Negatif kuvvetlere sahip bir ifadenin değeri nasıl bulunur? Bir sayının negatif kuvveti: yapım kuralları ve örnekler

Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız derecesi. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım . İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının kuvvetinin tanımının a olarak adlandıracağımız a için verildiğini varsayalım. derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n formunun bir ifadesidir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. a n gösterimini okumanın evrensel yolu şudur: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Başka bir örnek verelim: 4.32 tabandır ve doğal sayı 9 – üs (4.32) 9 .

Son örnekte 4.32'nin üssünün parantez içinde yazıldığını lütfen unutmayın: Tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvet tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz , tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2) 3 ve −2 3 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi −2'nin doğal üssü 3 olan bir kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri de kuvvetin tabanını bulma problemidir. bilinen değer derece ve bilinen gösterge. Bu görev şuna yol açar.

Birçok kişinin olduğu biliniyor rasyonel sayılar her biri tam ve kesirli sayılardan oluşur kesirli bir sayı pozitif veya negatif olarak temsil edilebilir ortak kesir. Bir önceki paragrafta tamsayı üslü bir derece tanımlamıştık, dolayısıyla rasyonel üslü bir derecenin tanımını tamamlamak için a sayısının derecesine m/n kesirli üslü bir anlam vermemiz gerekiyor; m bir tamsayı, n ise bir doğal sayıdır. Hadi yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklı olacaktır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olduğunu kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın m/n kesirli üssüne kuvveti, a'nın m üssünün n'inci kökü olarak adlandırılır.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu ifadesine, a sayısının m üssünün n'inci kökü denir.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde, yani sıfır sayısının kesirli derecesi negatif gösterge mantıklı değil.

Kesirli üslü bir derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: Üssü 0 olan a sayısının kuvveti, üssü buna karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının kuvveti olarak kabul edilir (bu koşulun önemini aşağıda açıklayacağız) ). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için ifade, negatif olmayan herhangi bir a (çift kök) için anlamlıdır. negatif sayı mantıklı değil), negatif m için a sayısının yine de sıfırdan farklı olması gerekir (aksi takdirde sıfıra bölünme olur). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfır olmamalıdır (böylece sayıya bölünme olmaz) sıfır).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti



İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .

Kuvvet, bir sayının kendisiyle çarpılması işlemini basitleştirmek için kullanılır. Örneğin yazmak yerine yazabilirsiniz. 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Bu geçişe ilişkin açıklama bu makalenin ilk bölümünde verilmiştir). Dereceler uzun veya yazmayı kolaylaştırır karmaşık ifadeler veya denklemler; kuvvetlerin eklenmesi ve çıkarılması da kolaydır, bu da basitleştirilmiş bir ifade veya denklemle sonuçlanır (örneğin, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Not: eğer karar vermen gerekiyorsa üstel denklem(böyle bir denklemde bilinmeyen üssün içindedir), okuyun.

Adımlar

Derecelerle ilgili basit problemleri çözme

Üssün tabanını, üsse eşit sayıda kendisiyle birkaç kez çarpın. Bir güç problemini elle çözmeniz gerekiyorsa, gücü, gücün tabanının kendisi ile çarpıldığı bir çarpma işlemi olarak yeniden yazın. Örneğin, bir derece verildiğinde 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Bu durumda kuvvet tabanı 3'ün kendisiyle 4 kez çarpılması gerekir: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). İşte diğer örnekler:

İlk önce ilk iki sayıyı çarpın.Örneğin, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Endişelenmeyin; hesaplama süreci ilk bakışta göründüğü kadar karmaşık değildir. Önce ilk iki dördü çarpın ve ardından sonuçla değiştirin. Bunun gibi:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Sonucu (örneğimizde 16) sonraki sayıyla çarpın. Sonraki her sonuç orantılı olarak artacaktır. Örneğimizde 16'yı 4 ile çarpın. Şu şekilde:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Son cevabınızı alana kadar ilk iki sayının sonucunu bir sonraki sayıyla çarpmaya devam edin. Bunu yapmak için ilk iki sayıyı çarpın ve ardından elde edilen sonucu sıradaki bir sonraki sayıyla çarpın. Bu yöntem her derece için geçerlidir. Örneğimizde şunları elde etmelisiniz: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Aşağıdaki problemleri çözün. Bir hesap makinesi kullanarak cevabınızı kontrol edin.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Hesap makinenizde "exp" veya " etiketli anahtarı arayın x n (\displaystyle x^(n))"veya"^". Bu tuşu kullanarak bir sayıyı bir kuvvete yükselteceksiniz. Büyük bir göstergeyle bir dereceyi manuel olarak hesaplamak neredeyse imkansızdır (örneğin, derece) 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ancak hesap makinesi bu görevle kolayca başa çıkabilir. Windows 7'de standart hesap makinesi mühendislik moduna geçirilebilir; Bunu yapmak için “Görünüm” -> “Mühendislik” seçeneğine tıklayın. Normal moda geçmek için “Görüntüle” -> “Normal”e tıklayın.

