12 rasyonel bir sayıdır. Rasyonel sayıların tanımı ve örnekleri

) pozitif veya negatif işareti(tamsayılar ve kesirler) ve sıfır. Rasyonel sayılara ilişkin daha kesin bir kavram şu şekildedir:

Rasyonel sayı- temsil edilen sayı sıradan kesir a/n, payın nerede M tamsayılardır ve payda N- tamsayılar, örneğin 2/3.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler rasyonel sayılar kümesine dahil DEĞİLDİR.

a/b, Nerede A∈ Z (A tamsayılara aittir), B∈ N (B doğal sayılara aittir).

Rasyonel sayıların gerçek hayatta kullanılması.

İÇİNDE gerçek hayat Rasyonel sayılar kümesi bazı tam sayılarla bölünebilen nesnelerin parçalarını saymak için kullanılır. Örneğin tüketilmeden önce parçalara ayrılan kekler veya diğer yiyecekler veya uzatılmış nesnelerin mekansal ilişkilerinin kabaca tahmin edilmesi için kullanılır.

Rasyonel sayıların özellikleri.

Rasyonel sayıların temel özellikleri.

1. Düzenlilik A Ve B aralarındaki 3 ilişkiden 1'ini ve yalnızca birini açıkça tanımlamanıza izin veren bir kural var: "<», «>" veya "=". Bu kural - sıralama kuralı ve bunu şu şekilde formüle edin:

• 2 pozitif sayı a=m a / n a Ve b=mb /nb 2 tamsayı ile aynı ilişkiye sahiptirler anne⋅ hayır Ve m b⋅ hayır;
• 2 negatif sayı A Ve B 2 pozitif sayı ile aynı oranda ilişkilidirler |b| Ve |bir|;
• Ne zaman A pozitif ve B- negatif o zaman a>b.

∀ a,b∈ Soru(a) ∨ a>b∨ a=b)

2. Ekleme işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada toplama kuralı onlara belirli bir rasyonel sayı atar C. Üstelik sayının kendisi C- Bu toplam sayılar A Ve B ve şu şekilde gösterilir (a+b) toplam.

Toplama Kuralıöyle görünüyor:

anne/n a + m b/n b =(ma bir⋅ n b + m b⋅ hayır bir)/(n bir⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Çarpma işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada çarpma kuralı onları belirli bir rasyonel sayıyla ilişkilendirir C. c sayısına denir iş sayılar A Ve B ve belirtmek (a⋅b) ve bu numarayı bulma işlemine denir çarpma işlemi.

Çarpma kuralıöyle görünüyor: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ hayır.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi üç rasyonel sayı için A, B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C.

∀ ABC∈ Soru(a) ∧ B ⇒ A ∧ (bir = b∧ b = c⇒ bir = c)

5. Toplamanın değişebilirliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. İlave ilişkisellik. 3 rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.

∀ ABC∈ S (a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfır varlığı. 0 rasyonel sayısı vardır, eklendiğinde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Soru a+0=a

8. Kullanılabilirlik zıt sayılar . Her rasyonel sayının zıt rasyonel sayısı vardır ve bunlar toplandığında sonuç 0 olur.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.

∀ a,b∈ Soru⋅ b=b⋅ A

10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği. 3 rasyonel sayının çarpılma sırasının sonuca hiçbir etkisi yoktur.

∀ ABC∈ Soru(a)⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Birim kullanılabilirliği. 1 rasyonel sayısı vardır ve çarpma işleminde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Soru⋅ 1=a

12. Karşılıklı sayıların varlığı. Sıfır dışındaki her rasyonel sayının ters bir rasyonel sayısı vardır ve çarpıldığında 1 elde edilir. .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Soru⋅ a−1=1

13. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı. Çarpma işlemi, dağıtım yasasını kullanarak toplama işlemiyle ilgilidir:

∀ ABC∈ Soru(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Sıra ilişkisi ile toplama işlemi arasındaki ilişki. Sola ve Sağ Taraf rasyonel eşitsizlik aynı rasyonel sayıyı ekleyin.

∀ ABC∈ Soru ⇒ a+c

15. Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları, negatif olmayan aynı rasyonel sayıyla çarpılabilir.

