Düzenli bir prizma formülünün alanı. Prizma

İÇİNDE Okul müfredatı Bir stereometri kursunda, üç boyutlu şekillerin incelenmesi genellikle basit bir geometrik cisimle (bir prizmanın çokyüzlüsü) başlar. Tabanlarının rolü paralel düzlemlerde uzanan 2 eşit çokgen tarafından gerçekleştirilir. Özel bir durum, düzenli bir dörtgen prizmadır. Tabanları, kenarları dik olan, paralelkenar (veya prizma eğimli değilse dikdörtgen) şeklinde olan 2 özdeş normal dörtgendir.

Bir prizma neye benziyor?

Düzenli bir dörtgen prizma, tabanları 2 kare olan ve yan yüzleri dikdörtgenlerle temsil edilen bir altıgendir. Bunun başka bir adı geometrik şekil- düz paralel yüzlü.

Aşağıda dörtgen prizmayı gösteren bir çizim gösterilmektedir.

Resimde de görebilirsiniz temel elementler geometrik gövdeden oluşan. Bunlar şunları içerir:

Bazen geometri problemlerinde kesit kavramıyla karşılaşabilirsiniz. Tanım şu şekilde olacaktır: bir bölüm, bir kesme düzlemine ait hacimsel bir gövdenin tüm noktalarıdır. Bölüm dik olabilir (şeklin kenarlarıyla 90 derecelik bir açıyla kesişir). Dikdörtgenler prizması için köşegen kesit de dikkate alınır ( en yüksek miktar inşa edilebilecek bölümler - 2), tabanın 2 kenarından ve köşegeninden geçen.

Kesit, kesme düzlemi tabanlara veya yan yüzlere paralel olmayacak şekilde çizilirse sonuç kesik bir prizma olur.

İndirgenmiş prizmatik elemanları bulmak için şunu kullanın: farklı ilişkiler ve formüller. Bazıları planimetri dersinden bilinmektedir (örneğin, bir prizmanın tabanının alanını bulmak için karenin alan formülünü hatırlamak yeterlidir).

Yüzey alanı ve hacim

Formülü kullanarak bir prizmanın hacmini belirlemek için tabanının ve yüksekliğinin alanını bilmeniz gerekir:

V = Sbas h

Düzenli bir tetrahedral prizmanın tabanı bir kenarı olan bir kare olduğundan A, Formülü daha ayrıntılı biçimde yazabilirsiniz:

V = a²·h

Bir küpten bahsediyorsak - normal bir prizma Eşit uzunluk, genişlik ve yükseklik, hacim şu şekilde hesaplanır:

Bir prizmanın yan yüzey alanını nasıl bulacağınızı anlamak için onun gelişimini hayal etmeniz gerekir.

Çizimden açıkça görülüyor ki yan yüzey 4 eşit dikdörtgenden oluşur. Alanı, tabanın çevresinin ve şeklin yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır:

S tarafı = Pozn h

Karenin çevresinin eşit olduğunu dikkate alırsak P = 4a, formül şu şekli alır:

S tarafı = 4a saat

Küp için:

Kenar = 4a²

Prizmanın toplam yüzey alanını hesaplamak için yan alana 2 taban alanı eklemeniz gerekir:

Tam = Yan Taraf + 2K Ana

Dörtgen düzenli bir prizmayla ilgili olarak formül şöyle görünür:

Toplam = 4a h + 2a²

Bir küpün yüzey alanı için:

Tam = 6a²

Hacmi veya yüzey alanını bilerek geometrik bir cismin bireysel elemanlarını hesaplayabilirsiniz.

Prizma elemanlarını bulma

Çoğu zaman hacmin verildiği veya yan yüzey alanının değerinin bilindiği, tabanın yan tarafının uzunluğunun veya yüksekliğinin belirlenmesinin gerekli olduğu problemler vardır. Bu gibi durumlarda formüller türetilebilir:

• taban yan uzunluğu: a = Skenar / 4h = √(V / h);
• yükseklik veya yan kaburga uzunluğu: h = Syan / 4a = V / a²;
• taban alanı: Sbas = V/h;
• yan yüz alanı: Taraf gr = Yan taraf / 4.

