y 4 üzeri x fonksiyonunun özellikleri. Temel temel işlevler

Bir kuvvet fonksiyonunu dikkate almanın kolaylığı için, 4 ayrı durumu ele alacağız: doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu, tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu, rasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu ve irrasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu.

Doğal üslü kuvvet fonksiyonu

Öncelikle doğal üssü olan derece kavramını tanıtalım.

Tanım 1

Doğal üssü $n$ olan bir $a$ gerçek sayısının kuvveti, her biri $a$ sayısına eşit olan $n$ faktörlerinin çarpımına eşit bir sayıdır.

Resim 1.

$a$ derecenin temelidir.

$n$ üstür.

Şimdi doğal üssü, özellikleri ve grafiği olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

Tanım 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$, doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.

Daha fazla kolaylık sağlamak için, $f\left(x\right)=x^(2n)$ çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ve $f\left(x\right)=x^ tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ayrı ayrı ele alıyoruz. (2n-1)$ ($n\in N)$.

Doğal çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- fonksiyon çifttir.

Değer alanı -- $\

Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ kadar azalır ve $x\in (0,+\infty)$ kadar artar.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.

Etki alanının uçlarındaki davranış:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Şekil 2).

Şekil 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ fonksiyonunun grafiği

Doğal tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

Kapsam -- tümü gerçek sayılar.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fonksiyon tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Aralığın tamamı gerçek sayılardır.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ için.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ için içbükeydir ve $x\in (0,+\infty)$ için dışbükeydir.

Grafik (Şekil 3).

Şekil 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ fonksiyonunun grafiği

Tamsayı üssüyle kuvvet fonksiyonu

Öncelikle tam sayı üssü olan derece kavramını tanıtalım.

Tanım 3

$n$ tamsayı üssüne sahip bir $a$ gerçek sayısının kuvveti aşağıdaki formülle belirlenir:

Şekil 4.

Şimdi tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu, özelliklerini ve grafiğini ele alalım.

Tanım 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$, tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.

Derece sıfırdan büyükse, doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu durumuna geliriz. Yukarıda zaten tartışmıştık. $n=0$ için $y=1$ doğrusal fonksiyonunu elde ederiz. Değerlendirmesini okuyucuya bırakıyoruz. Geriye negatif tam sayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini dikkate almak kalıyor.

Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

Tanımın etki alanı $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$'dır.

Üs çift ise fonksiyon çifttir, tek ise fonksiyon tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Kapsam:

Üs çift ise $(0,+\infty)$; tek ise $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Tek bir üs için fonksiyon $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ olarak azalır. Üs çift ise fonksiyon $x\in (0,+\infty)$ olarak azalır. ve $x\in \left(-\infty ,0\right)$ olarak artar.

Tanımın tüm alanı boyunca $f(x)\ge 0$

Ulusal Araştırma Üniversitesi

Uygulamalı Jeoloji Bölümü

Yüksek matematik üzerine özet

Konuyla ilgili: “Temel temel işlevler,

özellikleri ve grafikleri"

Tamamlanmış:

Kontrol:

Öğretmen

Tanım. y=ax (burada a>0, a≠1) formülüyle verilen fonksiyona a tabanlı üstel fonksiyon denir.

Ana özellikleri formüle edelim üstel fonksiyon:

1. Tanımın tanım kümesi tüm reel sayılar kümesidir (R).

2. Aralık - tüm pozitif gerçek sayıların kümesi (R+).

3. a > 1 için fonksiyon sayı doğrusu boyunca artar; 0'da<а<1 функция убывает.

4. Genel formun bir fonksiyonudur.

, xО [-3;3] aralığında
, xО [-3;3] aralığında

n'nin ОR sayısı olduğu y(x)=x n formundaki bir fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. N sayısı farklı değerler alabilir: hem tam sayı hem de kesirli, hem çift hem de tek. Buna bağlı olarak güç fonksiyonu farklı bir forma sahip olacaktır. Güç fonksiyonları olan ve bu tür bir eğrinin temel özelliklerini aşağıdaki sırayla yansıtan özel durumları ele alalım: güç fonksiyonu y=x² (çift üslü fonksiyon - bir parabol), güç fonksiyonu y=x³ (tek üslü fonksiyon) - kübik parabol) ve fonksiyon y=√x (x üssü ½) (kesirli üslü fonksiyon), negatif tamsayı üslü fonksiyon (hiperbol).

Güç fonksiyonu y=x²

1. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;

2. E(y)= ve aralıkta artar

Güç fonksiyonu y=x³

1. y=x³ fonksiyonunun grafiğine kübik parabol denir. y=x³ kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

2. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;

3. E(y)=(-∞;∞) – fonksiyon, tanım alanındaki tüm değerleri alır;

4. x=0 y=0 olduğunda – fonksiyon O(0;0) koordinatlarının orijininden geçer.

5. Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

6. Fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir).

, xО [-3;3] aralığında

X³'ün önündeki sayısal faktöre bağlı olarak fonksiyon dik/düz ve artan/azalan olabilir.

Negatif tamsayı üslü kuvvet fonksiyonu:

Eğer n üssü tek ise, böyle bir kuvvet fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Tamsayı negatif üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Herhangi bir n için D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), eğer n tek sayı ise; E(y)=(0;∞), eğer n bir çift sayı ise;

3. Eğer n tek sayı ise fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalır; n bir çift sayı ise fonksiyon (-∞;0) aralığında artar ve (0;∞) aralığında azalır.

4. Eğer n tek bir sayı ise fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir); n bir çift sayıysa, bir işlev çifttir.

5. Fonksiyon, n tek sayı ise (1;1) ve (-1;-1) noktalarından, n çift sayı ise (1;1) ve (-1;1) noktalarından geçer.

, xО [-3;3] aralığında

Kesirli üslü kuvvet fonksiyonu

Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun (resim) şekilde gösterilen fonksiyonun grafiği vardır. Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir: (resim)

1. D(x) ОR, eğer n tek sayı ise ve D(x)=
, xО aralığında
, xО [-3;3] aralığında

Logaritmik fonksiyon y = log a x aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım kümesi D(x)О (0; + ∞).

2. Değer aralığı E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Fonksiyon ne çift ne de tektir (genel biçimde).

4. Fonksiyon a > 1 için (0; + ∞) aralığında artar, 0 için (0; + ∞) aralığında azalır< а < 1.

y = log a x fonksiyonunun grafiği, y = a x fonksiyonunun grafiğinden, y = x düz çizgisine göre bir simetri dönüşümü kullanılarak elde edilebilir. Şekil 9'da a > 1 için logaritmik fonksiyonun grafiği ve Şekil 10'da 0 için bir grafik gösterilmektedir.< a < 1.

; xО aralığında
; xО aralığında

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x fonksiyonlarına trigonometrik fonksiyonlar denir.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x fonksiyonları tektir ve y = cos x fonksiyonu çifttir.

Fonksiyon y = sin(x).

1. Tanım alanı D(x) ОR.

2. Değer aralığı E(y) О [ - 1; 1].

3. Fonksiyon periyodiktir; ana periyot 2π'dir.

4. Fonksiyon tektir.

5. Fonksiyon [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ve [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y = sin(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 11’de gösterilmektedir.

metodolojik materyal yalnızca referans amaçlıdır ve çok çeşitli konular için geçerlidir. Makale, temel temel fonksiyonların grafiklerine genel bir bakış sunuyor ve tartışıyor en önemli soru – bir grafiğin doğru ve HIZLI bir şekilde nasıl oluşturulacağı. Çalışma sırasında yüksek Matematik Temel temel fonksiyonların grafiklerini bilmeden zor olacaktır, bu nedenle parabol, hiperbol, sinüs, kosinüs vb. grafiklerinin neye benzediğini hatırlamak ve bazı fonksiyon değerlerini hatırlamak çok önemlidir. Ayrıca ana fonksiyonların bazı özelliklerinden de bahsedeceğiz.

Materyallerin tam ve bilimsel olduğunu iddia etmiyorum; vurgu her şeyden önce uygulamaya verilecektir. yüksek matematiğin herhangi bir konusunda kelimenin tam anlamıyla her adımda karşılaşılır. Aptallar için çizelgeler mi? Öyle söylenebilir.

