Modül x'i Fourier serisine genişletin. Yüksek Matematik

Doğada ve teknolojide meydana gelen birçok süreç belirli aralıklarla kendini tekrar etme eğilimindedir. Bu tür işlemlere periyodik denir ve matematiksel olarak periyodik fonksiyonlarla tanımlanır. Bu tür işlevler şunları içerir: günah(X) , çünkü(X) , günah(wx), çünkü(wx) . İki periyodik fonksiyonun toplamı, örneğin formun bir fonksiyonu , genel anlamda artık periyodik değildir. Ancak ilişkinin şu şekilde olduğu kanıtlanabilir: w 1 / w 2 rasyonel bir sayı ise bu toplam periyodik bir fonksiyondur.

En basit periyodik süreçler - harmonik salınımlar - periyodik fonksiyonlarla tanımlanır günah(wx) Ve çünkü(wx). Daha karmaşık periyodik süreçler, sonlu veya sonsuz sayıda terimden oluşan fonksiyonlarla tanımlanır. günah(wx) Ve çünkü(wx).

3.2. Trigonometrik seriler. Fourier katsayıları

Formun işlevsel bir serisini ele alalım:

Bu seriye denir trigonometrik; sayılar A 0 , B 0 , A 1 , B 1 ,A 2 , B 2 …, A N , B N ,… arandı katsayılar trigonometrik seriler. Seri (1) genellikle şu şekilde yazılır:

. (2)

Trigonometrik serinin (2) üyeleri ortak bir periyoda sahip olduğundan
, eğer yakınsaksa serinin toplamı da periyodu olan periyodik bir fonksiyondur
.

Fonksiyonun olduğunu varsayalım. F(X) bu serinin toplamı:

. (3)

Bu durumda fonksiyonun şöyle olduğunu söylüyorlar: F(X) trigonometrik bir seriye genişletilir. Bu serinin aralıkta düzgün yakınsak olduğunu varsayarsak
, aşağıdaki formülleri kullanarak katsayılarını belirleyebilirsiniz:

,
,
. (4)

Bu formüllerle belirlenen serinin katsayılarına denir. Fourier katsayıları.

Katsayıları Fourier formülleri (4) ile belirlenen trigonometrik serilere (2) denir. Fourier yakınında, fonksiyona karşılık gelen F(X).

Böylece, eğer periyodik bir fonksiyon F(X) yakınsak bir trigonometrik serinin toplamı ise bu seri onun Fourier serisidir.

3.3. Fourier serilerinin yakınsaklığı

Formüller (4), aralıktaki herhangi bir integral için Fourier katsayılarının hesaplanabileceğini göstermektedir.

-periyodik fonksiyon, yani Böyle bir fonksiyon için her zaman bir Fourier serisi oluşturabilirsiniz. Fakat bu seri fonksiyona yakınlaşacak mı? F(X) ve hangi koşullar altında?

Fonksiyonu hatırlayın F(X), segmentte tanımlanmış [ A; B] , kendisi ve türevi birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktasından fazlasına sahip değilse parçalı düzgün denir.

Aşağıdaki teorem, bir fonksiyonun Fourier serisinde ayrıştırılabilirliği için yeterli koşulları verir.

Dirichlet teoremi. İzin vermek
-periyodik fonksiyon F(X) parça parça pürüzsüz
. Daha sonra Fourier serisi şuna yakınsar: F(X) süreklilik noktalarının her birinde ve değerde 0,5(F(X+0)+ F(X-0)) kırılma noktasında.

Örnek 1.

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin F(X)= X, aralıkta belirtilen
.

Çözüm. Bu fonksiyon Dirichlet koşullarını sağlar ve bu nedenle Fourier serisine genişletilebilir. Formüllerin (4) ve parçalara göre entegrasyon yönteminin kullanılması
Fourier katsayılarını buluyoruz:

Böylece, fonksiyon için Fourier serisi F(X) bir görünümü var.

