Pi ile indirgeme formülleri. Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller
Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller nasıl hatırlanır? Bir çağrışım kullanırsanız kolaydır, bu çağrışım benim tarafımdan icat edilmedi. Daha önce de belirtildiği gibi, iyi bir ilişki "yakalamalı", yani canlı duygular uyandırmalıdır. Bu birlikteliğin yarattığı duyguları olumlu diyemem. Ancak bir sonuç verir - azaltma formüllerini hatırlamanıza olanak tanır, bu da onun var olma hakkına sahip olduğu anlamına gelir. Sonuçta beğenmezseniz kullanmak zorunda değilsiniz değil mi?
İndirgeme formülleri şu şekildedir: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). +α'nın saat yönünün tersine hareket verdiğini, - α'nın saat yönünde hareket verdiğini unutmayın.
İndirgeme formülleriyle çalışmak için iki noktaya ihtiyacınız vardır:
1) başlangıç fonksiyonunun sahip olduğu işareti koyun (ders kitaplarında şöyle yazıyorlar: indirgenebilir. Ancak kafanın karışmaması için buna başlangıç demek daha iyidir), α'nın ilk çeyreğin açısı olduğunu düşünürsek, yani , küçük.
2) Yatay çap - π±α, 2π±α, 3π±α... - genel olarak kesir olmadığında fonksiyonun adı değişmez. Dikey π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - bir kesir olduğunda fonksiyonun adı değişir: sinüs - kosinüse, kosinüs - sinüse, tanjant - kotanjanta ve kotanjant - teğete. 
Şimdi aslında dernek:
dikey çap (bir kesir var) -
sarhoş ayakta. Ona erken ne olacak?
Yoksa çok mu geç? Doğru, düşecek.
Fonksiyon adı değişecektir.
Çap yataysa, sarhoş zaten yatıyor demektir. Muhtemelen uyuyordur. Ona bir şey olmaz, o zaten kabul etmiştir. yatay pozisyon. Buna göre fonksiyonun adı değişmez.
Yani, günah(π/2±α), günah(3π/2±α), günah(5π/2±α), vb. ±cosα ver,
ve sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.
Nasıl olduğunu zaten biliyoruz.
Nasıl çalışır? Örneklere bakalım.
1) cos(π/2+α)=?
π/2 oluyoruz. +α saat yönünün tersine ileri gideceğimiz anlamına geldiğinden. Kendimizi kosinüsün “-“ işaretine sahip olduğu ikinci çeyrekte buluyoruz. İşlevin adı değişir (“sarhoş kişi ayakta duruyor”, yani düşeceği anlamına gelir). Bu yüzden,
cos(π/2+α)=-sin α.
Gelelim 2π'ye. -α olduğundan geriye doğru, yani saat yönünde gideriz. Kendimizi teğetin “-“ işaretine sahip olduğu IV çeyreğinde buluyoruz. İşlevin adı değişmiyor (çap yatay, "sarhoş zaten yatıyor"). Böylece tan(2π-α)=- tanα olur.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Bir fonksiyonun eşit güce yükseltildiği örneklerin çözülmesi daha da kolaydır. Çift dereceli “-” onu kaldırır, yani sadece fonksiyonun adının değişip değişmediğini bulmanız gerekir. Çap dikeydir (“sarhoş durmak” diye bir kesir vardır, düşecektir), fonksiyonun adı değişir. Şunu elde ederiz: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
İndirgeme formülleri sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) açılarıyla gitmenize izin veren ilişkilerdir. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, birim çemberin ilk çeyreğinde yer alan `\alpha` açısının aynı fonksiyonlarına eşittir. Böylece indirgeme formülleri bizi 0 ila 90 derece aralığındaki açılarla çalışmaya "yönlendirir" ki bu çok uygundur.
Hepsi bir arada 32 indirgeme formülü var. Birleşik Devlet Sınavı, sınavlar ve testler sırasında şüphesiz kullanışlı olacaklar. Ancak bunları ezberlemenize gerek olmadığı konusunda hemen uyaralım! Biraz zaman harcamanız ve uygulamalarına yönelik algoritmayı anlamanız gerekiyor, o zaman gerekli eşitliği doğru zamanda elde etmeniz sizin için zor olmayacaktır.
Öncelikle tüm indirgeme formüllerini yazalım:
Açı için (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) veya (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Açı (`\pi \pm \alpha`) veya (`180^\circ \pm \alpha`) için:
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Açı için (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) veya (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;' ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;' ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;' ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Açı (`2\pi \pm \alpha`) veya (`360^\circ \pm \alpha`) için:
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
İndirgeme formüllerini genellikle açıların radyan cinsinden yazıldığı bir tablo biçiminde bulabilirsiniz:
Bunu kullanmak için ihtiyacımız olan fonksiyonun bulunduğu satırı ve istenen argümanın bulunduğu sütunu seçmemiz gerekir. Örneğin, bir tablo kullanarak 'sin(\pi + \alpha)'nın neye eşit olacağını bulmak için, ' sin \beta' satırı ile \pi + sütununun kesiştiği noktada cevabı bulmak yeterlidir. \alfa`. ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha` elde ederiz.
Ve açıların derece cinsinden yazıldığı ikinci benzer tablo:
İndirgeme formülleri veya bunların nasıl hatırlanacağı için anımsatıcı kural
Daha önce de belirttiğimiz gibi yukarıdaki ilişkilerin tamamını ezberlemenize gerek yoktur. Onlara dikkatlice baktığınızda muhtemelen bazı desenleri fark etmişsinizdir. Herhangi bir indirgeme formülünü kolayca elde edebileceğimiz bir anımsatıcı kural (anımsatıcı - hatırla) formüle etmemize izin verirler.
Bu kuralı uygulamak için birim çemberin farklı bölgelerindeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirlemede (veya hatırlamada) iyi olmanız gerektiğini hemen belirtelim. 
Aşının kendisi 3 aşamadan oluşur:
- İşlev argümanı `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ olarak temsil edilmelidir. pm \alpha' ve `\alpha' zorunlu olarak dar bir açıdır (0'dan 90 dereceye kadar).
- Bağımsız değişkenler için `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` trigonometrik fonksiyon dönüştürülen ifade bir ortak fonksiyona dönüşür, yani tam tersi (sinüsten kosinüse, teğetten kotanjanta ve tersi). `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` bağımsız değişkenleri için işlev değişmez.
- Orijinal fonksiyonun işareti belirlenir. Sağ tarafta ortaya çıkan fonksiyon aynı işarete sahip olacaktır.
Bu kuralın pratikte nasıl uygulanabileceğini görmek için birkaç ifadeyi dönüştürelim:
1. 'çünkü(\pi + \alfa)'.
Fonksiyon tersine çevrilmez. `\pi + \alpha` açısı üçüncü çeyrektedir, bu çeyrekteki kosinüs “-” işaretine sahiptir, dolayısıyla dönüştürülen fonksiyon da “-” işaretine sahip olacaktır.
Cevap: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.
Anımsatıcı kurala göre işlev tersine çevrilecektir. `\frac (3\pi)2 - \alpha` açısı üçüncü çeyrektedir, buradaki sinüs “-” işaretine sahiptir, dolayısıyla sonuç da “-” işaretine sahip olacaktır.
Cevap: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. 'çünkü(\frac (7\pi)2 - \alfa)'.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))'. `3\pi`yi `2\pi+\pi` olarak temsil edelim. '2\pi' fonksiyonun periyodudur.
Önemli: `cos \alpha` ve `sin \alpha` fonksiyonlarının periyodu `2\pi` veya `360^\circ`'dir, argüman bu değerler kadar artırılırsa veya azaltılırsa değerleri değişmeyecektir.
Buna dayanarak ifademiz şu şekilde yazılabilir: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Anımsatıcı kuralını iki kez uygulayarak şunu elde ederiz: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Cevap: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
At kuralı
Yukarıda açıklanan anımsatıcı kuralın ikinci noktasına aynı zamanda indirgeme formüllerinin at kuralı da denir. Acaba neden atlar?
Yani, `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ argümanlarına sahip fonksiyonlarımız var pm \alpha`, `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` noktaları anahtardır ve koordinat eksenlerinde bulunurlar. `\pi` ve `2\pi` yatay x eksenindedir ve `\frac (\pi)2` ve `\frac (3\pi)2` açıktır dikey eksen koordine etmek
Kendimize şu soruyu soruyoruz: “Bir fonksiyon eş fonksiyona dönüşür mü?” Bu soruyu cevaplamak için başınızı kilit noktanın bulunduğu eksen boyunca hareket ettirmeniz gerekir.
Yani kilit noktaları yatay eksende olan tartışmalara başımızı yanlara sallayarak “hayır” cevabı veriyoruz. Anahtar noktaları dikey eksende bulunan köşelere ise at gibi başımızı yukarıdan aşağıya doğru sallayarak “evet” cevabı veriyoruz :)
Yazarın, indirgeme formüllerini ezberlemeden nasıl hatırlayacağınızı ayrıntılı olarak anlattığı bir video eğitimini izlemenizi öneririz.
İndirgeme formüllerini kullanmanın pratik örnekleri
İndirgeme formüllerinin kullanımı 9. ve 10. sınıflarda başlar. Bunları kullanmanın birçok sorunu Birleşik Devlet Sınavına sunuldu. Bu formülleri uygulamanız gereken sorunlardan bazıları şunlardır:
- dik üçgen çözme problemleri;
- sayısal ve alfabetik dönüşümler trigonometrik ifadeler değerlerinin hesaplanması;
- stereometrik görevler.
Örnek 1. İndirgeme formüllerini kullanarak hesaplama yapın a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Çözüm: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3';
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2';
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2'.
Örnek 2. İndirgeme formüllerini kullanarak kosinüsü sinüsten sinüse ifade ettikten sonra sayıları karşılaştırın: 1) 'sin \frac (9\pi)8' ve 'cos \frac (9\pi)8'; 2) 'sin \frac (\pi)8' ve 'cos \frac (3\pi)10'.
Çözüm: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8'
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8'
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5'
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Öncelikle `\frac (\pi)2 + \alpha` argümanının sinüs ve kosinüsleri için iki formülü kanıtlayalım: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ve ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Gerisi onlardan türetilmiştir. Bir birim çember alalım ve onun üzerinde koordinatları (1,0) olan A noktasını alalım. Döndükten sonra izin ver Teğet ve kotanjant tanımından yola çıkarak ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\) elde ederiz. pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ve ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, bu şunu kanıtlar: '\frac (\pi)2 + \alpha' açısının tanjant ve kotanjantını azaltma formülleri. Formülleri `\frac (\pi)2 - \alpha` argümanıyla kanıtlamak için bunu `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` olarak temsil etmek ve yukarıdaki yolun aynısını takip etmek yeterlidir. Örneğin, 'cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)'. `\pi + \alpha` ve `\pi - \alpha` açıları `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` ve `\frac (\pi) olarak temsil edilebilir ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` sırasıyla. Ve `\frac (3\pi)2 + \alpha` ve `\frac (3\pi)2 - \alpha`, `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` ve `\pi olarak +(\frac (\pi)2-\alfa)`. Matematiğin trigonometri bölümüne aittirler. Bunların özü, açıların trigonometrik fonksiyonlarını “basit” bir forma indirgemektir. Bunları bilmenin önemi hakkında çok şey yazılabilir. Bu formüllerden zaten 32 tane var! Paniğe kapılmayın, matematik dersindeki diğer birçok formül gibi bunları öğrenmenize gerek yok. Kafanızı gereksiz bilgilerle doldurmanıza gerek yok, “anahtarları” veya yasaları hatırlamanız gerekiyor ve gerekli formülü hatırlamak veya türetmek sorun olmayacak. Bu arada, makalelerde yazdığımda “... öğrenmen gerekiyor!!!” - bu gerçekten öğrenilmesi gerektiği anlamına gelir. İndirgeme formüllerine aşina değilseniz, bunların türetilmesinin basitliği sizi hoş bir şekilde şaşırtacaktır - bunun yardımıyla bunun kolayca yapılabileceği bir "yasa" vardır. Ve 32 formülden herhangi birini 5 saniyede yazabilirsiniz. Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkacak sorunlardan yalnızca bazılarını listeleyeceğim; burada bu formüller hakkında bilgi sahibi olmadan bunları çözmede başarısız olma olasılığı yüksektir. Örneğin: – dış açıdan bahsettiğimiz dik üçgenin çözümüne yönelik problemler ve iç açılara ilişkin problemler, bu formüllerden bazıları da gereklidir. – trigonometrik ifadelerin değerlerinin hesaplanmasına ilişkin görevler; sayısal trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi; Gerçek trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi. – teğet ve teğetin geometrik anlamı ile ilgili problemler; diğer problemlerin yanı sıra teğet için bir indirgeme formülü gereklidir. – stereometrik problemler, çözme sırasında genellikle 90 ila 180 derece aralığında yer alan bir açının sinüsünü veya kosinüsünü belirlemek gerekir. Ve bunlar sadece Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili noktalardır. Ve cebir dersinin kendisinde, indirgeme formülleri bilgisi olmadan çözümü basitçe yapılamayan birçok problem vardır. Peki bu neye yol açıyor ve belirtilen formüller sorunları çözmemizi nasıl kolaylaştırıyor? Örneğin, 0 ila 450 derece arasındaki herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını veya kotanjantını belirlemeniz gerekir: alfa açısı 0 ile 90 derece arasında değişir * * *
O halde burada işleyen “yasayı” anlamak gerekir: 1. İlgili çeyrekte fonksiyonun işaretini belirleyin. Hatırlatmama izin ver: 2. Aşağıdakileri unutmayın: işlev ortak işleve değişir
işlev ortak işleve değişmez
Bir fonksiyonun ortak fonksiyona dönüşmesi kavramı ne anlama geliyor?
Cevap: sinüs kosinüse dönüşür veya tersi, kotanjanta teğet veya tam tersi.
Bu kadar! Şimdi sunulan yasaya göre birkaç indirgeme formülünü kendimiz yazacağız: Bu açı üçüncü çeyrekte yatıyor, üçüncü çeyrekte kosinüs negatif. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı: Açı ilk çeyrekte yer alır, ilk çeyrekteki sinüs pozitiftir. 360 derecemiz olduğundan, fonksiyonu bir ortak fonksiyona değiştirmiyoruz, bu şu anlama geliyor: Bitişik açıların sinüslerinin eşit olduğuna dair başka bir doğrulama daha: Açı ikinci çeyrekte yer alır, ikinci çeyrekteki sinüs ise pozitiftir. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı: Her formül üzerinde zihinsel olarak veya yazılı olarak çalışın; hiçbir şeyin karmaşık olmadığına ikna olacaksınız. ***
Çözümle ilgili makalede şu gerçeğe dikkat çekildi - dik üçgendeki bir dar açının sinüsü, içindeki başka bir dar açının kosinüsüne eşittir.
`\alpha` açısında `A_1(x, y)` noktasına gidecek ve `\frac (\pi)2 + \alpha` açısıyla döndükten sonra `A_2(-y, x)` noktasına gidecektir. Bu noktalardan OX doğrusuna dik açıları bıraktığımızda 'OA_1H_1' ve 'OA_2H_2' üçgenlerinin hipotenüsleri ve komşu açıları eşit olduğundan eşit olduğunu görüyoruz. Daha sonra sinüs ve kosinüs tanımlarına dayanarak `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos yazabiliriz. (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. İndirgemeyi kanıtlayan ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ve ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ifadesini nereye yazabiliriz? sinüs ve kosinüs açıları için formüller `\frac (\pi)2 + \alpha`.
