Bir tam sayıyı tam sayılı kesirle çarpmak. Kesirlerin Çarpılması

Kesirlerde çarpma ve bölme.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Bu işlem toplama-çıkarmadan çok daha güzel! Çünkü daha kolay. Bir hatırlatma olarak, bir kesri bir kesirle çarpmak için payları (bu, sonucun payı olacaktır) ve paydaları (bu payda olacaktır) çarpmanız gerekir. Yani:

Örneğin:

Her şey son derece basit. Ve lütfen ortak payda aramayın! Burada ona gerek yok...

Bir kesri kesre bölmek için işlemi tersine çevirmeniz gerekir. ikinci(bu önemlidir!) kesir yapın ve bunları çarpın, yani:

Örneğin:

Tamsayılar ve kesirlerle çarpma veya bölme işlemiyle karşılaşırsanız sorun değil. Toplama işleminde olduğu gibi, paydası bir olan bir tam sayıdan kesir yaparız ve devam ederiz! Örneğin:

Lisede sık sık üç katlı (hatta dört katlı!) kesirlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Örneğin:

Bu kesirin düzgün görünmesini nasıl sağlayabilirim? Evet, çok basit! İki noktalı bölmeyi kullanın:

Ancak bölünme sırasını unutmayın! Çarpmanın aksine burada bu çok önemli! Elbette 4:2 veya 2:4'ü karıştırmayacağız. Ancak üç katlı bir kesirde hata yapmak kolaydır. Lütfen örneğin şunu unutmayın:

İlk durumda (soldaki ifade):

İkincisinde (sağdaki ifade):

Farkı hissediyor musun? 4 ve 1/9!

Bölünme sırasını ne belirler? Ya parantezlerle, ya da (burada olduğu gibi) yatay çizgilerin uzunluğuyla. Gözünüzü geliştirin. Ve eğer parantez veya tire yoksa, örneğin:

sonra böl ve çarp sırasıyla soldan sağa!

Ve çok basit ve önemli bir teknik daha. Dereceli eylemlerde size çok faydalı olacaktır! Birini herhangi bir kesre, örneğin 13/15'e bölelim:

Vuruş tersine döndü! Ve bu her zaman olur. 1'i herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesirdir, yalnızca ters çevrilmiş hali.

Kesirli işlemler için bu kadar. Olay oldukça basit ama gereğinden fazla hata veriyor. Not pratik tavsiye ve bunlardan daha az olacak (hatalar)!

Pratik ipuçları:

1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir! Bunlar genel sözler değil, iyi dilekler değil! Bu çok ciddi bir gereklilik! Birleşik Devlet Sınavındaki tüm hesaplamaları tam teşekküllü, odaklanmış ve net bir görev olarak yapın. Taslağınıza fazladan iki satır yazmak, zihinsel hesaplamalar yaparken ortalığı karıştırmaktan daha iyidir.

2. Örneklerde farklı şekiller kesirler - sıradan kesirlere gidin.

3. Tüm kesirleri durana kadar azaltıyoruz.

4. Çok seviyeli kesirli ifadeleri iki noktaya bölmeyi kullanarak sıradan ifadelere indirgeriz (bölme sırasını takip ederiz!).

5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.

İşte mutlaka tamamlamanız gereken görevler. Cevaplar tüm görevlerden sonra verilir. Bu konuyla ilgili materyalleri ve pratik ipuçlarını kullanın. Kaç örneği doğru çözebildiğinizi tahmin edin. İlk defa! Hesap makinesi olmadan! Ve doğru sonuçları çıkarın...

Unutmayın - doğru cevap ikinciden (özellikle üçüncüden) alınanlar sayılmaz! Zorlu hayat böyle.

Bu yüzden, sınav modunda çöz ! Bu arada, bu zaten Birleşik Devlet Sınavına hazırlık. Örneği çözüyoruz, kontrol ediyoruz, bir sonrakini çözüyoruz. Her şeye karar verdik - baştan sona tekrar kontrol ettik. Ama sadece Daha sonra cevaplara bakın.

