Üç basamaklı bir sayı nasıl çarpanlara ayrılır? Çarpanlara ayırma - çevrimiçi hesap makinesi

(0 ve 1 hariç) en az iki böleni vardır: 1 ve kendisi. Başka böleni olmayan sayılara denir basit sayılar. Başka bölenleri olan sayılara denir kompozit(veya karmaşık) sayılar. Sonsuz sayıda asal sayı vardır. Aşağıdakiler 200'ü geçmeyen asal sayılardır:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Çarpma işlemi- dört temel aritmetik işlemden biri, bir argümanın diğerinin sayısı kadar eklendiği ikili bir matematik işlemi. Aritmetikte çarpma, belirli sayıda aynı terimin eklenmesinin kısa bir şeklidir.

Örneğin 5*3 gösterimi "üç beşin eklenmesi" anlamına gelir, yani 5+5+5. Çarpmanın sonucuna denir iş ve çarpılacak sayılar çarpanlar veya faktörler. İlk faktöre bazen " denir çarpılan».

Her bileşik sayı asal faktörlere ayrılabilir. Faktörlerin yazılma sırasını dikkate almazsanız, herhangi bir yöntemle aynı genişleme elde edilir.

Bir sayıyı çarpanlara ayırma (çarpanlara ayırma).

Çarpanlara ayırma (faktoring)- bölenlerin numaralandırılması - tüm olası bölenleri tamamen numaralandırarak bir sayının asallığını çarpanlara ayırmaya veya test etmeye yönelik bir algoritma.

Onlar., basit bir dilleÇarpanlara ayırma, bilimsel dilde ifade edilen sayıların çarpanlara ayrılması işlemine verilen addır.

Asal faktörleri çarpanlara ayırırken yapılacak işlemlerin sırası:

1. Önerilen sayının asal olup olmadığını kontrol edin.

2. Değilse, bölme işaretlerinin rehberliğinde asal sayılardan en küçüğünden (2, 3, 5 ...) başlayarak bir bölen seçeriz.

3. Bölüm eşitlenene kadar bu işlemi tekrarlıyoruz. asal sayı.

Faktoring ne anlama geliyor? Nasıl yapılır? Bir sayıyı asal çarpanlara ayırarak ne öğrenebilirsiniz? Bu soruların cevapları spesifik örneklerle gösterilmiştir.

Tanımlar:

Tam olarak iki farklı böleni olan sayıya asal sayı denir.

İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayı denir.

Genişletmek doğal sayıçarpanlarına ayırmak, onu doğal sayıların bir çarpımı olarak temsil etmek anlamına gelir.

Bir doğal sayıyı asal çarpanlara ayırmak, onu asal sayıların çarpımı olarak göstermek anlamına gelir.

Notlar:

• Asal sayının ayrıştırılmasında faktörlerden biri bire, diğeri ise sayının kendisine eşittir.
• Birliğin çarpanlara ayrılmasından bahsetmenin bir anlamı yok.
• Bileşik bir sayı, her biri 1'den farklı olan faktörlere ayrılabilir.

Ayrışma sırasında büyük sayılar Asal faktörler için sütun gösterimini kullanın:

	216'ya bölünebilen en küçük asal sayı 2'dir. 216'yı 2'ye bölersek 108 elde ederiz.
	Ortaya çıkan 108 sayısı 2'ye bölünür. Bölmeyi yapalım. Sonuç 54.
	2'ye bölünebilme testine göre 54 sayısı 2'ye bölünür. Bölündükten sonra 27 elde ederiz.
	27 sayısı tek rakam olan 7 ile bitmektedir. BT 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı 3'tür. 27'yi 3'e bölersek 9 buluruz. En küçük asal sayı 9'un bölünebildiği sayı 3'tür. Üç kendisi asal sayıdır, kendisine ve bire bölünebilir. 3'ü kendimize bölelim. Sonunda 1'i aldık.

• Bir sayı yalnızca kendi ayrışmasının bir parçası olan asal sayılara bölünebilir.
• Sayı yalnızca bunlara bölünür bileşik sayılar asal faktörlere ayrışması tamamen içinde yer alan.

