Sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılması, ayrıştırma yöntemleri ve örnekleri. Bir sayıyı çarpanlara ayırma

Faktoring ne anlama geliyor? Bu, çarpımı orijinal sayıya eşit olan sayıları bulmak anlamına gelir.

Faktörlere ayırmanın ne anlama geldiğini anlamak için bir örneğe bakalım.

Bir sayıyı çarpanlarına ayırma örneği

8 sayısını çarpanlarına ayırın.

8 sayısı 2'ye 4'ün çarpımı olarak temsil edilebilir:

8'i 2*4'ün çarpımı olarak göstermek çarpanlara ayırma anlamına gelir.

Bunun 8'in tek çarpanlarına ayrılması olmadığını unutmayın.

Sonuçta 4 şu şekilde çarpanlara ayrılır:

Buradan 8 temsil edilebilir:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Cevabımızı kontrol edelim. Çarpanlara ayırmanın neye eşit olduğunu bulalım:

Yani orijinal numarayı aldık, cevap doğru.

24 sayısını asal çarpanlarına ayırın

Nasıl ayrıştırılır asal faktörler 24 numara mı?

Bir sayıya yalnızca bire ve kendisine bölünebiliyorsa asal sayı denir.

8 sayısı 3'ün 8'in çarpımı olarak gösterilebilir:

Burada 24 sayısı çarpanlara ayrılmıştır. Ancak ödevde "24 sayısını asal çarpanlara ayırın" diyor, yani. İhtiyaç duyulan temel faktörler bunlar. Ve açılımımızda 3 asal bir faktördür ve 8 asal bir faktör değildir.

Ne oldu çarpanlara ayırma? Bu, uygunsuz ve karmaşık bir örneği basit ve sevimli bir örnek haline getirmenin bir yoludur.) Çok güçlü bir teknik! Hem temel hem de yüksek matematiğin her adımında bulunur.

Matematik dilinde bu tür dönüşümlere ifadelerin özdeş dönüşümleri denir. Bilmeyenler için linke bir göz atın. Çok az, basit ve kullanışlıdır.) Herhangi birinin anlamı kimlik dönüşümü ifadenin bir kaydıdır başka bir biçimdeözünü korurken.

Anlam çarpanlara ayırma son derece basit ve net. Adından itibaren. Çarpanın ne olduğunu unutabilirsiniz (ya da bilmiyor olabilirsiniz), ancak bu kelimenin “çarpma” kelimesinden geldiğini anlayabilirsiniz.) Faktoring şu anlama gelir: bir şeyi bir şeyle çarpma biçimindeki bir ifadeyi temsil eder. Matematik ve Rus dili beni affetsin...) Bu kadar.

Örneğin 12 sayısını genişletmeniz gerekiyor. Güvenle yazabilirsiniz:

Bu yüzden 12 sayısını 3'ün 4'le çarpımı olarak sunduk. Sağdaki sayıların (3 ve 4) soldakilerden (1 ve 2) tamamen farklı olduğunu lütfen unutmayın. Ama 12 ve 3 4'ün çok iyi anlıyoruz Aynı. 12 sayısının dönüşümden özü değişmedi.

12'yi farklı şekilde ayrıştırmak mümkün mü? Kolayca!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Ayrıştırma seçenekleri sonsuzdur.

Sayıları çarpanlarına ayırmak yararlı bir şeydir. Örneğin köklerle çalışırken çok yardımcı olur. Ancak cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmak yalnızca yararlı olmakla kalmaz, aynı zamanda gerekli!Örnek olarak:

Basitleştirin:

Bir ifadeyi nasıl çarpanlara ayıracağını bilmeyenler kenarda durur. Nasıl yapılacağını bilenler - basitleştirin ve elde edin:

Etkisi muhteşem, değil mi?) Bu arada çözüm oldukça basit. Aşağıda kendiniz göreceksiniz. Veya örneğin bu görev:

Denklemi çözün:

x 5 - x 4 = 0

Bu arada, akılla karar verilir. Çarpanlara ayırmanın kullanılması. Bu örneği aşağıda çözeceğiz. Cevap: x1 = 0; x 2 = 1.

Veya aynı şey, ancak daha yaşlı olanlar için):

Denklemi çözün:

Bu örneklerde gösterdim ana amaççarpanlara ayırma: kesirli ifadeleri basitleştirme ve bazı denklem türlerini çözme. İşte hatırlamanız gereken temel bir kural:

Eğer önümüzde korkutucu bir kesirli ifade varsa pay ve paydayı çarpanlara ayırmayı deneyebiliriz. Çoğu zaman kesir azaltılır ve basitleştirilir.

Önümüzde sağda sıfır ve solda ne olduğunu anlamıyorum, sol tarafı çarpanlara ayırmayı deneyebiliriz. Bazen yardımcı olur).

Temel çarpanlara ayırma yöntemleri.

İşte en popüler yöntemler:

4. İkinci dereceden bir üç terimlinin genişletilmesi.

Bu yöntemlerin hatırlanması gerekir. Tam olarak bu sırayla. Karmaşık örnekler kontrol edilir hepsi için olası yollar ayrışma. Ve kafanızın karışmaması için sırayla kontrol etmekte fayda var... O halde sırayla başlayalım.)

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Basit ve güvenilir bir yol. Ondan kötü bir şey gelmez! Ya iyi olur ya da hiç olmaz.) Bu yüzden önce o gelir. Hadi çözelim.

Herkes şu kuralı biliyor (inanıyorum!):

a(b+c) = ab+ac

Yada daha fazla Genel görünüm:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Tüm eşitlikler hem soldan sağa hem de sağdan sola doğru çalışır. Yazabilirsin:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmanın asıl amacı budur.

Sol tarafta A - ortak çarpan tüm şartlar için. Var olan her şeyle çarpılır). En sağdaki A zaten yer alıyor parantezlerin dışında.

Pratik kullanımÖrnekler kullanarak yönteme bakalım. İlk başta seçenek basit, hatta ilkel.) Ancak bu seçeneğe dikkat edeceğim ( yeşil) Çok önemli noktalar herhangi bir çarpanlara ayırma için.

Çarpanlara ayırın:

ah+9x

Hangi genelçarpan her iki terimde de görünüyor mu? Tabii ki X! Bunu parantezlerin dışına çıkaracağız. Bunu yapalım. Hemen parantezlerin dışına X yazıyoruz:

balta+9x=x(

Ve parantez içinde bölme sonucunu yazıyoruz her dönem tam da bu X'te. Sırayla:

Bu kadar. Tabi bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, bu iş akılla yapılıyor. Ancak neyin ne olduğunu anlamanız tavsiye edilir). Belleğe kaydediyoruz:

Ortak çarpanı parantezlerin dışına yazıyoruz. Tüm terimleri bu ortak faktöre bölmenin sonuçlarını parantez içinde yazıyoruz. Sırayla.

Yani ifadeyi genişlettik ah+9xçarpanlara göre. Bunu x ile çarpmaya dönüştürdüm (a+9). Orijinal ifadede ayrıca bir çarpım olduğunu, hatta iki olduğunu not ediyorum: a·x ve 9·x. Ama o çarpanlara ayrılmamıştı!Çünkü bu ifadede çarpmanın yanı sıra toplama yani “+” işareti de vardı! Ve ifadede x(a+9) Çarpmadan başka bir şey yok!

Nasıl yani!? - İnsanların öfkeli sesini duyuyorum - Ve parantez içinde!?)

Evet parantez içinde ekleme var. Ancak işin püf noktası şu ki, parantezler açılmadığı sürece onları dikkate alıyoruz bir harf gibi. Ve tüm eylemleri tamamen parantezlerle yapıyoruz, tek harfle olduğu gibi. Bu anlamda ifadede x(a+9)Çarpma dışında hiçbir şey yoktur. Çarpanlara ayırmanın asıl amacı budur.

Bu arada, her şeyi doğru yapıp yapmadığımızı bir şekilde kontrol etmek mümkün mü? Kolayca! Çıkardığınız şeyi (x) parantezlerle çarpmanız ve işe yarayıp yaramadığını görmeniz yeterlidir. orijinal ifade? Eğer işe yararsa, her şey harika!)

x(a+9)=ax+9x

Olmuş.)

Bu ilkel örnekte hiçbir sorun yoktur. Ancak birkaç terim varsa ve hatta farklı işaretler... Kısacası her üç öğrenciden biri berbat durumda). Öyleyse:

Gerekirse ters çarpma yoluyla çarpanlara ayırmayı kontrol edin.

Çarpanlara ayırın:

3ax+9x

Ortak bir faktör arıyoruz. Peki, X ile her şey açık, çıkarılabilir. Daha fazla var mı genel faktör? Evet! Bu bir üç. İfadeyi şu şekilde yazabilirsiniz:

3ax+3 3x

Burada ortak faktörün olacağı hemen açıktır. 3x. İşte onu çıkarıyoruz:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Yayılmak.

çıkarsan ne olur sadece x mi?Özel birşey yok:

3ax+9x=x(3a+9)

Bu aynı zamanda bir çarpanlara ayırma olacaktır. Ancak bu büyüleyici süreçte, fırsat varken her şeyi sınırlarına kadar ortaya koymak gelenekseldir. Burada parantez içinde üç koyma fırsatı var. Ortaya çıkacak:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Aynı şey, yalnızca ekstra bir eylemle.) Unutmayın:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarırken, çıkarmaya çalışıyoruz maksimum ortak faktör.

Eğlenceye devam edelim mi?)

İfadeyi çarpanlarına ayırın:

3ah+9х-8а-24

Neyi götüreceğiz? Üç, X? Hayır... Yapamazsın. Sana sadece dışarı çıkabileceğini hatırlatırım genelçarpan yani tümünde ifadenin şartları. Bu yüzden o genel. Burada öyle bir çarpan yok... Ne yani genişletmene gerek yok!? Evet, çok mutluyduk... Tanışın:

2. Gruplandırma.

Aslında gruba isim vermek zor bağımsız bir şekildeçarpanlara ayırma. Bu daha çok dışarı çıkmanın bir yolu karmaşık örnek.) Her şeyin yolunda gitmesi için terimleri gruplandırmamız gerekiyor. Bu ancak örnek olarak gösterilebilir. Yani, şu ifadeye sahibiz:

3ah+9х-8а-24

Bazı ortak harf ve sayıların olduğu görülebilir. Ancak... Genel her açıdan olacak bir çarpan yoktur. Kalbimizi kaybetmeyelim ve ifadeyi parçalara ayırın. Gruplandırma. Yani her parçanın ortak bir faktörü var, çıkarılacak bir şey var. Nasıl kırarız? Evet, sadece parantez koyduk.

Parantezlerin istediğiniz yere ve istediğiniz şekilde yerleştirilebileceğini hatırlatmama izin verin. Sadece örneğin özü değişmedi.Örneğin şunu yapabilirsiniz:

3ah+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Lütfen ikinci parantezlere dikkat edin! Önlerinde bir eksi işareti bulunur ve 8a Ve 24 pozitif çıktı! Kontrol etmek için parantezleri tekrar açarsak işaretler değişecek ve şunu elde edeceğiz: orijinal ifade. Onlar. parantez içindeki ifadenin özü değişmedi.

Ancak işaret değişikliğini hesaba katmadan parantez eklediyseniz, örneğin şu şekilde:

3ah+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

bu bir hata olurdu. Sağda - zaten diğer ifade. Parantezleri açın ve her şey görünür hale gelecektir. Daha fazla karar vermenize gerek yok, evet…)

Ama çarpanlara ayırmaya dönelim. İlk parantezlere bakalım (3ax+9x) ve çıkarabileceğimiz bir şey var mı diye düşünüyoruz? Peki bu örneği yukarıda çözdük, alabiliriz 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

İkinci parantezleri inceleyelim, oraya bir sekiz ekleyebiliriz:

(8a+24)=8(a+3)

İfademizin tamamı şu şekilde olacaktır:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktoringli mi? HAYIR. Ayrıştırmanın sonucu şöyle olmalıdır: sadece çarpma ama bizde eksi işareti her şeyi bozar. Ama... Her iki terimin de ortak bir çarpanı var! Bu (a+3). Tüm parantezlerin sanki tek harf olduğunu söylemem boşuna değildi. Bu, bu braketlerin braketlerin dışına çıkarılabileceği anlamına gelir. Evet, kulağa tam olarak böyle geliyor.)

Yukarıda anlatıldığı gibi yapıyoruz. Ortak çarpanı yazıyoruz (a+3) ikinci parantez içine terimleri bölmenin sonuçlarını yazıyoruz (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Tüm! Sağda çarpma dışında hiçbir şey yok! Bu, çarpanlara ayırmanın başarıyla tamamlandığı anlamına gelir!) İşte:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Grubun özünü kısaca tekrarlayalım.

Eğer ifade yoksa genel için çarpan herkes ifadeyi parantezlere ayırıyoruz, böylece parantezlerin içindeki ortak faktör öyleydi. Onu çıkarıyoruz ve ne olacağını görüyoruz. Şanslıysanız ve parantez içinde tamamen aynı ifadeler kaldıysa bu parantezleri parantezlerin dışına taşıyoruz.

Gruplamanın yaratıcı bir süreç olduğunu da ekleyeceğim). Her zaman ilk seferde işe yaramaz. Önemli değil. Bazen şartları değiştirip düşünmeniz gerekir farklı varyantlar Başarılı bir grup bulunana kadar gruplar. Buradaki en önemli şey cesaretinizi kaybetmemek!)

Örnekler.

Artık kendinizi bilgiyle zenginleştirdikten sonra zor örnekleri çözebilirsiniz.) Dersin başında bunlardan üçü vardı...

Basitleştirin:

Aslında bu örneği zaten çözdük. Kendimizden habersiz.) Size şunu hatırlatayım: Eğer bize çok kötü bir kesir verilirse, pay ve paydayı çarpanlarına ayırmaya çalışırız. Diğer basitleştirme seçenekleri kesinlikle hayır.

Yani buradaki payda genişletilmemiş ama pay... Derste zaten pay'ı genişletmiştik! Bunun gibi:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Açılımın sonucunu kesrin payına yazıyoruz:

Kesirleri azaltma kuralına göre (bir kesrin temel özelliği), payı ve paydayı (aynı anda!) aynı sayıya veya ifadeye bölebiliriz. Bundan kesir değişmez. Yani pay ve paydayı ifadeye böleriz (3x-8). Ve orada burada birer tane alacağız. Sadeleştirmenin nihai sonucu:

Özellikle vurgulamak isterim ki, bir kesri azaltmak, ifadeleri çarpmanın yanı sıra, ancak pay ve paydada ise mümkündür. bir şey yok. Toplamın (farkın) dönüştürülmesinin nedeni budur. çarpma işlemi basitleştirme açısından çok önemlidir. Tabii eğer ifadeler farklı, o zaman hiçbir şey azalmayacaktır. O olacak. Fakat çarpanlara ayırma şans verir. Ayrışma olmadan bu şans kesinlikle mevcut değil.

Denklemli örnek:

Denklemi çözün:

x 5 - x 4 = 0

Ortak çarpanı çıkarıyoruz x 4 parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:

x 4 (x-1)=0

Faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğunu biliyoruz. o zaman ve ancak o zaman, bunlardan herhangi biri sıfır olduğunda. Eğer şüpheniz varsa, bana çarpıldığında sıfır verecek birkaç sıfır olmayan sayı bulun.) O halde ilk olarak ilk çarpanı yazıyoruz:

Böyle bir eşitlik varken ikinci faktör bizi ilgilendirmiyor. Herkes olabilir, ama sonunda yine de sıfır olacaktır. Sıfırın dördüncü kuvveti kaç sayıyı verir? Sadece sıfır! Ve başkası yok... Bu nedenle:

İlk faktörü bulduk ve bir kök bulduk. İkinci faktöre bakalım. Artık ilk faktörü umursamıyoruz.):

Burada bir çözüm bulduk: x1 = 0; x 2 = 1. Bu köklerden herhangi biri denklemimize uyuyor.

Çok önemli Not. Lütfen denklemi çözdüğümüzü unutmayın. parça parça! Her faktör sıfıra eşitti, diğer faktörlerden bağımsız olarak. Bu arada, böyle bir denklemde bizimki gibi iki değil, üç, beş, istediğiniz kadar faktör varsa çözeceğiz. benzer. Parça parça. Örneğin:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Parantezleri açıp her şeyi çarpan kişi sonsuza kadar bu denklemde takılıp kalacaktır.) Doğru bir öğrenci, solda çarpma dışında hiçbir şey olmadığını, sağda ise sıfırın olmadığını hemen görecektir. Ve (zihninde!) tüm parantezleri sıfıra eşitlemeye başlayacak. Ve alacak (10 saniye içinde!) doğru karar: x1 = 1; x2 = -5; x3 = 3; x4 = -2.

Harika, değil mi?) Denklemin sol tarafında ise böylesine zarif bir çözüm mümkün olabilir. çarpanlara ayrılmış.İpucunu aldın mı?)

Büyükler için son bir örnek):

Denklemi çözün:

Biraz öncekine benziyor, öyle değil mi?) Elbette. Yedinci sınıf cebirinde sinüslerin, logaritmaların ve diğer her şeyin harflerin altında gizlenebileceğini hatırlamanın zamanı geldi! Faktoring matematik boyunca çalışır.

Ortak çarpanı çıkarıyoruz lg4x parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:

günlük 4x=0

Bu bir kök. İkinci faktöre bakalım.

İşte son cevap: x1 = 1; x 2 = 10.

Umarım kesirleri basitleştirmede ve denklem çözmede çarpanlara ayırmanın gücünü fark etmişsinizdir.)

Bu dersimizde ortak çarpanlara ayırma ve gruplandırmayı öğrendik. Kısaltılmış çarpma ve ikinci dereceden üç terimli formülleri anlamak için kalır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Herhangi bir bileşik sayı asal faktörlere ayrılabilir. Çeşitli ayrıştırma yöntemleri olabilir. Her iki yöntem de aynı sonucu üretir.

Bir sayıyı en uygun şekilde asal faktörlere nasıl ayırabilirim? Belirli örnekleri kullanarak bunu en iyi nasıl yapacağımıza bakalım.

Örnekler. 1) 1400 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

1400 2'ye bölünür. 2 asal bir sayıdır, çarpanlara ayırmaya gerek yoktur. 700 elde ederiz. 2'ye böleriz. 350 elde ederiz. 350'yi de 2'ye böleriz. Ortaya çıkan 175 sayısı 5'e bölünebilir. Sonuç 35 - tekrar 5'e bölün. Toplam - 7. Sadece bölünebilir 7. 1 alırız, bölme bitti.

Aynı sayı farklı şekilde çarpanlara ayrılabilir:

1400 rahatlıkla 10'a bölünür. 10 bölünmez asal sayı, bu nedenle basit çarpanlara ayrılması gerekir: 10=2∙5. Sonuç 140. Bunu da yine 10=2∙5'e bölüyoruz. 14 elde ederiz. Eğer 14, 14'e bölünürse, o zaman asal çarpanların çarpımına da ayrıştırılmalıdır: 14=2∙7.

Böylece yine ilk durumdaki aynı ayrışmaya ulaştık, ancak daha hızlı.

Sonuç: Bir sayıyı ayrıştırırken onu yalnızca asal faktörlere bölmek gerekli değildir. Daha uygun olana, örneğin 10'a bölüyoruz. Bileşik bölenleri basit faktörlere ayırmayı hatırlamanız yeterli.

2) 1620 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

1620 sayısını 10'a bölmenin en uygun yolu 10'a bölmek. 10 asal bir sayı olmadığı için onu asal çarpanların çarpımı olarak temsil ediyoruz: 10=2∙5. 162 elde ettik. 2'ye bölmek daha uygun. Sonuç 81. 81 sayısını 3'e bölmek mümkün ama 9'a bölmek daha uygun. 9 asal sayı olmadığı için 9=3∙3 şeklinde genişletiyoruz. 9 elde ederiz. Bunu da 9'a bölüp asal çarpanların çarpımına genişletiriz.

Her biri doğal sayı Birinin yanı sıra iki veya daha fazla böleni vardır. Örneğin 7 sayısı yalnızca 1 ve 7'ye kalansız bölünebilir, yani iki böleni vardır. Ve 8 sayısının 1, 2, 4, 8 bölenleri vardır, yani aynı anda 4'e kadar böleni vardır.

Asal ve bileşik sayılar arasındaki fark nedir?

İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayılar denir. Yalnızca iki böleni olan sayılara: Bir ve sayının kendisi asal sayılar olarak adlandırılır.

1 sayısının tek bir bölümü vardır, o da sayının kendisidir. Bir ne asal ne de bileşik sayıdır.

• Örneğin 7 sayısı asal, 8 sayısı bileşiktir.

İlk 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 2 sayısı tek çift asal sayıdır, diğer tüm asal sayılar tektir.

78 sayısı bileşiktir, çünkü 1 ve kendisinin yanı sıra 2'ye de bölünebilir. 2'ye bölündüğünde 39 elde edilir. Yani 78 = 2*39 olur. Bu gibi durumlarda sayının 2 ve 39'un çarpanlarına ayrıldığını söylüyorlar.

Herhangi bir bileşik sayı, her biri 1'den büyük olan iki faktöre ayrıştırılabilir. Bu hile asal sayılarda işe yaramaz. O zaman o gider.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma

Yukarıda belirtildiği gibi herhangi bir bileşik sayı iki faktöre ayrılabilir. Mesela 210 sayısını ele alalım. Bu sayı 21 ve 10 olmak üzere iki çarpana ayrıştırılabilir. Ama 21 ve 10 sayıları da bileşiktir, onları iki çarpana ayıralım. 10 = 2*5, 21=3*7 elde ederiz. Ve sonuç olarak 210 sayısı 4 faktöre ayrıştırıldı: 2,3,5,7. Bu sayılar zaten asaldır ve genişletilemez. Yani 210 sayısını asal çarpanlarına ayırdık.

Bileşik sayıları asal çarpanlara ayırırken genellikle artan sırada yazılırlar.

Herhangi bir bileşik sayının permütasyona kadar asal faktörlere ve benzersiz bir şekilde ayrıştırılabileceği unutulmamalıdır.

• Genellikle bir sayıyı asal çarpanlara ayırırken bölünebilme kriterleri kullanılır.

378 sayısını asal çarpanlarına ayıralım

Sayıları dikey bir çizgiyle ayırarak yazacağız. 378 sayısı 8 ile bittiği için 2'ye tam bölünür. Bölündüğünde 189 sayısını elde ederiz. 189 sayısının rakamlarının toplamı 3'e bölünebilir yani 189 sayısı 3'e bölünebilir. Sonuç 63'tür.

63 sayısı da bölünebilme kuralına göre 3'e bölünür. 21 elde ederiz, 21 sayısını yine 3'e bölebiliriz, 7 elde ederiz. Yedi sadece kendisine bölünürse bir elde ederiz. Bu bölünmeyi tamamlar. Çizginin sağında 378 sayısının ayrıştırıldığı asal çarpanlar yer alıyor.

378|2
189|3
63|3
21|3

Bu makale, bir sayfadaki bir sayıyı çarpanlara ayırma sorusunun yanıtlarını vermektedir. Örneklerle genel ayrıştırma fikrine bakalım. Genişletmenin kanonik formunu ve algoritmasını analiz edelim. Tüm alternatif yöntemler, bölünebilme işaretleri ve çarpım tabloları kullanılarak değerlendirilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Asal faktörler kavramına bakalım. Her asal çarpanın bir asal sayı olduğu bilinmektedir. 2 · 7 · 7 · 23 formundaki bir çarpımda 2, 7, 7, 23 formunda 4 asal çarpanımız var.

Çarpanlara ayırma, asal sayıların çarpımı şeklinde temsil edilmesini içerir. 30 sayısını ayrıştırmamız gerekirse 2, 3, 5 elde ederiz. Giriş 30 = 2 · 3 · 5 formunu alacaktır. Çarpanların tekrarlanması mümkündür. 144 gibi bir sayı 144 = 2 2 2 2 3 3'tür.

Tüm sayılar çürümeye eğilimli değildir. 1'den büyük ve tam sayı olan sayılar çarpanlara ayrılabilir. Asal sayılar çarpanlarına ayrıldığında yalnızca 1'e ve kendilerine bölünebildiğinden bu sayıların çarpım olarak gösterilmesi imkansızdır.

Z tam sayıları ifade ettiğinde, a ve b'nin çarpımı olarak temsil edilir; burada z, a ve b'ye bölünür. Bileşik sayılar aritmetiğin temel teoremi kullanılarak çarpanlara ayrılır. Sayı 1'den büyükse, p 1, p 2, ..., p n'nin çarpanlarına ayrılması a = p 1 , p 2 , … , p n formunu alır . Ayrışmanın tek bir varyantta olduğu varsayılmaktadır.

Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlara ayrılması

Genişleme sırasında faktörler tekrarlanabilir. Dereceler kullanılarak kompakt bir şekilde yazılırlar. Eğer a sayısını ayrıştırırken, s 1 defa meydana gelen ve p n – s n defa meydana gelen bir p 1 çarpanımız varsa. Böylece genişleme şu şekli alacaktır: a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Bu girdiye bir sayının asal çarpanlarına kanonik çarpanlara ayrılması denir.

609840 sayısını genişlettiğimizde 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 sonucunu elde ederiz, kanonik formu 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 olacaktır. Kanonik genişletmeyi kullanarak bir sayının tüm bölenlerini ve sayılarını bulabilirsiniz.

Doğru şekilde çarpanlara ayırmak için asal ve asal sayıları anlamanız gerekir. bileşik sayılar. Amaç p 1, p 2, ..., p n biçiminde sıralı sayıda bölen elde etmektir. sayılar a , a 1 , a 2 , … , a n - 1 bu, şunu elde etmeyi mümkün kılar: a = p 1 a 1, burada a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , burada a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · bir n , nerede a n = a n - 1: p n. Alındıktan sonra bir n = 1, o zaman eşitlik a = p 1 · p 2 · … · p n a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırmasını elde ederiz. dikkat et ki p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

En az ortak faktörleri bulmak için asal sayılar tablosunu kullanmanız gerekir. Bu, z sayısının en küçük asal bölenini bulma örneği kullanılarak yapılır. 2, 3, 5, 11 vb. asal sayıları alıp z sayısını bunlara bölerken. Z asal sayı olmadığı için en küçük asal bölenin z'den büyük olmayacağı dikkate alınmalıdır. Z'nin bölenlerinin olmadığı görüldüğünde z'nin asal sayı olduğu açıktır.

örnek 1

87 sayısının örneğine bakalım. 2'ye bölündüğünde 87: 2 = 43 ve kalan 1 olur. Buradan 2'nin bölen olamayacağı, bölmenin tam olarak yapılması gerektiği sonucu çıkar. 3'e bölündüğünde 87:3 = 29 sonucunu elde ederiz. Buradan çıkan sonuç 3'ün 87 sayısının en küçük asal böleni olduğudur.

Asal çarpanları çarpanlara ayırırken asal sayılar tablosu kullanmalısınız; burada a. 95'i çarpanlara ayırırken yaklaşık 10 asal sayı kullanmalısınız ve 846653'ü çarpanlara ayırırken yaklaşık 1000'i kullanmalısınız.

Ayrıştırma algoritmasını asal faktörlere göre ele alalım:

• bir sayının p 1 böleninin en küçük faktörünü bulma A a 1 = a: p 1 formülüne göre, a 1 = 1 olduğunda a bir asal sayıdır ve çarpanlara ayırmaya dahil edilir, 1'e eşit olmadığında a = p 1 · a 1 ve aşağıdaki noktaya kadar takip edin;
• a 1 sayısının asal böleni p 2'yi bulma a 2 = a 1: p 2 kullanarak asal sayıları sırayla numaralandırarak , 2 = 1 olduğunda , o zaman genişleme a = p 1 p 2 formunu alacaktır , a 2 = 1 olduğunda a = p 1 p 2 a 2 , ve bir sonraki adıma geçiyoruz;
• asal sayıları arama ve asal böleni bulma sayfa 3 sayılar bir 2 formüle göre a 3 = a 2: p 3, a 3 = 1 olduğunda , o zaman şunu elde ederiz: a = p 1 p 2 p 3 , 1'e eşit olmadığında a = p 1 p 2 p 3 a 3 ve bir sonraki adıma geçin;
• asal bölen bulunur pn sayılar bir n - 1 asal sayıları numaralandırarak pn-1, Ve a n = a n - 1: p n, burada a n = 1, adım nihaidir, sonuç olarak şunu elde ederiz: a = p 1 · p 2 · … · p n .

Algoritmanın sonucu, ayrıştırılmış faktörlerin bir sütunda sıralı olarak dikey bir çubukla yer aldığı bir tablo şeklinde yazılır. Aşağıdaki şekli düşünün.

Ortaya çıkan algoritma, sayıları asal faktörlere ayrıştırarak uygulanabilir.

Asal çarpanları hesaba katarken temel algoritma takip edilmelidir.

Örnek 2

78 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

Çözüm

En küçük asal böleni bulmak için 78'deki tüm asal sayıların üzerinden geçmeniz gerekir. Yani 78:2 = 39. Kalansız bölme, bunun ilk basit bölen olduğu anlamına gelir ve bunu p 1 olarak gösteririz. a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 sonucunu elde ederiz. a = p 1 · a 1 biçiminde bir eşitlik elde ettik. , burada 78 = 2 39. O halde a 1 = 39 yani bir sonraki adıma geçmeliyiz.

Asal böleni bulmaya odaklanalım p2 sayılar 1 = 39. Asal sayıları, yani 39: 2 = 19 (kalan 1) üzerinden geçmelisiniz. Kalanla bölündüğü için 2 bölen değildir. 3 sayısını seçtiğimizde 39:3=13 sonucunu elde ederiz. Bu, p 2 = 3'ün 39'un a 2 = a 1'e en küçük asal böleni olduğu anlamına gelir: p 2 = 39: 3 = 13. Formun eşitliğini elde ederiz a = p 1 p 2 a 2 78 = 2 3 13 formunda. 2 = 13'ün 1'e eşit olmadığını gördük, o zaman devam etmeliyiz.

a 2 = 13 sayısının en küçük asal böleni, 3'ten başlayarak sayılar arasında arama yapılarak bulunur. 13: 3 = 4 (kalan 1) sonucunu elde ederiz. Buradan 13'ün 5, 7, 11'e bölünmediğini görebiliriz, çünkü 13: 5 = 2 (geri kalan 3), 13: 7 = 1 (geri kalan 6) ve 13: 11 = 1 (geri kalan 2) . 13'ün asal sayı olduğunu görüyoruz. Formüle göre şu şekilde görünür: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Algoritmanın tamamlanması anlamına gelen 3 = 1'i bulduk. Şimdi çarpanlar 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) olarak yazılıyor.

Cevap: 78 = 2 3 13.

Örnek 3

83.006 sayısını asal çarpanlara ayırın.

Çözüm

İlk adım faktoringi içerir p1 = 2 Ve a 1 = a: p 1 = 83.006: 2 = 41.503, burada 83.006 = 2 · 41.503.

İkinci adım, a 1 = 41,503 sayısı için 2, 3 ve 5'in asal bölen olmadığını, ancak 41,503: 7 = 5,929 olduğundan 7'nin asal bölen olduğunu varsayar. Şunu elde ederiz: p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Açıkçası, 83.006 = 2 7 5 929.

p 4'ün a 3 = 847 sayısına en küçük asal bölenini bulmak 7'dir. a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, yani 83 006 = 2 7 7 7 121 olduğu görülebilir.

a 4 = 121 sayısının asal bölenini bulmak için 11 sayısını kullanırız, yani p 5 = 11. Daha sonra formun bir ifadesini elde ederiz. a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 ve 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Numara için 5 = 11 sayı sayfa 6 = 11 en küçük asal bölendir. Dolayısıyla a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. O halde 6 = 1. Bu algoritmanın tamamlandığını gösterir. Çarpanlar 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 olarak yazılacaktır.

Cevabın kanonik gösterimi 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 formunu alacaktır.

Cevap: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Örnek 4

897.924.289 sayısını çarpanlarına ayırın.

Çözüm

İlk asal çarpanı bulmak için 2'den başlayarak asal sayıları arayın. Aramanın sonu 937 numarada gerçekleşir. O halde p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 ve 897 924 289 = 937 958 297.

Algoritmanın ikinci adımı daha küçük asal sayılar üzerinde yineleme yapmaktır. Yani 937 sayısıyla başlıyoruz. 967 sayısı, a 1 = 958,297 sayısının asal böleni olduğundan asal sayı olarak değerlendirilebilir. Buradan p 2 = 967, sonra a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 ve 897 924 289 = 937 967 991 sonucunu elde ederiz.

Üçüncü adım, 991'in asal sayı olduğunu söylüyor çünkü 991'i aşmayan tek bir asal çarpanı yok. Radikal ifadesinin yaklaşık değeri 991'dir< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Bu, p 3 = 991 ve a 3 = a 2 olduğunu gösterir: p 3 = 991: 991 = 1. 897 924 289 sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılmasının 897 924 289 = 937 967 991 olduğunu görüyoruz.

Cevap: 897 924 289 = 937 967 991.

Asal çarpanlara ayırma için bölünebilirlik testlerini kullanma

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak için bir algoritma izlemeniz gerekir. Sayıların küçük olması halinde çarpım tablosu ve bölünebilme işaretlerinin kullanılması caizdir. Buna örneklerle bakalım.

Örnek 5

10'u çarpanlara ayırmak gerekiyorsa tablo şunu gösterir: 2 · 5 = 10. Ortaya çıkan 2 ve 5 sayıları asal sayılar olduğundan 10 sayısının asal çarpanlarıdır.

Örnek 6

48 sayısını ayrıştırmak gerekiyorsa tablo şunu gösterir: 48 = 6 8. Ancak 6 ve 8 asal çarpanlar değildir, çünkü 6 = 2 3 ve 8 = 2 4 olarak da açılabilirler. Daha sonra buradan tam açılım 48 = 6 8 = 2 3 2 4 olarak elde edilir. Kanonik gösterim 48 = 2 4 · 3 formunu alacaktır.

Örnek 7

3400 sayısını ayrıştırırken bölünebilme işaretlerini kullanabilirsiniz. İÇİNDE bu durumda 10 ve 100'e bölünebilme kriterleri geçerlidir. Buradan 3,400 = 34 · 100 sonucunu elde ederiz, burada 100, 10'a bölünebilir, yani 100 = 10 · 10 şeklinde yazılır, yani 3,400 = 34 · 10 · 10 olur. Bölünebilme testine dayanarak 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 olduğunu bulduk. Tüm faktörler asaldır. Kanonik genişleme şu şekli alır: 3 400 = 2 3 5 2 17.

Asal çarpanları bulduğumuzda bölünebilme testlerini ve çarpım tablosunu kullanmamız gerekir. 75 sayısını faktörlerin çarpımı olarak düşünürseniz 5'e bölünebilme kuralını dikkate almanız gerekir. 75 = 5 15 ve 15 = 3 5 sonucunu elde ederiz. Yani istenilen genişleme 75 = 5 · 3 · 5 çarpımının formuna bir örnektir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.