Düz denklem Düz bir çizginin genel denklemi: açıklama, örnekler, problem çözme

Bu makale düzlemdeki doğrunun denklemi konusuna devam ediyor: Bu tür denklemleri bir doğrunun genel denklemi olarak ele alacağız. Teoremi tanımlayalım ve kanıtını verelim; Bir doğrunun tamamlanmamış bir genel denkleminin ne olduğunu ve genel bir denklemden bir doğrunun diğer denklem türlerine nasıl geçiş yapılacağını bulalım. Teorinin tamamını çizimlerle ve pratik problemlere yönelik çözümlerle güçlendireceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilsin.

Teorem 1

A x + B y + C = 0 formundaki birinci dereceden herhangi bir denklem; burada A, B, C bir kaçıdır gerçek sayılar(A ve B aynı anda sıfıra eşit değildir) düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde bir düz çizgi tanımlar. Buna karşılık, bir düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizgi, belirli bir A, B, C değerleri kümesi için A x + B y + C = 0 formundaki bir denklemle belirlenir.

Kanıt

Bu teorem iki noktadan oluşur; her birini kanıtlayacağız.

1. A x + B y + C = 0 denkleminin düzlemde düz bir çizgiyi tanımladığını kanıtlayalım.

Koordinatları A x + B y + C = 0 denklemine karşılık gelen bir M 0 (x 0 , y 0) noktası olsun. Böylece: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 denklemlerinin sol ve sağ taraflarından A x 0 + B y 0 + C = 0 denkleminin sol ve sağ taraflarını çıkarırsak, A (x) gibi görünen yeni bir denklem elde ederiz. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0'a eşdeğerdir.

Ortaya çıkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x) vektörlerinin dikliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur. 0, y - y 0 ). Böylece, M (x, y) noktaları kümesi, dikdörtgen bir koordinat sisteminde n → = (A, B) vektörünün yönüne dik olan düz bir çizgiyi tanımlar. Bunun böyle olmadığını varsayabiliriz, ancak o zaman n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri dik olmaz ve A (x - eşitliği) x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmaz.

Sonuç olarak, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi düzlemdeki dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir doğruyu tanımlar ve dolayısıyla A x + B y + C = 0 eşdeğer denklemi aynı çizgi. Teoremin ilk kısmını bu şekilde ispatladık.

1. Bir düzlem üzerindeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizginin birinci derece A x + B y + C = 0 denklemiyle belirtilebileceğinin kanıtını sunalım.

Bir düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde bir düz çizgi a tanımlayalım; bu çizginin geçtiği M 0 (x 0 , y 0) noktası ve bu çizginin normal vektörü n → = (A, B) .

Ayrıca bir doğru üzerinde kayan nokta olan bir M(x, y) noktası olsun. Bu durumda, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri birbirine diktir ve skaler çarpımları sıfırdır:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 denklemini yeniden yazalım, C: C = - A x 0 - B y 0'ı tanımlayalım ve sonuç A x + B y + C = 0 denklemini elde ederiz.

Böylece teoremin ikinci kısmını ispatlamış olduk ve teoremin tamamını bir bütün olarak ispatlamış olduk.

Tanım 1

Formun bir denklemi bir x + B y + C = 0 - Bu bir doğrunun genel denklemi Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeOksi.

Kanıtlanmış teoreme dayanarak, düz bir çizginin ve onun sabit bir dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemde tanımlanan genel denkleminin ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle orijinal çizgi genel denklemine karşılık gelir; bir çizginin genel denklemi belirli bir çizgiye karşılık gelir.

Teoremin kanıtından ayrıca x ve y değişkenleri için A ve B katsayılarının, A x + B y + C = çizgisinin genel denklemi ile verilen çizginin normal vektörünün koordinatları olduğu sonucu çıkar. 0.

Hadi düşünelim spesifik örnek Bir doğrunun genel denklemi.

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgiye karşılık gelen 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemi verilsin. Bu doğrunun normal vektörü vektördür n → = (2, 3) ​​​. Çizimde verilen düz çizgiyi çizelim.

Şunu da söyleyebiliriz: Çizimde gördüğümüz düz çizgi, 2 x + 3 y - 2 = 0 genel denklemiyle belirlenir, çünkü belirli bir doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denkleme karşılık gelir.