Hesaplamak:

Karar verdin mi?

Sizinkine uygun cevaplar arıyoruz. Bunları kasıtlı olarak, deyim yerindeyse, baştan çıkarıcılıktan uzak, dağınık bir şekilde yazdım... İşte, noktalı virgülle yazılmış cevaplar.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Şimdi sonuçlar çıkarıyoruz. Her şey yolunda gittiyse, senin adına sevindim! Kesirlerle yapılan temel hesaplamalar sizin sorununuz değil! Daha ciddi şeyler yapabilirsiniz. Değilse...

Yani iki problemden birine sahipsiniz. Veya her ikisi de aynı anda.) Bilgi eksikliği ve (veya) dikkatsizlik. Ama bu çözülebilir Sorunlar.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

) ve payda payda (çarpımın paydasını alıyoruz).

Kesirleri çarpma formülü:

Örneğin:

Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.

Ortak bir kesri bir kesire bölmek.

Doğal sayılarla kesirleri bölme.

Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, tamsayıyı paydası bir olan kesire dönüştürüyoruz. Örneğin:

Karışık kesirlerin çarpılması.

Kesirleri çarpma kuralları (karışık):

• karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
• kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
• fraksiyonu azaltın;
• Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.

Not! Karışık bir kesiri başka bir karışık kesirle çarpmak için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından sıradan kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.

Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygun olabilir.

Not! Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı değiştirmemeniz gerekir.

Yukarıdaki örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.

Çok öykülü kesirler.

Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:

Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:

Not! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.

Not, Örneğin:

Birini herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:

Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:

1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.

2. Farklı kesir türlerine sahip görevlerde sıradan kesir türlerine gidin.

3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.

4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.

5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.

En son kesirlerde toplama ve çıkarma yapmayı öğrendik (“Kesirlerde toplama ve çıkarma” dersine bakın). Bu eylemlerin en zor kısmı kesirleri ortak paydada buluşturmaktı.

Şimdi çarpma ve bölmeyle uğraşmanın zamanı geldi. İyi haberler bu işlemlerin toplama ve çıkarma işlemlerinden bile daha basit olmasıdır. İlk olarak, ayrılmış bir tam sayı kısmı olmayan iki pozitif kesirin olduğu en basit durumu ele alalım.

İki kesri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi ise paydası olacaktır.

İki kesri bölmek için, ilk kesri "tersine çevrilmiş" ikinci kesirle çarpmanız gerekir.

Tanım:

Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpma işlemine indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri "çevirmek" için pay ve paydayı değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle ders boyunca ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.

Çarpmanın bir sonucu olarak, indirgenebilir bir kesir ortaya çıkabilir (ve sıklıkla ortaya çıkar) - elbette azaltılması gerekir. Tüm azaltmalardan sonra kesirin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısım vurgulanmalıdır. Ancak çarpma işleminde kesinlikle gerçekleşmeyecek olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çapraz yöntem yok, en büyük çarpanlar ve en küçük ortak katlar.

Tanım gereği elimizde:

Kesirlerin tam parçalarla ve negatif kesirlerle çarpılması

Kesirler bir tamsayı parçası içeriyorsa, bunların yanlış olanlara dönüştürülmesi ve ancak daha sonra yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılması gerekir.

Bir kesrin payında, paydasında veya önünde bir eksi varsa aşağıdaki kurallara göre çarpmadan çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:

1. Artı eksi eksi verir;
2. İki olumsuz bir olumlu yapar.

Şimdiye kadar bu kurallarla ancak negatif kesirlerde toplama ve çıkarma yaparken, bütünden kurtulmak gerektiğinde karşılaşılıyordu. Bir iş için, birkaç dezavantajı aynı anda "yakmak" amacıyla genelleştirilebilirler:

1. Negatifleri tamamen ortadan kaybolana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı durumlarda, bir eksi hayatta kalabilir - eşi olmayan;
2. Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Eğer son eksi, herhangi bir çift olmadığı için üzeri çizilmemişse, onu çarpma sınırlarının dışına çıkarırız. Sonuç negatif bir kesirdir.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz ve ardından eksileri çarpma işleminden çıkarıyoruz. Geriye kalanları alışılmış kurallara göre çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Vurgulanan kesirden önce çıkan eksi işaretinin bir kez daha hatırlatayım. Bütün parça, yalnızca tüm kısmını değil, özellikle kesrin tamamını ifade eder (bu son iki örnek için geçerlidir).

Ayrıca not edin negatif sayılar: Çarpma işleminde parantez içine alınır. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.

Kesirlerin anında azaltılması

Çarpma oldukça emek yoğun bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük çıkıyor ve sorunu basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz çarpmadan önce. Aslında kesirlerin payları ve paydaları aslında sıradan faktörlerdir ve bu nedenle kesirin temel özelliği kullanılarak azaltılabilirler. Örneklere bir göz atın:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tanım gereği elimizde:

Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve kalanlar kırmızıyla işaretlenmiştir.

Lütfen unutmayın: İlk durumda çarpanlar tamamen azaltıldı. Bunların yerine genel anlamda yazılması gerekmeyen birimler kalmıştır. İkinci örnekte tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.

Ancak kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken asla bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar vardır. İşte, bakın:

Bunu yapamazsın!

Hata, toplama sırasında bir kesrin payının sayıların çarpımı değil, bir toplam üretmesi nedeniyle oluşur. Bu nedenle kesrin ana özelliğini uygulamak imkansızdır çünkü bu özellikte Hakkında konuşuyoruzözellikle sayıları çarpma konusunda.

Kesirleri azaltmanın başka hiçbir nedeni yoktur, bu nedenle doğru çözümönceki görev şuna benzer:

Doğru çözüm:

Gördüğünüz gibi doğru cevabın o kadar da güzel olmadığı ortaya çıktı. Genel olarak dikkatli olun.

Ortaokul ve lise derslerinde öğrenciler “Kesirler” konusunu işliyorlardı. Ancak bu kavram öğrenme sürecinde verilenden çok daha geniştir. Günümüzde kesir kavramıyla oldukça sık karşılaşılmaktadır ve herkes herhangi bir ifadeyi, örneğin kesirleri çarpmayı hesaplayamaz.

Kesir nedir?

Tarihsel olarak kesirli sayılar ölçme ihtiyacından doğmuştur. Uygulamada görüldüğü gibi, genellikle bir parçanın uzunluğunu ve dikdörtgen bir dikdörtgenin hacmini belirleme örnekleri vardır.

Başlangıçta öğrencilere pay kavramı tanıtılır. Mesela bir karpuzu 8 parçaya bölerseniz her kişiye karpuzun sekizde biri düşer. Sekizin bu bir kısmına hisse denir.

Herhangi bir değerin ½'sine eşit olan paya yarım denir; ⅓ - üçüncü; ¼ - çeyrek. 5/8, 4/5, 2/4 formundaki kayıtlara sıradan kesirler denir. Ortak bir kesir pay ve paydaya bölünür. Aralarında kesir çubuğu veya kesir çubuğu bulunur. Kesirli çizgi yatay veya eğik bir çizgi olarak çizilebilir. İÇİNDE bu durumda bölme işaretini temsil eder.

Payda, miktarın veya nesnenin kaç eşit parçaya bölündüğünü temsil eder; pay ise kaç adet aynı hissenin alındığıdır. Kesir çizgisinin üstüne pay, altına ise payda yazılır.

Sıradan kesirleri bir koordinat ışınında göstermek en uygunudur. Tek bir parça 4 eşit parçaya bölünürse ve her parça bir Latin harfiyle gösterilirse sonuç mükemmel bir görsel yardımcı olabilir. Yani A noktası tüm birim parçanın 1/4'üne eşit bir payı gösterirken, B noktası belirli bir parçanın 2/8'ini işaret eder.

Kesir türleri

Kesirler sıradan, ondalık ve karışık sayılar olabilir. Ayrıca kesirler doğru ve yanlış olarak ikiye ayrılabilir. Bu sınıflandırma sıradan kesirler için daha uygundur.

Uygun kesir, payı paydasından küçük olan bir sayıdır. Sırasıyla, uygunsuz kesir- Payı paydasından büyük olan bir sayı. İkinci tür genellikle karışık sayı olarak yazılır. Bu ifade bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Örneğin 1½. 1 tam sayı, ½ ise kesirli kısımdır. Ancak ifadeyle bazı manipülasyonlar yapmanız gerekiyorsa (kesirleri bölme veya çarpma, azaltma veya dönüştürme), karışık sayı uygunsuz bir kesire dönüştürülür.

Doğru bir kesirli ifade her zaman birden küçüktür ve yanlış bir kesirli ifade her zaman 1'den büyük veya 1'e eşittir.

Bu ifadeye gelince, kesirli ifadesinin paydası birkaç sıfırlı bir cinsinden ifade edilebilen herhangi bir sayının temsil edildiği bir kaydı kastediyoruz. Kesir uygunsa ondalık gösterimdeki tamsayı kısmı sıfıra eşit olacaktır.

Ondalık kesir yazmak için öncelikle kısmın tamamını yazmalı, virgül kullanarak kesirden ayırdıktan sonra kesir ifadesini yazmalısınız. Ondalık noktadan sonra payın, paydadaki sıfırlarla aynı sayıda dijital karakter içermesi gerektiği unutulmamalıdır.

Örnek. 7 21/1000 kesrini ondalık gösterimle ifade edin.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya (veya tam tersi) dönüştürmek için algoritma

Bir problemin cevabına uygun olmayan bir kesir yazmak yanlıştır, bu nedenle tam sayıya dönüştürülmesi gerekir:

• payı mevcut paydaya bölün;
• V spesifik örnek eksik bölüm - bütün;
• ve kalan kısım, payda değişmeden kalacak şekilde kesirli kısmın payıdır.

Örnek. Uygunsuz kesri karışık sayıya dönüştürün: 47/5.

Çözüm. 47: 5. Kısmi bölüm 9, kalan = 2. Yani 47/5 = 9 2/5.

Bazen karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermeniz gerekir. O zaman aşağıdaki algoritmayı kullanmanız gerekir:

• tamsayı kısmı kesirli ifadenin paydası ile çarpılır;
• elde edilen ürün paya eklenir;
• sonuç paya yazılır, payda değişmeden kalır.

Örnek. Sayıyı karışık biçimde uygunsuz bir kesir olarak sunun: 9 8 / 10.

Çözüm. Pay 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98'dir.

Cevap: 98 / 10.

Kesirlerin Çarpılması

Adi kesirler üzerinde çeşitli cebirsel işlemler yapılabilir. İki sayıyı çarpmak için payı payla, paydayı da paydayla çarpmanız gerekir. Üstelik paydaları farklı olan kesirlerle çarpmanın çarpımdan hiçbir farkı yoktur. kesirli sayılar aynı paydalarla.

Sonucu bulduktan sonra kesri azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirmek zorunludur. Elbette bir cevaptaki uygunsuz kesrin hata olduğu söylenemez ama buna doğru cevap demek de zordur.

Örnek. İki sıradan kesrin çarpımını bulun: ½ ve 20/18.

Örnekte görüldüğü gibi çarpım bulunduktan sonra indirgenebilir kesirli notasyon elde edilmektedir. Bu durumda hem pay hem de payda 4'e bölünür ve sonuç 5/9 cevabıdır.

Ondalık Kesirlerin Çarpılması

Ondalık kesirlerin çarpımı, prensip olarak sıradan kesirlerin çarpımından oldukça farklıdır. Yani kesirlerin çarpılması aşağıdaki gibidir:

• iki ondalık kesir, en sağdaki rakamlar birbirinin altında olacak şekilde üst üste yazılmalıdır;
• yazılı sayıları virgüllere rağmen yani doğal sayılar olarak çarpmanız gerekiyor;
• her sayıdaki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını sayın;
• çarpma işleminden sonra elde edilen sonuçta, ondalık noktadan sonra her iki faktörün toplamında bulunan sayıda dijital sembolü sağdan saymanız ve bir ayırma işareti koymanız gerekir;
• Üründe daha az sayı varsa, bu sayıyı kapatacak kadar önlerine sıfır yazmanız, virgül koymanız ve sıfıra eşit olan kısmın tamamını eklemeniz gerekir.

Örnek. İki ondalık kesrin çarpımını hesaplayın: 2,25 ve 3,6.

Çözüm.

Karışık Kesirlerin Çarpılması

İki karışık kesrin çarpımını hesaplamak için kesirleri çarpma kuralını kullanmanız gerekir:

• karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürmek;
• payların çarpımını bulun;
• paydaların çarpımını bulun;
• sonucu yazın;
• ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirin.

Örnek. 4½ ile 6 2/5'in çarpımını bulun.

Bir sayıyı kesirle çarpmak (bir sayıyla kesir)

İki kesirin ve karışık sayıların çarpımını bulmanın yanı sıra, kesirle çarpmanız gereken görevler de vardır.

Yani ürünü bulmak için ondalık ve bir doğal sayıya ihtiyacınız var:

• sayıyı kesrin altına, en sağdaki rakamlar üst üste gelecek şekilde yazın;
• virgüllere rağmen ürünü bulun;
• sonuçta, kesirdeki ondalık noktadan sonra yer alan basamak sayısını sağdan sayarak, tamsayı kısmını kesirli kısımdan virgül kullanarak ayırın.

Çarpmak ortak kesir bir sayıya pay ve doğal faktörün çarpımını bulmalısınız. Cevap azaltılabilecek bir kesir üretiyorsa dönüştürülmelidir.

Örnek. 5/8 ile 12'nin çarpımını hesaplayın.

Çözüm. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Cevap: 7 1 / 2.

Önceki örnekte de görebileceğiniz gibi, ortaya çıkan sonucu azaltmak ve hatalı kesirli ifadeyi tam sayılı sayıya dönüştürmek gerekiyordu.

Kesirlerin çarpımı aynı zamanda karışık formdaki bir sayı ile bir doğal faktörün çarpımının bulunmasıyla da ilgilidir. Bu iki sayıyı çarpmak için, karma faktörün tamamını sayıyla çarpmanız, payı aynı değerle çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Gerekirse ortaya çıkan sonucu mümkün olduğunca basitleştirmeniz gerekir.

Örnek. 9 5/6 ile 9'un çarpımını bulun.

Çözüm. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3/6 = 88 1 / 2.

Cevap: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 veya 0,1'in katlarıyla çarpma; 0,01; 0,001

Önceki paragraftan devam ediyor sonraki kural. Bir ondalık kesri 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpmak için, ondalık noktayı birden sonraki faktörde sıfır sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir.

örnek 1. 0,065 ile 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 0,065x1000 = 0065 = 65.

Cevap: 65.

Örnek 2. 3,9 ile 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Cevap: 3900.

Bir doğal sayı ile 0,1'i çarpmanız gerekirse; 0,01; 0,001; 0.0001 vb. gibi durumlarda, ortaya çıkan çarpımda virgülü, birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmalısınız. Gerekirse daha önce doğal sayı Yeterli sayıda sıfır kaydedilir.

örnek 1. 56 ile 0,01'in çarpımını bulun.

Çözüm. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Cevap: 0,56.

Örnek 2. 4 ile 0,001'in çarpımını bulun.

Çözüm. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Cevap: 0,004.

Dolayısıyla farklı kesirlerin çarpımını bulmak, belki sonucu hesaplamak dışında herhangi bir zorluğa neden olmamalıdır; bu durumda hesap makinesi olmadan yapamazsınız.