Düz prizmanın yan yüzeyi. Düzenli bir dörtgen prizmanın hacmi ve yüzey alanı
Prizmanın yan yüzey alanı. Merhaba! Bu yayında stereometrideki bir grup problemi analiz edeceğiz. Bir prizma ve bir silindir gibi cisimlerin bir kombinasyonunu ele alalım. Açık şu an Bu makale, stereometride görev türlerinin dikkate alınmasıyla ilgili tüm makale dizisini tamamlamaktadır.
Görev bankasında yenileri görünürse, elbette gelecekte bloga eklemeler olacaktır. Ancak sınavın bir parçası olarak tüm sorunları kısa bir cevapla nasıl çözeceğinizi öğrenmeniz için zaten var olan şey oldukça yeterli. Gelecek yıllar için yeterli materyal olacak (matematik programı statiktir).
Sunulan görevler prizmanın alanının hesaplanmasını içerir. Aşağıda düz bir prizma (ve buna göre düz bir silindir) düşündüğümüzü not ediyorum.
Hiçbir formül bilmeden anlıyoruz ki yan yüzey prizmaların tümü yan yüzleridir. Düz prizmanın dikdörtgen yan yüzleri vardır.
Böyle bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, tüm yan yüzlerinin (yani dikdörtgenlerin) alanlarının toplamına eşittir. İçine bir silindirin yazılı olduğu normal bir prizmadan bahsediyorsak, bu prizmanın tüm yüzlerinin EŞİT dikdörtgenler olduğu açıktır.
Resmi olarak, düzenli bir prizmanın yan yüzey alanı şu şekilde yansıtılabilir:
27064. Taban yarıçapı ve yüksekliği 1'e eşit olan bir silindirin etrafında düzgün bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzey alanını bulun.
Bu prizmanın yan yüzeyi eşit alanlı dört dikdörtgenden oluşur. Yüzün yüksekliği 1, prizmanın tabanının kenarı 2'dir (bunlar silindirin iki yarıçapıdır), dolayısıyla yan yüzün alanı şuna eşittir:
Yan yüzey alanı:
73023. Düzenli düzgünün yan yüzey alanını bulun üçgen prizma, taban yarıçapı √0,12 ve yüksekliği 3 olan bir silindir etrafında tanımlanıyor.
Belirli bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, üç yan yüzün (dikdörtgenler) alanlarının toplamına eşittir. Yan yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik üçtür. Taban kenarının uzunluğunu bulalım. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):
İçinde yarıçapı √0,12 olan bir dairenin yazılı olduğu normal bir üçgenimiz var. AOC dik üçgeninden AC'yi bulabiliriz. Ve sonra AD (AD=2AC). Teğet tanımı gereği:
Bu, AD = 2AC = 1,2 anlamına gelir.Böylece yan yüzey alanı şuna eşittir:
27066. Taban yarıçapı √75 ve yüksekliği 1 olan bir silindirin çevrelediği düzgün altıgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.
Gerekli alan tüm yan yüzlerin alanlarının toplamına eşittir. Düzenli bir altıgen prizmanın yan yüzleri eşit dikdörtgenlere sahiptir.
Bir yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik biliniyor, 1'e eşit.
Taban kenarının uzunluğunu bulalım. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):
İçinde yarıçapı √75 olan bir dairenin yazılı olduğu düzgün bir altıgenimiz var.
Hadi düşünelim dik üçgen ASG. OB ayağını biliyoruz (bu, silindirin yarıçapıdır). AOB açısını da belirleyebiliriz, 300'e eşittir (AOC üçgeni eşkenardır, OB bir açıortaydır).
Bir dik üçgende teğetin tanımını kullanalım:
AC = 2AB, OB ortanca olduğundan yani AC'yi ikiye böler, yani AC = 10 olur.
Böylece yan yüzün alanı 1∙10=10 ve yan yüzeyin alanı:
76485. Taban yarıçapı 8√3 ve yüksekliği 6 olan bir silindirin içine yazılan düzgün üçgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.
Üç eşit boyutlu yüzün (dikdörtgenler) belirtilen prizmasının yan yüzeyinin alanı. Alanı bulmak için prizmanın tabanının kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir (yüksekliğini biliyoruz). İzdüşümü (üstten görünüm) dikkate alırsak, daire içine yazılmış düzenli bir üçgenimiz olur. Bu üçgenin kenarı yarıçap cinsinden şu şekilde ifade edilir:
Bu ilişkinin ayrıntıları. Yani eşit olacak
O zaman yan yüzün alanı: 24∙6=144 olur. Ve gerekli alan:
245354. Taban yarıçapı 2 olan bir silindirin çevresine düzgün bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzey alanı 48'dir. Silindirin yüksekliğini bulun.
“A Alın” video kursu ihtiyacınız olan tüm konuları içerir başarılı tamamlama Matematikte 60-65 puanlık Birleşik Devlet Sınavı. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematik. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.
Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.
Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.
Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans malzemesi, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi veya onunla bağlantı.
Sizden bilgilerinizi vermeniz istenebilir kişisel bilgi bizimle iletişime geçtiğinizde.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, yasal işlemlerde ve/veya kamuya açık talepler veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Tanım. Prizma tüm köşeleri iki paralel düzlemde bulunan bir çokyüzlüdür ve bu aynı iki düzlemde prizmanın iki yüzü bulunur, bunlar karşılık gelen paralel kenarlara sahip eşit çokgenlerdir ve bu düzlemlerde yer almayan tüm kenarlar paraleldir.
İki eşit yüze denir prizma üsleri(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Prizmanın diğer tüm yüzlerine denir yan yüzler(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Tüm yan yüzler oluşur prizmanın yan yüzeyi .
Prizmanın tüm yan yüzleri paralelkenardır .
Tabanlarda yer almayan kenarlara prizmanın yan kenarları denir ( AA 1, BB 1, CC 1, GG 1, EE 1).
Prizma diyagonal uçları bir prizmanın aynı yüzünde yer almayan iki köşesi olan bir segmenttir (MS 1).
Prizmanın tabanlarını birleştiren ve her iki tabana aynı anda dik olan doğru parçasının uzunluğuna ne ad verilir? prizma yüksekliği .
Tanım:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Önce çaprazlama sırasına göre bir tabanın köşeleri gösterilir ve ardından aynı sırayla diğerinin köşeleri gösterilir; her birinin uçları yan kaburga aynı harflerle gösterilir, yalnızca bir tabanda yer alan köşeler indekssiz harflerle, diğerinde ise indeksli olarak gösterilir)
Prizmanın adı, tabanındaki şekildeki açıların sayısıyla ilişkilidir, örneğin Şekil 1'de tabanda bir beşgen vardır, dolayısıyla prizmaya denir beşgen prizma. Ama çünkü böyle bir prizmanın 7 yüzü vardır, o zaman yediyüzlü(2 yüz - prizmanın tabanları, 5 yüz - paralelkenar, - yan yüzleri)
Düz prizmalar arasında özel bir tür öne çıkıyor: düzenli prizmalar.
Düz prizmaya denir doğru, tabanları düzgün çokgenler ise.
Paralel borulu
Paralel borulu tabanında bir paralelkenar (eğik bir paralelyüz) bulunan dörtgen bir prizmadır. Sağ paralel yüzlü- yan kenarları taban düzlemlerine dik olan bir paralel uçlu.Dikdörtgen paralel yüzlü- tabanı dikdörtgen olan sağ paralel yüzlü.
Özellikler ve teoremler:
Paralelkenarın bazı özellikleri paralelkenarın bilinen özelliklerine benzer.Eşit boyutlara sahip dikdörtgen paralelyüze denir. küp
.Küpün tüm yüzleri eşit karelerdir.Köşegenin karesi üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir. 
,
burada d karenin köşegenidir;
a karenin kenarıdır.
Bir prizma fikri şu şekilde verilir:
- çeşitli mimari yapılar;
- Çocuk oyuncakları;
- ambalaj kutuları;
- tasarımcı öğeleri vb.
Prizmanın toplam ve yan yüzeyinin alanı
Prizmanın toplam yüzey alanı tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır Yan yüzey alanı yan yüzlerinin alanlarının toplamı denir. Prizmanın tabanları eşit çokgenler olduğundan alanları da eşittir. Bu yüzdenS dolu = S tarafı + 2S ana,
Nerede S dolu- toplam yüzey alanı, S tarafı-yan yüzey alanı, S tabanı- üs alanı
Düz bir prizmanın yan yüzey alanı, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir..
S tarafı= P temel * h,
Nerede S tarafı-düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı,
P ana - düz bir prizmanın tabanının çevresi,
h, düz prizmanın yan kenara eşit yüksekliğidir.
Prizma hacmi
Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
İÇİNDE Okul müfredatı Bir stereometri kursunda, üç boyutlu şekillerin incelenmesi genellikle basit bir geometrik cisimle (bir prizmanın çokyüzlüsü) başlar. Tabanlarının rolü paralel düzlemlerde uzanan 2 eşit çokgen tarafından gerçekleştirilir. Özel bir durum, düzenli bir dörtgen prizmadır. Tabanları, kenarları dik olan, paralelkenar (veya prizma eğimli değilse dikdörtgen) şeklinde olan 2 özdeş normal dörtgendir.
Bir prizma neye benziyor?
Düzenli bir dörtgen prizma, tabanları 2 kare olan ve yan yüzleri dikdörtgenlerle temsil edilen bir altıgendir. Bunun başka bir adı geometrik şekil- düz paralel yüzlü.
Aşağıda dörtgen prizmayı gösteren bir çizim gösterilmektedir.
Resimde de görebilirsiniz temel elementler geometrik gövdeden oluşan. Bunlar şunları içerir:
Bazen geometri problemlerinde kesit kavramıyla karşılaşabilirsiniz. Tanım şu şekilde olacaktır: bir bölüm, bir kesme düzlemine ait hacimsel bir gövdenin tüm noktalarıdır. Bölüm dik olabilir (şeklin kenarlarıyla 90 derecelik bir açıyla kesişir). Dikdörtgenler prizması için köşegen kesit de dikkate alınır ( en yüksek miktar inşa edilebilecek bölümler - 2), tabanın 2 kenarından ve köşegeninden geçen.
Kesit, kesme düzlemi tabanlara veya yan yüzlere paralel olmayacak şekilde çizilirse sonuç kesik bir prizma olur.
İndirgenmiş prizmatik elemanları bulmak için şunu kullanın: farklı ilişkiler ve formüller. Bazıları planimetri dersinden bilinmektedir (örneğin, bir prizmanın tabanının alanını bulmak için karenin alan formülünü hatırlamak yeterlidir).
Yüzey alanı ve hacim
Formülü kullanarak bir prizmanın hacmini belirlemek için tabanının ve yüksekliğinin alanını bilmeniz gerekir:
V = Sbas h
Düzenli bir tetrahedral prizmanın tabanı bir kenarı olan bir kare olduğundan A, Formülü daha ayrıntılı biçimde yazabilirsiniz:
V = a²·h
Bir küpten bahsediyorsak - normal bir prizma Eşit uzunluk, genişlik ve yükseklik, hacim şu şekilde hesaplanır:
Bir prizmanın yan yüzey alanını nasıl bulacağınızı anlamak için onun gelişimini hayal etmeniz gerekir.
Çizimden yan yüzeyin 4 eşit dikdörtgenden oluştuğu görülmektedir. Alanı, tabanın çevresinin ve şeklin yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır:
S tarafı = Pozn h
Karenin çevresinin eşit olduğunu dikkate alırsak P = 4a, formül şu şekli alır:
S tarafı = 4a saat
Küp için:
Kenar = 4a²
Prizmanın toplam yüzey alanını hesaplamak için yan alana 2 taban alanı eklemeniz gerekir:
Tam = Yan Taraf + 2K Ana
Dörtgen düzenli bir prizmayla ilgili olarak formül şöyle görünür:
Toplam = 4a h + 2a²
Bir küpün yüzey alanı için:
Tam = 6a²
Hacmi veya yüzey alanını bilerek geometrik bir cismin bireysel elemanlarını hesaplayabilirsiniz.
