Şeklin alanı çevrimiçi olarak bu çizgilerle sınırlıdır. Kesin integral
A)
Çözüm.
İlk ve en önemli ançözümler - çizim çizimi.
Çizimi yapalım:
Denklem y=0 “x” eksenini ayarlar;
- x=-2 Ve x=1 - düz, eksene paralel kuruluş birimi;
- y=x 2 +2 - dalları yukarı doğru yönlendirilmiş, tepe noktası (0;2) noktasında olan bir parabol.
Yorum. Bir parabol oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir; koyarak x=0 eksenle kesişimi bulun kuruluş birimi ve buna göre karar vermek ikinci dereceden denklem, eksenle kesişimi bulun Ah .
Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir: 
Ayrıca noktadan noktaya çizgiler de oluşturabilirsiniz.
[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x 2 +2 bulunan eksenin üstünde Öküz , Bu yüzden:
Cevap: S =9 metrekare birim
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. İÇİNDE bu durumdaÇizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında Ah?
B)Şeklin alanını hesaplayın, çizgilerle sınırlı y=-e x , x=1 ve eksenleri koordine edin.
Çözüm.
Bir çizim yapalım.
Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Cevap: S=(e-1) metrekare birimler" 1,72 metrekare birimler
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.
İle)Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.
Çözüm.
İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım 
ve düz 
Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.
Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0 , entegrasyonun üst sınırı b=3 .
|
Verilen çizgileri oluşturuyoruz: 1. Parabol - (1;1) noktasındaki tepe noktası; eksen kesişimi Ah -(0;0) ve (0;2) noktaları. 2. Düz çizgi - 2. ve 4. koordinat açılarının ortaortayı. Ve şimdi Dikkat! Eğer segmentteyse [ a;b] bazı sürekli fonksiyonlar f(x) sürekli bir fonksiyondan büyük veya ona eşit g(x), daha sonra karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: Ve şeklin nerede olduğu önemli değil - eksenin üstünde veya altında, ancak önemli olan hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğudur. Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır. |
.Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.
İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
Segmentte 
karşılık gelen formüle göre:
Cevap: S =4,5 metrekare birim
Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha acil bir konu olacaktır. Bu bakımdan ana grafiklerin hafızanızı tazelemesinde fayda var. temel işlevler ve en azından düz bir çizgi ve hiperbol oluşturabilmeli.
Eğri bir yamuk, bir eksenle, düz çizgilerle ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil x ekseni:
Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir değeri vardır. geometrik anlamı.
Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.
Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
örnek 1
Bu tipik bir atama beyanıdır. Kararın ilk ve en önemli noktası çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir. SAĞ.
Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı noktadan noktaya.
Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):
Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:
Cevap:
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Örnek 3
Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Bir çizim yapalım:
Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.
Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..
Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.
Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:
Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar varsa, bu fonksiyonların grafikleri ve çizgileri ile sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: 
Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi ALTTA.
Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.
Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:
İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:
Cevap:
Örnek 4
, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:
Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, gölgeli bir şeklin alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" sıklıkla ortaya çıkar. yeşil!
Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır.
Gerçekten:
1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;
2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.
Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. belirli bir integral kullanarak düzlemsel bir şeklin alanının hesaplanması. Sonunda anlam arayan herkes yüksek Matematik- onu bulabilirler mi? Asla bilemezsin. Onu hayata yaklaştırmalıyız Kır evi alanı temel fonksiyonlar ve belirli bir integral kullanarak alanını bulma.
Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:
1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.
2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sıcak ayarla dostane ilişkiler belirli integralleri sayfada bulabilirsiniz Kesin integral. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz de önemli bir konu olacaktır. En azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmeniz gerekir.
Kavisli bir yamukla başlayalım. Kavisli bir yamuk, bazı fonksiyonların grafiğiyle sınırlanan düz bir şekildir. sen = F(X), eksen ÖKÜZ ve çizgiler X = A; X = B.
Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir
Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştik. Şimdi bir şeyi daha belirtmenin zamanı geldi faydalı gerçek. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır. Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Belirli integrali düşünün
İntegrand
düzlemde bir eğri tanımlar (istenirse çizilebilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
örnek 1
, , , .
Bu tipik bir atama beyanıdır. Kararda en önemli nokta çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir. SAĞ.
Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Nokta nokta inşaat tekniği şurada bulunabilir: referans malzemesi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.
Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi yapalım (denklemin sen= 0 ekseni belirtir ÖKÜZ):
Kavisli bir yamuğu gölgelemeyeceğiz, burada hangi alanın olduğu belli Hakkında konuşuyoruz. Çözüm şu şekilde devam ediyor:
[-2; 1] fonksiyon grafiği sen = X 2+2 konumlu eksenin üstündeÖKÜZ, Bu yüzden:
Cevap: .
Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler
,
derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Örnek 2
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın xy = 4, X = 2, X= 4 ve eksen ÖKÜZ.
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altındaÖKÜZ?
Örnek 3
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın sen = eski, X= 1 ve koordinat eksenleri.
Çözüm: Bir çizim yapalım:
Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır ÖKÜZ ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:
.
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun sen = 2X – X 2 , sen = -X.
Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım sen = 2X – X 2 ve düz sen = -X. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırının A= 0, entegrasyonun üst sınırı B= 3. Çizgileri noktadan noktaya oluşturmak genellikle daha karlı ve daha hızlıdır ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:
Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla “otomatik olarak” belirlendiğini tekrarlayalım.
Ve şimdi çalışma formülü:
Eğer segmentteyse [ A; B] bazı sürekli fonksiyonlar F(X) büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar G(X), o zaman karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde veya eksenin altında - düşünmenize gerek yok, ancak Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi ALTTA.
Söz konusu örnekte, segment üzerinde parabolün düz çizginin üzerinde olduğu ve dolayısıyla 2'den itibaren olduğu açıktır. X – X 2 çıkarılmalıdır – X.
Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:
İstenilen rakam bir parabol ile sınırlıdır sen = 2X – X 2 üstte ve düz sen = -X altında.
2. segmentte X – X 2 ≥ -X. İlgili formüle göre:
Cevap: .
Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bkz. örnek No. 3), formülün özel bir halidir
.
Çünkü eksen ÖKÜZ denklem tarafından verilen sen= 0 ve fonksiyonun grafiği G(X) eksenin altında bulunur ÖKÜZ, O
.
Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek
Örnek 5
Örnek 6
Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını bulun
Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... Yanlış şeklin alanı bulundu.
Örnek 7
İlk önce bir çizim yapalım:
Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte insanlar dikkatsizlikten dolayı genellikle şeklin yeşil renkle gösterilen alanını bulmaları gerektiğine karar verirler!
Bu örnek aynı zamanda iki belirli integrali kullanarak bir şeklin alanını hesapladığı için de faydalıdır. Gerçekten mi:
1) [-1; 1] eksenin üstünde ÖKÜZ grafik düz bir şekilde yerleştirilmiştir sen = X+1;
2) Eksenin üzerindeki bir segmentte ÖKÜZ bir hiperbolün grafiği bulunur sen = (2/X).
Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
Cevap:
Örnek 8
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın
Denklemleri “okul” formunda sunalım
ve noktadan noktaya çizim yapın:
Çizimden üst sınırımızın “iyi” olduğu açıkça görülüyor: B = 1.
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir?
Belki, A=(-1/3)? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede? A=(-1/4). Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?
Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.
Grafiklerin kesişim noktalarını bulalım
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:
.
Buradan, A=(-1/3).
Diğer çözüm önemsizdir. Önemli olan, oyuncu değişikliği ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır. Buradaki hesaplamalar en basit değil. Segmentte
, 
,
ilgili formüle göre:
Cevap: 
Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.
Örnek 9
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın
Çözüm: Bu şekli çizimde gösterelim.
Nokta nokta çizim çizmek için bilmeniz gerekenler dış görünüş sinüzoidler. Genel olarak, bazı sinüs değerlerinin yanı sıra tüm temel fonksiyonların grafiklerini bilmek faydalıdır. Değerler tablosunda bulunabilirler trigonometrik fonksiyonlar . Bazı durumlarda (örneğin, bu durumda), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde görüntülenmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.
Burada entegrasyonun sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanıyor:
– “x” sıfırdan “pi”ye değişir. Bir karar daha verelim:
Bir segment üzerinde bir fonksiyonun grafiği sen= günah 3 X eksenin üstünde bulunur ÖKÜZ, Bu yüzden:
(1) Derste sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlere nasıl entegre edildiğini görebilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Bir sinüsü sıkıştırıyoruz.
(2) Formdaki ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz
(3) Değişkeni değiştirelim T=çünkü X, o zaman: eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:
.
.
Not: Küpteki tanjantın integralinin nasıl alındığına dikkat edin; burada ana integralin doğal sonucu kullanılmıştır trigonometrik özdeşlik
.
Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır
İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. – bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integralin nasıl kullanılacağı. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar, onu bulsunlar. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.
Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:
1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.
2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki belirli integrallerle sıcak, dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.
Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha acil bir konu olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmek faydalıdır. Bu, kullanılarak yapılabilir (çoğu için gereklidir) metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.
Aslında herkes belirli bir integral kullanarak alan bulma işine okuldan beri aşinadır ve biz de bundan daha ileri gitmeyeceğiz. Okul müfredatı. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki sorun, bir öğrencinin nefret ettiği bir okuldan muzdarip olduğu ve yüksek matematik dersinde şevkle ustalaştığı 100 vakadan 99'unda ortaya çıkıyor.
Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teoriyle sunulmaktadır.
Kavisli bir yamukla başlayalım.
Eğrisel yamuk bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil, düz çizgiler ve bu aralıkta işaret değiştirmeyen bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun grafiğidir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil x ekseni:
Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.
Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
örnek 1
Bu tipik bir atama beyanıdır. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir. SAĞ.
Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktadan noktaya inşaat tekniği referans malzemesinde bulunabilir Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.
Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):
Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğim, burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:
Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:
Cevap:
Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler 
, derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Örnek 2
Çizgiler ve eksenlerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında mı?
Örnek 3
Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Bir çizim yapalım: 
Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda: 
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.
Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..
Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktadan noktaya oluşturma tekniği yardımda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.
Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım: 
Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik olarak" belirlendiğini tekrar ediyorum.
Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar varsa, bu fonksiyonların grafikleri ve çizgileri ile sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: 
Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi ALTTA.
Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.
Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:
İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:
Cevap:
Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir 
. Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman 
Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek
Örnek 5
Örnek 6
Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.
Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... yanlış şeklin alanı bulundu, bu, mütevazi hizmetkarınızın birkaç kez işleri batırmasının aynısıydı. Burada gerçek durum hayattan:
Örnek 7
, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım: 
...Eh, çizim berbat çıktı ama her şey okunaklı görünüyor.
Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!
Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:
1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;
2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.
Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
Cevap:
Başka bir anlamlı göreve geçelim.
Örnek 8
Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri “okul” formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım: 
Çizimden üst limitimizin “iyi” olduğu açıkça görülüyor: .
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir... Veya kök. Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?
Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.
Düz bir çizgi ile parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz: 
,
Gerçekten mi, .
Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele ikameler ve işaretler konusunda kafanızın karışmamasıdır, buradaki hesaplamalar en basit değildir.
Segmentte 
karşılık gelen formüle göre: 
Cevap: 
Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.
Örnek 9
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,
Çözüm: Bu figürü çizimde tasvir edelim. 
Lanet olsun, programı imzalamayı unuttum ve üzgünüm, resmi yeniden yapmak istemedim. Çizim günü değil kısacası bugün o gün =)
Nokta nokta inşaat için sinüzoidin görünümünü bilmek gerekir (ve genel olarak bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bunlar da bulunabilir. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.
Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:
Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:
Sorun 1(kavisli bir yamuğun alanının hesaplanması hakkında).
Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde xOy, x ekseni, düz çizgiler x = a, x = b (a eğrisel bir yamuk ile) tarafından sınırlanan bir şekil verilir (şekle bakın). Eğrisel alanın hesaplanması gerekir. yamuk.
Çözüm. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir dairenin bazı kısımlarını (sektör, parça) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik değerlendirmeleri kullanarak, aşağıdaki mantıkla gerekli alanın yalnızca yaklaşık değerini bulabiliriz.
[a; segmentini bölelim; b] (kavisli bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya bölünür; bu bölme x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 noktaları kullanılarak gerçekleştirilir. Bu noktalardan y eksenine paralel düz çizgiler çizelim. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Tüm yamuğun alanı sütunların alanlarının toplamına eşittir.
K'inci sütunu ayrı ayrı ele alalım, yani. tabanı bir segment olan kavisli bir yamuk. Bunu, tabanı ve yüksekliği f(xk) ile aynı olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \'ye eşittir, burada \(\Delta x_k \) parçanın uzunluğudur; Ortaya çıkan ürünü k'inci sütunun alanının yaklaşık bir değeri olarak düşünmek doğaldır. 
Şimdi aynısını diğer tüm sütunlar için yaparsak, şu sonuca ulaşacağız: belirli bir eğrisel yamuğun S alanı, n dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin S n alanına yaklaşık olarak eşittir (şekle bakın):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada, gösterimin tekdüzeliği adına, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - parçanın uzunluğu, \(\Delta x_1 \) - parçanın uzunluğu, vb.; bu durumda yukarıda anlaştığımız gibi, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Yani, \(S \approx S_n \) ve bu yaklaşık eşitlik, n ne kadar büyük olursa o kadar doğrudur.
Tanım gereği, eğrisel bir yamuğun gerekli alanının dizinin sınırına (S n) eşit olduğuna inanılmaktadır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Sorun 2(bir noktanın taşınması hakkında)
Düz bir çizgide hareket eder maddi nokta. Hızın zamana bağımlılığı v = v(t) formülüyle ifade edilir. Bir noktanın belirli bir zaman periyodundaki hareketini bulun [a; B].
Çözüm. Eğer hareket tekdüze olsaydı sorun çok basit bir şekilde çözülürdü: s = vt, yani. s = v(b-a). Düzensiz hareket için, önceki problemin çözümünün dayandığı aynı fikirleri kullanmanız gerekir.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya bölünür.
2) Bir zaman periyodu düşünün ve bu zaman periyodu sırasında hızın tk zamanındakiyle aynı olduğunu varsayalım. Dolayısıyla v = v(t k) olduğunu varsayıyoruz.
3) Noktanın belirli bir zaman dilimindeki hareketinin yaklaşık değerini bulalım; bu yaklaşık değeri s k olarak göstereceğiz.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Yer değiştirme s'nin yaklaşık değerini bulun:
\(s \yaklaşık S_n \) burada
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Gerekli yer değiştirme dizinin sınırına eşittir (S n):
$$ s = \lim_(n \ile \infty) S_n $$
Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematiksel modele indirgendi. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki pek çok problem, çözüm sürecinde aynı modele yol açmaktadır. Bu, bu matematiksel modelin özel olarak incelenmesi gerektiği anlamına gelir.
Belirli bir integral kavramı
[a; B]:
1) [a] parçasını bölün; b] n eşit parçaya bölünür;
2) toplamı oluşturun $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$'ı hesaplayın
Matematiksel analiz sırasında bu sınırın sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda mevcut olduğu kanıtlanmıştır. O aradı y = f(x) fonksiyonunun [a; parçası üzerinde belirli bir integrali; B] ve aşağıdaki gibi ifade edilir:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
A ve b sayılarına entegrasyon sınırları denir (sırasıyla alt ve üst).
Yukarıda tartışılan görevlere dönelim. Problem 1'de verilen alan tanımı artık aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen kavisli yamuğun alanıdır. Bu Belirli bir integralin geometrik anlamı.
Problem 2'de verilen, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesinin s tanımı aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:
Newton-Leibniz formülü
Öncelikle şu soruyu cevaplayalım: Belirli integral ile ters türev arasındaki bağlantı nedir?
Cevap Problem 2'de bulunabilir. Bir yandan, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s şu şekilde hesaplanır: formül
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Öte yandan, hareketli bir noktanın koordinatı hızın ters türevidir; buna s(t) diyelim; bu, s yer değiştirmesinin s = s(b) - s(a) formülüyle ifade edildiği anlamına gelir. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t), v(t)'nin ters türevidir.
Aşağıdaki teorem matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Teorem. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a; b] ise formül geçerlidir
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x), f(x)'in terstürevidir.
Verilen formüle genellikle denir Newton-Leibniz formülü Bunu birbirlerinden bağımsız olarak ve neredeyse aynı anda alan İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz'in (1646-1716) onuruna.
Uygulamada, F(b) - F(a) yazmak yerine \(\left. F(x)\right|_a^b \) gösterimini kullanırlar (buna bazen denir) çift oyuncu değişikliği) ve buna göre Newton-Leibniz formülünü şu biçimde yeniden yazın:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve ardından ikili ikame yapın.
Newton-Leibniz formülüne dayanarak belirli integralin iki özelliğini elde edebiliriz.
Mülk 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Mülk 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Belirli Bir İntegral Kullanarak Düzlem Şekillerin Alanlarını Hesaplama
İntegrali kullanarak, yalnızca kavisli yamukların alanlarını değil, aynı zamanda daha karmaşık tipteki düzlemsel figürlerin, örneğin şekilde gösterilenin alanlarını da hesaplayabilirsiniz. P şekli x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) sürekli fonksiyonlarının grafikleriyle ve [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği geçerlidir. Böyle bir şeklin S alanını hesaplamak için şu şekilde ilerleyeceğiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Yani, x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin S alanı, parça üzerinde süreklidir ve parçadaki herhangi bir x için öyledir [A; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği sağlanır, formülle hesaplanır
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