Doğrunun genel denkleminin her iki tarafını da sıfıra eşit olmayan bir λ sayısıyla çarparak λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 denklemini elde edebiliriz. Ortaya çıkan denklem orijinal genel denklemin eşdeğeridir, dolayısıyla düzlemde aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır.

Tanım 2

Bir doğrunun genel denklemini tamamlayın– A, B, C sayılarının sıfırdan farklı olduğu A x + B y + C = 0 düz çizgisinin böyle genel bir denklemi. Aksi takdirde denklem tamamlanmamış.

Bir doğrunun tamamlanmamış genel denkleminin tüm varyasyonlarını analiz edelim.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduğunda genel denklem B y + C = 0 formunu alır. Böyle tamamlanmamış bir genel denklem, O x y dikdörtgen koordinat sisteminde O x eksenine paralel bir düz çizgiyi tanımlar, çünkü x'in herhangi bir gerçek değeri için y değişkeni bu değeri alacaktır. -CB. Başka bir deyişle, A = 0, B ≠ 0 olduğunda, A x + B y + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi, koordinatları aynı sayıya eşit olan (x, y) noktalarının yerini belirtir. -CB.
2. A = 0, B ≠ 0, C = 0 ise genel denklem y = 0 formunu alır. Bu tamamlanmamış denklem apsis ekseni Ox'i tanımlar.
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 olduğunda, ordinata paralel bir düz çizgiyi tanımlayan tamamlanmamış bir A x + C = 0 genel denklemi elde ederiz.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 olsun, o zaman tamamlanmamış genel denklem x = 0 formunu alacaktır ve bu, O y koordinat çizgisinin denklemidir.
5. Son olarak A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 için tamamlanmamış genel denklem A x + B y = 0 formunu alır. Ve bu denklem orijinden geçen bir doğruyu tanımlıyor. Aslında (0, 0) sayı çifti A x + B y = 0 eşitliğine karşılık gelir, çünkü A · 0 + B · 0 = 0.

Düz bir çizginin yukarıdaki tamamlanmamış genel denklem türlerinin tümünü grafiksel olarak gösterelim.

örnek 1

Verilen düz çizginin ordinat eksenine paralel olduğu ve 2 7, - 11 noktasından geçtiği bilinmektedir. Verilen doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Ordinat eksenine paralel bir düz çizgi, A x + C = 0 formundaki bir denklemle verilir; burada A ≠ 0'dır. Koşul aynı zamanda çizginin geçtiği noktanın koordinatlarını da belirtir ve bu noktanın koordinatları tamamlanmamış A x + C = 0 genel denkleminin koşullarını karşılar, yani. eşitlik doğrudur:

bir 2 7 + C = 0

Eğer A'ya sıfır olmayan bir değer verirsek, örneğin A = 7'yi kullanarak C'yi belirlemek mümkündür. Bu durumda şunu elde ederiz: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Hem A hem de C katsayılarını biliyoruz, bunları A x + C = 0 denkleminde yerine koyuyoruz ve gerekli düz çizgi denklemini elde ediyoruz: 7 x - 2 = 0

Cevap: 7 x - 2 = 0

Örnek 2

Çizim düz bir çizgiyi gösteriyor; denklemini yazmanız gerekiyor.

Çözüm

Verilen çizim, sorunu çözmek için ilk verileri kolayca almamızı sağlar. Çizimde verilen doğrunun O x eksenine paralel olduğunu ve (0, 3) noktasından geçtiğini görüyoruz.

Apsise paralel olan düz çizgi, tamamlanmamış genel denklem B y + C = 0 ile belirlenir. B ve C değerlerini bulalım. Verilen çizgi içinden geçtiği için (0, 3) noktasının koordinatları B y + C = 0 çizgisinin denklemini sağlayacaktır, o zaman eşitlik geçerlidir: B · 3 + C = 0. B'yi sıfır dışında bir değere ayarlayalım. Diyelim ki B = 1, bu durumda B · 3 + C = 0 eşitliğinden C: C = - 3'ü bulabiliriz. Kullanırız bilinen değerler B ve C'yi kullanarak doğrunun gerekli denklemini elde ederiz: y - 3 = 0.

