Belirli bir integralin doğrudan entegrasyon yöntemiyle hesaplanması. Entegrasyon yöntemleri

Belirsiz integrallerin hesaplanmasına yönelik yöntemlerin bir incelemesi sunulmaktadır. Toplamın ve farkın entegre edilmesini, integral işaretinin dışına bir sabit yerleştirilmesini, bir değişkenin değiştirilmesini ve parçalara göre entegre edilmesini içeren ana entegrasyon yöntemleri dikkate alınır. Kesirlerin, köklerin, trigonometrik ve üstel fonksiyonların integraline yönelik özel yöntem ve teknikler de tartışılmaktadır.

İçerik

Toplamları (farkları) entegre etme kuralı

Sabiti integral işaretinin dışına taşıma

c, x'ten bağımsız bir sabit olsun. Daha sonra integral işaretinden çıkarılabilir:

Değişken değiştirme

X, t değişkeninin bir fonksiyonu olsun, x = φ(t), o zaman
.
Veya tam tersi, t = φ(x) ,
.

Değişken değişikliğini kullanarak yalnızca basit integralleri hesaplamakla kalmaz, aynı zamanda daha karmaşık integrallerin hesaplamasını da basitleştirebilirsiniz.

Parça kuralına göre entegrasyon

Kesirlerin integrali (rasyonel fonksiyonlar)

Gösterimi tanıtalım. P k (x), Q m (x), R n (x), x değişkenine göre sırasıyla k, m, n dereceli polinomları göstersin.

Polinomların bir bölümünden oluşan bir integrali düşünün (rasyonel fonksiyon olarak adlandırılır):

Eğer k ≥ n ise öncelikle kesirin tamamını seçmeniz gerekir:
.
S k-n(x) polinomunun integrali, integral tablosu kullanılarak hesaplanır.

İntegral kalır:
, nerede m< n .
Bunu hesaplamak için integralin basit kesirlere ayrıştırılması gerekir.

Bunu yapmak için denklemin köklerini bulmanız gerekir:
Qn(x) = 0.
Elde edilen kökleri kullanarak paydayı faktörlerin bir ürünü olarak temsil etmeniz gerekir:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Burada s, x n'nin katsayısıdır, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Bundan sonra kesri en basit haline ayırın:

İntegral alarak daha basit integrallerden oluşan bir ifade elde ederiz.
Formun integralleri

tablo ikamesine indirgenir t = x - a.

İntegrali düşünün:

Payı dönüştürelim:
.
İntegrali yerine koyarak iki integrali içeren bir ifade elde ederiz:
,
.
İlki, t = x 2 + ex + f yerine geçerek tablo halindeki bir değere indirgenir.
İkincisi, indirgeme formülüne göre:

integrale indirgenir

Paydasını kareler toplamına indirelim:
.
Daha sonra ikame ile integral

da tablolaştırılmıştır.

İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonu

Gösterimi tanıtalım. R(u 1, u 2, ..., u n), u 1, u 2, ..., u n değişkenlerinin rasyonel bir fonksiyonu anlamına gelsin. Yani
,
burada P, Q u 1, u 2, ..., u n değişkenlerindeki polinomlardır.

Kesirli doğrusal irrasyonellik

Formun integrallerini ele alalım:
,
rasyonel sayılar nerede, m 1, n 1, ..., m s, n s tam sayılardır.
n, r 1, ..., r s sayılarının ortak paydası olsun.
Daha sonra integral, ikame yoluyla rasyonel fonksiyonların integraline indirgenir:
.

Diferansiyel binomlardan integraller

İntegrali düşünün:
,
burada m, n, p rasyonel sayılardır, a, b ise gerçek sayılardır.
Bu tür integraller üç durumda rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir.

1) p bir tamsayı ise. İkame x = t N, burada N, m ve n kesirlerinin ortak paydasıdır.
2) Eğer - bir tamsayı. İkame a x n + b = t M, burada M, p sayısının paydasıdır.
3) Eğer - bir tamsayı. İkame a + b x - n = t M, burada M, p sayısının paydasıdır.

Üç sayıdan hiçbiri tam sayı değilse, Chebyshev teoremine göre bu tür integraller, temel fonksiyonların sonlu bir birleşimi ile ifade edilemez.

Bazı durumlarda öncelikle integrali daha uygun m ve p değerlerine indirmek yararlı olur. Bu, azaltma formülleri kullanılarak yapılabilir:
;
.

Bir kare trinomiyalin karekökünü içeren integraller

Burada formun integrallerini ele alıyoruz:
,

Euler ikameleri

Bu tür integraller, üç Euler ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarının integrallerine indirgenebilir:
a > 0 için;
c > 0 için;
burada x 1, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin köküdür. Bu denklemin gerçek kökleri varsa.

Trigonometrik ve hiperbolik ikameler

Doğrudan yöntemler

Çoğu durumda Euler ikameleri, doğrudan yöntemlere göre daha uzun hesaplamalarla sonuçlanır. Doğrudan yöntemler kullanılarak integral aşağıda listelenen formlardan birine indirgenir.

İ harfini yaz

Formun integrali:
,
burada Pn(x) n dereceli bir polinomdur.

Bu tür integraller, özdeşlik kullanılarak belirsiz katsayılar yöntemiyle bulunur:

Bu denklemin farklılığını alıp sol ve sağ tarafları eşitleyerek Ai katsayılarını buluruz.

