Benzer paydalara sahip kesirler nasıl eklenir? Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Toplama ve Çıkarma Problemleri

Konuyla ilgili 5. sınıf için Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd problem kitabından problem çözme:

§ 5. Sıradan kesirler:
26. Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Toplama ve Çıkarma

1005 5/16 kg domates ve 9/16 kg salatalıktan salata yapıldı. Salatanın kütlesi nedir?
ÇÖZÜM

1006 Makinenin kütlesi 73/100 t, ambalajının kütlesi 23/100 t. Makinenin ambalaj dahil kütlesini bulun.
ÇÖZÜM

1007 İlk gün parselin 2/7'sine, ikinci gün ise parselin 3/7'sine patates ekildi. Bu iki gün boyunca arsanın hangi kısmına patates ekildi?
ÇÖZÜM

1008 Bir tugay 7/10 ton, ikinci tugay ise 3/10 ton daha az çivi aldı. İkinci tugay kaç çivi aldı?
ÇÖZÜM

1009 İki gün içinde 10/11 tarlaları ekildi. İlk gün 4/11 tarlaları ekildi. İkinci gün tarlanın hangi kısmı ekildi?
ÇÖZÜM

1010 Deponun 3/5'i benzinle doldurulmuş, deponun 1/5'i varile dökülmüştür. Deponun hangi kısmı benzinle dolu kalıyor?
ÇÖZÜM

1012 İfadenin değerini bulun
ÇÖZÜM

1013 Sebze çiftliğinin 11 serasından 4'ünde domates, 2'sinde salatalık ekiliyor. Seraların hangi kısmı salatalık ve domates tarafından işgal ediliyor? Sorunu iki şekilde çözün.
ÇÖZÜM

1014 300 hektarlık alan orman ekimine ayrıldı. Parselin 3/10'una ladin, 4/10'una ise çam dikilmiştir. Ladin ve çam ağaçları birlikte kaç hektar kaplar?
ÇÖZÜM

1015 Ekip planın üzerinde 175 parça üretmeye karar verdi. İlk gün bu miktarın 9/25'ini, ikinci gün bu miktarın 13/25'ini üretti. Ekip bu iki günde kaç ürün üretti? Yapması gereken kaç eşyası kaldı?
ÇÖZÜM

Sebze çiftliğinin 1016 11/17 tarlasına patates ekildi. Tarlalara havuçtan 1/17 daha fazla salatalık, patatesten ise 8/17 daha az tarla ekilmektedir. Tarlanın hangi kısmına salatalık, hangi kısmına havuç ekilir? Tarlanın hangi kısmı patates, salatalık ve havuçla birlikte kaplanıyor?
ÇÖZÜM

1019 Çadırda 2 kental 70 kg meyve vardı. Elma tüm meyvelerin 5/9'unu, armut ise 1/9'unu oluşturuyordu. Elmanın kütlesi armutun kütlesinden ne kadar büyüktür? Sorunu iki şekilde çözün.
ÇÖZÜM

1020 Turist ilk gün tüm rotanın 5/14'ünü, ikinci gün ise 7/14'ünü yürüdü. Turistin bu iki gün boyunca 36 km yürüdüğü biliniyor. Turist rotasının tamamı kaç kilometre?
ÇÖZÜM

1021 Birinci öykü kitabın 5/13'ünü, ikinci öykü ise 2/13'ünü kapladı. İlk öykünün ikinciye göre 12 sayfa daha fazla yer kapladığı biliniyor. Kitabın tamamı kaç sayfadır?
ÇÖZÜM

1022 4/25 + 12/25= 16/25 eşitliğini kullanarak ifadenin değerlerini bulun ve denklemleri çözün
ÇÖZÜM

1024 260 kişi geziye çıkıyor. Her otobüsün 30'dan fazla yolcu taşımaması gerekiyorsa kaç otobüs sipariş edilmelidir?
ÇÖZÜM

1025 Bir çizgi parçası çizin. Daha sonra uzunluğu eşit olan bir çizgi parçası çizin
ÇÖZÜM

1026 A, B, C, D, E, M, K noktalarının koordinatlarını bulun (Şek. 128) ve bu koordinatları 1 ile karşılaştırın.
ÇÖZÜM

1027 ABC üçgeninin çevresini ve alanını hesaplayın (Şekil 129)
ÇÖZÜM

1030 x/15 kesirinin normal kesir ve 8/x kesirinin uygunsuz kesir olduğu tüm x değerlerini bulun.
ÇÖZÜM

1031 Payı 100'den büyük olan 3 doğru kesri adlandırın. Paydası 200'den büyük olan 3 bileşik kesri adlandırın.
ÇÖZÜM

1033 Uzunluğu 8 m, genişliği 6 m ve yüksekliği 12 m olan dikdörtgen bir paralel yüzün en büyük ve en küçük yüzlerinin alanlarının toplamını bulun.
ÇÖZÜM

1034 750 m viskon kumaş üretmek için 10 kg selüloz gerekmektedir. 1 m3 odundan 200 kg selüloz elde edilebilir. 20 m3 ahşaptan kaç metre viskon kumaş elde edilebilir?
ÇÖZÜM

1035 Şifreli kilidin altı düğmesi vardır. Açmak için düğmelere belirli bir sırayla basmanız ve bir kod girmeniz gerekir. Bu kilit için kaç kod seçeneği var?
ÇÖZÜM

1036 Denklemi çözün: a) (x - 111) · 59 = 11,918; b) 975(x - 615) = 12,675; c) (30,901 - a) : 605 = 51; d) 39.765: (b - 893) = 1205.
ÇÖZÜM

1037 Problemi çözün: 1) Ekilen 30 tohumdan 23'ü çimlendi.Ekilen tohumların hangi kısmı çimlendi? 2) Gölet üzerinde 40 kuğu yüzdü. Bunlardan 30'u beyazdı. Tüm kuğuların ne kadarı beyaz kuğuydu?
ÇÖZÜM

1038 İfadenin değerini bulun: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24,078 + 30,785); 2) (43 512-43 006) 805 - (48 987 + 297 305)
ÇÖZÜM

1039 İlk saatte yolun tamamının 5/17'si, ikinci saatte ise tüm yolun 9/17'si kardan temizlendi. Bu iki saat içinde yolun ne kadarı kardan temizlendi? Yolun hangi kısmı ilk saatte ikinci saate göre daha az temizlendi?
ÇÖZÜM

Birinci bebeğin elbisesinde 1040 6/25 m, ikinci bebeğin elbisesinde ise 9/25 m kumaş kullanıldı. Her iki elbise için ne kadar kumaş kullandınız? İkinci bebeğin elbisesinde birinci bebeğin elbisesine göre ne kadar daha fazla kumaş kullanıldı?