   • Cevabınızı kullanarak kontrol edin arama motoru(Google veya Yandex). Bilgisayarınızın klavyesindeki "^" tuşunu kullanarak ifadeyi arama motoruna girin; bu, anında doğru cevabı görüntüleyecektir (ve muhtemelen çalışmanız için benzer ifadeler önerecektir).

   Kuvvetlerde toplama, çıkarma, çarpma

   1. Dereceleri yalnızca aynı tabanlara sahip olmaları durumunda ekleyebilir ve çıkarabilirsiniz. Aynı taban ve üslere sahip kuvvetleri toplamanız gerekiyorsa toplama işlemini çarpma işlemiyle değiştirebilirsiniz. Örneğin, ifade verildiğinde 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Unutmayın ki derece 4 5 (\displaystyle 4^(5))şeklinde temsil edilebilir 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Böylece, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(burada 1 +1 =2). Yani benzer derecelerin sayısını sayın ve sonra o dereceyle bu sayıyı çarpın. Örneğimizde, 4'ün beşinci kuvvetini artırın ve elde edilen sonucu 2 ile çarpın. Toplama işleminin yerine çarpma işleminin getirilebileceğini unutmayın; örneğin, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). İşte diğer örnekler:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Üsleri aynı tabanla çarparken üsleri toplanır (taban değişmez).Örneğin, ifade verildiğinde x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Bu durumda, tabanı değiştirmeden bırakarak göstergeleri eklemeniz yeterlidir. Böylece, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). İşte bu kuralın görsel bir açıklaması:

      Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır. Mesela diploma veriliyor. Üslü sayılar çarpıldığına göre, (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Bu kuralın amacı kuvvetlerle çarpmanızdır (x 2) (\displaystyle (x^(2))) kendi başına beş kez. Bunun gibi:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Taban aynı olduğundan üslerin toplamı basit: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Negatif üslü bir kuvvet kesire (ters kuvvet) dönüştürülmelidir. Karşılıklı derecenin ne olduğunu bilmiyorsanız önemli değil. Size negatif üslü bir derece verilirse, ör. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), bu dereceyi kesrin paydasına yazın (payda 1 yazın) ve üssü pozitif yapın. Örneğimizde: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). İşte diğer örnekler:

      Dereceleri aynı tabana göre bölerken üsleri çıkarılır (taban değişmez). Bölme işlemi çarpma işleminin tersidir. Örneğin, ifade verildiğinde 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Paydadaki üssü paydaki üssünden çıkarın (tabanı değiştirmeyin). Böylece, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2))))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Paydanın kuvveti şu şekilde yazılabilir: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Kesirin negatif üssü olan bir sayı (kuvvet, ifade) olduğunu unutmayın.

   4. Aşağıda üslü sayılarla ilgili problemleri çözmeyi öğrenmenize yardımcı olacak bazı ifadeler bulunmaktadır. Verilen ifadeler bu bölümde sunulan materyali kapsamaktadır. Cevabı görmek için eşittir işaretinden sonraki boş alanı vurgulamanız yeterlidir.

   Kesirli üslerle ilgili problemleri çözme

   Kesirli üssü olan bir kuvvet (örneğin, ) bir kök işlemine dönüştürülür.Örneğimizde: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Burada kesirli üssün paydasında hangi sayının olduğu önemli değildir. Örneğin, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- “x”in dördüncü köküdür, yani x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Üs ise uygunsuz kesir o zaman böyle bir derece, sorunun çözümünü basitleştirmek için iki dereceye ayrıştırılabilir. Bunda karmaşık bir şey yok - sadece güçleri çarpma kuralını hatırlayın. Mesela diploma veriliyor. Böyle bir kuvveti, gücü kesirli üssün paydasına eşit olan bir köke dönüştürün ve ardından bu kökü, kesirli üssün payına eşit bir kuvvete yükseltin. Bunu yapmak için şunu unutmayın 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Örneğimizde:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x))))^(5))
   2. Bazı hesap makinelerinde üsleri hesaplamak için bir düğme bulunur (önce tabanı girmeniz, ardından düğmeye basmanız ve ardından üssü girmeniz gerekir). ^ veya x^y olarak gösterilir.
   3. Herhangi bir sayının birinci kuvvetinin kendisine eşit olduğunu unutmayın, örneğin: 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Ayrıca herhangi bir sayının bir ile çarpılması veya bölünmesi kendisine eşittir; 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Ve 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. 0 0 kuvvetinin olmadığını bilin (böyle bir kuvvetin çözümü yoktur). Böyle bir dereceyi hesap makinesinde veya bilgisayarda çözmeye çalışırsanız hata alırsınız. Ancak herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1 olduğunu unutmayın. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. İÇİNDE yüksek Matematik sanal sayılarla çalışan: e a ben x = c o s a x + ben s ben n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Nerede ben = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit bir sabittir; a keyfi bir sabittir. Bu eşitliğin kanıtı herhangi bir yüksek matematik ders kitabında bulunabilir.

