Bir katıda elektronların enerji spektrumunun oluşumu. Elektron enerji spektrumunun bant yapısı
|
|||||||||||||||||||||
Katılarda elektronik enerji spektrumunun bant yapısı. Serbest ve kuvvetli bağlı elektron modelleri
3.2. Sıkı bağlantı modelinde enerji spektrumunun bant yapısı
3.2.1. Enerji spektrumunun bant yapısının oluşumu.
Böylece, iki atom arasında bir bağ oluştuğunda, iki atomik yörüngeden iki moleküler yörünge oluşur: farklı enerjilere sahip bağlanma ve antibağ.
Şimdi bir kristalin oluşumu sırasında neler olduğuna bakalım. Burada mümkün iki farklı seçenek: Atomlar birbirine yaklaştığında ve yarı iletken veya dielektrik durum ortaya çıktığında metalik bir durum ortaya çıktığında.
Metalik durum yalnızca atomik yörüngelerin örtüşmesi ve çok merkezli yörüngelerin oluşması sonucu ortaya çıkabilir, bu da değerlik elektronlarının tamamen veya kısmen kollektifleşmesine yol açar. Böylece, başlangıçta bağlı atomik elektron yörüngeleri kavramına dayanan bir metal şu şekilde temsil edilebilir: çok merkezli moleküler yörüngelerden oluşan tek bir sistemle dev bir molekül halinde birleştirilen pozitif yüklü iyonlardan oluşan bir sistem.
Geçiş metalleri ve nadir toprak metallerinde elektronların kollektifleşmesi sırasında ortaya çıkan metalik bağın yanı sıra, kovalent yönlendirilmiş bağlar Tamamen dolu bağ yörüngelerine sahip komşu atomlar arasında.
Kafesteki tüm atomların bağlantısını sağlayan elektronların kolektifleştirilmesi, atomlar birbirine yaklaştığında atomik enerji seviyelerinin 2N kat (spin dikkate alınarak) bölünmesine ve bir bant yapısının oluşmasına yol açar. elektronik enerji spektrumu.
Atomlar arası mesafenin azalmasıyla izole edilmiş atomların () ayrık enerji seviyelerindeki değişimin niteliksel bir örneği, dar atomların oluşumuyla enerji seviyelerinin bölünmesini gösteren Şekil 30a'da sunulmaktadır. enerji bölgeleri 2N (spin dahil) farklı enerji durumlarını içerir (Şekil 30a).
 |
| Pirinç. otuz. |
Enerji bantlarının () genişliği, aşağıda gösterileceği gibi, komşu atomların elektronlarının dalga fonksiyonlarının örtüşme derecesine veya başka bir deyişle, bir elektronun komşu bir atoma geçme olasılığına bağlıdır. Genel olarak enerji bantları yasak enerji aralıklarıyla ayrılır. yasak alanlar(Şekil 30a).
S- ve p-durumları örtüştüğünde birçok "bağlanma" ve "gevşeme" bölgesi oluşur. Bu açıdan bakıldığında, elektronlarla tamamen dolmayan bölgeler varsa metalik durum ortaya çıkar. Bununla birlikte, zayıf eşleşmenin (neredeyse serbest elektron modeli) aksine, bu durumda elektron dalga fonksiyonlarını düzlem dalgalar olarak düşünmek imkansızdır, bu da izoenerjetik yüzeylerin oluşturulması prosedürünü büyük ölçüde karmaşıklaştırır. Lokalize elektronların dalga fonksiyonlarının gezici elektronları tanımlayan Bloch tipi dalga fonksiyonlarına dönüşümünün doğası Şekil 30b,c'de gösterilmektedir.
Burada, bağlı durumların enerji seviyelerinin bölünmesine ve enerji bantlarının oluşumuna yol açan şeyin elektronların kolektifleştirilmesi, yani kristal kafes içinde hareket edebilme yeteneği olduğunu bir kez daha vurgulamak gerekir (Şekil 30c).
Yarı iletken ( Ve dielektrik) durumu Yönlendirilmiş kovalent bağlarla sağlanır. Hemen hepsi atomik yarı iletkenler her atom çiftinin sp3 hibridizasyonunun bir sonucu olarak oluşan bir kovalent bağa sahip olduğu elmas tipi bir kafese sahiptir [N.E. Kuzmenko ve diğerleri, 2000. Komşu atomları bağlayan her sp3 yörüngesi iki elektron içerir, böylece tüm bağlanma yörüngeleri tamamen doldurulur.
Komşu atom çiftleri arasındaki lokalize bağ modelinde, bir kristal kafes oluşumunun, bağ yörüngelerinin enerji seviyelerinin bölünmesine yol açmaması gerektiğine dikkat edin. Aslında, kristal kafeste üst üste binen sp3 yörüngelerinden oluşan tek bir sistem oluşur, çünkü -bağlarındaki bir çift elektronun elektron yoğunluğu yalnızca atomlar arasındaki uzay bölgesinde yoğunlaşmaz, aynı zamanda bu bölgelerin dışında sıfır değildir. Dalga fonksiyonlarının örtüşmesinin bir sonucu olarak, kristaldeki bağlanma ve antibağlanma yörüngelerinin enerji seviyeleri, örtüşmeyen dar bölgelere ayrılır: tamamen dolu bir bağlanma bölgesi ve enerjisi daha yüksek olan serbest bir antibağlanma bölgesi. Bu bölgeler bir enerji boşluğu ile ayrılmıştır.
Sıfır dışındaki sıcaklıklarda, atomların termal hareket enerjisinin etkisi altında kovalent bağlar kırılabilir ve salınan elektronlar, elektronik durumların lokalize olmadığı üst bölgeye antibağ yörüngelerine aktarılır. Böylece olur yerelleşme bağlı elektronlar ve sıcaklığa ve bant aralığına bağlı olarak belirli sayıda gezici elektronların oluşması. Kolektifleştirilmiş elektronlar, karşılık gelen bir dağılım yasasına sahip bir iletim bandı oluşturarak kristal kafes içinde hareket edebilir. Ancak şimdi, tıpkı geçiş metallerinde olduğu gibi, bu elektronların kafes içindeki hareketi düzlemsel ilerleyen dalgalarla değil, bağlı elektronik durumların dalga fonksiyonlarını hesaba katan daha karmaşık dalga fonksiyonlarıyla tanımlanmaktadır.