Çapraz bölümün ne kadar alana sahip olduğunu belirlemek için köşegenin uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. Bir kare için d = a√2.Öyleyse:

Sdiag = ah√2

Bir prizmanın köşegenini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

dödülü = √(2a² + h²)

Verilen ilişkilerin nasıl uygulanacağını anlamak için birkaç basit görevi uygulayabilir ve çözebilirsiniz.

Çözümlü problem örnekleri

Matematikte devlet final sınavlarında bulunan bazı görevler.

1. Egzersiz.

Kum, düzenli dörtgen prizma şeklindeki bir kutuya dökülür. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir, aynı şekle sahip ancak tabanı iki kat daha uzun olan bir kaba taşırsanız kum seviyesi ne olur?

Aşağıdaki gibi gerekçelendirilmelidir. Birinci ve ikinci kaplardaki kum miktarı değişmedi yani içlerindeki hacim aynı. Tabanın uzunluğunu şu şekilde belirtebilirsiniz: A. Bu durumda ilk kutu için maddenin hacmi şöyle olacaktır:

V₁ = ha² = 10a²

İkinci kutu için tabanın uzunluğu 2a, ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Çünkü V₁ = V₂ ifadeleri eşitleyebiliriz:

10a² = 4ha²

Denklemin her iki tarafını da a² azaltınca şunu elde ederiz:

Sonuç olarak yeni seviye kum olacak h = 10 / 4 = 2,5 santimetre.

Görev 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ doğru bir prizmadır. BD = AB₁ = 6√2 olduğu bilinmektedir. Vücudun toplam yüzey alanını bulun.

Hangi unsurların bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir şekil çizebilirsiniz.

Düzenli bir prizmadan bahsettiğimize göre tabanda köşegeni 6√2 olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı boyuta sahiptir, bu nedenle yan yüz de tabana eşit bir kare şekline sahiptir. Üç boyutun da (uzunluk, genişlik ve yükseklik) eşit olduğu ortaya çıktı. ABCDA₁B₁C₁D₁'nin bir küp olduğu sonucuna varabiliriz.

Herhangi bir kenarın uzunluğu bilinen bir köşegen aracılığıyla belirlenir:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Toplam yüzey alanı küp formülü kullanılarak bulunur:

Tam = 6a² = 6 6² = 216

Görev 3.

Oda yenileniyor. Zemininin 9 m² alana sahip kare şeklinde olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir, 1 m² 50 ruble ise, bir odayı duvar kağıdıyla kaplamanın en düşük maliyeti nedir?

Zemin ve tavan kare yani düzgün dörtgen olduğundan ve duvarları yatay yüzeylere dik olduğundan düzgün prizma olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gereklidir.

Odanın uzunluğu bir = √9 = 3 M.

Alan duvar kağıdıyla kaplanacak Kenar = 4 3 2,5 = 30 m².

Bu oda için en düşük duvar kağıdı maliyeti 50.30 = 1500 ruble

Bu nedenle dikdörtgen prizma ile ilgili problemleri çözmek için kare ve dikdörtgenin alanını ve çevresini hesaplayabilmek, ayrıca hacim ve yüzey alanını bulma formüllerini bilmek yeterlidir.

Bir küpün alanı nasıl bulunur

Prizma. Paralel borulu

Prizma iki yüzü eşit n-gon olan bir çokyüzlüdür (bazlar) , paralel düzlemlerde uzanır ve geri kalan n yüz paralelkenardır (yan yüzler) . Yan kaburga Prizmanın tabana ait olmayan tarafına prizmanın tarafı denir.

Prizma, yan kaburgalar Taban düzlemlerine dik olanlara denir dümdüz prizma (Şekil 1). Yan kenarlar taban düzlemlerine dik değilse prizma denir. eğimli . Doğru Prizma, tabanları düzgün çokgenler olan dik prizmadır.

Yükseklik prizma, tabanların düzlemleri arasındaki mesafedir. Diyagonal Prizma, aynı yüze ait olmayan iki köşeyi birleştiren bir segmenttir. Çapraz bölüm Aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzleme prizmanın kesiti denir. Dikey bölüm prizmanın yan kenarına dik olan bir düzleme prizmanın kesiti denir.