Örneklere bakalım:

Bu sayılar aşağıdaki gibi asal faktörlere ayrıştırılırsa, a sayısını b sayısına bölme bölümünü bulun: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Kaynakça

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor salonu. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - M.: Eğitim, 1989.
4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. - M .: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. - M .: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: 5-6. Sınıflar için ders kitabı-muhatap lise. - M.: Eğitim, Matematik Öğretmeni Kitaplığı, 1989.

1. İnternet portalı Matematika-na.ru ().
2. İnternet portalı Math-portal.ru ().

Ev ödevi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
2. Diğer görevler: No. 133, No. 144.

Bu yazıda soruyu cevaplamak için gerekli tüm bilgileri bulacaksınız, bir sayıyı asal çarpanlarına nasıl ayırabilirim. Öncelikle bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılmasına ilişkin genel bir fikir verilmiş ve ayrıştırma örnekleri verilmiştir. Aşağıda bir sayıyı asal çarpanlara ayırmanın kanonik biçimi gösterilmektedir. Daha sonra rastgele sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılması için bir algoritma verilmiş ve bu algoritma kullanılarak sayıların ayrıştırılmasına ilişkin örnekler verilmiştir. Bölünebilme testleri ve çarpım tablolarını kullanarak küçük tam sayıları hızlı bir şekilde asal çarpanlara ayırmanıza olanak tanıyan alternatif yöntemler de dikkate alınır.

Sayfada gezinme.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Öncelikle asal faktörlerin neler olduğuna bakalım.

Bu ifadede “faktörler” kelimesi geçtiğine göre bazı sayıların çarpımı olduğu ve “basit” niteleyici kelimesinin her faktörün asal sayı olduğu anlamına geldiği açıktır. Örneğin 2·7·7·23 formundaki bir çarpımda dört asal çarpan vardır: 2, 7, 7 ve 23.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Bu demektir verilen numara asal faktörlerin çarpımı olarak temsil edilmeli ve bu çarpımın değeri orijinal sayıya eşit olmalıdır. Örnek olarak 2, 3 ve 5 asal sayılarının çarpımı 30'a eşittir, dolayısıyla 30 sayısının asal çarpanlara ayrıştırması 2·3·5 olur. Genellikle bir sayının asal çarpanlarına ayrıştırılması eşitlik olarak yazılır; örneğimizde şu şekilde olacaktır: 30=2·3·5. Genişlemedeki asal faktörlerin tekrarlanabileceğini ayrı ayrı vurguluyoruz. Bu açıkça göstermektedir sonraki örnek: 144=2·2·2·2·3·3 . Ancak 45=3·15 formunun temsili asal çarpanlara ayrıştırma değildir, çünkü 15 sayısı bileşik bir sayıdır.

Şu soru ortaya çıkıyor: "Hangi sayılar asal çarpanlara ayrılabilir?"

Bunun cevabını bulmak için aşağıdaki gerekçeyi sunuyoruz. Asal sayılar tanım gereği birden büyük sayılar arasındadır. Bu gerçek dikkate alındığında ve birkaç asal faktörün çarpımının bir tam sayı olduğu iddia edilebilir. pozitif sayı, birini aşıyor. Bu nedenle asal çarpanlara ayırma yalnızca 1'den büyük pozitif tam sayılar için gerçekleşir.

Ancak birden büyük tüm tam sayılar asal çarpanlara ayrılabilir mi?

Basit tam sayıları asal çarpanlara ayırmanın mümkün olmadığı açıktır. Bu, asal sayıların yalnızca iki pozitif böleni (bir ve kendisi) olmasıyla açıklanır, dolayısıyla bunlar iki veya daha fazla sayının çarpımı olarak temsil edilemez. Daha asal sayılar. Eğer z tam sayısı, a ve b asal sayılarının çarpımı olarak temsil edilebilseydi, bölünebilirlik kavramı, z'nin hem a hem de b'ye bölünebildiği sonucuna varmamızı sağlardı ki bu, z sayısının basitliğinden dolayı imkansızdır. Ancak herhangi bir asal sayının kendisinin bir ayrışma olduğuna inanıyorlar.