   Uyarılar

   • Üs arttıkça değeri de büyük ölçüde artar. Yani cevap size yanlış geliyorsa aslında doğru olabilir. Bunu herhangi bir grafiği çizerek kontrol edebilirsiniz. üstel fonksiyonörneğin 2x.

Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.

Sayı C dır-dir N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:

bir m·a n = a m + n .

2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n .

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda inşa etmek N kuvvet radikal bir sayı ise kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü bir derece. Pozitif olmayan (tam sayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.

Bir sayının kuvveti hakkındaki konuşmaya devam ederek, kuvvetin değerinin nasıl bulunacağını bulmak mantıklı olacaktır. Bu süreç denir üs alma. Bu yazıda üstel almanın nasıl yapıldığını inceleyeceğiz ve olası tüm üslere (doğal, tamsayı, rasyonel ve irrasyonel) değineceğiz. Ve geleneğe göre, sayıları çeşitli kuvvetlere yükseltme örneklerinin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alacağız.

Sayfada gezinme.

"Üslülük" ne anlama geliyor?

Üs alma denilen şeyin ne olduğunu açıklayarak başlayalım. İşte ilgili tanım.

Tanım.

Üs alma- bu bir sayının kuvvetinin değerini bulmaktır.

Dolayısıyla bir a sayısının r üssü ile kuvvetinin değerini bulmak ve a sayısını r kuvvetine çıkarmak aynı şeydir. Örneğin, görev "(0,5) 5 kuvvetinin değerini hesaplamak" ise, o zaman şu şekilde yeniden formüle edilebilir: "0,5 sayısını 5 kuvvetine yükseltin."

Artık doğrudan üstel almanın gerçekleştirildiği kurallara gidebilirsiniz.

Bir sayının doğal kuvvetine yükseltilmesi

Uygulamada genellikle eşitlik esasına dayalı olarak uygulanır. Yani, bir a sayısını m/n kesirli kuvvetine yükseltirken, önce a sayısının n'inci kökü alınır, ardından elde edilen sonuç m tamsayı kuvvetine yükseltilir.

Kesirli bir kuvvete yükseltme örneklerinin çözümlerine bakalım.

Örnek.

Derecenin değerini hesaplayın.

Çözüm.

İki çözüm göstereceğiz.

İlk yol. Kesirli üslü bir derecenin tanımı gereği. Kök işaretinin altındaki derecenin değerini hesaplıyoruz ve ardından küp kökünü çıkarıyoruz: .

İkinci yol. Kesirli üslü bir derecenin tanımına göre ve köklerin özelliklerine dayanarak aşağıdaki eşitlikler doğrudur: . Şimdi kökü çıkarıyoruz , son olarak bunu bir tamsayı kuvvetine yükseltiyoruz .

Açıkçası, kesirli güce yükseltmenin elde edilen sonuçları örtüşüyor.

Cevap:

Kesirli üssün şu şekilde yazılabileceğini unutmayın: ondalık veya karışık numara, bu durumlarda karşılık gelen sıradan kesirle değiştirilmeli ve ardından bir kuvvete yükseltilmelidir.

Örnek.

(44.89) 2.5'i hesaplayın.

Çözüm.

Üssü sıradan bir kesir biçiminde yazalım (gerekirse makaleye bakın): . Şimdi kesirli güce yükseltme işlemini gerçekleştiriyoruz:

Cevap:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Ayrıca sayıları rasyonel kuvvetlere yükseltmenin oldukça emek yoğun bir süreç olduğu da söylenmelidir (özellikle kesirli üssün payı ve paydası oldukça fazla sayı içerdiğinde). büyük sayılar), genellikle kullanılarak gerçekleştirilir bilgisayar Teknolojisi.

Bu noktayı sonuçlandırmak için sıfır sayısının kesirli kuvvetine yükseltme üzerinde duralım. Sıfırın kesirli kuvvetine şu anlamı verdik: ve sıfırın m/n kuvveti tanımlanmamıştır. Yani sıfırın kesirli pozitif kuvveti sıfırdır, örneğin, . Ve kesirli bir negatif kuvvette sıfırın bir anlamı yoktur, örneğin 0 -4.3 ifadeleri bir anlam ifade etmez.