Fourier serileri, belirli bir periyoda sahip keyfi bir fonksiyonun seri şeklinde temsilidir. İÇİNDE Genel görünüm bu karar bir elemanın ortogonal temelde ayrışmasına denir. Fonksiyonların Fourier serilerine genişletilmesi, entegrasyon, türev alma ve ifadelerin argüman ve evrişim yoluyla değiştirilmesi sırasındaki bu dönüşümün özelliklerinden dolayı çeşitli problemleri çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.

Yüksek matematiğe ve Fransız bilim adamı Fourier'in çalışmalarına aşina olmayan bir kişi, büyük olasılıkla bu "dizilerin" ne olduğunu ve ne için gerekli olduklarını anlamayacaktır. Bu arada bu dönüşüm hayatımıza oldukça entegre hale geldi. Sadece matematikçiler tarafından değil aynı zamanda fizikçiler, kimyagerler, doktorlar, gökbilimciler, sismologlar, oşinograflar ve daha birçok kişi tarafından da kullanılmaktadır. Zamanının ötesinde bir keşif yapan büyük Fransız bilim adamının çalışmalarına da daha yakından bakalım.

İnsan ve Fourier Dönüşümü

Fourier serileri (analiz ve diğerleri ile birlikte) yöntemlerden biridir.Bu işlem, kişi her ses duyduğunda gerçekleşir. Kulağımız dönüşümü otomatik olarak gerçekleştirir temel parçacıklar elastik bir ortamda, farklı yükseklikteki tonlar için ardışık ses yüksekliği seviyesi değerlerinin sıraları (spektrum boyunca) düzenlenir. Daha sonra beyin bu verileri aşina olduğumuz seslere dönüştürür. Bütün bunlar bizim arzumuz veya bilincimiz olmadan kendi başına gerçekleşir, ancak bu süreçleri anlamak için yüksek matematik okumak birkaç yıl alacaktır.

Fourier dönüşümü hakkında daha fazla bilgi

Fourier dönüşümü analitik, sayısal ve diğer yöntemler kullanılarak gerçekleştirilebilir. Fourier serileri, okyanus gelgitleri ve ışık dalgalarından güneş (ve diğer astronomik nesnelerin) faaliyet döngülerine kadar her türlü salınım sürecini ayrıştırmanın sayısal yöntemini ifade eder. Bu matematiksel teknikleri kullanarak, herhangi bir salınımlı süreci minimumdan maksimuma ve geriye doğru hareket eden bir dizi sinüzoidal bileşen olarak temsil eden fonksiyonları analiz edebilirsiniz. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidlerin fazını ve genliğini tanımlayan bir fonksiyondur. Bu süreç çok çözmek için kullanılabilir karmaşık denklemler termal, ışık veya etkisi altında ortaya çıkan dinamik süreçleri tanımlayan elektrik enerjisi. Ayrıca Fourier serileri, karmaşık salınım sinyallerindeki sabit bileşenlerin izole edilmesini mümkün kılarak tıp, kimya ve astronomide elde edilen deneysel gözlemlerin doğru şekilde yorumlanmasını mümkün kılar.

Tarihsel referans

Bu teorinin kurucu babası Fransız matematikçi Jean Baptiste Joseph Fourier'dir. Bu dönüşüme daha sonra onun adı verildi. Başlangıçta, bilim adamı yöntemini termal iletkenlik mekanizmalarını - ısının yayılımını - incelemek ve açıklamak için kullandı. katılar. Fourier, başlangıçtaki düzensiz dağılımın, her birinin kendine ait olan basit sinüzoidlere ayrıştırılabileceğini öne sürdü. minimum sıcaklık ve maksimumun yanı sıra fazı. Bu durumda, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma ve tam tersi şekilde ölçülecektir. Eğrinin üst ve alt tepe noktalarının yanı sıra her bir harmoniğin fazını tanımlayan matematiksel fonksiyona sıcaklık dağılım ifadesinin Fourier dönüşümü denir. Teorinin yazarı bir araya getirildi genel fonksiyon Matematiksel olarak tanımlanması zor olan dağılım, birlikte orijinal dağılımı veren çok uygun bir kosinüs ve sinüs serisine dönüştürülür.