Tip II

Formun integrali:
,
burada Pm(x) m dereceli bir polinomdur.

Değiştirme t = (x - α) -1 bu integral önceki türe indirgenir. Eğer m ≥ n ise kesrin tamsayı kısmı olmalıdır.

III tipi

Üçüncü ve en karmaşık tür:
.

Burada bir değişiklik yapmanız gerekir:
.
Bundan sonra integral şu ​​şekli alacaktır:
.
Daha sonra, α, β sabitleri, t katsayıları sıfır olacak şekilde seçilmelidir:
B = 0, B 1 = 0.
Daha sonra integral iki tür integralin toplamına ayrışır:
;
,
sırasıyla ikamelerle entegre edilenler:
z2 = A1t2 + C1;
y2 = A1 + C1t-2.

Genel dava

Aşkın (trigonometrik ve üstel) fonksiyonların entegrasyonu

Trigonometrik fonksiyonlar için geçerli olan yöntemlerin hiperbolik fonksiyonlar için de geçerli olduğunu şimdiden belirtelim. Bu nedenle hiperbolik fonksiyonların integralini ayrı ayrı ele almayacağız.

cos x ve sin x'in rasyonel trigonometrik fonksiyonlarının entegrasyonu

Formun trigonometrik fonksiyonlarının integrallerini ele alalım:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda sinüsler ve kosinüsler kullanılarak dönüştürülmesi gereken teğetleri ve kotanjantları da içerebilir.

Bu tür işlevleri entegre ederken üç kuralı akılda tutmak faydalıdır:
1) eğer R( çünkü x, günah x) büyüklüklerin birinden önceki işaret değişikliğinden -1 ile çarpılır çünkü x veya günah x ise diğerini t ile belirtmekte fayda var.
2) eğer R( çünkü x, günah x) daha önce aynı anda burcun değişmesi nedeniyle değişmez çünkü x Ve günah x o zaman şunu koymakta fayda var tg x = t veya karyola x = t.
3) ikame her durumda rasyonel kesirin integraline yol açar. Ne yazık ki, bu ikame, mümkünse, önceki hesaplamalara göre daha uzun hesaplamalara neden olur.

cos x ve sin x'in güç fonksiyonlarının çarpımı

Formun integrallerini ele alalım:

Eğer m ve n rasyonel sayılar ise, o zaman ikamelerden biri t = günah x veya t = çünkü x integral diferansiyel binomun integraline indirgenir.

M ve n tamsayılar ise integraller kısımlara göre integral alınarak hesaplanır. Bu, aşağıdaki indirgeme formüllerini üretir:

;
;
;
.

Parçalara göre entegrasyon

Euler formülünün uygulanması

İntegral fonksiyonlardan birine göre doğrusal ise
çünkü balta veya sinax o zaman Euler formülünü uygulamak uygundur:
e iax = çünkü balta + isin balta(burada ben 2 = - 1 ),
bu işlevi şununla değiştirmek: e iax ve gerçek olanı vurgulayarak (değiştirirken çünkü balta) veya hayali parça (değiştirirken sinax) elde edilen sonuçtan.

Referanslar:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

Ayrıca bakınız:

1. Tek değişkenli fonksiyonların integral hesabı

2. Terstürev ve belirsiz integral.

3. Belirsiz integralin özellikleri.

4. İntegral tablosu

Fonksiyonların farklılaşmasını incelerken, belirli bir fonksiyon için türevini veya diferansiyelini bulma görevi belirlendi. Bilim ve teknolojiye ilişkin pek çok soru, belirli bir fonksiyon için ters bir problemin formüle edilmesine yol açmaktadır. f(x) böyle bir fonksiyon bul F(x), türevi veya diferansiyeli sırasıyla eşit olan f(x) veya f(x)dx.

Tanım 1.İşlev F(x) isminde antiderivatif işlevle ilgili olarak f(x) belli aralıklarla (a, b), eğer bu aralıkta fonksiyon F(x) türevlenebilirdir ve denklemi karşılar

F′ (x) = f(x)

ya da aynı şey olan ilişki

dF(x) = f(x)dx.

Örneğin sin 5 fonksiyonu X- fonksiyona göre herhangi bir aralıkta antiderivatif F(X) = 5cos5 X, beri (sin5 X)' = 5cos5 X.

Bir antiderivatifin varlığının sonsuz bir kümede bu tür fonksiyonların varlığını garanti ettiğini kontrol etmek kolaydır. Aslında eğer F(x)- fonksiyonun ters türevi f(x), O

Ф(x) = F(x) + C,

Nerede İLE- herhangi bir sabit aynı zamanda antiderivatiftir, çünkü

F′( X) = (F(X) + C)′ = F′( X) + 0 = F(X).

Aşağıdaki teorem, belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin, içlerinden biri biliniyorsa nasıl bulunacağı sorusunun cevabını verir.

Teorem 1(ilkeller hakkında). Eğer F(X) − fonksiyonun bazı antiderivatifleri F(X) aralığında ( a, b), o zaman tüm antiderivatifleri şu şekildedir: F(X) + C, Nerede İLE- keyfi sabit.

Geometrik olarak y = F(x) + C herhangi bir antiderivatif fonksiyonun grafiğinin, fonksiyonun grafiğinden elde edildiği anlamına gelir y = F(X) basitçe Oy eksenine paralel olarak bir miktar kaydırarak İLE(resmi görmek). Aynı işlevin olması nedeniyle F(X) sonsuz sayıda antiderivatife sahip olduğundan, sorun, şu veya bu pratik problemi çözen bir antiderivatifin seçilmesinde ortaya çıkar.

Yolun zamana göre türevinin noktanın hızına eşit olduğu bilinmektedir: S′( T) = V(T), dolayısıyla hız değişimi yasası biliniyorsa V(t), bir noktanın hareket yolu, noktanın hızının bir ters türevidir, yani. S(T) =F(T) +C.

Yol değişimi yasasını bulmak için S(t) başlangıç ​​koşullarını kullanmanız gerekir, yani kat edilen mesafenin ne olduğunu bilmeniz gerekir S0 en t = t0. izin ver t = t0 sahibiz S = S0. Daha sonra

S(t 0 ) = S 0 = F(t 0 ) + C. C = S 0 - F(t) 0 ) Ve S(t) = F(t) + S 0 - F(t) 0 ).

Tanım 2. Eğer F(x)- fonksiyonun bazı antiderivatifleri f(x), o zaman ifade F(x) + C, Nerede İLE- keyfi bir sabit denir belirsiz integral ve belirlenmiş

∫F(X)dx= F(X) + C,

yani fonksiyonun belirsiz integrali f(x) tüm ilkellerinden oluşan bir set var.

Bu durumda fonksiyon f(x) isminde integrand, ve iş f(x)dx- integrand; F(x)- prototiplerden biri; X- entegrasyon değişkeni. Bir antiderivatif bulma işlemine denir entegrasyon.

Örnek 1. Belirsiz integralleri bulun:

Teorem 2(belirsiz bir integralin varlığı). Eğer fonksiyon f(x) sürekli açık (a, b) , o zaman bir antiderivatif vardır ve dolayısıyla bir integral ∫ F(X)dx.

Belirsiz integrallerin özellikleri:

1. (∫F(X)dx)′ = F(X) , yani belirsiz integralin türevi integrale eşittir.

2. D(∫F(X)dx) = F(X)dx yani belirsiz integralin diferansiyeli integrale eşittir.

3. ∫dF(X) = F(X) + C.

4. ∫(C 1 F 1(X) + C 2 F 2 (X))dx= C 1∫F 1(X)dx+ C 2∫F 2(X)dx- doğrusallık özelliği; C1, C2- kalıcı.

5. Eğer ∫ F(X)dx= F(X) + C, O

İlk üç özellik belirsiz integralin tanımından kaynaklanmaktadır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarının farklılığını alarak 4 ve 5 özelliklerini elde ederiz. Xİntegrallerin 1. özelliğini ve türevlerin özelliklerini kullanarak.

Örnek 2. Belirsiz integrali bulun: a) ∫( eski+cos5 X)dx.

Çözüm. 4 ve 5 numaralı özellikleri kullanarak şunları buluruz:

Yüksek matematikte aritmetikteki çarpım tablosuyla aynı rolü oynayan temel integrallerin bir tablosunu sunalım.

Temel entegrasyon yöntemleri

Üç vardır ana entegrasyon yöntemi.

1. Doğrudan entegrasyon- İntegral tablosu ve belirsiz integrallerin temel özellikleri kullanılarak integrallerin hesaplanması.

Örnek 3. İntegrali hesaplayın: ∫ tg 2 xdx.

2. İkame yöntemi . Çoğu durumda, yeni bir entegrasyon değişkeninin eklenmesi, belirli bir integralin hesaplanmasının tablo halindeki bir integralin bulunmasına indirgenmesine olanak tanır. Bu yönteme aynı zamanda denir değişken değiştirme yöntemi.

Teorem 3. Fonksiyona izin ver x = φ(t) belirli bir aralıkta tanımlanmış, sürekli ve türevlenebilir T bırak gitsin X- bu fonksiyonun değer kümesi, yani. T karmaşık fonksiyon tanımlı f(φ(t)). O zaman eğer ∫ f(x)dx= F(x)+ C, O

∫f(x)dx=∫f(φ(t)) φ ′ (t)dt. (1)

Formül (1)'e formül denir Belirsiz bir integralde bir değişkenin değiştirilmesi.

Yorum.İntegrali hesapladıktan sonra ∫ f(φ(t)) φ ′ (t)dt değişkene geri dönmeniz gerekiyor X.

Örnek 4.İntegrali bulun: ∫cos 3 X günah xdx.

a) Günahı değiştirin xdx açık (- Dçünkü X), yani fonksiyonu tanıtıyoruz çünkü X diferansiyel işaretinin altında. Aldık

3. Parçalara göre entegrasyon yöntemi

Teorem 4. Fonksiyonlara izin ver sen(x) Ve v(x) belirli bir aralıkta tanımlanmış ve türevlenebilir X bırak gitsin sen′ (x)v(x) bu aralıkta bir ters türevi vardır, yani bir ∫ integrali vardır sen′( X)v(X)dx.

O zaman bu aralıkta fonksiyonun bir antiderivatifi vardır ve u(x)v′ (X) ve formül doğrudur:

∫sen(X)v′( X)dx= sen(X)v(X) −∫v(X)sen′( X)dx(2)

∫udv= UV−∫vdu.(2′)

Formüller (2) ve (2′) denir belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon formülleri.

Parçalara göre entegrasyon yöntemini kullanarak aşağıdaki fonksiyonların integralleri hesaplanır: P(X)arksin( balta),P(X)arccos( balta), P(X)arctg( balta), P(X)arcctg( balta),P(X)in X, P(X)e kx, P(X)günah kx, P(X)çünkü kx, Burada P(x)- polinom; e baltaçünkü bx, e balta günah bx.

Elbette bu fonksiyonlar, parçalı entegrasyon yöntemi kullanılarak hesaplanan tüm integralleri tüketmez.

Örnek 6.İntegrali bulun: ∫ arktg 3xdx.

Çözüm. Hadi koyalım sen= arktg 3X; dv= dx. Daha sonra

Formül (2)'ye göre elimizde

Herhangi bir fonksiyonun türevini alabileceğimiz halde, ters türev fonksiyonu bulma sorununun her zaman bir çözümü yoktur. Bu, evrensel bir entegrasyon yönteminin eksikliğini açıklamaktadır.

Bu makalede, ayrıntılı çözümlü örnekleri kullanarak belirsiz integrali bulmanın temel yöntemlerine bakacağız. Ayrıca her entegrasyon yönteminin karakteristik özelliği olan integrand fonksiyon türlerini de gruplandıracağız.

Sayfada gezinme.

Doğrudan entegrasyon.

Kuşkusuz, bir ters türev fonksiyonu bulmanın ana yöntemi, bir ters türev tablosu ve belirsiz integralin özelliklerini kullanarak doğrudan entegrasyondur. Diğer tüm yöntemler yalnızca orijinal integrali tablo biçimine indirgemek için kullanılır.

Örnek.

Fonksiyonun antiderivatifleri kümesini bulun.

Çözüm.

Fonksiyonu formda yazalım.

Bir fonksiyon toplamının integrali integrallerin toplamına eşit olduğundan, o zaman

Sayısal katsayı integral işaretinden çıkarılabilir:

Bu nedenle, integrallerden ilki, sahip olduğumuz üstel fonksiyonun antitürevleri tablosundan tablo biçimine indirgenmiştir. .

İkinci integrali bulmak için kuvvet fonksiyonunun ters türevleri tablosunu kullanırız. ve kural . Yani, .

Buradan,

Nerede

İkame yöntemiyle entegrasyon.

Yöntemin özü, yeni bir değişken tanıtmamız, integrali bu değişken aracılığıyla ifade etmemiz ve sonuç olarak integralin tablo (veya daha basit) biçimine ulaşmamızdır.

Trigonometrik fonksiyonları ve fonksiyonları radikallerle entegre ederken çoğu zaman ikame yöntemi kurtarmaya gelir.

Örnek.

Belirsiz integrali bulun .

Çözüm.

Yeni bir değişken tanıtalım. x'i z'ye kadar ifade edelim:

Ortaya çıkan ifadeleri orijinal integralin yerine koyarız:

Elimizdeki antiderivatifler tablosundan .

Geriye orijinal x değişkenine dönmek kalıyor:

Cevap:

Trigonometrik fonksiyonların integrali alınırken sıklıkla ikame yöntemi kullanılır. Örneğin, evrensel trigonometrik ikameyi kullanmak, integrali kesirli rasyonel bir forma dönüştürmenize olanak tanır.

Değiştirme yöntemi entegrasyon kuralını açıklamanıza olanak tanır .

Yeni bir değişken tanıtıyoruz, ardından

Ortaya çıkan ifadeleri orijinal integralin yerine koyarız:

Eğer kabul edip orijinal x değişkenine dönersek, şunu elde ederiz:

Diferansiyel işaretinin gönderilmesi.

Diferansiyel işareti kapsama yöntemi, integralin forma indirgenmesine dayanmaktadır. . Daha sonra ikame yöntemi kullanılır: yeni bir değişken eklenir ve yeni değişkenin ters türevi bulunduktan sonra orijinal değişkene geri döneriz, yani

Kolaylık olması açısından, integrali dönüştürmeyi kolaylaştırmak için onu diferansiyeller biçiminde gözlerinizin önüne yerleştirin ve ayrıca integralin hangi forma dönüştürüleceğini görmek için bir antiderivatifler tablosu yerleştirin.

Örneğin kotanjant fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulalım.

Örnek.

Belirsiz integrali bulun.

Çözüm.

İntegral trigonometri formülleri kullanılarak dönüştürülebilir:

Türev tablosuna baktığımızda paydaki ifadenin diferansiyel işareti altında toplanabileceği sonucuna varıyoruz. , Bu yüzden

Yani .

Olsun o zaman . Antiderivatifler tablosundan şunu görüyoruz: . Orijinal değişkene dönüş .

Açıklama yapılmadan çözüm şu şekilde yazılır:

Parçalara göre entegrasyon.

Parçalara göre entegrasyon, integralin bir ürün olarak temsil edilmesine ve ardından formülün uygulanmasına dayanır. Bu yöntem çok güçlü bir entegrasyon aracıdır. İntegrale bağlı olarak parçalı integrasyon yönteminin bazen sonuç elde edilinceye kadar arka arkaya birkaç kez uygulanması gerekir. Örneğin, arktanjant fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulalım.

Örnek.

Belirsiz integrali hesaplayın.

Çözüm.

Olsun o zaman

v(x) fonksiyonunu bulurken keyfi bir C sabiti eklememeye dikkat edilmelidir.

Şimdi parçalara göre entegrasyon formülünü uyguluyoruz:

Son integrali diferansiyel işaret altına alma yöntemini kullanarak hesaplıyoruz.

O zamandan beri . Bu yüzden

Buradan,

Nerede .

Cevap:

Parçalara göre integral almadaki ana zorluklar, integralin hangi kısmının u(x) fonksiyonu olarak ve hangi kısmının d(v(x) diferansiyeli olarak alınacağı) seçiminden kaynaklanmaktadır. Ancak parçalara göre entegrasyon bölümünde aşina olmanızı tavsiye ettiğimiz bir dizi standart öneri bulunmaktadır.

Örneğin veya gibi güç ifadelerini entegre ederken, dereceyi adım adım azaltmanıza olanak tanıyan yinelenen formüller kullanın. Bu formüller parçalar halinde ardışık tekrarlanan entegrasyonlarla elde edilir. Yineleme formüllerini kullanarak bölüm entegrasyonuna alışmanızı öneririz.

Sonuç olarak, bu makaledeki tüm materyalleri özetlemek istiyorum. Temellerin temeli doğrudan entegrasyon yöntemidir. İkame yöntemleri, diferansiyel işaret altında ikame ve parçalara göre entegrasyon yöntemi, orijinal integralin tablo halindeki bir integrale indirgenmesini mümkün kılar.

Bu konuumuzda belirsiz integralin özelliklerinden ve bu özelliklerden yararlanılarak integrallerin bulunmasından detaylı olarak bahsedeceğiz. Ayrıca belirsiz integraller tablosuyla da çalışacağız. Burada sunulan materyal "Belirsiz integral. Başlangıç" konusunun devamı niteliğindedir. Dürüst olmak gerekirse, test kağıtları nadiren tipik tablolar ve/veya basit özellikler kullanılarak alınabilecek integraller içerir. Bu özellikler, diğer konulardaki integrallerin çözüm mekanizmasını anlamak için bilgi ve anlayış gerektiren alfabeyle karşılaştırılabilir. Genellikle integral tablolarını ve belirsiz integralin özelliklerini kullanan entegrasyona denir. doğrudan entegrasyon.

Ne demek istiyorum: Fonksiyonlar değişir, ancak türevi bulma formülü, daha önce iki yöntem listelememiz gereken integralin aksine, değişmeden kalır.

Daha ileri gidelim. $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ türevini bulmak için aynısı aynı formül $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ için de geçerlidir; bunun yerine $u=x^(-\frac(1)(2)) koymanız gerekir $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$. Ancak $\int x^(-\frac(1)( integralini bulmak için) 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ yeni bir yöntemin kullanılmasını gerektirecektir - Chebyshev ikameleri.

Ve son olarak: $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ fonksiyonunun türevini bulmak için $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" formülü $ yine uygulanabilir, burada $u$ ve $v$ yerine sırasıyla $\sin x$ ve $\frac(1)(x)$ yerine koyduk.Fakat $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ alınmaz veya daha doğrusu, sonlu sayıda temel fonksiyon cinsinden ifade edilmez.

Özetleyelim: Türevi bulmak için bir formülün gerekli olduğu yerde, integral için dört formül gerekliydi (ve bu sınır değildir) ve ikinci durumda integral bulunmayı hiç reddetti. İşlev değiştirildi; yeni bir entegrasyon yöntemine ihtiyaç vardı. Referans kitaplarında çok sayfalı tablolarımızın olduğu yer burasıdır. Genel bir yöntemin eksikliği ("manuel olarak" çözmeye uygun), yalnızca kendi, son derece sınırlı işlev sınıflarının entegrasyonu için uygulanabilen çok sayıda özel yönteme yol açar (ilerideki konularda bu yöntemleri ayrıntılı olarak ele alacağız). Her ne kadar Risch algoritmasının varlığını not edemesem de (Wikipedia'daki açıklamayı okumanızı tavsiye ederim), bu yalnızca belirsiz integrallerin programla işlenmesi için uygundur.

Soru 3

Fakat bu özelliklerden bu kadar çok varsa integral almayı nasıl öğrenebilirim? Türevlerle daha kolaydı!

Bir kişi için şu ana kadar tek bir yol var: Çeşitli entegrasyon yöntemlerini kullanarak mümkün olduğunca çok örnek çözmek, böylece yeni bir belirsiz integral ortaya çıktığında deneyiminize dayanarak bunun için bir çözüm yöntemi seçebilirsiniz. Cevabın pek güven verici olmadığını anlıyorum ama başka yolu yok.

Belirsiz integralin özellikleri

Mülk No.1

Belirsiz integralin türevi integrale eşittir, yani. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

İntegral ve türev karşılıklı olarak ters işlemler olduğundan bu özellik oldukça doğaldır. Örneğin, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ vb.

Mülk No.2

Bazı fonksiyonların diferansiyelinin belirsiz integrali bu fonksiyona eşittir, yani. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Genellikle bu özellik biraz zor olarak algılanır çünkü integralin altında "hiçbir şey" yokmuş gibi görünür. Bunu önlemek için belirtilen özelliği şu şekilde yazabilirsiniz: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Bu özelliğin kullanımına bir örnek: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ veya isterseniz şu biçimde: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Mülk No.3

Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir, yani. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ ($a\neq 0$ olduğunu varsayıyoruz).

Özellik oldukça basittir ve belki de yorum gerektirmez. Örnekler: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

4 No'lu Mülk

İki fonksiyonun toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Örnekler: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

Standart testlerde genellikle 3 ve 4 numaralı özellikler kullanılır, bu nedenle bunlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duracağız.

Örnek No.3

$\int 3 e^x dx$'ı bulun.

3 numaralı özelliği kullanalım ve sabiti çıkaralım, yani. sayı $3$, integral işareti için: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Şimdi integral tablosunu açalım ve 4 numaralı formülde $u=x$ yerine şunu elde edelim: $\int e^x dx=e^x+C$. Bundan $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$ sonucu çıkar. Okuyucunun hemen bir sorusu olacağını varsayıyorum, bu yüzden bu soruyu ayrı ayrı formüle edeceğim:

Soru #4

Eğer $\int e^x dx=e^x+C$ ise, o zaman $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! Neden $3e^x+3C$ yerine $3e^x+C$ yazdılar?

Soru tamamen mantıklı. Mesele şu ki, integral sabiti (yani aynı sayı $C$) herhangi bir ifade biçiminde temsil edilebilir: asıl mesele, bu ifadenin tüm gerçek sayılar kümesini "geçmesidir", yani. $-\infty$ ila $+\infty$ arasında değişiyordu. Örneğin, eğer $-\infty≤ C ≤ +\infty$ ise, o zaman $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, dolayısıyla $C$ sabiti $\ biçiminde temsil edilebilir. kesir(C)(3)$. Şunu yazabiliriz: $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ ve ardından $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\sağ)=3e^x+C$. Gördüğünüz gibi burada bir çelişki yok ama integral sabitinin formunu değiştirirken dikkatli olmak gerekiyor. Örneğin, $C$ sabitini $C^2$ olarak temsil etmek bir hata olacaktır. Mesele şu ki $C^2 ≥ 0$, yani. $C^2$, $-\infty$'dan $+\infty$'a değişmez ve tüm gerçek sayıları "geçirmez". Benzer şekilde, bir sabiti $\sin C$ olarak göstermek de hata olur, çünkü $-1≤ \sin C ≤ 1$, yani. $\sin C$, gerçek eksenin tüm değerlerinde "çalışmaz". Aşağıda bu konuyu ayrıntılı olarak tartışmayacağız, ancak her belirsiz integral için sadece $C$ sabitini yazacağız.

Örnek No. 4

$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$'ı bulun.

4 numaralı özelliği kullanalım:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Şimdi integral işaretlerinin dışındaki sabitleri (sayıları) alalım:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Daha sonra elde edilen her integralle ayrı ayrı çalışacağız. İlk integral, yani. $\int \sin x dx$, 5 numaralı integral tablosunda kolayca bulunabilir. 5 numaralı formülde $u=x$ yerine şunu elde ederiz: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

İkinci integral $\int\frac(dx)(x^2+9)$'ı bulmak için integral tablosundaki 11 numaralı formülü uygulamanız gerekir. $u=x$ ve $a=3$ yerine şunu elde ederiz: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Ve son olarak, $\int x^3dx$'ı bulmak için tablodaki 1 numaralı formülü kullanırız ve yerine $u=x$ ve $\alpha=3$ koyarız: $\int x^3dx=\frac(x^) (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ ifadesinin içerdiği tüm integraller bulundu. Geriye kalan tek şey onları değiştirmek:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Sorun çözüldü, cevap şu: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Bu soruna küçük bir not ekleyeceğim:

Sadece küçük bir not

Belki kimsenin bu eke ihtiyacı olmayacak, ama yine de $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$'dan bahsedeceğim. Onlar. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

İrrasyonellikleri (diğer bir deyişle kökleri) araya koymak için integraller tablosundaki 1 numaralı formülü kullandığımız bir örneğe bakalım.

Örnek No. 5

$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$'ı bulun.

Başlangıç ​​olarak, örnek 3'tekiyle aynı işlemleri yapacağız, yani: integrali ikiye ayıracağız ve sabitleri integrallerin işaretlerinin ötesine taşıyacağız:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

$\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$ olduğundan, $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Bu integrali bulmak için, $u=x$ ve $\alpha=\frac(4)(7)$ yerine 1 numaralı formülü uygularız: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11))))(11)+C$. İsterseniz $\sqrt(x^(11))$ $x\cdot\sqrt(x^(4))$ olarak temsil edebilirsiniz, ancak bu gerekli değildir.

Şimdi ikinci integrale dönelim; $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Çünkü $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11)) ) $ ise, söz konusu integral şu ​​biçimde temsil edilebilir: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Ortaya çıkan integrali bulmak için, integraller tablosundaki 1 numaralı formülü uygularız ve bunun yerine $u=x$ ve $\alpha=-\frac(6)(11)$ koyarız: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Elde edilen sonuçları yerine koyarsak şu cevabı alırız:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^() 11))))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11))))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Cevap: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) ))))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Ve son olarak integral tablosunun 9 numaralı formülüne giren integrali alalım. Şimdi geçeceğimiz 6 numaralı örnek başka şekilde de çözülebilir ancak bu daha sonraki konularda tartışılacaktır. Şimdilik tablo kullanımı çerçevesinde kalacağız.

Örnek No. 6

$\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$'yi bulun.

İlk önce, öncekiyle aynı işlemi yapalım: sabiti ($12$ sayısını) integral işaretinin dışına taşıyalım:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Ortaya çıkan $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ integrali zaten tablodaki $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) integraline yakın )$ (formül No. 9 integral tablosu). İntegralimizdeki fark, kökün altındaki $x^2$'den önce, tablo integralinin izin vermediği $7$ katsayısının olmasıdır. Bu nedenle kök işaretinin ötesine taşıyarak bu yediden kurtulmamız gerekiyor:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15))( ) 7)-x^2\sağ))))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Tablo integralini $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ ve $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-) karşılaştırırsak x^ 2))$ aynı yapıya sahip oldukları anlaşılıyor. Yalnızca $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ integralinde $u$ yerine $x$ vardır ve $a^2$ yerine $\frac (15)(7)$ var. Peki, eğer $a^2=\frac(15)(7)$ ise, o zaman $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $u=x$ ve $a=\sqrt(\frac(15)(7))$'yi $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin formülüne yerleştirme \ frac(u)(a)+C$, aşağıdaki sonucu elde ederiz:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

$\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ olduğunu hesaba katarsak, sonuç “üç katlı” olmadan yeniden yazılabilir. ” kesirler:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Sorun çözüldü, cevap geldi.

Cevap: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Örnek No.7

$\int\tg^2xdx$'ı bulun.

Trigonometrik fonksiyonların integralini almak için yöntemler vardır. Ancak bu durumda basit trigonometrik formüller bilgisiyle idare edebilirsiniz. $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$ olduğundan, $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ sağ)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. $\sin^2x=1-\cos^2x$ dikkate alındığında şunu elde ederiz:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Böylece, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Ortaya çıkan integrali integrallerin toplamına genişletirsek ve tablo formüllerini uygularsak:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Cevap: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Doğrudan entegrasyon, belirli bir integralin, integralin özdeş dönüşümleri ve belirsiz integralin özelliklerinin uygulanması yoluyla bir veya daha fazla tablo integraline indirgendiği bir entegrasyon yöntemi olarak anlaşılır.

Örnek 1. Bulmak.

 Payı paydaya bölerek şunu elde ederiz:

=
.

Her terimden sonra isteğe bağlı bir sabit koymaya gerek olmadığını unutmayın, çünkü bunların toplamı da sonunda yazdığımız isteğe bağlı bir sabittir.

Örnek 2. Bulmak
.

 İntegrali şu şekilde dönüştürüyoruz:

.

Tablo integrali 1'i uygulayarak şunu elde ederiz:

.

Örnek 3.

Örnek 4.

Örnek 5.

=
.

Bazı durumlarda integrallerin bulunması yapay teknikler kullanılarak basitleştirilmiştir.

Örnek 6. Bulmak
.

 İntegrali şununla çarpın:
bulduk

=
.

Örnek 7.

Örnek 8 .

2. Değişken yöntemini değiştirerek entegrasyon

Belirli bir integrali doğrudan integrasyonla hesaplamak her zaman mümkün değildir ve bazen bu büyük zorluklarla ilişkilendirilir. Bu durumlarda başka teknikler kullanılır. En etkili olanlardan biri değişken değiştirme yöntemidir. Bunun özü, yeni bir entegrasyon değişkeni ekleyerek belirli bir integrali, doğrudan alınması nispeten kolay olan yeni bir integrale indirgemenin mümkün olmasıdır. Bu yöntemin iki çeşidi vardır.

a) Bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi

Fonksiyonun diferansiyelinin tanımı gereği
.

Bu eşitlikte soldan sağa geçişe “faktörün özetlenmesi” denir.
diferansiyel işaretinin altında."

İntegral formüllerinin değişmezliğine ilişkin teorem

Herhangi bir entegrasyon formülü, bağımsız değişkeni ondan türevlenebilir herhangi bir fonksiyonla değiştirirken formunu korur;

, Daha sonra
,

Nerede
- herhangi bir türevlenebilir fonksiyon X. Değerleri fonksiyonun bulunduğu aralığa ait olmalıdır tanımlanmış ve süreklidir.

Kanıt:

Neyden
, meli
. Şimdi fonksiyonu alalım
. Diferansiyeli için,  fonksiyonunun ilk diferansiyelinin formunun değişmezliği özelliğinden dolayı, şunu elde ederiz:

İntegrali hesaplamak gerekli olsun
. Diferansiyellenebilir bir fonksiyonun olduğunu varsayalım.
ve işlev
öyle ki integral
olarak yazılabilir

onlar. integral hesaplama
integralin hesaplanmasına indirgenir
ve sonraki ikame
.

Örnek 1. .

Örnek 2. .

Örnek 3 . .

Örnek 4 . .

Örnek 5 .
.

Örnek 6 . .

Örnek 7 . .

Örnek 8. .

Örnek 9. .

Örnek 10 . .

Örnek 11.

Örnek 12 . BulI=
(0).

 İntegral fonksiyonunu şu şekilde temsil edelim:

Buradan,

Böylece,
.

Örnek 12a. Bulmak BEN=
,
.

 O zamandan beri
,

buradan BEN= . 

Örnek 13. Bulmak
(0).

 Bu integrali tablo haline getirmek için integralin payını ve paydasını şu şekilde böleriz: :

.

Diferansiyel işaretinin altına sabit bir faktör yerleştirdik. Bunu yeni bir değişken olarak düşünürsek şunu elde ederiz:

.

İrrasyonel fonksiyonların integralini alırken önemli olan integrali de hesaplayalım.

Örnek 14. BulI=
( X A,A0).

 Bizde
.

Bu yüzden,

( X A,A0).

Sunulan örnekler, belirli bir konuyu sunma yeteneğinin önemini göstermektedir.

diferansiyel ifade
akla
, Nerede bazı işlevler var X Ve G– entegre edilmesi daha basit bir fonksiyon F.

Bu örneklerde, aşağıdaki gibi diferansiyel dönüşümler

Nerede B- sabit değer

,

,

,

integrallerin bulunmasında sıklıkla kullanılır.

Temel integraller tablosunda şu varsayılmıştır: X bağımsız bir değişken vardır. Ancak yukarıda belirtildiği gibi bu tablo, aşağıdaki koşullar altında anlamını tamamen korur: X Bağımsız bir değişkenin sürekli türevlenebilir herhangi bir fonksiyonunu anlamak. Temel integraller tablosundan bir takım formülleri genelleştirelim.

3 A.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
( X A,A0).

9.
(A0).

Bir fonksiyonu özetleme işlemi
diferansiyel işaretin altında değişkeni değiştirmeye eşdeğerdir X yeni bir değişkene
. Aşağıdaki örnekler bu noktayı göstermektedir.

Örnek 15. BulI=
.

 Formülü kullanarak değişkeni değiştirelim
, Daha sonra
yani
ve ben=
.

Değiştirme sen onun ifadesi
sonunda kavuştuk

ben =
.

Gerçekleştirilen dönüşüm, fonksiyonun diferansiyel işaretini toplamaya eşdeğerdir
.

Örnek 16. Bulmak
.

 Hadi koyalım
, Daha sonra
, Neresi
. Buradan,

Örnek 17. Bulmak
.

 İzin ver
, Daha sonra
, veya
. Buradan,

Sonuç olarak, aynı fonksiyonu entegre etmenin farklı yollarının bazen görünüşte farklı fonksiyonlara yol açtığını not ediyoruz. Elde edilen fonksiyonlar arasındaki farkın sabit bir değer olduğunu gösterirsek bu belirgin çelişki ortadan kaldırılabilir (Ders 1'de kanıtlanmış teoreme bakınız).

Örnekler:

Sonuçlar sabit bir miktarda farklılık gösterir; bu, her iki cevabın da doğru olduğu anlamına gelir.

b) ben=
.

Cevaplardan herhangi birinin birbirinden yalnızca sabit bir miktarda farklılık gösterdiğini doğrulamak kolaydır.

b) İkame yöntemi (yeni bir değişken ekleme yöntemi)

İntegrali alalım
(
- sürekli) doğrudan tablo biçimine dönüştürülemez. Bir değişiklik yapalım
, Nerede
- sürekli türevi olan bir fonksiyon. Daha sonra
,
Ve

. (3)

Formül (3)'e değişken formülün belirsiz integraldeki değişimi denir.

Doğru ikame nasıl seçilir? Bu, entegrasyondaki pratik yoluyla elde edilir. Ancak entegrasyonun özel durumları için bir takım genel kurallar ve bazı teknikler oluşturmak mümkündür.

Değiştirme yoluyla entegrasyon kuralı aşağıdaki gibidir.

Bu integralin hangi tablo integraline indirgendiğini belirleyin (gerekirse ilk önce integrali dönüştürdükten sonra).

İntegralin hangi kısmının yeni bir değişkenle değiştirileceğini belirleyin ve bu değişimi yazın.

Kaydın her iki bölümünün diferansiyellerini bulun ve eski değişkenin diferansiyelini (veya bu diferansiyeli içeren bir ifadeyi) yeni değişkenin diferansiyeli cinsinden ifade edin.

İntegralin altında bir değişiklik yapın.

Ortaya çıkan integrali bulun.

Tersine bir değiştirme yapılır, yani. eski değişkene gidin.

Kuralı örneklerle açıklayalım.

Örnek 18. Bulmak
.

Örnek 19. Bulmak
.

=
.

Bu integrali toplayarak buluruz
diferansiyel işaretinin altında.

=.

Örnek 20. Bulmak
(
).

yani
, veya
. Buradan
yani
.

Böylece elimizde
. Değiştirme aracılığıyla ifade edilmesi X sonunda irrasyonel fonksiyonların entegrasyonunda önemli rol oynayan integrali buluyoruz:
(
).

Öğrenciler bu integrale "uzun logaritma" adını verdiler.

Bazen ikame yerine
formun değişken bir şekilde değiştirilmesi daha iyidir
.

Örnek 21. Bulmak
.

Örnek 22. Bulmak
.

 Yer değiştirmeyi kullanalım
. Daha sonra
,
,
.

Bu nedenle, .

Bazı durumlarda, integrali bulmak, doğrudan integral alma yöntemlerinin kullanılmasına ve fonksiyonların aynı anda diferansiyel işaret altına alınmasına dayanır (bkz. örnek 12).

Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonunda önemli rol oynayan integralin hesaplanmasına yönelik bu birleşik yaklaşımı örnekleyelim.

Örnek 23. Bulmak
.

=
.

Bu yüzden,
.

Bu integrali hesaplamaya yönelik başka bir yaklaşım:

.

Örnek 24. Bulmak
.

Başarılı bir oyuncu değişikliği seçmenin genellikle zor olduğunu unutmayın. Bunların üstesinden gelmek için türev alma tekniğinde ustalaşmanız ve tablo integralleri hakkında iyi bir bilgiye sahip olmanız gerekir.