Noktaları ve düğümleri bulmak için hesap makinesi. Üç veya daha fazla sayının düğümlerini bulma

Sorunu çözelim. İki tür çerezimiz var. Bazıları çikolatalı, bazıları ise sade. 48 adet çikolatalı, 36 adet sade olmak üzere bu kurabiyelerden mümkün olan en fazla sayıda hediye yapmanız ve hepsini kullanmanız gerekmektedir.

Öncelikle bu iki sayının her birinin tüm bölenlerini yazalım, çünkü bu sayıların her ikisinin de hediye sayısına bölünebilmesi gerekiyor.

Anlıyoruz,

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Hem birinci hem de ikinci sayıların ortak bölenlerini bulalım.

Ortak çarpanlar şöyle olacaktır: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

En büyük ortak bölen 12 sayısıdır. Bu sayıya 36 ve 48 sayılarının en büyük ortak böleni denir.

Elde edilen sonuçlara göre tüm kurabiyelerden 12 adet hediye yapılabileceği sonucuna varabiliriz. Böyle bir hediye 4 çikolatalı kurabiye ve 3 normal kurabiye içerecektir.

En Büyük Ortak Böleni Bulmak

• A ve b sayılarını kalansız bölen en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir.

Bazen girişi kısaltmak için GCD kısaltması kullanılır.

Bazı sayı çiftlerinin en büyük ortak böleni birdir. Bu tür numaralara denir karşılıklı asal sayılar. Örneğin 24 ve 35 sayıları OBEB =1'dir.

En büyük ortak bölen nasıl bulunur?

En büyük ortak böleni bulmak için verilen sayıların tüm bölenlerini yazmaya gerek yoktur.

Bunu farklı şekilde yapabilirsiniz. Öncelikle her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırın.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Şimdi, birinci sayının açılımına dahil olan faktörlerden, ikinci sayının açılımına dahil olmayanların üzerini çizeceğiz. Bizim durumumuzda bunlar iki ikili.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Geriye kalan çarpanlar 2, 2 ve 3'tür. Çarpımları 12'dir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olacaktır.

Bu kural üç, dört vb. durumlara genişletilebilir. sayılar.

En büyük ortak böleni bulmak için genel şema

• 1. Sayıları asal faktörlere bölün.
• 2. Bu sayılardan birinin açılımında yer alan faktörlerden, diğer sayıların açılımında yer almayanların üzerini çizin.
• 3. Kalan faktörlerin çarpımını hesaplayın.

Tanım. a ve b sayılarını kalansız olarak bölen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen (GCD) bu sayılar.

24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır; 35'in bölenleri ise 1, 5, 7, 35 sayılarıdır.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir karşılıklı olarak asal.

Tanım. Doğal sayılara denir karşılıklı olarak asal, eğer en büyük ortak bölenleri (GCD) 1 ise.

En Büyük Ortak Bölen (GCD) verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.

48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırdığımızda şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayılardan ilkinin açılımında yer alan faktörlerden, ikinci sayının açılımında yer almayanları (yani iki ikiyi) çıkarıyoruz.
Geriye kalan çarpanları 2*2*3'tür. Çarpımları 12'ye eşittir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olur. Üç veya daha fazla sayının da en büyük ortak böleni bulunur.

Bulmak en büyük ortak böleni

2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.

Verilen sayıların tümü bunlardan birine bölünebiliyorsa bu sayı en büyük ortak böleni verilen rakamlar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 15 sayısıdır, çünkü diğer tüm sayılar ona bölünebilir: 45, 75 ve 180.

En küçük ortak kat (LCM)

Tanım. En küçük ortak kat (LCM) doğal sayılar a ve b, hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: 75 = 3 * 5 * 5 ve 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımında eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekleyelim (yani çarpanları birleştirelim).
Çarpımı 300 olan 2 * 2 * 3 * 5 * 5 şeklinde beş çarpan elde ederiz. Bu sayı, 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.

Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını da bulurlar.

İle en küçük ortak katları bul birkaç doğal sayıya ihtiyacınız var:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğunu unutmayın.
Örneğin 12, 15, 20 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır çünkü bu sayıların tümüne bölünebilir.