Mantıksız bir güce yükselmek

Bazen irrasyonel üslü bir sayının kuvvetinin değerini bulmak gerekli hale gelir. Bu durumda, pratik amaçlar için, derecenin değerinin belirli bir işarete göre doğru olarak elde edilmesi genellikle yeterlidir. Pratikte bu değerin elektronik bilgisayarlar kullanılarak hesaplandığını hemen belirtelim, çünkü bunu manüel olarak irrasyonel bir güce yükseltmek gerekir. büyük miktar hantal hesaplamalar. Ama yine de burada anlatacağız Genel taslak eylemin özü.

İrrasyonel üslü bir a sayısının kuvvetinin yaklaşık değerini elde etmek için üssün ondalık yaklaşımı alınır ve kuvvetin değeri hesaplanır. Bu değer a sayısının irrasyonel üslü kuvvetinin yaklaşık değeridir. Bir sayının ondalık yaklaşımı başlangıçta ne kadar doğru alınırsa, o kadar fazla olur. Kesin değer sonunda derece elde edilecektir.

Örnek olarak 2 1,174367... kuvvetinin yaklaşık değerini hesaplayalım. İrrasyonel üssün aşağıdaki ondalık yaklaşımını alalım: . Şimdi 2'nin rasyonel kuvvetini 1,17'ye çıkarırsak (bu sürecin özünü önceki paragrafta anlatmıştık), 2 1,17 ≈2,250116 elde ederiz. Böylece, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Örneğin, irrasyonel üssün daha doğru bir ondalık yaklaşımını alırsak, orijinal üssün daha doğru bir değerini elde ederiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Üssü olan sayıların da diğer nicelikler gibi toplanabileceği açıktır. , işaretleriyle birlikte birbiri ardına ekleyerek.

Yani a 3 ile b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

Oranlar eşit dereceözdeş değişkenler eklenebilir veya çıkarılabilir.

Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'ye eşittir.

Ayrıca iki kare a, üç kare a veya beş kare a alırsanız da açıktır.

Ama dereceler çeşitli değişkenler Ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretleriyle birlikte eklenerek oluşturulmalıdır.

Yani 2 ile 3'ün toplamı 2 + a 3'ün toplamıdır.

A'nın karesi ve a'nın küpünün, a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.

a 3 b n ile 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma kuvvetler toplama işlemiyle aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkanların işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerekir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 sa 2 b 6 - 4 sa 2 b 6 = - sa 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çarpan güçler

Üssü olan sayılar da diğer nicelikler gibi, aralarında çarpım işareti olsun ya da olmasın, arka arkaya yazılarak çarpılabilir.

Dolayısıyla a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb olur.

Veya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekli alacaktır: a 5 b 5 y 3.

Birkaç sayıyı (değişkeni) üslerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpıldığında sonucun kuvveti eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. miktar terimlerin dereceleri.

Yani a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaaa = a 5 .

Burada 5, çarpma sonucunun kuvvetidir; terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşittir.

Yani a n .a m = a m+n .

Bir n için a, n'nin kuvveti kadar bir faktör olarak alınır;

Ve a m, m derecesinin eşit olduğu sayıda faktör olarak alınır;

Bu yüzden, aynı tabanlara sahip kuvvetler, kuvvetlerin üsleri toplanarak çarpılabilir.

Yani a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ile çarpın.

Bu kural üsleri eşit olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz.

1. Yani a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa şeklinde yazılabilir.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Eğer a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olacaktır: yani

İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamına veya farkına eşittir.

Yükseltilmiş iki sayının toplamını ve farkını çarparsanız kare sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Derecelerin bölünmesi

Üslü sayılar da diğer sayılar gibi paydan çıkarılarak veya kesirli hale getirilerek bölünebilir.

Böylece a 3 b 2 bölü b 2 eşittir a 3.

Veya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5'i 3'e bölmek $\frac(a^5)(a^3)$ şeklinde görünür. Ama bu 2'ye eşit. Bir dizi sayı halinde
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs şuna eşit olacaktır: fark Bölünebilen sayıların göstergeleri.

Tabanları aynı olan dereceleri bölerken üsleri çıkarılır..

Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yani, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ve a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Veya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Kural aynı zamanda sayıları olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Bu tür işlemler cebirde çok yaygın olarak kullanıldığı için çarpma ve kuvvetler bölüşümüne çok iyi hakim olmak gerekir.

Üsleri olan sayıları içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. Üsleri $\frac(5a^4)(3a^2)$ azaltın Cevap: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Üsleri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaltın. Cevap: $\frac(2x)(1)$ veya 2x.

3. a 2 /a 3 ve a -3 /a -4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 birinci pay -2'dir.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4 ortak pay olan a -1'dir.
Basitleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
Yanıt: 2a 3 /5a 7 ve 5a 5 /5a 7 veya 2a 3 /5a 2 ve 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.

7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.

8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4'ü (d n + 1)/h'ye bölün.