Kovalent bağlardan birinden bir elektron uyarıldığında, delik - bir ücretin atandığı boş bir elektronik durum+Q. Bir elektronun komşu bağlardan bu duruma geçişi sonucunda delik kaybolur, ancak aynı zamanda komşu bağda doldurulmamış bir durum belirir. Bu şekilde delik kristalin etrafında hareket edebilir. Tıpkı elektronlar gibi, delokalize delikler de karşılık gelen dağılım yasasıyla kendi bant spektrumlarını oluşturur. Dış elektrik alanında, elektronların serbest bağa geçişleri alanın tersi yönde geçerli olur, böylece delikler alan boyunca hareket ederek bir elektrik akımı oluşturur. Böylece, termal uyarım sırasında yarı iletkenlerde iki tür akım taşıyıcısı ortaya çıkar - elektronlar ve delikler. Konsantrasyonları, yarı iletken iletkenlik türü için tipik olan sıcaklığa bağlıdır.
Edebiyat: [W. Harrison, 1972, bölüm. II, 6.7; D.G. Knorre ve diğerleri, 1990; K.V.Shalimova, 1985, 2.4; J.Ziman ve diğerleri, 1972, bölüm 8, 1]
3.2.2. Bir kristaldeki elektronun dalga fonksiyonu
Sıkı bağlanma modelinde, bir kristaldeki elektronun dalga fonksiyonu, atomik fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir:
 |
Nerede R- elektronun yarıçap vektörü, R J- yarıçap vektörü J kafesin inci atomu.
Bir kristaldeki gezici elektronların dalga fonksiyonunun Bloch formuna (2.1) sahip olması gerektiğinden, katsayı İLE _( j) atomik fonksiyon açıkken J kristal kafesin düğümü bir faz faktörü biçiminde olmalıdır, yani
Modern fiziğin en değerli, anlamaya yeterli ifadesi herkes Katıların özellikleri - atomik yapıları hakkında bir hipotez .
Atom hipotezine dayanarak, katılardaki elektronların hareketi hakkındaki fikirleri ele alalım.Bir katının özelliklerini tek bir atomun özellikleriyle ilişkilendirmeye çalışmak doğaldır. Atomun özellikleri deneysel olarak iyi çalışılmış ve kuantum mekaniği tarafından teorik olarak yorumlanmıştır. Bunlar aşağıdaki gibi özetlenebilir.
1. Bir atom çekirdeğinin etrafında hareket eden bir elektron, Belki hiçbir durumda değil ama sadece birinde Lafta durağan durumlar.
2. Durağan durum, belirli bir enerji ve elektron yoğunluğu dağılımı ile karakterize edilir. Durağan durumların enerjilerinin toplamı, bir atomdaki elektronun enerji spektrumunu oluşturur. Enerji spektrumu her atom için kesinlikle bireyseldir; bir tür parmak izidir. Elektron yoğunluğu dağılımı, elektronun atomun etrafındaki hangi alanlarda ağırlıklı olarak bulunduğunu, yani 1'e yakın bir olasılıkla gösterir. Enerji spektrumu genellikle bir enerji diyagramı biçiminde gösterilir (Şekil 1.1). Minimum enerjiye sahip duruma temel durum denir. İçinde bulunan elektron çekirdeğe en yakın olanıdır.
Şekil 1.1. Hidrojen atomunun enerji spektrumu.
Bir kristalin elektronik özellikleri, tıpkı bir atomun özellikleri gibi, iki faktör tarafından belirlenir: kristaldeki elektronların enerji spektrumu ve bunların istatistikleri, yani durumlara göre dağılım yasası..
Bir kristalin enerji spektrumunun yapısı, tek bir atomun spektrumuna dayalı olarak niteliksel olarak belirlenebilir.
Hayal edelim N birbirini hiçbir şekilde etkilemeyecek kadar uzak mesafelerde ayrılmış özdeş atomlar. Böyle bir bağımsız atomlar topluluğunun enerji spektrumu aşağıdakilerden oluşacaktır: N eşleşen atomik spektrumlar. Her atom durumu aynı anda topluluğun bir durumu olacaktır. Enerjileri çakışan bu tür durumlara N - çoklu dejenere denir.
Atomları birbirine yaklaştırmaya başlayalım. Belirli bir atomlararası mesafede, elektron-nükleer çekim ve elektron-elektron itmenin elektrostatik kuvvetleri farkedilecektir. Toplamda çekim hakim olacak, ancak itme daha önce çakışan atom enerjisi seviyelerinin bölünmesine yol açacaktır. N bireysel seviyeler (Şekil 1.4). Atomlar arası mesafeye ulaşıldığında bir kristal oluşur. Daha fazla yaklaşma büyük itici kuvvetler tarafından engellenir.
Şekil 1.4. Bir kristalin enerji spektrumunun oluşumu
Böylece her atom seviyesi şuna dönüşür: Bir kristalde izin verilen elektron enerjilerinin bölgesi Genişlik Komşu bantların yarı genişliklerinin toplamı karşılık gelen atom seviyeleri arasındaki mesafeden küçükse izin verilen bantlar ayrılır. yasak bölge. Yarı genişliklerin toplamı seviyeler arasındaki mesafeyi aşarsa, izin verilen bitişik bölgeler üst üste binerek daha geniş, izin verilen bir bölge oluşturur.
Enerji spektrumunun oluşumunun açıklanan resmi metal, yarı iletken ve dielektrik kristallerine uygulanabilir. Belirli bir kristalin hangi türe ait olacağı elektron sayısına göre belirlenir Z bir atomda.
