Birinci mertebeden doğrusal kısmi diferansiyel denklemler. Kısmi diferansiyel denklemler

Sürekli ortam mekaniği problemleri, sınır ve başlangıç ​​koşullarının belirlendiği ve sınır değeri problemlerinin formüle edildiği kısmi diferansiyel denklem sistemleriyle tanımlanır. Biçim olarak çok benzer denklemler için bile çözümün özellikleri önemli ölçüde farklılık gösterebilir. Bu yüzden Özel dikkat Kısmi diferansiyel denklemler teorisinde, çözümün özellikleri ile sınır değer problemlerinin formülasyonunun özelliklerinin benzer olduğu türler veya sınıflar halinde birleştirerek sınıflandırma yapılır.

İki bağımsız değişkenli ikinci dereceden denklem örneğini kullanarak sınıflandırmayı ele alalım. Bu tür denklemler, bir takım fiziksel problemlerin matematiksel açıklamasında incelenmeye başlandı ve matematiğin bu dalı, matematiksel fizik, ve ikinci dereceden doğrusal kısmi diferansiyel denklemler - Matematiksel fizik denklemleri. Yalnızca özel durumlarda gaz veya sıvı hareketi veya ısı iletimi sorunlarının bu tür bir denkleme indirgendiğini unutmayın. Ancak bu basit örnek bile, daha karmaşık problemlerin doğasında bulunan hemen hemen tüm özellikleri ortaya koymaktadır.

Öyleyse, iki bağımsız değişkene sahip ikinci dereceden bir kısmi diferansiyel denklemi (diferansiyel denklemin sırası, içerdiği en yüksek türevin sırasına göre belirlenir) ele alalım:

Eğer A,İÇİNDE, İLE - yalnızca işlevler X Ve sen, a / argümanlarının doğrusal bir fonksiyonudur Ve,di/dh , yaptın mı o zaman denklem (1.1) şu şekildedir: doğrusal. Doğrusal denklemler için hem çözüm hakkında genel nitel sonuçlar çıkarmaya hem de çözüm yöntemleri oluşturmaya olanak tanıyan matematiksel teoriler geliştirilmiştir. Birçok pratik durumda, gerekçelendirilmiş bir varsayımlar ve varsayımlar sistemi, bir sürecin matematiksel modelini doğrusal bir sisteme veya doğrusal denkleme indirgemeye izin verir.Özellikle, (1.1) biçimindeki bir doğrusal denklem, bir akışkanın potansiyel akışını tanımlar, sabit iki boyutlu sıcaklık alanı, elastik bir ortamda dalga yayılımı ve diğer birçok fiziksel problem, en detaylı şekilde incelenmiştir.Fakat çoğu durumda pratik problemler doğrusal olmayan denklemlerle tanımlanır, genel teori henüz yaratılmamış olanlardır.

Denklemin doğrusal olmaması yalnızca katsayıların A, B, C bağlıdır bilinmeyen çözüm Ve ve (veya) alt türevleri (içinde bu durumda- ilk türevler), o zaman bu tür doğrusal olmama, yerel olarak doğrusal duruma kıyasla çözümü çok fazla etkilemez. Bu türden doğrusal olmayan denklemlere denir. yarı doğrusal.Çoğu zaman, yarı doğrusal denklemleri analiz etmek için katsayıların “dondurulması” yöntemi kullanılır; bu, sorunu doğrusal durum. Bu yaklaşım her ikisi için de kullanılır. nitel analizçözümler ve sayısal çözüm algoritmaları oluşturmak için. Aerogazdinamik problemlerinin yarı doğrusal denklemler sistemiyle tanımlandığına dikkat edin.

Denklem (1.1), eşdeğer bir birinci dereceden diferansiyel denklem sistemine indirgenebilir. Bunu yapmak için, istenen fonksiyonun bağımsız değişkenlere göre birinci türevleri için notasyon sunuyoruz. R = di/dh Ve q = di/du ve bu gösterimleri kullanarak söz konusu denklemi yazın. Sonuç olarak, üç bilinmeyen μ fonksiyonu için birinci dereceden üç denklemden oluşan bir sisteme ulaşıyoruz, R Ve Q:

Ters etkinin (birinci dereceden denklem sistemini tek bir denkleme indirgemek) her zaman mümkün olmadığını unutmayın.

Kısmi diferansiyel denklemler teorisindeki en önemli kavramlardan biri karakteristik kavramıdır. İlk olarak G. Monge'nin çalışmalarında yüzeylerin şeklini açıklayan denklemler incelenirken ortaya çıktı.

Pirinç. 1.1.

Sonraki hesaplamaları basitleştirmek amacıyla, fonksiyonun ikinci türevleri için aşağıdaki gösterimi ekledik: Ve :

Şimdi ikinci dereceden bir denklem için Cauchy problemini tanımlayalım. Bırakın hatta en = y(x) istenilen fonksiyonun değerleri ve birinci türevleri verilmiştir:

Nerede A - eğrinin doğal koordinatı. Şimdi şu problemi ortaya koyalım: fonksiyonun değerlerini ve eğri üzerindeki ilk türevlerini bilmek mümkün mü? y(x), fonksiyon değerlerini bu eğriye bitişik noktalara mı ayarladınız? Görev denir Denklem için Cauchy problemi (1.1).

Eğrinin bitişiğindeki A noktasında bir çözüm elde etmek için, başlangıç ​​verilerini belirlemek amacıyla, eğri üzerinde yer alan belirli bir O noktası etrafında çözümün seri genişlemesini kullanabilirsiniz. y(x). Bu genişleme şu şekle sahiptir:

Bu genişletmede kendimizi yalnızca doğrusal terimlerle sınırlandıramayacağımızı unutmayın; ikinci türevlerin varlığı zorunludur. Bunun nedeni orijinal diferansiyel denklemin ikinci türevlere kısıtlamalar getirmesidir. Bunları genişlemede (1.2) ihmal edersek, söz konusu olgunun tüm fiziksel içeriği kaybolacaktır; burada açıklanan sürecin özünü belirleyen ikinci türevlerin ilişkisidir (bir tür "eğrilik"). .

Bir noktada bir çözüm elde etmek için bu ifadeyi kullanma M içerdiği türevleri belirleme olasılığı ile ilişkilidir. Birinci türevler, başlangıç ​​veri eğrisinde belirtilen başlangıç ​​koşullarından bilinmektedir. İkincisinin bir şekilde belirlenmesi gerekir, bundan sonra (1.2) ifadesi kullanılarak o noktada bir çözüm elde edilebilir. M.İkinci türevlerin belirlenmesinden sonra daha yüksek türevlerin de hesaplanabileceği gösterilebilir ve böylece açılım terimlerinin sayısı arttırılarak ifadenin (1.2) doğruluğunun arttırılması sorunu çözülecektir.

İkinci türevleri belirlemek için eğri üzerinde verilen verileri kullanabiliriz. Eğri boyunca birinci türevlerin artışları aşağıdaki gibi yazılacaktır:

Bu ifadelerde dikkat edin dx Ve ölmek birbirine bağlıdır ve aralarındaki ilişki eğrinin eğimiyle belirlenir dy/dx = y"(x).

Bilinmeyen üç ikinci türevle ilgili bu iki ifadeye, ikinci türevlerin o noktada değerleri için doğrusal bir sistem elde etmemizi sağlayacak orijinal diferansiyel denklemi eklemek gerekir. Mçarpık y(x):

İkinci türevlerin belirlenmesi ve dolayısıyla çözümün ilk veri eğrisine bitişik noktalara geri getirilmesi sorunu, çözme olasılığı ile ilişkilidir. doğrusal sistem(1.3). Bu sistemin determinantı sıfıra eşit değilse, o zaman tek bir çözümü vardır, türevleri r, s, t ve (1.2) ifadesi, bölgedeki ilk veri çizgisinin dışında kalan noktalardaki çözümü tahmin etmek için kullanılabilir. y = y(x).

Aynı durumda (1.3) sisteminin determinantı sıfırlandığında:

doğrusal denklem sistemi dejenere olur ve ikinci türevlerin belirlenmesine izin vermez. Eğer bir çözüm bulunamazsa, prensip olarak başlangıçtaki veri eğrisinden bölgenin komşu noktalarına geçiş mümkün olmayacaktır.

Determinant (1.4)'i genişleterek onun yok olması koşulunu elde ederiz:

türevine göre çözülmüş bir diferansiyel denklem olarak yazılabilir dy/dx biçim:

Bu ilişkiden, orijinal problemin çözülemez hale geldiği açıktır. eğim eğri biraz zaman alır özel anlam orijinal diferansiyel denklemin katsayıları aracılığıyla ifade edilir. Bu özel yöne denir karakteristik ve her noktada karakteristik yönü alan teğet olan eğri, - karakteristik kısmi diferansiyel denklem. Görüldüğü gibi, sıradan diferansiyel denklem (1.5) karakteristik yönlerin alanını belirler ve onun integrali karakteristik çizgileri belirler.

Bu eğriler başlangıç ​​verilerini belirlemek için çizgiler olarak kullanılırsa çözüm bölgenin komşu noktalarına kadar sürdürülemez, dolayısıyla bu tür eğriler diferansiyel denklemlerin özelliklerinin analizinde ve bunları çözmek için hesaplamalı algoritmaların oluşturulmasında büyük önem taşır.

Denklemin (1.1) sınıflandırılması, özelliklerinin varlığına dayanmaktadır. (1.5)'ten görülebileceği gibi, orijinal denklemin tanım alanının her noktasında ya iki karakteristik yönü olabilir ya da bir özelliği olabilir ya da hiç özelliği olmayabilir. Bu konuda belirleyici olan işarettir. ayrımcı denklem - radikal ifade İÇİNDE 2 - AC.

Eğer 2'DE - AC eliptik veya ait eliptik tip.

Eğer B 2 - AC = Ah, o zaman bir özellikler ailesi var. Bu durumda denklem (1.1)'e şu şekilde denir: parabolik. veya ait parabolik tip.

Eğer B 2 - AC> 0 ise iki farklı özellik ailesi vardır ve denklem (1.1) şu şekildedir: hiperbolik veya ait hiperbolik tip.

Denklemin türü diferansiyel denklemin katsayılarının değerleriyle ilişkili olduğundan, tanım alanının farklı kısımlarında değişken katsayılara sahip bir denklem farklı türlere ait olabilir. Bu tür denklemlere denklem denir karışık tip.

İlk bakışta, diferansiyel denklemin türünü belirlemek için konik bölümlerle (ikinci dereceden cebirsel eğriler: elips, parabol ve hiperbol) ilgili terminolojinin kullanılması garip görünüyor. Bağlantı, (1.1) formundaki denklemler teorisinde temel bir rolün aşağıdakiler tarafından oynanmasıdır: özel bir şekilde oluşturulan cebirsel ifade, katsayıları orijinal denklemin katsayıları olan ikinci dereceden bir formdur. Denklem (1.1) için şu forma sahiptir: Ah 2 +2Bhu+Su 2 ve katsayıların değerlerine bağlı olarak kullanılan terminolojiyi açıklayan elips, parabol veya hiperbol şeklini alacak kanonik bir forma indirgenebilir.

Sınıflandırma için ikinci dereceden bir doğrusal denklem kullandığımızı ancak karakteristik analizin diğer denklemlere ve sistemlere uygulanabileceğini unutmayın.

Benzer düşünceler, karakteristik özelliklere (tam bir özellikler kümesinin başlangıcı (hiperbolik sistemler) veya gerçek özelliklerin yokluğu (eliptik sistemler)) dayalı diferansiyel denklem sistemlerinin sınıflandırılmasının temelini oluşturur. Denklemin türü belirler genel karakterçözümü, çözümün girdi verilerine bağımlılığı ve bunun sonucunda sınır değer problemlerine sayısal çözümler elde etme yöntemleri. Kursumuzda sürekli ortam mekaniğinin incelenen matematiksel modellerinin karakteristik özelliklerinin analizine tekrar tekrar döneceğiz.

Daha önce dikkat etmediğimiz birkaç yorum yapalım.

Açıklama 1. Karakteristik yönlerin değişmezliği. Bağımsız değişkenlerin dönüşümleri altında özelliklerin değişmez kaldığı kanıtlanabilir. Yani karakteristik yönler, orijinal denklemi yazdığımız koordinat sisteminin seçimine ve bağımsız değişkenlerin çeşitli dönüşümlerine bağlı değildir. Bu yönler yalnızca incelenen olgunun matematiksel modeliyle diferansiyel denklemle açıklanan özellikleriyle belirlenir. Bu anlamda, özellikler uzaydaki bazı özel yönleri, yani belirli bir problemin “kendi” yönlerini belirler. Diferansiyel denklemin analizinden karakteristik yönleri belirlemenin mümkün olduğunu özellikle not ediyoruz. Bu nedenle, karakteristik yönlerin elde edilmesi, diferansiyel denklem biçiminde bir matematiksel model yazmakla ilişkilidir (daha sonra matematiksel modeller yazmanın başka biçimlerinin, örneğin integral ilişkiler biçiminde olduğunu göreceğiz).

Açıklama 2. Yüksek türevlerin tanımı. Oluşturduğumuz örnekte başlangıç ​​verilerini belirlemek amacıyla doğruya komşu noktaların çözümüne devam etmek için ikinci mertebeye kadar türevler kullanıldı. Başlangıç ​​veri çizgisi olarak karakteristik olmayan bir eğri kullanılırsa çözümün en yüksek türevleri hesaplanarak seriye devam edilerek ilişkinin doğruluğunun istenildiği kadar artırılabileceğini gösterelim.

Öncelikle buna göre belirttiğimiz üçüncü türevlerin belirlenmesi sorununu ele alalım. S = sen xxx R = sen xxy, S== ve huu, T = ve y yy. Koşul gereği eğri bir karakteristik olmadığından, ilk veri eğrisi üzerinde yapılan önceki analize dayanır. y(x) başlangıç ​​​​koşullarından belirtilen m, p değerlerine ek olarak Q ikinci türevler r, .s de hesaplandı T. Bu nedenle, üçüncü türevler için bunları ikinci türevlerin çizgi boyunca diferansiyellerinden belirleyen bir ilişkiler sistemi yazmak mümkündür. y(x) :

Bu sisteme, aşağıdakilere göre farklılaştırılmış orijinal denklem (1.1) eklenerek X doğrusal bir sistem elde ederiz

Karakteristiklerin analizinde doğrusal denklem sistemiyle aynı dejenere olmama koşuluna sahip olduğunu doğrulamak kolaydır.

Bunu yapmak için matrisin determinantını hesaplarken onu son sütunun elemanlarına ayıracağız. Sıfır olmayan tek öğede duran üçüncü dereceden determinant, karakteristiklerin analizi probleminde matrisin determinantıyla çakışacaktır.

Böylece karakteristik olmayan herhangi bir eğri için bu eğri üzerinde verilen verilerden üçüncü türev çözümleri bulunur. Bu şekilde devam edilerek genişlemenin bir sonraki en yüksek terimleri bulunabilir ve böylece çözüm gösteriminin doğruluk derecesi arttırılabilir.

Açıklama 3. Özelliklerle ilgili tutarlılık koşulları.İÇİNDE

Denklem (1.1) için bir karakteristik tanımlanmışsa, p çözümünün türevlerinin artışları için, Q Eğri boyunca ek koşullar uygulanır. Aslında, determinant (1.4)'ün sıfıra eşitliği, (1.3)'te yer alan denklemlerin doğrusal bağımlılığı anlamına gelir. Doğrusal cebirden, dejenere bir sistemin çözülebilmesi için sistemin rütbesinin genişletilmiş matrisinin rütbesine eşit olması gerektiği bilinmektedir. Başka bir deyişle, genişletilmiş matrisin üçüncü dereceden tüm determinantlarının

sıfıra eşitti. Bu koşulun, özellikler (1-5) için önceden elde edilen ilişkiyle birlikte, özellikler boyunca yerine getirilmesi gereken aşağıdaki iki koşula yol açtığını göstermek kolaydır:

Bu koşullara denir özelliklere ilişkin koşullar veya koşullarcoeAiecmnocmu. Hem çözümün niteliksel özelliklerinin incelenmesinde hem de problemlerin sayısal çözümü için algoritmaların oluşturulmasında önemli bir rol oynarlar.

1 Bir hiperbolik problemi, onun karakteristikleri ve bu karakteristikler üzerinde geçerli olan diferansiyel uyumluluk ilişkileri açısından formüle etmek genellikle uygundur. İki bağımsız değişken durumunda problemin, karakteristik eğrileri tanımlayan sıradan denklemler ve uyumluluk koşullarına karşılık gelen sıradan diferansiyel denklemler sistemine dönüştürüldüğüne dikkat edin.

Açıklama 4. Özelliklerin fiziksel anlamı. Uzamsal değişkenlerin bağımsız değişken olarak hareket ettiği denklemlerde, özellikler noktaların etki alanını belirler. Süpersonik sabit akışların gaz dinamiğinden bilinir Mach konisi Ve Mach çizgisi bu kavram yelpazesine aittir.

Zaman bağımsız değişkenlerden biriyse (hiperboliklik değişkeni), özellikler sinyal yayılma hızının sonluluğunu ifade eder ve dolayısıyla söz konusu sistemdeki neden-sonuç ilişkilerini kontrol eder. Bu durumdaki özellikler, dalganın sonlu bir hızla yayılmasının olasılığı ile yakından ilgilidir.

Çeşitli türlerdeki diferansiyel denklemlere örnekler verelim.

Örnek 1. Poisson denklemi}:

/ = 0 ise bu denkleme Laplace denklemi denir. Burada A = İLE = 1, İÇİNDE= Ah, B 2 - AC= -1, yani fizik uygulamalarında sıklıkla bulunan eliptik tipte bir denklemdir. Potansiyel sıvı hareketi problemlerini, gözenekli cisimlerde filtrasyonu, manyeto- ve elektrostatik problemlerini, bir cisimdeki sabit sıcaklık dağılımını, doğrusal elastikiyet teorisinin bazı problemlerinde gerilim dağılımını vb. tanımlar.

Aşağıdaki en basit eliptik d'Alembert-Euler sistemi Laplace denklemine eşdeğerdir (bazen bu denklemlere Cauchy-Riemann denklemleri denir):

Laplace denklemi üç (veya daha fazla) bağımsız değişkenin durumuna genişletilebilir:

1 Poisson Simeon Denis(Poisson S.D., 1781-1840) - Fransız matematikçi, fizikçi ve tamirci. Çalışmaları modern bilimin gelişiminde önemli bir rol oynadı: olasılık teorisi, matematiksel fizik, esneklik teorisi ve akışkanlar mekaniği. Bahsedilen denklem Poisson tarafından yerçekimsel çekim teorisindeki bir takım problemleri incelerken türetilmiştir (“Küresellerin Çekimi Üzerine” anı, 1835).

Diferansiyel operatör D = d 2 / dx 2 + d 2 /d 2 + d 2 / dg 2 isminde Laplace operatörü.

Örnek 2. Isıl iletkenlik denklemi. Sabit termofiziksel özelliklere sahip bir ortamda tek boyutlu, durağan olmayan bir sıcaklık alanı aşağıdaki denklemle tanımlanır:

burada termal yayılma katsayısı A koşulu sağlamalıdır bir > 0.

Burada bir değişken yerine en girilen değişken T- denklem tarafından açıklanan görevlerin fiziksel içeriğine karşılık gelen zaman. Denklemde yer alan katsayılar şuna eşittir: bir = 1, B = 0, İLE = 0, İÇİNDE 2 - AC= 0, yani Bu denklem parabolik tiptedir. Bu tür denklemler, termal iletkenlik, inert bir safsızlığın yayılması, iletken ortamda elektromanyetik dalgaların yayılması, bir cismin sınır katmanındaki viskoz bir sıvının hareketi vb. problemlerinde durağan olmayan sıcaklık dağılımını tanımlar.

II Örnek 3. Dalga denklemi. Düzlem dalganın izotropik bir ortamda sabit hız с ile yayılması, doğrusal tek boyutlu dalga denklemi ile tanımlanır.

hangi eksende X dalga yayılma yönüne karşılık gelir.

Burada bir =Cq, C = 1, İÇİNDE= 0, bu hiperbolik bir denklemdir. En basit hiperbolik sistemin bir örneği eşdeğer (1.11) sistemidir.

Bu tür denklemler, sürekli ortamdaki salınımların yayılmasını, elektromanyetik salınımları ve ideal bir gazın süpersonik akışını tanımlar.

Yukarıdaki örnekler matematiksel fizikteki üç ana denklem türünü göstermektedir. Aralarındaki fark, anlattıklarının farklılığından kaynaklanmaktadır. fiziksel süreçler. Parabolik ve hiperbolik türdeki denklemler kararsız bir süreci tanımlar. Bu, şu anda çözümün olduğu anlamına gelir T zamanın önceki anlarındaki durum etkiler, ancak sonraki olaylar hiçbir şekilde etkileyemez. Hiperbolik tipteki denklemler aynı zamanda kararlı durum süreçlerini de tanımlayabilir; bu durumda sınır koşulu, çözümü yalnızca bir yönde etkiler (zamanın benzeri olan bir değişkene göre) ve uzaysal koordinatlardan biri, zamanın benzeridir. zaman. Böyle bir hiperbolik problemin bir örneği, bir gazın süpersonik, sürekli hareketidir. Dolayısıyla parabolik ve hiperbolik denklemler bir yönde “açık” bölgelerle ilişkilendirilir ve bu yöne karşılık gelen bağımsız değişken zamanın bir benzeridir.

Eliptik problemlerde, tanım kümesindeki bir noktadaki çözüm, tanım kümesinin tüm kapalı sınırında belirlenen sınır koşullarından etkilenir.

giriiş

Kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temelleri

1 Kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temel tanımları

2 Kısmi diferansiyel denklemlere yol açan fiziksel problemler

Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde olasılıksal yöntemlerin kullanılması

1 Genel açıklama Monte Carlo yöntemleri

2 Laplace ve Poisson denklemleri için Dirichlet problemi örneğini kullanarak Monte Carlo yöntemini kullanarak kısmi diferansiyel denklemleri çözme

Çözüm

Edebiyat

giriiş

Karmaşık matematiksel modeller için analitik çözümler nispeten nadiren elde edilebilmektedir. Bu nedenle yaklaşık matematiksel yöntemler arasında problem çözmenin ana yöntemleri sayısaldır. Bu yöntemler, incelenen süreç veya olgunun iyi bir niteliksel ve niceliksel tanımına ulaşmayı mümkün kılar.

Dirichlet problemi şu şekilde formüle edilebilir: belirli bir kapalı bölgede sürekli olan, bölgede harmonik olan ve sınırında sürekli olarak verilen değerleri alan bir fonksiyon bulun. Bu çalışma çerçevesinde Dirichlet probleminin Laplace denklemi ve Poisson denklemi için grid yöntemini temel alan Monte Carlo yöntemini kullanarak çözümünü ele aldık.

Sınır değeri problemlerini çözmek için ızgara yöntemini kullanırken, her şeyden önce, diferansiyel denklemleri fark denklemleriyle değiştirme sorunu ortaya çıkar - belirli bir diferansiyel denklem, oluşturulan ızgaranın düğümlerinde karşılık gelen sonlu fark denklemiyle değiştirilir.

Izgara yöntemi fikri Euler'e kadar uzanır. Ancak yöntemin pratik kullanımı ciddi zorluklarla karşılaştı, çünkü sınır değer problemine yeterince doğru bir çözüm elde etmek sistemlere yol açtı. cebirsel denklemler, çözümü manuel olarak hesaplanırken zaman gerektiriyordu. Yüksek hızlı elektroniklerin ortaya çıkmasıyla durum çarpıcı biçimde değişti bilgisayarlar.

Monte Carlo yöntemleri, simülasyon kullanarak matematik problemlerini çözmeye yönelik sayısal yöntemlerdir. rastgele değişkenler ve özelliklerinin istatistiksel değerlendirmesi. Bu makalede Laplace denklemi için Dirichlet probleminin Monte Carlo yöntemi kullanılarak çözülmesi için iki yöntem sunulmaktadır ve bunlardan birine dayanarak onu uygulayan bir program verilmektedir.

Bu çalışmanın amacı kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için olasılıksal yöntemleri incelemektir.

İşin hedefleri:

kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temel ilkelerinin incelenmesi;

kısmi diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması;

kısmi diferansiyel denklemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin incelenmesi;

Monte Carlo yöntemlerinin incelenmesi;

Laplace ve Poisson denklemleri için Dirichlet probleminin çözümünde Monte Carlo yönteminin uygulanması.

Çalışmanın amacı: diferansiyel denklemler kısmi türevlerde.

Araştırma konusu: kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için olasılıksal yöntemler.

Çalışma iki bölüm, bir giriş, bir sonuç ve bir referans listesinden oluşmaktadır. Bölüm 1, kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temel kavramlarını sunmakta ve bunları göstermektedir. pratik kullanım. Bölüm 2, kısmi diferansiyel denklemleri çözen problemler bağlamında Monte Carlo yöntemlerini açıklamaktadır.

1. Kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temelleri

1 Kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temel tanımları

Diferansiyel denklemler teorisi, diferansiyel denklemler ve ilgili problemlerin incelenmesiyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Sonuçları birçok alanda kullanılıyor Doğa Bilimleri ah, özellikle yaygın olarak - fizikte.

Gayri resmi olarak konuşursak, diferansiyel denklem, bilinmeyen miktarın bir fonksiyon olduğu bir denklemdir. Üstelik denklemin kendisi sadece bilinmeyen bir fonksiyonu değil aynı zamanda onun çeşitli türevlerini de içeriyor. Diferansiyel denklem, bilinmeyen bir fonksiyon ile türevleri arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bu tür bağlantılar çeşitli bilgi alanlarında bulunur: mekanik, fizik, kimya, biyoloji, ekonomi vb.

Adi diferansiyel denklemler (ODE) ve kısmi diferansiyel denklemler (PDE) vardır. Ayrıca rastgele süreçleri içeren stokastik diferansiyel denklemler (SDE'ler) de vardır.

Başlangıçta diferansiyel denklemler, zamanın fonksiyonu olarak kabul edilen cisimlerin koordinatlarını, hızlarını ve ivmelerini içeren mekanik problemlerden ortaya çıktı.

Diferansiyel denklemlerin en basit uygulamalarından biri, bilinen ivme projeksiyonlarından bir cismin yörüngesini bulma gibi önemsiz bir problemi çözmektir. Örneğin Newton'un ikinci yasasına göre bir cismin ivmesi, ona etki eden kuvvetlerin toplamı ile orantılıdır; karşılık gelen diferansiyel denklem şu şekle sahiptir. bilmek aktif kuvvetler (sağ kısım), bu denklemi çözebilir ve başlangıç ​​​​koşullarını (zamanın ilk anındaki koordinatlar ve hız) dikkate alarak noktanın yörüngesini bulabilirsiniz.

Bilinmeyen bir fonksiyon vb. olsun. çeşitli mertebelerdeki kısmi türevleri.

Denklemi düşünün

x, y bağımsız değişkenlerini, istenen u(x, y) fonksiyonunu ve bunun çeşitli mertebelerdeki kısmi türevlerini bağlamak. Denklem (1) kısmi diferansiyel denklem olarak adlandırılır.

Bir denklemin sırası, denklemde görünen kısmi türevin en yüksek mertebesine göre belirlenir.

) birinci dereceden bir diferansiyel denklemdir.

) - ikinci dereceden diferansiyel denklem vb.

Bir diferansiyel denklemin çözümü, onu bir kimliğe dönüştüren herhangi bir u(x, y) fonksiyonudur. Kısmi diferansiyel denklem çözmeyi içeren problemler tipik olarak sıradan diferansiyel denklem problemlerinden daha karmaşıktır.

Biz biliyoruz ki ortak karar n'inci dereceden sıradan diferansiyel denklemler n keyfi sabit С1, С2, …, Сn'ye bağlıdır. Daha zor bir durum Kısmi diferansiyel denklemler çözülürken toplanır. Örneğin, bir diferansiyel denklemin çözümü herhangi bir fonksiyondur; genel çözüm yalnızca bir değişkene bağlı sonsuz sayıda fonksiyona bağlıdır

Kısmi diferansiyel denklemler teorisinin konusu, esas olarak fiziksel olmak üzere bir veya başka bir doğal olayı tanımlayan diferansiyel denklemlerin incelenmesidir. Dersimiz öncelikle ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlere odaklanacaktır.

Bu bağlamda kısmi diferansiyel denklemlerin çözümüne yol açan bazı fiziksel problemleri ele alacağız.

Diferansiyel denklemler teorisi modern matematiğin en büyük dallarından biridir. Modern matematik bilimindeki yerini karakterize etmek için, her şeyden önce, matematiğin iki geniş alanından oluşan diferansiyel denklemler teorisinin temel özelliklerini vurgulamak gerekir: adi diferansiyel denklemler teorisi ve kısmi diferansiyel denklemler teorisi. .

İlk özellik, diferansiyel denklemler teorisi ile uygulamalar arasındaki doğrudan bağlantıdır. Matematiği doğanın sırlarına nüfuz etmenin bir yöntemi olarak nitelendirerek, bu yöntemi uygulamanın ana yolunun matematiksel modellerin oluşturulması ve incelenmesi olduğunu söyleyebiliriz. gerçek dünya. Herhangi bir fiziksel olguyu incelerken, araştırmacı öncelikle onun matematiksel idealizasyonunu veya başka bir deyişle matematiksel bir modeli yaratır, yani olgunun ikincil özelliklerini ihmal ederek, bu olguyu yöneten temel yasaları matematiksel biçimde yazar. . Çoğu zaman bu yasalar diferansiyel denklemler biçiminde ifade edilebilir. Modellerin ortaya çıktığı şey bu çeşitli fenomenler süreklilik mekaniği, kimyasal reaksiyonlar, elektriksel ve manyetik olaylar vb.

Matematikçi, ortaya çıkan diferansiyel denklemleri, kural olarak başlangıç ​​ve sınır koşulları şeklinde belirtilen ek koşullarla birlikte inceleyerek, meydana gelen olay hakkında bilgi edinir ve bazen onun geçmişini ve geleceğini öğrenebilir. Matematiksel yöntemler kullanılarak matematiksel bir modelin incelenmesi, yalnızca fiziksel olayların niteliksel özelliklerinin elde edilmesine ve gerçek bir sürecin gidişatının belirli bir doğruluk derecesiyle hesaplanmasına izin vermekle kalmaz, aynı zamanda fiziksel olayların özüne nüfuz etmeyi de mümkün kılar ve bazen yeni fiziksel etkileri tahmin etmek. Öyle olur ki doğanın kendisi fiziksel olay Matematiksel araştırmaların hem yaklaşımlarını hem de yöntemlerini önerir. Matematiksel bir modelin doğru seçiminin kriteri pratiktir, matematiksel araştırma verilerinin deneysel verilerle karşılaştırılması.

Kısmi diferansiyel denklemler için problemlerin belirlenmesi, denklemin kendisini (veya birkaç denklemden oluşan bir sistemi) tanımlamayı ve ayrıca gerekli miktar sınır koşulları (belirtilmesinin sayısı ve niteliği denklemin özellikleriyle belirlenir). Denklemler, adlarına göre, bilinmeyen bir fonksiyonun ve (veya birkaç denklem varsa birkaç fonksiyonun) çeşitli argümanlara göre kısmi türevlerini içermelidir; örneğin, bir uzaysal değişken x ve zaman t. Buna göre, sorunu çözmek için çeşitli değişkenlerin bir fonksiyonunu hesaplamak gerekir, örneğin u

Kısmi diferansiyel denklemlerin kendileri (biraz geleneksel olarak) üç ana türe ayrılabilir:

parabolik (örnek :) - bir değişkene göre birinci türevi ve diğerine göre ikinciyi içerir ve tüm bu türevler denkleme aynı işaretle girer;

hiperbolik (örnek :) - bir değişkene göre birinci türevi ve diğerine göre ikinciyi içerir, denklemi farklı işaretlerle girer;

eliptik (örnek: 1. ,) - yalnızca ikinci türevleri içerir ve aynı işaretlidir.

Bazı daha karmaşık denklemler, verilen sınıflandırmaya açık bir şekilde uydurulamaz; o zaman hibrit denklem türlerinden söz ederler.

Adi diferansiyel denklemlerin seyrinden, n'inci mertebeden bir diferansiyel denklemin çözümünün olduğu bilinmektedir.

belirsiz bir şekilde tanımlanır. Genel çözüm n adet keyfi sabite bağlıdır ve benzersiz çözülebilirlik için başlangıç ​​koşulları olarak adlandırılan koşulların ayarlanması gerekir.

Başlangıç ​​koşulları (2) ile denklem (1) probleminin çözümüne Cauchy problemi denir ve belirli koşullar altında bu problemin çözümü mevcuttur ve benzersizdir.

Kısmi diferansiyel denklemler dikkate alındığında daha karmaşık bir durum ortaya çıkar. Aslında: en basit denklemin genel çözümü keyfi bir fonksiyondur

Çözümü kesinleştirmek için ek koşullar ayarlamak gerekir; örneğin bilinmeyen fonksiyonun ve muhtemelen türevlerinin bazı manifoldlarda belirtilen değerleri almasını gerektirmek. Matematiksel fiziğin her problemi, çoğu durumda fiziksel formülasyonu tarafından belirlenen belirli ek koşullar altında belirli bir denklemin çözümünü bulma problemi olarak ortaya çıkar.

1.2 Kısmi diferansiyel denklemlere yol açan fiziksel problemler

Çözümleri kısmi diferansiyel denklemlere yol açan bazı fiziksel problemleri ele alalım.

Problem 1 (bir ipin enine titreşimleri hakkında).

Uzunluğu l olan bir ipin T kuvvetiyle gerilmesine izin verin. 0ve düz bir denge konumundadır. t=0 anında ipin noktalarına bazı sapmalar ve hızlar uygulanır.

İpin uçları eğer t>0'da ise ip noktalarının küçük enine titreşimlerini belirleme problemini ortaya koyalım:

a) sıkı bir şekilde sabitlenmiş,

b) ücretsiz

c) verilen yasalara göre enine yönde hareket edin.

Çözüm. X ekseninin denge konumundaki ipin başlangıç ​​konumuyla çakışmasına izin verin

İpin A'dan B'ye bir bölümünü seçelim ve bu bölüme etki eden tüm kuvvetleri u eksenine yansıtalım. D'Alembert ilkesine göre izdüşümlerin toplamı sıfır olmalıdır.

çünkü küçük salınımları dikkate alıyoruz ve küçük değeri ihmal ediyoruz.

Bu, ip bölümünün uzamadığı ve dolayısıyla Hooke yasasına göre gerilim değerinin ne zamana ne de x'e bağlı olmadığı anlamına gelir.

Gerilme kuvveti projeksiyonu

Sürekli bir doğrusal yoğunluk olsun dış kuvvetler. Daha sonra kuvvet AB'ye u ekseni boyunca etki eder

Atalet kuvvetini bulmak için aşağıdaki ifadeyi kullanırız: Sonra

Bu, ipin zorlanmış titreşimlerinin denklemidir.

Eğer ρ=sabit ise ve sonra

Ayrıca istenen u(x, y) fonksiyonunun başlangıç ​​koşullarını sağlaması gerekir:

İlk dize konumu

İlk dürtü.

Sınır şartları:

a) ipin uçları sabittir

b) serbest uçların olması durumunda

c) - ipin uçlarının hareket yasaları.

Problem 2. Süreklilik denklemi. Akış sorunu.

İdeal bir sıvının (gazın) hareketini ele alalım; Viskoz kuvvetlerin bulunmadığı sıvı.

Akışkanın hız vektörü, yoğunluğu ve kaynakların yoğunluğu olsun. Sıvının S yüzeyiyle sınırlı belirli bir hacmini ω seçelim. Birim zaman başına ω içindeki sıvının kütlesindeki değişim şuna eşittir:

Öte yandan bu değişimin kaynaklar nedeniyle sıvının Q1 miktarındaki artışa eşit olması gerekir.

eksi S'den akan Q2 miktarı

Ostrogradsky-Gauss formülü,

S'nin dış normali nerede, dolayısıyla

ω'nin keyfiliği nedeniyle

Bu ideal bir akışkanın hareketinin süreklilik denklemidir.

Şimdi akış problemini ele alalım sağlam Kaynakların yokluğunda sonsuzda belirli bir hıza sahip sıkıştırılamaz homojen bir sıvının potansiyel akışının S sınırı ile Ω. Bu durumda ve Bu nedenle: sağlanan

Hız potansiyeli u olsun, yani. Daha sonra

Problem 3. Isının yayılması üzerine

Isı iletimi denkleminin türetilmesi Fourier yasasına dayanmaktadır; buna göre, ∆t süresi boyunca söz konusu gövdenin içinde bulunan küçük bir ∆S alanından geçen ısı miktarı aşağıdaki formülle belirlenir.

burada ∆S'nin normali ısı transferine doğru yönlendirilir, k(x, u) iç ısıl iletkenlik katsayısıdır, u(x, t) t zamanındaki bir noktadaki vücut sıcaklığıdır. Vücudun termal iletkenlik açısından izotrop olduğu varsayılmaktadır; k(x, u) alanın yönüne bağlı değildir.

Cismin içinde S ile sınırlı bir hacim ω seçelim. Fourier yasasına göre aralık boyunca S'den akan ısı miktarı şuna eşittir:

Isı kaynaklarının yoğunluğu ise, belirtilen süre boyunca ω cinsinden bunlardan kaynaklanan ısı miktarı şuna eşittir:

Sıcaklık artışı nedeniyle t1'den t2'ye kadar olan süre boyunca ω'ye akan toplam ısı miktarı da hesaplanabilir.

maddenin ısı kapasitesi ve yoğunluğu nerede ve nerede. Daha sonra

ω'nin keyfiliği ve t1, t2 zaman aralığı nedeniyle eşitlik şu şekildedir:

ısı denklemi denir. Eğer (sıcaklığa bağlı değilse), o zaman denklem (5) doğrusal hale gelir. Eğer cisim homojen ise ve denklem (5) şu şekli alıyorsa:

Fiziksel değerlendirmelerden, ısı yayılım sürecinin net bir açıklaması için denkleme ek olarak başlangıç ​​sıcaklık dağılımının da belirtilmesi gerektiği sonucu çıkar.

Başlangıç ​​durumu ve sıcaklık rejimi sınırda

Sınır koşulu (sınır koşullarını ayarlamak için başka seçenekler de mümkündür).

2. Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde olasılıksal yöntemlerin kullanılması

1 Monte Carlo yöntemlerinin genel tanımı

Kısmi diferansiyel denklemlere analitik olarak çözüm bulmak her zaman mümkün değildir. Denklem çözümünün analitik olarak bulunmasını gerektirmeyen durumlarda sayısal yöntemler kullanılır.

Bu çalışma çerçevesinde, Monte Carlo yöntemleri adı verilen, olasılık teorisinin matematiksel aparatına dayanan bir grup sayısal yöntemi ele alıyoruz.

Monte Carlo yöntemlerinin genel kabul görmüş bir tanımı henüz yoktur. Rastgele değişkenlerin modellenmesini ve özelliklerinin istatistiksel değerlendirmesini kullanarak matematik problemlerini çözmek için Monte Carlo yöntemlerine sayısal yöntemler diyelim. Bu tanımla birlikte Monte Carlo yöntemleri arasına stokastik yaklaşımlar veya rastgele arama gibi geleneksel olarak ayrı ayrı ele alınan diğer bazı yöntemlerin de dahil edilmesi gerekmektedir. Ancak bu konularla ilgilenen uzmanlar genellikle kullandıkları tekniklere Monte Carlo yöntemleri adını verirler. Aynı zamanda tanım şunu da vurguluyor:

A) Hakkında konuşuyoruz sayısal yöntemler hakkında (ve problemlerin çözümü için analitik yöntemlerle değil, klasik sayısal yöntemlerle rekabet edebilirler);

b) herhangi bir matematik problemi Monte Carlo yöntemleri kullanılarak çözülebilir (ve sadece rastgele değişkenlerle ilişkili olasılık kökenli problemler değil).

Monte Carlo yöntemlerinin teorik temellerinin çok daha önceden bilindiğini hemen vurgulamak gerekir. Üstelik bu tür yöntemler aslında matematiksel istatistik hesaplamalarında birden fazla kez kullanılmıştır. Ancak elektronik bilgisayarların (bilgisayarların) ortaya çıkmasından önce Monte Carlo yöntemleri evrensel sayısal yöntemler haline gelemezdi çünkü rastgele değişkenlerin manuel olarak modellenmesi çok emek yoğun bir süreçtir.

Monte Carlo yöntemlerinin geliştirilmesi bilgisayarların hızlı gelişimi ile kolaylaştırılmıştır. Monte Carlo algoritmalarının (genellikle çok az bağlantısı vardır) programlanması nispeten kolaydır ve klasik sayısal yöntemlerle erişilemeyen birçok problemin hesaplanmasına olanak tanır. Bilgisayarların gelişimi devam ettikçe Monte Carlo yöntemlerinin daha da gelişmesini ve uygulama kapsamının daha da genişlemesini beklemek için her türlü neden var.

Monte Carlo yöntemlerini oluşturmanın en önemli tekniği, problemi matematiksel beklentilerin hesaplanmasına indirgemektir. Daha ayrıntılı olarak: belirli bir skaler miktarı a yaklaşık olarak hesaplamak için, şöyle bir rastgele değişken bulmanız gerekir; o zaman miktarın bağımsız değerlerini hesapladıktan sonra bunu varsayabiliriz.

Örnek. Bazı sınırlı mekansal figürlerin hacmini tahmin etmek gerekir.

Hacmi bilinen bir paralelyüzlü madde seçelim. Düzgün dağılmış rastgele noktaları seçelim ve içine düşen noktaların sayısına göre gösterelim. Eğer büyükse, o zaman tabii ki : , bundan bir tahmin elde ederiz.

Bu örnekte, rastgele nokta düşerse rastgele değişken eşittir, nokta düşerse sıfıra eşittir. Matematiksel beklentinin ve aritmetik ortalamanın doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır.

Böyle sonsuz sayıda rastgele değişkenin olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle Monte Carlo yöntemleri teorisi iki soruyu yanıtlamalıdır:

) belirli bir problemi hesaplamak için uygun bir değerin nasıl seçileceği;

) keyfi bir rastgele değişkenin değerleri nasıl bulunur?

Bu konuların incelenmesi ana içeriği oluşturmalıdır. uygulamalı kurs Monte Carlo yöntemleri.

Birçok yöntem matematiksel beklentilerin hesaplanmasına dayanmaktadır. Rastgele arama yöntemleri (en basitleri hariç) ve stokastik yaklaşımlar vardır.

Monte Carlo yöntemleri arasında, hesaplanan süreç modelinin tamamen yeniden üretildiği yöntemler ayırt edilebilir. Bu tür yöntemlere bazen “fiziksel” denir, ancak yazar bu yöntemler için başka bir adı tercih ediyor gibi görünüyor: simülasyon. Doğal süreçlerin taklidi en çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Çeşitli bölgeler bilim, teknoloji, ekonomi.

2 Laplace ve Poisson denklemleri için Dirichlet problemi örneğini kullanarak Monte Carlo yöntemini kullanarak kısmi diferansiyel denklemleri çözme

Tanım. Bir tanım kümesinde sürekli ikinci dereceden bölümlere sahip olan ve Laplace denklemini dahili olarak karşılayan bir fonksiyona harmonik fonksiyon denir:

İki değişkenli harmonik fonksiyonun en basit örneği, Laplace denkleminin ana çözümü olan formun bir fonksiyonudur.

Dirichlet problemi başka bir deyişle şu şekilde formüle edilebilir: belirli bir kapalı bölgede sürekli olan, bölgede harmonik olan ve sınırında sürekli olarak verilen değerleri alan bir fonksiyon bulun.

Eğer Dirichlet problemi Poisson denklemini sağlıyorsa Dirichlet probleminin çözümünün benzersizliği ve sınır koşullarından sürekli temsili (sınır değeri probleminin doğruluğu) aşağıdaki harmonik fonksiyonlardan kaynaklanmaktadır.

Özellik 1 (maksimum prensip). Sınırlı bir bölgede harmonik ve kapalı bir bölgede sürekli olan bir fonksiyon, bu bölge içerisinde sürekli olarak verilen değerlerin sınırındaki değerlerinin maksimumundan daha büyük değerler alamaz.

Kanıt. Sınırdaki maksimum değerler olsun. Diyelim ki fonksiyon içeride bir noktada ve değerini alıyor.

Yardımcı fonksiyon oluşturalım

bölgenin çapı nerede. Açıkçası elimizde

ve eşitsizlik geçerli olduğunda

Sonuç olarak fonksiyon bölge içinde en büyük değerine belli bir noktada ulaşacak ve bu noktada fonksiyonun maksimumu için gerekli koşullar sağlanacaktır:

ilişkiden

buradan türevlerden en az birinin veya dahili olarak pozitif olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla fonksiyonun bölgedeki herhangi bir noktada maksimumu olamaz ve sonuç olarak bir çelişkiye varırız. Böylece, .

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki, nerede - en küçük değer sınırda görev yapar.

Sonuçlar. Fonksiyon sınırlı bir bölgede harmonik ve kapalı bir bölgede sürekli olsun. Bu durumda eşitlik on, on konumunda geçerlidir.

Yorum. Sınırlı ve kapalı bir bölgede harmonik olan bir fonksiyonun, sabit dışında, içindeki en büyük ve en küçük değerleri almadığına dair daha güçlü bir ifadeyi kanıtlamak mümkündür.

Özellik II (Dirichlet probleminin çözümünün benzersizliği). Kapalı ve sınırlı bir alan için Dirichlet probleminin yalnızca benzersiz bir çözümü olabilir, yani kapalı sınırlı bir alanda sınırda aynı değerleri alan iki sürekli harmonik fonksiyon yoktur.

Kanıt. Her ikisi de bölgede harmonik olan iki fonksiyonun sınırının her yerinde çakıştığını varsayalım. İşlevi düşünün

Açıkçası, na sınırda kaybolan harmonik bir fonksiyondur. I özelliğine göre, bu fonksiyon içeride sıfırdan büyük veya küçük değerler alamaz, dolayısıyla içeride ve.

Yorum. Özellik II'den, sınırlı bir kapalı alan için Dirichlet probleminin bir çözümü olduğu sonucu çıkmaz; bu özellik yalnızca bir etki alanı için Dirichlet sorununun bir çözümü varsa bunun benzersiz olduğunu belirtir.

Bölge dışbükey ise, yani iki noktasıyla birlikte onları birbirine bağlayan bir doğru parçası içeriyorsa ve sınırının aslında bir çözümü olduğu kanıtlanabilir (Neumann teoremi).

Özellik III (Dirichlet probleminin doğruluğu). Kapalı ve sınırlı bir bölge için Dirichlet probleminin çözümü sürekli olarak sınır verilerine bağlıdır.

Kanıt. Dirichlet probleminin sırasıyla değerini ve sınırını alarak çözümleri olduğunu varsayalım.

Eşitsizlik her yerde tatmin olsun

burada keyfi küçük bir pozitif sayı var.

Harmonik fonksiyonu düşünün

Sınırda bu fonksiyon değeri alır

O zamandan beri mülkümüze göre, yani. veya.

Böylece Dirichlet problemi için doğruluk şartı ne zaman karşılanır?

Düzlemde parçalı düzgün sınırı olan bir bölge verilsin. Alanda adım adım kare bir ızgara oluşturacağız:

Ağın iç düğümlerden ve birinci türden sınır düğümlerinden oluştuğunu varsayıyoruz. Ağın sınır düğümleri onun sınırını oluşturur. Kabaca söylemek gerekirse sınır, bölgenin kavisli-eğrisel sınırına yaklaşan doğrusal bir nokta dizisidir.

Izgara düğümleri (1) boyunca düzgün bir rastgele yürüyüş gerçekleştiren bir parçacık hayal edelim. Yani, bir iç ızgara düğümünde bulunan bu parçacık, aynı olasılıkla 1/4'e eşit bir geçişte dört komşu düğümden birine hareket edebilir: ya (sola adım) ya da (sağa adım), veya içeri (aşağı adım) veya içeri (yukarı adım) ve bu tür tek geçişlerin her biri tamamen rastgeledir ve parçacığın konumuna ve geçmiş geçmişine bağlı değildir. Parçacığın gezinmesinin bu parçacık sınıra çarptığı anda sona erdiğini varsayacağız; bu anlamda kenarlık “emici bir ekranı” temsil ediyor. 1'e eşit olasılıkla, bir noktanın sonlu sayıda adımdan sonra gezinmesinin sınırda sona erdiği kanıtlanabilir.

Bir parçacık, ızgaranın sabit bir iç noktasından yürüyüşüne başladıysa, o zaman bu parçacığın ardışık konumlarının sonlu kümesi: nerede ve, parçacığın yörüngesi (adımlarla birlikte) veya yürüyüşün geçmişi olarak adlandırılır.

Bir parçacığın bir düzlem üzerindeki tekdüze rasgele yürüyüşü, değerleri alan tek basamaklı rasgele sayıların eşit biçimde dağıtılmış bir dizisi kullanılarak düzenlenebilir. Bunu yapmak için örneğin bir çizim yapmak yeterlidir, yani. sayıların rastgele seçimi; ve 8 ve 9 sayıları tekrar oynanır.

Rastgele sayılar hazır tablolardan alınır veya elektronik bir makine tarafından oluşturulur. İkinci yöntem, bir hesaplama makinesinde çalışırken makinenin belleğinin aşırı yüklenmesini önlemenize olanak tanıdığı için tercih edilir.

G bölgesinin Г sınırındaki noktalarda bir fonksiyon tanımlansın. Bu değerleri grid sınırına aktaralım. Örneğin her sınır düğümü için yatay (veya dikey) olarak en yakın noktayı belirleyip yerleştiriyoruz.

Kısa olması açısından gösterimi tanıtıyoruz.

Izgara düğümünü terk eden bir parçacığın yörüngesinin bir sınır düğümünde sonlanma olasılığı olsun. Bir noktanın gezinmesi kaçınılmaz olarak sınıra ulaştığı ilk noktada sınırda sona erdiğine göre, o zaman

Toplamanın sınırın tüm noktalarına uzandığı ve

sınır düğümü nerede.

Hadi bir toplam yapalım

noktanın tüm sınırı geçtiği yer. Fonksiyon sınırda değer alan rastgele bir değişken olarak kabul edilirse, o zaman toplam (4), noktadan başlayan yörüngeler için fonksiyonun sınırdaki matematiksel beklentisini (ortalama değer) temsil eder (“sınıra ulaşma primi”) ”Başlangıç ​​noktasından itibaren). Rastgele yürüyüşüne bir iç düğümden başlayan bir parçacık, ilk adımdan sonra 1/4 olasılıkla, dört komşu düğümden birinde sona erer. Bu nedenle, bir düğümden başlayan rastgele yürüyüşler, yörüngelerin türüne bağlı olarak dört yeni rastgele yürüyüş kategorisine ayrılır:

Dolayısıyla eşitliğin (5) her iki tarafını sınır değerleri ile çarparak ve olası tüm değerleri toplayarak ve formül (4)'e dayanarak şunu elde ederiz:

Ayrıca formül (3) sayesinde elimizde

eğer nokta.

Şimdi bölgede harmonik olan ve sınırında verilen sürekli değerleri alan bir fonksiyonun bulunmasına ilişkin Dirichlet problemini ele alalım. Izgara yöntemine göre bu sorun, sınır düğümlerindeki değerlerin bilinmesi ve eşit olması koşuluyla, belirli bir ızgaranın iç düğümlerinde istenilen fonksiyonun değerlerini bulmaktan ibarettir. Bilinmeyenler bir doğrusal denklem sisteminden belirlenir

Formüller (8) ile formüller (6), (7)'yi karşılaştırdığımızda bunların notasyonla örtüştüğünü görüyoruz. Bu nedenle bilinmeyen bilinmeyenler şu şekilde düşünülebilir: matematiksel beklentiler. Miktarlar deneysel olarak belirlenebilir. Sabit bir düğümden başlayıp sınırda biten, ızgara düğümleri boyunca bir parçacığın yeterince büyük sayıda tekdüze rastgele yürüyüşünü ele alalım. Parçacığın karşılık gelen noktalarının sınıra çıkmasına izin verin. Matematiksel beklentiyi ampirik matematiksel beklentiyle değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Formül (9) değerin istatistiksel bir tahminini verir ve Dirichlet problemini yaklaşık olarak çözmek için kullanılabilir. Rastgele değişkenlerin kullanımına dayalı problem çözme yöntemi genellikle Monte Carlo yöntemi olarak bilinir.

Formül (9)'u kullanarak Dirichlet probleminin çözümünün yaklaşık değerini tek bir sabit ızgara noktasında, kalan ızgara noktaları için sorunun çözümünü bilmeden doğrudan bulabileceğinizi unutmayın. Bu durumda Dirichlet problemine yönelik Monte Carlo yöntemi, bu problemin çözümüne yönelik alışılagelmiş standart yöntemlerden oldukça farklıdır.

Formül (4)'e göre olasılığın, alandaki Dirichlet problemi için Green fonksiyonunun bir benzeri olduğunu belirtmek ilginçtir. Bu değer, eğer aşağıdaki sınır koşulları belirtilirse, formül (9)'a dayalı olarak deneysel olarak bulunabilir:

Böyle bir Green fonksiyonu inşa ettikten sonra, formül (9)'u kullanarak basitçe şunu yapma fırsatını elde ederiz:

Herhangi bir sınır değeri için belirli bir sınırı olan bir bölge için Dirichlet problemine yaklaşık bir çözüm bulun.

Dirichlet problemi için Monte Carlo yönteminin dikkate alınan versiyonunun dezavantajı ampirik matematiksel beklenti için olasılıktaki zayıf yakınsamadır.

matematiksel beklenti. Bu olumsuz durumu ortadan kaldırmak için rastgele yürüyüşlerin çeşitli modifikasyonları kullanılır. Ek olarak, problemi çözerken, bir parçacığın bir noktada başlayan yürüyüşünün, bu parçacığın yörüngesindeki herhangi bir ara noktada başlayan, otomatik olarak parçacığın rastgele yürüyüşü olduğunu hesaba katmak da faydalıdır.

Dirichlet problemini çözmek için fark denklemleriyle ilgisi olmayan Laplace denklemi için başka bir Monte Carlo yöntemini gösterelim. Sınırlı bağlantılı bir bölge ve bir nokta verilsin. Rastgele bir yörüngeyi şu şekilde tanımlayalım: put; ayrıca, eğer nokta biliniyorsa, o zaman içeride bulunan rastgele yarıçaplı bir daire oluşturacağız ve bu daire üzerinde rastgele bir nokta seçeceğiz.

Böylece nerede ve açı aralıkta düzgün bir şekilde dağılır.

Teoremi sunalım: Eğer bir fonksiyon bir tanım kümesinde Laplace denklemini sağlıyorsa

o zaman her biri için ve herhangi biri için matematiksel beklenti, yörüngenin başlangıcındaki değere eşittir.

Kanıt. Yarıçapın keyfiliğine ilişkin ifadeye daha kesin bir anlam verelim. Sınırdan minimum mesafeyi aşanların tümü için aynı şekilde sıfıra eşit olan belirli bir düzlemin verildiğini varsayacağız; duruma da izin verilir; ve yoğunluğa göre seçim yapılır. c noktasının dağılım yoğunluğu olsun. O zaman değerin matematiksel beklentisi şuna eşittir:

Harmonik fonksiyonun ortalama değeri teoremine göre

Bu yüzden

Nokta ve. Tümevarım kullanarak teoremin ifadesini elde ederiz.

Üç boyutlu durumda dikkate alınan türden yörüngelerin inşasına bazen küreler üzerinde yürümek denir.

Yukarıdaki yörünge Dirichlet problemini yaklaşık olarak çözmek için kullanılabilir. Tanım kümesinin sınırında sınırlı bir fonksiyonun belirtilmesine izin verin. Denklem (1)'i içsel olarak karşılayan ve at'ye dönüşen istenen çözümü gösterelim.

Sınırın oldukça küçük bir mahallesini sabitliyoruz (Şekil 3, Ek D). Hesaplamak için, rastgele bir noktaya düşene kadar formun yörüngelerini oluşturacağız. En yakın sınır noktası olsun. Rastgele değişkenin değerinin yaklaşık olarak eşit olduğunu varsayabiliriz. Bu tür yörüngeler oluşturarak istenen çözümün tahmin edilmesini sağlayan değerleri elde ederiz.

Olasılıktaki yakınsamaya dikkat edin

Matematiksel beklentilere sahip, aynı şekilde dağıtılmış bağımsız nicelikler dizisinin yasaya uyduğunu belirten Khinchin teoreminden sonuç çıkmadığında büyük sayılar, çünkü toplam (3), seçim kurallarında farklılık gösteren çeşitli rastgele değişkenler içerdiğinden, ancak büyük sayılar yasasının başka bir biçimini kullanabilirsiniz - Chebyshev teoremi:

Eğer miktarlar bağımsızsa ve varsa ve o zaman ne zaman

(Bu teoremin kanıtını Chebyshev eşitsizliğinin niceliğe uygulanmasıyla elde etmek kolaydır).

Bizim durumumuzda, farklılıklar dışında her şey nerede. Aslında bilindiği gibi harmonik fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine bölge sınırında ulaşılır.

Bu hesaplama yöntemi, sınırdan daha büyük adımlar atmanıza izin verdiği için fark denklemlerini kullanan yöntemden daha hızlı kabul edilir. Genellikle mümkün olan maksimum yarıçapın seçilmesi önerilir.

Bu yöntem J. Brown tarafından önerilmiş ve özellikle yörüngenin asla isabet etmeme olasılığının sıfır olduğunu kanıtlayan M. Muller tarafından doğrulanmıştır. Yöntemin daha da geliştirilmesi, bağımlı testlerin düzenlenmesi, daha genel formdaki denklemlerin çözülmesi, daireler yerine diğer rakamların kullanılması (Green fonksiyonlarının bilindiği) şeklindedir.

Laplace denkleminin birim karedeki sınır koşullarını sağlayan bir çözümü olsun. Değeri hesaplayın.

Kare içinde basamaklı bir ızgara seçelim ve düğümleri yeniden numaralandıralım (Şekil (4), Ek E). Laplace denklemi için formül (8) giderek basitleştirilmiştir: yani zincirin sınıra çarptığı düğümdeki değere eşittir.

Rastgele bir rakam 0 veya 4 çıkarsa sağdaki bitişik düğüme geçeceğiz; 1 veya 5 çıkarsa sola; 2 veya 5 çıkarsa sola gideceğiz. 6 olursa yukarı çıkacağız, 3 veya 7 olursa aşağı ineceğiz; 8 veya 9'a eşit değerler atlanır.

Tablo 2 (Ek F) 16 rastgele zinciri göstermektedir. İlk satır kullanılan rastgele sayıları içerir ve üçüncü satır zincirlerin kendisini içerir. Bu devrelere karşılık gelen değerler eşittir. Bu büyüklüklerin aritmetik ortalaması bize şu noktadaki çözümün yaklaşık değerini verir:

Ampirik varyans tahmininden

muhtemel bir hata olduğu sonucu çıkıyor.

Dolayısıyla ele alınan problemin kesin çözümü, gerçek hesaplama hatasının 0,08 olmasıdır.

Burada sunulan yöntem, diferansiyel denklemlere yaklaşan fark denklemlerinin çözümlerinin hesaplanmasına olanak tanır.

Çözüm

Bu çalışma çerçevesinde kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temel hükümleri incelenmiş ve bunların çözümünde olasılıksal yöntemlerin kullanılma olasılığı gösterilmiştir. Örnek olarak Laplace ve Poisson denklemleri için Dirichlet problemi seçilmiştir.

Sayısal ve deneysel yöntemler, fizik, matematik ve diğer doğa bilimlerinin birçok alanında doğrudan ve ters problemleri çözmek için sıklıkla kullanılır. Belirtilmelidir özel rolİstenilen ve verilen değişkenler arasında işlevsel bir ilişki kurmak her zaman mümkün olmadığından bu tür problemleri çözerken diferansiyel denklemler kullanın, ancak belirli koşullar altında belirli bir sürecin gidişatını doğru bir şekilde tahmin etmeye olanak tanıyan bir diferansiyel denklem türetmek genellikle mümkündür. .

Diferansiyel denklemler, doğa bilimleri ve teknolojideki birçok problemi incelemek için güçlü bir araç olduklarından, pratik açıdan çok büyük önem taşırlar: mekanik, astronomi, fizik ve kimya ve biyolojideki birçok problemde yaygın olarak kullanılırlar. Bu, belirli süreçleri yöneten yasaların çoğunlukla diferansiyel denklemler biçiminde yazılması ve dolayısıyla bu denklemlerin kendilerinin bu yasaların niceliksel ifadesi için bir araç olması gerçeğiyle açıklanmaktadır.

denklem türevi Laplace problemi

Edebiyat

1. Aramanovich I.G., Levin V.I. Matematiksel fizik denklemleri. - M.: Nauka, 1964.

2.Berezin I.S., Zhidkov N.P. Hesaplama yöntemleri. - M.: Devlet Edebiyatı Yayınevi, 1959. - 602 s.

3.Bitsadze A.V. Matematiksel fizik denklemleri: Ders Kitabı. M.: Nauka, 1982. 336 s.

4.Bitsadze A.V., Kalinichenko D.F. Matematiksel fizik denklemleriyle ilgili problemlerin toplanması: Ders Kitabı. ödenek. M.: Nauka, 1977. 222 s.

Budak B.M., Samarsky A.A., Tikhonov A.N. Matematiksel fizikte problemlerin toplanması: Ders Kitabı. ödenek. M.: Nauka, 1980. 686 s.

6. Buslenko N.P., Shrader Yu.A. İstatistiksel test yöntemi (Monte Carlo) ve dijital makinelerde uygulanması. - M.: Fizmatgiz, 1961. - 315 s.

7.Vladimirov V.S., Matematiksel Fizik Denklemleri, M., 1967. - 256 s.

9.Demidovich B.P., Maron I.A., Shuvalova E. Sayısal analiz yöntemleri. - M .: Nauka, 1967. - 368 s.

10.Kantorovich L.V. ve Krylov V.I., Yaklaşık yüksek analiz yöntemleri, 5. baskı, L. - M., 1962. - 256 s.

Mihaylov V.P. Kısmi türevlerde diferansiyel denklemler: Ders Kitabı. M.: Nauka, 1983. 424 s.

Petrovsky I.G., İntegral denklemler teorisi üzerine dersler, 3. baskı, M., 1999. - 213 s.

14. Sdvizhnikov O.A., Bilgisayarda Matematik: Maple8. M.: Solon-Press, 2003. -176 s.

Smirnov V.I. Kuyu yüksek Matematik: Ders Kitabı: 4 cilt T.2. M.: Nauka, 1981. 655 s.

16. Sobol I.M. Sayısal Monte Carlo yöntemleri. - M .: Nauka, 1973. - 312 s.

17.Tikhonenko A.V. “Doğrusal ve doğrusal olmayan fizik denklemleri” dersindeki bilgisayar matematik paketleri. Obninsk: IATE, 2005.- 80 s.

18. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matematiksel fizik denklemleri: Ders Kitabı. M.: Nauka, 1977. 735 s.

Kısmi diferansiyel denklem(özel durumlar olarak da bilinir) matematiksel fizik denklemleri, UMF) - çeşitli değişkenlerin bilinmeyen fonksiyonlarını ve bunların kısmi türevlerini içeren bir diferansiyel denklem.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Kısmi diferansiyel denklemler. Kanonik görünüme hayalet.

✪ Matematiksel fizik denklemleri. Shankov V.V. Bahar Dönemi. Ders No.1

✪ Matematiksel fizik yöntemleri. Tikhonov Nikolay Andreevich (Ders 10)

✪ 8 Kısmi diferansiyel denklemler Mathcad

✪ Diferansiyel denklemler 1. Viskoz frenleme

Altyazılar

giriiş

Nispeten basit bir kısmi diferansiyel denklemi düşünün:

∂ ∂ y sen (x , y) = 0 . (\displaystyle (\frac (\kısmi )(\kısmi y))u(x,y)=0\,.)

Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin varlığını kanıtlama ve çözüm bulma problemleri, pürüzsüz çeşitler teorisi, diferansiyel geometri, değişmeli ve homolojik cebir kullanılarak çözülür. Bu yöntemler fizikte Lagrange ve Hamilton formalizminin incelenmesinde, yüksek simetrilerin ve korunum yasalarının incelenmesinde kullanılmaktadır.

sınıflandırma

Boyut

Bağımsız değişken sayısına eşittir. En az 2 olmalıdır (1'de sıradan bir diferansiyel denklem elde edilir).

Doğrusallık

Doğrusal ve doğrusal olmayan denklemler vardır. Doğrusal bir denklem, bilinmeyen fonksiyonların türevlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. Katsayılar sabit veya bilinen fonksiyonlar olabilir.

Doğrusal denklemler iyi çalışılmış; belirli doğrusal olmayan denklem türlerinin (milenyum problemleri) çözümü için milyon dolarlık ödüller verilmiştir.

Tekdüzelik

Bilinmeyen fonksiyonlara bağlı olmayan bir terim varsa denklem homojen değildir.

Emir

Denklemin sırası türevin maksimum mertebesine göre belirlenir. Tüm değişkenlerin dereceleri önemlidir.

Doğrusal ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılması

İkinci dereceden doğrusal kısmi diferansiyel denklemler parabolik, eliptik ve hiperbolik olarak sınıflandırılır.

İki bağımsız değişken

İki bağımsız değişken içeren ikinci dereceden bir doğrusal denklem şu şekildedir:

bir ∂ 2 sen ∂ x 2 + 2 B ∂ 2 sen ∂ x ∂ y + C ∂ 2 sen ∂ y 2 + . . . = 0 , (\displaystyle A(\frac (\kısmi ^(2)u)(\kısmi x^(2)))+2B(\frac (\kısmi ^(2)u)(\kısmi x\kısmi y ))+C(\frac (\kısmi ^(2)u)(\kısmi y^(2)))+...=0,)

Nerede A, B, C- değişkenlere bağlı katsayılar X Ve sen ve üç nokta şunlara bağlı olarak terimler anlamına gelir: X, sen, sen ve birinci dereceden kısmi türevler: ∂ u / ∂ x (\displaystyle (\kısmi u)/(\kısmi x)) Ve ∂ sen / ∂ y (\displaystyle (\kısmi u)/(\kısmi y)). Bu denklem konik bölüm denklemine benzer:

A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. (\displaystyle Ax^(2)+2Bxy+Cy^(2)+\cdots =0.)

Tıpkı konik bölümlerin diskriminantın işaretine bağlı olarak elipslere, parabollere ve hiperbollere bölünmesi gibi D = B 2 − A C (\displaystyle D=B^(2)-AC) ikinci dereceden denklemler şu şekilde sınıflandırılır: verilen nokta:

Tüm katsayıların olması durumunda A, B, C- sabitler, denklem değişkenler düzlemindeki tüm noktalarda aynı tiptedir X Ve sen. Katsayılar ise A, B, C sürekli bağımlı X Ve sen, hangi noktalar kümesi verilen denklem hiperbolik (eliptik) aittir, tip düzlem üzerinde hiperbolik (eliptik) adı verilen açık bir bölge oluşturur ve denklemin parabolik tipe ait olduğu noktalar kümesi kapalıdır. Denklem denir karışık (karışık tip), eğer düzlemin bazı noktalarında hiperbolik ve bazı noktalarında eliptik ise. Bu durumda parabolik noktalar genellikle bir çizgi oluşturur. değişiklik satırı yazın veya dejenerasyon çizgisi.

İkiden fazla bağımsız değişken

Genel durumda, ikinci dereceden bir denklem birçok bağımsız değişkene bağlı olduğunda:

∑ ben = 1 n ∑ j = 1 n a ben j (x 1 , ⋯ , x n) ∂ 2 sen ∂ x ben ∂ x j + F (x 1 , ⋯ , x n , sen , ∂ sen ∂ x 1 , ⋯ , ∂ sen ∂ x n) = 0 , (\displaystyle \toplam _(i=1)^(n)\toplam _(j=1)^(n)a_(ij)(x_(1),\cdots ,x_(n))(\ frac (\kısmi ^(2)u)(\kısmi x_(i)\kısmi x_(j)))+F\left(x_(1),\cdots ,x_(n),u,(\frac (\ kısmi u)(\kısmi x_(1))),\cdots ,(\frac (\kısmi u)(\kısmi x_(n)))\sağ)=0,)

belirli bir noktada sınıflandırılabilir M 0 (x 1 0 , ⋯ , x n 0) (\displaystyle M_(0)(x_(1)^(0),\cdots ,x_(n)^(0))) karşılık gelen ikinci dereceden forma benzetilerek:

∑ ben = 1 n ∑ j = 1 n a ben j (x 1 0 , ⋯ , x n 0) t ben t j . (\displaystyle \toplam _(i=1)^(n)\toplam _(j=1)^(n)a_(ij)(x_(1)^(0),\cdots ,x_(n)^( 0))t_(i)t_(j).)

Dejenere olmayan doğrusal dönüşümle

s ben = ∑ j = 1 n Bir ben j t j , ben = 1 , 2 ⋯ n , det ‖ Bir ben j ‖ ≠ 0 (\displaystyle s_(i)=\sum _(j=1)^(n)A_(ij)t_ (j),i=1,2\cdots n,\det \left\|A_(ij)\right\|\neq 0)

ikinci dereceden form her zaman kanonik forma indirgenebilir:

∑ ben = 1 n λ ben s ben 2 . (\displaystyle \toplam _(i=1)^(n)\lambda _(i)s_(i)^(2).)

Ayrıca eylemsizlik teoremine göre pozitif, negatif ve sıfır katsayıların sayısı λ ben (\displaystyle \lambda _(i)) ikinci dereceden formun kanonik formunda değişmezdir ve doğrusal dönüşüme bağlı değildir. Buna dayanarak sınıflandırma yapılır (noktada M 0 (\displaystyle M_(0))) söz konusu denklemin:

Çok sayıda bağımsız değişken olması durumunda daha ayrıntılı bir sınıflandırma yapılabilir (iki bağımsız değişken olması durumunda buna ihtiyaç duyulmaz):

1. Hiperbolik tip
   1. Normal hiperbolik tip, eğer bir katsayı bir işarete aitse ve geri kalanı başka bir işarete aitse.
   2. Ultrahiperbolik tip, eğer bir işaretin veya diğerinin birden fazla katsayısı varsa.
2. Parabolik tip ayrıca şu şekilde sınıflandırılabilir:
   1. Eliptik-parabolik tip, yalnızca bir katsayı sıfıra eşitse ve geri kalanı aynı işarete sahipse.
   2. Hiperbolik-parabolik tip, yalnızca bir katsayı sıfıra eşitse ve geri kalanı farklı işaretlere sahipse. Hiperbolik tipe benzer şekilde şu şekilde ayrılabilir:
      1. Normal hiperbolik-parabolik tip
      2. Ultrahiperbolik-parabolik tip
   3. Ultraparabolik tip Birden fazla katsayı sıfır ise. Burada sıfır olmayan katsayıların işaretlerine bağlı olarak daha ileri sınıflandırma da mümkündür.

Bir çözümün varlığı ve tekliği

Adi bir diferansiyel denklemin çözümünün varlığı ve tekliği sorusunun cevabının tamamen kapsamlı bir cevabı olmasına rağmen (Picard-Lindelöf teoremi), kısmi diferansiyel denklemler için bu sorunun kesin bir cevabı yoktur. Bilinmeyen fonksiyonlara ve türevlerine göre analitik olarak herhangi bir kısmi diferansiyel denklem için Cauchy probleminin benzersiz bir özelliğe sahip olduğunu belirten genel bir teorem (Cauchy-Kovalevskaya teoremi) vardır. Analitik çözüm. Bununla birlikte, katsayıları her mertebeden türevlere sahip olan ve çözümü olmayan doğrusal kısmi diferansiyel denklem örnekleri de vardır ( Levi, ). Bir çözüm mevcut ve benzersiz olsa bile, istenmeyen özelliklere sahip olabilir.

Bir dizi Cauchy problemini düşünün (bağlı olarak) N) Laplace denklemi için:

∂ 2 sen ∂ x 2 + ∂ 2 sen ∂ y 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (\kısmi ^(2)u)(\kısmi x^(2)))+(\frac (\kısmi ^( 2)u)(\kısmi y^(2))=0,) u (x , 0) = 0 , (\displaystyle u(x,0)=0,) ∂ sen ∂ y (x , 0) = sin ⁡ n x n , (\displaystyle (\frac (\kısmi u)(\kısmi y))(x,0)=(\frac (\sin nx)(n)) )

Nerede N- tüm. Bir fonksiyonun türevi sen değişkene göre sen düzgün bir şekilde 0'a eğilimlidir X yükselmekle birlikte N ancak denklemin çözümü

sen (x, y) = (s h n y) (sin ⁡ n x) n 2. (\displaystyle u(x,y)=(\frac ((\mathrm (sh) \,ny)(\sin nx))(n^(2))).)

Çözüm sonsuza doğru gidiyorsa nxçoklu değil π (\displaystyle \pi ) sıfır olmayan herhangi bir değer için sen. Laplace denklemi için Cauchy problemine, çözümün başlangıç ​​verilerine sürekli bir bağımlılığı olmadığından, kötü pozlanmış veya kötü pozlanmış denir.

Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemleri için, çözümlerin varlığının kanıtları ve tüm çözümlerin manifoldlarının araştırılması, düzgün manifoldlar teorisi, diferansiyel geometri, değişmeli ve homolojik cebir kullanılarak gerçekleştirilir. Bu yöntemler fizikte Lagrange ve Hamilton formalizminin incelenmesinde, yüksek simetrilerin ve korunum yasalarının incelenmesinde kullanılmaktadır.

Örnekler

Tek boyutlu ısı denklemi

Homojen bir çubuktaki ısı dağılımını tanımlayan denklem parabolik tiptedir ve şu şekildedir:

∂ sen ∂ t = α ∂ 2 sen ∂ x 2 (\displaystyle (\frac (\kısmi u)(\kısmi t))=\alpha (\frac (\kısmi ^(2)u)(\kısmi x^( 2))))

Nerede sen(T,X) sıcaklıktır ve α, ısı yayılma hızını tanımlayan pozitif bir sabittir. Cauchy problemi şu şekilde ifade edilmektedir:

U (0 , x) = f (x) (\displaystyle u(0,x)\,=f(x)),

Nerede F(X) keyfi bir fonksiyondur.

Sicim titreşimi denklemi

Denklem hiperbolik tiptedir. Burada sen(T,X) - ipin denge konumundan yer değiştirmesi veya borudaki aşırı hava basıncı veya büyüklüğü elektromanyetik alan borunun içinde ve C- dalga yayılma hızı. Cauchy problemini zamanın başlangıç ​​anında formüle etmek için, zamanın başlangıç ​​anında ipin yer değiştirmesi ve hızının belirtilmesi gerekir:

u (0 , x) = f (x) , (\displaystyle u(0,x)=f(x),) ∂ sen ∂ t (0 , x) = g (x) , (\displaystyle (\dfrac (\kısmi u)(\kısmi t))(0,x)=g(x),)

İki boyutlu Laplace denklemi

Analitik Fonksiyonlarla İlişki

Herhangi bir holomorfik fonksiyonun gerçek ve sanal kısımları f (\displaystyle f) karmaşık değişken z = x + i y (\displaystyle z=x+iy)öyle eşlenik harmonik fonksiyonlar: her ikisi de Laplace denklemini karşılar ve gradyanları diktir. Eğer F=sen+IV, Cauchy-Riemann koşulları aşağıdakileri belirtir:

∂ sen ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ x = − ∂ sen ∂ y , (\displaystyle (\frac (\kısmi u)(\kısmi x))=(\frac (\kısmi v)(\kısmi y))),\quad (\frac (\kısmi v)(\kısmi x))=-(\frac (\kısmi u)(\kısmi y))),)

Denklemleri birbirine ekleyerek ve çıkararak şunu elde ederiz:

∂ 2 sen ∂ x 2 + ∂ 2 sen ∂ y 2 = 0 , ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0. (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial) x^(2)))+(\frac (\kısmi ^(2)u)(\kısmi y^(2)))=0,\quad (\frac (\kısmi ^(2)v)(\kısmi x^(2)))+(\frac (\kısmi ^(2)v)(\kısmi y^(2))))=0.)

Ayrıca herhangi bir harmonik fonksiyonun bazı analitik fonksiyonların gerçek kısmı olduğu da gösterilebilir.

Sınır değer problemleri

Sınır değer problemleri şu şekilde ortaya çıkar: fonksiyonu bulun sen bölgenin tüm iç noktalarında Laplace denklemini karşılayan S ve bölgenin sınırında ∂ S (\displaystyle \kısmi S)- bazı koşullar. Koşulun türüne bağlı olarak aşağıdaki sınır değeri problemleri ayırt edilir:

Matematiksel fizik denklemlerini çözme

Bu tür denklemleri çözmek için iki tür yöntem vardır:

• sonucun çeşitli matematiksel dönüşümlerle elde edildiği analitik;
• elde edilen sonucun belirli bir doğrulukla gerçek sonuca karşılık geldiği, ancak çok sayıda rutin hesaplama gerektiren ve bu nedenle yalnızca bilgisayar teknolojisi (bilgisayarlar) kullanılarak gerçekleştirilebilen sayısal.

Analitik çözüm

Matematiksel fizik denklemlerine analitik çözümler elde edilebilir Farklı yollar. Örneğin:

• Green fonksiyonunu kullanarak;
• Fourier değişken ayırma yöntemini kullanarak;
• Potansiyel teorisini kullanarak;
• Kirchhoff formülünü kullanarak.

Bu yöntemler çeşitli denklem türleri için geliştirilmiştir ve bazı basit durumlarda, bazı formüller veya yakınsak seriler biçiminde bir çözüm elde edilmesine olanak tanır;

Çoğu zaman sadece bir söz diferansiyel denklemleröğrencilerin kendilerini rahatsız hissetmelerine neden olur. Bu neden oluyor? Çoğu zaman, çünkü malzemenin temellerini incelerken, bilgide bir boşluk ortaya çıkar, bu da difurlarla ilgili daha fazla çalışmanın basitçe işkenceye dönüşmesine neden olur. Ne yapacağınız, nasıl karar vereceğiniz, nereden başlayacağınız belli değil mi?

Ancak difurların sanıldığı kadar zor olmadığını size göstermeye çalışacağız.

Diferansiyel denklem teorisinin temel kavramları

Bilinmeyen x'i bulmamız gereken en basit denklemleri okuldan biliyoruz. Aslında diferansiyel denklemler onlardan sadece biraz farklı - bir değişken yerine X içlerinde bir işlev bulmalısın y(x) bu da denklemi bir kimliğe dönüştürecektir.

D diferansiyel denklemler büyük pratik öneme sahiptir. Bu, etrafımızdaki dünyayla hiçbir ilişkisi olmayan soyut bir matematik değildir. Diferansiyel denklemler birçok gerçek durumu tanımlamak için kullanılır. doğal süreçler. Örneğin bir ipin titreşimleri, harmonik bir osilatörün hareketi, mekanik problemlerinde diferansiyel denklemler kullanılarak bir cismin hızı ve ivmesi bulunur. Ayrıca DU bulmak geniş uygulama biyoloji, kimya, ekonomi ve diğer birçok bilimde.

Diferansiyel denklem (DU), y(x) fonksiyonunun türevlerini, fonksiyonun kendisini, bağımsız değişkenleri ve diğer parametreleri çeşitli kombinasyonlarda içeren bir denklemdir.

Diferansiyel denklemlerin pek çok türü vardır: sıradan diferansiyel denklemler, doğrusal ve doğrusal olmayan, homojen ve homojen olmayan, birinci ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, kısmi diferansiyel denklemler vb.

Bir diferansiyel denklemin çözümü, onu özdeşliğe dönüştüren bir fonksiyondur. Uzaktan kumandanın genel ve özel çözümleri bulunmaktadır.

Bir diferansiyel denklemin genel çözümü, denklemi bir kimliğe dönüştüren genel bir çözüm kümesidir. Bir diferansiyel denklemin kısmi çözümü, başlangıçta belirtilen ek koşulları sağlayan bir çözümdür.

Bir diferansiyel denklemin sırası, türevlerinin en yüksek mertebesine göre belirlenir.

Adi diferansiyel denklemler

Adi diferansiyel denklemler bir bağımsız değişken içeren denklemlerdir.

Birinci dereceden en basit adi diferansiyel denklemi ele alalım. Şuna benziyor:

Bu denklem sadece sağ tarafının integrali alınarak çözülebilir.

Bu tür denklemlere örnekler:

Ayrılabilir denklemler

Genel olarak bu tür bir denklem şuna benzer:

İşte bir örnek:

Böyle bir denklemi çözerken değişkenleri ayırıp forma getirmeniz gerekir:

Bundan sonra geriye her iki parçanın entegre edilmesi ve bir çözüm elde edilmesi kalıyor.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Bu tür denklemler şöyle görünür:

Burada p(x) ve q(x) bağımsız değişkenin bazı fonksiyonlarıdır ve y=y(x) istenen fonksiyondur. İşte böyle bir denklemin bir örneği:

Böyle bir denklemi çözerken, çoğunlukla keyfi bir sabiti değiştirme yöntemini kullanırlar veya istenen fonksiyonu diğer iki fonksiyonun y(x)=u(x)v(x) çarpımı olarak temsil ederler.

Bu tür denklemleri çözmek için belirli bir hazırlık yapılması gerekir ve bunları "bir bakışta" anlamak oldukça zor olacaktır.

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklem çözme örneği

Bu yüzden en basit uzaktan kumanda türlerine baktık. Şimdi bunlardan birinin çözümüne bakalım. Bu ayrılabilir değişkenli bir denklem olsun.

Öncelikle türevi daha tanıdık bir biçimde yeniden yazalım:

Daha sonra değişkenleri böleriz, yani denklemin bir bölümünde tüm "I'leri", diğerinde ise "X'leri" toplarız:

Şimdi her iki parçayı da entegre etmeye devam ediyor:

Bu denklemi entegre edip genel bir çözüm elde ediyoruz:

Elbette diferansiyel denklemleri çözmek bir tür sanattır. Bunun ne tür bir denklem olduğunu anlayabilmeniz ve ayrıca, sadece farklılaştırma ve bütünleştirme yeteneğinden bahsetmek yerine, bir forma veya diğerine yol açmak için onunla hangi dönüşümlerin yapılması gerektiğini görmeyi öğrenmeniz gerekir. DE'yi çözmede başarılı olmak için (her şeyde olduğu gibi) pratik yapmanız gerekir. Ve eğer varsa şu an diferansiyel denklemlerin nasıl çözüldüğünü anlamaya vaktiniz yok ya da Cauchy problemi boğazınıza kemik gibi sıkıştı ya da bilmiyorsanız yazarlarımızla iletişime geçin. Kısa sürede size hazır ve detaylı çözüm, ayrıntılarını sizin için uygun olan herhangi bir zamanda anlayabileceğiniz. Bu arada “Diferansiyel denklemler nasıl çözülür” konulu videoyu izlemenizi öneririz:

İkinci Dereceden Kısmi Diferansiyel Denklemler Ders No. 3-4

Ders : İkinci dereceden kısmi diferansiyel denklemler.

Sorular:

1. İkinci dereceden denklemin genel formu. Doğrusal ikinci basamaktan kısmi diferansiyel denklemler. Doğrusal homojen ve doğrusal homojen olmayan denklemler.

2. Lineer homojen ve lineer homojen olmayan denklemlerin çözümlerinin özellikleri.

3. İkinci mertebeden diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması.

4. Doğrusal bir denklemin kanonik forma indirgenmesi: hiperbolik tip, parabolik tip ve eliptik tip.

5. İkinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin temel problemlerinin ifade edilmesi.

Formun denklemi

istenen fonksiyona sahip ikinci dereceden bir diferansiyel denklemdir z iki değişkenden X Ve en.

Matematiksel fizik denklemleri, genel formdaki (3.1) ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemlerin aksine, doğrusal yani istenen fonksiyona ve onun kısmi türevlerine doğrusal olarak bağlıdır. Örneğin, iki bağımsız değişken olması durumunda bunlar şu şekildedir:

Denklem (3.2) eğer homojen olarak adlandırılırsa
. Eğer
ise denklem (3.2)'ye homojen olmayan denir.

Denklemin (3.2) sol tarafını şu şekilde gösterelim:
ise (3.2) şu şekilde yazılabilir:

. (3.3)

Karşılık gelen homojen denklem şu formu alır:

. (3.4)

- doğrusal diferansiyel operatörü. Operatörün doğrusallık özelliklerini kendiniz kontrol edin
.

Operatörün doğrusallık özelliklerinden
Aşağıdaki ifadeler doğrudan şu şekildedir:

Teorem 3.1. Eğer
doğrusal homojen denklemin (3.4) çözümüdür, o zaman fonksiyon
aynı zamanda denklem (3.4)'ün bir çözümüdür; burada İLE– keyfi sabit.

Teorem 3.2. Eğer
Ve
- doğrusal homojen denklemin (3.4) çözümleri, ardından toplam
+

Sonuçlar. Rastgele sabit katsayılarla doğrusal kombinasyon k denklemin çözümleri (3.4)
aynı zamanda bu denklemin bir çözümüdür.

Sonlu sayıda doğrusal olarak bağımsız kısmi çözüme sahip olan ve doğrusal kombinasyonu bu denklemin genel çözümünü veren sıradan doğrusal homojen diferansiyel denklemlerin aksine, kısmi diferansiyel denklemler sonsuz sayıda doğrusal olarak bağımsız kısmi çözüme sahip olabilir.

Örneğin. Denklem

genel bir çözümü var
, dolayısıyla çözümleri örneğin işlevler olacaktır.
.

Doğrusal homojen olmayan bir durum için

. (3.5)

denklemler için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

Teorem 3.3. Eğer
doğrusal homojen olmayan denklemin (3.5) çözümüdür ve
- karşılık gelen homojen denklemin (3.4) çözümü, toplam
aynı zamanda homojen olmayan denklemin (3.5) bir çözümüdür.

Teorem 3.4. Eğer
- denklemin çözümü
, A
- denklemin çözümleri
, o zaman toplam
+
denklemin bir çözümü
.

Hadi düşünelim sınıflandırma iki bağımsız değişkenli ikinci dereceden diferansiyel denklemler.

Tanım. Bazı alanlarda ikinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem (3.2)
yüzeyde xOy isminde

Hiperbolik tip denklemlerin en basiti dalga denklemidir

.

Salınımlı süreçlerle ilgili problemlerde ortaya çıkar.

Eliptik tip denklemlerin en basiti Laplace denklemidir

.

Durağan süreçler incelenirken bu denklemin entegrasyonuna gelinir.

Parabolik tipin en basit denklemi ısı denklemidir (Fourier denklemi)

.

Isıl iletkenlik ve difüzyon süreçlerini incelerken sıklıkla karşılaşılır.

Daha sonra bu denklemlere daha ayrıntılı olarak bakacağız.

Matematiksel fizik dersi ayrıca dalga denklemini, Laplace denklemini ve daha genel bir formun Fourier denklemini de inceler:

,
,

,

,
.

Denklemi (3.2) bu denklemin verildiği herhangi bir noktanın yeterince küçük bir komşuluğunda kanonik forma indirgeyelim. Diyelim ki katsayılar A, İÇİNDE Ve İLE denklem (3.2)'deki sınıfa aittir
bir mahallede ve hiçbir yerde aynı anda yok olmuyor. Kesinlik için şunu varsayabiliriz:
bu civarda. Gerçekten, aksi halde ortaya çıkabilir
, ama sonra yer değiştiriyorum X Ve en, bunun için bir denklem elde ederiz
. Eğer A Ve İLE bir noktada aynı anda ortadan kayboluyor, sonra
bu noktanın yakınında. Bu durumda 2'ye bölündükten sonra İÇİNDE denklem (3.2) zaten kanonik forma sahip olacaktır:

Şimdi yeni değişkenlere geçelim

,

,
, (3.6)

,

,

,

,

.

Bu nedenle denklem (3.2) şu şekli alacaktır:

Fonksiyonlara ihtiyacımız var
Ve
katsayıları sıfıra ayarla
Ve
yani denklemleri sağladı:

Çünkü
, bu denklemler doğrusal denklemlere eşdeğerdir

,
, (3.7)

Nerede
,
,
.

Fark ettiğimiz gibi, bağlı olarak Üç tür denklem mümkündür. Bu üç durumu ayrı ayrı ele alalım.

Bu durumda denklem (3.2) kanonik forma indirgenir:

. (3.8)

Değişkenleri değiştirme
,
denklem (3.2)'yi başka bir eşdeğer kanonik forma getirir:

. (3.9)

Gösterimi (3.8) kanıtlamak için en az bir çözüm çifti olduğunu gösteriyoruz. Ve denklemler (3.7) koşulları (3.6) karşılar. Öncelikle bu çözümler ile denklem (3.2)'nin özellikleri arasındaki bağlantıyı kuralım.

Denklemlerin (3.7) şu şekilde çözümlerinin olduğunu varsayalım:
,
söz konusu mahallede, ardından eğriler

,

Denklemin (3.2) iki özellik ailesini tanımlar. Şimdi aşağıdaki yardımcı ifadeyi kanıtlayalım.

Lemma. Fonksiyona izin ver
öyle ki
. Bir eğri ailesi için
Denklemin (3.2) özelliklerini belirlediğimize göre, ifadenin gerekli ve yeterli olması
sıradan diferansiyel denklemlerden birinin genel integraliydi

,
. (3.10)

Denklemler (3.10) denir karakteristiklerin diferansiyel denklemleri denklem (3.2).

Kanıt. 1. Gerekliliğini kanıtlayalım. İzin vermek
- denklemin (3.2) karakteristik özellikleri ailesi. durumdan
bu ailenin belli bir mahalleyi doldurduğu sonucu çıkıyor D, her noktadan yalnızca bir özelliğin geçtiği nokta. İzin vermek
. O zaman, eğer dönüşümde (3.6) örneğin alırsak,
, o zaman bu mahallede fonksiyon
denklemi sağlayacak

.

Her özellik için ilişki geçerli olduğundan

,
,

,

o zaman çünkü
, alıyoruz

, veya
,

onlar.
denklemlerden ilkinin (3.10) genel integralidir. İhtiyaç kanıtlandı.

2. Yeterliliğini kanıtlayalım. İzin vermek
denklemlerden (3.10) birinin, örneğin birincisinin genel integralidir. Tanım gereği bu, eğer fonksiyon
bu denklemin çözümü ise

,

bu nedenle son kimliğin farklılaştırılması X, sahip olacak

,

ve bu nedenle her satırda
ilişki geçerli

. (3.11)

Ancak sıradan diferansiyel denklemler için bir çözümün varlığı ve tekliği teoremine göre, söz konusu mahalledeki her noktadan bir integral eğri geçer.
bu denklem. Bu nedenle, (3.11) denklemi söz konusu mahallenin her noktasında sağlanmaktadır. Ve koşul gereği
,
, ardından eğriler
denklem (3.2)'nin özellikleridir. Lemma kanıtlanmıştır.

Kanıtlanmış lemmaya dayanarak, denklemlerin (3.10) genel integralleri:

, Ve

öyle ki
,
,
, denklemin (3.2) iki özellik ailesini tanımlar. Üstelik, o zamandan beri
, Daha sonra
, Ve

T Böylece özellik aileleri
,
Koordinat çizgileri ve fonksiyonların ailelerini oluşturun
Ve
yeni değişkenler olarak alınabilir. Ayrıca denklemde (*) katsayılar
Ve
sıfıra eşit olacak ve

Bu nedenle denklemin (*) 2'ye bölünmesi
denklemini kanonik formda (3.8) elde ederiz.

Denklem (3.2) kanonik forma indirgenmiştir

.

Çünkü bazı mahallelerde
, O
dolayısıyla diferansiyel denklemler (3.7) çakışır ve eşittir

.

Sonuç olarak, bir özellikler ailesi elde ettik
denklem (3.2), lemma tarafından, denklemin genel integrali tarafından belirlenir

,

böylece
Ve
. İkinci koordinat çizgileri ailesi için düz çizgileri seçiyoruz
. Sonuç olarak değişkenlerin değişimi

,
,

, ,
.

Denklemin (*) katsayıya bölünmesi
denklemini kanonik formda elde ederiz.

Eğer olasılıklar A, İÇİNDE Ve İLE Denklem (3.2)'dekiler belirli bir noktanın komşuluğundaki analitik fonksiyonlardır. Daha sonra bu denklem kanonik forma indirgenir.

.

Bu durumda katsayılar Ve denklemler (3.7) analitik fonksiyonlardır ve gerçek
:
. Kovalevskaya teoreminden, yeterince küçük bir mahallede analitik bir çözümün mevcut olduğu sonucu çıkar.
denklemler

,

koşulu karşılayan
. Şimdi koyalım

,
, (3.12)

Nerede
- karmaşık bir şekilde ilişkili bir işlev
. İşlev
(3.7)'deki ikinci denklemi karşılar:

,

fonksiyondan beri
(3.7)'deki ilk denklemi karşılar, yani.

Fonksiyonlardan beri
Ve
analitik o zaman
ve onların Jacobian'ı

Bu nedenle işlevler
Ve
yeni değişkenler olarak alınabilir. Yapım gereği işlev
denklemi karşılıyor

Reel ve sanal kısımları ayırıp (3.12) formüllerini kullanarak yeni değişkenlere geçerek şunu elde ederiz:

,

Katsayı formüllerini dikkate alarak
bunu anladık
Ve
değişkenlerde
Ve
. Sonraki çünkü
Ve
, O
. Denklemin (*) şuna bölünmesi:
, hadi kanonik forma getirelim

.

İkinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin temel problemlerinin ifade edilmesi.

Belirli bir fiziksel süreci tam olarak tanımlamak için, bu süreci tanımlayan denklemin kendisine ek olarak, bu sürecin başlangıç ​​durumunu (başlangıç ​​koşulları) ve o bölgenin sınırındaki rejimi belirtmek gerekir.
, bu sürecin gerçekleştiği yer (sınır koşulları). Bunun nedeni diferansiyel denklemlerin çözümünün benzersiz olmamasıdır. Örneğin kısmi diferansiyel denklemler için çözüm keyfi fonksiyonlara bağlıdır. Bu nedenle, gerçek bir fiziksel süreci tanımlayan bir çözümün seçilebilmesi için ek koşulların belirlenmesi gerekmektedir. Bu tür ek koşullar sınır koşullarıdır (başlangıç ​​ve sınır). İlgili göreve denir sınır değeri problemi.

Diferansiyel denklemler için üç ana sınır değer problemi türü vardır: