Ters matris kullanılarak belirlenir. Yüksek Matematik
Matris çarpımının ters işlemini tanımlama problemini ele alalım.
A, n mertebeden bir kare matris olsun. Verilen A matrisiyle birlikte aşağıdaki eşitlikleri sağlayan A^(-1) matrisi:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
isminde tersi. A matrisi denir geri dönüşümlü, eğer bunun tersi varsa, aksi takdirde - geri döndürülemez.
Tanımdan şu sonuç çıkıyor: Eğer ters A^(-1) matrisi mevcutsa, o zaman bunu karele A ile aynı sıra. Ancak her kare matrisin tersi yoktur. Bir A matrisinin determinantı sıfıra eşitse (\det(A)=0), bunun tersi yoktur. Aslında, E=A^(-1)A birim matrisi için matrislerin çarpımının determinantına ilişkin teoremi uyguladığımızda bir çelişki elde ederiz
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
kimlik matrisinin determinantı 1'e eşit olduğundan. Bir kare matrisin sıfır olmayan determinantının varlığın tek koşulu olduğu ortaya çıktı ters matris. Determinantı sıfıra eşit olan bir kare matrisin tekil (tekil), aksi takdirde dejenere olmayan (tekil olmayan) olarak adlandırıldığını hatırlayın.
Ters matrisin varlığı ve tekliği ile ilgili Teorem 4.1. Kare matris A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix) Determinantı sıfır olmayan bir ters matrise ve ayrıca yalnızca bir matrise sahiptir:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
burada A^(+), A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarından oluşan bir matris için transpoze edilmiş matristir.
A^(+) matrisine denir ek matris A matrisine göre.
Aslında matris \frac(1)(\det(A))\,A^(+)\det(A)\ne0 koşulu altında mevcuttur. A'ya ters olduğunu göstermek gerekir, yani. iki koşulu karşılar:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
İlk eşitliği kanıtlayalım. Açıklama 2.3'ün 4. paragrafına göre, determinantın özelliklerinden şu sonuç çıkar: AA^(+)=\det(A)\cdot E. Bu yüzden
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
gösterilmesi gereken şey buydu. İkinci eşitlik de benzer şekilde kanıtlanır. Bu nedenle, \det(A)\ne0 koşulu altında, A matrisinin tersi vardır.
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Ters matrisin tekliğini çelişki yoluyla kanıtlayacağız. A^(-1) matrisine ek olarak AB=E olacak şekilde başka bir ters B\,(B\ne A^(-1)) matrisi olsun. Bu eşitliğin her iki tarafını soldan A^(-1) matrisiyle çarparsak şunu elde ederiz: \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Dolayısıyla B=A^(-1) , bu da B\ne A^(-1) varsayımıyla çelişir. Bu nedenle ters matris benzersizdir.
Notlar 4.1
1. Tanımdan A ve A^(-1) matrislerinin değişmeli olduğu sonucu çıkar.
2. Tekil olmayan bir köşegen matrisin tersi de köşegendir:
\Bigl[\operatöradı(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatöradı(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. Tekil olmayan bir alt (üst) üçgen matrisin tersi, alt (üst) üçgendir.
4. Temel matrislerin tersleri de temeldir (bkz. 1.11 açıklamalarının 1. paragrafı).
Ters bir matrisin özellikleri
Matris ters çevirme işlemi aşağıdaki özelliklere sahiptir:
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(hizalanmış)
1-4 eşitliklerinde belirtilen işlemler anlamlıysa.
Özellik 2'yi kanıtlayalım: aynı mertebeden tekil olmayan kare matrislerin AB çarpımı ters bir matrise sahipse, o zaman (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Aslında AB matrislerinin çarpımının determinantı sıfıra eşit değildir, çünkü
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Nerede \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Bu nedenle ters matris (AB)^(-1) mevcuttur ve benzersizdir. B^(-1)A^(-1) matrisinin AB matrisinin tersi olduğunu tanım gereği gösterelim. Gerçekten mi.
n'inci dereceden bir kare matris olsun
Matris A-1 denir ters matris A matrisine göre, eğer A*A -1 = E ise, burada E, n'inci dereceden birim matristir.