Eğer Z o zaman çift sayıdır Z/2 izin verilen en düşük bölgeler tamamen doldurulacak, geri kalanı boş olacaktır. "Dolu bölge" terimi, kristalin tam olarak sahip olduğu anlamında anlaşılmalıdır. N Belirli bir izin verilen banda ait enerjilere sahip elektronlar. En üstteki dolu bant değerlik bandı, sonraki boş bant ise iletim bandı olarak adlandırılır. Bu tür bant dolgulu kristallere dielektrik denir.
Pirinç. 2.İki yarı iletkenin sınırındaki enerji bantları - heteroyapı. E c Ve AB- İletim bandı ve değerlik bandının sınırları, Örneğin- bant aralığı genişliği. Daha az enerjiye sahip elektron E c 2 (kırmızıyla gösterilen seviye) yalnızca sınırın sağında olabilir
Dar aralıklı bir yarı iletkende hareket eden ve daha az enerjiye sahip elektronlar için e c 2, sınır potansiyel bir bariyer rolünü oynayacaktır. İki heteroeklem, bir elektronun her iki taraftaki hareketini sınırlandırır ve olduğu gibi bir potansiyel kuyusu oluşturur.
Bu şekilde daha geniş bant aralığına sahip iki malzeme katmanı arasına dar bant aralığına sahip ince bir yarı iletken katman yerleştirilerek kuantum kuyuları oluşturulur. Sonuç olarak elektron bir yönde kilitlenir ve bu da enine hareket enerjisinin kuantizasyonuna yol açar.
Aynı zamanda diğer iki yönde de elektronların hareketi serbest olacaktır, dolayısıyla kuantum kuyusundaki elektron gazının iki boyutlu hale geldiğini söyleyebiliriz.
Aynı şekilde, iki dar bant aralıklı yarı iletken arasına geniş bant aralıklı bir yarı iletkenden ince bir tabaka yerleştirilerek kuantum bariyeri içeren bir yapı hazırlanabilir.
Bu tür yapıların üretimi için birçok ileri teknolojik süreç geliştirilmiştir ancak kuantum yapıların hazırlanmasında en iyi sonuçlar bu yöntem kullanılarak elde edilmiştir. Moleküler kiriş epitaksisi.
Bu yöntemi kullanarak ince bir yarı iletken katman oluşturmak için, bir atom veya molekül akışını dikkatlice temizlenmiş bir alt tabakaya yönlendirmeniz gerekir. Bir maddenin ayrı ısıtılmış kaynaklardan buharlaştırılmasıyla elde edilen birkaç atom akışı aynı anda substrat üzerine uçar.
Kirlenmeyi önlemek için yapı yüksek vakumda büyütülür. Tüm süreç bilgisayar kontrollüdür ve büyütülen katmanın kimyasal bileşimi ve kristal yapısı, büyüme süreci boyunca kontrol edilir.
Moleküler ışın epitaksi yöntemi, yalnızca birkaç kafes periyodu kalınlığında (bir kafes periyodu yaklaşık 2'dir) mükemmel tek kristal katmanların büyütülmesini mümkün kılar.
Kimyasal bileşimleri farklı olan iki bitişik katmanın kafes periyotlarının hemen hemen aynı olması son derece önemlidir. Daha sonra katmanlar birbirini tam olarak takip edecek ve büyüyen yapının kristal kafesi kusur içermeyecektir.
Moleküler ışın epitaksi yöntemini kullanarak, iki bitişik katman arasında çok keskin (tek katmana kadar hassas) bir sınır elde etmek mümkündür ve yüzey atomik seviyede pürüzsüzdür.
Kuantum yapıları çeşitli malzemelerden büyütülebilir, ancak kuantum kuyularını büyütmek için en başarılı çift, bazı galyum atomlarının yerini alüminyum atomlarının aldığı yarı iletken GaAs - galyum arsenit ve Al x Ga 1-x As katı çözeltisidir. Büyüklük X galyum atomlarının yerini alüminyum atomlarının aldığı fraksiyondur; genellikle 0,15 ila 0,35 arasında değişir. Galyum arsenitteki bant aralığı 1,5 eV'dir ve Al x Ga 1-x As katı çözeltisinde artan oranda artar. X. Evet ne zaman X= 1, yani AlAs bileşiğinde bant aralığı 2,2 eV'dir.
Bir kuantum kuyusunu büyütmek için, büyüme sırasında büyüyen katmana uçan atomların kimyasal bileşimini değiştirmek gerekir.
Öncelikle geniş bant aralıklı bir yarı iletken katman, yani Al x Ga 1-x As, ardından dar aralıklı bir GaAs malzeme katmanı ve son olarak yine bir Al x Ga 1-x As katmanını büyütmeniz gerekir.
Bu şekilde iyi hazırlanmış bir kuantumun enerji diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 3. Kuyunun sınırlı bir derinliği vardır (elektron voltun onda birkaçı). Yalnızca iki ayrı seviye içerir ve kuyu sınırındaki dalga fonksiyonları kaybolmaz. Bu, elektronun kuyunun dışında, toplam enerjinin potansiyelden daha az olduğu bölgede de tespit edilebileceği anlamına gelir. Elbette klasik fizikte bu olamaz ama kuantum fiziğinde mümkündür.
Pirinç. 3. Kuantum, daha geniş bant aralığına sahip iki yarı iletken arasına sıkıştırılmış, dar bant aralığına sahip bir yarı iletken tabakasında iyi biçimlendirilmiştir
Teknoloji uzmanları kuantum noktaları ve iplikler üretmenin çeşitli yollarını geliştirdiler. Bu yapılar, örneğin iki boyutlu bir elektron gazının bulunduğu iki yarı iletken arasındaki arayüzde oluşturulabilir.
Bu, elektronların bir veya iki yönde hareketini kısıtlayan ek bariyerler eklenerek yapılabilir.
Yarı iletken alt tabaka üzerinde oluşturulan V şeklindeki oluğun tabanında kuantum telleri oluşturulur. Bu oluğun tabanında daha küçük bant aralığına sahip bir yarı iletken biriktirilirse, bu yarı iletkenin elektronları iki yönde kilitlenecektir.
İncirde. Şekil 4, galyum arsenit ile alüminyum galyum arsenit arasındaki arayüzde oluşturulan kuantum noktalarını göstermektedir. Büyüme süreci sırasında AlGaAs yarı iletkenine ilave safsızlık atomları eklendi. Bu atomlardan gelen elektronlar GaAs yarı iletkenine yani daha düşük enerjili bir bölgeye gider. Ancak fazla ileri gidemezler çünkü bıraktıkları ve pozitif yük alan safsızlık atomları tarafından çekilirler. Hemen hemen tüm elektronlar GaAs tarafındaki heteroarayüzde yoğunlaşır ve iki boyutlu bir gaz oluşturur. Kuantum noktaları oluşturma süreci, AlGaAs yüzeyine her biri daire şeklinde olan bir dizi maskenin yerleştirilmesiyle başlıyor. Bundan sonra, AlGaAs katmanının tamamının ve kısmen GaAs katmanının kaldırıldığı derin aşındırma gerçekleştirilir (Şekil 4'te).
Pirinç. 4.İki yarı iletkenin arayüzünde iki boyutlu bir elektron gazında oluşan kuantum noktaları
Sonuç olarak, elektronlar kendilerini ortaya çıkan silindirlerde kilitli bulurlar (Şekil 4'te elektronların bulunduğu alan kırmızı renktedir). Silindirlerin çapları 500 nm mertebesindedir.
Kuantum noktasında hareket üç yönde sınırlıdır ve enerji spektrumu tıpkı bir atomda olduğu gibi tamamen ayrıktır. Bu nedenle kuantum noktalarına yapay atomlar da denir, ancak bu tür noktaların her biri binlerce hatta yüzbinlerce gerçek atomdan oluşur.
Kuantum noktalarının boyutları (kuantum kutularından da bahsedebiliriz) birkaç nanometre mertebesindedir. Gerçek bir atom gibi, kuantum noktası da bir veya daha fazla serbest elektron içerebilir. Bir elektron varsa yapay bir hidrojen atomu gibidir, iki elektron varsa bir helyum atomudur vb.
Kuantum noktası- bir iletkenin veya yarı iletkenin, üç uzamsal boyutun tamamıyla sınırlı olan ve iletim elektronları içeren bir parçası. Kuantum etkilerinin önemli olabilmesi için noktanın çok küçük olması gerekir. Bu, elektronun kinetik enerjisinin 
Momentumunun belirsizliği nedeniyle, diğer tüm enerji ölçeklerinden belirgin şekilde daha büyük olacaktır: her şeyden önce, enerji birimleriyle ifade edilen sıcaklıktan daha büyük olacaktır ( D- karakteristik nokta boyutu, M- bir elektronun bir noktadaki etkin kütlesi).
Kuantum noktası Yeterince küçük herhangi bir metal veya yarı iletken parçası hizmet edebilir. Tarihsel olarak, ilk kuantum noktaları muhtemelen kadmiyum selenit CdSe'nin mikro kristalleriydi. Böyle bir mikrokristaldeki bir elektron, üç boyutlu bir potansiyel potansiyel kuyusunda bulunan bir elektron gibi hisseder; aralarında karakteristik mesafe bulunan birçok sabit enerji seviyesine sahiptir. 
(Enerji seviyelerinin tam ifadesi noktanın şekline bağlıdır). Bir atomun enerji seviyeleri arasındaki geçişe benzer şekilde, bir kuantum noktası enerji seviyeleri arasında geçiş yaptığında bir foton yayılabilir. Bir elektronu yüksek bir enerji seviyesine fırlatmak ve daha düşük seviyeler arasındaki geçişten radyasyon (lüminesans) almak da mümkündür. Üstelik gerçek atomlardan farklı olarak geçiş frekansları, kristalin boyutları değiştirilerek kolaylıkla kontrol edilebilir. Aslında kadmiyum selenit kristallerinin kristalin boyutuna göre belirlenen bir lüminesans frekansıyla lüminesansının gözlemlenmesi, kuantum noktalarının ilk gözlemi olarak hizmet etti.
Şu anda birçok deney, iki boyutlu bir elektron gazında oluşan kuantum noktalarına ayrılmıştır. İki boyutlu bir elektron gazında, elektronların düzleme dik hareketi zaten sınırlıdır ve düzlemdeki bir bölge, heteroyapının üstüne yerleştirilen geçit metal elektrotları kullanılarak izole edilebilir. İki boyutlu bir elektron gazındaki kuantum noktaları, tünel temaslarıyla iki boyutlu gazın diğer bölgelerine bağlanabilir ve kuantum noktası boyunca iletim incelenebilir. Böyle bir sistemde Coulomb ablukası olgusu gözlenmektedir.
Kuantum noktaları PbTe katmanında PbSe
Pirinç. 1a Silikon bazlı germanyum kuantum noktası Si 001 (elektron tarama mikroskobu kullanılarak çekilmiş fotoğraf) (HP araştırma grubundan çizim)
Pirinç. 1b Kuantum noktası olarak yarı iletken konik fotonik kanal
Kuantum noktaları tarafından yakalanan elektronlar, "yapay atom"un çekirdeği olmasa bile normal bir atomdaymış gibi davranır. Hangi atomun böyle bir elektron kümesini temsil ettiği, kuantum noktasındaki elektron sayısına bağlıdır.
Pirinç. Bir nanokristal kuantum noktasının boyutları
Kuantum noktaları oluşturmak için bir yarı iletkenin yüzeyine basitçe bir desen çizmenin ve dağlamanın yanı sıra, büyüme süreci sırasında küçük adalar oluşturmak için malzemenin doğal özelliğini de kullanabilirsiniz. Bu tür adalar, örneğin büyüyen bir kristalin katmanın yüzeyinde kendiliğinden oluşabilir. İlk bakışta çok basit görünen kuantum kuyularını, iplikleri ve noktaları hazırlamak için başka teknolojiler de var.
Fiziksel temeller ve
Ve elektronik medya teknolojisi
Fiziksel Temeller
E.N. VİGDOROVİÇ
öğretici
"Fiziksel Temeller"
MGUPI 2008
UDC621.382 Akademik Konsey tarafından onaylandı
öğretim yardımı olarak
elektronik medya teknolojisi
öğretici
M.Ed. MGAPI, 2008
Tarafından düzenlendi
prof. Ryzhikova I.V.
Ders kitabı, elektronik araçların özelliklerinin oluşma süreçlerinin fiziksel temelleri hakkında kısa materyal içermektedir.
Kılavuz öğretmenlere, mühendislere, teknik çalışanlara ve çeşitli uzmanlık alanlarındaki öğrencilere yöneliktir.
______________________________
@ Moskova Devlet Enstrüman Mühendisliği ve Bilişim Akademisi, 2005
1. YÜK TAŞIYICILARIN ENERJİ SPEKTRUMU
Karşı karşıya olduğumuz görev, kristal katı içindeki yüklü parçacıkların özelliklerini ve davranışlarını dikkate almaktan ibarettir.
Atom fiziği ve kuantum mekaniği derslerinden, izole edilmiş tek bir atomdaki elektronların davranışı bilinmektedir. Bu durumda elektronların herhangi bir enerji değeri olmayabilir. E, ama sadece bazıları. Elektronların enerji spektrumu, Şekil 2'de gösterildiği gibi ayrık hale gelir. 1.1, V. Bir enerji seviyesinden diğerine geçiş, enerjinin emilmesi veya serbest bırakılmasıyla ilişkilidir.
Pirinç. 1.1. Kristallerde enerji bantlarının oluşum şeması:
a, tek boyutlu bir kristaldeki atomların düzenidir; b - kristal içi potansiyel alan dağılımı; V- izole edilmiş bir atomdaki enerji seviyelerinin düzenlenmesi; d - enerji bölgelerinin konumu
Atomların birbirine yaklaştırılması, yani katı fazda yoğunlaşması durumunda atomlardaki elektronik enerji seviyelerinin nasıl değişeceği sorusu ortaya çıkıyor. Bunun basitleştirilmiş bir resmi tek boyutlu kristal Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.1, A.
Bu soruya niteliksel bir cevap almak zor değil. Tek bir atomda hangi kuvvetlerin etki ettiğini ve bir kristalde hangi kuvvetlerin etki ettiğini düşünelim. Yalıtılmış bir atomda, tüm atomun çekirdeğinin bir çekim kuvveti vardır. onların elektronlar ve elektronlar arasındaki itme kuvveti. Bir kristalde atomlar arasındaki yakın mesafe nedeniyle yeni kuvvetler ortaya çıkar. Bunlar çekirdekler arasındaki, farklı atomlara ait elektronlar arasındaki ve tüm çekirdekler ile tüm elektronlar arasındaki etkileşim kuvvetleridir. Bu ek kuvvetlerin etkisi altında, kristalin her bir atomundaki elektronların enerji düzeylerinin bir şekilde değişmesi gerekir. Enerji ölçeğinde bazı seviyeler azalacak, bazıları ise artacaktır. Bu ilk sonuç atomları birbirine yaklaştırıyor. İkinci sonuç Bunun nedeni, atomların elektron kabuklarının, özellikle de dıştakilerin yalnızca birbirleriyle temasa geçebilmesi değil, hatta üst üste gelebilmesidir. Bunun sonucunda herhangi bir atomun bir düzeyindeki elektron, enerji harcamadan komşu atomun bir düzeyine geçebilir ve böylece bir atomdan diğerine serbestçe hareket edebilir. Bu bağlamda, belirli bir elektronun belirli bir atoma ait olduğu iddia edilemez; aksine, böyle bir durumda elektron aynı anda kristal kafesin tüm atomlarına aittir. Başka bir deyişle ne olur? sosyalleşme elektronlar. Elbette tam sosyalleşme yalnızca dış elektron kabuklarında bulunan elektronlarla gerçekleşir. Elektron kabuğu çekirdeğe ne kadar yakınsa, çekirdek elektronu bu seviyede o kadar güçlü tutar ve elektronların bir atomdan diğerine hareketini engeller.
Atom yaklaşımının her iki sonucunun birleşimi, bireysel seviyeler yerine tüm enerji bölgelerinin enerji ölçeğinde görünmesine yol açar (Şekil 1.1, d), yani bir elektronun konumlandırılırken sahip olabileceği enerji değerlerinin bölgeleri sağlam bir gövde içinde. Bant genişliği elektron ile çekirdek arasındaki bağın derecesine bağlı olmalıdır. Bu bağlantı ne kadar büyük olursa, seviye ayrımı o kadar az olur, yani bölge o kadar dar olur. İzole edilmiş bir atom, bir elektronun sahip olamayacağı yasak enerji değerlerine sahiptir. Katılarda da benzer bir şeyin olmasını beklemek doğaldır. Bölgeler arasında (artık seviye yok) yasak alanlar olabilir. Tek bir atomda seviyeler arasındaki mesafeler küçükse, ortaya çıkan enerji bantlarının örtüşmesi nedeniyle kristaldeki yasak bölgenin ortadan kalkabilmesi karakteristiktir.
Böylece, Bir kristaldeki elektronların enerji spektrumu bir bant yapısına sahiptir . . Bir kristaldeki elektronların spektrumu problemine Schrödinger denklemi kullanılarak nicel bir çözüm, aynı zamanda bir kristaldeki elektronların enerji spektrumunun bir bant yapısına sahip olduğu sonucuna da yol açar. Sezgisel olarak, farklı kristalli maddelerin özelliklerindeki farkın, elektron enerji spektrumunun farklı yapısıyla (izin verilen ve yasak bantların farklı genişlikleri) açıkça ilişkili olduğu hayal edilebilir.
Kuantum mekaniği, maddenin bir takım özelliklerini açıklamak için, elektron dahil temel parçacıkları hem parçacık hem de bir tür dalga olarak ele alır. Yani bir elektron aynı anda enerji değerleri ile karakterize edilebilir. e ve momentum p'nin yanı sıra dalga boyu λ, frekans ν ve dalga vektörü k = p/h. burada, E=hν Ve p = h/λ. Serbest elektronların hareketi, de Broglie dalgası adı verilen ve sabit genliğe sahip bir düzlem dalga ile tanımlanabilir.
Katı hal teorisinin temel problemlerinden biri, bir kristaldeki elektronların enerji spektrumunu ve durağan durumlarını belirlemektir. Bu spektrumun niteliksel bir fikri, yaklaşık yöntemler ve basitleştirmeler kullanılarak elde edilebilir. İlk olarak, çekirdek alt sisteminin pratik olarak hareketsiz olduğuna (elektronların hızlı hareketine göre) - adyabatik yaklaşıma - inanılmaktadır. İkinci olarak, her elektronun diğer elektronlar tarafından oluşturulan ve belirli bir elektronun anlık konumundan bağımsız bir alanda hareket ettiği varsayılır; bu, her elektronun hareketinin diğerlerinden bağımsız olarak değerlendirilmesine ve tek elektronlu Schrödinger tarafından tanımlanmasına olanak tanır. denklem.
Bu yaklaşıma denir tek elektron.
Sıkı bağlı elektronların yaklaşımı. Yalıtılmış bir atomda elektronlar yalnızca yasak enerji aralıklarıyla ayrılmış ayrık enerji seviyelerini işgal edebilir. Bu durumda elektronlar en düşük seviyeleri işgal etme eğilimindedir, ancak her seviyede ikiden fazla elektronun olmaması şartıyla (Pauli prensibi).
Bir kristalin oluşumu sırasında, N sayıda özdeş atomun bir araya gelmesi nedeniyle aralarında etkileşim kuvvetleri ortaya çıkar: çekirdekler arasında ve komşu atomların elektronları arasında itme kuvvetleri ve tüm çekirdekler ve tüm elektronlar arasında çekme kuvvetleri.
Güçlü bağlı elektron yaklaşımı, genelleştirilmiş elektronların atomlarla yeterince güçlü bir bağı koruduğu ve potansiyel enerjilerinin aşağıdaki biçimde temsil edilebileceği fikrine dayanmaktadır.
, (4.20)
Nerede Ua– izole edilmiş bir atomdaki bir elektronun potansiyel enerjisi. Bir kristal için bu, kafes parametresine eşit bir periyoda sahip periyodik bir fonksiyondur, çünkü elektronun enerjisi bir atomdan diğerine geçerken tekrarlanır; 
komşu atomların bu enerji üzerindeki etkisini dikkate alan bir düzeltme terimidir.
(4.20)'de düzeltme terimini ihmal edersek 
,onlar. sözde düşünün sıfır yaklaşım o zaman kristaldeki elektronun dalga fonksiyonu ve enerjisi olarak dalga fonksiyonunu almalıyız. 
ve izole edilmiş bir atomdaki bir elektronun enerjisi E a: 
,
.
Bu durumda bir kristal ile tek bir atom arasındaki fark aşağıdaki gibidir. İzole edilmiş bir atomda bu enerji seviyesi Ea benzersiz iken, N atomdan oluşan bir kristalde N kez tekrarlanır. Başka bir deyişle, bir kristaldeki izole edilmiş bir atomun her bir seviyesi, N-çoğul dejenere.
Şimdi düzeltme terimini dikkate alalım 
potansiyel enerjide (4.20). Yalıtılmış atomlar birbirine yaklaşıp bir kafes oluşturdukça, her atom kendisini etkileşime girdiği komşularının giderek artan alanında bulur.
Bu kuvvetlerin alanında atomik seviyelerin yozlaşması ortadan kalkar. Bu yüzden her enerji seviyesi, izole edilmiş bir atomda dejenere değildir, N yakınına bölünür Bir enerji bölgesi oluşturan, birbirinden uzakta bulunan alt seviyeler. Bu bölge, parabolik bir yasaya göre bölgenin kenarlarından uzaklaştıkça yoğunluğu artan ve bölgenin ortasında maksimuma ulaşan, çok yakın aralıklı enerji seviyelerinden oluşur. Atomlar yaklaştıkça önce en yüksek enerji seviyeleri, daha sonra atomlar yaklaştıkça daha düşük enerji seviyeleri bölünür.
Enerji bölgelerinin oluşum mekanizması Şekil 4.3'te gösterilmektedir.
Pirinç. 4.3. Bir kristalde enerji bantlarının oluşum şeması
Enerji seviyesi bir atomda olsaydı (2 ben+1) –çoklu dejenerasyon, o zaman karşılık gelen enerji bandı aşağıdakilerden oluşacaktır: N(2 ben+1) alt seviyeler. Böylece seviye s bölgeyi verir S N alt seviyeden oluşan ve barındırabilen 2 N elektronlar: p düzeyi aşağıdakilerden oluşan bir p bandını verir: 3 N alt seviyeler ve 6N elektron vb. tutabilme kapasitesine sahiptir.
Hacmi 1 m3 olan bir kristal yaklaşık 1028 atom içerdiğinden ve enerji bandının genişliği yaklaşık 1 eV olduğundan, banttaki enerji seviyeleri arasındaki mesafe yaklaşık 10-28 eV'dir. Bu nedenle, ihmal edilebilecek kadar küçük bir enerji etkisi, elektronların bant içinde bir seviyeden diğerine geçişine neden olmak için yeterlidir; Enerji bantlarının yarı sürekli olduğunu varsayabiliriz.
Kafes alanının atomun farklı seviyeleri üzerindeki etkisi aynı değildir. Çekirdekle güçlü bir şekilde etkileşime giren iç elektronların seviyeleri, ihmal edilebilecek kadar zayıf bir bölünme yaşar: giderek daha fazla dış elektrona doğru ilerledikçe, bunların çekirdekle etkileşimlerinin enerjisi azalır ve dış alanın etkisi azalır. artışlar. Alanın etkisi altındaki en güçlü değişiklik, çekirdekle nispeten zayıf bir şekilde ilişkili olan dış değerlik elektronlarının seviyelerinde yaşanır ve enerji bölgeleri bu elektronların enerji seviyelerinden oluşan, en geniş olduğu ortaya çıktı. Bu, değerlik elektronlarının elektron bulutlarının doğasıyla kanıtlanır: o kadar üst üste gelirler ki sonuçta neredeyse eşit yoğunlukta bir bulut oluştururlar. Bu, kafesteki tam sosyalleşme durumuna karşılık gelir. Bu tür sosyalleşmiş elektronlara genellikle denir. özgür ve bunların bütünlüğü – elektronik gaz.
Çekirdeğe güçlü bir şekilde bağlı olan iç elektronlar, komşu atomlardan yalnızca hafif bir tedirginlik yaşarlar, bunun sonucunda kristaldeki enerji seviyeleri neredeyse izole edilmiş atomlardaki kadar dar kalır.
Böylece, bir kristalde izole edilmiş bir atomun her enerji seviyesi, izin verilen enerji bölgesi: Seviye 1 S - 1. Bölge S, Seviye 2 R– bölge 2 R vesaire. İzin verilen enerji bölgeleri yasak enerji alanlarıyla ayrılır – yasak bölgeler E G. Bir atomdaki elektron enerjisi arttıkça izin verilen bantların genişliği artarken yasak bantların genişliği azalır.
Çoğu durumda izin verilen alanlar arasında çakışma olabilir. İzole edilmiş atomlardaki enerji seviyeleri gibi, enerji bantları da tamamen elektronlarla dolu, kısmen dolu veya boş olabilir. Her şey izole edilmiş atomların elektronik kabuklarının yapısına ve kristaldeki atomlar arası mesafelere bağlıdır. Kısmen veya tamamen elektronlarla dolu olan en üst bölgeye denir. değerlik bandı ve ona en yakın doldurulmamış bölge iletim bölgesi.
Serbest elektronların yaklaşımı. Aşağıda açıklanan şekilde tamamen serbest bir elektronun X ekseni boyunca hareketi durumunu ele alalım. Schrödenger denklemi:
, (4.21)
, (4.22)
Serbest bir elektronun kinetik enerjisi olduğundan.
Formül (4.22) şunu temsil eder: Serbest elektronlar için dağılım ilişkisi E(p) bağımlılığını ifade eder. Aşağıdaki gibi dönüştürülebilir. Louis de Broglie'nin formülüne göre,
, (4.23)
burada λ elektronun dalga boyudur ve
. (4.24)
Elektron dalgasının yayılma yönü ile çakışan yönde ve 2π/λ büyüklüğüne eşit olan k vektörüne denir. Elektronun dalga vektörü.(4.23)'teki p'yi (4.22)'ye değiştirirsek şunu elde ederiz:
. (4.25)
(4.22) ve (4.24)'ten, serbest elektronlar için dağılım yasasının doğası gereği ikinci dereceden olduğu ve tek boyutlu elektron hareketi için Şekil 4.4'te gösterilen kare parabol ile ifade edildiği açıktır.
Denklemin (4.21) çözümü düzlemsel ilerleyen bir dalgadır:
, (4.26)
Nerede A– dalga genliği.
Şekil 4.4. Serbest elektron için dağılım yasası
Dalga fonksiyonunun kare modülü, bilindiği gibi, uzayın belirli bir bölgesinde bir elektronu tespit etme olasılığıyla orantılıdır. (4.26)'dan görülebileceği gibi, serbest bir elektron için bu olasılık elektron koordinatına bağlı değildir, çünkü
Bu, serbest bir elektron için uzaydaki tüm noktaların eşdeğer olduğu ve onu herhangi birinde bulma olasılığının aynı olduğu anlamına gelir.
Gevşek bağlı elektronların yaklaşımı. Düzenli olarak yerleştirilmiş kafes iyonları tarafından oluşturulan bir kristalin periyodik alanındaki elektron hareketi durumuna dönelim (Şekil 4.5).
Şekil 4.5 Doğru konumlanmış iyonların bulunduğu bir alanda hareket ederken bir elektronu tespit etme olasılığı
Bu yaklaşımda, bir elektronun potansiyel enerjisi şu şekilde temsil edilir:
;
, (4.28)
Nerede sen 0 (X) - pozitif iyonlar alanındaki bir elektronun potansiyel enerjisi, bu alanın diğer tüm elektronların alanı tarafından telafi edildiği varsayılarak;
sen 0 (X) - kafes sabitine eşit bir periyoda sahip periyodik fonksiyon;
- iyon alanının elektronlar tarafından eksik yerel telafisini hesaba katar. Kristalin belirli bir konumunda bir elektron bulma olasılığı, x koordinatının periyodik bir fonksiyonu olmalıdır, çünkü konumlar birbirinden kafes sabitinin bir katı kadar farklılık gösterir. A(örneğin, hükümler A, A' Ve İÇİNDEŞekil 4.5'te) bir elektron için eşit derecede olasıdır. Yalnızca aynı dönemdeki pozisyonlar farklı olacaktır A(örneğin, ACA dönemi içinde). Bu demektir dalga fonksiyonu genliği 
Periyodik bir alanda hareket eden elektron, serbest bir elektron gibi sabit kalmaz, periyodik olarak değişir veya dedikleri gibi, kafes periyodu a'ya eşit bir periyotla modüle olur. Bu genliği u(x) ile gösterelim. O halde periyodik bir alanda hareket eden bir elektronun dalga fonksiyonu x ekseni yönündeki kristal aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:
, (4.29)
bu durumda u(x+na)=u(x), burada n herhangi bir tamsayıdır. İlişki (4.29) denir Bloch işlevi. Bu fonksiyonun spesifik formu, Schrödinger denkleminde (4.9) yer alan U(x) potansiyel enerjisinin türüne göre belirlenir.