Cevap: y - 3 = 0 .

Düzlemde belirli bir noktadan geçen çizginin genel denklemi

Verilen çizginin M 0 (x 0 , y 0) noktasından geçmesine izin verin, o zaman koordinatları çizginin genel denklemine karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0. Bu denklemin sol ve sağ taraflarını genel denklemin sol ve sağ taraflarından çıkaralım. tam denklem dümdüz. Şunu elde ederiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, bu denklem orijinal genel denkleme eşdeğerdir, M 0 (x 0, y 0) noktasından geçer ve normaldir. vektör n → = (A, B) .

Elde ettiğimiz sonuç, doğrunun normal vektörünün koordinatları ve bu doğrunun belirli bir noktasının koordinatları bilinen bir doğrunun genel denklemini yazmayı mümkün kılmaktadır.

Örnek 3

İçinden bir çizginin geçtiği bir M 0 (- 3, 4) noktası ve bu doğrunun normal vektörü verildiğinde n → = (1 , - 2) . Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç ​​koşulları denklemi derlemek için gerekli verileri elde etmemizi sağlar: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Daha sonra:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Sorun farklı şekilde çözülebilirdi. Genel denklem düz çizgi A x + B y + C = 0 biçimindedir. Verilen normal vektör, A ve B katsayılarının değerlerini elde etmemizi sağlar, o zaman:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Şimdi kullanarak C'nin değerini bulalım. koşulun verdiğiçizginin geçtiği problem noktası M 0 (- 3, 4). Bu noktanın koordinatları x - 2 · y + C = 0 denklemine karşılık gelir, yani. - 3 - 2 4 + C = 0. Dolayısıyla C = 11. Gerekli düz çizgi denklemi şu formu alır: x - 2 · y + 11 = 0.

Cevap: x - 2 y + 11 = 0 .

Örnek 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 doğrusu ve bu doğru üzerinde yer alan bir M 0 noktası veriliyor. Bu noktanın sadece apsisi bilinmektedir ve -3'e eşittir. Belirli bir noktanın koordinatını belirlemek gerekir.

Çözüm

M 0 noktasının koordinatlarını x 0 ve y 0 olarak belirleyelim. Kaynak verileri x 0 = - 3 olduğunu gösterir. Nokta belirli bir çizgiye ait olduğundan koordinatları bu çizginin genel denklemine karşılık gelir. O zaman eşitlik doğru olacaktır:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Y'yi tanımlayın: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Cevap: - 5 2

Bir doğrunun genel denkleminden diğer doğru denklem türlerine geçiş ve bunun tersi

Bildiğimiz gibi, bir düzlemdeki aynı doğru için çeşitli denklem türleri vardır. Denklem türünün seçimi problemin koşullarına bağlıdır; çözmek için daha uygun olanı seçmek mümkündür. Bir tür denklemi başka türden bir denkleme dönüştürme becerisi burada çok faydalıdır.

İlk olarak, A x + B y + C = 0 formundaki genel denklemden x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik denklemine geçişi düşünelim.

Eğer A ≠ 0 ise B y terimini şuna aktarırız: Sağ Taraf genel denklem. Sol tarafta parantezlerden A'yı çıkarıyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz: A x + C A = - B y.

Bu eşitlik orantı olarak yazılabilir: x + C A - B = y A.

B ≠ 0 ise genel denklemin sol tarafında sadece A x terimini bırakır, diğerlerini sağ tarafa aktarırız ve şunu elde ederiz: A x = - B y - C. – B'yi parantezlerden çıkarırsak: A x = - B y + C B .

Eşitliği orantı şeklinde yeniden yazalım: x - B = y + C B A.

Elbette ortaya çıkan formülleri ezberlemeye gerek yok. Genel bir denklemden kanonik bir denkleme geçerken eylemlerin algoritmasını bilmek yeterlidir.

Örnek 5

3 y - 4 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bunu kanonik bir denkleme dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Orijinal denklemi 3 y - 4 = 0 olarak yazalım. Daha sonra algoritmaya göre ilerliyoruz: 0 x terimi sol tarafta kalıyor; ve sağ tarafa - parantezlerden 3 tane koyduk; şunu elde ederiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Ortaya çıkan eşitliği oran olarak yazalım: x - 3 = y - 4 3 0 . Böylece kanonik formda bir denklem elde ettik.

Cevap: x - 3 = y - 4 3 0.

Bir doğrunun genel denklemini parametrik denklemlere dönüştürmek için önce kanonik forma, ardından bir doğrunun kanonik denkleminden parametrik denklemlere geçiş yapılır.

Örnek 6

Düz çizgi 2 x - 5 y - 1 = 0 denklemiyle verilir. Bu doğrunun parametrik denklemlerini yazınız.

Çözüm

Genel denklemden kanonik denkleme geçiş yapalım:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Şimdi ortaya çıkan kanonik denklemin her iki tarafını da λ'ya eşit alırsak:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Cevap:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Genel denklem şu şekilde bir düz çizgi denklemine dönüştürülebilir: eğim y = k x + b, ancak yalnızca B ≠ 0 olduğunda. Geçiş için B y terimini sol tarafta bırakıyoruz, geri kalanları sağa aktarıyoruz. Şunu elde ederiz: B y = - A x - C . Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da sıfırdan farklı olarak B'ye bölelim: y = - A B x - C B.

Örnek 7

Doğrunun genel denklemi verilmiştir: 2 x + 7 y = 0. Bu denklemi eğim denklemine dönüştürmeniz gerekiyor.

Çözüm

Algoritmaya göre gerekli işlemleri yapalım:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Cevap: y = - 2 7 x .

Bir doğrunun genel denkleminden, x a + y b = 1 formundaki bölümlerde bir denklem elde etmek yeterlidir. Böyle bir geçiş yapmak için C sayısını eşitliğin sağ tarafına taşırız, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da -C'ye böleriz ve son olarak x ve y değişkenlerinin katsayılarını paydalara aktarırız:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ Bir x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C Bir + y - C B = 1

Örnek 8

x - 7 y + 1 2 = 0 çizgisinin genel denklemini parçalı doğru denklemine dönüştürmek gerekir.

Çözüm

1 2'yi sağ tarafa taşıyalım: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Eşitliğin her iki tarafını da -1/2'ye bölelim: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Cevap: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Genel olarak ters geçiş de kolaydır: diğer denklem türlerinden genel olana.

Parçalar halinde bir doğrunun denklemi ve açısal katsayılı bir denklem, eşitliğin sol tarafındaki tüm terimlerin basitçe toplanmasıyla kolayca genel bir denkleme dönüştürülebilir:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0

Kanonik denklem aşağıdaki şemaya göre genel bir denkleme dönüştürülür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrik olanlardan geçmek için önce kanonik olana, ardından genel olana geçin:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ Bir x + B y + C = 0

Örnek 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 doğrusuna ait parametrik denklemler verilmiştir. Bu doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Parametrik denklemlerden kanonik denklemlere geçiş yapalım:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kanonikten genele geçelim:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Cevap: y - 4 = 0

Örnek 10

x 3 + y 1 2 = 1 segmentlerindeki düz bir çizginin denklemi verilmiştir. Geçiş yapmak gerekli Genel görünüm denklemler

Çözüm:

Denklemi gerekli biçimde yeniden yazıyoruz:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Cevap: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bir doğrunun genel denklemini çizmek

Yukarıda genel denklemin normal vektörün bilinen koordinatları ve doğrunun geçtiği noktanın koordinatları ile yazılabileceğini söylemiştik. Böyle bir düz çizgi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemiyle tanımlanır. Orada ilgili örneği de analiz ettik.

Şimdi daha fazlasına bakalım karmaşık örnekler, burada ilk önce normal vektörün koordinatlarını belirlemeniz gerekir.

Örnek 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 doğrusuna paralel bir doğru verilmiş. Verilen doğrunun geçtiği M 0 (4, 1) noktası da bilinmektedir. Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç ​​koşulları bize doğruların paralel olduğunu söylüyor, sonra denklemi yazılması gereken doğrunun normal vektörü olarak n → = (2, - 3) doğrusunun yön vektörünü alıyoruz: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Artık doğrunun genel denklemini oluşturmak için gerekli tüm verileri biliyoruz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Örnek 12

Verilen doğru orijinden x - 2 3 = y + 4 5 doğrusuna dik olarak geçmektedir. Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

Belirli bir çizginin normal vektörü, x - 2 3 = y + 4 5 çizgisinin yön vektörü olacaktır.