Bileşik sayılar ne olacak? Bileşik sayılar asal çarpanlara ayrıştırılıyor mu ve tüm bileşik sayılar bu tür bir ayrıştırmaya tabi mi? Aritmetiğin temel teoremi bu soruların birçoğuna olumlu yanıt verir. Aritmetiğin temel teoremi, 1'den büyük herhangi bir a tam sayısının p 1, p 2, ..., p n asal çarpanlarının çarpımına ayrıştırılabileceğini ve ayrıştırmanın a = p 1 · p 2 · şeklinde olduğunu belirtir. … · p n ve bu genişleme benzersizdir, eğer faktörlerin sırasını dikkate almazsanız

Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlara ayrılması

Bir sayının açılımında asal çarpanlar tekrarlanabilir. Tekrarlanan asal faktörler kullanılarak daha kompakt bir şekilde yazılabilir. Bir sayının ayrıştırılmasında p 1 asal çarpanının s 1 kere, p 2 – s asal çarpanının 2 kere ve bu şekilde p n – s n kere meydana geldiğini varsayalım. O zaman a sayısının asal çarpanlarına ayrılması şu şekilde yazılabilir: a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Bu kayıt şekline sözde Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlarına ayrılması.

Bir sayının asal çarpanlara kanonik olarak ayrıştırılmasına bir örnek verelim. Ayrışmayı bize bildirin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, kanonik gösterimi şu şekildedir: 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Bir sayının asal çarpanlara ayrılması, sayının tüm bölenlerini ve bölenlerin sayısını bulmanızı sağlar.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma algoritması

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma göreviyle başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için asal ve bileşik sayılar makalesindeki bilgiler hakkında çok iyi bilgiye sahip olmanız gerekir.

Bir'i aşan pozitif bir tam sayı a'yı ayrıştırma sürecinin özü, aritmetiğin temel teoreminin kanıtından açıktır. Önemli olan a, a 1, a 2, ..., a n-1 sayılarının en küçük asal bölenlerini (p 1, p 2, ..., p n) sırayla bulmaktır; bu da bir dizi eşitlik elde etmemizi sağlar. a=p 1 ·a 1, burada a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , burada a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·an , burada a n =a n-1:p n . Bir n =1 ortaya çıktığında, a=p 1 · p 2 ·…·p n eşitliği bize a sayısının asal çarpanlara istenen ayrıştırılmasını verecektir. Burada şunu da belirtmek gerekir ki p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Her adımda en küçük asal çarpanların nasıl bulunacağını bulmaya devam ediyoruz ve bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak için bir algoritmamız olacak. Asal sayılar tablosu asal çarpanları bulmamıza yardımcı olacaktır. Z sayısının en küçük asal bölenini elde etmek için bunu nasıl kullanacağımızı gösterelim.

Asal sayılar tablosundan (2, 3, 5, 7, 11 vb.) sırayla asal sayıları alıyoruz ve verilen z sayısını bunlara bölüyoruz. Z'nin eşit olarak bölündüğü ilk asal sayı, onun en küçük asal böleni olacaktır. Z sayısı asalsa, bu sayının en küçük asal böleni z sayısının kendisi olacaktır. Burada şunu hatırlamak gerekir ki, eğer z asal sayı değilse, bu durumda en küçük asal böleni z'den olan sayıyı aşmaz. Dolayısıyla, aşmayan asal sayılar arasında z sayısının tek bir böleni yoksa, z'nin bir asal sayı olduğu sonucuna varabiliriz (bununla ilgili daha fazla bilgi teori bölümünde Bu sayı asal veya bileşiktir başlığı altında yazılmıştır). ).

Örnek olarak 87 sayısının en küçük asal böleninin nasıl bulunacağını göstereceğiz. 2 sayısını ele alalım. 87'yi 2'ye bölersek 87:2=43 elde ederiz (kalan 1) (gerekirse makaleye bakın). Yani 87'yi 2'ye böldüğümüzde kalan 1 oluyor yani 2, 87 sayısının böleni değil. Asal sayılar tablosundan bir sonraki asal sayıyı alıyoruz, bu 3 sayısıdır. 87'yi 3'e bölersek 87:3=29 sonucunu buluruz. Böylece 87, 3'e bölünebilir, dolayısıyla 3 sayısı, 87 sayısının en küçük asal böleni olur.

şunu unutmayın: Genel dava A sayısını asal çarpanlara ayırmak için, 'den az olmayan bir sayıya kadar asal sayılar tablosuna ihtiyacımız var. Her adımda bu tabloya başvurmamız gerekecek, bu yüzden onu elimizde bulundurmamız gerekiyor. Örneğin, 95 sayısını asal çarpanlara ayırmak için yalnızca 10'a kadar asal sayıların yer aldığı bir tabloya ihtiyacımız olacak (çünkü 10, 'den büyüktür). Ve 846.653 sayısını ayrıştırmak için zaten 1.000'e kadar asal sayılar tablosuna ihtiyacınız olacak (çünkü 1.000, 'den büyük).