Prizma elemanlarını bulma
Çoğu zaman hacmin verildiği veya yan yüzey alanının değerinin bilindiği, tabanın yan tarafının uzunluğunun veya yüksekliğinin belirlenmesinin gerekli olduğu problemler vardır. Bu gibi durumlarda formüller türetilebilir:
- taban yan uzunluğu: a = Skenar / 4h = √(V / h);
- yükseklik veya yan kaburga uzunluğu: h = Syan / 4a = V / a²;
- taban alanı: Sbas = V/h;
- yan yüz alanı: Taraf gr = Yan taraf / 4.
Çapraz bölümün ne kadar alana sahip olduğunu belirlemek için köşegenin uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. Bir kare için d = a√2.Öyleyse:
Sdiag = ah√2
Bir prizmanın köşegenini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:
dödülü = √(2a² + h²)
Verilen ilişkilerin nasıl uygulanacağını anlamak için birkaç basit görevi uygulayabilir ve çözebilirsiniz.
Çözümlü problem örnekleri
Matematikte devlet final sınavlarında bulunan bazı görevler.
1. Egzersiz.
Kum, düzenli dörtgen prizma şeklindeki bir kutuya dökülür. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir, aynı şekle sahip ancak tabanı iki kat daha uzun olan bir kaba taşırsanız kum seviyesi ne olur?
Aşağıdaki gibi gerekçelendirilmelidir. Birinci ve ikinci kaplardaki kum miktarı değişmedi yani içlerindeki hacim aynı. Tabanın uzunluğunu şu şekilde belirtebilirsiniz: A. Bu durumda ilk kutu için maddenin hacmi şöyle olacaktır:
V₁ = ha² = 10a²
İkinci kutu için tabanın uzunluğu 2a, ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Çünkü V₁ = V₂ ifadeleri eşitleyebiliriz:
10a² = 4ha²
Denklemin her iki tarafını da a² azaltınca şunu elde ederiz:
Sonuç olarak yeni seviye kum olacak h = 10 / 4 = 2,5 santimetre.
Görev 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ doğru bir prizmadır. BD = AB₁ = 6√2 olduğu bilinmektedir. Vücudun toplam yüzey alanını bulun.
Hangi unsurların bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir şekil çizebilirsiniz.
Düzenli bir prizmadan bahsettiğimize göre tabanda köşegeni 6√2 olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı boyuta sahiptir, bu nedenle yan yüz de tabana eşit bir kare şekline sahiptir. Üç boyutun da (uzunluk, genişlik ve yükseklik) eşit olduğu ortaya çıktı. ABCDA₁B₁C₁D₁'nin bir küp olduğu sonucuna varabiliriz.
Herhangi bir kenarın uzunluğu bilinen bir köşegen aracılığıyla belirlenir:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Toplam yüzey alanı küp formülü kullanılarak bulunur:
Tam = 6a² = 6 6² = 216
Görev 3.
Oda yenileniyor. Zemininin 9 m² alana sahip kare şeklinde olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir, 1 m² 50 ruble ise, bir odayı duvar kağıdıyla kaplamanın en düşük maliyeti nedir?
Zemin ve tavan kare, yani düzgün dörtgen olduğundan ve duvarları yatay yüzeylere dik olduğundan, şu sonuca varabiliriz: doğru prizma. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gereklidir.
Odanın uzunluğu bir = √9 = 3 M.
Alan duvar kağıdıyla kaplanacak Kenar = 4 3 2,5 = 30 m².
Bu oda için en düşük duvar kağıdı maliyeti 50.30 = 1500 ruble
Bu nedenle dikdörtgen prizma ile ilgili problemleri çözmek için kare ve dikdörtgenin alanını ve çevresini hesaplayabilmek, ayrıca hacim ve yüzey alanını bulma formüllerini bilmek yeterlidir.
Bir küpün alanı nasıl bulunur