Okuyuculardan gelen çok sayıda istek nedeniyle tıklanabilir içindekiler tablosu:

Ayrıca konuyla ilgili çok kısa bir özet var
– ALTI sayfayı inceleyerek 16 tür grafikte ustalaşın!

Cidden altı, ben bile şaşırdım. Bu özet geliştirilmiş grafikler içerir ve cüzi bir ücret karşılığında mevcuttur; demo sürümü görüntülenebilir. Grafiklerin her zaman elinizin altında olması için dosyayı yazdırmak uygundur. Projeyi desteklediğiniz için teşekkür ederiz!

Ve hemen başlayalım:

Koordinat eksenleri doğru şekilde nasıl oluşturulur?

Uygulamada testler neredeyse her zaman öğrenciler tarafından kare şeklinde dizilmiş ayrı defterlerde tamamlanır. Neden damalı işaretlere ihtiyacınız var? Sonuçta, çalışma prensip olarak A4 sayfalarda yapılabilir. Ve kafes sadece çizimlerin yüksek kaliteli ve doğru tasarımı için gereklidir.

Bir fonksiyon grafiğinin herhangi bir çizimi koordinat eksenleriyle başlar.

Çizimler iki boyutlu veya üç boyutlu olabilir.

İlk önce iki boyutlu durumu ele alalım Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi:

1) Koordinat eksenlerini çizin. Eksen denir x ekseni ve eksen y ekseni . Her zaman onları çizmeye çalışıyoruz düzgün ve çarpık değil. Okların da Papa Carlo'nun sakalına benzememesi gerekiyor.

2) Eksenleri büyük harflerle “X” ve “Y” ile imzalıyoruz. Eksenleri etiketlemeyi unutmayın.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın: bir sıfır ve iki bir çiz. Çizim yaparken en kullanışlı ve en sık kullanılan ölçek şudur: 1 birim = 2 hücre (soldaki çizim) - mümkünse ona sadık kalın. Ancak zaman zaman çizimin defter sayfasına sığmadığı durumlar olur - o zaman ölçeği azaltırız: 1 birim = 1 hücre (sağdaki çizim). Nadiren de olsa çizimin ölçeğinin daha da küçültülmesi (veya arttırılması) gerekebilir.

“Makineli tüfeğe” GEREK YOKTUR…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Koordinat düzlemi Descartes için bir anıt olmadığı gibi, öğrenci de bir güvercin değildir. Koyduk sıfır Ve eksenler boyunca iki birim. Bazen yerine birimler, diğer değerleri "işaretlemek" uygundur, örneğin apsis ekseninde "iki" ve ordinat ekseninde "üç" - ve bu sistem (0, 2 ve 3) aynı zamanda koordinat ızgarasını benzersiz bir şekilde tanımlayacaktır.

Çizimi oluşturmadan ÖNCE çizimin tahmini boyutlarını tahmin etmek daha iyidir. Yani, örneğin, eğer görev köşeleri olan bir üçgen çizmeyi gerektiriyorsa , , , o zaman popüler 1 birim = 2 hücre ölçeğinin işe yaramayacağı tamamen açıktır. Neden? Gelin şu noktaya bakalım - burada on beş santimetre aşağıyı ölçmeniz gerekecek ve açıkçası çizim bir defter sayfasına sığmayacak (veya zar zor sığacak). Bu nedenle hemen daha küçük bir ölçek seçiyoruz: 1 birim = 1 hücre.

Bu arada, yaklaşık santimetre ve dizüstü bilgisayar hücreleri. 30 defter hücresinin 15 santimetre içerdiği doğru mu? Eğlenmek için not defterinizde 15 santimetreyi bir cetvelle ölçün. SSCB'de bu doğru olabilir... Aynı santimetreyi yatay ve dikey olarak ölçerseniz sonuçların (hücrelerdeki) farklı olacağını belirtmek ilginçtir! Açıkçası, modern defterler kareli değil dikdörtgen şeklindedir. Bu saçma görünebilir, ancak bu gibi durumlarda örneğin pusula ile bir daire çizmek çok sakıncalıdır. Dürüst olmak gerekirse, böyle anlarda yerli otomobil endüstrisi, düşen uçaklar veya patlayan enerji santralleri bir yana, üretimde hack çalışmaları için kamplara gönderilen Stalin Yoldaş'ın doğruluğunu düşünmeye başlıyorsunuz.

