Yardımcı bir argüman sunarak denklemleri çözme. Yardımcı açı ekleme yöntemi

Ders:"Çözüm yöntemleri trigonometrik denklemler».

Dersin Hedefleri:

eğitici:

Trigonometrik denklem türlerini ayırt etme becerilerini geliştirmek;

Trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin anlaşılmasının derinleştirilmesi;

eğitici:

Yetiştirilme bilişsel ilgi eğitim sürecine;

Belirli bir görevi analiz etme yeteneğinin oluşumu;

gelişmekte:

Bir durumu analiz etme ve ardından bu durumdan en rasyonel yolu seçme becerisini geliştirmek.

Teçhizat: temel trigonometrik formüller, bilgisayar, projektör, ekran içeren poster.

Herhangi bir denklemi çözmek için temel tekniği tekrarlayarak derse başlayalım: onu standart görünüm. Dönüşümler yoluyla doğrusal denklemler ax = b formuna, ikinci dereceden denklemler ise formuna indirgenir balta 2 +bx +c =0. Trigonometrik denklemler söz konusu olduğunda, bunları en basit biçimine indirgemek gerekir: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ki bunlar kolayca çözülebilir.

Elbette bunun için öncelikle temel bilgileri kullanmak gerekiyor. trigonometrik formüller posterde sunulanlar: toplama formülleri, çift açılı formüller, denklemin çokluğunun azaltılması. Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten biliyoruz. Bunlardan bazılarını tekrarlayalım:

Aynı zamanda çözümü bazı özel tekniklerin bilinmesini gerektiren denklemler de vardır.

Dersimizin konusu bu teknikleri dikkate almak ve trigonometrik denklemleri çözmek için yöntemleri sistematik hale getirmektir.

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

1. Şuna dönüştür: ikinci dereceden denklem Bazı trigonometrik fonksiyonlara göre değişken değişikliği takip eder.

Listelenen yöntemlerin her birine örneklerle bakalım, ancak ilk ikisini denklemleri çözerken zaten kullandığımız için son ikisinde daha ayrıntılı olarak duralım.

1. Bazı trigonometrik fonksiyonlara göre ikinci dereceden denklemlere dönüşüm.

2. Denklemleri çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözme.

3. Homojen denklemlerin çözülmesi.

Birinci ve ikinci derecenin homojen denklemleri şu formdaki denklemlerdir:

sırasıyla (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Homojen denklemleri çözerken, denklem teriminin her iki tarafını da (1) denklemi için cosx'e, (2) denklemi için cos 2 x'e bölün. Bu bölme mümkündür çünkü sinx ve cosx aynı anda sıfıra eşit değildir; farklı noktalar. Birinci ve ikinci derecenin homojen denklemlerini çözme örneklerini ele alalım.

Bu denklemi hatırlayalım: Bir sonraki yöntemi düşünürken - yardımcı bir argüman sunarak, onu farklı bir şekilde çözelim.

4. Yardımcı bir argümanın tanıtılması.

Önceki yöntemle çözülmüş olan denklemi ele alalım:

Gördüğünüz gibi aynı sonuç elde ediliyor.

Başka bir örneğe bakalım:

Ele alınan örneklerde, yardımcı bir argüman eklemek için orijinal denklemde neyin bölünmesi gerektiği genel olarak açıktı. Ancak hangi bölenin seçileceği açık olmayabilir. Bunun için şimdi ele alacağımız özel bir teknik var. Genel görünüm. Denklem verilsin:

Denklemi şuna bölün: Kare kök ifade (3)'ten şunu elde ederiz:

asinx + bcosx = c ,

o zaman a 2 + b 2 = 1 ve dolayısıyla a = sinx ve b = cosx. Fark kosinüs formülünü kullanarak en basit trigonometrik denklemi elde ederiz:

ki bu kolayca çözülebilir.

Bir denklemi daha çözelim:

Çift açı ve indirgeme formüllerini kullanarak denklemi tek bir argümana - 2 x - indirgeyelim:

Önceki denklemlere benzer şekilde, toplam formülünün sinüsünü kullanarak şunu elde ederiz:

bunu çözmek de kolaydır.

Çözüm yöntemini daha önce belirledikten sonra kendiniz karar verin:

Dersin çıktısı çözümü kontrol etmek ve öğrencileri değerlendirmektir.

Ödev: paragraf 11, notlar, No. 164(b, d), 167(b, d), 169(a, b), 174(a, c).

Ek (yardımcı) argüman için formül

Formun bir ifadesini düşünün

ve sayıları aynı anda sıfıra eşit değildir. Her terimi çarpıp bölelim ve ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım:

Bunu kontrol etmek kolaydır

bu, Teorem 2'ye göre öyle bir gerçek açının olduğu anlamına gelir:

Böylece toplam formülünün sinüsünü kullanarak şunu elde ederiz:

burada ve gibi açıya yardımcı argüman formülü denir ve homojen olmayan problemleri çözerken kullanılır doğrusal denklemler ve eşitsizlikler.

Ters trigonometrik fonksiyonlar

Tanımlar

Şu ana kadar verilen açıların trigonometrik fonksiyonlarını belirleme problemini çözdük. Peki ya sorun tam tersiyse: Herhangi bir trigonometrik fonksiyonu bilerek karşılık gelen açıyı belirleyin.

arksinüs

Bilinen bir gerçek sayının nerede olduğu ifadesini düşünün. Tanım gereği sinüs, apsis ekseni ve trigonometrik daire ile bir açı oluşturan ışının kesişme noktasının koordinatıdır. Bu nedenle denklemi çözmek için düz bir çizgi ile trigonometrik dairenin kesişme noktalarını bulmanız gerekir.

Açıkçası, 'de düz çizgi ile dairenin ortak noktaları yoktur ve bu nedenle denklemin çözümü yoktur. Yani sinüsü mutlak değeri 1'den büyük olan bir açı bulmak imkansızdır.

Örneğin, düz bir çizgi ile bir dairenin kesişme noktaları olduğunda ve (şekle bakın). Böylece, tam sayıda tam devirle onlardan farklı olan tüm açıların belirli bir sinüsü olacaktır, yani. , - sonsuz sayıda açı. Bu sonsuz çeşitlilik arasından bir açı nasıl seçilir?

Sayıya karşılık gelen açıyı benzersiz bir şekilde belirlemek için ek bir koşulun yerine getirilmesi gerekir: Bu açı segmente ait olmalıdır. Bu açıya sayının ark sinüsü denir. açı trigonometrik fonksiyon özdeşliği

Arksinüs gerçek Numara sinüsü eşit olan gerçek bir sayıdır. Bu numara belirlendi.

ark kosinüs

Şimdi formun bir denklemini ele alalım. Bunu çözmek için trigonometrik çember üzerinde apsisi olan tüm noktaları bulmak gerekir, yani. bir çizgiyle kesişme noktaları. Önceki durumda olduğu gibi, ele alınan denklemin çözümü yoktur. Ve eğer düz bir çizgi ile bir dairenin sonsuz sayıda açıya karşılık gelen kesişme noktaları varsa, .

Belirli bir kosinüse karşılık gelen açıyı benzersiz bir şekilde belirlemek için ek bir koşul getirilir: bu açı segmente ait olmalıdır; böyle bir açıya sayının ark kosinüsü denir.

ark kosinüs gerçek sayı kosinüsü eşit olan gerçek sayıdır. Bu numara belirlendi.

Arktanjant ve arkkotanjant

İfadeye bakalım. Bunu çözmek için daire üzerinde çizgiyle tüm kesişme noktalarını bulmanız gerekir, eğim düz çizginin eğim açısının apsis ekseninin pozitif yönüne olan tanjantına eşittir. Böyle bir çizgi, tüm gerçek değerler için trigonometrik çemberi iki noktada keser. Bu noktalar orijine göre simetriktir ve açılara karşılık gelir.

Belirli bir teğet ile bir açıyı kesin olarak belirlemek için aralıktan seçilir.

arktanjant Rasgele bir gerçek sayı, tanjantı kendisine eşit olan bir gerçek sayıdır. Bu numara belirlendi.

Bir açının ark tanjantını belirlemek için benzer bir mantık kullanılır; tek fark, bir dairenin düz bir çizgiyle kesişiminin dikkate alınması ve açının aralıktan seçilmesidir.

Arkotanjant Rastgele bir gerçek sayı, kotanjantı kendisine eşit olan bir gerçek sayıdır. Bu numara belirlendi.

Ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri

Tanım alanı ve anlam alanı

Tek çift

Ters trigonometrik fonksiyonları dönüştürme

Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadeleri dönüştürmek için sıklıkla bu fonksiyonların tanımından aşağıdaki özellikler kullanılır:

Tuttuğu herhangi bir gerçek sayı için

ve tam tersi:

Benzer şekilde tuttuğu herhangi bir gerçek sayı için

ve tam tersi:

Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Bir fonksiyonun grafiğini bir parça üzerinde çizerek başlayalım. Bunu yapmak için trigonometrik çember üzerindeki sinüs tanımını kullanacağız. Trigonometrik daireyi şuna bölün: (içinde) bu durumda 16) eşit parçalar ve yakına, eksen üzerindeki parçanın da eşit parçalara bölündüğü bir koordinat sistemi yerleştirin. Dairenin bölme noktaları boyunca eksene paralel düz çizgiler çizerek, bu çizgilerin eksen üzerindeki karşılık gelen bölme noktalarından geri yüklenen diklerle kesiştiği noktada, koordinatları tanım gereği sinüslere eşit olan noktalar elde ederiz. karşılık gelen açılar. Bu noktalardan düzgün bir eğri çizerek fonksiyonun grafiğini elde ederiz. Tüm sayı doğrusu üzerinde bir fonksiyonun grafiğini elde etmek için sinüsün periyodikliğini kullanın: , .

Fonksiyonun grafiğini elde etmek için indirgeme formülünü kullanacağız. Böylece, bir fonksiyonun grafiği, bir fonksiyonun grafiğinden bir uzunluk parçası kadar sola paralel ötelemeyle elde edilir.

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini kullanmak, indirgeme formüllerini elde etmenin başka bir kolay yolunu sağlar. Birkaç örneğe bakalım.

İfadeyi sadeleştirelim. Eksen üzerinde açıyı belirtiriz ve sinüsünü ve kosinüsünü sırasıyla ve olarak gösteririz. Eksen üzerindeki açıyı bulalım ve sinüs grafiğiyle kesişme noktasına dik olanı geri getirelim. Şekilden de anlaşılıyor.

Görev: ifadeyi basitleştirin.

Fonksiyonun grafiğini oluşturmaya devam edelim. İlk olarak, bir açı için teğetin doğru parçasının uzunluğu olduğunu unutmayın. AB. Sinüs grafiği oluşturmaya benzeterek, sağ yarım daireyi eşit parçalara bölerek ve elde edilen teğet değerleri çizerek, şekilde gösterilen grafiği elde ederiz. Diğer değerler için grafik, teğet periyodiklik özelliği kullanılarak elde edilir.

Grafikteki noktalı çizgiler asimptotları temsil eder. Asimptot Bir eğri, eğrinin sonsuza giderken istenildiği kadar yaklaştığı ancak onunla kesişmediği düz bir çizgidir.

Bir teğet için asimptotlar, görünümü bu noktalarda sıfıra dönüşümle ilişkilendirilen düz çizgilerdir.

Benzer akıl yürütme kullanılarak fonksiyonun bir grafiği elde edilir. Bunun için asimptotlar düz çizgilerdir. Bu grafik aynı zamanda indirgeme formülü kullanılarak da elde edilebilir; simetrinin eksene göre dönüşümü ve sağa kayması.

Trigonometrik fonksiyonların özellikleri

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri

İlk önce ters fonksiyon kavramını tanıtıyoruz.

Bir fonksiyon monoton olarak artıyor veya azalıyorsa, o zaman onun için var olan bir fonksiyon vardır. ters fonksiyon. Ters fonksiyonun grafiğini oluşturmak için grafiğin düz çizgiye göre simetri dönüşümüne tabi tutulması gerekir. Şekillerde ters fonksiyonun grafiğinin elde edilmesine ilişkin bir örnek gösterilmektedir.

Arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant fonksiyonları sırasıyla sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tersi olduğundan, bunların grafikleri yukarıda açıklanan dönüşümle elde edilir. Şekillerdeki orijinal fonksiyonların grafikleri gölgelendirilmiştir.

Yukarıdaki şekillerden ters trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerinden biri açıktır: aynı sayının ortak fonksiyonlarının toplamı verir.

Cebir derslerinde öğretmenler bize, standart yöntemlerle - ne çarpanlara ayırma yoluyla, ne değişken değişikliğiyle, hatta homojen terimlerle - çözülemeyen küçük (aslında çok büyük) bir trigonometrik denklem sınıfının olduğunu söylüyorlar. Bu durumda, temelde farklı bir yaklaşım devreye giriyor - yardımcı açı yöntemi.

Bu yöntem nedir ve nasıl uygulanır? Öncelikle toplamın/farkın sinüsü ve toplamın/farkın kosinüsü formüllerini hatırlayalım:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]

Bu formüllerin sizin tarafınızdan iyi bilindiğini düşünüyorum - onlardan çift argüman formülleri türetilir, bu olmadan trigonometride kesinlikle hiçbir yer yoktur. Şimdi basit bir denkleme bakalım:

Her iki tarafı da 5'e bölün:

$((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 olduğunu unutmayın $, bu sayıların sırasıyla kosinüs ve sinüs olduğu bir $\alpha $ açısının mutlaka olacağı anlamına gelir. Bu nedenle denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]

Ve bu zaten kolayca çözüldü, bundan sonra geriye kalan tek şey nedenini bulmak. açıya eşit$\alfa$. Denklemin her iki tarafını bölmek için doğru sayının nasıl seçileceği ve nasıl bulunacağı (bu bölümde) basit örnek 5'e böldük) - bugünün video dersinde bunun hakkında:

Bugün trigonometrik denklemlerin çözümünü veya daha doğrusu "yardımcı açı yöntemi" adı verilen tek bir tekniği analiz edeceğiz. Neden bu yöntem? Çünkü son iki ya da üç gün boyunca trigonometrik denklemlerin çözümünü anlattığım öğrencilere ders verirken ve diğer şeylerin yanı sıra yardımcı açı yöntemini incelerken tüm öğrenciler tek vücut olarak aynı hatayı yaptı. . Ancak yöntem genel olarak basittir ve ayrıca trigonometrideki ana tekniklerden biridir. Bu nedenle birçok trigonometrik problem, yardımcı açı yöntemi dışında hiçbir şekilde çözülemez.

Bu nedenle, şimdi önce birkaç basit göreve bakacağız, sonra daha ciddi görevlere geçeceğiz. Ancak tüm bunlar öyle ya da böyle ilk tasarımda özünü anlatacağım yardımcı açı yöntemini kullanmamızı gerektirecektir.

Basit trigonometrik problemleri çözme

Örnek 1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

İfademizi biraz değiştirelim:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Bunu nasıl çözeceğiz? Standart hile, çift açı formüllerini kullanarak $\sin 2x$ ve $\cos 2x$'yi çözmek ve ardından birimi $((\sin )^(2))x((\cos )^(2) olarak yeniden yazmaktır. )x$, al homojen denklem, teğetlere getir ve çöz. Ancak bu, büyük miktarda hesaplama gerektiren uzun ve meşakkatli bir yoldur.

Bunu düşünmenizi öneririm. $\sin$ ve $\cos$ var. Toplam ve farkın kosinüs ve sinüs formülünü hatırlayalım:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Örneğimize dönelim. Her şeyi farkın sinüsüne indirgeyelim. Ama önce denklemin biraz dönüştürülmesi gerekiyor. Katsayıyı bulalım:

$\sqrt(l)$, sinüs ve kosinüsün önünde sinüs ve kosinüs olan sayıların görünmesi için denklemin her iki tarafını da bölmek için gereken aynı katsayıdır. Bölelim:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Solda ne olduğuna bakalım: $\sin $ ve $\cos $ var mı, öyle ki $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ ve $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Açıkçası şu var: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text() )(6)$. Bu nedenle ifademizi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text())(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( )(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Artık farkın sinüsünün formülünü biliyoruz. Şu şekilde yazabiliriz:

\[\sin \left(2x-\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]

Burada en basit klasik trigonometrik yapıya sahibiz. Hatırlatmama izin ver:

Bunu özel ifademiz için yazacağız:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text()( )(6)=\frac(\text() )\!\! \pi\!\!\text( )(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text() )\!\ !\pi\!\!\text( )(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Çözümün nüansları

Peki benzer bir örnekle karşılaşırsanız ne yapmalısınız:

1. Gerekirse tasarımı değiştirin.
2. Düzeltme faktörünü bulun, kökünü alın ve örneğin her iki tarafını da buna bölün.
3. Bakalım sayıların hangi sinüs ve kosinüs değerlerini aldığını görelim.
4. Denklemi sinüs veya kosinüs farkı veya toplam formüllerini kullanarak genişletiyoruz.
5. En basit trigonometrik denklemi çözüyoruz.

Bu bağlamda dikkatli öğrencilerin muhtemelen iki sorusu olacaktır.

Düzeltme faktörünü bulma aşamasında $\sin $ ve $\cos $ yazmamızı engelleyen nedir? - Temel trigonometrik özdeşlik bizi engelliyor. Gerçek şu ki, ortaya çıkan $\sin $ ve $\cos $, aynı argümana sahip diğerleri gibi, karesi alındığında toplamda tam olarak "bir" vermelidir. Karar sürecinde çok dikkatli olmanız ve “X” önündeki “2”yi kaybetmemeniz gerekiyor.

Yardımcı açı yöntemi, "çirkin" bir denklemi tamamen yeterli ve "güzel" bir denkleme indirgemeye yardımcı olan bir araçtır.

Örnek No.2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

$((\sin )^(2))x$ elimizde olduğunu görüyoruz, o halde güç azaltma hesaplamalarını kullanalım. Ancak kullanmadan önce onları çıkaralım. Bunu yapmak için çift açının kosinüsünü nasıl bulacağınızı unutmayın:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]

Üçüncü seçeneğe $\cos 2x$ yazarsak şunu elde ederiz:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Ayrı ayrı yazacağım:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

Aynı şey $((\cos )^(2))x$ için de yapılabilir:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Sadece ilk hesaplamalara ihtiyacımız var. Görev üzerinde çalışmaya başlayalım:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Şimdi farkın kosinüsü hesaplamalarını kullanalım. Ama önce $l$ düzeltmesini hesaplayalım:

Bu gerçeği dikkate alarak yeniden yazalım:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

Bu durumda $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$ şeklinde yazabiliriz ve $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Tekrar yazalım:

\[\sin \frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( )(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

Parantez içine bir eksi koyalım kurnaz bir şekilde. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:

\[\cos \left(\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text() )\!\!\pi\! \!\text( )(\text(3))+2x \right)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \sağ)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

İfademize dönelim ve $\varphi $ rolünde $-\frac(2\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(3)+2x ifadesine sahip olduğumuzu hatırlayalım. $. Bu nedenle şunu yazalım:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos X\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

Bu sorunu çözmek için şunu hatırlamanız gerekir:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Örneğimize bakalım:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Bu denklemlerin her birini hesaplayalım:

Ve ikinci:

Son cevabı yazalım:

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]

Çözümün nüansları

Aslında bu ifade birçok farklı yolla çözülebilir ancak bu durumda optimal olan yardımcı açı yöntemidir. Ayrıca, bu tasarımı örnek olarak kullanarak, birkaç ilginç teknik ve gerçekliğe daha dikkatinizi çekmek istiyorum:

• Dereceleri azaltmak için formüller. Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yok ama nasıl elde edileceğini bilmeniz gerekiyor, bugün size bunu anlattım.
• $\cos \alpha =\cos \beta $ formundaki denklemleri çözme.
• Bir "sıfır" ekleniyor.

Ama hepsi bu değil. Şu ana kadar ek argüman olarak türettiğimiz $\sin $ ve $\cos $ değerlerinin pozitif olması gerektiğine inanıyorduk. Bu nedenle şimdi daha karmaşık sorunları çözeceğiz.

Daha karmaşık problemlerin analizi

Örnek 1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

İlk terimi dönüştürelim:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \sağ)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

Şimdi tüm bunları orijinal yapımızda yerine koyalım:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatöradı(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Değişikliklerimizi tanıtalım:

Şunları yazıyoruz:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

$\sin $ veya $\cos $'ın $\frac(3)(5)$ ve $\frac(4)(5)$'a eşit olacağı $\alpha $ trigonometrik tablo HAYIR. O halde bunu şu şekilde yazalım ve ifadeyi toplamın sinüsüne indirgeyelim:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

Bu özel bir durumdur, en basit trigonometrik yapıdır:

Geriye $\varphi $'ın neye eşit olduğunu bulmak kalıyor. Pek çok öğrencinin yanıldığı nokta burasıdır. Gerçek şu ki, $\varphi $ iki gereksinime tabidir:

\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]

Bir radar çizelim ve bu tür değerlerin nerede oluştuğunu görelim:

İfademize dönersek şunu yazıyoruz:

Ancak bu giriş biraz optimize edilebilir. Çünkü şunları biliyoruz:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(2))),\]

o zaman bizim durumumuzda bunu şöyle yazabiliriz:

Örnek No.2

Bu, trigonometri olmadan standart problemleri çözmeye yönelik tekniklerin daha da derinlemesine anlaşılmasını gerektirecektir. Ancak bu örneği çözmek için yardımcı açı yöntemini de kullanıyoruz.\[\]

Gözünüze çarpan ilk şey, birinciden daha yüksek derecelerin olmaması ve bu nedenle hiçbir şeyin derecelerin ayrıştırılması formüllerine göre genişletilemeyeceğidir. Ters hesaplamaları kullanın:

Neden 5$ ödedim? Buraya bak:

Temel göre bir ünite trigonometrik özdeşlik bunu $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$ olarak yazabiliriz:

Böyle bir kayıt bize ne verir? Gerçek şu ki, ilk parantez tam bir kare içeriyor. Bunu daraltalım ve şunu elde edelim:

Yeni bir değişken tanıtmayı öneriyorum:

\[\sin x+\cos x=t\]

Bu durumda şu ifadeyi elde ederiz:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

Toplamda şunu elde ederiz:

\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]

Elbette bilgili öğrenciler artık bu tür yapıların homojen bir yapıya indirgenerek kolaylıkla çözülebileceğini söyleyeceklerdir. Ancak her denklemi yardımcı açı yöntemini kullanarak çözeceğiz. Bunu yapmak için öncelikle $l$ düzeltmesini hesaplıyoruz:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Her şeyi $\sqrt(2)$'a bölelim:

\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(hizala) \sağ.\]

Her şeyi $\cos $'a indirgeyelim:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )( )(4)+\sin x\sin \frac(\text() )\!\ !\pi\!\!\text( )(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ sağ)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(hizalama) \sağ.\]

Bu ifadelerin her birine bakalım.

İlk denklemin kökleri yoktur ve bu gerçeği kanıtlamak için paydadaki irrasyonellik bize yardımcı olacaktır. Şunu not edelim:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]

Toplamda $\cos \left(x-\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ olması gerektiğini açıkça kanıtladık. sayıya eşit"bir"den büyüktür ve bu nedenle bu yapının kökleri yoktur.

Gelelim ikincisine:

Bu yapıyı çözelim:

Prensip olarak cevabı şu şekilde bırakabilir veya yazabilirsiniz:

Önemli noktalar

Sonuç olarak, “çirkin” argümanlarla çalışmaya bir kez daha dikkatinizi çekmek istiyorum. $\sin $ ve $\cos $ tablo değerleri olmadığında. Sorun şu ki, denklemimizde $\frac(3)(5)$'ın $\cos $ olduğunu ve $\frac(4)(5)$'ın $\sin $ olduğunu söylersek, o zaman sonunda Tasarıma karar verirken bu gereksinimlerin her ikisini de dikkate almamız gerekir. İki denklemden oluşan bir sistem elde ediyoruz. Eğer bunu dikkate almazsak aşağıdaki durumla karşılaşırız. Bu durumda iki puan alacağız ve $\varphi $ yerine iki rakamımız olacak: $\arcsin \frac(4)(5)$ ve $-\arcsin \frac(4)(5)$, ama ikincisi bizi hiçbir şekilde tatmin etmiyor. Aynı şey $\frac(3)(5)$ noktasında da olacaktır.

Bu sorun yalnızca şu durumlarda ortaya çıkar: Hakkında konuşuyoruz“çirkin” argümanlar hakkında. Tablo değerlerimiz olunca öyle bir şey olmuyor.

Umarım bugünkü ders yardımcı açı yönteminin ne olduğunu ve örneklerle nasıl uygulanacağını anlamanıza yardımcı olmuştur. farklı seviyeler zorluklar. Ancak yardımcı açı yöntemini kullanarak problemleri çözmeye ayrılan tek ders bu değil. O halde bizi izlemeye devam edin!

10-11. Sınıflar için ders özeti

Konu 1 : Yardımcı argüman sunma yöntemi. Formüllerin türetilmesi.

Hedefler:

Kullanımının mümkün veya gerekli olduğu trigonometri görevlerini çözmek için yeni bir yöntem bilgisinin oluşturulması;

Sorun koşullarını analiz etme, karşılaştırma ve farklılıkları bulma becerilerinin oluşturulması;

Düşüncenin gelişimi, mantık ve ifadelerin geçerliliği, sonuç çıkarma ve genelleme yeteneği;

Konuşma geliştirme, zenginleştirme ve komplikasyon kelime bilgisi, öğrencilerin dilin ifade edici özelliklerine hakimiyeti;

Konuya karşı bir tutum oluşturmak, bilgi tutkusu, bilgi edinme konusunda yaratıcı, standart dışı bir yaklaşım için koşullar yaratmak.

Gerekli bilgi, beceri ve yetenekler:

Trigonometrik formülleri türetebilme ve bunları kullanabilme daha fazla çalışma;

Trigonometrik problemleri çözebilmeli veya nasıl çözüleceğine dair fikir sahibi olabilmeli;

Temel trigonometrik formülleri bilir.

Öğrencilerin bilinçli algıya hazırlık düzeyi:

Teçhizat: AWS, görev koşullarını, çözümleri ve gerekli formülleri içeren sunum, görevleri ve yanıtları içeren kartlar.

Ders yapısı:

1. Ders hedefini belirlemek (2

Yeni materyali çalışmaya hazırlanmak (12 dk).

Yeni materyale giriş (15 dk).

Öğrenilenlerin ilk anlaşılması ve uygulanması (10 dk).

Ödev hazırlama (3 dk).

Dersin özeti (3 dk).

Dersler sırasında.

1. Dersin amacını belirlemek.

Öğrencilerin ve ekipmanların derse hazır olup olmadığını kontrol edin. Önceden hazırlanmanız tavsiye edilir Ev ödeviÇözümü görüşmek üzere kurulda. Dersin amacının bazı trigonometri görevlerini çözme yöntemleri hakkındaki bilgiyi genişletmek ve bu konularda uzmanlaşmaya çalışmak olduğunu unutmayın.

2. Yeni materyali incelemeye hazırlık.

Ödevinizi tartışın: Basit argümanlar için temel trigonometrik formülleri, trigonometrik fonksiyonların değerlerini hatırlayın. Ödev probleminin ifadesini tekrarlayın.

Formüller:

; ;

; ;

Görev:İfadeyi bir ürün olarak düşünün.

Öğrenciler büyük olasılıkla aşağıdaki çözümü bulacaklardır:

Çünkü trigonometrik fonksiyonların toplamını çarpıma dönüştürmenin formüllerini biliyorlar.

Soruna başka bir çözüm önerelim: . Burada çözüm, yardımcı olduğu iki argümanın farkı için kosinüs formülünü kullanır. Bu yöntemlerin her birinde diğer benzer formüllerin kullanılabileceğini unutmayın.

3. Yeni materyale aşinalık.

Şu soru ortaya çıkıyor: Yardımcı argüman nereden geldi?

Bunun cevabını bulmak için şunu düşünün ortak karar Sorunu çözdüğümüzde, ifadeyi ve'nin sıfırdan farklı keyfi sayılar olduğu bir çarpıma dönüştürüyoruz.

ek bir açı (yardımcı argüman) ekleyelim, burada ifademiz şu şekli alacaktır:

Böylece şu formülü elde ettik: .

, formüllerini kullanarak açıyı girersek, ifade şu formu alacaktır ve formülün farklı bir formunu elde edeceğiz: .

Yardımcı argüman formülleri adı verilen tamamlayıcı açı formüllerini türettik:

Formüllerin farklı bir formu olabilir (buna dikkat etmeniz gerekiyor) Özel dikkat ve örneklerle gösterin).

En basit durumlarda, yardımcı bir argüman ekleme yönteminin sayıların değiştirilmesine bağlı olduğunu unutmayın; ; ; ; 1; trigonometrik fonksiyonlar karşılık gelen açılar.

4. Öğrenilenlerin ilk anlaşılması ve uygulanması .

Materyali pekiştirmek için birkaç örnek görevin daha dikkate alınması önerilmektedir:

Bunu şu ifadenin bir ürünü olarak düşünün:

Sınıfta 3. ve 4. ödevlerin gözden geçirilmesi tavsiye edilir (ödevlerin analizi sınıf materyallerine dahil edilmiştir). Bağımsız çözüm için Görev 1, 2 ve 5 alınabilir (cevaplar verilmiştir).

Söz konusu çözüm yönteminin kullanılabileceği tipik görevlerin koşullarının özelliklerini analiz etmek için çeşitli yöntemler kullanılabilir. Görev 1.'in tamamlanabileceğini unutmayın Farklı yollar ve 2 - 5 arasındaki görevleri tamamlamak için yardımcı açı ekleme yöntemini kullanmak daha uygundur

Yüz yüze görüşme sırasında bu görevler ile dersin başında tartışılan örnek arasındaki benzerlikleri, farklılıkların neler olduğunu, önerilen yöntemin bunları çözmek için kullanılıp kullanılamayacağını ve kullanımının neden daha uygun olduğunu tartışmalısınız. .

Benzerlik: Önerilen tüm örneklerde yardımcı argüman sunma yöntemini kullanmak mümkündür ve bu, doğrudan sonuca götüren daha uygun bir yöntemdir.

Fark: İlk örnekte farklı bir yaklaşım kullanmak mümkündür, ancak diğerlerinin hepsinde bir değil birkaç formül kullanarak yardımcı bir argüman kullanmak mümkündür.

Görevleri tartıştıktan sonra çocukları evde kalan görevleri kendileri çözmeye davet edebilirsiniz.

5. Ödev verme.

Evde ders notlarını dikkatle incelemeniz ve aşağıdaki alıştırmaları çözmeye çalışmanız teşvik edilir.

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

Trigonometrik bir denklemin çözümü iki aşamadan oluşur: denklem dönüşümü en basitine ulaşmak için türü (yukarıya bakın) ve çözümortaya çıkan en basit trigonometrik denklem. Yedi tane var Trigonometrik denklemlerin çözümü için temel yöntemler.

1. Cebirsel yöntem.

(değişken değiştirme ve ikame yöntemi).

2. Çarpanlara ayırma.

Örnek 1. Denklemi çözün: günah X+çünkü X = 1 .

Çözüm Denklemin tüm terimlerini sola taşıyalım:

Günah X+çünkü X – 1 = 0 ,

İfadeyi dönüştürüp çarpanlarına ayıralım

Denklemin sol tarafı:

Örnek 2. Denklemi çözün:çünkü 2 X+ günah Xçünkü X = 1.

Çözüm: cos2 X+ günah Xçünkü X– günah 2 X– çünkü 2 X = 0 ,

Günah Xçünkü X– günah 2 X = 0 ,

Günah X· (çünkü X– günah X ) = 0 ,

Örnek 3. Denklemi çözün:çünkü 2 X–cos 8 X+ çünkü 6 X = 1.

Çözüm: cos2 X+ çünkü 6 X= 1 + çünkü 8 X,

2 çünkü 4 Xçünkü 2 X= 2cos² 4 X ,

Çünkü 4 X · (çünkü 2 X– çünkü 4 X) = 0 ,

Çünkü 4 X · 2 günah 3 X günah X = 0 ,

1). çünkü 4 X= 0, 2). günah 3 X= 0, 3). günah X = 0 ,

3. Azaltma homojen denklem. Denklem isminde homojen ilişkin günah Ve çünkü , Eğer hepsini göre aynı derecedeki terimler günah Ve çünkü aynı açı. Homojen bir denklemi çözmek için yapmanız gerekenler: A) tüm üyelerini sol tarafa taşıyın; B) tüm ortak faktörleri parantezlerin dışında bırakın; V) tüm faktörleri ve parantezleri sıfıra eşitleyin; G) sıfıra eşit parantezler verir bölünmesi gereken daha düşük dereceli homojen denklem çünkü(veya günah) son sınıfta; D) sonucu çöz cebirsel denklem nispetenbronzluk . günah 2 X+ 4 günah Xçünkü X+ 5cos 2 X = 2. Çözüm: 3sin 2 X+ 4 günah Xçünkü X+ 5 çünkü 2 X= 2sin 2 X+ 2cos 2 X , Günah 2 X+ 4 günah Xçünkü X+ 3 çünkü 2 X = 0 , bronzluk 2 X+ 4 bronzluk X + 3 = 0 , buradan sen 2 + 4sen +3 = 0 , Bu denklemin kökleri:sen 1 = - 1, sen 2 = - 3, dolayısıyla 1) bronzluk X= –1, 2) ten rengi X = –3,

4. Yarım açıya geçiş.

Örnek olarak bu yönteme bakalım:

ÖRNEK Denklemi çöz: 3 günah X– 5 çünkü X = 7.

Çözüm: 6 günah ( X/ 2) çünkü ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 günah ( X/ 2) çünkü ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan²( X/ 2) – 3 ten rengi ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Yardımcı açının tanıtılması.

Formun bir denklemini düşünün:

A günah X + Bçünkü X = C ,

Nerede A, B, C– katsayılar;X- Bilinmeyen.

Artık denklemin katsayıları sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani: her birinin modülü (mutlak değeri) bunlardan en fazla 1'i, ve karelerinin toplamı 1'dir. O zaman belirtebiliriz onlara göre Nasıl çünkü ve günah (burada - Lafta yardımcı açı), Vedenklemimizi al