Pisagor (MÖ VI. yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit olan (sayı hariç) bir sayıya mükemmel sayı adını verdiler. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33,550,336'dır. Pisagorcular yalnızca ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. N. e. Beşincisi (33.550.336) 15. yüzyılda bulundu. 1983 yılına gelindiğinde 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak bilim adamları hala tek mükemmel sayıların mı yoksa en büyük mükemmel sayıların mı olduğunu bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da asal sayıların bir çarpımı olarak temsil edilebilmesinden kaynaklanmaktadır; yani. asal sayılar, diğer doğal sayıların inşa edildiği tuğlalar gibidir.
Muhtemelen doğal sayılar dizisindeki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - serinin bazı kısımlarında daha fazla, bazılarında ise daha az vardır. Ancak sayı dizisinde ne kadar ilerlersek, asal sayılar o kadar az yaygın olur. Şu soru ortaya çıkıyor: Son (en büyük) bir asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçisiÖklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan “Elementler” adlı kitabında sonsuz sayıda asal sayının bulunduğunu, yani her asal sayının arkasında daha da büyük bir asal sayının bulunduğunu kanıtlamıştır.
Asal sayıları bulmak için aynı dönemdeki bir başka Yunan matematikçi Eratosthenes bu yöntemi ortaya attı. 1'den bir sayıya kadar tüm sayıları yazdı ve sonra ne asal ne de asal olan bir sayının üzerini çizdi. bileşik sayı, ardından 2'den sonra gelen tüm sayıların (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8 vb.) üzerini çizin. 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tü. Daha sonra ikiden sonra 3'ten sonra gelen tüm sayıların (3'ün katı olan sayılar yani 6, 9, 12 vb.) üzeri çizildi. sonunda yalnızca asal sayılar çaprazlanmadan kaldı.

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A-bölen bir doğal sayıdır verilen numara A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit. 12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir.

Verilen iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B. Birkaç sayının ortak böleni (GCD) her biri için bölen görevi gören bir sayıdır.

Kısaca sayıların en büyük ortak böleni A Ve Bşöyle yaz:

Örnek: OBEB (12; 36) = 12.

Çözüm kaydındaki sayıların bölenleri büyük “D” harfiyle gösterilir.

Örnek:

GCD (7; 9) = 1

7 ve 9 sayılarının yalnızca bir ortak böleni vardır - 1 sayısı. Bu sayılara denir. karşılıklı olarak asalchi slami.

Eş asal sayılar- bunlar yalnızca bir ortak böleni olan doğal sayılardır - 1 sayısı. Bunların GCD'si 1'dir.

En büyük ortak bölen (GCD), özellikler.

• Temel özellik: en büyük ortak bölen M Ve N bu sayıların herhangi bir ortak bölenine bölünebilir. Örnek: 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır; bu sayıların tüm ortak bölenlerine bölünür: 1, 2, 3, 6.
• Sonuç 1: ortak bölenler kümesi M Ve N GCD bölenleri kümesiyle çakışır ( M, N).
• Sonuç 2: ortak katlar kümesi M Ve N birden fazla LCM kümesiyle çakışır ( M, N).

Bu, özellikle bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek için payını ve paydasını gcd'lerine bölmeniz gerektiği anlamına gelir.

• Sayıların en büyük ortak böleni M Ve N tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesinin en küçük pozitif elemanı olarak tanımlanabilir:

ve bu nedenle onu sayıların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil ederiz M Ve N:

Bu orana denir Bezout'un ilişkisi ve katsayılar sen Ve v — Bezout katsayıları. Bezout katsayıları genişletilmiş Öklid algoritması tarafından verimli bir şekilde hesaplanır. Bu ifade doğal sayı kümeleri için genelleme yapar; bunun anlamı, küme tarafından oluşturulan grubun alt grubunun döngüsel olması ve tek bir öğe tarafından üretilmesidir: GCD ( A 1 , A 2 , … , BİR).

En büyük ortak böleni (GCD) hesaplayın.

İki sayının gcd'sini hesaplamanın etkili yolları Öklid algoritması Ve ikilialgoritma. Ayrıca gcd'nin değeri ( M,N) sayıların kanonik açılımı biliniyorsa kolayca hesaplanabilir M Ve N asal faktörlere ayrılır:

nerede farklı asal sayılardır ve negatif olmayan tam sayılardır (karşılık gelen asal genişlemede değilse sıfır olabilirler). Daha sonra GCD ( M,N) ve NOC ( M,N) aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

İkiden fazla sayı varsa: , bunların gcd'si aşağıdaki algoritma kullanılarak bulunur:

- bu istenen GCD'dir.

Ayrıca bulmak için en büyük ortak böleni verilen sayıların her birini asal çarpanlara ayırabilirsiniz. Daha sonra yalnızca verilen tüm sayılara dahil olan faktörleri ayrı ayrı yazın. Daha sonra yazılı sayıları birbiriyle çarpıyoruz - çarpmanın sonucu en büyük ortak bölendir .

En büyük ortak bölenin hesaplanmasına adım adım bakalım:

1. Sayıların bölenlerini asal çarpanlara ayırın:

Dikey bir çubuk kullanarak hesaplamalar yazmak uygundur. Çizginin soluna ilk önce temettüyü, sağa - böleni yazıyoruz. Daha sonra sol sütuna bölümlerin değerlerini yazıyoruz. Hemen bir örnekle açıklayalım. 28 ve 64 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

2. Her iki sayıda da aynı asal çarpanları vurguluyoruz:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Aynı asal faktörlerin çarpımını bulun ve cevabı yazın:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Cevap: OBEB (28; 64) = 4

GCD'nin konumunu iki şekilde resmileştirebilirsiniz: bir sütunda (yukarıda yapıldığı gibi) veya "arka arkaya".