Kimlik matrisi- sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana köşegen boyunca tüm elemanların bir olduğu ve geri kalanının sıfır olduğu böyle bir kare matris, örneğin:
ters matris var olabilir yalnızca kare matrisler için onlar. satır ve sütun sayısının çakıştığı matrisler için.
Ters bir matrisin varoluş koşulu için teorem
Bir matrisin ters matris olabilmesi için tekil olmaması gerekli ve yeterlidir.
A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan, eğer sütun vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa. Bir matrisin doğrusal bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rütbesi denir. Dolayısıyla ters bir matrisin var olabilmesi için matrisin rütbesinin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir diyebiliriz. r = n.
Ters matrisi bulmak için algoritma
- Denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözmek için A matrisini tabloya yazın ve E matrisini sağ tarafa (denklemlerin sağ tarafları yerine) atayın.
- Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini birim sütunlardan oluşan bir matrise azaltın; bu durumda E matrisini eş zamanlı olarak dönüştürmek gerekir.
- Gerekirse, son tablonun satırlarını (denklemlerini), orijinal tablonun A matrisi altında E birim matrisini elde edecek şekilde yeniden düzenleyin.
- Orijinal tablonun E matrisinin altına son tabloda yer alan ters matris A -1'i yazın.
A matrisi için ters A -1 matrisini bulun
Çözüm: A matrisini yazıp E birim matrisini sağa atarız Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini E birim matrisine indirgeriz. Hesaplamalar Tablo 31.1'de verilmiştir.
Orijinal matris A ile ters matris A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim.
Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edildi. Bu nedenle hesaplamalar doğru yapılmıştır.
Cevap: 
Matris denklemlerini çözme
Matris denklemleri şöyle görünebilir:
AX = B, HA = B, AXB = C,
burada A, B, C belirtilen matrislerdir, X istenen matristir.
Matris denklemleri, denklemin ters matrislerle çarpılmasıyla çözülür.
Örneğin denklemden matrisi bulmak için bu denklemi soldaki ile çarpmanız gerekir.
Bu nedenle denklemin çözümünü bulmak için ters matrisi bulup denklemin sağ tarafındaki matrisle çarpmanız gerekir.
Diğer denklemler de benzer şekilde çözülür.
AX = B denklemini çözün, eğer 
Çözüm: Ters matris eşit olduğundan (bkz. örnek 1)
Ekonomik analizde matris yöntemi
Diğerlerinin yanı sıra onlar da kullanılır matris yöntemleri . Bu yöntemler doğrusal ve vektör matris cebirine dayanmaktadır. Bu tür yöntemler, karmaşık ve çok boyutlu ekonomik olayların analiz edilmesi amacıyla kullanılmaktadır. Çoğu zaman bu yöntemler, kuruluşların işleyişinin ve yapısal bölümlerinin karşılaştırmalı bir değerlendirmesinin yapılması gerektiğinde kullanılır.
Matris analiz yöntemlerinin uygulanması sürecinde birkaç aşama ayırt edilebilir.
İlk aşamada bir ekonomik göstergeler sistemi oluşturuluyor ve buna dayanarak, sistem numaralarının ayrı satırlarda gösterildiği bir tablo olan bir ilk veri matrisi derleniyor (i = 1,2,....,n) ve dikey sütunlarda - göstergelerin sayısı (j = 1,2,....,m).
İkinci aşamada Her dikey sütun için mevcut gösterge değerlerinden en büyüğü tanımlanır ve bu değer bir olarak alınır.
Bundan sonra bu sütuna yansıtılan tüm tutarlar şuna bölünür: en yüksek değer ve standartlaştırılmış katsayılardan oluşan bir matris oluşturulur.
Üçüncü aşamada matrisin tüm bileşenlerinin karesi alınır. Farklı önemleri varsa, her matris göstergesine belirli bir ağırlık katsayısı atanır. k. İkincisinin değeri uzman görüşüne göre belirlenir.
Sonuncusunda, dördüncü aşama bulunan derecelendirme değerleri RJ artış veya azalış sırasına göre gruplandırılmıştır.
Özetlenen matris yöntemleri örneğin aşağıdaki durumlarda kullanılmalıdır: Karşılaştırmalı analizçeşitli yatırım projeleri ve kuruluşların diğer ekonomik göstergelerini değerlendirirken.
Matrislerle yapılan eylemler hakkındaki konuşmaya devam edelim. Yani bu dersi incelerken ters matrisin nasıl bulunacağını öğreneceksiniz. Öğrenmek. Matematik zor olsa bile.
Ters matris nedir? Burada şununla bir benzetme yapabiliriz: karşılıklı sayılar: Örneğin iyimser sayı 5'i ve onun tersi sayıyı düşünün. Bu sayıların çarpımı bire eşittir: . Matrislerde her şey benzer! Bir matrisin ve ters matrisinin çarpımı şuna eşittir: kimlik matrisi sayısal birimin matris analogudur. Ancak, ilk önce önemli bir pratik sorunu çözelim, yani bu çok ters matrisin nasıl bulunacağını öğrenelim.
Ters matrisi bulmak için neyi bilmeniz ve yapabilmeniz gerekiyor? Karar verebilmelisin elemeler. Ne olduğunu anlamalısın matris ve onlarla bazı eylemler gerçekleştirebiliriz.
Ters matrisi bulmanın iki ana yöntemi vardır:
kullanarak cebirsel eklemeler Ve temel dönüşümleri kullanma.
Bugün ilk, daha basit yöntemi inceleyeceğiz.
En korkunç ve anlaşılmaz olanla başlayalım. Hadi düşünelim kare matris. Ters matris şu şekilde bulunabilir: aşağıdaki formül :
Matrisin determinantı nerede, matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının aktarılmış matrisidir.
Ters matris kavramı yalnızca kare matrisler için mevcuttur, matrisler “ikiye iki”, “üçe üç” vb.
Tanımlar: Daha önce fark etmiş olabileceğiniz gibi, ters matris bir üst simge ile gösterilir
En basit durumla başlayalım; ikiye ikilik bir matris. Elbette çoğu zaman "üçe üç" gereklidir, ancak yine de ustalaşmak için daha basit bir görev üzerinde çalışmanızı şiddetle tavsiye ederim Genel prensipçözümler.
Örnek:
Bir matrisin tersini bulun
Karar verelim. Eylem sırasını noktadan noktaya ayırmak uygundur.
1) İlk önce matrisin determinantını buluyoruz.
Bu eylemi anlamanız iyi değilse materyali okuyun Determinant nasıl hesaplanır?
Önemli! Matrisin determinantı eşitse SIFIR– ters matris BULUNMUYOR.
Söz konusu örnekte, ortaya çıktığı gibi, bu her şeyin yolunda olduğu anlamına geliyor.
2) Küçüklerin matrisini bulun.
Sorunumuzu çözmek için reşit olmayanın ne olduğunu bilmenize gerek yok ancak makaleyi okumanız tavsiye edilir. Determinant nasıl hesaplanır.
Küçüklerin matrisi matrisle aynı boyutlara sahiptir, yani bu durumda.
Geriye kalan tek şey dört rakamı bulup yıldız işareti yerine koymak.
Matrisimize dönelim
Önce sol üstteki öğeye bakalım:
Nasıl bulunur? küçük?
Ve bu şu şekilde yapılır: Bu öğenin bulunduğu satır ve sütunu ZİHİNSEL olarak çizin:
Geriye kalan sayı bu elementin küçük, bunu minörler matrisimize yazıyoruz:
Aşağıdaki matris elemanını göz önünde bulundurun:
Bu öğenin göründüğü satır ve sütunu zihinsel olarak çizin:
Geriye kalan, matrisimize yazdığımız bu elemanın minörüdür:
Benzer şekilde ikinci sıranın elemanlarını da göz önünde bulundurup küçüklerini buluyoruz:
Hazır.
Basit. Küçüklerin matrisinde ihtiyacınız var İŞARETLERİ DEĞİŞTİR iki sayı:
Bunlar daire içine aldığım rakamlar!
– Matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel toplamlarının matrisi.
Ve sadece...
4) Cebirsel toplamaların devrik matrisini bulun.
– matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının transpoze matrisi.
5) Cevap.
Formülümüzü hatırlayalım
Her şey bulundu!
Yani ters matris: 
Cevabı olduğu gibi bırakmak daha iyidir. GEREK YOK matrisin her elemanını 2'ye bölün, kesirli sayılar. Bu nüans aynı makalede daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Matrislerle eylemler.
Çözüm nasıl kontrol edilir?
Matris çarpımı yapmanız gerekir veya
Muayene: 
Daha önce bahsedildiği gibi alındı kimlik matrisi birleri olan bir matristir ana diyagonal ve diğer yerlerde sıfırlar.
Böylece ters matris doğru bir şekilde bulunur.
Eylemi gerçekleştirirseniz sonuç aynı zamanda bir kimlik matrisi olacaktır. Bu, matris çarpımının değiştirilebildiği birkaç durumdan biridir, daha fazlası detaylı bilgi makalede bulunabilir Matrislerdeki işlemlerin özellikleri. Matris İfadeleri. Ayrıca kontrol sırasında sabitin (kesir) matris çarpımından sonra en sonunda öne çıkarıldığını ve işlendiğini unutmayın. Bu standart bir tekniktir.
Pratikte daha yaygın bir duruma geçelim: üçe üç matris:
Örnek:
Bir matrisin tersini bulun 
Algoritma “ikiye iki” durumuyla tamamen aynıdır.
Ters matrisi şu formülü kullanarak buluyoruz: matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının yer değiştirmiş matrisi burada.
1) Matrisin determinantını bulun.
Burada belirleyici ortaya çıkıyor ilk satırda.
Ayrıca şunu da unutmayın, bu her şeyin yolunda olduğu anlamına gelir - ters matris mevcut.
2) Küçüklerin matrisini bulun.
Küçüklerin matrisi “üçe üç” boyutundadır 
ve dokuz sayı bulmamız gerekiyor.
Birkaç küçük çocuğa ayrıntılı olarak bakacağım:
Aşağıdaki matris elemanını göz önünde bulundurun: 
Bu öğenin bulunduğu satırı ve sütunu ZİHİNSEL olarak çizin: 
Kalan dört sayıyı “ikiye iki” determinantına yazıyoruz. 
Bu ikiye ikilik determinant ve bu elementin küçüğüdür. Hesaplanması gerekiyor: 
İşte bu, küçük bulundu, bunu küçükler matrisimize yazıyoruz: 
Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi dokuz adet ikiye iki determinantı hesaplamanız gerekir. Süreç elbette sıkıcı ama durum en ağır değil, daha da kötü olabilir.
Peki, pekiştirmek için - resimlerde başka bir yan dal bulmak: 
Kalan reşit olmayanları kendiniz hesaplamaya çalışın.
Son sonuç: 
– matrisin karşılık gelen elemanlarının küçüklerinin matrisi.
Reşit olmayanların tamamının negatif çıkması tamamen bir kazadır.
3) Cebirsel toplamaların matrisini bulun.
Küçüklerin matrisinde gereklidir İŞARETLERİ DEĞİŞTİR kesinlikle aşağıdaki unsurlar:
Bu durumda:
"Dörde dört" matris için ters matris bulmayı düşünmüyoruz, çünkü böyle bir görev yalnızca sadist bir öğretmen tarafından verilebilir (öğrencinin bir "dörde dört" determinantı ve 16 "üçe üç" determinantı hesaplaması için) ). Benim uygulamamda böyle tek bir durum vardı ve müşteri deneme çalışması eziyetimin bedelini oldukça ağır ödedim =).
Bazı ders kitaplarında ve kılavuzlarda ters matrisi bulmaya yönelik biraz farklı bir yaklaşım bulabilirsiniz, ancak yukarıda özetlenen çözüm algoritmasını kullanmanızı öneririm. Neden? Çünkü hesaplamalarda ve işaretlerde karıştırılma ihtimali çok daha azdır.
Matris cebiri- Ters matristers matris
Ters matris belirli bir matrisle hem sağdan hem de soldan çarpıldığında birim matrisi veren bir matristir.
Matrisin ters matrisini gösterelim A aracılığıyla, tanıma göre şunu elde ederiz:
Nerede e– kimlik matrisi.
Kare matris isminde özel değil (dejenere olmayan) eğer determinantı sıfır değilse. Aksi halde denir özel (dejenere) veya tekil.
Teorem şunları tutar: Tekil olmayan her matrisin bir ters matrisi vardır.
Ters matris bulma işlemine denir çekici matrisler. Matris ters çevirme algoritmasını ele alalım. Tekil olmayan bir matris verilsin N-inci sıra:
burada Δ = det A ≠ 0.
Bir elemanın cebirsel eklenmesi matrisler N-inci sıra A belirli bir işaretle alınan bir matrisin determinantı denir ( N–1)'inci sıra silinerek elde edilir Ben-inci satır ve J inci matris sütunu A:
Hadi sözde yaratalım ekli matris:
matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları nerede A.
Matris satır elemanlarının cebirsel toplamalarının A matrisin ilgili sütunlarına yerleştirilir Ã
yani matris aynı anda transpoze edilir.
Matrisin tüm elemanlarını bölerek Ã
Δ ile – matris determinantının değeri A sonuç olarak ters matrisi elde ederiz:
Ters matrisin bazı özel özelliklerine dikkat edelim:
1) belirli bir matris için A onun ters matrisi
tek olanıdır;
2) eğer ters bir matris varsa, o zaman sağa geri Ve sola ters matrisler onunla çakışıyor;
3) tekil (tekil) bir kare matrisin ters matrisi yoktur.
Ters bir matrisin temel özellikleri:
1) ters matrisin determinantı ile orijinal matrisin determinantı karşılıklıdır;
2) kare matrislerin çarpımının ters matrisi, ters sırayla alınan faktörlerin ters matrisinin çarpımına eşittir:
3) aktarılan ters matris, verilen aktarılan matrisin ters matrisine eşittir:
ÖRNEK Verilen matrisin tersini hesaplayın.
A*A-1 = E ise, A-1 matrisi, A matrisine göre ters matris olarak adlandırılır; burada E, n'inci dereceden birim matristir. Ters bir matris yalnızca kare matrisler için mevcut olabilir.
Hizmetin amacı. Bu hizmeti kullanarak çevrimiçi mod cebirsel tamamlayıcılar, transpoze matris A T, müttefik matris ve ters matris bulunabilir. Karar doğrudan web sitesinde (çevrimiçi) gerçekleştirilir ve ücretsizdir. Hesaplama sonuçları Word ve Excel formatında bir rapor halinde sunulur (yani çözümü kontrol etmek mümkündür). tasarım örneğine bakın.
Talimatlar. Çözüm elde etmek için matrisin boyutunun belirtilmesi gerekir. Daha sonra yeni iletişim kutusunda A matrisini doldurun.
Ayrıca bkz. Jordano-Gauss yöntemini kullanan ters matris
Ters matrisi bulmak için algoritma
- A T devrik matrisini bulma.
- Cebirsel tümleyenlerin tanımı. Matrisin her elemanını cebirsel tümleyeniyle değiştirin.
- Cebirsel toplamalardan ters bir matris derlemek: Ortaya çıkan matrisin her bir elemanı, orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris orijinal matrisin tersidir.
- Matrisin kare olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman bunun için ters matris yoktur.
- A matrisinin determinantının hesaplanması. Sıfıra eşit değilse çözüme devam ederiz, aksi halde ters matris mevcut değildir.
- Cebirsel tümleyenlerin tanımı.
- Birleşim (karşılıklı, ek) matrisinin doldurulması C .
- Cebirsel toplamalardan ters bir matris derlemek: C ek matrisinin her bir elemanı, orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris orijinal matrisin tersidir.
- Bir kontrol yapıyorlar: orijinali ve ortaya çıkan matrisleri çarpıyorlar. Sonuç bir birim matris olmalıdır.
Örnek No.1. Matrisi şu şekilde yazalım:
Cebirsel eklemeler.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Daha sonra ters matrisşu şekilde yazılabilir:
| A-1 = 1/10 |
|
| bir -1 = |
|
Ters matrisi bulmak için başka bir algoritma
Ters matrisi bulmak için başka bir şema sunalım.- Belirli bir A kare matrisinin determinantını bulun.
- A matrisinin tüm elemanlarının cebirsel tümleyenlerini buluyoruz.
- Satır elemanlarının sütunlara cebirsel olarak eklenmesini (transpozisyon) yazarız.
- Ortaya çıkan matrisin her bir elemanını A matrisinin determinantına bölüyoruz.
Özel bir durum: E birim matrisinin tersi, E birim matrisidir.