Dönüşüm ilkesi ve çağdaşların görüşleri

Bilim adamının çağdaşları, on dokuzuncu yüzyılın başlarının önde gelen matematikçileri, bu teoriyi kabul etmediler. Ana itiraz, Fourier'in, düz bir çizgiyi veya süreksiz bir eğriyi tanımlayan süreksiz bir fonksiyonun, sürekli olan sinüzoidal ifadelerin toplamı olarak temsil edilebileceği yönündeki iddiasıydı. Örnek olarak Heaviside adımını düşünün: değeri süreksizliğin solunda sıfır, sağında ise birdir. Bu işlev Bir devre kapatıldığında elektrik akımının bir zaman değişkenine bağımlılığını açıklar. O dönemde teorinin çağdaşları, süreksiz bir ifadenin üstel, sinüs, doğrusal veya ikinci dereceden gibi sürekli, sıradan fonksiyonların bir kombinasyonu ile tanımlandığı benzer bir durumla hiç karşılaşmamışlardı.

Fourier'in teorisi konusunda Fransız matematikçilerin kafasını karıştıran şey neydi?

Sonuçta, eğer matematikçi ifadelerinde haklıysa, o zaman sonsuz trigonometrik Fourier serisini toplayarak, birçok benzer adıma sahip olsa bile adım ifadesinin doğru bir temsili elde edilebilir. On dokuzuncu yüzyılın başında böyle bir ifade saçma görünüyordu. Ancak tüm şüphelere rağmen birçok matematikçi bu fenomenin çalışma kapsamını genişleterek konuyu termal iletkenlik çalışmasının ötesine taşıdı. Ancak çoğu bilim adamı şu soruyla işkence görmeye devam etti: "Sinüzoidal bir serinin toplamı şuna yakınsabilir mi? Kesin değer süreksiz fonksiyon?

Fourier serilerinin yakınsaklığı: bir örnek

Yakınsaklık sorunu, sonsuz sayı serilerini toplamanın gerekli olduğu her durumda ortaya çıkar. Bu olguyu anlamak için klasik bir örneği düşünün. Sonraki her adım bir öncekinin yarısı kadar olursa duvara ulaşabilecek misiniz? Diyelim ki hedefinizden iki metre uzaktasınız, ilk adım sizi yolun yarısına, sonraki adım dörtte üçüne götürüyor ve beşinci adımdan sonra yolun neredeyse yüzde 97'sini kat etmiş olacaksınız. Ancak ne kadar adım atarsanız atın matematiksel anlamda amaçladığınız hedefe ulaşamazsınız. Sayısal hesaplamalar kullanılarak, belirli bir mesafeye kadar yaklaşmanın eninde sonunda mümkün olduğu kanıtlanabilir. Bu ispat, yarım, dörtte bir vb. toplamının birliğe yöneleceğini göstermeye eşdeğerdir.

Yakınsama Sorunu: İkinci Geliş veya Lord Kelvin'in Cihazı

Bu konu on dokuzuncu yüzyılın sonunda gelgitlerin yoğunluğunu tahmin etmek için Fourier serilerini kullanmaya çalıştıklarında yeniden gündeme geldi. Bu sırada Lord Kelvin, askeri ve ticari denizci denizcilerin bu verileri takip etmesine olanak tanıyan analog bir bilgisayar cihazı olan bir alet icat etti. doğal bir fenomen. Bu mekanizma Yıl boyunca belirli bir limanda dikkatle ölçülen gelgit yükseklikleri ve bunlara karşılık gelen zaman noktalarından oluşan bir tablodan belirlenen aşamalar ve genlikler. Her parametre gelgit yüksekliği ifadesinin sinüzoidal bir bileşeniydi ve düzenli bileşenlerden biriydi. Ölçümlerin sonuçları, suyun yüksekliğini zamanın bir fonksiyonu olarak tahmin eden bir eğri sentezleyen Lord Kelvin'in hesaplama cihazına girildi. gelecek yıl. Çok geçmeden dünyanın tüm limanları için benzer eğriler çizildi.

Peki ya süreç süreksiz bir işlev nedeniyle kesintiye uğrarsa?

O zamanlar gelgit dalgası tahmin cihazının olduğu açık görünüyordu. büyük miktar hesap öğeleri hesaplayabilir çok sayıda fazlar ve genlikler sağlar ve böylece daha fazlasını sağlar doğru tahminler. Ancak sentezlenmesi gereken gelgit ifadesinin keskin bir sıçrama içerdiği yani süreksiz olduğu durumlarda bu örüntünün görülmediği ortaya çıktı. Cihaza zaman anları tablosundan veriler girilirse, birkaç Fourier katsayısı hesaplanır. Sinüzoidal bileşenler sayesinde (bulunan katsayılara uygun olarak) orijinal fonksiyon geri yüklenir. Orijinal ifade ile yeniden oluşturulmuş ifade arasındaki tutarsızlık herhangi bir noktada ölçülebilir. Tekrarlanan hesaplamalar ve karşılaştırmalar yapıldığında en büyük hatanın değerinin düşmediği açıktır. Ancak süreksizlik noktasına karşılık gelen bölgede lokalize olurlar ve diğer herhangi bir noktada sıfıra yönelirler. 1899'da bu sonuç Yale Üniversitesi'nden Joshua Willard Gibbs tarafından teorik olarak doğrulandı.

Fourier serilerinin yakınsaması ve genel olarak matematiğin gelişimi

Fourier analizi, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda sivri uç içeren ifadelere uygulanamaz. Genel olarak Fourier serileri, eğer orijinal fonksiyon gerçek fonksiyonun sonucuyla temsil ediliyorsa fiziksel boyut, her zaman birleşin. Yakınsama sorunları bu süreç belirli fonksiyon sınıfları için matematikte yeni dalların ortaya çıkmasına yol açtı, örneğin genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisi. L. Schwartz, J. Mikusinski ve J. Temple gibi isimlerle anılmaktadır. Bu teori çerçevesinde açık ve kesin bir teorik temel Dirac delta fonksiyonu (bir noktanın sonsuz küçük komşuluğunda yoğunlaşan tek bir alanın bölgesini tanımlar) ve Heaviside “adım” gibi ifadeler altında. Bu çalışma sayesinde Fourier serisi, sezgisel kavramları içeren denklemlerin ve problemlerin çözümünde uygulanabilir hale geldi: nokta yükü, nokta kütlesi, manyetik dipoller ve bir ışın üzerindeki konsantre yük.

Fourier yöntemi

Fourier serileri girişim ilkelerine uygun olarak karmaşık formların daha basit formlara ayrıştırılmasıyla başlar. Örneğin, ısı akışındaki bir değişiklik, ısı yalıtıcı malzemeden yapılmış çeşitli engellerden geçmesiyle açıklanır. düzensiz şekil veya dünyanın yüzeyindeki bir değişiklik - bir deprem, bir gök cisminin yörüngesindeki bir değişiklik - gezegenlerin etkisi. Kural olarak, basit klasik sistemleri tanımlayan bu tür denklemler, her bir dalga için kolayca çözülebilir. Fourier bunu gösterdi basit çözümler daha karmaşık problemlere çözüm bulmak için de toplanabilir. Matematiksel açıdan Fourier serileri, bir ifadeyi harmoniklerin (kosinüs ve sinüs) toplamı olarak temsil etmeye yönelik bir tekniktir. Bu yüzden bu analiz harmonik analiz olarak da bilinir.

Fourier serisi - “bilgisayar çağından” önce ideal bir teknik

Yaratılıştan önce bilgisayar ekipmanı Fourier'in tekniği şuydu: en iyi silah Dünyamızın dalga doğasıyla çalışırken bilim adamlarının cephaneliğinde. Karmaşık formdaki Fourier serisi sadece çözmeyi mümkün kılmaz basit görevler Bunlar Newton'un mekanik yasalarının yanı sıra temel denklemlerin de doğrudan uygulanmasına uygundur. On dokuzuncu yüzyılda Newton biliminin keşiflerinin çoğu yalnızca Fourier'in tekniğiyle mümkün oldu.

Fourier serisi bugün

Bilgisayarların gelişmesiyle birlikte Fourier dönüşümleri niteliksel bir düzeye yükseldi yeni seviye. Bu teknik, bilim ve teknolojinin neredeyse tüm alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bir örnek dijital ses ve videodur. Uygulanması ancak on dokuzuncu yüzyılın başında bir Fransız matematikçinin geliştirdiği bir teori sayesinde mümkün oldu. Böylece Fourier serilerinin karmaşık formda olması, çalışmada bir atılım yapılmasını mümkün kıldı. uzay. Ayrıca yarı iletken malzeme ve plazma fiziği, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar ve sismoloji çalışmalarını da etkiledi.

Trigonometrik Fourier serisi

Matematikte Fourier serisi keyfi temsil etmenin bir yoludur. karmaşık işlevler daha basit olanların toplamı. İÇİNDE genel durumlar bu tür ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. Üstelik hesaplamada sayıları ne kadar dikkate alınırsa o kadar doğru olur. son sonuç. En sık protozoa olarak kullanılır trigonometrik fonksiyonlar kosinüs veya sinüs. Bu durumda Fourier serilerine trigonometrik, bu tür ifadelerin çözümüne ise harmonik genişleme adı verilir. Bu yöntem oynuyor önemli rol Matematikte. Her şeyden önce trigonometrik seri, fonksiyonları tasvir etmek ve aynı zamanda incelemek için bir araç sağlar; teorinin ana aygıtıdır. Ayrıca matematiksel fizikteki bir takım problemleri çözmenize olanak sağlar. Son olarak, bu teori matematik biliminin çok önemli bir dizi dalının (integral teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi) gelişmesine katkıda bulunmuştur. Ayrıca, gerçek bir değişkenin aşağıdaki fonksiyonlarının geliştirilmesi için başlangıç ​​noktası görevi gördü ve aynı zamanda harmonik analizin temelini attı.

Periyodu 2p olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüslü terimleri içerir (yani sinüslü terimleri içermez) ve sabit bir terim içerebilir. Buradan,

katsayılar nerede Fourier serisi,

Sinüslerde Fourier serisinin açılımı

Periyodu 2p olan tek bir periyodik fonksiyon f(x)'in Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serisi

Eğer bir fonksiyon sadece 0'dan 2p'ye değil de 0'dan p'ye kadar bir aralık için tanımlanmışsa, sadece sinüs veya sadece kosinüs cinsinden bir seriye genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir yakın Fourier Açık yarım döngü

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Fourier Açık yarım döngü İle kosinüs f(x)'in 0 ila p aralığında fonksiyonları varsa, o zaman çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x = 0 ila x = p aralığına dayanan f(x) = x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Eğer dikkate alınan aralığın dışında elde edilen sonucu varsayarsak üçgen şekli 2p'lik bir periyot ile periyodiktir, o zaman son grafik şöyle görünür, göster. incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa ayrışma Fourier Açık yarım döngü İle sinüsler f(x) fonksiyonlarının 0 ila p aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=p aralığına dayanan f(x) =x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi CD doğrusunu oluşturuyoruz.

Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2p periyotlu periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Genel ve Mesleki Eğitim Bakanlığı

Soçi Devlet Üniversitesi turizm

ve tatil köyü işi

Pedagoji Enstitüsü

Matematik Fakültesi

Genel Matematik Bölümü

MEZUNİYET ÇALIŞMASI

Fourier serileri ve uygulamaları

Matematiksel fizikte.