Bugün kesirler hakkında konuşacağız. Bu kelime birçok öğrenciye ne kadar da dehşet ilham ediyor ama boşuna... Kesirlerle çalışmak aslında o kadar da zor değil. Önemli olan kuralları anlamaktır. Bugün yapacağımız şey budur.

Maalesef, bu konu Matematik çalışmalarının en temellerinden biri olmasına rağmen birçok öğrenci için zayıf bir halkadır.

Öyleyse çözelim. Neden buna ihtiyaç duyulduğuyla başlayalım.

Hayatımızda, bir nesnenin tamamını belirli sayıda parçaya bölmenin gerekli olduğu durumlar vardır (hayatta - kesmek, kesmek, kırmak vb.). Örnek olarak pizzayı ele alalım:

Diyelim ki siz ve aileniz pizza sipariş ettiniz (veya istediğiniz gibi pişirdiniz). Ailenizde dört kişi var... Paylaşmanız gerekecek)) Ve büyük olasılıkla kimseyi rahatsız etmemek için pizzayı eşit parçalara bölmeye çalışacaksınız. Sonuç olarak, ailenizin her üyesi bir parça pizza alacaktır (ailenin geri kalanı gibi). Ve tam da bu durumda kesir kavramı bize yardımcı olacaktır. Kesrin payı pizzanın aldığınız kısmını, payda ise toplam parça sayısını (eşit parçalar) gösterecektir.

Pizzayı 6 eşit parçaya ya da 7 ya da 12 parçaya bölebilirsiniz.

Ve şimdi küçük bir teori:

• herhangi bir kesir, bir pay (kesir işaretinin üzerinde yazılan sayı) ve bir paydadan (kesir işaretinin altında yazılan sayı) oluşur;
• payda nesnenin kaç parçaya bölündüğünü, pay ise bu parçalardan kaçının bir amaç için alındığını gösterir.
• kesir gösterileri davranış alınan parçaların nesnenin toplam parça sayısına oranı.

Konuyu çalışırken (tekrarlarken) önerilen egzersizleri (simülatörleri) yapmanızı öneririm. Bu, bilginin pekiştirilmesine ve pratikte uygulama becerisinin kazanılmasına yardımcı olacaktır. Simülatörlerle bu makalede verildikleri sıraya göre çalışmanız tavsiye edilir.

Kesirlerin hayatımızda kullanımını öğrendik. Şimdi kesir türlerine bakalım. Ortak kesirler doğru veya yanlış olabilir...

Sadece ooh ve ahh yapmayın)) Daha da basit.

• doğru kesir, payı paydasından küçük olan kesirdir;
• yanlış Kesir, payı paydasından büyük olan kesirdir.

Yukarıda da söylediğim gibi kesirler (şimdi aynı paydalara sahip kesirlerden bahsediyoruz) karşılaştırılabilir. Bunun için paylarını karşılaştırmak gerekir(paydalar aynı...)

Pay ve payda aynıysa, o zaman tam bir nesne elde ettiğimizi fark ettiniz mi?))

Bu nedenle pay ve payda eşitse kesrin bire eşit olduğunu söylerler.

Ve bir tane daha önemli nokta: Umarım fark etmişsinizdir))) eğik çizgi simgesi “bölme” eylemi anlamına gelir. Ve sonra bir sayının kendisine bölünmesi durumunda sonucun bir olacağı tamamen anlaşılıyor. Ama burada kendimi aşıyorum ve kesirleri azaltmayla ilgili bir makalede bu konuyu daha detaylı konuşacağız...

Şimdi paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerine bakalım. Kural çok basittir: paydaları aynı olan kesirleri eklemek (çıkarmak) için paylarını eklemeniz (çıkarmanız) ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Son olarak bilgimizi bir testle test edelim. Bu testi ancak tüm görevleri doğru bir şekilde tamamlarsanız geçebilirsiniz. Ancak bu durumda konuya hakim olunduğunu söyleyebiliriz. Teste sonsuz sayıda girebilirsiniz. Testi ilk seferde %100 geçmiş olsanız bile, birkaç gün sonra bu sayfaya tekrar gelin ve bilginizi tekrar test edin. Bu yalnızca bilginizi güçlendirecek ve bu tür kesirlerle çalışma becerinizi geliştirecektir.

Not: Ancak elbette bu sadece kesirlerle ilgili değil, çünkü bunlar sadece sıradan değil, aynı zamanda ondalık sayıdır. Ve aynı zamanda karışık bir sayıda da ortaya çıkar (hem tamsayı hem de kesirli kısmın bulunduğu bir sayı)... Ama bunun hakkında daha fazla bilgiyi aşağıdaki makalelerde bulabilirsiniz. Kaçırma.

§ 87. Kesirlerin eklenmesi.

Kesirleri toplamanın tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terimlerin birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesinden oluşan bir eylemdir.

Üç durumu sırasıyla ele alacağız:

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
2. Kesirlerin eklenmesi farklı paydalar.
3. Karışık sayıların toplanması.

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.

Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5.

AB segmentini alalım (Şekil 17), bir olarak alalım ve 5 eşit parçaya bölelim, sonra bu segmentin AC kısmı AB segmentinin 1/5'ine eşit olacak ve aynı CD segmentinin kısmı şuna eşit olacaktır: 2/5 AB.

Çizimden, AD parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı açıktır; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani şunu yazabiliriz:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu terimler ve ortaya çıkan toplam dikkate alındığında, terimlerin paylarının eklenmesiyle toplamın payının elde edildiğini, paydanın ise değişmeden kaldığını görüyoruz.

Buradan anlıyoruz sonraki kural: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Bir örneğe bakalım:

2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.

Kesirleri toplayalım: 3/4 + 3/8 Öncelikle en küçük ortak paydaya indirilmeleri gerekiyor:

6/8 + 3/8 ara bağlantısı yazılamadı; Açıklık sağlamak için buraya yazdık.

Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için öncelikle bunları en küçük ortak paydaya indirgemeli, paylarını toplamalı ve ortak paydayı etiketlemelisiniz.

Bir örnek ele alalım (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörleri yazacağız):

3. Karışık sayıların eklenmesi.

Sayıları toplayalım: 2 3/8 + 3 5/6.

Öncelikle sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak bir paydada buluşturup yeniden yazalım:

Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekliyoruz:

§ 88. Kesirlerin çıkarılması.

Kesirlerde çıkarma işlemi, tam sayılarda çıkarma işlemiyle aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve bunlardan birinin toplamı verildiğinde başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Üç durumu sırasıyla ele alalım:

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
3. Karışık sayılarda çıkarma.

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Bir örneğe bakalım:

13 / 15 - 4 / 15

AB parçasını alalım (Şek. 18), bir birim olarak alalım ve 15 eşit parçaya bölelim; bu durumda bu parçanın AC kısmı AB'nin 1/15'ini temsil edecek ve aynı parçanın AD kısmı AB'nin 13/15'ine karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit başka bir ED parçasını bir kenara bırakalım.

4/15 kesrini 13/15'ten çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED bölümünün AD bölümünden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, AB segmentinin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:

Yaptığımız örnekte farkın payının paylar çıkarılarak elde edildiği ancak paydanın aynı kaldığı görülüyor.

Bu nedenle, paydaları benzer olan kesirlerde çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Örnek. 3/4 - 5/8

Öncelikle bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:

Ara madde 6/8 - 5/8 netlik sağlamak amacıyla buraya yazılmıştır, ancak daha sonra atlanabilir.

Bu nedenle, bir kesirden bir kesir çıkarmak için, önce onları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payını eksi payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı işaretlemeniz gerekir.

Bir örneğe bakalım:

3. Karışık sayılarda çıkarma.

Örnek. 10 3/4 - 7 2/3.

Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya indirelim:

Bir bütünden bir bütünü, bir kesirden bir kesri çıkardık. Ancak çıkarılanın kesirli kısmının eksilenin kesirli kısmından daha büyük olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, eksilen kısmın tamamından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve eksilen kısmın kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Daha sonra çıkarma işlemi önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilecektir:

§ 89. Kesirlerin çarpımı.

Kesir çarpmasını incelerken aşağıdaki soruları dikkate alacağız:

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
2. Verilen bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. Faiz kavramı.
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma. Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayıyla çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, her terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin bir toplamını oluşturmak anlamına gelir.

Bu, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunun şu şekilde yapılabileceği anlamına gelir:

Eylem aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesine indirgendiğinden sonucu kolayca elde ettik. Buradan,

Bu işlem dikkate alındığında, bir kesri bir tam sayı ile çarpmanın, bu kesri tam sayıdaki birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğu görülür. Ve bir kesirin arttırılması ya payının arttırılmasıyla elde edildiği için

veya paydasını azaltarak , eğer böyle bir bölme mümkünse, ya payı bir tamsayı ile çarpabiliriz ya da paydayı ona bölebiliriz.

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak için payı o tam sayıyla çarpar ve paydayı aynı bırakırsınız veya mümkünse paydayı bu sayıya bölerek payı değiştirmezsiniz.

Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

2. Verilen bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu problemlerin diğerlerinden farkı, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının, burada da belirli bir kesirle gösterilen kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür problemlere örnekler vereceğiz, ardından bunları çözmek için bir yöntem sunacağız.

Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1/3'ünü kitap almaya harcadım. Kitapların fiyatı ne kadardı?

Görev 2. Trenin A ve B şehirleri arasında 300 km'ye eşit mesafe kat etmesi gerekiyor. Zaten bu mesafenin 2/3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?

Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Toplamda kaç tane tuğla ev var?

Bunlar, belirli bir sayının bir kısmını bulmakta karşılaştığımız birçok sorundan bazılarıdır. Genellikle belirli bir sayının kesirini bulmaya yönelik problemler olarak adlandırılırlar.

Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1/3'ünü kitaplara harcadım; Bu, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerektiği anlamına gelir:

Sorunu çözme 2. Sorunun özü 300 km'nin 2/3'ünü bulmanız gerektiğidir. Önce 300'ün 1/3'ünü hesaplayalım; bu, 300 km'nin 3'e bölünmesiyle elde edilir:

300: 3 = 100 (yani 300'ün 1/3'ü).

300'ün üçte ikisini bulmak için elde edilen bölümü ikiye katlamanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:

100 x 2 = 200 (yani 300'ün 2/3'ü).

Sorunu çözme 3. Burada 400'ün 3/4'ünü oluşturan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,

400: 4 = 100 (bu 400'ün 1/4'ü).

400'ün dörtte üçünü hesaplamak için elde edilen bölümün üç katına çıkarılması, yani 3 ile çarpılması gerekir:

100 x 3 = 300 (yani 400'ün 3/4'ü).

Bu problemlerin çözümüne dayanarak aşağıdaki kuralı çıkarabiliriz:

Belirli bir sayıdan bir kesrin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü pay ile çarpmanız gerekir.

3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.

Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpımının aynı terimlerin toplamı olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmişti (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu paragrafta (1. nokta), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesire eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.

Her iki durumda da çarpma aynı terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.

Şimdi bir tam sayıyı kesirle çarpma işlemine geçiyoruz. Burada örneğin çarpma işlemiyle karşılaşacağız: 9 2/3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.

Bu nedenle çarpmanın yeni bir tanımını yapmamız, yani kesirle çarpmaktan ne anlaşılması gerektiği, bu eylemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecek.

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmanın anlamı aşağıdaki tanımdan açıkça anlaşılmaktadır: bir tamsayıyı (çarpan) bir kesirle (çarpan) çarpmak, çarpımın bu kesirini bulmak anlamına gelir.

Yani 9'u 2/3 ile çarpmak dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Önceki paragrafta bu tür sorunlar çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaşacağımızı anlamak kolaydır.

Ama şimdi ilginç bir durum var ve önemli soru: İlk bakışta neden böyleler? çeşitli eylemler toplam nasıl bulunur eşit sayılar Aritmetikte sayıların kesirlerini bulmakla aynı kelimeye "çarpma" denir mi?

Bunun nedeni, önceki eylemin (bir sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlamak) ve yeni eylemin (bir sayının kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden hareket ettiğimiz anlamına gelir.

Bunu anlamak için şu sorunu düşünün: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olur?

Bu sorun, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).

Aynı problemi ele alalım, ancak içindeki kumaş miktarı kesir olarak ifade edilecektir: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Bu kumaşın 3/4 metresi ne kadara mal olur?”

Bu sorunun ayrıca ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.

Sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez daha değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.

Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayıları farklı olduğundan, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma adını veriyoruz.

Bir tam sayıyı kesirle nasıl çarparsınız?

Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:

Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmamız gerekiyor. Önce 50'nin 1/4'ünü, sonra 3/4'ünü bulalım.

50'nin 1/4'ü 50/4;

50 sayısının 3/4'ü

Buradan.

Başka bir örneği ele alalım: 12 5/8 =?

12 sayısının 1/8'i 12/8'dir,

12 sayısının 5/8'i .

Buradan,

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için, tam sayıyı kesrin payıyla çarpıp bu çarpımı pay yapıp, bu kesrin paydasını da payda olarak imzalamanız gerekir.

Bu kuralı harfler kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.

Çarpma işlemini yapmadan önce (mümkünse) yapmanız gerektiğini hatırlamak önemlidir. indirimler, Örneğin:

4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tam sayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir, yani bir kesri bir kesirle çarparken, ilk kesirden (çarpan) faktörde bulunan kesri bulmanız gerekir.

Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak 3/4'ün yarısını bulmak demektir.

Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?

Bir örnek verelim: 3/4'ün 5/7 ile çarpılması. Bu, 3/4'ün 5/7'sini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Önce 3/4'ün 1/7'sini bulalım, sonra 5/7'yi bulalım.

3/4 sayısının 1/7'si şu şekilde ifade edilecektir:

5/7 sayısı 3/4 şu şekilde ifade edilecektir:

Böylece,

Başka bir örnek: 5/8'in 4/9 ile çarpılması.

5/8'in 1/9'u,

5/8 sayısının 4/9'u .

Böylece,

Bu örneklerden şu kural çıkarılabilir:

Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.

Bu kural Genel görünümşu şekilde yazılabilir:

Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmak gerekir. Örneklere bakalım:

5. Karışık sayıların çarpımı.Çünkü karışık sayılar Kolayca yanlış kesirlerle değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle tam sayılı kesirlerle çarpılırken kullanılır. Bu, çarpanın veya çarpanın veya her ikisinin de karışık sayı olarak ifade edildiği durumlarda bunların yerine bileşik kesirlerin kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin karışık sayıları çarpalım: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini dönüştürelim doğru kesir ve sonra ortaya çıkan kesirleri, bir kesri bir kesirle çarpma kuralına göre çarpacağız:

Kural. Tamsayılı sayıları çarpmak için, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, ardından kesirleri kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Not. Faktörlerden biri tam sayı ise, dağıtım kanununa göre çarpma işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir:

6. Faiz kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türlü kesiri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin sadece herhangi birine değil, doğal bölünmelere de izin verdiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bu bir kopek olacaktır, iki yüzde biri 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Bir rublenin 1/10'unu alabilirsiniz, "10 kopek veya on kopeklik bir parça olacaktır. Çeyrek ruble yani 25 kopek, yarım ruble yani 50 kopek (elli kopek) alabilirsiniz. Ama pratikte almıyorlar, örneğin rublenin 2/7'sini çünkü ruble yedide birine bölünmemiş.

Ağırlık birimi, yani kilogram, öncelikle ondalık bölmelere izin verir, örneğin 1/10 kg veya 100 g. Ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/13 gibi kesirleri yaygın değildir.

Genel olarak (metrik) ölçülerimiz ondalıktır ve ondalık bölmelere izin verir.

Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda aynı (tek tip) miktarları alt bölümlere ayırma yöntemini kullanmanın son derece yararlı ve kullanışlı olduğu unutulmamalıdır. Uzun yıllara dayanan deneyim, böylesine haklı bir bölünmenin “yüzüncü” bölünme olduğunu göstermiştir. İnsan pratiğinin çok çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatının 12/100'ü kadar düştü.

Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 rubleydi. 1 ruble azaldı. 20 kopek

2. Tasarruf bankaları, yıl içinde tasarruf için yatırılan tutarın 2/100'ünü mevduat sahiplerine öder.

Örnek. Kasaya 500 ruble yatırılıyor, bu tutardan yıllık gelir 10 ruble.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.

ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci vardı ve bunların 60'ı mezun oldu.

Bir sayının yüzde birlik kısmına yüzde denir.

"Yüzde" kelimesi ödünç alınmıştır. Latin dili ve kökü "cent" yüz anlamına gelir. Bu kelime (pro centum) edatıyla birlikte “yüz için” anlamına gelir. Böyle bir ifadenin anlamı, başlangıçta Antik Roma Faiz, borçlunun borç verene “yüzde bir” ödediği paraydı. "Yüzde" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre diyelim).

Örneğin, geçen ay fabrikanın ürettiği tüm ürünlerin 1/100'ünün kusurlu olduğunu söylemek yerine şunu söyleyeceğiz: fabrika geçen ay yüzde 1 kusur üretti. Fabrika belirlenen plandan 4/100 daha fazla ürün üretti demek yerine fabrika planı yüzde 4 oranında aştı diyeceğiz.

Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında düştü.

2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, tasarruflara yatırılan tutar üzerinden yılda yüzde 2 oranında ödeme yapar.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı tüm okul öğrencilerinin yüzde 5'iydi.

Harfi kısaltmak için “yüzde” kelimesi yerine % sembolü yazmak adettendir.

Ancak hesaplamalarda % işaretinin genellikle yazılmadığını, problem ifadesinde ve nihai sonuçta yazılabileceğini unutmamalısınız. Hesaplama yaparken bu sembolle tam sayı yerine paydası 100 olan kesir yazmanız gerekmektedir.

Belirtilen simgeye sahip bir tam sayıyı, paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:

Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine belirtilen simgeye sahip bir tam sayı yazmaya alışmanız gerekir:

7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma.

Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m2 yakacak odun, huş ağacı yakacak odunu %30'dur. Orada ne kadar huş ağacı odunu vardı?

Bu sorunun anlamı, okula teslim edilen yakacak odunun yalnızca bir kısmını huş ağacı odununun oluşturması ve bu kısmın 30/100 kesiriyle ifade edilmesidir. Bu, bir sayının kesirini bulma görevimiz olduğu anlamına gelir. Bunu çözmek için 200'ü 30/100 ile çarpmamız gerekir (bir sayının kesirini bulma problemleri, sayının kesirle çarpılmasıyla çözülür.).

Bu, 200'ün %30'unun 60'a eşit olduğu anlamına gelir.

Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10'a kadar azaltılabilir. Bu azaltmayı en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmeyecekti.

Görev 2. Kampta çeşitli yaşlarda 300 çocuk vardı. 11 yaşındaki çocuklar %21, 12 yaşındaki çocuklar %61 ve 13 yaşındaki çocuklar ise %18'i oluşturdu. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?

Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekir; yani sırayla 11 yaşında, sonra 12 yaşında ve son olarak 13 yaşında olan çocukların sayısını bulmanız gerekir.

Bu, burada sayının kesirini üç kez bulmanız gerekeceği anlamına gelir. Hadi yapalım:

1) Orada 11 yaşında kaç çocuk vardı?

2) Orada 12 yaşında kaç çocuk vardı?

3) Orada 13 yaşında kaç çocuk vardı?

Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları eklemekte fayda var; toplamları 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Ayrıca problem tanımında verilen yüzdelerin toplamının 100 olduğunu da belirtelim:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu durum kamptaki toplam çocuk sayısının %100 olarak alındığını göstermektedir.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1.200 ruble alıyordu. Bunun %65'ini gıdaya, %6'sını apartman ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara ve %15'ini tasarrufa harcadı. Sorunda belirtilen ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

Bu soruyu çözmek için 1.200'ün kesirini 5 kere bulmanız gerekiyor.

1) Gıdaya ne kadar para harcandı? Sorun diyor ki bu gider toplam kazancın %65'i, yani 1.200 sayısının 65/100'ü. Hesaplamayı yapalım:

2) Isıtmalı bir daireye ne kadar para ödediniz? Bir öncekine benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki hesaplamaya ulaşıyoruz:

3) Gaz, elektrik ve radyoya ne kadar para ödediniz?

4) Kültürel ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

5) İşçi ne kadar para biriktirdi?

Kontrol etmek için bu 5 soruda bulunan sayıları toplamakta fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır; bu, sorun bildiriminde verilen yüzde sayıları toplanarak kolayca kontrol edilebilir.

Üç sorunu çözdük. Bu sorunlar farklı konularla ilgili olmasına rağmen (okula yakacak odun sağlanması, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin masrafları) aynı şekilde çözüldü. Bunun nedeni, tüm problemlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmanın gerekli olmasıdır.

§ 90. Kesirlerin bölünmesi.

Kesirlerde bölme işlemini incelerken aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
5. Karışık sayıların bölümü.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.

Tamsayılar bölümünde belirtildiği gibi bölme, iki faktörün (temettü) ve bu faktörlerden birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir faktörün bulunmasından oluşan eylemdir.

Tam sayılar bölümünde bir tam sayının bir tam sayıya bölünmesi konusunu inceledik. Burada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya “tamamen” (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve 1 kalan). Bu nedenle tamsayılar alanında tam bölmenin her zaman mümkün olmadığını söyleyebiliriz, çünkü bölen her zaman tamsayıya göre bölenin ürünü değildir. Bir kesirle çarpmayı tanıttıktan sonra, tam sayıların her türlü bölünmesini mümkün görebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).

Örneğin 7'yi 12'ye bölmek, 12 ile çarpımı 7 olacak bir sayı bulmak anlamına gelir. Böyle bir sayı 7/12 kesiridir çünkü 7/12 12 = 7. Başka bir örnek: 14: 25 = 14/25, çünkü 14/25 25 = 14.

Dolayısıyla bir tam sayıyı bir tam sayıya bölmek için payı bölene, paydası bölene eşit olan bir kesir oluşturmanız gerekir.

2. Bir kesri tam sayıya bölmek.

6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre, elimizde (6/7) çarpımı ve (3) çarpanlarından biri var; 3 ile çarpıldığında verilen çarpımı 6/7 verecek ikinci bir çarpan bulmak gerekir. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olması gerekir. Bu, bize verilen görevin 6/7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına geliyor.

Bir kesri azaltmanın payını azaltarak ya da paydasını artırarak yapılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:

İÇİNDE bu durumda 6'nın payı 3'e bölünebildiğinden payın yarıya indirilmesi gerekir.

Başka bir örnek verelim: 5/8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayıyla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Buna dayanarak şöyle bir kural yapılabilir: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(Eğer mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya kesrin paydasını aynı payda bırakarak bu sayıyla çarpın.

3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.

5'i 1/2'ye bölmek gerekli olsun, yani 1/2 ile çarpıldığında 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. 1/2 tam kesir olduğundan bu sayının 5'ten büyük olması gerektiği açıktır. ve bir sayıyı çarparken uygun bir kesrin çarpımı çarpılacak çarpımdan küçük olmalıdır. Bunu daha açık hale getirmek için eylemlerimizi şu şekilde yazalım: 5: 1/2 = X bu da x 1/2 = 5 anlamına gelir.

Böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpılırsa 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğinden, bilinmeyen sayının 1/2'si olur. X 5'e eşittir ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 = 10.

Yani 5: 1/2 = 5 2 = 10

Hadi kontrol edelim:

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 6'yı 2/3'e bölmek istiyorsunuz. Öncelikle çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şekil 19).

Şekil 19

6 birime eşit bir AB doğru parçası çizelim ve her birimi 3 eşit parçaya bölelim. Her birimde, tüm AB segmentinin üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani. e.18/3. Küçük parantezler kullanarak sonuçta ortaya çıkan 2'lik 18 parçayı birleştiriyoruz; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesirinin 6 birimde 9 kez yer alması, yani 2/3 kesirinin 6 tam birimden 9 kat eksik olması anlamına gelir. Buradan,

Yalnızca hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonucu nasıl elde edebilirim? Şöyle mantık yürütelim: 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor, yani 6'da 2/3'ün kaç katı var sorusuna cevap vermemiz gerekiyor. Önce şunu bulalım: 6'da 1/3'ün kaç katı var? Bütün bir birimde üçte üç var ve 6 birimde 6 kat daha fazla, yani üçte 18 var; Bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmamız gerekir. Bu, 1/3'ün b birimlerinde 18 kez, 2/3'ün b birimlerinde 18 kez değil yarısı kadar olduğu anlamına gelir, yani 18: 2 = 9 Bu nedenle 6'yı 2/3'e bölerken şunu yaptık:

Buradan bir tam sayıyı kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tam sayıyı kesire bölmek için, bu tam sayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak, verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, bir sayıyı § 38'de belirtilen bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır. Lütfen aynı formülün orada da elde edildiğini unutmayın.

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

4. Bir kesri bir kesire bölmek.

Diyelim ki 3/4'ü 3/8'e bölmemiz gerekiyor. Bölünme sonucu elde edilen sayı ne anlama gelecektir? 3/4 kesrinin içinde 3/8 kesirinin kaç katı yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).

Bir AB parçasını alalım, onu bir olarak alalım, 4 eşit parçaya bölelim ve bu tür 3 parçayı işaretleyelim. AC segmenti AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi dört orijinal parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçaların her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacak. Bu tür 3 parçayı yaylarla birleştirelim, o zaman AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit bir parçanın, 3/4'e eşit bir parça içinde tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Bu, bölme sonucunun şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 15/16'yı 3/32'ye bölmemiz gerekiyor:

Şöyle mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldığında 15/16 sonucunu verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 bilinmeyen numara X 15/16

Bilinmeyen bir sayının 1/32'si X dır-dir ,

32 / 32 sayıları X makyaj yapmak .

Buradan,

Dolayısıyla bir kesri bir kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız, birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay yapmanız gerekir, ve ikincisi payda.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

5. Karışık sayıların bölümü.

Tam sayılı kesirleri bölerken, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeli, sonra elde edilen kesirleri bölme kurallarına göre bölmelisiniz. kesirli sayılar. Bir örneğe bakalım:

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:

Şimdi bölelim:

Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralını kullanarak bölmeniz gerekir.

6. Verilen kesirden bir sayı bulma.

Çeşitli kesir problemleri arasında bazen bilinmeyen bir sayının bir kesirinin değerinin verildiği ve bu sayıyı bulmanız gereken problemler vardır. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı veriliyordu ve bu sayının bir kesrini bulmak gerekiyordu, burada bir sayının kesri veriliyordu ve bu sayıyı kendisinin bulması gerekiyordu. Bu tür bir sorunu çözmeye yönelirsek bu fikir daha da netleşecektir.

Görev 1.İlk gün camcılar, inşa edilen evin pencerelerinin 1/3'ü kadar olan 50 pencereyi camla kapladılar. Bu evde kaç pencere var?

Çözüm. Sorun, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.

Evin 150 penceresi vardı.

Görev 2. Mağazada 1.500 kg un satıldı; bu da mağazanın sahip olduğu toplam un stoğunun 3/8'i anlamına geliyor. Mağazanın ilk un tedariki neydi?

Çözüm. Sorunun koşullarından, satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu açıktır; Bu, bu rezervin 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani. hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:

1.500: 3 = 500 (bu, rezervin 1/8'idir).

Açıkçası, arzın tamamı 8 kat daha büyük olacak. Buradan,

500 8 = 4.000 (kg).

Mağazadaki ilk un stoğu 4.000 kg idi.

Bu problem dikkate alındığında aşağıdaki kural elde edilebilir.

Kesirinin belirli bir değerinden bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.

Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, özellikle sonuncusunda açıkça görüldüğü gibi, iki eylemle çözülür: bölme (bir parça bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).

Ancak kesirlerde bölme işlemini öğrendikten sonra yukarıdaki problemleri tek bir hareketle, yani kesre bölmeyle çözebiliriz.

Örneğin, son görev şu şekilde tek bir eylemle çözülebilir:

Gelecekte, bir sayıyı kesirinden bulma problemlerini tek eylemle - bölmeyle çözeceğiz.

7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bu problemlerde o sayının yüzde birkaçını bilen bir sayı bulmanız gerekecektir.

Görev 1. Bu yılın başında tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce tasarrufa koyduğum miktardan elde edilen gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda %2 getiri sağlıyor.)

Sorunun asıl noktası, bir tasarruf bankasına belli bir miktar para yatırıp orada bir yıl kalmamdır. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü kadar gelir. Ne kadar para yatırdım?

Sonuç olarak, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir olarak) ifade edilen kısmını bildiğimizde, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmamız gerekir. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki problemler bölme işlemiyle çözülür:

Bu, tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldığı anlamına geliyor.

Görev 2. Balıkçılar iki haftada aylık planı %64 ​​oranında yerine getirerek 512 ton balık topladı. Planları neydi?

Sorunun koşullarından balıkçıların planın bir kısmını tamamladığı biliniyor. Bu kısım 512 tona yani planın %64'üne tekabül ediyor. Plana göre kaç ton balığın hazırlanması gerektiğini bilmiyoruz. Bu numarayı bulmak sorunun çözümü olacaktır.

Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:

Bu da plana göre 800 ton balığın hazırlanması gerektiği anlamına geliyor.

Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçtiğinde yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolculuğun ne kadarını kat ettiklerini sordu. Bunun üzerine kondüktör şu yanıtı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe ne kadar?

Sorunlu koşullardan Riga'dan Moskova'ya olan güzergahın %30'unun 276 km olduğu açıktır. Bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını yani bu kısım için bütünü bulmamız gerekiyor:

§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.

2/3 kesirini alıp paydanın yerine pay koyarsak 3/2 elde ederiz. Bu kesrin tersini aldık.

Belirli bir kesrin tersi olan bir kesir elde etmek için, payını paydanın yerine, paydayı da payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersini alabiliriz. Örneğin:

3/4, ters 4/3; 5/6, ters 6/5

Birincinin payının ikincinin paydası ve birincinin paydasının ikincinin payı olması özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı olarak ters.

Şimdi 1/2'nin tersinin ne olacağını düşünelim. Açıkçası 2/1 veya sadece 2 olacak. Verilen kesrin ters kısmını arayarak bir tam sayı elde ettik. Ve bu durum münferit bir durum değil; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklı sayılar tamsayı olacaktır, örneğin:

1/3, ters 3; 1/5, ters 5

Karşılıklı kesirleri bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, bundan sonra karşılıklı kesirlerden değil, karşılıklı sayılar.

Bir tam sayının tersinin nasıl yazılacağını bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülebilir: paydayı payın yerine koymanız gerekir. Aynı şekilde herhangi bir tam sayının paydası 1 olabileceği için bir tam sayının tersini de alabilirsiniz. Bu da 7'nin tersinin 1/7 olacağı anlamına gelir, çünkü 7 = 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10 olacaktır, çünkü 10 = 10/1

Bu fikir farklı şekilde ifade edilebilir: Belirli bir sayının tersi, birinin belirli bir sayıya bölünmesiyle elde edilir. Bu ifade sadece tam sayılar için değil kesirler için de geçerlidir. Hatta 5/9 kesrinin tersini yazmamız gerekirse 1 alıp 5/9'a bölebiliriz yani.

Şimdi bir şeye dikkat çekelim mülk bizim için yararlı olacak karşılıklı sayılar: karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:

Bu özelliği kullanarak karşılıklı sayıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. Diyelim ki 8'in tersini bulmamız gerekiyor.

Bunu harfle belirtelim X , sonra 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8. 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım ve onu harfiyle gösterelim. X , sonra 7/12 X = 1, dolayısıyla X = 1: 7/12 veya X = 12 / 7 .

Kesirleri bölmeyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.

6 sayısını 3/5'e böldüğümüzde şunu yaparız:

Lütfen öde Özel dikkat ifadeye getirin ve onu verilen ifadeyle karşılaştırın: .

İfadeyi öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı alırsak, o zaman nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmek veya 6'yı 5/3 ile çarpmak. Her iki durumda da aynı şey olur. Bu nedenle söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmek, bölenin tersiyle çarpılmasıyla değiştirilebilir.

Aşağıda vereceğimiz örnekler bu sonucu tamamen doğrulamaktadır.

Herkese açık ders

matematik 6b sınıfında (telafi sınıfı) VIII tür)

konuyla ilgili:

Kesirleri Ekleme

aynı paydalarla.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Ders türü: ders - peri masalı.

Sınıf: 6.7 "B".

Hedefler:

Öğrencilere paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerini tanıtmak;

Görevler:

Düzeltici - eğitici:

Paydaları benzer olan kesirleri toplama konusunda beceriler geliştirin;

Düzeltici - gelişimsel:

Mantıksal gelişimi düzeltin ve matematiksel düşünme paydaları benzer olan kesirleri toplama algoritmasını okurken ve bir defterde yazılı çalışma yaparken;

Standart olmayan durumlarda görevleri tamamlayarak öğrencilerin bilişsel aktivite gelişiminin düzeltilmesi;

Dikkat ve öz kontrol becerilerini geliştirin.

Düzeltici ve eğitici:

Yaşam ve uygulamayla olan bağlantılara dayalı olarak konuya ilgi uyandırın;

Matematiksel bir konuşma kültürünün oluşumu ( doğru telaffuz kesirler);

Benlik saygısı becerilerini geliştirin;

Dersler sırasında

Organizasyon An.

1.Tebrik

"Sizi gördüğüme sevindim çocuklar. Nasıl hissediyorsun? Unutmayın, eğer bir şey zor görünüyorsa ve yolunda gitmiyorsa, o zaman bu sorun değildir, her şeyi birlikte öğreneceğiz!

2. çalışmaya hazırlanmak

Arkadaşlar derse hazır mısınız?

Size güveniyorum arkadaşlar!

Sen iyi ve arkadaş canlısı bir sınıfsın

Bizim için her şey yoluna girecek!

Bugünkü dersimiz alışılmışın dışında; sizi bildiğimiz ve sevdiğimiz bir masalda yolculuğa çıkaracağız.

Dünyada birçok masal var

Hüzünlü ve komik.

Ve dünyada yaşa

Onlar olmadan yaşayamayız!

Masal kahramanları olsun

Bize sıcaklık veriyorlar

iyilik daim olsun

Kötülük kazanır!

Sözlü sayma.

İÇİNDE Çok Uzak Krallık orada bir Çar ve kızı Bilge Vasilisa yaşıyordu ve Otuzuncu Eyalet'te Çareviç İvan yaşıyordu. Bu arada, tahtada hangi sayıyı görüyorsun? Sana yardım edeyim:

Herkes bir mil öteye gidebilir

Kesirliye bakın çizgi.

Çizginin üstünde – pay , Bilmek,

Çizginin altında - payda.

Kesinlikle böyle bir kısım

aramalısın sıradan.

Ancak kral, Vasilisa'yı tanıştığı ilk kişiye vermek istemedi. Ivan'a baş edemeyeceği bir görev vermeye karar verdi. Ve Ivan'a şöyle diyor: "Oraya git - nereye bilmiyorum, bunu getir, ne olduğunu bilmiyorum." Ivan gerildi, üzüldü ve aramaya başladı. Ama nereye gitmeli, nereye bakmalı?

Ivan, Gri Kurt ile birlikte yola çıktı. Önce Baba Yaga'ya dönmeye karar verdiler. Ve Baba Yaga bir görev hazırladı.

Sözlü hesaplama görevleri. Ama arkadaşlar, Ivan Tsarevich matematikte iyi değildi, ona yardım etmeli miyiz?

Kesrin payını ve paydasını belirtin

Pay neyi gösteriyor, payda neyi gösteriyor? (Payda kaç hisseye bölündüğünü, pay ise kaç hisse alındığını gösterir.)

Kesirlerin karşılaştırılması:

ve 1 ve ve 1

Ve
5/5 ve
Ve .

Aferin, görevi tamamladın. Şimdi sihirli topu ölümsüz Koshchei'ye kadar takip edelim.

III. Temel bilgilerin güncellenmesi.

Kesirli sayılardan oluşan bir labirentten geçerek Koshchei'ye ulaşmanız gerekiyor.

Bu kesirleri iki satıra yazın: ,, , , , . Doğru: , , .

Yanlış: , , .

Aferin, bu görevi de tamamladın.

Böylece Ivan'ın sihirli topu getirildi ve Gri Kurt Koshchei'ye. Koschey şöyle diyor: “Burada yalnız yaşamaktan sıkıldım ama beni eğlendirirseniz yardımcı olurum. Görevlerimi tamamla."

1. Görev No.1 . Fiziksel egzersiz.

Fizminutka :

Ayı inden çıktı.

Bacaklarını bir iki kez kaldırdı.

Oturup ayağa kalktı. Oturup ayağa kalktı.

Pençelerini arkasına koydu.

Sendeledi, döndü

Ve biraz uzandı.

1. Yarıçaplı bir daire çizinR=2cm.

2. Üzerini boyayın

daire - sarı

daire - mavi.

Dairenin hangi kısmının gölgeli olduğunu, hangi kısmının gölgesiz olduğunu yazın.

Gölgeli- __________

Üzeri boyanmamış - _________

Sayı oluşturmak için eylem işaretlerini nasıl kullanabileceğinizi düşünün Ve , numarayı al . A ?

Dinlendik, oturduk ve işe koyulduk.

Görev No.2. Kart No. 1 (Sorun görevi).

Peki bugün sınıfta ne yapacağız? “Paydaları aynı olan kesirlerde toplama ve çıkarma” dersinin numarasını ve konusunu defterlerimize yazalım. Amacımız aynı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma yapmayı öğrenmektir. Bir örneğe bakalım:

Benzer paydalara sahip kesirleri toplama algoritması : Paydaları benzer olan kesirleri eklemek veya çıkarmak için paylarını toplayın veya çıkarın ve paydayı aynı bırakın.

VI. Öğrencilerin beceri ve yeteneklerinin oluşumu.

Böylece sihirli top Ivan ve Gri Kurt'u Yılan Gorynych'e getirdi. Bir kutu tutuyordu ve kimse içinde ne olduğunu bilmiyordu. Ancak Yılan Gorynych kutuyu öylece Ivan'a vermeyecektir. Ivan Tsarevich'e yardım etmemiz gerekiyor ve bunun için herkesin bağımsız çalışması gerekiyor ve bağımsız çalışmaya yönelik görevler kutunun içinde (kutuya gidip görevleri alıyorlar). 2 No'lu Kart ( bağımsız iş). Görevleri tamamladığınızda, siz ve ben cevapları kontrol edeceğiz ve Ivan Tsarevich'e yardım edip etmediğimizi öğreneceğiz.

Not defterlerinde çalışın:Ev ödevi : Başka bir masaldan bir problem çözün.

Ders özeti. Derecelendirme.

Yani masal burada bitiyor. Söylesene bugün ne yaptık? Kuralı bir kez daha tekrarlayalım.

Bugünkü ders bitti

Ancak herkesin şunu bilmesi gerekir:

Bilgi, azim ve çalışma,
Sizi hayatta başarıya götürecekler!

VI . Refleks.

Arkadaşlar dersi beğendiniz mi? Uygun ifadeyi seçin ve tahtaya yapıştırın. Ders için teşekkür ederim. Güle güle

Kesirler sıradan sayılardır ve ayrıca toplanıp çıkarılabilirler. Ancak bir payda içerdikleri için daha fazlası karmaşık kurallar tam sayılara göre.

Aynı paydalara sahip iki kesirin olduğu en basit durumu ele alalım. Daha sonra:

Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, ikincinin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı tekrar değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Her ifadede kesirlerin paydaları eşittir. Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılmasının tanımı gereği şunu elde ederiz:

Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey değil: sadece payları topluyoruz veya çıkarıyoruz, hepsi bu.

Ancak bu kadar basit eylemlerde bile insanlar hata yapmayı başarırlar. Çoğu zaman unutulan şey ise paydanın değişmediğidir. Örneğin, onları eklerken onlar da toplanmaya başlar ve bu temelde yanlıştır.

Kurtulmak Kötü alışkanlık Paydaları eklemek oldukça basittir. Çıkarırken de aynı şeyi deneyin. Sonuç olarak payda sıfır olacak ve kesir (birdenbire!) anlamını yitirecektir.

Bu nedenle, bir kez daha şunu unutmayın: toplama ve çıkarma sırasında payda değişmez!

Pek çok kişi birkaç negatif kesri toplarken de hata yapar. İşaretlerle ilgili bir kafa karışıklığı var: eksi nereye koyulmalı ve artı nereye koyulmalı.

Bu sorunun çözümü de oldukça kolaydır. Kesir işaretinden önceki eksi her zaman paya aktarılabilir - ve bunun tersi de geçerlidir. Ve elbette iki basit kuralı da unutmayın:

1. Artı eksi eksi verir;
2. İki olumsuz bir olumlu yapar.

Tüm bunlara belirli örneklerle bakalım:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

İlk durumda her şey basit ama ikincisinde kesirlerin paylarına eksileri ekleyelim:

Paydalar farklıysa ne yapmalı

Paydaları farklı olan kesirleri doğrudan ekleyemezsiniz. En azından bu yöntem benim için bilinmiyor. Ancak orijinal kesirler her zaman paydaları aynı olacak şekilde yeniden yazılabilir.

Kesirleri dönüştürmenin birçok yolu vardır. Bunlardan üçü “Kesirleri ortak paydaya indirgemek” dersinde tartışıldığı için burada bunlar üzerinde durmayacağız. Bazı örneklere bakalım:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

İlk durumda, "çapraz-çapraz" yöntemini kullanarak kesirleri ortak bir paydaya indiriyoruz. İkincisinde NOC'yi arayacağız. 6 = 2 · 3 olduğuna dikkat edin; 9 = 3 · 3. Bu açılımlardaki son çarpanlar eşittir ve ilk çarpanlar göreceli olarak asaldır. Dolayısıyla LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Bir kesrin tamsayı kısmı varsa ne yapmalı

Sizi memnun edebilirim: Kesirlerdeki farklı paydalar en büyük kötülük değildir. Fazla daha fazla hata kesir terimlerinde bir tamsayı kısmı izole edildiğinde ortaya çıkar.

Elbette bu tür kesirler için kendi toplama ve çıkarma algoritmaları vardır ancak bunlar oldukça karmaşıktır ve uzun bir çalışma gerektirir. Daha iyi kullanım basit diyagram, aşağıda verilen:

1. Tamsayı kısmı içeren tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Yukarıda tartışılan kurallara göre hesaplanan normal terimleri (farklı paydalarla bile) elde ederiz;
2. Aslında, ortaya çıkan kesirlerin toplamını veya farkını hesaplayın. Sonuç olarak cevabı pratik olarak bulacağız;
3. Eğer problemde gerekli olan tek şey buysa, ters dönüşümü gerçekleştiririz, yani. Bütün kısmı vurgulayarak uygunsuz bir kesirden kurtuluyoruz.

Uygunsuz kesirlere geçme ve tüm parçayı vurgulama kuralları “Sayısal kesir nedir” dersinde ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Eğer hatırlamıyorsanız mutlaka tekrarlayınız. Örnekler:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Burada her şey basit. Her ifadenin içindeki paydalar eşittir, dolayısıyla geriye kalan tek şey tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek ve saymaktır. Sahibiz:

Hesaplamaları basitleştirmek için son örneklerde bazı belirgin adımları atladım.

Vurgulanan kesirlerin çıkarıldığı son iki örnek hakkında küçük bir not Bütün parça. İkinci kesirden önceki eksi, kesrin yalnızca tamamının değil tamamının çıkarıldığı anlamına gelir.

Bu cümleyi tekrar okuyun, örneklere bakın ve üzerinde düşünün. Yeni başlayanların çok sayıda hata yaptığı yer burasıdır. Bu tür görevleri vermeyi severler testler. Yakında yayınlanacak olan bu dersin testlerinde de bunlarla birkaç kez karşılaşacaksınız.

Özet: genel hesaplama şeması

Sonuç olarak, iki veya daha fazla kesrin toplamını veya farkını bulmanıza yardımcı olacak genel bir algoritma vereceğim:

1. Bir veya daha fazla kesirin tam sayı kısmı varsa, bu kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün;
2. Tüm kesirleri sizin için uygun olan herhangi bir şekilde ortak bir paydaya getirin (tabii ki sorunların yazarları bunu yapmadıkça);
3. Ortaya çıkan sayıları, benzer paydalara sahip kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması kurallarına göre ekleyin veya çıkarın;
4. Mümkünse sonucu kısaltın. Kesir yanlışsa tüm kısmı seçin.

Cevabı yazmadan hemen önce, görevin en sonunda tüm kısmı vurgulamanın daha iyi olacağını unutmayın.