O halde n → = (3, 5) . Düz çizgi orijinden geçer, yani. O noktasından (0, 0). Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturalım:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Cevap: 3 x + 5 y = 0.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Doğrunun M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklem (10.6)'yı karşılamalıdır: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Buradan bulunan değeri değiştirmeyi buluyoruz k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılmaktadır.

Eğer x 1 = x 2 ise, M 1 (x 1,y I) ve M 2 (x 2,y 2) noktalarından geçen düz çizgi ordinat eksenine paraleldir. Denklemi x = x 1 .

Eğer y 2 = y I ise doğrunun denklemi y = y 1 şeklinde yazılabilir, M 1 M 2 düz çizgisi apsis eksenine paraleldir.

Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi

Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a;0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0;b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerdeki bir doğrunun denklemi, çünkü a ve b sayıları, çizginin koordinat eksenlerinde hangi bölümleri kestiğini gösterir.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

Belirli bir sıfır olmayan vektör n = (A; B)'ye dik olarak belirli bir Mo (x O; y o) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulalım.

Doğru üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alalım ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü ele alalım (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: yani

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n= (A; B) vektörüne normal denir bu doğrunun normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C = -Ax o - Vu o serbest terimdir. Denklem (10.9) doğrunun genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil 1 Şekil 2

Doğrunun kanonik denklemleri

,

Nerede
- çizginin geçtiği noktanın koordinatları ve
- yön vektörü.

İkinci dereceden eğriler Daire

Daire, merkez adı verilen belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi R bir noktada merkezlenmiş
:

Özellikle, kazık merkezi koordinatların orijini ile çakışıyorsa denklem şöyle görünecektir:

Elips

Elips, bir düzlem üzerinde, her birinden belirli iki noktaya olan uzaklıkların toplamı olan bir dizi noktadır. Ve Odak adı verilen sabit bir miktardır
odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Ox ekseni üzerinde bulunan ve koordinatların orijini odaklar arasında ortada bulunan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de A yarı ana eksen uzunluğu; B – yarı küçük eksenin uzunluğu (Şekil 2).

Düzlemdeki bir doğrunun denklemi.

Bilindiği gibi düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, bazı koordinat sistemlerinde iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.

Tanım. Çizgi denklemi bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisine denir.

Bir doğrunun denkleminin parametrik olarak ifade edilebileceğini, yani her noktanın her koordinatının bazı bağımsız parametrelerle ifade edilebileceğini unutmayın. T.

Tipik bir örnek, hareketli bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda parametrenin rolü zamana göre oynanır.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A ve B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir; A 2 + B 2  0. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C = 0, A  0, B  0 – düz çizgi orijinden geçer

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox eksenine paralel düz çizgi

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy eksenine paralel düz çizgi

B = C = 0, A  0 – düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A = C = 0, B  0 – düz çizgi Ox ekseniyle çakışır

Doğrunun denklemi, verilen başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen düz çizgiye diktir.

Örnek. Vektöre dik A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun (3, -1).

A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini oluşturalım: 3x – y + C = 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını elde edilen ifadede yerine koyarız.

Şunu elde ederiz: 3 – 2 + C = 0, dolayısıyla C = -1.

Toplam: gerekli denklem: 3x – y – 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen doğrunun denklemi şöyle olur:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1  x 2 ve x = x 1 ise, eğer x 1 = x 2.

Kesir
=k denir eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Ax + By + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi şu şekle indirgenirse:

ve atayın
, sonra ortaya çıkan denklem denir eğimi olan bir doğrunun denklemik.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal bir vektörden geçen düz bir çizginin denklemini ele alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin tanımını ve düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör Bileşenleri A 1 + B 2 = 0 koşulunu karşılayan ( 1,  2) doğrunun yönlendirici vektörü olarak adlandırılır

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörüne sahip bir doğrunun denklemini bulun (1, -1) ve A(1, 2) noktasından geçiyor.

İstenilen çizginin denklemini şu formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre katsayıların koşulları karşılaması gerekir:

1A + (-1)B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2'de C/A = -3 elde ederiz, yani. gerekli denklem:

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С 0 ise, o zaman –С'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya

, Nerede

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x – y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulun.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 sayıya bölünürse
buna denir normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcos + ysin - p = 0 –

Bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün  işareti, С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.

p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ve , bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

Örnek. 12x – 5y – 65 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğru için çeşitli denklem türlerinin yazılması gerekmektedir.

bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e böl)

Bir doğrunun normal denklemi:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya koordinatların kökeninden geçen düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazın.

Doğrunun denklemi:
, a = b = 1; ab/2 = 8; bir = 4; -4.

a = -4 problemin şartlarına göre uygun değildir.

Toplam:
veya x + y – 4 = 0.

Örnek. A(-2, -3) noktasından ve orijinden geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

Doğrunun denklemi:
, burada x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:

.

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir.

Teorem. Doğrudan çizgiler Ax + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 A katsayıları orantılı olduğunda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Ayrıca C ise 1 =  C ise çizgiler çakışıyor.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

bu çizgiye dik.

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. M(x) noktası verilirse 0 , sen 0 ), bu durumda Ах + Ву + С =0 düz çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

.

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir çizgiye dik olarak geçen bir çizginin denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

.

Teorem kanıtlandı.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Örnek. 3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k = . O zaman y =
. Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar:
dolayısıyla b = 17. Toplam:
.

Cevap: 3x + 2y – 34 = 0.

Uzayda analitik geometri.

Uzayda bir çizginin denklemi.

Uzayda bir nokta verilen bir doğrunun denklemi ve

yön vektörü.

Rastgele bir çizgi ve bir vektör alalım (m, n, p), verilen doğruya paralel. Vektör isminde kılavuz vektör dümdüz.

Düz çizgi üzerinde iki keyfi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve M (x, y, z) noktasını alıyoruz.

z

M1

Bu noktaların yarıçap vektörlerini şu şekilde gösterelim: Ve , belli ki - =
.

Çünkü vektörler
Ve eşdoğrusal ise ilişki doğrudur
= t, burada t bir parametredir.

Toplamda şunu yazabiliriz: = + T.

Çünkü bu denklem doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanırsa, ortaya çıkan denklem şu şekilde olur: bir doğrunun parametrik denklemi.

Bu vektör denklemi koordinat biçiminde temsil edilebilir:

Bu sistemi dönüştürerek ve t parametresinin değerlerini eşitleyerek uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini elde ederiz:

.

Tanım. Yön kosinüsleri direkt vektörün yön kosinüsleridir aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

;

.

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p sayılarına denir açı katsayıları dümdüz. Çünkü sıfır olmayan bir vektör ise m, n ve p aynı anda sıfır olamaz ancak bu sayılardan bir veya ikisi sıfıra eşit olabilir. Bu durumda doğrunun denkleminde karşılık gelen payların sıfıra eşitlenmesi gerekir.

Uzaydan geçen düz bir çizginin denklemi

iki noktadan.

Uzayda düz bir çizgi üzerinde iki rastgele M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasını işaretlersek, bu noktaların koordinatları düz çizgi denklemini karşılamalıdır. yukarıda elde edilen:

.

Ayrıca M 1 noktası için şunu yazabiliriz:

.

Bu denklemleri birlikte çözersek şunu elde ederiz:

.

Bu, uzaydaki iki noktadan geçen bir çizginin denklemidir.

Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri.

Düz bir çizginin denklemi, iki düzlemin kesişim çizgisinin denklemi olarak düşünülebilir.

Yukarıda tartışıldığı gibi, vektör biçimindeki bir düzlem aşağıdaki denklemle belirtilebilir:

+ D = 0, burada

- normal düzlem; - yarıçap, düzlemdeki rastgele bir noktanın vektörüdür.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi. Makalede" " Türevi bulma konusunda sunulan problemleri çözmenin ikinci yöntemine bakacağıma söz verdim. bu grafik fonksiyon ve bu grafiğe teğettir. Bu yöntemi daha sonra tartışacağız , Kaçırma! Neden bir sonrakinde?

Gerçek şu ki, orada düz bir çizginin denklemi formülü kullanılacaktır. Elbette bu formülü basitçe gösterip öğrenmenizi tavsiye edebiliriz. Ancak nereden geldiğini (nasıl türetildiğini) açıklamak daha iyidir. Bu gerekli! Unutursanız hızlı bir şekilde geri yükleyebilirsinizzor olmayacak. Her şey aşağıda ayrıntılı olarak özetlenmiştir. Koordinat düzleminde iki A noktamız var(x 1;y 1) ve B(x 2;y 2), belirtilen noktalardan geçen düz bir çizgi çizilir:

İşte doğrudan formülün kendisi:

*Yani, noktaların belirli koordinatlarını yerine koyarken y=kx+b şeklinde bir denklem elde ederiz.

**Eğer bu formülü basitçe “ezberlerseniz”, indekslerle karıştırılma ihtimaliniz yüksektir. X. Ayrıca endeksler farklı şekillerde de belirlenebilir; örneğin:

Bu yüzden anlamını anlamak önemlidir.

Şimdi bu formülün türetilmesi. Her şey çok basit!

ABE ve ACF üçgenleri dar açı bakımından benzerdir (benzerliğin ilk işareti) dik üçgenler). Bundan karşılık gelen elemanların oranlarının eşit olduğu sonucu çıkar, yani:

Şimdi bu parçaları basitçe noktaların koordinatlarındaki farkla ifade ediyoruz:

Tabii ki, elemanların ilişkilerini farklı bir sırayla yazarsanız hiçbir hata olmayacaktır (asıl önemli olan tutarlılığı korumaktır):

Sonuç doğrunun aynı denklemi olacaktır. Hepsi bu!

Yani, noktaların kendileri (ve koordinatları) nasıl belirlenmiş olursa olsun, bu formülü anladığınızda her zaman bir düz çizginin denklemini bulacaksınız.

Formül, vektörlerin özellikleri kullanılarak türetilebilir, ancak koordinatlarının orantılılığından bahsedeceğimiz için türetme ilkesi aynı olacaktır. Bu durumda dik üçgenlerin aynı benzerliği işe yarar. Bana göre yukarıda açıklanan sonuç daha açıktır)).

Çıktıyı vektör koordinatları aracılığıyla görüntüleyin >>>

Koordinat düzlemi üzerinde iki noktadan geçen bir doğru çizelim. verilen puanlar A(x 1;y 1) ve B(x 2;y 2). Koordinatları olan doğru üzerinde rastgele bir C noktası işaretleyelim ( X; sen). Ayrıca iki vektörü de belirtiyoruz:

Paralel çizgiler üzerinde (veya aynı çizgide) bulunan vektörler için karşılık gelen koordinatlarının orantılı olduğu bilinmektedir, yani:

— karşılık gelen koordinatların oranlarının eşitliğini yazıyoruz:

Bir örneğe bakalım:

Koordinatları (2;5) ve (7:3) olan iki noktadan geçen düz çizginin denklemini bulun.

Düz çizgiyi kendiniz oluşturmanıza bile gerek yok. Formülü uyguluyoruz:

Oranı hesaplarken yazışmaları kavramanız önemlidir. Aşağıdakileri yazarsanız yanlış gidemezsiniz:

Cevap: y=-2/5x+29/5 git y=-0,4x+5,8

Ortaya çıkan denklemin doğru bulunduğundan emin olmak için, verilerin koordinatlarını noktaların durumuna göre kontrol ettiğinizden emin olun. Denklemler doğru olmalıdır.

Bu kadar. Umarım materyal sizin için yararlı olmuştur.

Saygılarımla İskender.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Düz bir çizginin genel denklemi:

Düz bir çizginin genel denkleminin özel durumları:

ve eğer C= 0, denklem (2) şu şekle sahip olacaktır:

Balta + İle = 0,

ve bu denklemle tanımlanan düz çizgi orijinden geçer, çünkü orijin koordinatları X = 0, sen= 0 bu denklemi karşılar.

b) Doğrunun genel denkleminde ise (2) B= 0 ise denklem şu şekli alır:

Balta + İLE= 0 veya .

Denklem değişken içermiyor sen ve bu denklemle tanımlanan düz çizgi eksene paraleldir oy.

c) Doğrunun genel denkleminde ise (2) A= 0 ise bu denklem şu şekli alacaktır:

İle + İLE= 0 veya ;

denklem bir değişken içermiyor X ve tanımladığı düz çizgi eksene paraleldir Öküz.