Yan yüzey alanı Bir prizmanın tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamına eşittir. Toplam yüzey alanı prizmanın tüm yüzlerinin alanlarının toplamı (yani yan yüzlerin alanları ile tabanların alanlarının toplamı) denir.

Rastgele bir prizma için aşağıdaki formüller doğrudur::

Nerede ben– yan kaburganın uzunluğu;

H- yükseklik;

P

Q

S tarafı

S dolu

S tabanı– üslerin alanı;

V– prizmanın hacmi.

Düz bir prizma için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P– taban çevresi;

ben– yan kaburganın uzunluğu;

H- yükseklik.

paralel yüzlü tabanı paralelkenar olan prizmaya denir. Yan kenarları tabanlara dik olan paralelyüzlüye denir doğrudan (İncir. 2). Yan kenarlar tabanlara dik değilse, paralel boru denir. eğimli . Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüzlüye denir dikdörtgen. Tüm kenarları eşit olan dikdörtgen paralelyüzlüye ne ad verilir? küp

Ortak köşeleri olmayan paralelyüzlü yüzlere ne ad verilir? zıt . Bir köşeden çıkan kenarların uzunluklarına denir ölçümler paralel yüzlü. Paralel borulu bir prizma olduğundan, ana elemanları prizmalarda tanımlandığı gibi tanımlanır.

Teoremler.

1. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve onu ikiye böler.

2. Dikdörtgen bir paralel boruda, köşegen uzunluğunun karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir:

3. Dikdörtgen paralel borunun dört köşegeninin tümü birbirine eşittir.

Rastgele bir paralelyüzlü için aşağıdaki formüller geçerlidir:

Nerede ben– yan kaburganın uzunluğu;

H- yükseklik;

P– dikey kesit çevresi;

Q– Dik kesit alanı;

S tarafı– yan yüzey alanı;

S dolu- toplam yüzey alanı;

S tabanı– üslerin alanı;

V– prizmanın hacmi.

Sağ paralel yüzlü için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P– taban çevresi;

ben– yan kaburganın uzunluğu;

H– sağ paralelyüzün yüksekliği.

Dikdörtgen paralel yüzlü için aşağıdaki formüller doğrudur:

(3)

Nerede P– taban çevresi;

H- yükseklik;

D– diyagonal;

ABC– paralelyüzlü ölçümler.

Bir küp için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede A– kaburga uzunluğu;

D- küpün köşegeni.

Örnek 1. Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeni 33 dm'dir ve boyutları 2: 6: 9 oranındadır. Paralel borunun boyutlarını bulun.

Çözüm. Paralel borunun boyutlarını bulmak için formül (3) kullanıyoruz, yani. Bir küpoidin hipotenüsünün karesinin boyutlarının karelerinin toplamına eşit olması gerçeğiyle. ile belirtelim k orantılılık faktörü. Daha sonra paralel borunun boyutları 2'ye eşit olacaktır. k, 6k ve 9 k. Problem verileri için formül (3)'ü yazalım:

Bu denklemi çözmek k, şunu elde ederiz:

Bu, paralel borunun boyutlarının 6 dm, 18 dm ve 27 dm olduğu anlamına gelir.

Cevap: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Örnek 2. Tabanı 8 cm kenarlı bir eşkenar üçgen olan eğimli üçgen prizmanın, yan kenarı tabanın kenarına eşit ve tabana 60° açıyla eğimli ise hacmini bulun.

Çözüm . Bir çizim yapalım (Şekil 3).

Eğik prizmanın hacmini bulmak için tabanının ve yüksekliğinin alanını bilmeniz gerekir. Bu prizmanın tabanının alanı, bir kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin alanıdır.Bunu hesaplayalım:

Bir prizmanın yüksekliği tabanları arasındaki mesafedir. Üstten AÜst tabanın 1'i, alt tabanın düzlemine dik olarak indirin A 1 D. Uzunluğu prizmanın yüksekliği olacaktır. D'yi düşünün A 1 reklam: çünkü bu yan kenarın eğim açısıdır A 1 A taban düzlemine, A 1 A= 8 cm Bu üçgenden şunu buluyoruz A 1 D:

Şimdi hacmi formül (1) kullanarak hesaplıyoruz:

Cevap: 192 cm3.

