Ondalık sayıları bölerken ondalık sayıları taşıma kuralları. Ondalık kesre göre bölme – Bilgi Hipermarketi

§ 107. Ondalık kesirlerin eklenmesi.

Ondalık sayıların eklenmesi tam sayıların eklenmesiyle aynıdır. Bunu örneklerle görelim.

1) 0,132 + 2,354. Terimleri alt alta etiketleyelim.

Burada 4 binde 2'yi binde birlik topladığımızda 6 binde bir çıkıyor;
3 yüzde birlik ile 5 yüzdeliklerin toplanmasından sonuç 8 yüzdelik olur;
onda 1 ile 3 onda -4 onda birini eklemekten ve
2 tam sayı ile 0 tam sayının toplanmasından - 2 tam sayıya.

2) 5,065 + 7,83.

İkinci dönemde binde birler yoktur, bu nedenle terimleri birbiri ardına etiketlerken hata yapmamak önemlidir.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Burada binde biri topladığımızda sonuç binde 21; binde birlerin altına 1 yazdık ve yüzde birlerin altına 2 ekledik, böylece yüzde birler basamağında şu terimleri elde ettik: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; toplamda 19 yüzdelik veriyorlar, yüzde 9'unu yüzde birliklerin altına imzaladık ve 1'i onda birlik olarak saydık, vb.

Bu nedenle, ondalık kesirleri eklerken aşağıdaki sıraya uyulmalıdır: tüm terimlerde aynı rakamlar birbirinin altında olacak ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olacak şekilde kesirleri alt üste imzalayın; Bazı terimlerin ondalık basamaklarının sağına, en azından zihinsel olarak o kadar sayıda sıfır atanır ki, ondalık noktadan sonraki tüm terimler aynı numara sayılar Daha sonra sağ taraftan başlayarak rakamlarla toplama işlemi yaparlar ve elde edilen toplamda bu terimlerde bulunduğu aynı dikey sütuna virgül koyarlar.

§ 108. Ondalık kesirlerin çıkarılması.

Ondalık sayıların çıkarılması, tam sayıların çıkarılmasıyla aynı şekilde çalışır. Bunu örneklerle gösterelim.

1) 9,87 - 7,32. Aynı rakamdaki birimler birbirinin altında olacak şekilde eksilen kısmın altındaki çıkanı imzalayalım:

2) 16,29 - 4,75. İlk örnekte olduğu gibi eksilen kısmın altındaki çıkanı imzalayalım:

Onda birini çıkarmak için, 6'dan bir birimin tamamını alıp onda birine bölmeniz gerekiyordu.

3) 14.0213- 5.350712. Eksilenin altındaki çıkanı imzalayalım:

Çıkarma işlemi şu şekilde yapıldı: 0'dan 2 milyonda birini çıkaramayacağımız için soldaki en yakın rakama yani yüz binde bire dönmemiz gerekiyor ama yüz binde bir yerine sıfır da var, yani on binde 1'i alıyoruz. 3 on binde bir ve bunu yüz binde birliğe bölersek 10 yüz binde birini elde ederiz, bunun 9 yüz binde birini yüz binde bir kategorisinde bırakırız ve 1 yüz binde birini milyonda birine bölersek 10 milyonda birini elde ederiz. Böylece, son üç rakamda elimizde: milyonda bir 10, yüz binde 9, on binde 2. Daha fazla netlik ve kolaylık sağlamak için (unutulmaması için), bu sayılar eksilin karşılık gelen kesirli rakamlarının üzerine yazılır. Artık çıkarma işlemine başlayabilirsiniz. 10 milyonuncudan 2 milyonuncuyu çıkarırsak 8 milyonuncuyu elde ederiz; 9 yüz binde birden 1 yüz binde birini çıkarırız, 8 yüz binde birini elde ederiz, vb.

Böylece, ondalık kesirleri çıkarırken, aşağıdaki sıra gözlenir: aynı rakamlar birbirinin altında olacak ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olacak şekilde eksinin altındaki çıkanı imzalayın; sağda, en azından zihinsel olarak, aynı sayıda rakama sahip olacak şekilde eksilmeye veya çıkarmaya o kadar çok sıfır eklerler, sonra sağ taraftan başlayarak rakamlarla çıkarırlar ve ortaya çıkan farka virgül koyarlar eksiltme ve çıkarmada bulunduğu aynı dikey sütun.

§ 109. Ondalık kesirlerin çarpımı.

Ondalık kesirlerin çarpılmasıyla ilgili bazı örneklere bakalım.

Bu sayıların çarpımını bulmak için şu şekilde akıl yürütebiliriz: Eğer çarpan 10 kat arttırılırsa, o zaman her iki faktör de tam sayı olacaktır ve daha sonra bunları tam sayılarla çarpma kurallarına göre çarpabiliriz. Ancak faktörlerden biri birkaç kat arttığında ürünün de aynı miktarda arttığını biliyoruz. Bu, tamsayı çarpanların yani 28 ile 23'ün çarpılmasıyla elde edilen sayının gerçek çarpımdan 10 kat daha büyük olduğu ve gerçek çarpımın elde edilebilmesi için bulunan çarpımın 10 kat azaltılması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla burada 10 ile bir kez çarpmanız ve bir kez 10'a bölmeniz gerekecek, ancak 10 ile çarpma ve bölme, virgülün sağa ve sola birer basamak kaydırılmasıyla yapılır. Bu nedenle, bunu yapmanız gerekir: faktörde virgülü bir yere doğru hareket ettirin, bu onu 23'e eşitleyecektir, sonra ortaya çıkan tam sayıları çarpmanız gerekir:

Bu ürün gerçek olandan 10 kat daha büyüktür. Bu nedenle 10 kat azaltılması gerekiyor, bunun için virgülünü bir basamak sola kaydırıyoruz. Böylece elde ederiz

28 2,3 = 64,4.

Doğrulama amacıyla, paydalı bir ondalık kesir yazabilir ve işlemi sıradan kesirlerle çarpma kuralına göre gerçekleştirebilirsiniz;

2) 12,27 0,021.

Bu örnek ile önceki örnek arasındaki fark, burada her iki faktörün de ondalık kesirler olarak temsil edilmesidir. Ancak burada çarpma işleminde virgüllere dikkat etmeyeceğiz, yani geçici olarak çarpanı 100 kat, çarpanı ise 1.000 kat artıracağız, bu da çarpımı 100.000 kat artıracaktır. Böylece 1.227'yi 21 ile çarparak şunu elde ederiz:

1 227 21 = 25 767.

Ortaya çıkan ürünün gerçek üründen 100.000 kat daha büyük olduğunu düşünürsek, şimdi içine virgül koyarak onu 100.000 kat azaltmamız gerekiyor, o zaman şunu elde ederiz:

32,27 0,021 = 0,25767.

Hadi kontrol edelim:

Böylece, iki ondalık kesri çarpmak için, virgüllere dikkat etmeden, bunları tam sayı olarak çarpmak ve çarpımda, çarpımda olduğu kadar sağ tarafta virgülle ayırmak yeterlidir ve çarpanda birlikte.

Son örnek, beş ondalık basamağa sahip bir çarpımla sonuçlandı. Bu kadar büyük bir hassasiyet gerekmiyorsa, ondalık kesir yuvarlanır. Yuvarlama yaparken tamsayılar için belirtilen kuralın aynısını kullanmalısınız.

§ 110. Tabloları kullanarak çarpma.

Ondalık sayıların çarpılması bazen tablolar kullanılarak yapılabilir. Bu amaçla, örneğin daha önce açıklaması verilen iki basamaklı sayılar için çarpım tablolarını kullanabilirsiniz.

1) 53'ü 1,5 ile çarpın.

53'ü 15 ile çarpacağız. Tabloda bu çarpım 795'e eşit. 53'e 15 çarpımını bulduk ama ikinci çarpanımız 10 kat küçüktü, yani çarpımın 10 kat azaltılması gerekiyor yani.

53 1,5 = 79,5.

2) 5,3'ü 4,7 ile çarpın.

Öncelikle tabloda 53'ün 47'nin çarpımını buluyoruz, 2.491 olacak ama çarpanı ve çarpanı toplam 100 kat arttırdığımız için ortaya çıkan çarpım olması gerekenden 100 kat daha büyük; yani bu çarpımı 100 kat azaltmalıyız:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0,53'ü 7,4 ile çarpın.

Öncelikle tabloda 53'e 74 çarpımını buluyoruz; 3922 olacak ama çarpanı 100 kat, çarpanı da 10 kat artırdığımız için çarpım 1000 kat arttı; yani şimdi bunu 1000 kat azaltmamız gerekiyor:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Ondalık kesirlerin bölünmesi.

Ondalık kesirleri şu sırayla bölmeye bakacağız:

1. Ondalık kesri bir tam sayıya bölmek,

1. Ondalık kesri bir tam sayıya bölün.

1) 2,46'yı 2'ye bölün.

Önce tama, sonra onluğa ve son olarak yüzde birliğe böldük.

2) 32,46'yı 3'e bölün.

32,46: 3 = 10,82.

3 onluğu 3'e böldük, sonra 2 birimi 3'e bölmeye başladık; Bölenin (2) birim sayısı bölenden (3) küçük olduğundan bölüme 0 koymak zorunda kaldık; ayrıca geri kalanın onda dördünü aldık ve onda 24'ü 3'e böldük; bölümden onda sekizini aldı ve sonunda yüzde biri 6'ya bölündü.

3) 1,2345'i 5'e bölün.

1,2345: 5 = 0,2469.

Burada bölümde ilk sırada sıfır tam sayılar yer alır, çünkü bir tam sayı 5'e bölünemez.

4) 13,58'i 4'e bölün.

Bu örneğin özelliği, bölümde 9 yüzde birlik aldığımızda yüzde 2'ye eşit bir kalan bulduk, bu kalanı binde birlere böldük, 20 binde birlik elde ettik ve bölmeyi tamamladık.

Kural. Ondalık kesirin bir tam sayıya bölünmesi, tam sayıların bölünmesiyle aynı şekilde gerçekleştirilir ve elde edilen kalanlar, daha küçük ve daha küçük ondalık kesirlere dönüştürülür; Kalan sıfır oluncaya kadar bölme işlemine devam edilir.

2. Bir ondalık sayıyı ondalık sayıya bölün.

1) 2,46'yı 0,2'ye bölün.

Ondalık kesri bir tam sayıya nasıl böleceğimizi zaten biliyoruz. Düşünelim, bu yeni bölünme durumunu öncekine indirgemek mümkün mü? Bir zamanlar, bölümün dikkate değer özelliğini düşündük; bu, bölen ve bölenin aynı anda aynı sayıda artması veya azalması durumunda değişmeden kalması gerçeğinden oluşur. Eğer bölen tam sayı olsaydı, bize verilen sayıları kolaylıkla bölebilirdik. Bunu yapmak için 10 kat artırmak yeterlidir ve doğru oranı elde etmek için temettüyü aynı miktarda yani 10 kat artırmak gerekir. Daha sonra bu sayıların bölümü aşağıdaki sayıların bölümü ile değiştirilecektir:

Üstelik artık ayrıntılarda herhangi bir değişiklik yapılmasına gerek kalmayacak.

Bu bölmeyi yapalım:

Yani 2,46: 0,2 = 12,3.

2) 1,25'i 1,6'ya bölün.

Böleni (1,6) 10 kat arttırıyoruz; bölümün değişmemesi için temettüyü 10 kat arttırıyoruz; 12 tam sayı 16'ya bölünemediği için 0 bölümüne 0 yazıp 125'in onda birini 16'ya bölüyoruz, bölümden onda biri 7 çıkıyor ve kalan 13 oluyor. 13 onda birini sıfır atayarak yüzde birlere bölüyoruz ve 130 yüzde birini 16'ya bölüyoruz. , vb. Lütfen aşağıdakilere dikkat edin:

a) Belirli bir tamsayı olmadığında, onların yerine sıfır tamsayı yazılır;

b) kalana bölünen rakamın eklenmesinden sonra bölene bölünemeyen bir sayı elde edildiğinde bölüme sıfır yazılır;

c) temettü payının son rakamı çıkarıldıktan sonra bölme işlemi bitmezse, kalan kısma sıfırlar eklenerek bölme işlemine devam edilir;

d) eğer temettü bir tam sayı ise, o zaman ondalık kesre bölünürken sıfır eklenerek arttırılır.

Bu nedenle, bir sayıyı ondalık kesre bölmek için, bölendeki virgülden vazgeçmeniz ve ardından içindeki virgül atılırken bölen arttıkça bölen sayısını artırmanız ve ardından bölmeyi kurala göre yapmanız gerekir. ondalık kesri bir tam sayıya bölmek için.

§ 112. Yaklaşık bölümler.

Önceki paragrafta ondalık kesirlerin bölünmesine baktık ve çözdüğümüz tüm örneklerde bölme işlemi tamamlandı, yani tam bir bölüm elde edildi. Ancak çoğu durumda bölmeye ne kadar devam edersek edelim kesin bir bölüm elde edilemez. İşte böyle bir durum: 53'ü 101'e bölün.

Bölümde zaten beş rakamı aldık, ancak bölme henüz sona ermedi ve biteceğine dair bir umut da yok, çünkü geri kalanında daha önce karşılaştığımız sayılara sahip olmaya başlıyoruz. Bölümde sayılar da tekrarlanacaktır: 7 sayısından sonra 5 sayısının, ardından 2 vb.'nin sonsuza kadar görüneceği açıktır. Bu gibi durumlarda bölme işlemi kesintiye uğrar ve bölümün ilk birkaç rakamıyla sınırlıdır. Bu bölüme denir yakın olanlar. Bölme işleminin nasıl yapıldığını örneklerle göstereceğiz.

25'i 3'e bölmek gerekli olsun. Açıkçası, böyle bir bölmeden tam sayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen tam bir bölüm elde edilemez. Bu nedenle yaklaşık bir bölüm arayacağız:

25: 3 = 8 ve kalan 1

Yaklaşık bölüm 8'dir; elbette tam bölümden küçüktür, çünkü 1 geri kalanı vardır. Kesin bölümü elde etmek için, 1'e eşit olan kalanı 3'e bölerek elde edilen kesri, bulunan yaklaşık bölüme eklemeniz gerekir; , 8'e kadar; bu 1/3'lük bir kesir olacak. Bu, tam bölümün 8 1/3 karışık sayı olarak ifade edileceği anlamına gelir. 1/3 temsil ettiğinden doğru kesir yani kesir, birden az, ardından onu atarak izin vereceğiz hata, Hangi birden az. Bölüm 8 olacak dezavantajlı birliğe kadar olan yaklaşık bölüm. Bölümde 8 yerine 9 alırsak, birimin tamamını değil 2/3'ünü ekleyeceğimiz için birden küçük bir hataya da izin vermiş oluruz. Böyle özel bir vasiyet fazla olanın yaklaşık bölümü.

Şimdi başka bir örnek verelim. Diyelim ki 27'yi 8'e bölmemiz gerekiyor. Burada tam sayı olarak ifade edilen tam bir bölüm elde edemeyeceğimiz için yaklaşık bir bölüm arayacağız:

27: 8 = 3 ve kalan 3.

Burada hata 3/8'e eşit, birden küçük, yani yaklaşık bölüm (3) dezavantajlı olarak bire doğru bulunmuştur. Bölmeye devam edelim: kalan 3'ü onluğa bölersek 30 onluk elde ederiz; bunları 8'e bölün.

Bölümde onda biri yerine 3, geri kalanda da onda 6 aldık. Eğer kendimizi 3,3 sayısıyla sınırlandırıp geri kalan 6'yı atarsak, onda birinden daha az bir hataya izin vermiş oluruz. Neden? Çünkü 3,3'e 6'nın 8'e bölünmesi sonucunu eklediğimizde tam oran elde edilecektir; bu bölme 6/80 sonucunu verecektir ki bu da onda birden azdır. (Kontrol edin!) Dolayısıyla bölümde kendimizi onda birlerle sınırlandırırsak bölümü bulduğumuzu söyleyebiliriz. onda birine kadar doğru(bir dezavantajla).

Başka bir ondalık basamak bulmak için bölme işlemine devam edelim. Bunu yapmak için onda biri 6'yı yüzlüğe bölüyoruz ve 60 yüzde biri elde ediyoruz; bunları 8'e bölün.

Üçüncü sırada yer alan bölümde ise 7, geri kalan yüzde 4 çıktı; bunları atarsak yüzde birden daha az bir hataya izin vereceğiz, çünkü yüzde 4'ün 8'e bölümü yüzde birden küçüktür. Bu gibi durumlarda bölümün bulunduğunu söylüyorlar yüzde birine kadar doğru(bir dezavantajla).

Şimdi baktığımız örnekte, tam bölümün ondalık kesir olarak ifade edilmesini sağlayabiliriz. Bunun için son kalan yüzde 4'ü binde birlere bölüp 8'e bölmek yeterlidir.

Ancak çoğu durumda kesin bir oran elde etmek mümkün değildir ve kişinin kendisini yaklaşık değerlerle sınırlaması gerekir. Şimdi bu örneğe bakacağız:

40: 7 = 5,71428571...

Sayının sonuna konulan noktalar bölmenin tamamlanmadığını yani eşitliğin yaklaşık olduğunu gösterir. Genellikle yaklaşık eşitlik şu şekilde yazılır:

40: 7 = 5,71428571.

Sekiz ondalık basamaklı bölümü aldık. Ancak bu kadar büyük bir doğruluk gerekmiyorsa, kendinizi yalnızca Bütün parça bölüm, yani 5 sayısı (daha doğrusu 6); daha fazla doğruluk için onda biri dikkate alınabilir ve bölüm 5,7'ye eşit olabilir; herhangi bir nedenle bu doğruluk yetersizse, yüzde birlerde durup 5,71 vb. Alabilirsiniz. Tek tek bölümleri yazalım ve isimlendirelim.

İlk yaklaşık bölüm bire kadar doğru 6.

İkinci » » » onda bire kadar 5.7.

Üçüncü » » » yüzüncüden 5,71'e kadar.

Dördüncü » » » binde bire kadar 5.714.

Bu nedenle, bazıları için doğru olan yaklaşık bir bölümü bulmak için, örneğin 3. ondalık basamak (yani binde bire kadar), bu işaret bulunur bulunmaz bölmeyi durdurun. Bu durumda § 40'ta belirtilen kuralı hatırlamanız gerekir.

§ 113. Yüzdelerle ilgili en basit problemler.

Ondalık sayıları öğrendikten sonra biraz daha yüzde problemleri çözeceğiz.

Bu problemler kesirler bölümünde çözdüğümüz problemlere benziyor; ama şimdi yüzde birleri ondalık kesirler biçiminde, yani açıkça belirlenmiş bir payda olmadan yazacağız.

Öncelikle sıradan bir kesirden paydası 100 olan bir ondalık sayıya kolayca geçebilmeniz gerekir. Bunu yapmak için payı paydaya bölmeniz gerekir:

Aşağıdaki tablo, % (yüzde) sembolüne sahip bir sayının, paydası 100 olan bir ondalık kesirle nasıl değiştirildiğini göstermektedir:

Şimdi birkaç sorunu ele alalım.

1. Verilen bir sayının yüzdesini bulmak.

Görev 1. Bir köyde sadece 1.600 kişi yaşıyor. Çocuk Sayısı okul yaşı toplam nüfusun %25'ini oluşturmaktadır. Bu köyde okul çağında kaç çocuk var?

Bu problemde 1.600'ün %25'ini veya 0,25'ini bulmanız gerekiyor. Sorun çarpılarak çözülür:

1.600 0,25 = 400 (çocuklar).

Bu nedenle 1.600'ün %25'i 400'dür.

Bu görevi net bir şekilde anlamak için her yüz nüfusa karşılık 25 okul çağındaki çocuğun bulunduğunu hatırlamakta fayda var. Dolayısıyla okul çağındaki tüm çocukların sayısını bulmak için önce 1.600 sayısında kaç yüz olduğunu bulabilir (16), daha sonra 25'i yüzler sayısıyla çarpabilirsiniz (25 x 16 = 400). Bu şekilde çözümün geçerliliğini kontrol edebilirsiniz.

Görev 2. Tasarruf bankaları mevduat sahiplerine yıllık yüzde 2 getiri sağlıyor. Bir mevduat sahibi kasaya koyarsa yılda ne kadar gelir elde edecek: a) 200 ruble? b) 500 ruble? c) 750 ruble? d) 1000 rub.?

Dört durumda da, sorunu çözmek için belirtilen tutarların 0,02'sini hesaplamanız gerekecektir, yani. bu sayıların her birinin 0,02 ile çarpılması gerekecektir. Hadi yapalım:

a) 200 0,02 = 4 (ovmak),

b) 500 0,02 = 10 (ovmak),

c) 750 0,02 = 15 (ovmak),

d) 1.000 0,02 = 20 (rub.).

Bu durumların her biri aşağıdaki hususlarla doğrulanabilir. Tasarruf bankaları yatırımcılara %2 oranında, yani tasarruflara yatırılan tutarın 0,02'si oranında gelir sağlar. Miktar 100 ruble olsaydı, bunun 0,02'si 2 ruble olurdu. Bu, her yüzün yatırımcıya 2 ruble getireceği anlamına geliyor. gelir. Bu nedenle, ele alınan vakaların her birinde, belirli bir sayıda kaç yüz olduğunu bulmak ve 2 rubleyi bu yüz sayısıyla çarpmak yeterlidir. Örnek a) 2 yüz tane var, yani

2 2 = 4 (ovmak).

Örnek d) 10 yüz tane var, bu da şu anlama geliyor:

2 10 = 20 (ovmak).

2. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Görev 1. Okul baharda toplam kayıt sayısının %6'sını temsil eden 54 öğrenciyi mezun etti. Geçen öğretim yılında okulda kaç öğrenci vardı?

Öncelikle bu görevin anlamını açıklayalım. Okul 54 öğrenci mezun etmiştir; bu da toplam öğrenci sayısının %6'sına, yani okuldaki tüm öğrencilerin yüzde 6'sına (0,06) denk gelmektedir. Bu, öğrencilerin sayı (54) ve kesir (0,06) ile ifade edilen kısmını bildiğimiz ve bu kesirden tam sayıyı bulmamız gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla önümüzde bir sayıyı kesirinden bulmak gibi sıradan bir görev var (§90, paragraf 6). Bu tür problemler bölme yoluyla çözülür:

Bu, okulda sadece 900 öğrencinin olduğu anlamına geliyor.

Ters problemi çözerek bu tür problemleri kontrol etmek faydalıdır, yani. problemi çözdükten sonra, en azından kafanızda, birinci türden bir problemi çözmelisiniz (belirli bir sayının yüzdesini bulma): bulunan sayıyı alın ( 900) verildiği gibi ve çözülen problemde belirtilen yüzdeyi bulun, yani:

900 0,06 = 54.

Görev 2. Bir aile ay içinde gıdaya 780 ruble harcıyor, bu da %65'e tekabül ediyor aylık kazançlar baba. Aylık maaşını belirleyin.

Bu görev öncekiyle aynı anlama sahiptir. Aylık kazancın ruble (780 ruble) cinsinden ifade edilen bir kısmını verir ve bu kısmın toplam kazancın %65'i yani 0,65'i olduğunu belirtir. Ve aradığınız şey tüm kazançlardır:

780: 0,65 = 1 200.

Bu nedenle gerekli gelir 1200 ruble.

3. Sayıların yüzdesini bulma.

Görev 1.İÇİNDE okul kütüphanesi yalnızca 6.000 kitap. Bunların arasında matematikle ilgili 1.200 kitap var. Kütüphanedeki toplam kitap sayısının yüzde kaçı matematik kitaplarından oluşuyor?

Bu tür problemleri zaten ele aldık (§97) ve iki sayının yüzdesini hesaplamak için bu sayıların oranını bulup 100 ile çarpmanız gerektiği sonucuna vardık.

Problemimizde 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzde oranını bulmamız gerekiyor.

Önce oranlarını bulalım, sonra bunu 100 ile çarpalım:

Böylece 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzdesi 20 olur. Yani matematik kitapları tüm kitapların toplam sayısının %20'sini oluşturur.

Kontrol etmek için ters problemi çözelim: 6.000'in %20'sini bulalım:

6 000 0,2 = 1 200.

Görev 2. Tesisin 200 ton kömür alması gerekiyor. 80 ton teslim edildi, tesise kömürün yüzde kaçı teslim edildi?

Bu problem, bir sayının (80) diğerinin (200) yüzde kaçı olduğunu sorar. Bu sayıların oranı 80/200 olacaktır. Bunu 100 ile çarpalım:

Bu da kömürün yüzde 40'ının teslim edildiği anlamına geliyor.

BEN. Ondalık kesri bir doğal sayıya bölmek için, kesri doğal sayılar bölündüğü gibi bu sayıya bölmeniz ve tam parçanın bölünmesi tamamlandığında bölüme virgül koymanız gerekir.

Örnekler.

Bölmeyi gerçekleştir: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

Çözüm.

Örnek 1) 96,25: 5.

Doğal sayılarda olduğu gibi bir “köşe” ile bölüyoruz. Numarayı indirdikten sonra 2 (onda birlerin sayısı, 96 payındaki ondalık noktadan sonraki ilk rakamdır, 2 5), bölümde virgül koyup bölmeye devam ediyoruz.

Cevap: 19,25.

Örnek 2) 4,78: 4.

Doğal sayıların bölündüğü gibi bölüyoruz. Bölümde, onu kaldırır kaldırmaz virgül koyacağız 7 - Bölünen 4'ün ondalık noktasından sonraki ilk rakamı, 7 8. Bölmeye daha da devam ediyoruz. 38-36'yı çıkardığımızda 2 elde ediyoruz ancak bölme işlemi tamamlanmadı. Nasıl ilerleriz? Ondalık kesrin sonuna sıfır eklenebileceğini biliyoruz; bu, kesrin değerini değiştirmeyecektir. Sıfır atarız ve 20'yi 4'e böleriz. 5 alırız - bölme bitti.

Cevap: 1,195.

Örnek 3) 183,06: 45.

18306'yı 45'e bölün. Bölümde sayıyı kaldırır kaldırmaz virgül koyuyoruz 0 - temettü 183'teki ondalık noktadan sonraki ilk rakam, 0 6. Örnek 2'de olduğu gibi, 36 sayısına sıfır atamamız gerekiyordu - 306 ile 270 sayıları arasındaki fark.

Cevap: 4,068.

Çözüm: ondalık kesri bir doğal sayıya bölerken özel virgül koyarız temettü oranının onuncu sırasındaki rakamı indirdikten hemen sonra. Lütfen dikkat: hepsi vurgulanmıştır kırmızı sayılar bu üç örnek kategoriye aittir temettünün onda biri.

II. Ondalık kesri 10, 100, 1000 vb.'ye bölmek için virgülünü 1, 2, 3 vb. basamak sola kaydırmanız gerekir.

Örnekler.

Bölmeyi gerçekleştirin: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Çözüm.

Ondalık virgülün sola kaydırılması, bölende birden sonra kaç sıfır bulunduğuna bağlıdır. Yani ondalık kesri bölerken 10 temettü olarak devam ettireceğiz virgül sola bir haneli; bölündüğünde 100 - virgülü hareket ettir iki rakam bıraktı; bölündüğünde 1000 bu ondalık kesire dönüştür virgül sola üç haneli.

Okulda bu eylemler basitten karmaşığa doğru incelenir. Bu nedenle, bu işlemleri gerçekleştirmek için algoritmanın iyice anlaşılması zorunludur. basit örnekler. Böylece daha sonra ondalık kesirleri bir sütuna bölmede herhangi bir zorluk yaşanmayacaktır. Sonuçta bu, bu tür görevlerin en zor versiyonudur.

Bu konu tutarlı bir çalışma gerektirir. Bilgideki boşluklar burada kabul edilemez. Her öğrenci bu prensibi birinci sınıfta öğrenmelidir. Bu nedenle, arka arkaya birkaç dersi kaçırırsanız, materyale kendi başınıza hakim olmanız gerekecektir. Aksi takdirde daha sonra sadece matematikte değil, matematikle ilgili diğer konularda da sorunlar ortaya çıkacaktır.

Saniye gerekli koşul başarılı çalışma matematik - ancak toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine hakim olduktan sonra uzun bölme örneklerine geçin.

Bir çocuğun çarpım tablosunu öğrenmemesi durumunda bölme işlemi yapması zor olacaktır. Bu arada, bunu Pisagor tablosunu kullanarak öğretmek daha iyidir. Gereksiz hiçbir şey yoktur ve bu durumda çarpma işlemini öğrenmek daha kolaydır.

Bir sütunda doğal sayılar nasıl çarpılır?

Bölme ve çarpma için bir sütundaki örnekleri çözmede zorluk çıkarsa, o zaman sorunu çarpma ile çözmeye başlamalısınız. Bölme çarpmanın ters işlemi olduğundan:

1. İki sayıyı çarpmadan önce onlara dikkatlice bakmanız gerekir. Rakamları daha fazla olan (daha uzun) olanı seçin ve önce onu yazın. İkincisini altına yerleştirin. Ayrıca ilgili kategoriye ait numaraların da aynı kategori altında olması gerekmektedir. Yani birinci sayının en sağdaki rakamı, ikinci sayının en sağdaki rakamının üzerinde olmalıdır.
2. Sağdan başlayarak alttaki sayının en sağdaki basamağını üstteki sayının her basamağıyla çarpın. Cevabı, son rakamı çarptığınız rakamın altında olacak şekilde satırın altına yazın.
3. Aynı işlemi alt sayının başka bir rakamıyla tekrarlayın. Ancak çarpma sonucunun bir basamak sola kaydırılması gerekir. Bu durumda son rakamı çarpıldığı rakamın altında olacaktır.

İkinci faktördeki sayılar bitene kadar bu çarpma işlemine bir sütunda devam edin. Şimdi katlanmaları gerekiyor. Aradığınız cevap bu olacaktır.

Ondalık sayıları çarpma algoritması

Öncelikle verilen kesirlerin ondalık sayılar değil doğal olduğunu hayal etmeniz gerekir. Yani, virgülleri onlardan kaldırın ve ardından önceki durumda anlatıldığı gibi devam edin.

Fark, cevabın yazılmasıyla başlar. Şu anda her iki kesirde de virgülden sonra çıkan tüm sayıları saymak gerekiyor. Cevabın sonundan itibaren tam olarak kaç tanesinin sayılması ve oraya virgül konulması gerekiyor.

Bu algoritmayı bir örnek kullanarak göstermek uygundur: 0,25 x 0,33:

Bölmeyi öğrenmeye nereden başlamalı?

Uzun bölme örneklerini çözmeden önce uzun bölme örneğinde çıkan sayıların isimlerini hatırlamanız gerekir. Bunlardan ilki (bölünen) bölünebilir. İkincisi (bölünen) bölendir. Cevap özeldir.

Bundan sonra, günlük basit bir örnek kullanarak bu matematiksel işlemin özünü açıklayacağız. Örneğin, 10 şeker alırsanız, bunları anne ve baba arasında eşit olarak bölmek kolaydır. Peki ya bunları anne babanıza ve erkek kardeşinize vermeniz gerekiyorsa?

Bundan sonra bölme kurallarını öğrenebilir ve bu kurallara hakim olabilirsiniz. spesifik örnekler. Önce basit olanlar, sonra giderek daha karmaşık olanlara geçin.

Sayıları bir sütuna bölmek için algoritma

İlk olarak, bölünebilen doğal sayılara ilişkin prosedürü sunalım. tek haneli sayı. Bunlar aynı zamanda çok basamaklı bölenlerin veya ondalık kesirlerin de temelini oluşturacaktır. Ancak o zaman girmelisiniz küçük değişiklikler, ancak bunun hakkında daha sonra daha fazlası:

• Uzun bölme işlemi yapmadan önce bölenin ve bölenin nerede olduğunu bulmanız gerekir.
• Temettüyü yazın. Sağında bölücü var.
• Solda ve altta son köşeye yakın bir köşe çizin.
• Eksik temettüyü, yani bölme için minimum olacak sayıyı belirleyin. Genellikle bir rakamdan, en fazla iki rakamdan oluşur.
• Cevapta ilk yazılacak sayıyı seçin. Bölenin temettüye sığma sayısı olmalıdır.
• Bu sayıyı bölenle çarpmanın sonucunu yazın.
• Tamamlanmamış temettü altına yazın. Çıkarma işlemini gerçekleştirin.
• Bölünen kısımdan sonraki ilk rakamı kalana ekleyin.
• Cevap için numarayı tekrar seçin.
• Çarpma ve çıkarma işlemini tekrarlayın. Kalan sıfırsa ve bölüştürme bittiyse örnek yapılır. Aksi takdirde adımları tekrarlayın: sayıyı kaldırın, sayıyı alın, çarpın, çıkarın.

Bölen birden fazla rakama sahipse uzun bölme işlemi nasıl çözülür?

Algoritmanın kendisi yukarıda anlatılanlarla tamamen örtüşmektedir. Fark, tamamlanmamış temettüdeki basamak sayısı olacaktır. Şimdi en az iki tane olmalı, ancak bölenden küçük çıkarsa ilk üç rakamla çalışmanız gerekir.

Bu bölümde bir nüans daha var. Gerçek şu ki, kalan ve ona eklenen sayı bazen bölene bölünemez. Daha sonra sırayla başka bir numara eklemelisiniz. Ama cevap sıfır olmalı. Bölme işlemi yapılırsa üç basamaklı sayılar bir sütunda ikiden fazla rakamı kaldırmanız gerekebilir. Daha sonra bir kural getirilir: Cevapta, kaldırılan basamak sayısından bir eksik sıfır olmalıdır.

Bu bölümü - 12082: 863 örneğini kullanarak düşünebilirsiniz.

• İçindeki eksik temettü 1208 sayısı olarak ortaya çıkıyor. 863 sayısı yalnızca bir kez yer alıyor. Bu nedenle cevabın 1 olması ve 1208'in altına 863 yazılması gerekiyor.
• Çıkarma işleminden sonra kalan 345'tir.
• Buna 2 sayısını da eklemeniz gerekiyor.
• 3452 sayısının dört katı 863'tür.
• Dört tanesi cevap olarak yazılmalıdır. Üstelik 4 ile çarpıldığında tam olarak elde edilen sayı budur.
• Çıkarma işleminden sonra kalan sıfırdır. Yani bölme işlemi tamamlandı.

Örnekteki cevap 14 sayısı olacaktır.

Ya temettü sıfırla biterse?

Yoksa birkaç sıfır mı? Bu durumda kalan sıfırdır ancak temettüde hala sıfırlar bulunmaktadır. Umutsuzluğa kapılmanıza gerek yok, her şey göründüğünden daha basit. Bölünmemiş kalan tüm sıfırları cevaba eklemek yeterlidir.

Örneğin 400'ü 5'e bölmeniz gerekiyor. Eksik bölüştürücü 40'tır. Beş, buna 8 kez sığar. Yani cevabın 8 olarak yazılması gerekiyor. Çıkarma işleminde kalan kalmıyor. Yani bölme işlemi tamamlanır ancak payda sıfır kalır. Cevaba eklenmesi gerekecek. Yani 400'ü 5'e bölmek 80'e eşittir.

Ondalık kesri bölmeniz gerekirse ne yapmalısınız?

Bu sayı da yine tam kısmı kesirli kısımdan ayıran virgül olmasa doğal bir sayıya benziyor. Bu, ondalık kesirlerin bir sütuna bölünmesinin yukarıda açıklanana benzer olduğunu göstermektedir.

Tek fark noktalı virgül olacaktır. Kesirli kısımdan ilk rakam kaldırılır kaldırılmaz cevaba konulması gerekiyor. Bunu söylemenin bir başka yolu da şudur: Eğer parçanın tamamını bölmeyi bitirdiyseniz virgül koyup çözüme devam edin.

Ondalık kesirlerle uzun bölme örneklerini çözerken, ondalık noktadan sonraki kısma istediğiniz sayıda sıfır eklenebileceğini hatırlamanız gerekir. Bazen sayıları tamamlamak için bu gereklidir.

İki ondalık sayıyı bölme

Karmaşık görünebilir. Ama sadece başlangıçta. Sonuçta, bir kesir sütununun doğal bir sayıya nasıl bölüneceği zaten açıktır. Bu, bu örneği zaten tanıdık bir forma indirgememiz gerektiği anlamına geliyor.

Bunu yapmak kolaydır. Her iki kesri de 10, 100, 1.000 veya 10.000 ile ve eğer sorun gerektiriyorsa belki bir milyonla çarpmanız gerekir. Çarpan, bölenin ondalık kısmında kaç sıfır olduğuna göre seçilmelidir. Yani sonuç, kesri doğal bir sayıya bölmeniz gerektiği olacaktır.

Ve bu en kötü senaryo olacak. Sonuçta, bu işlemden elde edilen temettü tam sayı haline gelebilir. Daha sonra bir kesir sütununa bölme örneğinin çözümü en aza indirilecektir. basit seçenek: doğal sayılarla işlemler.

Örnek olarak: 28,4'ü 3,2'ye bölün:

• İkinci sayının virgülden sonra yalnızca bir rakamı olduğundan, önce bunların 10 ile çarpılması gerekir. Çarpmak 284 ve 32'yi verecektir.
• Ayrılmaları gerekiyor. Üstelik tam sayı 284'e 32'dir.
• Cevap için seçilen ilk sayı 8'dir. Bu rakamın çarpılması 256 sonucunu verir. Geriye kalan 28'dir.
• Bütün parçanın bölünmesi sona erdi ve cevapta virgül gerekiyor.
• Kalan 0'a kadar çıkar.
• Tekrar 8'i al.
• Kalan: 24. Buna bir 0 daha ekleyin.
• Şimdi 7'yi almanız gerekiyor.
• Çarpma sonucu 224, kalan 16 olur.
• Bir 0 daha al. Her birinden 5 al ve tam olarak 160 elde et. Geri kalan 0.

Bölme tamamlandı. Örnek 28.4:3.2'nin sonucu 8.875'tir.

Ya bölen 10, 100, 0,1 veya 0,01 ise?

Çarpma işleminde olduğu gibi burada da uzun bölmeye gerek yoktur. Belirli sayıda basamak için virgülü istenilen yönde hareket ettirmeniz yeterlidir. Üstelik bu prensibi kullanarak hem tamsayılı hem de ondalık kesirli örnekleri çözebilirsiniz.

Dolayısıyla, 10, 100 veya 1000'e bölmeniz gerekiyorsa, bölende sıfırlar olduğu için virgül aynı sayıda basamak sola kaydırılır. Yani bir sayı 100'e bölünüyorsa virgülün iki basamak sola gitmesi gerekir. Bölünen doğal sayı ise virgülün sonunda olduğu varsayılır.

Bu işlem, sayının 0,1, 0,01 veya 0,001 ile çarpılmasıyla aynı sonucu verir. Bu örneklerde virgül de basamak sayısı kadar sola kaydırılmıştır, uzunluğa eşit kesirli kısım.

0,1 (vb.) ile bölerken veya 10 (vb.) ile çarparken, ondalık nokta bir basamak (veya sıfır sayısına veya kesirli kısmın uzunluğuna bağlı olarak iki, üç) sağa doğru hareket etmelidir.

Kâr payında verilen rakam sayısının yeterli olmayabileceğini belirtmekte fayda var. Daha sonra eksik sıfırlar sola (tüm kısımda) veya sağa (ondalık noktadan sonra) eklenebilir.

Periyodik kesirlerin bölünmesi

Bu durumda sütuna bölme işleminde doğru bir cevap almak mümkün olmayacaktır. Noktalı bir kesirle karşılaşırsanız bir örneği nasıl çözebilirsiniz? Burada sıradan kesirlere geçmemiz gerekiyor. Daha sonra bunları önceden öğrenilen kurallara göre bölün.

Örneğin 0,(3)'ü 0,6'ya bölmeniz gerekir. İlk fraksiyon periyodiktir. 3/9 kesrine dönüşür, indirgendiğinde 1/3 verir. İkinci kesir son ondalık sayıdır. Her zamanki gibi yazmak daha da kolay: 6/10, yani 3/5. Sıradan kesirleri bölme kuralı, bölmenin çarpma ve bölen ile değiştirilmesini öngörür - karşılıklı sayı. Yani örnek 1/3'ü 5/3 ile çarpmak şeklindedir. Cevap 5/9 olacaktır.

Örnek farklı kesirler içeriyorsa...

O zaman birkaç çözüm mümkündür. İlk önce, ortak kesir Ondalık sayıya dönüştürmeyi deneyebilirsiniz. Daha sonra yukarıdaki algoritmayı kullanarak iki ondalık sayıyı bölün.

İkinci olarak, her son ondalık kesir ortak bir kesir olarak yazılabilir. Ancak bu her zaman uygun değildir. Çoğu zaman, bu tür kesirler çok büyük olur. Ve cevaplar hantal. Bu nedenle ilk yaklaşımın daha çok tercih edildiği düşünülmektedir.

Bölümün ilk basamağını bulun (bölme sonucu). Bunu yapmak için, temettünün ilk basamağını bölene bölün. Sonucu bölenin altına yazın.

• Örneğimizde bölünen sayının ilk rakamı 3'tür. 3'ü 12'ye bölün. 3, 12'den küçük olduğundan bölme sonucu 0 olacaktır. Bölenin altına 0 yazın - bu, bölümün ilk rakamıdır.

Sonucu bölenle çarpın.Çarpmanın sonucunu bölenin ilk rakamının altına yazın çünkü bu, bölene böldüğünüz rakamdır.

• Örneğimizde 0 × 12 = 0 olduğundan 3’ün altına 0 yazın.

Çarpma sonucunu bölüşümün ilk rakamından çıkarın. Cevabınızı yeni bir satıra yazın.

• Örneğimizde: 3 - 0 = 3. 0'ın hemen altına 3 yazın.

Temettü miktarının ikinci basamağını aşağı doğru hareket ettirin. Bunu yapmak için, çıkarma sonucunun yanına temettüdeki bir sonraki rakamı yazın.

• Örneğimizde bölünen 30'dur. Bölenin ikinci rakamı 0'dır. 3'ün (çıkarma sonucu) yanına 0 yazarak onu aşağı taşıyın. 30 sayısını alacaksınız.

Sonucu bölene bölün. Bölümün ikinci basamağını bulacaksınız. Bunu yapmak için alt satırda bulunan sayıyı bölene bölün.

• Örneğimizde 30'u 12'ye bölün. 30 ÷ 12 = 2 artı bir miktar kalan (12 x 2 = 24 olduğundan). Bölenin altına 0'dan sonra 2 yazın - bu, bölümün ikinci basamağıdır.
• Uygun bir rakam bulamazsanız, bir rakamı bir bölenle çarpmanın sonucu daha küçük ve sütunda en sondaki sayıya en yakın olana kadar rakamlar arasında ilerleyin. Örneğimizde 3 sayısını ele alalım. Bunu bölenle çarpın: 12 x 3 = 36. 36, 30'dan büyük olduğundan 3 sayısı uygun değildir. Şimdi 2 sayısını düşünün. 12 x 2 = 24. 24, 30'dan küçüktür, dolayısıyla 2 sayısı doğru çözümdür.

Bir sonraki sayıyı bulmak için yukarıdaki adımları tekrarlayın. Açıklanan algoritma herhangi bir uzun bölme probleminde kullanılır.

• Bölümün ikinci basamağını bölenle çarpın: 2 x 12 = 24.
• Çarpma sonucunu (24) aşağıya yazın son numara sütunda (30).
• Küçük sayıyı büyük olandan çıkarın. Örneğimizde: 30 - 24 = 6. Sonucu (6) yeni bir satıra yazın.

Temettüde hala aşağı kaydırılabilecek rakamlar varsa hesaplama işlemine devam edin. Aksi halde bir sonraki adıma geçin.

• Örneğimizde, temettünün son rakamını (0) aşağıya taşıdınız. Öyleyse bir sonraki adıma geçin.

Gerekirse pay payını genişletmek için ondalık nokta kullanın. Bölen bölene bölünebiliyorsa son satırda 0 sayısını alırsınız. Bu, sorunun çözüldüğü ve cevabın (tamsayı biçiminde) bölenin altına yazıldığı anlamına gelir. Ancak sütunun en altında 0'dan farklı bir rakam varsa, virgül ekleyip 0 ekleyerek böleni genişletmek gerekir. Bunun bölenin değerini değiştirmediğini unutmayalım.

• Örneğimizde son satırda 6 rakamı bulunmaktadır. Bu nedenle 30'un (bölünen) sağına bir ondalık nokta yazıp ardından 0 yazın. Ayrıca bölümün bulunan rakamlarından sonra bir ondalık nokta koyun. bölenin altına yazın (bu virgülden sonra henüz bir şey yazmayın!) .

Bir sonraki sayıyı bulmak için yukarıda açıklanan adımları tekrarlayın.Önemli olan, hem temettüden sonra hem de bölümün bulunan rakamlarından sonra ondalık virgül koymayı unutmamaktır. İşlemin geri kalanı yukarıda açıklanan işleme benzer.

• Örneğimizde (ondalık noktadan sonra yazdığınız) 0'ı aşağı doğru hareket ettirin. 60 sayısını elde edeceksiniz. Şimdi bu sayıyı bölene bölün: 60 ÷ 12 = 5. Bölenin altına 2'den sonra (ve virgülden sonra) 5 yazın. Bu bölümün üçüncü basamağıdır. Yani son cevap 2,5'tir (2'den önceki sıfır göz ardı edilebilir).

Bu yazımızda ondalık sayılarla bölme gibi önemli bir işleme bakacağız. İlk önce formüle edelim Genel İlkeler, daha sonra ondalık kesirleri hem diğer kesirlere hem de doğal sayılara göre sütunlara doğru şekilde nasıl böleceğimize bakacağız. Daha sonra, sıradan kesirlerin ondalık sayılara ve tam tersi şekilde bölünmesini analiz edeceğiz ve sonunda 0, 1, 0, 01, 100, 10 vb. ile biten kesirlerin nasıl doğru şekilde bölüneceğine bakacağız.

Burada sadece pozitif kesirli durumları ele alacağız. Kesirin önünde bir eksi varsa, onunla çalışmak için rasyonel ve gerçek sayıları bölmeyle ilgili materyali incelemeniz gerekir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hem sonlu hem de periyodik tüm ondalık kesirler, sıradan kesirleri yazmanın sadece özel bir biçimidir. Sonuç olarak, karşılık gelen sıradan kesirlerle aynı ilkelere tabidirler. Böylece, ondalık kesirleri sıradan olanlarla değiştirmeye yönelik tüm süreci kısaltıyoruz, ardından zaten bildiğimiz yöntemleri kullanarak hesaplama yapıyoruz. Belirli bir örnek alalım.

örnek 1

1,2'yi 0,48'e bölün.

Çözüm

Ondalık kesirleri sıradan kesirler olarak yazalım. Alacağız:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Bu nedenle 6 5'i 12 25'e bölmemiz gerekiyor. Sayarız:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

Ortaya çıkan uygunsuz kesirden tüm kısmı seçip elde edebilirsiniz. karışık numara 2 1 2 veya orijinal sayılara karşılık gelecek şekilde bunu ondalık kesir olarak gösterebilirsiniz: 5 2 = 2, 5. Bunun nasıl yapılacağını daha önce yazmıştık.

Cevap: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Örnek 2

0 , (504) 0 , 56'nın ne kadar olacağını hesaplayın.

Çözüm

İlk olarak, periyodik bir ondalık kesiri ortak bir kesire dönüştürmemiz gerekir.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Bundan sonra son ondalık kesri de başka bir forma dönüştüreceğiz: 0, 56 = 56,100. Artık gerekli hesaplamaları yapmamızı kolaylaştıracak iki sayımız var:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Ondalık sayıya da dönüştürebileceğimiz bir sonucumuz var. Bunu yapmak için sütun yöntemini kullanarak payı paydaya bölün:

Cevap: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Bölme örneğinde periyodik olmayan ondalık kesirlerle karşılaşırsak, biraz farklı davranacağız. Bunları sıradan kesirlere indirgeyemeyiz, bu nedenle bölerken önce onları belirli bir rakama yuvarlamamız gerekir. Bu eylem hem bölünen hem de bölen ile gerçekleştirilmelidir: doğruluk adına mevcut sonlu veya periyodik kesri de yuvarlayacağız.

Örnek 3

0,779... / 1,5602'nin ne kadar olduğunu bulun.

Çözüm

Öncelikle her iki kesri de en yakın yüzlüğe yuvarlıyoruz. Sonsuz periyodik olmayan kesirlerden sonlu ondalık kesirlere bu şekilde geçiyoruz:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Hesaplamalara devam ederek yaklaşık bir sonuç elde edebiliriz: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78,100: 156,100 = 78,100 100,156 = 78,156 = 1 2 = 0, 5.

Sonucun doğruluğu yuvarlama derecesine bağlı olacaktır.

Cevap: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Doğal bir sayı ondalık sayıya nasıl bölünür ve bunun tersi de geçerlidir

Bu durumda bölmeye yaklaşım hemen hemen aynıdır: Sonlu ve periyodik kesirleri sıradan olanlarla değiştiririz ve sonsuz periyodik olmayan kesirleri yuvarlarız. Doğal sayı ve ondalık kesirle bölme örneğiyle başlayalım.

Örnek 4

2,5'u 45'e bölün.

Çözüm

2, 5'i sıradan bir kesir haline getirelim: 255 10 = 51 2. Daha sonra bunu bir doğal sayıya bölmemiz gerekiyor. Bunu nasıl yapacağımızı zaten biliyoruz:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Sonucu şu dile çevirirsek ondalık gösterim 0,5 (6) elde ederiz.

Cevap: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Uzun bölme yöntemi yalnızca doğal sayılar için iyi değildir. Benzetme yaparak bunu kesirler için kullanabiliriz. Aşağıda bunun için yapılması gereken eylemlerin sırasını belirtiyoruz.

Tanım 1

Ondalık kesirlerden oluşan bir sütunu doğal sayılara bölmek için ihtiyacınız olan:

1. Sağdaki ondalık kesre birkaç sıfır ekleyin (bölme için ihtiyacımız olan herhangi bir sayıda sıfır ekleyebiliriz).

2. Bir algoritma kullanarak ondalık kesri bir doğal sayıya bölün. Kesrin tamamının bölünmesi sona erdiğinde ortaya çıkan bölüme virgül koyup saymaya devam ederiz.

Böyle bir bölmenin sonucu, sonlu veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir olabilir. Kalana bağlıdır: Sıfır ise sonuç sonlu olacaktır ve geri kalanlar tekrarlanmaya başlarsa cevap periyodik bir kesir olacaktır.

Örnek olarak birkaç problemi ele alalım ve bu adımları belirli sayılarla gerçekleştirmeye çalışalım.

Örnek 5

65, 14 4'ün ne kadar olacağını hesaplayın.

Çözüm

Sütun yöntemini kullanıyoruz. Bunu yapmak için kesire iki sıfır ekleyin ve orijinaline eşit olacak olan 65, 1400 ondalık kesirini elde edin. Şimdi 4'e bölmek için bir sütun yazıyoruz:

Ortaya çıkan sayı, tamsayı kısmını bölerek ihtiyacımız olan sonuç olacaktır. Virgül koyup ayırıyoruz ve devam ediyoruz:

Sıfır kalana ulaşıldığı için bölme işlemi tamamlanmıştır.

Cevap: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Örnek 6

164,5'i 27'ye bölün.

Çözüm

Önce kesirli kısmı böleriz ve şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan sayıyı virgülle ayırın ve bölmeye devam edin:

Kalanların periyodik olarak tekrarlanmaya başladığını ve bölümde dokuz, iki ve beş rakamlarının değişmeye başladığını görüyoruz. Burada durup cevabı periyodik kesir 6, 0 (925) şeklinde yazacağız.

Cevap: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Bu bölme, daha önce yukarıda açıklanan ondalık kesir ile doğal sayının bölümünü bulma sürecine indirgenebilir. Bunu yapmak için böleni ve böleni 10, 100 vb. ile çarpmamız gerekir, böylece bölen doğal sayıya dönüşür. Daha sonra yukarıda açıklanan eylem sırasını gerçekleştiriyoruz. Bu yaklaşım bölme ve çarpmanın özelliklerinden dolayı mümkündür. Bunları şu şekilde yazdık:

a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) vb.

Bir kural formüle edelim:

Tanım 2

Son bir ondalık kesri diğerine bölmek için:

1. Bölen ve bölendeki virgülü, böleni doğal sayıya dönüştürmek için gerekli basamak sayısı kadar sağa taşıyın. Bölünmede yeterli işaret yoksa sağ tarafa sıfır ekleriz.

2. Bundan sonra, kesri bir sütuna göre elde edilen doğal sayıya bölün.

Belirli bir soruna bakalım.

Örnek 7

7,287'yi 2,1'e bölün.

Çözüm: Böleni doğal sayı yapmak için ondalık basamağı bir basamak sağa kaydırmamız gerekir. Böylece 72, 87 ondalık kesirini 21'e bölmeye geçtik. Ortaya çıkan sayıları bir sütuna yazıp hesaplayalım

Cevap: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Örnek 8

16.30.021'i hesaplayın.

Çözüm

Virgülü üç yere taşımamız gerekecek. Bunun için bölende yeterli rakam yok, bu da ek sıfır kullanmanız gerektiği anlamına geliyor. Sonucun şöyle olacağını düşünüyoruz:

4, 19, 1, 10, 16, 13 numaralı kalıntıların periyodik tekrarını görüyoruz. Bölümde 1, 9, 0, 4, 7 ve 5 tekrarlanıyor. O zaman sonucumuz periyodik ondalık kesir 776, (190476) olur.

Cevap: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

Açıkladığımız yöntem bunun tersini yapmanıza, yani doğal bir sayıyı son ondalık kesre bölmenize olanak tanır. Nasıl yapıldığını görelim.

Örnek 9

3 5, 4'ün ne kadar olduğunu hesaplayın.

Çözüm

Açıkçası, virgülü doğru bir yere taşımamız gerekecek. Bundan sonra 30, 0'ı 54'e bölmeye devam edebiliriz. Verileri bir sütuna yazıp sonucu hesaplayalım:

Geri kalanı tekrarlamak bize periyodik bir ondalık kesir olan son sayı olan 0 (5)'i verir.

Cevap: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Ondalık sayılar 1000, 100, 10 vb. sayılara nasıl bölünür?

Sıradan kesirleri bölmek için daha önce incelenen kurallara göre, bir kesri onlara, yüzlere, binlere bölmek, onu 1/1000, 1/100, 1/10 vb. ile çarpmaya benzer. Bölmeyi gerçekleştirmek için ortaya çıktı , bu durumda Virgülü gerekli sayıda basamağa taşımanız yeterlidir. Aktarılacak sayıda yeterli değer yoksa gerekli sayıda sıfır eklemeniz gerekir.

Örnek 10

Yani, 56, 21: 10 = 5, 621 ve 0, 32: 100.000 = 0,0000032.

Sonsuz ondalık kesirler durumunda da aynısını yaparız.

Örnek 11

Örneğin, 3, (56): 1,000 = 0, 003 (56) ve 593, 374...: 100 = 5, 93374....

Ondalık sayılar 0,001, 0,01, 0,1 vb. ile nasıl bölünür?

Aynı kuralı kullanarak kesirleri de belirtilen değerlere bölebiliriz. Bu işlem sırasıyla 1000, 100, 10 ile çarpmaya benzer olacaktır. Bunun için virgülü problemin durumuna göre bir, iki veya üç haneye kaydırıyoruz, rakamda yeterli rakam yoksa sıfır ekliyoruz.

Örnek 12

Örneğin, 5,739: 0,1 = 57,39 ve 0,21: 0,00001 = 21.000.

Bu kural aynı zamanda sonsuz ondalık kesirler için de geçerlidir. Sadece cevapta görünen kesrin periyoduna dikkat etmenizi tavsiye ederiz.

Yani, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) çünkü ondalık kesirdeki virgülü 7, 5716716716... iki basamak sağa kaydırdıktan sonra 757, 167167 elde ederiz....

Örnekte periyodik olmayan kesirler varsa, o zaman her şey daha basittir: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....

Karışık bir sayı veya kesir ondalık sayıya nasıl bölünür ve bunun tersi de geçerlidir

Bu eylemi aynı zamanda sıradan kesirlerle yapılan işlemlere de indirgedik. Bunu yapmak için değiştirmeniz gerekir ondalık sayılar karşılık gelen sıradan kesirleri bulun ve karışık sayıyı uygunsuz kesir olarak yazın.

Periyodik olmayan bir kesri sıradan veya karışık bir sayıya bölersek, normal kesir veya karışık sayıyı karşılık gelen ondalık kesirle değiştirerek tam tersini yapmamız gerekir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.