Kaliteden bahsetmişken veya kısa öneri kırtasiye için. Bugün satışta olan dizüstü bilgisayarların çoğu, en azından tam bir saçmalık. Sadece jel kalemlerden değil, tükenmez kalemlerden de ıslanmaları nedeniyle! Kağıt üzerinde tasarruf ediyorlar. Kayıt için testler Daha pahalı olmasına rağmen Arkhangelsk Kağıt Hamuru ve Kağıt Fabrikası'ndan (18 sayfa, ızgara) veya "Pyaterochka" defterlerini kullanmanızı öneririm. Bir jel kalem seçmeniz önerilir; en ucuz Çin jel dolumu bile, kağıdı lekeleyen veya yırtan tükenmez kalemden çok daha iyidir. Tek "rekabetçi" tükenmez kalem hafızamda "Erich Krause" var. İster dolu ister neredeyse boş olsun, net, güzel ve tutarlı bir şekilde yazıyor.

bunlara ek olarak: Makalede analitik geometri gözüyle dikdörtgen bir koordinat sisteminin vizyonu ele alınmaktadır. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli, detaylı bilgi Koordinat bölgeleri hakkında dersin ikinci paragrafında bulunabilir Doğrusal eşitsizlikler.

3D kasa

Burada da hemen hemen aynı.

1) Koordinat eksenlerini çizin. Standart: eksen uygulaması – yukarıya doğru, eksen – sağa doğru, eksen – aşağıya sola doğru kesinlikle 45 derecelik bir açıyla.

2) Eksenleri etiketleyin.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın. Eksen boyunca ölçek diğer eksenler boyunca olan ölçekten iki kat daha küçüktür. Ayrıca sağdaki çizimde eksen boyunca standart olmayan bir "çentik" kullandığımı unutmayın. (bu olasılık yukarıda zaten belirtilmiştir). Benim açımdan bu daha doğru, daha hızlı ve estetik açıdan daha hoş - mikroskop altında hücrenin ortasını aramaya ve koordinatların kökenine yakın bir birimi "şekillendirmeye" gerek yok.

3D çizim yaparken yine ölçeğe öncelik verin
1 birim = 2 hücre (soldaki çizim).

Bütün bu kurallar ne için? Kurallar çiğnenmek içindir. Şimdi yapacağım şey bu. Gerçek şu ki, makalenin sonraki çizimleri benim tarafımdan Excel'de yapılacak ve koordinat eksenleri, doğru tasarım açısından yanlış görünecektir. Tüm grafikleri elle çizebilirim, ancak Excel bunları daha doğru çizme konusunda isteksiz olduğundan bunları çizmek aslında korkutucu.

Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri

Doğrusal fonksiyon denklem ile verilmektedir. Doğrusal fonksiyonların grafiği doğrudan. Düz bir çizgi çizebilmek için iki noktayı bilmek yeterlidir.

örnek 1

Fonksiyonun grafiğini oluşturun. İki nokta bulalım. Noktalardan biri olarak sıfırı seçmek avantajlıdır.

Eğer öyleyse

Başka bir noktayı ele alalım, örneğin 1.

Eğer öyleyse

Görevleri tamamlarken noktaların koordinatları genellikle bir tabloda özetlenir:

Ve değerlerin kendisi sözlü olarak veya bir taslakta, bir hesap makinesinde hesaplanır.

İki nokta bulundu, bir çizim yapalım:

Çizim hazırlarken mutlaka grafikleri imzalarız.

Doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarını hatırlamak faydalı olacaktır:

İmzaları nasıl attığıma dikkat edin. imzalar çizimi incelerken tutarsızlıklara izin vermemelidir. İÇİNDE bu durumdaÇizgilerin kesişme noktasının yanına veya grafiklerin sağ alt kısmına imza koymak son derece istenmeyen bir durumdu.

1) () formunun doğrusal bir fonksiyonuna doğru orantılılık denir. Örneğin, . Doğru orantılılık grafiği her zaman orijinden geçer. Böylece düz bir çizgi oluşturmak basitleştirilmiştir - yalnızca bir noktayı bulmak yeterlidir.

2) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği herhangi bir nokta bulunmadan hemen çizilir. Yani giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x'in herhangi bir değeri için y her zaman –4'e eşittir."

3) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği de hemen çizilir. Giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x, y'nin herhangi bir değeri için her zaman 1'e eşittir."

Bazıları soracak, neden 6. sınıfı hatırladınız?! Bu böyledir, belki de öyledir, ancak yıllar süren pratikte veya gibi bir grafik oluşturma görevi karşısında şaşkına dönen bir düzine öğrenciyle tanıştım.

Düz bir çizgi oluşturmak, çizim yaparken en yaygın eylemdir.

Düz çizgi analitik geometri dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır ve ilgilenenler bu makaleye başvurabilirler. Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

İkinci dereceden, kübik fonksiyonun grafiği, bir polinomun grafiği

Parabol. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği () bir parabolü temsil eder. Ünlü vakayı düşünün:

Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.

Yani denklemimizin çözümü: – parabolün tepe noktası bu noktadadır. Bunun neden böyle olduğunu türev hakkındaki teorik makaleden ve fonksiyonun ekstremumlarına ilişkin dersten öğrenebilirsiniz. Bu arada karşılık gelen “Y” değerini de hesaplayalım:

Böylece tepe noktası bu noktadadır

Şimdi parabolün simetrisini küstahça kullanarak başka noktalar buluyoruz. Şunu belirtmek gerekir ki, fonksiyon – bile değil ancak yine de hiç kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.

Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final masasından anlaşılacaktır diye düşünüyorum:

Bu inşaat algoritması mecazi olarak Anfisa Chekhova ile "mekik" veya "ileri geri" ilkesi olarak adlandırılabilir.

Çizimi yapalım:

İncelenen grafiklerden bir başka faydalı özellik akla geliyor:

İkinci dereceden bir fonksiyon için () aşağıdakiler doğrudur:

Eğer öyleyse parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.

Eğer öyleyse parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.

Eğri hakkında derinlemesine bilgi Hiperbol ve parabol dersinde elde edilebilir.

Fonksiyon tarafından kübik bir parabol verilmektedir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:

Fonksiyonun ana özelliklerini listeleyelim

Bir fonksiyonun grafiği

Bir parabolün dallarından birini temsil eder. Çizimi yapalım:

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu durumda eksen dikey asimptot 'deki bir hiperbolün grafiği için.

İrade Büyük hata, eğer bir çizim çizerken dikkatsizce grafiğin bir asimptotla kesişmesine izin verirseniz.

Ayrıca tek taraflı limitler bize hiperbolün yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.

Sonsuzdaki fonksiyonu inceleyelim: yani eksen boyunca sola (veya sağa) sonsuza doğru hareket etmeye başlarsak, o zaman “oyunlar” düzenli bir adımda olacaktır. sonsuz yakın sıfıra yaklaşır ve buna göre hiperbolün dalları sonsuz yakın eksene yaklaşın.

Yani eksen Yatay asimptot Bir fonksiyonun grafiği için, eğer “x” artı veya eksi sonsuza eğilimliyse.

İşlev garip ve bu nedenle hiperbol orijine göre simetriktir. Bu gerçekÇizimden açıkça anlaşılmaktadır, ayrıca analitik olarak da kolayca doğrulanabilir: .

() formundaki bir fonksiyonun grafiği, bir hiperbolün iki dalını temsil eder.

Eğer ise hiperbol birinci ve üçüncü koordinat çeyreğinde bulunur(yukarıdaki resme bakın).

Eğer ise hiperbol ikinci ve dördüncü koordinat çeyreğinde bulunur.

Belirtilen hiperbol yerleşim modelinin grafiklerin geometrik dönüşümleri açısından analiz edilmesi kolaydır.

Örnek 3

Hiperbolün sağ dalını oluşturun

Noktasal inşa yöntemini kullanıyoruz ve değerleri bir bütüne bölünebilecek şekilde seçmek avantajlıdır:

Çizimi yapalım:

Hiperbolün sol dalını oluşturmak zor olmayacak; fonksiyonun tuhaflığı burada yardımcı olacaktır. Kabaca konuşursak, noktasal yapı tablosunda her sayıya zihinsel olarak bir eksi ekliyoruz, karşılık gelen noktaları koyuyoruz ve ikinci dalı çiziyoruz.

Dikkate alınan çizgi hakkında ayrıntılı geometrik bilgi Hiperbol ve parabol makalesinde bulunabilir.

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Bu bölümde hemen üstel fonksiyonu ele alacağım çünkü yüksek matematik problemlerinde vakaların %95'inde üstel ortaya çıkıyor.

Size bunun olduğunu hatırlatırım irrasyonel sayı: , aslında tören olmadan oluşturacağım bir grafik oluştururken bu gerekli olacak. Üç nokta muhtemelen yeterlidir:

Şimdilik fonksiyonun grafiğini burada bırakalım, daha sonra buna daha fazla değinelim.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Fonksiyon grafikleri vb. temelde aynı görünür.

İkinci durumun pratikte daha az sıklıkta yaşandığını söylemeliyim ama oluyor, bu yüzden bu yazıya dahil etmeyi gerekli gördüm.

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği

Şununla bir işlev düşünün doğal logaritma.
Nokta nokta bir çizim yapalım:

Logaritmanın ne olduğunu unuttuysanız lütfen okul ders kitaplarınıza bakın.

Fonksiyonun ana özellikleri:

İhtisas:

Değer aralığı: .

İşlev yukarıdan sınırlı değildir: Yavaş da olsa logaritmanın dalı sonsuza kadar gider.
Sağdaki fonksiyonun sıfıra yakın davranışını inceleyelim: . Yani eksen dikey asimptot “x” gibi bir fonksiyonun grafiği sağdan sıfıra doğru yönelir.

Logaritmanın tipik değerini bilmek ve hatırlamak zorunludur: .

Tabandaki logaritmanın grafiği temelde aynı görünüyor: , , ( ondalık logaritma 10 tabanına) vb. Üstelik taban ne kadar büyük olursa grafik o kadar düz olur.

Davayı dikkate almayacağız, ne zaman olduğunu hatırlamıyorum son kez Bu temelde bir grafik oluşturdum. Ve logaritma, yüksek matematik problemlerinde çok nadir görülen bir misafir gibi görünüyor.

Bu paragrafın sonunda bir gerçek daha söyleyeceğim: Üstel fonksiyon ve logaritmik fonksiyon– bunlar karşılıklı olarak ters iki fonksiyondur. Logaritmanın grafiğine yakından bakarsanız, bunun aynı üs olduğunu, sadece biraz farklı konumda olduğunu görebilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Okulda trigonometrik işkence nerede başlar? Sağ. sinüsten

Fonksiyonun grafiğini çizelim

Bu hat isminde sinüzoid.

"Pi"nin irrasyonel bir sayı olduğunu ve trigonometride gözlerinizi kamaştırdığını hatırlatayım.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu işlev dır-dir periyodik dönem ile. Bu ne anlama geliyor? Bölüme bakalım. Solunda ve sağında grafiğin tam olarak aynı parçası sonsuza kadar tekrarlanıyor.

İhtisas: yani her “x” değeri için bir sinüs değeri vardır.

Değer aralığı: . İşlev sınırlı: yani tüm "oyunlar" kesinlikle segmentte yer alıyor.
Bu olmuyor, daha doğrusu oluyor ama bu denklemlerin çözümü yok.

Kuvvet fonksiyonu, özellikleri ve grafiği Gösteri materyali Ders-konuşma Fonksiyon kavramı. Fonksiyon özellikleri. Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği. 10. Sınıf Tüm hakları saklıdır. Telif Hakkı ve Telif Hakkı ile

Ders ilerlemesi: Tekrarlama. İşlev. Fonksiyonların özellikleri. Yeni materyal öğrenme. 1. Güç fonksiyonunun tanımı. Güç fonksiyonunun tanımı. 2. Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri. Çalışılan materyalin konsolidasyonu. Sözlü sayma. Sözlü sayma. Ders özeti. Ev ödevi Ev ödevi.

Bir fonksiyonun tanım alanı ve değerlerin alanı Bağımsız değişkenin tüm değerleri, fonksiyonun tanım alanını oluşturur x y=f(x) f Fonksiyonun tanım alanı Fonksiyonun değerlerinin alanı Tümü Bağımlı değişkenin aldığı değerler, Fonksiyon fonksiyonunun değerlerinin alanını oluşturur. Fonksiyon Özellikleri

Bir fonksiyonun grafiği Bir fonksiyon verilsin, burada xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Bir fonksiyonun grafiği, apsisleri argümanın değerlerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir, ve koordinatlar fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir. İşlev. Fonksiyon Özellikleri

Y x Fonksiyonun tanım bölgesi ve değer aralığı 4 y=f(x) Fonksiyonun tanım bölgesi: Fonksiyonun değerlerinin bölgesi: Fonksiyon. Fonksiyon Özellikleri

Çift fonksiyon y x y=f(x) Çift fonksiyonun grafiği op-amp eksenine göre simetriktir.F(-x) = f(x) olsa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır. Fonksiyon fonksiyonunun tanım kümesinden herhangi bir x. Fonksiyon Özellikleri

Tek fonksiyon y x y=f(x) Tek fonksiyonun grafiği O(0;0) orijinine göre simetriktir. f(-x) = -f(x) ise y=f(x) fonksiyonuna tek denir bölgedeki herhangi bir x için fonksiyon tanımları Fonksiyon. Fonksiyon Özellikleri

Kuvvet fonksiyonunun tanımı P'nin belirli bir gerçel sayı olduğu fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. p y=x p P=x y 0 Dersin ilerleyişi

Güç fonksiyonu x y 1. Formun güç fonksiyonlarının tanım alanı ve değer aralığı, burada n – doğal sayı, hepsi gerçek sayılardır. 2. Bu işlevler tuhaftır. Grafikleri orijine göre simetriktir. Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Rasyonel pozitif üslü kuvvet fonksiyonları Etki Alanı - tümü pozitif sayılar ve 0 sayısı. Bu üslü fonksiyonların değer aralığı da tamamı pozitif sayılar ve 0 sayısıdır. Bu fonksiyonlar ne çift ne de tektir. y x Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Rasyonel negatif üslü kuvvet fonksiyonu. Bu tür fonksiyonların tanım alanı ve değer aralığının tümü pozitif sayılardır. Fonksiyonlar ne çift ne de tektir. Bu tür işlevler tüm tanım alanları boyunca azalır. y x Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri Dersin ilerleyişi

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri sunulmuştur. Farklı anlamlarüs. Temel formüller, tanım alanları ve değer kümeleri, parite, monotonluk, artan ve azalan, ekstremum, dışbükeylik, bükülmeler, koordinat eksenleriyle kesişim noktaları, limitler, belirli değerler.

Güç fonksiyonlarına sahip formüller

Güç fonksiyonunun tanım alanında y = x p elimizde var aşağıdaki formüller:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Üssü sıfıra eşit olan güç fonksiyonu, p = 0

Güç fonksiyonunun üssü y = x p sıfıra eşitse, p = 0, bu durumda güç fonksiyonu tüm x ≠ 0 için tanımlanır ve bire eşit bir sabittir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Doğal tek üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 1, 3, 5, ...

Doğal tek üssü n = 1, 3, 5, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k + 1, burada k = 0, 1, 2, 3, ... negatif olmayan bir tam sayıdır. Aşağıda bu tür fonksiyonların özellikleri ve grafikleri verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, ....

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < ∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
-∞'da< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 1 için fonksiyon onun tersidir: x = y
n ≠ 1 için, ters fonksiyon n derecesinin köküdür:

Doğal çift üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 2, 4, 6, ...

Doğal çift üssü n = 2, 4, 6, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... - doğal. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< ∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 için monoton olarak azalır
x ≥ 0 için monoton olarak artar
Aşırılıklar: minimum, x = 0, y = 0
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 2 için, Kare kök:
n ≠ 2 için, n derecesinin kökü:

Negatif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = -1, -2, -3, ...

Tamsayı negatif üssü n = -1, -2, -3, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Eğer k = 1, 2, 3, ... bir doğal sayı olmak üzere n = -k koyarsak, o zaman şu şekilde temsil edilebilir:

Üssün çeşitli değerleri için negatif tamsayı üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = -1, -2, -3, ... .

Tek üs, n = -1, -3, -5, ...

Aşağıda tek negatif üssü n = -1, -3, -5, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y ≠ 0
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -1 olduğunda,
n'de< -2 ,

Çift üs, n = -2, -4, -6, ...

Aşağıda çift negatif üslü n = -2, -4, -6, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -2'de,
n'de< -2 ,

Rasyonel (kesirli) üslü kuvvet fonksiyonu

Rasyonel (kesirli) üssü olan bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün; burada n bir tamsayı, m > 1 ise bir doğal sayıdır. Üstelik n, m'nin ortak bölenleri yoktur.

Kesirli göstergenin paydası tektir

Kesirli üssün paydası tek olsun: m = 3, 5, 7, ... . Bu durumda kuvvet fonksiyonu x p hem pozitif hem de pozitif için tanımlanır. negatif değerler argüman x. p üssü belirli sınırlar içinde olduğunda bu tür güç fonksiyonlarının özelliklerini ele alalım.

P değeri negatiftir, p< 0

Rasyonel üs (paydası tek olan m = 3, 5, 7, ...) sıfırdan küçük olsun: .

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel bir negatif üsle güç fonksiyonlarının grafikleri; burada m = 3, 5, 7, ... tektir.

Tek pay, n = -1, -3, -5, ...

Y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini rasyonel bir negatif üsle sunuyoruz; burada n = -1, -3, -5, ... tek bir negatif tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... bir tek doğal tamsayı.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y ≠ 0
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = -2, -4, -6, ...

Rasyonel negatif üslü y = x p güç fonksiyonunun özellikleri; burada n = -2, -4, -6, ... çift negatif bir tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal tam sayıdır .

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

P değeri pozitif, birden küçük, 0< p < 1

Rasyonel üssü (0) olan bir güç fonksiyonunun grafiği< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Tek pay, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

İhtisas: -∞ < x < +∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < +∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вниз
x > 0 için: yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 2, 4, 6, ...

Rasyonel üssü 0 olan y = x p güç fonksiyonunun özellikleri sunulmuştur.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

İhtisas: -∞ < x < +∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< +∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно убывает
x > 0 için: monoton olarak artar
Aşırılıklar: x = 0'da minimum, y = 0
Dışbükey: x ≠ 0 için yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
İmza: x ≠ 0 için, y > 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = 1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

P indeksi birden büyüktür, p > 1

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel üslü (p > 1) bir güç fonksiyonunun grafiği, burada m = 3, 5, 7, ... - tek.

Tek pay, n = 5, 7, 9, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: . Burada n = 5, 7, 9, ... - tek doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < ∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
-∞'da< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 4, 6, 8, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: . Burada n = 4, 6, 8, ... - çift doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< ∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 монотонно убывает
x > 0 için monoton olarak artar
Aşırılıklar: x = 0'da minimum, y = 0
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = 1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Kesirli göstergenin paydası çifttir

Kesirli üssün paydası çift olsun: m = 2, 4, 6, ... . Bu durumda argümanın negatif değerleri için x p kuvvet fonksiyonu tanımlanmaz. Özellikleri, irrasyonel üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleriyle örtüşmektedir (sonraki bölüme bakınız).

İrrasyonel üslü kuvvet fonksiyonu

İrrasyonel p üssüne sahip bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün. Bu tür fonksiyonların özellikleri yukarıda tartışılanlardan farklıdır çünkü x argümanının negatif değerleri için tanımlanmamıştır. İçin pozitif değerler argümanında, özellikler yalnızca p üssünün değerine bağlıdır ve p'nin tam sayı, rasyonel veya irrasyonel olmasına bağlı değildir.

p üssünün farklı değerleri için y = x p.

Negatif üslü p ile kuvvet fonksiyonu< 0

İhtisas: x > 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Monoton: monoton olarak azalır
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
Sınırlar: ;
Özel anlamı: x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Pozitif üssü p > 0 olan kuvvet fonksiyonu

Gösterge birden az 0< p < 1

İhtisas: x ≥ 0
Çoklu anlamlar: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
Dışbükey: yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Gösterge birden büyük p > 1

İhtisas: x ≥ 0
Çoklu anlamlar: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.