Örnek 3. Düzenli bir altıgen prizmanın yan kenarı 14 cm, en büyük çapraz bölümün alanı 168 cm2'dir. Prizmanın toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 4)

En büyük çapraz bölüm bir dikdörtgendir A.A. 1 GG 1 köşegenden beri reklam düzenli altıgen ABCDEF en geniş olanıdır. Prizmanın yan yüzey alanını hesaplamak için tabanın kenarını ve yan kenar uzunluğunu bilmek gerekir.

Çapraz bölümün alanını (dikdörtgen) bilerek tabanın köşegenini buluruz.

O zamandan beri

O zamandan beri AB= 6cm.

O halde tabanın çevresi:

Prizmanın yan yüzeyinin alanını bulalım:

Bir kenarı 6 cm olan düzgün altıgenin alanı:

Prizmanın toplam yüzey alanını bulun:

Cevap:

Örnek 4. Sağ paralel borunun tabanı bir eşkenar dörtgendir. Çapraz kesit alanları 300 cm2 ve 875 cm2'dir. Paralel borunun yan yüzeyinin alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 5).

Eşkenar dörtgenin kenarını şu şekilde gösterelim: A, bir eşkenar dörtgenin köşegenleri D 1 ve D 2, paralel yüzlü yükseklik H. Sağ paralel borunun yan yüzeyinin alanını bulmak için tabanın çevresini yükseklikle çarpmak gerekir: (formül (2)). Temel çevre p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, Çünkü ABCD- eşkenar dörtgen H = AA 1 = H. O. Bulmak gerek A Ve H.

Çapraz bölümleri ele alalım. AA 1 SS 1 - bir tarafı eşkenar dörtgenin köşegeni olan bir dikdörtgen AC = D 1, ikinci – yan kenar AA 1 = H, Daha sonra

Bölüm için de aynı şekilde BB 1 GG 1 şunu elde ederiz:

Paralelkenarın köşegenlerin karelerinin toplamı tüm kenarlarının karelerinin toplamına eşit olması özelliğini kullanarak eşitliği elde ederiz. Aşağıdakini elde ederiz.

Tanım. Prizma tüm köşeleri iki paralel düzlemde bulunan bir çokyüzlüdür ve bu aynı iki düzlemde prizmanın iki yüzü bulunur, bunlar karşılık gelen paralel kenarlara sahip eşit çokgenlerdir ve bu düzlemlerde yer almayan tüm kenarlar paraleldir.

İki eşit yüze denir prizma üsleri(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmanın diğer tüm yüzlerine denir yan yüzler(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tüm yan yüzler oluşur prizmanın yan yüzeyi .

Prizmanın tüm yan yüzleri paralelkenardır .

Tabanlarda yer almayan kenarlara prizmanın yan kenarları denir ( AA 1, BB 1, CC 1, GG 1, EE 1).

Prizma diyagonal uçları bir prizmanın aynı yüzünde yer almayan iki köşesi olan bir segmenttir (MS 1).

Prizmanın tabanlarını birleştiren ve her iki tabana aynı anda dik olan doğru parçasının uzunluğuna ne ad verilir? prizma yüksekliği .

Tanım:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Önce çapraz sırayla bir tabanın köşeleri gösterilir ve ardından aynı sırayla diğerinin köşeleri gösterilir; her bir yan kenarın uçları aynı harflerle gösterilir, yalnızca bir tabanda bulunan köşeler gösterilir indekssiz harflerle ve diğerinde - indeksli)

Prizmanın adı, tabanındaki şekildeki açıların sayısıyla ilişkilidir, örneğin Şekil 1'de tabanda bir beşgen vardır, dolayısıyla prizmaya denir beşgen prizma. Ama çünkü böyle bir prizmanın 7 yüzü vardır, o zaman yediyüzlü(2 yüz - prizmanın tabanları, 5 yüz - paralelkenar, - yan yüzleri)

Düz prizmalar arasında özel bir tür öne çıkıyor: düzenli prizmalar.

Düz prizmaya denir doğru, tabanları düzgün çokgenler ise.

sen doğru prizma tüm yan yüzler eşit dikdörtgenlerdir. Prizmanın özel bir durumu paralel yüzlüdür.