Buna göre kristalin periyodik alanında hareket eden elektronların dağılım ilişkisinin de serbest elektronlara göre değişmesi gerekir. İlk olarak bu tür elektronların enerji spektrumu bir bant karakteri kazanır. Her bölgenin içinde elektron enerjisinin dalga vektörünün periyodik bir fonksiyonu olduğu ortaya çıkar. k ve parametreli tek boyutlu bir kristal (atomik zincir) için A aşağıdaki ilişki ile ifade edilebilir:
Nerede e A– bölgenin oluştuğu atom seviyesinin enerjisi; İLE– komşu atomların alanının etkisi altında bu seviyenin değişmesi; A- Lafta değişim integrali Dalga fonksiyonlarının örtüşmesi nedeniyle kristalin elektronları için ortaya çıkan atomdan atoma geçiş olasılığı dikkate alınarak. Dalga fonksiyonları arasındaki örtüşme ne kadar büyük olursa, yani. Komşu atomların elektronlarını değiştirebilme frekansı o kadar büyük olur. S-durumları için A S <0 , p-durumları için A P >0 bu nedenle (4.30) ilişkisinin s ve p bölgeleri için ayrı ayrı yazılması tavsiye edilir:
r bölgeleri için
Nerede 
;
;
,
- bu durumlar için değişim integrallerinin mutlak değeri.
İncirde. 4.6. dağılım eğrileri gösterilmiştir e(k) s ve p bölgeleri için (4.31) ve (4.32) denklemlerini kullanarak inşaat.
S-durumları için E s k=0
minimum değeri alır 
. k arttıkça azalır koska Ve 
büyüyerek maksimum değerine ulaşır 
en 
.
Şekil 4.6. Bağımlılık e(k) verilen bölgelerin temsilinde
Aynı şekilde değişir e S (k) değiştiğinde k itibaren 0 önce - π/a. İzin verilen s bölgesinin genişliği e S dk.önce e S Maksimum, eşittir
P-durumları için 
bulunduğu yer 
, A 
k=0'da. P bölgesi genişliği
hala Ar değişim integralinin değeri tarafından belirlenmektedir. Kural olarak, atomik seviye ne kadar yüksek olursa, kristaldeki bu seviyedeki elektronların dalga fonksiyonları o kadar fazla örtüşür, değişim integrali o kadar büyük olur ve bu seviyeden oluşan enerji bandı o kadar geniş olur. Bu nedenle yüksek atom seviyelerinden dar bant aralıklarıyla ayrılmış geniş enerji bantları oluşur (bkz. Şekil 4.3).
Dalga vektör aralıkları k, içindeki enerji e(k)
Periyodik bir k fonksiyonu olarak elektron, değişiminin tam bir döngüsünü yaşar. Brillouin bölgeleri. Tek boyutlu bir kristal (atom zinciri) için, ilk Brillouin bölgesi şu şekilde uzanır: 
önce 
ve bir uzunluğu var 
(Şekil 4.6), iki bölüm 
önce 
ve itibaren 
önce 
ikinci Brillouin bölgesini vb. temsil eder. Değerlerle 
, Nerede 
enerji bir kesintiye uğrar ve E g genişliğinde bant aralıklarının oluşmasına yol açar.
Her enerji bölgesindeki olası tüm enerji değerleri değiştirilerek elde edilebilir k birinci Brillouin bölgesi içerisinde olduğundan bağımlılık e(k) genellikle yalnızca ilk bölge için inşa edilir. Diğer tüm değerler e bu bölgeye getirilebilir. Bu şekilde tasvir etme e(k) isminde verilen bölgelerin diyagramı(Şekil 4.6). Genişletilmiş bölge şeması adı verilen başka bir yöntem de mümkündür (Şekil 4.7).
Burada farklı enerji bölgeleri bulunur k-farklı Brillouin bölgelerindeki boşluk.
Şekil 4.7. Genişletilmiş bant diyagramında enerji bantlarının temsili
İncirde. 4.7 aynı zamanda parabolik bağımlılığı da göstermektedir e(k)
serbest bir elektron için. Dağılım eğrisinin uç noktalarına yakın, yani. yakın noktalar k=0
Ve 
(birinci Brillouin bölgesinin ortası ve sınırı), 
göre sıralı olarak düzenlenebilir ka
(k ekstremum Brillouin bölgesinin ortasındaysa 0'dan ve 
(eğer ekstremum Brillouin bölgesinin sınırındaysa) ve kendimizi genişlemenin ilk iki terimiyle sınırlayalım:
Bunu (4.31) ve (4.32)'ye koyarsak şunu elde ederiz:
E(k) dağılım eğrisinin minimumuna denir enerji bölgesinin alt kısmı, maksimum – tepe veya tavan bölgeler. Bu nedenle elde edilen ilişkiler aşağıdaki daha genel formda yeniden yazılabilir:
Bölgenin alt kısmı için;
Tavan alanı için.
Böylece enerji bandının alt ve üst kısmında elektron enerjisi, yukarıdaki şekilde hesaplanan dalga vektörünün karesi ve bandın genişliğini belirleyen değişim integrali ile orantılıdır. Şekil 4.6'da, 4.35 ve 4.36 denklemlerine karşılık gelen paraboller noktalı çizgiyle gösterilmiştir.
Brillouin bölgelerinin sınırlarındaki elektronun enerji spektrumundaki süreksizliklerin fiziksel doğasını ele alalım. Hadi ifade edelim kλ elektron dalga boyundan geçerek fonksiyonun süreksizliğinin koşulunu yazın e(k):
veya 
. (4.37)
Bu, atom düzlemlerine dik bir kafes üzerindeki elektron dalgası olayı için iyi bilinen Wulff-Bragg koşuludur. Sonuç olarak Bragg yansıma koşulu (4.37) sağlandığında kristaldeki bir elektronun enerji spektrumunda süreksizlikler meydana gelir. Bu dalga boyuna sahip elektronlar yansımaya uğrar ve kristal içerisinde yayılamaz.
Gerçek kristaller için E(k) bağımlılığı kural olarak (4.30) formülünde açıklanandan çok daha karmaşıktır.
İncirde. 4.8. Örnek olarak, silikonun iletim bandını (eğri 1) ve valans bandını (eğri 2) sınırlayan dağılım eğrileri gösterilmektedir.
Pirinç. 4.8. Silikonun dağılım eğrileri ve bant diyagramı