Artık yazacak kadar bilgimiz var Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritması. A sayısını ayrıştırma algoritması aşağıdaki gibidir:

• Asal sayılar tablosundaki sayıları sırayla sıralayarak, a sayısının en küçük asal bölenini p 1 buluruz ve ardından 1 =a:p 1'i hesaplarız. Eğer a 1 =1 ise, o zaman a sayısı asaldır ve kendisi de onun asal faktörlere ayrıştırılmasıdır. Eğer a 1, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·a 1 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• a 1 sayısının en küçük asal bölenini p 2 buluruz, bunu yapmak için asal sayılar tablosundaki sayıları p 1'den başlayarak sırayla sıralarız ve ardından a 2 =a 1:p 2'yi hesaplarız. Eğer a 2 =1 ise, a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırılması a=p 1 · p 2 şeklinde olur. Eğer a 2, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·p 2 ·a 2 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• Asal sayılar tablosundaki sayıları p 2'den başlayarak inceleyerek a 2 sayısının en küçük asal bölenini p 3 buluyoruz ve ardından a 3 =a 2:p 3'ü hesaplıyoruz. Eğer a 3 =1 ise, a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırması a=p 1 · p 2 · p 3 biçiminde olur. Eğer a 3, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• a n-1 sayısının en küçük asal bölenini p n, p n-1'den başlayarak asal sayıları sıralayarak ve ayrıca a n =a n-1:p n ve a n eşittir 1'e göre buluruz. Bu adım algoritmanın son adımıdır; burada a sayısının gerekli asal çarpanlara ayrıştırılmasını elde ederiz: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Açıklık sağlamak için, bir sayıyı asal faktörlere ayırma algoritmasının her adımında elde edilen tüm sonuçlar, a, a 1, a 2, ..., n sayılarının sırayla yazıldığı aşağıdaki tablo biçiminde sunulmaktadır. dikey çizginin solundaki ve çizginin sağındaki bir sütunda - karşılık gelen en küçük asal bölenler p 1, p 2, ..., p n.

Geriye kalan tek şey, sayıları asal çarpanlara ayırmak için elde edilen algoritmanın uygulanmasına ilişkin birkaç örneği ele almaktır.

Asal çarpanlara ayırma örnekleri

Şimdi detaylı olarak bakacağız sayıları asal çarpanlarına ayırma örnekleri. Ayrıştırma sırasında önceki paragraftaki algoritmayı kullanacağız. Sayıları asal çarpanlara ayırırken ortaya çıkabilecek tüm olası nüanslarla karşılaşmak için basit durumlarla başlayalım ve bunları yavaş yavaş karmaşıklaştıralım.

Örnek.

78 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm.

a=78 sayısının ilk en küçük asal bölenini (p1) aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için asal sayılar tablosundan asal sayıları sırayla sıralamaya başlıyoruz. 2 sayısını alıp 78'i buna bölersek 78:2=39 sonucunu elde ederiz. 78 sayısı 2'ye kalansız olarak bölündüğünden p 1 =2, 78 sayısının ilk bulunan asal böleni olur. Bu durumda a 1 =a:p 1 =78:2=39. Böylece 78=2·39 formundaki a=p 1 ·a 1 eşitliğine ulaşıyoruz. Açıkçası, 1 =39 1'den farklıdır, dolayısıyla algoritmanın ikinci adımına geçiyoruz.

Şimdi a 1 =39 sayısının en küçük asal bölenini p 2 arıyoruz. Sayıları asal sayılar tablosundan p 1 =2 ile başlayarak numaralandırmaya başlıyoruz. 39'u 2'ye bölersek 39:2=19 (kalan 1) sonucunu elde ederiz. 39, 2'ye tam olarak bölünemediğinden, 2 onun böleni değildir. Daha sonra asal sayılar tablosundan bir sonraki sayıyı (3 sayısı) alıp 39'u buna bölersek 39:3=13 elde ederiz. Dolayısıyla p 2 =3, 39 sayısının en küçük asal böleni olurken, a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 olur. 78=2·3·13 formunda a=p 1 ·p 2 ·a 2 eşitliğine sahibiz. 2 =13 1'den farklı olduğundan algoritmanın bir sonraki adımına geçiyoruz.