Tamamlayan: 5. sınıf öğrencisi

tam zamanlı eğitimin imzası

Uzmanlık 010100

"Matematik"

Kasperova N.S.

Öğrenci Kimlik No: 95471

Bilimsel danışman: doçent, aday.

teknik imza bilimler

Pozin P.A.

Soçi, 2000

1. Giriş.

2. Fourier serisi kavramı.

2.1. Fourier serisi katsayılarının belirlenmesi.

2.2. Periyodik fonksiyonların integralleri.

3. Fourier serilerinin yakınsaklık işaretleri.

3.1. Fourier serilerinde fonksiyonların açılımına örnekler.

4. Periyodik bir fonksiyonun Fourier serisi açılımına ilişkin bir not

5. Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier serileri.

6. Periyodu 2 olan fonksiyonlar için Fourier serileri ben .

7. Periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisi açılımı.

Giriiş.

Jean Baptiste Joseph Fourier - Fransız matematikçi, Paris Bilimler Akademisi üyesi (1817).

Fourier'in cebirle ilgili ilk çalışmaları. Zaten 1796 derslerinde sayılarla ilgili teoremi açıkladı gerçek kökler cebirsel denklem bu sınırların arasında uzanan (1820'de yayınlandı), onun adını taşıyan; Bir cebirsel denklemin gerçek kök sayısına tam bir çözüm 1829'da J.S.F. tarafından elde edildi. Saldırı yoluyla. 1818'de Fourier, 1768'de Fransız matematikçi J.R. tarafından elde edilen benzer sonuçları bilmeden, Newton tarafından geliştirilen denklemlerin sayısal çözüm yönteminin uygulanabilirliğine ilişkin koşullar sorusunu araştırdı. Murailem. Fourier'in denklem çözümüne yönelik sayısal yöntemler üzerine yaptığı çalışmanın sonucu "Analiz"dir. belirli denklemler", 1831'de ölümünden sonra yayınlandı.

Fourier'in ana çalışma alanı matematiksel fizikti. 1807 ve 1811'de ısı yayılımı teorisi üzerine ilk keşiflerini Paris Bilimler Akademisi'ne sundu. sağlam vücut ve 1822'de yayınlandı ünlü eser « Analitik teori Daha sonraki matematik tarihinde önemli bir rol oynayan ısı". Bu - matematiksel teori termal iletkenlik. Yöntemin genelliği nedeniyle bu kitap tüm kitapların kaynağı oldu. modern yöntemler matematiksel fizik. Bu çalışmada Fourier, diferansiyel denklem termal iletkenlik ve en gelişmiş fikirler Genel taslak Daha önce D. Bernoulli tarafından özetlenen, ısı denklemini belirli belirli sınır koşulları altında çözmek için değişkenleri ayırmak için bir yöntem (Fourier yöntemi) geliştirdi ve bunu bir dizi özel duruma (küp, silindir vb.) uyguladı. Bu yöntem, fonksiyonların trigonometrik Fourier serileri ile temsil edilmesine dayanmaktadır.

Fourier serileri artık kısmi diferansiyel denklemler teorisinde sınır değer problemlerinin çözümü için iyi geliştirilmiş bir araç haline gelmiştir.

1. Fourier serisi kavramı.(s. 94, Uvarenkov)

Fourier serileri matematiksel fizikte, esneklik teorisinde, elektrik mühendisliğinde ve özellikle bunların özel durumu olan trigonometrik Fourier serilerinde önemli bir rol oynar.

Bir trigonometrik seri, formun bir serisidir

veya sembolik olarak:

(1)

burada ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … sabit sayılardır (ω>0).

Tarihsel olarak, fizikteki bazı problemler bu tür serilerin incelenmesine yol açmıştır; örneğin, sicim titreşimleri problemi (18. yüzyıl), ısı iletimi olgusundaki düzenlilikler problemi, vb. Uygulamalarda, trigonometrik serilerin dikkate alınması , öncelikle y = ƒ(χ) denklemiyle tanımlanan belirli bir hareketi temsil etme göreviyle ilişkilidir.

genellikle sonsuz büyük bir sayıda alınan, yani (1) biçimindeki bir serinin toplamı olarak alınan en basit harmonik salınımların toplamı biçiminde.

Böylece şu soruna geliyoruz: belirli bir aralıktaki belirli bir ƒ(x) fonksiyonu için, bu aralıkta bu fonksiyona yakınsayacak bir (1) serisinin var olup olmadığını bulmak. Eğer bu mümkünse, o zaman ƒ(x) fonksiyonunun bu aralıkta trigonometrik bir seriye genişletildiğini söylüyorlar.

Seri (1), fonksiyonların periyodikliğinden dolayı x 0 noktasında yakınsar

(n=1,2,..), formun tüm noktalarında yakınsak olduğu ortaya çıkacaktır (m herhangi bir tam sayıdır) ve dolayısıyla toplamı S(x) (serinin yakınsaklık bölgesinde) olacaktır. ) periyodik bir fonksiyon: eğer S n ( x) bu serinin n'inci kısmi toplamı ise, o zaman elimizde

ve bu nedenle

, yani S(x 0 +T)=S(x 0). Bu nedenle, bir ƒ(x) fonksiyonunun (1) formundaki bir seriye genişletilmesinden bahsederken, ƒ(x)'in periyodik bir fonksiyon olduğunu varsayacağız.

2. Fourier formüllerini kullanarak seri katsayılarının belirlenmesi.

Periyodu 2π olan bir periyodik fonksiyon ƒ(x), (-π, π) aralığında belirli bir fonksiyona yakınsayan bir trigonometrik seri ile temsil edilecek şekilde olsun, yani bu serinin toplamı olsun:

. (2)

Bu eşitliğin sol tarafındaki fonksiyonun integralinin bu serinin terimlerinin integrallerinin toplamına eşit olduğunu varsayalım. Belirli bir trigonometrik serinin katsayılarından oluşan sayı serisinin mutlak olarak yakınsak olduğunu, yani pozitif sayı serisinin yakınsak olduğunu varsayarsak bu doğru olacaktır.

(3)

Seri (1) büyükleştirilebilir ve (-π, π) aralığında terim terim entegre edilebilir. Eşitliğin her iki tarafını da entegre edelim (2):

.

Sağ tarafta görünen her bir integrali ayrı ayrı değerlendirelim:

, , .

Böylece,

, Neresi . (4)

Fourier katsayılarının tahmini.(Bugrov)

Teorem 1. 2π periyoduna ait ƒ(x) fonksiyonunun sürekli bir türevi olsun: ƒ ( s) (x) sırası s, tüm gerçek eksendeki eşitsizliği karşılıyor:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

daha sonra fonksiyonun Fourier katsayıları ƒ eşitsizliği gidermek

(6)

Kanıt. Parçalara göre entegrasyon ve bunu dikkate alma

ƒ(-π) = ƒ(π), elimizde

Entegrasyon Sağ Taraf(7) Tutarlı bir şekilde, ƒ ΄, …, ƒ (s-1) türevlerinin sürekli olduğu dikkate alınır ve aynı değerler t = -π ve t = π noktalarında, tahminin (5) yanı sıra, ilk tahmini (6) elde ederiz.

İkinci tahmin (6) da benzer şekilde elde edilir.

Teorem 2. Fourier katsayıları ƒ(x) için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

(8)

Kanıt. Sahibiz

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ile akustik dalgalar tipiktir pratik örnekler Periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarına uygulanması.

Fourier serisi açılımı, hepsinin sahip olduğu varsayımına dayanmaktadır. pratik önemi-π ≤x≤ π aralığındaki fonksiyonlar, yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebilir (bir seri, terimlerinin oluşturduğu kısmi toplamlar dizisi yakınsaksa, yakınsak kabul edilir):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, eğer x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyona iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa Fourier yarım döngü sinüs genişlemesi f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi CD doğrusunu oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegral sınırları, L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir: