Ev » Bahar » Üstel bir denklem nasıl çözülür? Üstel denklemler

Üstel bir denklem nasıl çözülür? Üstel denklemler

Bu yazıda her türle tanışacaksınız. üstel denklemler ve bunları çözmek için algoritmalar, hangi türe ait olduğunu tanımayı öğrenin üstel denklemÇözmeniz gereken sorunu belirleyin ve çözmek için uygun yöntemi uygulayın. Örneklerin ayrıntılı çözümü üstel denklemler Her türü ilgili VİDEO DERSLERDE izleyebilirsiniz.

Üstel denklem, bilinmeyenin bir üstel içinde yer aldığı bir denklemdir.

Üstel bir denklemi çözmeye başlamadan önce birkaç işlem yapmak faydalı olacaktır. ön eylemler Bu, onu çözme sürecini önemli ölçüde kolaylaştırabilir. Bunlar adımlar:

1. Tüm güç temellerini asal faktörlere bölün.

2. Kökleri derece olarak sunun.

3. Ondalık Sayılar sıradan olanlar gibi hayal edin.

4. Karışık sayılar uygunsuz kesirler olarak yazın.

Denklem çözme sürecinde bu eylemlerin faydalarını fark edeceksiniz.

Ana türlere bakalım üstel denklemler ve bunları çözmek için algoritmalar.

1. Formun denklemi

Bu denklem denklemin eşdeğeridir

Bu VİDEO EĞİTİMİNDE denklemin çözümünü izleyin bu tip.

2. Formun denklemi

Bu tür denklemlerde:

b) Üsdeki bilinmeyenin katsayıları eşittir.

Bu denklemi çözmek için en küçük faktörü çarpanlara ayırmanız gerekir.

Bu tür bir denklemin çözümüne bir örnek:

VİDEO EĞİTİMİNİ izleyin.

3. Formun denklemi

Bu tür denklemler şu bakımdan farklılık gösterir:

a) tüm derecelerin tabanları aynıdır

b) Üsdeki bilinmeyenin katsayıları farklıdır.

Bu tür denklemler değişken değişiklikleri kullanılarak çözülür. Bir değiştirme yapmadan önce, üsdeki serbest terimlerden kurtulmanız tavsiye edilir. (, , vesaire)

Bu tür denklemleri çözmek için VİDEO EĞİTİMİ'ni izleyin:

4. Homojen denklemler tür

Homojen denklemlerin ayırt edici özellikleri:

a) tüm monomlar aynı dereceye sahiptir,

b) serbest terim sıfırdır,

c) Denklemin iki farklı tabanı olan kuvvetleri vardır.

Homojen denklemler benzer bir algoritma kullanılarak çözülür.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da (bölünebilir veya bölünebilir) ile böleriz.

Dikkat! Bir denklemin sağ ve sol taraflarını bilinmeyen içeren bir ifadeye böldüğünüzde kökleri kaybedebilirsiniz. Bu nedenle denklemin her iki tarafını da böldüğümüz ifadenin köklerinin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

Bizim durumumuzda bilinmeyenin herhangi bir değeri için ifade sıfır olmadığından korkmadan ona bölebiliriz. Denklemin sol tarafını bu ifadeye terim terim bölelim. Şunu elde ederiz:

İkinci ve üçüncü kesirlerin pay ve paydasını azaltalım:

Değiştirmeyi tanıtalım:

Üstelik title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Aldık ikinci dereceden denklem:

İkinci dereceden denklemi çözelim, title="t>0 koşulunu sağlayan değerleri bulalım.">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

VİDEO EĞİTİMİNİ izleyin detaylı çözüm homojen denklem:

5. Formun denklemi

Bu denklemi çözerken title="f(x)>0 gerçeğinden hareket edeceğiz.">!}

Başlangıç eşitliği iki durumda sağlanır:

1. 1'in herhangi bir kuvveti 1'e eşitse,

2. İki koşulun karşılanması durumunda:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Denklemin ayrıntılı çözümü için VİDEO EĞİTİMİNİ izleyin

Ders: “Üstel denklemleri çözme yöntemleri.”

1 . Üstel denklemler.

Üstellerde bilinmeyenler içeren denklemlere üstel denklemler denir. Bunlardan en basiti a > 0 ve a ≠ 1 olan ax = b denklemidir.

1) b'de< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 üstel fonksiyon, çözümü yok.

2) b > 0 için, fonksiyonun monotonluğu ve kök teoremi kullanıldığında denklemin tek bir kökü vardır. Bunu bulmak için b'nin b = aс, аx = bс ó x = c veya x = logab biçiminde temsil edilmesi gerekir.

Cebirsel dönüşümler yoluyla üstel denklemler aşağıdakilere yol açar: standart denklem aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülür:

1) bir baza indirgeme yöntemi;

2) değerlendirme yöntemi;

3) grafik yöntemi;

4) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi;

5) çarpanlara ayırma yöntemi;

6) üstel – güç denklemleri;

7) bir parametreyle gösterici.

2 . Tek baza indirgeme yöntemi.

Yöntem, derecelerin aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır: eğer iki derece eşitse ve tabanları eşitse, o zaman üsleri eşittir, yani denklemi forma indirgemeye çalışmak gerekir.

Örnekler. Denklemi çözün:

1 . 3x = 81;

Denklemin sağ tarafını 81 = 34 formunda temsil edelim ve orijinal 3 x = 34'ün eşdeğerini yazalım; x = 4. Cevap: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">ve 3x+1 = 3 – 5x; 8x = üsleri için denkleme geçelim 4; x = 0,5 Cevap: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" genişlik = "105" yükseklik = "47">

0,2, 0,04, √5 ve 25 sayılarının 5'in kuvvetlerini temsil ettiğini unutmayın. Bundan yararlanalım ve orijinal denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

, dolayısıyla 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, buradan x = -1 çözümünü buluyoruz. Cevap 1.

5. 3x = 5. Logaritmanın tanımına göre x = log35. Cevap: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Denklemi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 şeklinde yeniden yazalım, yani.png" width=181" height=49 src=> Dolayısıyla x – 4 =0, x = 4. Cevap: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Üslerin özelliklerini kullanarak denklemi 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, sonra 3∙3x = 9, 3x+1 şeklinde yazıyoruz. = 32, yani x+1 = 2, x =1. Cevap 1.

1 numaralı sorunlu banka.

Denklemi çözün:

1 numaralı test.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yok
	1) 7;1 2) kök yok 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test No.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) kök yok 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evrim metodu.

Kök teoremi: f(x) fonksiyonu I aralığında artarsa (azalırsa), a sayısı f'nin bu aralıkta aldığı herhangi bir değer ise, f(x) = a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.

Tahmin yöntemini kullanarak denklemleri çözerken bu teorem ve fonksiyonun monotonluk özellikleri kullanılır.

Örnekler. Denklemleri çözün: 1. 4x = 5 – x.

Çözüm. Denklemi 4x +x = 5 olarak yeniden yazalım.

1. eğer x = 1 ise 41+1 = 5, 5 = 5 doğrudur, bu da 1'in denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Fonksiyon f(x) = 4x – R üzerinde artar ve g(x) = x – R üzerinde artar => h(x)= f(x)+g(x) R üzerinde artar, artan fonksiyonların toplamı olarak, o zaman x = 1, 4x = 5 – x denkleminin tek köküdür. Cevap 1.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım. .

1. eğer x = -1 ise, o zaman 3 = 3 doğrudur, yani x = -1 denklemin köküdür.

2. Onun tek olduğunu kanıtlayın.

3. Fonksiyon f(x) = - R üzerinde azalır ve g(x) = - x – R üzerinde azalır=> h(x) = f(x)+g(x) – R üzerinde azalır, şunun toplamı olarak: azalan fonksiyonlar Bu, kök teoremine göre denklemin tek kökü x = -1 olduğu anlamına gelir. Cevap 1.

Sorunlu banka No. 2. Denklemi çözün

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.

Yöntem paragraf 2.1'de açıklanmıştır. Yeni bir değişkenin eklenmesi (ikame), genellikle denklem terimlerinin dönüştürülmesinden (basitleştirilmesinden) sonra gerçekleştirilir. Örneklere bakalım.

Örnekler. R Denklemi çözün: 1. .

Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width = "128" height = "48 src => i.e..png" width = "210" yükseklik = "45">

Çözüm. Denklemi farklı şekilde yeniden yazalım:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - uygun olmadığını belirleyelim.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" genişlik = "268" yükseklik = "51"> - irrasyonel denklem. şunu not ediyoruz

Denklemin çözümü x = 2,5 ≤ 4'tür, yani denklemin kökü 2,5'tur. Cevap: 2.5.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım ve her iki tarafı da 56x+6 ≠ 0'a bölelim. Denklemi elde ederiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

İkinci dereceden denklemin kökleri t1 = 1 ve t2'dir<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Çözüm . Denklemi formda yeniden yazalım.

ve bunun ikinci dereceden homojen bir denklem olduğuna dikkat edin.

Denklemi 42x'e bölersek şunu elde ederiz:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> değerini değiştirelim.

Cevap: 0; 0,5.

Sorunlu banka No. 3. Denklemi çözün

Test No.3 cevap seçenekleriyle. Asgari seviye.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) kök yok 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) kök yok 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test No.4 cevap seçenekleriyle. Genel seviye.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kök yok

5. Çarpanlara ayırma yöntemi.

1. Denklemi çözün: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , nereden

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Çözüm. Denklemin sol tarafına parantezlerin dışına 6x, sağ tarafına da 2x koyalım. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x denklemini elde ederiz.

Tüm x'ler için 2x >0 olduğundan, çözümleri kaybetme korkusu olmadan bu denklemin her iki tarafını da 2x'e bölebiliriz. 3x = 1ó x = 0 elde ederiz.

Çözüm. Denklemi çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözelim.

Binomun karesini seçelim

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" genişlik = "500" yükseklik = "181">

x = -2 denklemin köküdür.

Denklem x + 1 = 0 " stil = "sınır-çöküşü:çöküş;kenarlık:yok">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test No.6 Genel seviye.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Üstel – güç denklemleri.

Üstel denklemlerin bitişiğinde üstel kuvvet denklemleri adı verilen denklemler bulunur, yani (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formundaki denklemler.

Eğer f(x)>0 ve f(x) ≠ 1 olduğu biliniyorsa, bu durumda denklem, üstel denklem gibi, g(x) = f(x) üslerinin eşitlenmesiyle çözülür.

Eğer koşul f(x)=0 ve f(x)=1 olasılığını dışlamıyorsa, üstel bir denklemi çözerken bu durumları dikkate almamız gerekir.

1..png" genişlik = "182" yükseklik = "116 src = ">

Çözüm. x2 +2x-8 – herhangi bir x için anlamlıdır, çünkü bu bir polinomdur, bu da denklemin bütünlüğe eşdeğer olduğu anlamına gelir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" genişlik = "137" yükseklik = "35">

7. Parametreli üstel denklemler.

1. p parametresinin hangi değerleri için denklem 4 (5 – 3)×2 +4p2–3p = 0 (1)'in benzersiz bir çözümü vardır?

Çözüm. 2x = t, t > 0 yerine koymayı tanıtalım, o zaman denklem (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formunu alacaktır. (2)

Denklem (2)'nin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Denklem (2)'nin bir pozitif kökü varsa, Denklem (1)'in benzersiz bir çözümü vardır. Bu aşağıdaki durumlarda mümkündür.

1. Eğer D = 0, yani p = 1 ise denklem (2) t2 – 2t + 1 = 0 formunu alacaktır, dolayısıyla t = 1, dolayısıyla denklem (1)'in tek çözümü x = 0 olacaktır.

2. Eğer p1 ise 9(p – 1)2 > 0 ise denklem (2)'nin iki farklı kökü vardır t1 = p, t2 = 4p – 3. Problemin koşulları bir dizi sistem tarafından karşılanmaktadır.

Sistemlerde t1 ve t2'yi yerine koyarsak,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Çözüm. İzin vermek bu durumda denklem (3) t2 – 6t – a = 0 formunu alacaktır. (4)

Denklemin (4) en az bir kökünün t > 0 koşulunu sağladığı a parametresinin değerlerini bulalım.

f(t) = t2 – 6t – a fonksiyonunu tanıtalım. Aşağıdaki durumlar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Durum 2. Denklem (4)'ün tek bir pozitif çözümü vardır:

D = 0, eğer a = – 9 ise denklem (4) (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formunu alacaktır.

Durum 3. Denklemin (4) iki kökü vardır, ancak bunlardan biri t > 0 eşitsizliğini sağlamaz. Bu şu şekilde mümkündür:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dolayısıyla a 0 için denklem (4)'ün tek bir pozitif kökü vardır. . O halde denklem (3)'ün benzersiz bir çözümü vardır

Zaman< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Eğer bir< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ise x = – 1;

eğer a 0 ise, o zaman

Denklem (1) ve (3)'ü çözme yöntemlerini karşılaştıralım. Denklem (1)'i çözerken, diskriminantının tam kare olduğu ikinci dereceden bir denkleme indirgendiğine dikkat edin; Böylece ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülü kullanılarak denklem (2)'nin kökleri hemen hesaplandı ve ardından bu köklere ilişkin sonuçlar çıkarıldı. Denklem (3), diskriminantı mükemmel bir kare olmayan ikinci dereceden bir denkleme (4) indirgenmiştir, bu nedenle, denklem (3)'ü çözerken, ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin konumuna ilişkin teoremlerin kullanılması tavsiye edilir. ve bir grafik modeli. Denklemin (4) Vieta teoremi kullanılarak çözülebileceğini unutmayın.

Daha karmaşık denklemleri çözelim.

Problem 3: Denklemi çözün

Çözüm. ODZ: x1, x2.

Bir yedek sunalım. 2x = t, t > 0 olsun, dönüşümler sonucunda denklem t2 + 2t – 13 – a = 0 formunu alacaktır. (*) En az bir kökü olan a değerlerini bulalım. denklem (*) t > 0 koşulunu karşılar.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cevap: a > – 13, a  11, a  5 ise, a – 13 ise,

a = 11, a = 5 ise kök yoktur.

Kaynakça.

1. Guzeev eğitim teknolojisinin temelleri.

2. Guzeev teknolojisi: resepsiyondan felsefeye.

M. “Okul Müdürü” Sayı 4, 1996

3. Guzeev ve örgütsel eğitim biçimleri.

4. Guzeev ve bütünleşik eğitim teknolojisinin uygulanması.

M. " Halk eğitim", 2001

5. Ders - seminer formlarından Guzeev.

Okulda matematik No. 2, 1987 s. 9 – 11.

6.Seleuko eğitim teknolojileri.

M. “Halk Eğitimi”, 1998

7. Episheva'nın okul çocukları matematik eğitimi alacak.

M. "Aydınlanma", 1990

8. Ivanova dersler - atölye çalışmaları hazırlıyor.

Okulda matematik No. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnov'un matematik öğretim modeli.

1 numaralı okulda matematik, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko'nun pratik çalışmaları organize etme yolları.

1 numaralı okulda matematik, 1993 s. 27 – 28.

11. Bireysel çalışma türlerinden biri hakkında.

Okulda matematik No. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Hazankin Yaratıcı beceriler okul çocukları.

2 numaralı okulda matematik, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Yayıncı, 1997

14. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı. Didaktik materyallerİçin

15. Krivonogov'un matematikteki görevleri.

M. “1 Eylül”, 2002

16. Çerkasov. Lise öğrencileri için el kitabı ve

üniversitelere giriyor. “A S T - basın okulu”, 2002

17. Üniversitelere girenler için Zhevnyak.

Minsk ve Rusya Federasyonu “İnceleme”, 1996

18. Yazılı D. Matematik sınavına hazırlanıyoruz. M. Rolf, 1999

19. vb. Denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmek.

M. "Akıl - Merkez", 2003

20. vb. EGE'ye hazırlık için eğitim ve öğretim materyalleri.

M. "İstihbarat - Merkez", 2003 ve 2004.

21 ve diğerleri CMM seçenekleri. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Test Merkezi, 2002, 2003.

22. Goldberg denklemleri. "Kuantum" Sayı 3, 1971

23. Volovich M. Matematik nasıl başarılı bir şekilde öğretilir.

Matematik, 1997 Sayı 3.

24 Okunev derse çocuklar! M.Eğitim, 1988

25. Yakimanskaya – odaklı öğrenme Okulda.

26. Sınırlar sınıfta çalışır. M.Bilgi, 1975

Tüm yeni video derslerinden haberdar olmak için web sitemizin youtube kanalına gidin.

Öncelikle kuvvetlerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.

Bir sayının çarpımı A kendi kendine n defa meydana geliyorsa, bu ifadeyi a a … a=a n olarak yazabiliriz.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (bir n) m = bir nm

5. a n b n = (ab) n

7. bir n / bir m = bir n - m

Güç veya üstel denklemler– bunlar, değişkenlerin kuvvet (veya üs) cinsinden olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.

Üstel denklem örnekleri:

İÇİNDE bu örnekte 6 sayısı tabandır, her zaman alttadır ve değişken X derece veya gösterge.

Üstel denklemlere daha fazla örnek verelim.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım?

Basit bir denklem ele alalım:

2 x = 2 3

Bu örnek kafanızda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülmektedir. Sonuçta sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekiyor.
Şimdi bu kararın nasıl resmileştirileceğini görelim:

2 x = 2 3
x = 3

Böyle bir denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçeler(yani ikili) ve kalanları yazdık, bunlar dereceler. Aradığımız cevabı bulduk.

Şimdi kararımızı özetleyelim.

Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor aynısı Denklemin sağda ve solda tabanları olup olmadığı. Sebepler aynı değilse bu örneği çözecek seçenekler arıyoruz.
2. Tabanlar aynı hale geldikten sonra, kıyaslanmak derece ve ortaya çıkan yeni denklemi çözün.

Şimdi birkaç örneğe bakalım:

Basit bir şeyle başlayalım.

Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, yani tabanı atıp derecelerini eşitleyebiliriz.

x+2=4 En basit denklem elde edilir.
x=4 – 2
x=2
Cevap: x=2

İÇİNDE aşağıdaki örnek Bazların farklı olduğu görülebilir: 3 ve 9.

3 3x - 9x+8 = 0

İlk önce dokuzu sağ tarafa hareket ettirin, şunu elde ederiz:

Şimdi aynı temelleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 elde ederiz

3 3x = 3 2x+16 Artık sol ve sağ tarafta tabanların aynı ve üçe eşit olduğu açık, bu da onları bir kenara bırakıp dereceleri eşitleyebileceğimiz anlamına geliyor.

3x=2x+16 en basit denklemi elde ederiz
3x - 2x=16
x=16
Cevap:x=16.

Aşağıdaki örneğe bakalım:

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Öncelikle tabanlara, ikinci ve dördüncü tabanlara bakıyoruz. Ve onların aynı olmasına ihtiyacımız var. Dördünü (a n) m = a nm formülünü kullanarak dönüştürüyoruz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanıyoruz:

2 2x+4 = 2 2x2 4

Denkleme ekleyin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ama diğer 10 ve 24 sayıları bizi rahatsız ediyor, onlarla ne yapacağız? Yakından bakarsanız sol tarafta 2 2x'in tekrarlandığını görebilirsiniz, işte cevap: 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Denklemin tamamını 6'ya bölüyoruz:

4=2 2 olduğunu varsayalım:

2 2x = 2 2 tabanlar aynı, bunları atıp dereceleri eşitliyoruz.
2x = 2 en basit denklemdir. 2'ye böleriz ve elde ederiz
x = 1
Cevap: x = 1.

Denklemi çözelim:

9 x – 12*3 x +27= 0

Haydi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Tabanlarımız aynı, üçe eşit.Bu örnekte ilk üçün, ikincinin (sadece x) iki katı (2x) dereceye sahip olduğunu görüyorsunuz. Bu durumda çözebilirsiniz değiştirme yöntemi. Sayıyı en küçük dereceyle değiştiriyoruz:

O halde 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Denklemdeki tüm x kuvvetlerini t ile değiştiririz:

t2 - 12t+27 = 0
İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Değişkene geri dönelim X.

t 1'i alın:
t1 = 9 = 3x

Yani,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 = 2; x 2 = 1.

Web sitesinde YARDIM KARAR bölümünden aklınıza takılan her türlü soruyu sorabilirsiniz, size mutlaka cevap vereceğiz.

Gruba katıl

Üstel denklemler. Bildiğiniz gibi Birleşik Devlet Sınavı şunları içerir: basit denklemler. Bazılarını zaten düşündük - bunlar logaritmik, trigonometrik ve rasyonel. İşte üstel denklemler.

Yakın zamanda üstel ifadelerle çalıştığımız bir makalemizde işinize yarayacaktır. Denklemlerin kendisi basit ve hızlı bir şekilde çözülür. Üslü sayıların özelliklerini bilmeniz yeterli... Bu konudaDaha öte.

Üslü sayıların özelliklerini sıralayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Bu özellikten bir sonuç:

Biraz daha teori.

Üstel bir denklem, üssünde bir değişken içeren bir denklemdir, yani şu şekilde bir denklemdir:

F(X) değişken içeren ifade

Üstel denklemleri çözme yöntemleri

1. Dönüşümlerin bir sonucu olarak denklem şu şekle indirgenebilir:

Daha sonra özelliği uyguluyoruz:

2. Formun bir denklemi elde edildikten sonra bir f (X) = B Logaritmanın tanımını kullanarak şunu elde ederiz:

3. Dönüşümler sonucunda aşağıdaki formun bir denklemini elde edebilirsiniz:

Logaritma uygulandı:

x'i ifade edip bulun.

Görevlerde Birleşik Devlet Sınavı seçenekleriİlk yöntemi kullanmanız yeterli olacaktır.

Yani sol ve sağ tarafları aynı tabana sahip kuvvetler şeklinde temsil etmek gerekiyor ve ardından üsleri eşitleyip olağan doğrusal denklemi çözüyoruz.

Denklemleri düşünün:

Denklem 4 1–2x = 64'ün kökünü bulun.

Solda olduğundan emin olmak gerekir ve doğru parçalar tek tabanlı açıklayıcı ifadeler vardı. 64'ü 4 üssü 3 olarak temsil edebiliriz. Şunu elde ederiz:

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Muayene:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Cevap 1

Denklem 3'ün kökünü bulun x–18 = 1/9.

biliniyor ki

Yani 3 x-18 = 3 -2

Bazlar eşittir, göstergeleri eşitleyebiliriz:

x – 18 = – 2

x = 16

Muayene:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Cevap: 16

Denklemin kökünü bulun:

1/64 kesirini dörtte bir üzeri üçüncü kuvvet olarak gösterelim:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Muayene:

Cevap: 11

Denklemin kökünü bulun:

1/3'ü 3 –1 ve 9'u da 3'ün karesi olarak düşünelim:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Artık göstergeleri eşitleyebiliriz:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Muayene:

Cevap: 5

26654. Denklemin kökünü bulun:

Çözüm:

Cevap: 8.75

Aslında ne kadar yükseltirsek yükseltelim pozitif sayı a, hiçbir şekilde negatif bir sayı elde edemeyiz.

Uygun dönüşümlerden sonra herhangi bir üstel denklem, bir veya daha fazla basit denklemin çözümüne indirgenir.Bu bölümde bazı denklemlerin çözümüne de bakacağız, kaçırmayın!Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Teçhizat:

bilgisayar,
multimedya projektörü,
ekran,
Ek 1(PowerPoint slayt sunumu) “Üstel denklemleri çözme yöntemleri”
Ek 2(“Üç farklı üsler Dereceler” Word’de)
Ek 3(Word için bildiri pratik iş).
Ek 4(ev ödevi olarak Word'de dağıtılan not).

Dersler sırasında

1. Organizasyon aşaması

Ders konusunun mesajı (tahtaya yazılır),
10-11. Sınıflarda genel bir derse duyulan ihtiyaç:

Öğrencileri aktif öğrenmeye hazırlama aşaması

Tekrarlama

Tanım.

Üstel denklem, üssü olan bir değişken içeren bir denklemdir (öğrenci cevapları).

Öğretmenin notu. Üstel denklemler aşkın denklemler sınıfına aittir. Bu telaffuz edilemeyen isim, genel olarak konuşursak, bu tür denklemlerin formüller biçiminde çözülemeyeceğini göstermektedir.

Bilgisayarlarda ancak sayısal yöntemlerle yaklaşık olarak çözülebilirler. Peki ya sınav görevleri? İşin püf noktası, incelemecinin sorunu analitik bir çözüme olanak sağlayacak şekilde çerçevelemesidir. Başka bir deyişle, aşağıdakileri yapabilirsiniz (ve yapmalısınız!) kimlik dönüşümleri Bu üstel denklemi en basit üstel denkleme indirger. Bu en basit denklem şöyle adlandırılır: en basit üstel denklem. Çözülüyor logaritma ile.

Üstel bir denklemin çözülmesindeki durum, problemin yazarı tarafından özel olarak icat edilen bir labirentte seyahat etmeyi anımsatıyor. Bunlardan çok genel muhakemeÇok spesifik tavsiyeler aşağıdadır.

Üstel denklemleri başarıyla çözmek için şunları yapmalısınız:

1. Yalnızca tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilmekle kalmayın, aynı zamanda bu kimliklerin tanımlandığı değişken değer kümelerini de bulun, böylece bu kimlikleri kullanırken gereksiz kökler elde etmezsiniz ve hatta çözümleri kaybetmezsiniz denklem.

2. Tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilin.

3. Denklemlerin matematiksel dönüşümlerini açıkça, ayrıntılı ve hatasız olarak gerçekleştirin (terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarın, işareti değiştirmeyi unutmadan, kesirleri ortak bir paydaya getirin, vb.). Buna matematik kültürü denir. Aynı zamanda, hesaplamalar otomatik olarak elle yapılmalı ve kafa, çözümün genel yol gösterici konusunu düşünmelidir. Dönüşümler mümkün olduğunca dikkatli ve ayrıntılı olarak yapılmalıdır. Yalnızca bu, doğru ve hatasız bir kararı garanti edecektir. Ve unutmayın: küçük aritmetik hata prensipte analitik olarak çözülemeyen aşkın bir denklem oluşturabilir. Görünüşe göre yolunuzu kaybetmişsiniz ve labirentin duvarına çarpmışsınız.

4. Sorunları çözme yöntemlerini bilin (yani çözüm labirentindeki tüm yolları bilin). Her aşamada doğru şekilde gezinmek için şunları yapmanız gerekir (bilinçli veya sezgisel olarak!):

tanımlamak denklem türü;
karşılık gelen türü hatırla çözüm yöntemi görevler.

Çalışılan materyalin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi aşaması.

Öğretmen, bilgisayar kullanan öğrencilerle birlikte her türlü üstel denklemi ve bunları çözme yöntemlerini gözden geçirir, derler. genel şema. (Kullanılmış eğitim bilgisayar programı L.Ya. Borevsky "Matematik Kursu - 2000", PowerPoint sunumunun yazarı T.N. Kuptsova.)

Pirinç. 1.Şekilde her türlü üstel denklemin genel bir diyagramı gösterilmektedir.

Bu şemadan da görülebileceği gibi üstel denklemleri çözme stratejisi, verilen üstel denklemi denkleme indirgemektir, öncelikle, aynı derece tabanlarına sahip , ve sonra – ve aynı derece göstergeleri ile.

Aynı taban ve üslere sahip bir denklem elde ettiğinizde, bu üssü yeni bir değişkenle değiştirirsiniz ve bu yeni değişkene göre basit bir cebirsel denklem (genellikle kesirli-rasyonel veya ikinci dereceden) elde edersiniz.

Bu denklemi çözdükten ve ters ikameyi yaptıktan sonra, şu şekilde çözülebilecek bir dizi basit üstel denklem elde edersiniz: Genel görünüm logaritma kullanarak.

Sadece (kısmi) kuvvetlerin çarpımlarının bulunduğu denklemler göze çarpmaktadır. Üstel özdeşlikleri kullanarak bu denklemleri hemen tek bir tabana, özellikle de en basit üstel denkleme indirgemek mümkündür.

Üç farklı tabanlı üstel bir denklemin nasıl çözüleceğine bakalım.

(Öğretmen L.Ya. Borevsky'nin “Matematik Dersi - 2000” eğitim bilgisayar programına sahipse, o zaman doğal olarak diskle çalışırız, yoksa, her masa için bu tür bir denklemin çıktısını alabilirsiniz, aşağıda sunulmuştur.)