Burada a 2 =13 sayısının en küçük asal bölenini bulmamız gerekiyor. 13 sayısının en küçük asal bölenini bulmak için p 2 =3'ten başlayarak asal sayılar tablosundaki sayıları sıralı olarak sıralayacağız. 13 sayısı 3'e bölünmez, çünkü 13:3=4 (geri kalan 1) ve 13 sayısı da 5, 7 ve 11'e bölünmez, çünkü 13:5=2 (geri kalan 3), 13:7=1 (geri kalan 6) ve 13:11=1 (geri kalan 2). Bir sonraki asal sayı 13'tür ve 13 ona kalansız bölünebilir, dolayısıyla 13'ün en küçük asal böleni p 3 13 sayısının kendisidir ve a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. 3 =1 olduğundan, algoritmanın bu adımı son adımdır ve 78 sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırması 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3) biçimindedir.

Cevap:

78=2·3·13.

Örnek.

83.006 sayısını asal çarpanların çarpımı olarak ifade edin.

Çözüm.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritmasının ilk adımında, p 1 =2 ve a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503'ü buluruz, buradan 83,006=2·41,503 olur.

İkinci adımda a 1 =41,503 sayısının asal bölenleri 2, 3 ve 5 değil, 41,503:7=5,929 olduğundan 7 sayısının asal bölenleri olduğunu görüyoruz. p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929'a sahibiz. Böylece, 83.006=2 7 5 929 olur.

a 2 =5 929 sayısının en küçük asal böleni 5 929:7 = 847 olduğundan 7 sayısıdır. Böylece, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, buradan 83 006 = 2·7·7·847.

Daha sonra a3 =847 sayısının en küçük asal böleni p4'ün 7'ye eşit olduğunu buluyoruz. O halde a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, yani 83 006=2·7·7·7·121.

Şimdi a 4 =121 sayısının en küçük asal bölenini buluyoruz, bu sayı p 5 =11'dir (121, 11'e bölünebildiği ve 7'ye bölünemediği için). O halde a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 ve 83 006=2·7·7·7·11·11.

Son olarak a 5 =11 sayısının en küçük asal böleni p 6 =11 sayısıdır. O halde a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 olduğundan, bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritmasının bu adımı son adımdır ve istenen ayrıştırma 83 006 = 2·7·7·7·11·11 biçimine sahiptir.

Elde edilen sonuç, sayının 83 006 = 2·7 3 ·11 2 asal çarpanlarına kanonik ayrıştırılması olarak yazılabilir.

Cevap:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 bir asal sayıdır. Aslında (991 olduğu açık olduğundan kabaca olarak tahmin edilebilir) değerini aşmayan tek bir asal böleni yoktur.<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Cevap:

897 924 289 = 937 967 991 .

Asal çarpanlara ayırma için bölünebilirlik testlerini kullanma

Basit durumlarda, bu makalenin ilk paragrafındaki ayrıştırma algoritmasını kullanmadan bir sayıyı asal çarpanlara ayırabilirsiniz. Sayılar büyük değilse, onları asal çarpanlara ayırmak için genellikle bölünebilme işaretlerini bilmek yeterlidir. Açıklığa kavuşturmak için örnekler verelim.

Örneğin 10 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Çarpım tablosundan 2·5=10 olduğunu biliyoruz ve 2 ile 5 sayıları açıkça asaldır, dolayısıyla 10 sayısının asal çarpanlara ayrılması 10=2·5'tir.

Başka bir örnek. Çarpım tablosunu kullanarak 48 sayısını asal çarpanlarına ayıracağız. Altının sekiz - kırk sekiz olduğunu, yani 48 = 6.8 olduğunu biliyoruz. Ancak ne 6 ne de 8 asal sayı değildir. Ama iki kere üçün altı, iki kere dördün sekiz ettiğini biliyoruz, yani 6=2·3 ve 8=2·4. O halde 48=6·8=2·3·2·4. Geriye iki kere ikinin dört ettiğini hatırlamamız kalıyor, o zaman 48 = 2·3·2·2·2 asal çarpanlarına istenen ayrıştırmayı elde ederiz. Bu açılımı kanonik biçimde yazalım: 48=2 4 ·3.