Unutulmamalıdır: Düz bir çizgi herhangi bir koordinat eksenine paralelse, denkleminde bu eksenle aynı adı taşıyan bir koordinat içeren bir terim yoktur.

d) Ne zaman C= 0 ve A= 0 denklem (2) formunu alır İle= 0 veya sen = 0.

Bu eksenin denklemidir Öküz.

d) Ne zaman C= 0 ve B= 0 denklemi (2) şeklinde yazılacaktır Balta= 0 veya X = 0.

Bu eksenin denklemidir oy.

Karşılıklı düzenleme düzlemde düz çizgiler. Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı. Paralel doğruların koşulu. Doğruların diklik durumu.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 S 1 ve S 2 vektörlerine çizgileri için kılavuz denir.

Düz çizgiler l 1 ve l 2 arasındaki açı, yön vektörleri arasındaki açı ile belirlenir.
Teorem 1:çünkü l 1 ile l 2 arasındaki açı = cos(l 1 ; l 2) =

Teorem 2: 2 satırın eşit olması için gerekli ve yeterlidir:

Teorem 3: 2 düz çizginin birbirine dik olması için gerekli ve yeterlidir:

L 1 l 2 veya A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Genel düzlem denklemi ve özel durumları. Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Genel düzlem denklemi:

Ax + By + Cz + D = 0

Özel durumlar:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – düzlem orijinden geçer

2. С=0 Ax+By+D = 0 – düzlem || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – düzlem || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – düzlem || ÖKÜZ

5. A=0 ve D=0 By+Cz = 0 – düzlem OX'tan geçiyor

6. B=0 ve D=0 Ax+Cz = 0 – düzlem OY'den geçiyor

7. C=0 ve D=0 Ax+By = 0 – düzlem OZ'den geçiyor

Düzlemlerin ve düz çizgilerin uzaydaki göreceli konumu:

1. Uzayda düz çizgiler arasındaki açı, yön vektörleri arasındaki açıdır.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Düzlemler arasındaki açı, normal vektörleri arasındaki açı ile belirlenir.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Doğru ile düzlem arasındaki açının kosinüsü, doğrunun yön vektörü ile düzlemin normal vektörü arasındaki açının günahı ile bulunabilir.

4. 2 düz || uzayda || vektör kılavuzları

5. 2 uçak || ne zaman || normal vektörler

6. Doğruların ve düzlemlerin diklik kavramları benzer şekilde tanıtılmaktadır.

14. Soru

Farklı türde bir düzlem üzerinde düz bir çizginin denklemleri (açı katsayılı, bölümler halinde bir düz çizginin denklemi, vb.)

Segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi:
Düz çizginin genel denkleminde şunu varsayalım:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – düz çizgi orijinden geçer.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Eksen + C = 0 x =

4. b=C=0 Eksen = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Eğimli bir doğrunun denklemi:

Op-amp eksenine eşit olmayan herhangi bir düz çizgi (B = 0 değil) bir sonraki satıra yazılabilir. biçim:

k = tanα α – düz çizgi ile pozitif yönlü çizgi OX arasındaki açı

b - düz çizginin op-amp ekseni ile kesişme noktası

Belge:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

İki noktaya dayalı bir doğrunun denklemi:

16. Soru

Nihai sınır bir noktada ve x→∞ için fonksiyonlar

x0'da bitiş sınırı:

A sayısına, x→x 0 için y = f(x) fonksiyonunun limiti denir, eğer herhangi bir E > 0 için b > 0 varsa, öyle ki x ≠x 0 için |x – x 0 | eşitsizliğini karşılar.< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Limit şu şekilde gösterilir: = A

+∞ noktasındaki son limit:

A sayısına y = f(x) fonksiyonunun x noktasındaki limiti denir → + ∞ , eğer herhangi bir E > 0 için C > 0 varsa, öyle ki x > C için |f(x) - A| eşitsizliği< Е

Limit şu şekilde gösterilir: = A

-∞ noktasındaki son limit:

A sayısına y = f(x) fonksiyonunun limiti denir. x→-∞, herhangi bir E için ise< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е