∀ ABC∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Arşimed Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim almak kolaydır ki toplamları daha büyük olur A.

Bu yazıda keşfetmeye başlayacağız rasyonel sayılar. Burada rasyonel sayıların tanımlarını vereceğiz, gerekli açıklamaları yapıp rasyonel sayılara örnekler vereceğiz. Bundan sonra, olup olmadığını nasıl belirleyeceğimize odaklanacağız. verilen numara rasyonel ya da değil.

Sayfada gezinme.

Rasyonel sayıların tanımı ve örnekleri

Bu bölümde rasyonel sayıların çeşitli tanımlarını vereceğiz. İfadelerdeki farklılıklara rağmen, bu tanımların tümü aynı anlama sahiptir: tıpkı tam sayıların doğal sayıları, onların zıttlarını ve sıfır sayısını birleştirmesi gibi, rasyonel sayılar da tamsayıları ve kesirleri birleştirir. Başka bir deyişle rasyonel sayılar tam sayıları genelleştirir ve kesirli sayılar.

İle başlayalım rasyonel sayıların tanımları, bu en doğal şekilde algılanır.

Belirtilen tanımdan rasyonel bir sayının şu olduğu anlaşılmaktadır:

• Herhangi bir doğal sayı n. Aslında herhangi bir doğal sayıyı sıradan bir kesir olarak temsil edebilirsiniz, örneğin 3=3/1.
• Herhangi bir tamsayı, özellikle sıfır sayısı. Aslında herhangi bir tam sayı pozitif kesir, negatif kesir veya sıfır olarak yazılabilir. Örneğin, 26=26/1, .
• Herhangi bir ortak kesir (pozitif veya negatif). Bu, rasyonel sayıların verilen tanımıyla doğrudan doğrulanır.
• Herhangi bir karışık sayı. Aslında her zaman hayal edilebilir karışık numara uygunsuz bir kesir şeklinde. Örneğin ve.
• Herhangi bir sonlu ondalık kesir veya sonsuz periyodik kesir. Bunun nedeni, belirtilen ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesidir. Örneğin, ve 0,(3)=1/3.

Ayrıca, periyodik olmayan herhangi bir sonsuz ondalık kesirin, ortak bir kesir olarak temsil edilemeyeceği için rasyonel bir sayı OLMADIĞI da açıktır.

Artık rahatlıkla verebiliriz rasyonel sayılara örnekler. 4, 903, 100,321 sayıları doğal sayılar olduğundan rasyonel sayılardır. 58, −72, 0, −833,333,333 tam sayıları da rasyonel sayılara örnektir. Ortak kesirler 4/9, 99/3 de rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel sayılar da sayıdır.

Yukarıdaki örneklerden hem pozitif hem de negatif rasyonel sayıların olduğu ve sıfır rasyonel sayısının ne pozitif ne de negatif olduğu açıktır.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısa bir biçimde formüle edilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar z/n kesri olarak yazılabilen sayılardır; burada z bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır.

Rasyonel sayıların bu tanımının önceki tanıma eşdeğer olduğunu kanıtlayalım. Bir kesir çizgisini bir bölme işareti olarak düşünebileceğimizi biliyoruz, o zaman tam sayıları bölmenin özelliklerinden ve tam sayıları bölme kurallarından aşağıdaki eşitliklerin geçerliliği izlenir ve. İşte bunun kanıtı.

Rasyonel sayılara örnekler verelim bu tanım. −5, 0, 3 ve sayıları rasyonel sayılardır, çünkü bunlar sırasıyla bir tamsayı payı ve doğal paydası ile kesirler olarak yazılabilinir.

Rasyonel sayıların tanımı aşağıdaki formülle verilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar sonlu veya sonsuz periyodik olarak yazılabilen sayılardır ondalık.

Bu tanım aynı zamanda ilk tanıma da eşdeğerdir, çünkü her sıradan kesir sonlu veya periyodik bir ondalık kesire karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir ve herhangi bir tam sayı, ondalık noktadan sonra sıfır bulunan bir ondalık kesirle ilişkilendirilebilir.

Örneğin 5, 0, −13 sayıları rasyonel sayılara örnektir çünkü aşağıdaki ondalık kesirler olarak yazılabilirler: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 ve −7, (18).

Bu noktanın teorisini aşağıdaki ifadelerle bitirelim:

• tamsayılar ve kesirler (pozitif ve negatif) rasyonel sayılar kümesini oluşturur;
• her rasyonel sayı, bir tamsayı payı ve bir doğal paydası olan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, belirli bir rasyonel sayıyı temsil eder;
• her rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Bu sayı rasyonel midir?

Önceki paragrafta, herhangi bir doğal sayının, herhangi bir tam sayının, herhangi bir sıradan kesirin, herhangi bir karışık sayının, herhangi bir sonlu ondalık kesirin yanı sıra herhangi bir periyodik ondalık kesirin rasyonel bir sayı olduğunu öğrendik. Bu bilgi, bir dizi yazılı sayıdan rasyonel sayıları “tanımamızı” sağlar.

Peki ya sayı bazı şeklinde veya şeklinde verilirse, bu sayının rasyonel olup olmadığı sorusuna nasıl cevap verilir? Çoğu durumda cevap vermek çok zordur. Bazı düşünce yönlerini belirtelim.

Bir sayı, yalnızca rasyonel sayılar ve aritmetik işaretler (+, −, · ve:) içeren sayısal bir ifade olarak veriliyorsa bu ifadenin değeri bir rasyonel sayıdır. Bu, rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin nasıl tanımlandığından kaynaklanmaktadır. Örneğin ifadedeki tüm işlemleri yaptıktan sonra 18 rasyonel sayısını elde ederiz.

Bazen ifadeleri basitleştirip daha karmaşık hale getirdikten sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemek mümkün hale gelir.

Daha ileri gidelim. Her doğal sayı rasyonel olduğundan 2 sayısı rasyonel bir sayıdır. Peki ya sayı? Mantıklı mı? Hayır, bunun rasyonel bir sayı olmadığı, irrasyonel bir sayı olduğu ortaya çıktı (bu gerçeğin çelişkili kanıtı, aşağıda referans listesinde listelenen 8. sınıf cebir ders kitabında verilmiştir). Ayrıca kanıtlanmıştır ki Kare kök itibaren doğal sayı yalnızca kökün bazı doğal sayıların tam karesi olan bir sayı içerdiği durumlarda rasyonel bir sayıdır. Örneğin, 81 = 9 2 ve 1 024 = 32 2 olduğundan ve sayıları rasyonel sayılardır ve 7 ve 199 sayıları doğal sayıların tam kareleri olmadığından ve sayıları rasyonel değildir.

Sayı rasyonel mi değil mi? İÇİNDE bu durumda Dolayısıyla bu sayının rasyonel olduğunu görmek kolaydır. Sayı rasyonel mi? Bir tam sayının k'inci kökünün, yalnızca kök işaretinin altındaki sayının bir tamsayının k'inci kuvveti olması durumunda rasyonel sayı olduğu kanıtlanmıştır. Dolayısıyla beşinci kuvveti 121 olan bir tam sayı bulunmadığından rasyonel bir sayı değildir.

Çelişki yöntemi, bazı sayıların logaritmasının bazı nedenlerden dolayı rasyonel sayılar olmadığını kanıtlamanıza olanak tanır. Örneğin - sayısının rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlayalım.

Bunun tersini varsayalım, yani bunun rasyonel bir sayı olduğunu ve m/n sıradan kesri olarak yazılabildiğini varsayalım. Daha sonra aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz: . Son eşitlik imkansızdır çünkü sol tarafta tek sayı 5 n ve sağ tarafta çift sayı 2 m var. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır, dolayısıyla rasyonel bir sayı değildir.

Sonuç olarak, sayıların rasyonelliğini veya irrasyonelliğini belirlerken ani sonuçlara varmaktan kaçınılması gerektiğini özellikle belirtmekte fayda var.

Örneğin, irrasyonel sayılar π ve e'nin çarpımının irrasyonel bir sayı olduğunu hemen iddia etmemelisiniz; bu "görünüşte açık" ama kanıtlanmadı. Bu şu soruyu gündeme getiriyor: "Bir ürün neden rasyonel sayı olsun?" Neden olmasın, çünkü çarpımı rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılara bir örnek verebilirsiniz: .

Sayıların ve daha birçok sayının rasyonel olup olmadığı da bilinmiyor. Örneğin, irrasyonel gücü rasyonel bir sayı olan irrasyonel sayılar vardır. Örnek olarak, formun bir derecesini sunuyoruz, bu derecenin tabanı ve üssü rasyonel sayılar değil, ve 3 rasyonel bir sayıdır.

Kaynakça.

• Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Rasyonel sayılar

Çeyrekler

1. Düzenlilik. A Ve B kişinin aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamasına izin veren bir kural vardır: "< », « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: negatif olmayan iki sayı ve iki tam sayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- negatif o zaman A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Kesirleri Ekleme

2. Ekleme işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var toplama kuralı C. Üstelik sayının kendisi C isminde miktar sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
3. Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı onlara bazı rasyonel sayılar atar C. Üstelik sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma işlemi. Çarpma kuralı şuna benzer: .
4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
5. Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
6. Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
7. Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
8. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
9. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
10. Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
11. Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
12. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
13. Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tamsayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek anlamlı olacaktır.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların numaralandırılması

Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir.

Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Her birinde sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben her birinde -inci satır J kesrin bulunduğu inci sütun. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri ile gösterilir; burada Ben- hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve J- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani, 1/1 kesri 1 sayısına, 2/1 kesri 2 sayısına vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. Resmi işaretİndirgenemezlik, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşitliğidir.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade, ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi göründüğü için bazı karışıklıklara neden olabilir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü herhangi bir rasyonel sayıyla ifade edilemez.

1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek, rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği yönünde yanıltıcı bir izlenim yaratmaktadır. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

Notlar

Edebiyat

• I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
• P. S. Alexandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: bölüm. ed. fizik ve matematik Aydınlatılmış. ed. "Bilim", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Tamsayılar

Doğal sayıların tanımı tam sayılardır pozitif sayılar. Doğal sayılar nesneleri saymak ve başka birçok amaç için kullanılır. Bunlar rakamlar:

Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır sıfır doğal bir sayı değildir.
Kaç tane doğal sayı var? Sonsuz sayıda doğal sayı vardır.
En küçük doğal sayı nedir? Bir, en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı nedir? Sonsuz sayıda doğal sayı olduğundan bunu belirtmek imkansızdır.

Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Yani, a ve b doğal sayılarını topladığımızda:

Doğal sayıların çarpımı bir doğal sayıdır. Yani a ve b doğal sayılarının çarpımı:

c her zaman bir doğal sayıdır.

Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Eğer eksilen çıkandan büyükse doğal sayıların farkı bir doğal sayıdır, aksi halde değildir.

Doğal sayıların bölümü her zaman doğal sayı değildir. a ve b doğal sayıları için ise

c'nin bir doğal sayı olması, a'nın b'ye bölünebileceği anlamına gelir. Bu örnekte a bölen, b bölen, c bölümdür.

Bir doğal sayının böleni, ilk sayının bir tam sayıya bölünebildiği bir doğal sayıdır.

Her doğal sayı bire ve kendisine bölünebilir.

Asal doğal sayılar yalnızca bire ve kendilerine bölünebilir. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 yalnızca bire ve kendisine bölünebilir. Bunlar basit doğal sayılardır.

Bir asal sayı olarak kabul edilmez.

Birden büyük olan ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Örnekler bileşik sayılar:

Bir, bileşik sayı olarak kabul edilmez.

Doğal sayılar kümesi birdir, asal sayılar ve bileşik sayılar.

Doğal sayılar kümesi Latince N harfiyle gösterilir.

Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:

toplamanın değişme özelliği

eklemenin ilişkisel özelliği

(a + b) + c = a + (b + c);

Çarpmanın değişme özelliği

çarpmanın birleşme özelliği

(ab) c = a (bc);

Çarpmanın dağılma özelliği

bir (b + c) = ab + ac;

Bütün sayılar

Tam sayılar; doğal sayılar, sıfır ve doğal sayıların karşıtlarıdır.

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır, örneğin:

1; -2; -3; -4;...

Tamsayılar kümesi Latince Z harfiyle gösterilir.

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar tam sayılar ve kesirlerdir.

Herhangi bir rasyonel sayı periyodik kesir olarak temsil edilebilir. Örnekler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Örneklerden herhangi bir tam sayının periyodu sıfır olan periyodik bir kesir olduğu açıktır.

Herhangi bir rasyonel sayı m/n kesri olarak gösterilebilir; burada m tamsayı,n doğal sayı. Bir önceki örnekteki 3(6) sayısını böyle bir kesir olarak düşünelim.

Rasyonel sayıların tanımı

Rasyonel sayılar şunları içerir:

• Olarak temsil edilebilecek doğal sayılar ortak kesir. Örneğin, $7=\frac(7)(1)$.
• Pozitif veya negatif kesir veya sıfır olarak temsil edilebilen, sıfır dahil tam sayılar. Örneğin, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Ortak kesirler (pozitif veya negatif).
• Uygunsuz kesir olarak gösterilebilecek karışık sayılar. Örneğin, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ ve $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Kesir olarak temsil edilebilecek sonlu bir ondalık sayı ve sonsuz bir periyodik kesir. Örneğin, $-7.73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Not 1

Sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesrin rasyonel sayılara ait olmadığına dikkat edin, çünkü sıradan bir kesir olarak temsil edilemez.

örnek 1

$7, 670, 21\456$ doğal sayıları rasyoneldir.

$76, –76, 0, –555\666$ tam sayıları rasyoneldir.

Ortak kesirler $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – rasyonel sayılar .

Böylece rasyonel sayılar pozitif ve negatif olarak ikiye ayrılır. Sıfır sayısı rasyoneldir ancak ne pozitif ne de negatif bir rasyonel sayıdır.

Daha fazlasını formüle edelim kısa çözünürlüklü rasyonel sayılar.

Tanım 3

Akılcı sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilen sayılardır.

Aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

• pozitif ve negatif tamsayılar ve kesirler rasyonel sayılar kümesine aittir;
• rasyonel sayılar, bir tamsayı payı ve doğal bir paydası olan ve rasyonel bir sayı olan bir kesir olarak temsil edilebilir;
• rasyonel sayılar, rasyonel bir sayı olan herhangi bir periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

Bir Sayının Rasyonel Olup Olmadığı Nasıl Belirlenir

1. Sayı, yalnızca rasyonel sayılar ve aritmetik işlem işaretlerinden oluşan sayısal bir ifade olarak belirtilir. Bu durumda ifadenin değeri rasyonel sayı olacaktır.
2. Bir doğal sayının karekökü, yalnızca kökün bir doğal sayının tam karesi olan bir sayı içermesi durumunda rasyonel bir sayıdır. Örneğin, $\sqrt(9)$ ve $\sqrt(121)$ rasyonel sayılardır, çünkü $9=3^2$ ve $121=11^2$.
3. Bir tam sayının $n$'ıncı kökü, yalnızca kök işaretinin altındaki sayının bir tamsayının $n$'ıncı kuvveti olması durumunda rasyonel bir sayıdır. Örneğin $\sqrt(8)$ rasyonel bir sayıdır çünkü 8$=2^3$.

Sayı ekseninde, rasyonel sayılar yoğun bir şekilde dağılmıştır: birbirine eşit olmayan her iki rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı bulunabilir (dolayısıyla sonsuz bir rasyonel sayılar kümesi). Aynı zamanda, rasyonel sayılar kümesi sayılabilir önem derecesi ile karakterize edilir (yani, kümenin tüm elemanları numaralandırılabilir). Eski Yunanlılar kesir olarak yazılamayan sayıların varlığını kanıtladılar. Karesi $2$'a eşit olan hiçbir rasyonel sayının olmadığını gösterdiler. Daha sonra rasyonel sayıların tüm nicelikleri ifade etmekte yetersiz kaldığı ortaya çıktı ve bu da daha sonra gerçek sayıların ortaya çıkmasına yol açtı. Rasyonel sayılar kümesi, reel sayıların aksine sıfır boyutludur.