Ancak 3.400 sayısını asal çarpanlara ayırırken bölünebilme kriterini kullanabilirsiniz. 10'a bölünebilme işaretleri, 100'e göre 3.400'ün 100'e bölünebileceğini, 3.400=34·100, 100'ün ise 10'a bölünebileceğini, 100=10·10 yani 3.400=34·10·10 olduğunu ifade etmemizi sağlar. Ve 2'ye bölünebilirlik testine dayanarak 34, 10 ve 10 çarpanlarının her birinin 2'ye bölünebilir olduğunu söyleyebiliriz. 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Ortaya çıkan genişlemedeki tüm faktörler basittir, dolayısıyla bu genişleme istenen genişlemedir. Geriye kalan tek şey, faktörleri artan sırada olacak şekilde yeniden düzenlemek: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Bu sayının asal çarpanlarına kanonik ayrıştırmasını da yazalım: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Belirli bir sayıyı asal çarpanlara ayırırken sırasıyla hem bölünebilirlik işaretlerini hem de çarpım tablosunu kullanabilirsiniz. 75 sayısını asal çarpanların çarpımı olarak düşünelim. 5'e bölünebilirlik testi, 75'in 5'e bölünebilir olduğunu belirtmemizi sağlar ve 75 = 5·15 sonucunu elde ederiz. Çarpım tablosundan da 15=3·5 olduğunu biliyoruz, dolayısıyla 75=5·3·5 olur. Bu, 75 sayısının asal çarpanlarına gerekli ayrıştırılmasıdır.

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.H. Sayı teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve diğerleri Cebir ve sayılar teorisinde problemlerin toplanması: Fizik ve matematik öğrencileri için ders kitabı. pedagoji enstitülerinin uzmanlık alanları.

Herhangi bir bileşik sayı asal faktörlere ayrılabilir. Çeşitli ayrıştırma yöntemleri olabilir. Her iki yöntem de aynı sonucu üretir.

Bir sayıyı en uygun şekilde asal faktörlere nasıl ayırabilirim? Belirli örnekleri kullanarak bunu en iyi nasıl yapacağımıza bakalım.

Örnekler. 1) 1400 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

1400 2'ye bölünür. 2 asal bir sayıdır, çarpanlara ayırmaya gerek yoktur. 700 elde ederiz. 2'ye böleriz. 350 elde ederiz. 350'yi de 2'ye böleriz. Ortaya çıkan 175 sayısı 5'e bölünebilir. Sonuç 35 - tekrar 5'e bölün. Toplam - 7. Sadece bölünebilir 7. 1 alırız, bölme bitti.

Aynı sayı farklı şekilde çarpanlara ayrılabilir:

1400'ü 10'a bölmek uygundur. 10 asal bir sayı değildir, bu nedenle asal çarpanlara ayrılması gerekir: 10=2∙5. Sonuç 140. Bunu da yine 10=2∙5'e bölüyoruz. 14 elde ederiz. Eğer 14, 14'e bölünürse, o zaman asal çarpanların çarpımına da ayrıştırılmalıdır: 14=2∙7.

Böylece yine ilk durumdaki aynı ayrışmaya ulaştık, ancak daha hızlı.

Sonuç: Bir sayıyı ayrıştırırken onu yalnızca asal faktörlere bölmek gerekli değildir. Daha uygun olana, örneğin 10'a bölüyoruz. Bileşik bölenleri basit faktörlere ayırmayı hatırlamanız yeterli.

2) 1620 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

1620 sayısını 10'a bölmenin en uygun yolu 10'a bölmek. 10 asal bir sayı olmadığı için onu asal çarpanların çarpımı olarak temsil ediyoruz: 10=2∙5. 162 elde ettik. 2'ye bölmek daha uygun. Sonuç 81. 81 sayısını 3'e bölmek mümkün ama 9'a bölmek daha uygun. 9 asal sayı olmadığı için 9=3∙3 şeklinde genişletiyoruz. 9 elde ederiz. Bunu da 9'a bölüp asal çarpanların çarpımına genişletiriz.

Büyük bir sayıyı çarpanlara ayırmak kolay bir iş değildir.Çoğu insan dört veya beş basamaklı sayıları bulmakta zorluk çeker. İşlemi kolaylaştırmak için iki sütunun üzerindeki sayıyı yazın.

• 6552 sayısını çarpanlarına ayıralım.