonucu çıkıyor< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Genişlettiğimizde 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 sayıları asal sayılardır. Tüm bu süreç bir sütunla bölünme olarak gösterilebilir. Yani 11723'ü 19'a bölün. Kalansız bölme işlemi yaptığımız için 19 sayısı onun çarpanlarından biridir. Bölmeyi bir sütun olarak temsil edelim:

Buradan 11723'ün bileşik bir sayı olduğu sonucu çıkar, çünkü kendisine ve 1'e ek olarak 19'a bölen vardır.

Cevap: 11723 bileşik bir sayıdır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Asal sayılar, iki bin yıldan fazla bir süredir bilim adamlarının ve sıradan vatandaşların dikkatini çeken en ilginç matematiksel olaylardan biridir. Artık bilgisayar ve en modern çağda yaşıyor olmamıza rağmen bilgi programları Asal sayılara ilişkin pek çok bilmece henüz çözülemedi, hatta bilim adamlarının nasıl yaklaşacaklarını bilemedikleri bile var.

Asal sayılar, temel aritmetik derslerinden bilindiği gibi, yalnızca bire ve kendisine kalansız olarak bölünebilen sayılardır. Bu arada, bir doğal sayı yukarıda sayılanlara ek olarak başka bir sayıya bölünebiliyorsa buna bileşik sayı denir. En ünlü teoremlerden biri, herhangi bir bileşik sayının, asal sayıların benzersiz bir olası çarpımı olarak temsil edilebileceğini belirtir.

Bazı ilginç gerçekler. Birincisi, birim aslında ne basit olanlara ne de basit olanlara ait olmaması anlamında benzersizdir. bileşik sayılar. Aynı zamanda, bilimsel toplulukta, resmi olarak gereksinimlerini tam olarak karşıladığı için onu özellikle birinci gruba ait olarak sınıflandırmak hala gelenekseldir.

İkincisi, “asal sayılar” grubuna sığdırılan tek çift sayı doğal olarak ikidir. Başka herhangi bir çift sayı buraya gelemez, çünkü tanımı gereği kendisine ve bire ek olarak ikiye de bölünebilir.

Yukarıda belirtildiği gibi listesi bir ile başlayabilen asal sayılar, doğal sayılar dizisi kadar sonsuz bir diziyi temsil eder. Aritmetiğin temel teoremine dayanarak, asal sayıların asla kesintiye uğramadığı ve asla bitmediği sonucuna varabiliriz, aksi takdirde doğal sayılar dizisi kaçınılmaz olarak kesintiye uğrayacaktır.

Asal sayılar ilk bakışta sanıldığı gibi doğal serilerde rastgele görülmezler. Bunları dikkatlice analiz ettikten sonra, en ilginçleri "ikiz" sayılarla ilişkilendirilen çeşitli özellikleri hemen fark edebilirsiniz. Bu şekilde adlandırılmalarının nedeni, anlaşılmaz bir şekilde yan yana gelmeleri ve yalnızca eşit bir sınırlayıcıyla (beş ve yedi, on yedi ve on dokuz) ayrılmış olmalarıdır.

Yakından bakarsanız bu sayıların toplamının her zaman üçün katı olduğunu fark edeceksiniz. Üstelik soldakini üçe böldüğümüzde kalan hep iki, sağdaki ise hep bir kalıyor. Ek olarak, bu serinin tamamını, ana noktaları sayılar üçe ve ikiye bölündüğünde oluşan salınımlı sinüzoidler şeklinde hayal edersek, bu sayıların doğal seri boyunca dağılımı da tahmin edilebilir.

Asal sayılar yalnızca dünyanın her yerindeki matematikçiler tarafından yakından incelenmekle kalmıyor, aynı zamanda diğer şeylerin yanı sıra kriptografinin temelini oluşturan çeşitli sayı dizilerinin derlenmesinde uzun süredir başarıyla kullanılıyor. Bu harika unsurlarla ilgili çok sayıda gizemin hala çözülmeyi beklediğini kabul etmek gerekir; birçok sorunun yalnızca felsefi değil, aynı zamanda pratik önemi de vardır.