Paralel borulu

Paralel borulu tabanında bir paralelkenar (eğik bir paralelyüz) bulunan dörtgen bir prizmadır. Sağ paralel yüzlü- yan kenarları taban düzlemlerine dik olan bir paralel uçlu.

Dikdörtgen paralel yüzlü- tabanı dikdörtgen olan sağ paralel yüzlü.

Özellikler ve teoremler:

Paralelkenarın bazı özellikleri paralelkenarın bilinen özelliklerine benzer.Eşit boyutlara sahip dikdörtgen paralelyüze denir. küp .Küpün tüm yüzleri eşit karelerdir.Köşegenin karesi üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir.

,

burada d karenin köşegenidir;
a karenin kenarıdır.

Bir prizma fikri şu şekilde verilir:

• çeşitli mimari yapılar;
• Çocuk oyuncakları;
• ambalaj kutuları;
• tasarımcı öğeleri vb.

Prizmanın toplam ve yan yüzeyinin alanı

Prizmanın toplam yüzey alanı tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır Yan yüzey alanı yan yüzlerinin alanlarının toplamı denir. Prizmanın tabanları eşit çokgenler olduğundan alanları da eşittir. Bu yüzden

S dolu = S tarafı + 2S ana,

Nerede S dolu- toplam yüzey alanı, S tarafı-yan yüzey alanı, S tabanı- üs alanı

Düz bir prizmanın yan yüzey alanı, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir..

S tarafı= P temel * h,

Nerede S tarafı-düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı,

P ana - düz bir prizmanın tabanının çevresi,

h, düz prizmanın yan kenara eşit yüksekliğidir.

Prizma hacmi

Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Ders: Prizma, tabanları, yan kaburgaları, yüksekliği, yan yüzeyi; düz prizma; doğru prizma

Prizma

Önceki sorulardan düz şekilleri bizimle öğrendiyseniz, üç boyutlu şekilleri çalışmaya tamamen hazırsınız demektir. Öğreneceğimiz ilk katı prizma olacaktır.

Prizma hacimsel bir cisimdir çok sayıda yüzler.

Bu şeklin tabanlarında paralel düzlemlerde bulunan iki çokgen vardır ve tüm yan yüzleri paralelkenar şeklindedir.

Şekil 1. Şekil. 2

Öyleyse bir prizmanın neyden oluştuğunu bulalım. Bunu yapmak için Şekil 1'e dikkat edin.

Daha önce de belirtildiği gibi, bir prizmanın birbirine paralel iki tabanı vardır; bunlar ABCEF ve GMNJK beşgenleridir. Üstelik bu çokgenler birbirine eşittir.

Prizmanın diğer tüm yüzlerine yan yüzler denir - paralelkenarlardan oluşurlar. Örneğin BMNC, AGKF, FKJE vb.

Tüm yan yüzlerin toplam yüzeyine denir Yanal yüzey.

Her bir bitişik yüz çiftinin ortak bir tarafı vardır. Çok ortak taraf kaburga denir. Örneğin MV, SE, AB, vb.

Prizmanın üst ve alt tabanı dik olarak birbirine bağlanırsa buna prizmanın yüksekliği adı verilecektir. Şekilde yükseklik OO 1 düz çizgisi olarak işaretlenmiştir.

İki ana prizma türü vardır: eğik ve düz.

Prizmanın yan kenarları tabanlara dik değilse böyle bir prizma denir. eğimli.

Bir prizmanın tüm kenarları tabanlara dik ise bu tür prizmaya prizma denir. dümdüz.

Bir prizmanın tabanları düzgün çokgenler (kenarları eşit olanlar) içeriyorsa, böyle bir prizmaya prizma denir. doğru.

Bir prizmanın tabanları birbirine paralel değilse bu tür prizmaya prizma denir. kesilmiş.

Şekil 2'de görebilirsiniz.

Prizmanın hacmini ve alanını bulmak için formüller

Hacmi bulmak için üç temel formül vardır. Uygulamada birbirlerinden farklıdırlar:

Bir prizmanın yüzey alanını bulmak için benzer formüller: