Doğrudan prizma (üçgen düzenli). Geometrik şekil prizması

Hayatımızda sıklıkla karşılaştığımız hacimsel geometrik şekillerden biridir. Örneğin indirimde bunun şeklinde anahtarlıklar ve saatler bulabilirsiniz. Fizikte camdan yapılmış bu şekil ışığın spektrumunu incelemek için kullanılır. Bu yazımızda üçgen prizmanın gelişimi ile ilgili konuyu tartışacağız.

Üçgen prizma nedir

Bu şekle geometrik açıdan bakalım. Bunu elde etmek için, keyfi kenar uzunluklarına sahip bir üçgen almalı ve kendisine paralel olarak onu uzayda belirli bir vektöre aktarmalısınız. Bundan sonra orijinal üçgenin aynı köşelerini ve transfer yoluyla elde edilen üçgeni bağlamak gerekir. Üçgen prizmamız var. Aşağıdaki fotoğraf bu rakamın bir örneğini göstermektedir.

Şekilden 5 yüzden oluştuğu görülmektedir. İki özdeş üçgen kenara tabanlar, paralelkenarlarla temsil edilen üç kenara ise yanallar denir. Bu prizmanın 6 köşesi ve 9 kenarı vardır ve bunların 6'sı paralel taban düzlemlerinde yer alır.

Yukarıda genel tipte bir üçgen prizma düşünülmüştür. Aşağıdaki iki zorunlu koşulun karşılanması durumunda doğru olarak adlandırılacaktır:

1. Tabanı normal bir üçgeni temsil etmeli, yani tüm açıları ve kenarları aynı (eşkenar) olmalıdır.
2. Her bir yan kenar ile taban arasındaki açı düz, yani 90 o olmalıdır.

Yukarıdaki fotoğraf söz konusu figürü göstermektedir.

Düzenli bir üçgen prizma için köşegenlerinin uzunluğunu ve yüksekliğini, hacmini ve yüzey alanını hesaplamak uygundur.

Önceki şekilde gösterilen doğru prizmayı alalım ve bunun için zihinsel olarak aşağıdaki işlemleri gerçekleştirelim:

1. Öncelikle üst tabanın bize en yakın olan iki kenarını keselim. Tabanı yukarı doğru bükün.
2. Alt taban için 1. noktanın işlemlerini yapacağız, sadece aşağı doğru bükün.
3. Şekli en yakın yan kenar boyunca keselim. İki yan yüzü (iki dikdörtgen) sola ve sağa bükün.

Sonuç olarak, aşağıda sunulan üçgen prizmanın taramasını alacağız.

Bu tarama, bir şeklin yan yüzeyinin ve tabanlarının alanını hesaplamak için kullanışlıdır. Yan kenarın uzunluğu c ve üçgenin kenar uzunluğu a ise, iki tabanın alanı için aşağıdaki formülü yazabiliriz:

Yan yüzeyin alanı aynı dikdörtgenlerin üç alanına eşit olacaktır, yani:

O zaman toplam yüzey alanı S o ve S b'nin toplamına eşit olacaktır.

Düzenli üçgen prizma- tabanlarında iki normal üçgen bulunan ve tüm yan yüzleri bu tabanlara kesinlikle dik olan bir prizma.

Tanımlar

• $ABCA_1B_1C_1$ - normal üçgen prizma
• $a$ - prizma tabanının kenar uzunluğu
• $h$ - prizmanın yan kenarının uzunluğu
• $S_(\text(base))$ - prizma tabanının alanı
• $V_(\text(prizmalar))$ - prizma hacmi

Prizma taban alanı

Düzgün üçgen prizmanın tabanında kenarı $a$ olan düzgün bir üçgen bulunur. Normal üçgenin özelliklerine göre $$ S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 $$ Böylece, $S_(ABC)= ortaya çıkıyor S_(A_1B_1C_1 )=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2$.

Prizma hacmi

Bir prizmanın hacmi, tabanının alanı ile yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır. Normal bir prizmanın yüksekliği yan kenarlarından herhangi biridir; örneğin $AA_1$ kenarı. Düzenli bir üçgen prizmanın tabanında alanı bildiğimiz bir düzgün üçgen vardır. $$ V_(\text(prizmalar))=S_(\text(main))\cdot AA_1=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 \cdot h $$ elde ederiz

BD'yi bulma

BD, $a$ kenarı prizmanın tabanında bulunan düzgün bir üçgenin yüksekliğidir. Normal üçgenin özelliklerine göre $$ BD=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a $$ Benzer şekilde, prizmanın tabanlarının diğer tüm köşegenlerinin uzunluklarının şu şekilde olduğu sonucuna varıyoruz: $\frac(\sqrt(3)) (2)\cdot a$'a eşittir.

$BD_1$'ı bulun

$DBD_1$ üçgeninde:

• $DB=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a$ - az önce öğrendiğimiz gibi
• $DD_1=h$
• $\angle BDD_1=90^(\circ)$ - çünkü $DD_1$ doğrusu $ABC$ düzlemine diktir

Böylece $DBD_1$ üçgeninin dik açılı olduğu ortaya çıkıyor. Dik üçgenin özelliklerine göre $$ BD_1=\sqrt(h^2+\frac(3)(4)\cdot a^2) $$ Eğer $h=a$ ise $$ BD_1=\frac(\ sqrt( 7))(2)\cdot a $$

$BC_1$'ı bulun

$CBC_1$ üçgeninde:

• $CB=a$
• $CC_1=h$
• $\angle BCC_1=90^(\circ)$ - çünkü $CC_1$ doğrusu $ABC$ düzlemine diktir

Böylece $CBC_1$ üçgeninin dik açılı olduğu ortaya çıkıyor. Bir dik üçgenin özelliklerine göre $$ BC_1=\sqrt(h^2+a^2) $$ Eğer $h=a$ ise, o zaman $$ BC_1=\sqrt(2)\cdot a $$ Benzer şekilde, şunu geliriz: prizmanın yan yüzlerinin tüm diğer köşegenlerinin uzunluklarının $\sqrt(h^2+a^2)$'ya eşit olduğu sonucuna varıyoruz.

Tüm okullarda lise öğrencileri, çeşitli mekansal figürlerin özelliklerini inceleyen stereometri dersi almaktadır. Bu makale, bu figürlerden birinin özelliklerini incelemeye ayrılmıştır. Düzenli üçgen prizmanın ne olduğuna bakalım.

Geometride prizma

Stereometriye göre, n paralelkenar ve iki özdeş n-gonal tabandan oluşan, n'nin pozitif bir tam sayı olduğu üç boyutlu bir şekildir. Her iki taban da paralel düzlemlerde bulunur ve paralelkenarlar yanlarını çiftler halinde tek bir şekil halinde birleştirir.

Herhangi bir prizma şu şekilde elde edilebilir: Düz bir n-gon alın ve onu kendisine paralel olarak başka bir düzleme taşıyın. N-gon'un köşelerini hareket ettirme sürecinde prizmanın yan kenarları olacak n parça çizilecektir.

Prizmalar dışbükey ve içbükey, düz ve eğik, düzenli ve düzensiz olabilir. Tüm bu figür türleri, tabandaki n-gonların şeklinin yanı sıra, uzunluğu prizmanın yüksekliği olan kendilerine dik olan bölüme göre konumları bakımından da birbirinden farklıdır. Aşağıdaki şekilde tabanda farklı sayıda köşeye ve yan yüz sayısına sahip bir prizma seti gösterilmektedir.

Düzenli üçgen prizma

Yukarıdaki fotoğraftaki ilk prizma düzenli bir üçgendir. İki özdeş eşkenar üçgen ve üç dikdörtgenden oluşur. Dikdörtgen paralelkenarın özel bir durumudur, dolayısıyla söz konusu şekil daha önce belirtilen stereometrik tanımı karşılamaktadır.

Beş yüzün yanı sıra her iki tabana ait altı köşe ve üçü yan olmak üzere dokuz kenardan oluşan bir üçgen prizma vardır.

Düzenli bir üçgen prizmanın önemli bir özelliği, yüksekliğinin yan kenarın uzunluğuyla çakışmasıdır. Tüm bu kenarlar birbirine eşittir ve yan dikdörtgenler tabanları dik açıyla keser. Tabanlar ve yan yüzler arasındaki düz çizgilerin, eğimli prizmanın paralelkenarlarının düz bir şekilde dikdörtgenler haline gelmesine neden olduğuna dikkat edin. Açıkçası, belirli kenar uzunluklarında dikdörtgenler kareye dönüşebilir.

Herhangi bir üç boyutlu şeklin önemli özellikleri yüzey alanı ve içerdiği alanın hacmidir. İncelenmekte olan prizma bir istisna değildir, o yüzden ayrıntılı özelliklerine bakalım.

Yüzey alanı

Düzenli bir üçgen prizmanın alanı, beş yüzünün tümünün alanlarından oluşur. Uzamsal figürlerin alanının bir düzlemde dikkate alınması ve incelenmesinin daha kolay olduğu bilinmektedir, bu nedenle bir prizma geliştirmenin yapılması uygundur. Aşağıda gösterilmiştir.

Gelişme, prizmada yüzler olan iki türden beş figürle temsil edilmektedir.

Tüm bu şekillerin alanını belirlemek için aşağıdaki gösterimi sunuyoruz: tabanın yan uzunluğunun a'ya ve yüksekliğin (yan kenarın uzunluğu) h'ye eşit olduğunu varsayıyoruz. Gösterimi dikkate alarak bir üçgenin alanını elde ederiz:

Bu formülü yazarken üçgenin alanı için standart ifade kullanıldı. Bir dikdörtgenin alanı:

Üçgen ve dikdörtgen sayısını hesaba katarak (yukarıdaki şemaya bakınız), incelenen geometrik şeklin toplam yüzey alanı için bir formül elde ederiz:

S = 2 × S 3 + 3 × S 4 = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h

Burada eşitliğin sağ tarafındaki ilk terim iki tabanın alanını tanımlar, ikinci terim ise yanal olanın yüzey alanını hesaplamanızı sağlar.

S için elde edilen formülün yalnızca düz düzgün üçgen prizma için geçerli olduğunu hatırlayın. Eğik bir şekil düşünüyor olsaydık S'nin ifadesi farklı bir biçime sahip olurdu.

Bir şeklin hacmini belirlemek için formül

Herhangi bir uzamsal şeklin hacmi, çokyüzlünün kenarlarıyla sınırlanan uzayın kısmıdır. Herhangi bir prizmanın hacmi, tabanının ve kenarlarının şekline bakılmaksızın aşağıdaki formülle belirlenebilir:

Yani istenilen hacim değerini elde etmek için bir tabanın alanını tüm şeklin yüksekliğiyle çarpmak yeterlidir.

Düzenli üçgen prizma durumunda V için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h

V'nin yazılı formülü ve önceki paragrafta S'nin ifadesi şeklin yalnızca iki parametresine bağlıdır: uzunluklar a ve h. Yani, yalnızca herhangi iki doğrusal parametreyi bilmek, incelenen prizmanın tüm özelliklerini hesaplamanıza olanak tanır.

Sorunun çözümü

Fizikte, spektrumun görünür bölgesindeki elektromanyetik akıyı incelemek amacıyla bir dizi frekansa ayrıştırmak için genellikle katı camdan yapılmış üçgen bir düzenli prizma kullanılır. Yüzey alanı 300 cm2 ve taban kenar uzunluğu 10 cm olan bir prizma yapmak için ne kadar cama ihtiyaç duyulacağını belirlemek gerekir.

İlk önce h prizmasının yüksekliğini belirliyoruz. S formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

S = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h =>

h = (S - √3 / 2 × a 2) / (3 × a) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7,11 cm

A ve h değerlerini bildiğimiz için prizmanın hacmini belirlemek için V formülünü kullanacağız:

V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 cm3

Dolayısıyla tarif edilen prizmayı yapmak için yaklaşık 308 cm3 cama ihtiyacınız olacaktır.

1. Küpün köşegenleri, içi yazılı ve çevreli kürelerin merkezi olan bir noktada kesişir.

2. Bir küpün etrafını saran kürenin yarıçapı eşittir.

3. Bir küpün içine yazılan kürenin yarıçapı eşittir .

Görevler

1. Küpün köşegeni . Hacmini bulun.

2. Bir küpün her kenarı 1 artırılırsa yüzey alanı 30 artar. Küpün kenarını bulun.

3. Kenarı 6 olan bir küpün içine bir top yazılmıştır. Kürenin hacmini bölü olarak bulun.

Cevap: 36.

4. Küpün köşegeni . Hacmini bulun.

Cevap: 27.

5. Küp yüzünün köşegeni . Hacmini bulun.

6. Bir küpün her kenarı 1 artırılırsa hacmi 19 birim artar. Küpün kenarını bulun.

7. Kenarları üçe katlanırsa küpün hacmi kaç kat artar?

Cevap: 27.

8. Küpün köşegeni 1'dir. Yüzey alanını bulun.

9. Küpün yüzey alanı 8'dir. Köşegenini bulun.

10. Bir küpün yüzünün köşegeni 3'tür. Yüzey alanını bulun.

Cevap: 27.

11. Küpün yüzey alanı 48'dir. Küpün yüzünün köşegenini bulun.

12. Küpün köşegeni . Hacmini bulun.

Cevap: 27.

13. Küpün yüzey alanı 24'tür. Hacmini bulun.

14. Bir küpün kenarı üç kat artırılırsa yüzey alanı kaç kat artar?

15. Küpün hacmi 27'dir. Yüzey alanını bulun.

Cevap: 54.

16. Küpün hacmi 12'dir. Bir köşeden çıkan ve aynı köşeden çıkan üçüncü kenara paralel iki kenarın orta noktalarından geçen bir düzlemle kendisinden kesilen üçgen piramidin hacmini bulun.

Cevap: 1.5.

Dikdörtgen paralel yüzlü

Yan kenarları tabana dikse ve tabanları dikdörtgen ise paralel yüzlü bir dikdörtgen olarak adlandırılır.

Dikdörtgen paralel borunun karşıt yüzleri eşit dikdörtgenlerdir.

Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeninin karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir .

Görevler

1. Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeni eşittir ve paralel yüzün yüzlerinin düzlemleriyle 30°, 45° ve 60° açı oluşturur. Paralelyüzün hacmini bulun.

Cevap: 4.5.

2. Taban yarıçapı ve yüksekliği 2'ye eşit olan bir silindirin çevresine dikdörtgen bir paralelyüz çevrelenmiştir. Paralelyüzün hacmini bulunuz.

3. Şekilde gösterilen tüm dihedral açıları 90°'ye eşit olan çokyüzlünün hacmini bulun.

Cevap: 7.

4. Dikdörtgen paralel borunun hacmi 24'e eşittir. Kenarlarından biri 3'e eşittir. Paralel borunun bu kenara dik olan yüzünün alanını bulun.

Cevap: 8.

5. Dikdörtgen bir paralel yüzün hacmi 60'dır. Yüzlerinden birinin alanı 12'dir. Paralel borunun bu yüze dik kenarını bulun.

Cevap: 5.

6. Aynı tepe noktasından uzanan dikdörtgen paralel yüzün iki kenarı 2, 4'e eşittir. Paralel yüzün köşegeni 6'ya eşittir. Paralel yüzün hacmini bulun.

Cevap: 32.

7. Bir köşeden uzanan dikdörtgen bir paralel yüzün kenarları 3, 4, 5'tir. Yüzey alanını bulun.

Cevap: 94.

8. Aynı köşeden gelen dikdörtgen paralel yüzün iki kenarı 3 ve 4'tür. Bu paralel yüzün yüzey alanı 52'dir. Aynı köşeden gelen üçüncü kenarı bulun.

Cevap: 2.

9. Aynı tepe noktasından uzanan dikdörtgen bir paralel yüzün iki kenarı 2, 4'tür. Paralel borunun köşegeni 6'dır. Paralel borunun yüzey alanını bulun.

10. Aynı tepe noktasından uzanan dikdörtgen bir paralel yüzün iki kenarı 1, 2'ye eşittir. Paralel borunun yüzey alanı 16'dır. Köşegenini bulun.

11. Yarıçapı 2 olan bir kürenin çevresine dikdörtgen bir paralelyüz çevrelenmiştir. Yüzey alanını bulun.

Cevap: 96.

12. Yarıçapı 2 olan bir kürenin çevresine dikdörtgen bir paralelyüz çevrelenmiştir. Hacmini bulun.

13. Bir kürenin etrafını saran dikdörtgen paralel yüzlü bir cismin hacmi 216'dır. Kürenin yarıçapını bulun.

Cevap: 3.

14. Bir kürenin çevrelediği dikdörtgen paralel yüzlü bir yüzeyin yüzey alanı 96'dır. Kürenin yarıçapını bulun.

Cevap: 2.

15. Dikdörtgen bir paralelyüzün yüzünün alanı 12'dir. Bu yüze dik olan kenar 4'tür. Paralelyüzün hacmini bulun.

Cevap: 48.

16. Aynı köşeden gelen dikdörtgen paralel yüzün iki kenarı 2 ve 6'dır. Paralel borunun hacmi 48'dir. Aynı köşeden gelen paralel yüzün üçüncü kenarını bulun.

Cevap: 4.

17. Dikdörtgen paralel yüzün bir köşeden gelen iki kenarı 2, 3'e eşittir. Paralel borunun hacmi 36'dır. Köşegenini bulun.

Cevap: 7.

Prizma

prizma

düz prizma

İki yüzü paralel düzlemlerde uzanan eşit çokgenler ve geri kalan yüzleri paralelkenar olan çokyüzlüye prizma denir.

Paralel düzlemlerde bulunan eşit çokgenlere prizma tabanları denir. Kalan yüzlere yan yüzler denir. Prizmanın yan yüzeyini oluştururlar. Prizmanın (L) tabanında ve yanlarında nervürler bulunmaktadır.

Yan kenarları prizmanın tabanlarına dik ise prizmaya düz prizma denir.

Üst tabandaki herhangi bir akımdan alt tabana düşen dikmeye prizmanın yüksekliği (H) denir.

Prizmanın adı prizmanın tabanındaki çokgene bağlıdır.

Prizmanın toplam yüzeyi, iki tabanın alanları ile yan yüzeyin alanının toplamına eşittir.

Prizmanın yan yüzeyi, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir.

(Ya da dik kesit çevresi ile prizmanın yan kenarının çarpımı ).

Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir.

(Ya da dik kesit alanı ile prizmanın yan kenarının çarpımı ).

Tabanında paralelkenar bulunan prizmaya paralelyüzlü denir.

Paralel borunun tüm zıt yüzleri eşit ve paraleldir. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve orada ikiye ayrılır. Köşegenlerin kesişme noktası paralel yüzün simetri merkezidir.

Tüm yüzleri dikdörtgen olan paralelyüzlülere küboid denir.

Kenarları eşit olan dikdörtgen paralel yüzlülere küp denir.

Sağ prizma (üçgen düzenli)

Yan kenarları tabanlara dik, tabanları düzgün üçgen olan prizma.

1. Yan yüzler - eşit dikdörtgenler

2. Taban tarafı

Görevler

1. Tüm kenarları eşit olan düzgün üçgen prizmanın hacmini bulun.

Cevap: 2.25.

2. Düzgün üçgen prizmanın hacmi 6'dır. Tabanının kenarları üç katına çıkarılır ve yüksekliği yarıya indirilirse prizmanın hacmi ne olur?

3. Düzgün üçgen prizmanın yüzey alanı 6'dır. Tüm kenarları üçe katlanırsa prizmanın yüzey alanı ne olur?

4. Düzgün üçgen prizma şeklindeki bir kaba 2300 cm3 su dökülüp parça suya batırıldı. Aynı zamanda su seviyesi de 25 cm'den 27 cm'ye yükseldi.

Parçanın hacmini bulun. Cevabınızı cm3 cinsinden ifade edin.

5. Düzenli üçgen prizma şeklindeki bir kaba su döküldü. Su seviyesi 80 cm'ye ulaşır Taban tarafı birincisinden 4 kat daha büyük olan benzer başka bir kaba dökülürse su seviyesi ne kadar yükseklikte olur? Cevabınızı cm cinsinden ifade ediniz.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlanan okul çocukları, düz ve düzenli bir prizmanın alanını bulma problemlerini mutlaka nasıl çözeceklerini öğrenmelidir. Uzun yıllara dayanan uygulama, birçok öğrencinin bu tür geometri görevlerinin oldukça zor olduğunu düşündüğünü doğrulamaktadır.

Aynı zamanda herhangi bir düzeyde eğitim almış lise öğrencilerinin düzgün ve düz bir prizmanın alanını ve hacmini bulabilmesi gerekmektedir. Ancak bu durumda Birleşik Devlet Sınavını geçme sonuçlarına göre rekabetçi puanlar almaya güvenebilecekler.

Hatırlanması Gereken Önemli Noktalar

• Bir prizmanın yan kenarları tabana dik ise buna düz çizgi denir. Bu şeklin tüm yan yüzleri dikdörtgendir. Düz bir prizmanın yüksekliği kenarıyla çakışır.
• Düzgün prizma, yan kenarları düzgün çokgenin bulunduğu tabana dik olan prizmadır. Bu şeklin yan yüzleri eşit dikdörtgenlerdir. Doğru prizma her zaman düzdür.

Shkolkovo ile birlikte birleşik devlet sınavına hazırlanmak başarınızın anahtarıdır!

Derslerinizi olabildiğince kolay ve etkili hale getirmek için matematik portalımızı seçin. Burada sertifikasyon testini geçmeye hazırlanmanıza yardımcı olacak gerekli tüm materyalleri bulacaksınız.

Shkolkovo eğitim projesinin uzmanları basitten karmaşığa gitmeyi öneriyor: önce teoriyi, temel formülleri, teoremleri ve temel problemleri çözümleri ile birlikte veriyoruz ve ardından yavaş yavaş uzman düzeyindeki görevlere geçiyoruz.

Temel bilgiler “Teorik Bilgiler” bölümünde sistematize edilmiş ve net bir şekilde sunulmuştur. Gerekli materyali zaten tekrarlamayı başardıysanız, dik prizmanın alanını ve hacmini bulma problemlerini çözme alıştırması yapmanızı öneririz. “Katalog” bölümü, farklı zorluk derecelerinde geniş bir egzersiz yelpazesi sunar.

Düz ve düzenli bir prizmanın alanını veya hemen şimdi hesaplamaya çalışın. Herhangi bir görevi analiz edin. Herhangi bir zorluk yaratmıyorsa uzman düzeyindeki egzersizlere güvenle geçebilirsiniz. Ve bazı zorluklar ortaya çıkarsa, Shkolkovo matematik portalı ile birlikte Birleşik Devlet Sınavına düzenli olarak çevrimiçi hazırlanmanızı öneririz; "Düz ve Düzenli Prizma" konulu görevler sizin için kolay olacaktır.