GCD yazmanın ilk yolu:

Gcd 48 ve 36'yı bulun.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

GCD yazmanın ikinci yolu:

Şimdi GCD aramasının çözümünü bir satıra yazalım. Gcd 10 ve 15'i bulun.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D (10, 15) = (1, 5)

GCD en büyük ortak bölendir.

Birkaç sayının en büyük ortak bölenini bulmak için ihtiyacınız olan:

• her iki sayının ortak faktörlerini belirlemek;
• ortak faktörlerin çarpımını bulun.

GCD'yi bulmaya bir örnek:

315 ve 245 sayılarının gcd'sini bulalım.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazalım:

3. Ortak faktörlerin çarpımını bulun:

OBEB(315, 245) = 5 * 7 = 35.

Cevap: OBEB(315, 245) = 35.

NOC'yi bulmak

LCM en küçük ortak kattır.

Birkaç sayının en küçük ortak katını bulmak için ihtiyacınız olan:

• faktör sayılarını asal çarpanlara dönüştürmek;
• sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
• İkinci sayının açılımındaki eksik faktörleri de bunlara ekleyelim;
• Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

LOC'yi bulmaya bir örnek:

236 ve 328 sayılarının LCM'sini bulalım:

1. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Sayılardan birinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımındaki eksik çarpanları ekleyelim:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun:

LOC(236, 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Cevap: LCM(236, 328) = 19352.

İki sayının OBEB'sini (en büyük ortak bölen) bulmak için yapmanız gerekenler:

2. Ortaya çıkan açılımlardaki tüm ortak asal çarpanları bulun (altını çizin).

3. Ortak asal faktörlerin çarpımını bulun.

İki sayının LCM'sini (en küçük ortak katını) bulmak için ihtiyacınız olan:

1. Verilen sayıları asal faktörlere bölün.

2. Bunlardan birinin genişlemesi, diğer sayının genişlemesinin birincinin genişlemesinde olmayan faktörleriyle tamamlanır.

3. Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını hesaplayın.

İki sayının en küçük ortak katı, bu sayıların en büyük ortak böleniyle doğrudan ilişkilidir. Bu GCD ve NOC arasındaki bağlantı aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem.

İki pozitif a ve b tam sayısının en küçük ortak katı, a ve b'nin çarpımının a ve b'nin en büyük ortak bölenine bölünmesine eşittir; yani, LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b).

Kanıt.

İzin vermek M, a ve b sayılarının bazı katlarıdır. Yani M, a'ya bölünebilir ve bölünebilirliğin tanımı gereği, M=a·k eşitliğinin doğru olmasını sağlayan bir k tamsayısı vardır. Ancak M aynı zamanda b'ye de bölünebilirse a·k b'ye de bölünebilir.

gcd(a, b)'yi d olarak gösterelim. O zaman a=a 1 ·d ve b=b 1 ·d eşitliklerini yazabiliriz ve a 1 =a:d ve b 1 =b:d göreceli asal sayılar olacaktır. Sonuç olarak, önceki paragrafta elde edilen a · k'nin b'ye bölünebilmesi koşulu şu şekilde yeniden formüle edilebilir: a 1 · d · k, b 1 · d'ye bölünür ve bu, bölünebilme özellikleri nedeniyle şu koşula eşdeğerdir: a 1 · k'nın b 1'e bölünebilmesi.

Ayrıca ele alınan teoremin iki önemli sonucunu da yazmanız gerekir.

İki sayının ortak katları, en küçük ortak katlarının katlarına eşittir.

Bu gerçekten de böyledir, çünkü a ve b sayılarının herhangi bir ortak katı, bir t tamsayı değeri için M=LMK(a, b)·t eşitliği ile belirlenir.

Eş asalın en küçük ortak katı pozitif sayılar a ve b çarpımlarına eşittir.

Bu gerçeğin mantığı oldukça açıktır. a ve b aralarında asal olduğundan, ebcd(a, b)=1 olur, dolayısıyla, OBEB(a, b)=a b: OBEB(a, b)=a b:1=a b.

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak, iki sayının LCM'sini sırayla bulmaya indirgenebilir. Bunun nasıl yapılacağı aşağıdaki teoremde gösterilmektedir: a 1 , a 2 , …, a k, m k-1 ve a k sayılarının ortak katlarıyla çakışır, dolayısıyla m k sayısının ortak katlarıyla çakışır. Ve m k sayısının en küçük pozitif katı m k sayısının kendisi olduğundan, a 1, a 2, ..., a k sayılarının en küçük ortak katı m k'dir.

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.H. Sayı teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve diğerleri Cebir ve sayılar teorisindeki problemlerin toplanması: öğretici fizik ve matematik öğrencileri için. pedagoji enstitülerinin uzmanlık alanları.