Ev » Sezonun trendi » Denklemlerin x üzeri kuvveti çözülmesi. Üstel denklemler

Denklemlerin x üzeri kuvveti çözülmesi. Üstel denklemler

Ders: “Çözüm yöntemleri üstel denklemler».

1 . Üstel denklemler.

Üstellerde bilinmeyenler içeren denklemlere üstel denklemler denir. Bunlardan en basiti a > 0 ve a ≠ 1 olan ax = b denklemidir.

1) b'de< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 üstel fonksiyon, çözümü yok.

2) b > 0 için, fonksiyonun monotonluğu ve kök teoremi kullanıldığında denklemin tek bir kökü vardır. Bunu bulmak için b'nin b = aс, аx = bс ó x = c veya x = logab biçiminde temsil edilmesi gerekir.

Cebirsel dönüşümler yoluyla üstel denklemler aşağıdakilere yol açar: standart denklem aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülür:

1) bir baza indirgeme yöntemi;

2) değerlendirme yöntemi;

3) grafik yöntemi;

4) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi;

5) çarpanlara ayırma yöntemi;

6) üstel – güç denklemleri;

7) bir parametreyle gösterici.

2 . Tek baza indirgeme yöntemi.

Yöntem, derecelerin aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır: eğer iki derece eşitse ve tabanları eşitse, o zaman üsleri eşittir, yani denklemi forma indirgemeye çalışmak gerekir.

Örnekler. Denklemi çözün:

1 . 3x = 81;

Hayal edelim Sağ Taraf 81=34 formundaki denklemleri ve orijinal 3x=34 denkleminin eşdeğerini yazınız; x = 4. Cevap: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">ve 3x+1 = 3 – 5x; 8x = üsleri için denkleme geçelim 4; x = 0,5 Cevap: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" genişlik = "105" yükseklik = "47">

0,2, 0,04, √5 ve 25 sayılarının 5'in kuvvetlerini temsil ettiğini unutmayın. Bundan yararlanalım ve orijinal denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

, dolayısıyla 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, buradan x = -1 çözümünü buluyoruz. Cevap 1.

5. 3x = 5. Logaritmanın tanımına göre x = log35. Cevap: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Denklemi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 şeklinde yeniden yazalım, yani.png" width=181" height=49 src=> Dolayısıyla x – 4 =0, x = 4. Cevap: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Üslerin özelliklerini kullanarak denklemi 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, sonra 3∙3x = 9, 3x+1 şeklinde yazıyoruz. = 32, yani x+1 = 2, x =1. Cevap 1.

1 numaralı sorunlu banka.

Denklemi çözün:

1 numaralı test.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yok
	1) 7;1 2) kök yok 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test No.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) kök yok 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evrim metodu.

Kök teoremi: f(x) fonksiyonu I aralığında artarsa (azalırsa), a sayısı f'nin bu aralıkta aldığı herhangi bir değer ise, f(x) = a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.

Tahmin yöntemini kullanarak denklemleri çözerken bu teorem ve fonksiyonun monotonluk özellikleri kullanılır.

Örnekler. Denklemleri çözün: 1. 4x = 5 – x.

Çözüm. Denklemi 4x +x = 5 olarak yeniden yazalım.

1. eğer x = 1 ise 41+1 = 5, 5 = 5 doğrudur, bu da 1'in denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Fonksiyon f(x) = 4x – R üzerinde artar ve g(x) = x – R üzerinde artar => h(x)= f(x)+g(x) R üzerinde artar, artan fonksiyonların toplamı olarak, o zaman x = 1, 4x = 5 – x denkleminin tek köküdür. Cevap 1.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım. .

1. eğer x = -1 ise, o zaman 3 = 3 doğrudur, yani x = -1 denklemin köküdür.

2. Onun tek olduğunu kanıtlayın.

3. Fonksiyon f(x) = - R üzerinde azalır ve g(x) = - x – R üzerinde azalır=> h(x) = f(x)+g(x) – R üzerinde azalır, şunun toplamı olarak: azalan fonksiyonlar Bu, kök teoremine göre denklemin tek kökü x = -1 olduğu anlamına gelir. Cevap 1.

Sorunlu banka No. 2. Denklemi çözün

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.

Yöntem paragraf 2.1'de açıklanmıştır. Yeni bir değişkenin eklenmesi (ikame), genellikle denklem terimlerinin dönüştürülmesinden (basitleştirilmesinden) sonra gerçekleştirilir. Örneklere bakalım.

Örnekler. R Denklemi çözün: 1. .

Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width = "128" height = "48 src => i.e..png" width = "210" yükseklik = "45">

Çözüm. Denklemi farklı şekilde yeniden yazalım:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - uygun olmadığını belirleyelim.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" genişlik = "268" yükseklik = "51"> - irrasyonel denklem. şunu not ediyoruz

Denklemin çözümü x = 2,5 ≤ 4'tür, yani denklemin kökü 2,5'tur. Cevap: 2.5.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım ve her iki tarafı da 56x+6 ≠ 0'a bölelim. Denklemi elde ederiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

İkinci dereceden denklemin kökleri t1 = 1 ve t2'dir<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Çözüm . Denklemi formda yeniden yazalım.

ve bunun ikinci dereceden homojen bir denklem olduğuna dikkat edin.

Denklemi 42x'e bölersek şunu elde ederiz:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> değerini değiştirelim.

Cevap: 0; 0,5.

Sorunlu banka No. 3. Denklemi çözün

Test No.3 cevap seçenekleriyle. Asgari seviye.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) kök yok 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) kök yok 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test No.4 cevap seçenekleriyle. Genel seviye.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kök yok

5. Çarpanlara ayırma yöntemi.

1. Denklemi çözün: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , nereden

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Çözüm. Denklemin sol tarafına parantezlerin dışına 6x, sağ tarafına da 2x koyalım. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x denklemini elde ederiz.

Tüm x'ler için 2x >0 olduğundan, çözümleri kaybetme korkusu olmadan bu denklemin her iki tarafını da 2x'e bölebiliriz. 3x = 1ó x = 0 elde ederiz.

Çözüm. Denklemi çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözelim.

Binomun karesini seçelim

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" genişlik = "500" yükseklik = "181">

x = -2 denklemin köküdür.

Denklem x + 1 = 0 " stil = "sınır-çöküşü:çöküş;kenarlık:yok">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test No.6 Genel seviye.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Üstel – güç denklemleri.

Üstel denklemlerin bitişiğinde üstel kuvvet denklemleri adı verilen denklemler bulunur, yani (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formundaki denklemler.

Eğer f(x)>0 ve f(x) ≠ 1 olduğu biliniyorsa, bu durumda denklem, üstel denklem gibi, g(x) = f(x) üslerinin eşitlenmesiyle çözülür.

Eğer koşul f(x)=0 ve f(x)=1 olasılığını dışlamıyorsa, üstel bir denklemi çözerken bu durumları dikkate almamız gerekir.

1..png" genişlik = "182" yükseklik = "116 src = ">

Çözüm. x2 +2x-8 – herhangi bir x için anlamlıdır, çünkü bu bir polinomdur, bu da denklemin bütünlüğe eşdeğer olduğu anlamına gelir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" genişlik = "137" yükseklik = "35">

7. Parametreli üstel denklemler.

1. p parametresinin hangi değerleri için denklem 4 (5 – 3)×2 +4p2–3p = 0 (1)'in benzersiz bir çözümü vardır?

Çözüm. 2x = t, t > 0 yerine koymayı tanıtalım, o zaman denklem (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formunu alacaktır. (2)

Denklem (2)'nin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Denklem (2)'nin bir pozitif kökü varsa, Denklem (1)'in benzersiz bir çözümü vardır. Bu aşağıdaki durumlarda mümkündür.

1. Eğer D = 0, yani p = 1 ise denklem (2) t2 – 2t + 1 = 0 formunu alacaktır, dolayısıyla t = 1, dolayısıyla denklem (1)'in tek çözümü x = 0 olacaktır.

2. Eğer p1 ise 9(p – 1)2 > 0 ise denklem (2)'nin iki farklı kökü vardır t1 = p, t2 = 4p – 3. Problemin koşulları bir dizi sistem tarafından karşılanmaktadır.

Sistemlerde t1 ve t2'yi yerine koyarsak,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Çözüm. İzin vermek bu durumda denklem (3) t2 – 6t – a = 0 formunu alacaktır. (4)

Denklemin (4) en az bir kökünün t > 0 koşulunu sağladığı a parametresinin değerlerini bulalım.

f(t) = t2 – 6t – a fonksiyonunu tanıtalım. Aşağıdaki durumlar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Durum 2. Denklem (4)'ün tek bir pozitif çözümü vardır:

D = 0, eğer a = – 9 ise denklem (4) (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formunu alacaktır.

Durum 3. Denklemin (4) iki kökü vardır, ancak bunlardan biri t > 0 eşitsizliğini sağlamaz. Bu şu şekilde mümkündür:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dolayısıyla a 0 için denklem (4)'ün tek bir pozitif kökü vardır. . O halde denklem (3)'ün benzersiz bir çözümü vardır

Zaman< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Eğer bir< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ise x = – 1;

eğer a 0 ise, o zaman

Denklem (1) ve (3)'ü çözme yöntemlerini karşılaştıralım. Denklem (1)'i çözerken, diskriminantının tam kare olduğu ikinci dereceden bir denkleme indirgendiğine dikkat edin; Böylece ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülü kullanılarak denklem (2)'nin kökleri hemen hesaplandı ve ardından bu köklere ilişkin sonuçlar çıkarıldı. Denklem (3), diskriminantı mükemmel bir kare olmayan ikinci dereceden bir denkleme (4) indirgenmiştir, bu nedenle, denklem (3)'ü çözerken, ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin konumuna ilişkin teoremlerin kullanılması tavsiye edilir. ve bir grafik modeli. Denklemin (4) Vieta teoremi kullanılarak çözülebileceğini unutmayın.

Daha karmaşık denklemleri çözelim.

Problem 3: Denklemi çözün

Çözüm. ODZ: x1, x2.

Bir yedek sunalım. 2x = t, t > 0 olsun, dönüşümler sonucunda denklem t2 + 2t – 13 – a = 0 formunu alacaktır. (*) En az bir kökü olan a değerlerini bulalım. denklem (*) t > 0 koşulunu karşılar.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cevap: a > – 13, a  11, a  5 ise, a – 13 ise,

a = 11, a = 5 ise kök yoktur.

Kaynakça.

1. Guzeev eğitim teknolojisinin temelleri.

2. Guzeev teknolojisi: resepsiyondan felsefeye.

M. “Okul Müdürü” Sayı 4, 1996

3. Guzeev ve örgütsel eğitim biçimleri.

4. Guzeev ve bütünleşik eğitim teknolojisinin uygulanması.

M. " Halk eğitim", 2001

5. Ders - seminer formlarından Guzeev.

Okulda matematik No. 2, 1987 s. 9 – 11.

6.Seleuko eğitim teknolojileri.

M. “Halk Eğitimi”, 1998

7. Episheva'nın okul çocukları matematik eğitimi alacak.

M. "Aydınlanma", 1990

8. Ivanova dersler - atölye çalışmaları hazırlıyor.

Okulda matematik No. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnov'un matematik öğretim modeli.

1 numaralı okulda matematik, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko'nun pratik çalışmaları organize etme yolları.

1 numaralı okulda matematik, 1993 s. 27 – 28.

11. Bireysel çalışma türlerinden biri hakkında.

Okulda matematik No. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Hazankin Yaratıcı beceriler okul çocukları.

2 numaralı okulda matematik, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Yayıncı, 1997

14. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı. Didaktik materyallerİçin

15. Krivonogov'un matematikteki görevleri.

M. “1 Eylül”, 2002

16. Çerkasov. Lise öğrencileri için el kitabı ve

üniversitelere giriyor. “A S T - basın okulu”, 2002

17. Üniversitelere girenler için Zhevnyak.

Minsk ve Rusya Federasyonu “İnceleme”, 1996

18. Yazılı D. Matematik sınavına hazırlanıyoruz. M. Rolf, 1999

19. vb. Denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmek.

M. "Akıl - Merkez", 2003

20. vb. EGE'ye hazırlık için eğitim ve öğretim materyalleri.

M. "İstihbarat - Merkez", 2003 ve 2004.

21 ve diğerleri CMM seçenekleri. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Test Merkezi, 2002, 2003.

22. Goldberg denklemleri. "Kuantum" Sayı 3, 1971

23. Volovich M. Matematik nasıl başarılı bir şekilde öğretilir.

Matematik, 1997 Sayı 3.

24 Okunev derse çocuklar! M.Eğitim, 1988

25. Yakimanskaya – odaklı öğrenme Okulda.

26. Sınırlar sınıfta çalışır. M.Bilgi, 1975

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x'ler) ve onlarla ifadelerin yer aldığı bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x+3

Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir X belirirse, örneğin:

bu bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözme en saf haliyle.

Aslında saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmeyebilir. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli türde üstel denklemler vardır. Bunlar ele alacağımız türler.

Basit üstel denklemlerin çözümü.

Öncelikle çok basit bir şeyi çözelim. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Başka bir şey yok, değil mi? X'in başka hiçbir değeri işe yaramaz. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında biz aynı üsleri (üçlüleri) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, çiviyi kafamıza vurduk!

Aslında üstel bir denklemde sol ve sağ varsa aynısı Herhangi bir kuvvetteki sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak şunu kesin olarak hatırlayalım: Bazları ancak soldaki ve sağdaki baz numaraları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Herhangi bir komşu ve katsayı olmadan. Denklemlerde şunu söyleyelim:

2 x +2 x+1 = 2 3 veya

ikili kaldırılamaz!

En önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"Bu zamanlar!" - diyorsun. “Testler ve sınavlarla ilgili bu kadar ilkel bir dersi kim verir ki!?”

Katılıyorum. Kimse yapmaz. Ancak artık zorlu örnekleri çözerken nereye nişan almanız gerektiğini biliyorsunuz. Sağda ve solda aynı taban numarasının olacağı forma getirilmesi gerekmektedir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında bu bir matematik klasiğidir. Orjinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

En basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren örneklere bakalım. Onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: dereceleri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve yaratıcılık eklenmelidir. Aynı taban sayılarına mı ihtiyacımız var? Bu yüzden bunları örnekte açık veya şifreli biçimde arıyoruz.

Bakalım bu pratikte nasıl yapılıyor?

Bir örnek verelim:

2 2x - 8x+1 = 0

İlk keskin bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretinizi kırmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ile sekiz derece bakımından akrabadır.) Şöyle yazmak pekâlâ mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Formülü dereceli işlemlerden hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm,

bu harika sonuç veriyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünmeye başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağda (hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x = 2 3(x+1)

Neredeyse hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözeriz ve alırız

Bu doğru cevap.

Bu örnekte ikinin kuvvetlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde şifrelenmiş iki tane var. Bu teknik (ortak zeminlerin şifrelenmesi) farklı sayılar) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda da. Sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıyabilmeniz gerekir. Üstel denklemlerin çözümü için bu son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmek sorun değil. Kağıt üzerinde bile çoğaltın, hepsi bu. Örneğin herkes 3'ün beşinci kuvvetine ulaşabilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 işe yarayacaktır.) Ancak üstel denklemlerde çoğu zaman bir kuvvete ulaşmak gerekli değildir, tam tersi... Öğrenin hangi sayı ne dereceye kadar 243 veya 343 sayısının arkasında gizlidir... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olamaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekir değil mi... Hadi pratik yapalım mı?

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (elbette bir karmaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız garip bir gerçeği görebilirsiniz. Görevlerden çok daha fazla cevap var! Öyle oluyor... Örneğin, 2 6, 4 3, 8 2 - hepsi 64.

Sayılarla ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için kullandığımızı da hatırlatayım. Tümü matematiksel bilgi birikimi. Orta ve orta sınıftan olanlar da dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?)

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantez dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örneğe bakalım:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ve yine ilk bakış temellerde! Derecelerin tabanları farklıdır... Üç ve dokuz. Ama biz onların aynı olmasını istiyoruz. Peki, bu durumda arzu tamamen yerine getirildi!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Derecelerle ilgilenirken aynı kuralları kullanmak:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bu harika, yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki sırada ne var? Üçlü atamazsın... Çıkmaz sokak mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlayın herkes matematik görevleri:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın!

Bak, her şey yoluna girecek).

Bu üstel denklemde ne var? Olabilmek Yapmak? Evet, sol tarafta parantezlerin dışına çıkmak için yalvarıyor! 3 2x'lik genel çarpan bunu açıkça ima ediyor. Deneyelim, sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek giderek daha iyi hale geliyor!

Temelleri ortadan kaldırmak için herhangi bir katsayı olmaksızın saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Hata! Her şey daha iyi oldu!

Bu son cevaptır.

Ancak aynı temelde taksilemenin de sağlandığı ancak bunların ortadan kaldırılmasının mümkün olmadığı durumlar da vardır. Bu, diğer üstel denklem türlerinde de olur. Bu türe hakim olalım.

Üstel denklemlerin çözümünde bir değişkenin değiştirilmesi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk olarak - her zamanki gibi. Bir üsse geçelim. Bir ikiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Ve burası da takıldığımız yer. Nasıl bakarsanız bakın, önceki teknikler işe yaramayacaktır. Cephaneliğimizden başka bir güçlü ve evrensel yöntem çıkarmamız gerekecek. Buna denir değişken değiştirme.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Bir karmaşık simge yerine (bizim durumumuzda - 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin - t). Görünüşte anlamsız bir değişim harika sonuçlara yol açıyor!) Her şey netleşiyor ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

O zaman 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Denklemimizde tüm kuvvetleri x ve t ile değiştiriyoruz:

Peki, aklına geldi mi?) İkinci dereceden denklemleri henüz unuttun mu? Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:

Burada asıl önemli olan durmamak, olduğu gibi... Henüz cevap bu değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönelim, yani. ters değiştirme yapıyoruz. İlk olarak t 1 için:

Yani,

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:

Hm... 2 x solda, 1 x sağda... Sorun mu var? Hiç de bile! Bir birimin (güçlü operasyonlardan, evet...) hatırlanması yeterlidir. herhangi sayının sıfır kuvveti. Herhangi. Ne gerekiyorsa onu yerleştireceğiz. İkiye ihtiyacımız var. Araç:

Artık bu kadar. 2 kökümüz var:

Cevap bu.

Şu tarihte: üstel denklemleri çözme sonunda bazen tuhaf bir ifadeyle karşılaşıyorsunuz. Tip:

Yedi, basit bir kuvvetle ikiye dönüştürülemez. Akraba değiller... Nasıl olabiliriz? Birisinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "Logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece idareli bir şekilde gülümsüyor ve kararlı bir el ile kesinlikle doğru cevabı yazıyor:

Birleşik Devlet Sınavında “B” görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Orada belirli bir sayı gerekiyor. Ancak “C” görevlerinde bu kolaydır.

Bu ders en yaygın üstel denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler sağlar. Ana noktaları vurgulayalım.

Pratik tavsiye:

1. Öncelikle şuna bakıyoruz: zemin derece. Bunları yapmanın mümkün olup olmadığını merak ediyoruz birebir aynı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. dereceleri olan eylemler. X'siz sayıların da üssüne dönüştürülebileceğini unutmayın!

2. Üstel denklemi solda ve sağda iken forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir kuvvetteki sayılar. Kullanırız dereceli eylemler Ve çarpanlara ayırma. Sayılarla sayılabilenleri sayarız.

3. İkinci ipucu işe yaramazsa değişken değiştirmeyi deneyin. Sonuç kolayca çözülebilecek bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kesirli, bu da kareye indirgenir.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların kuvvetlerini görsel olarak bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi dersin sonunda biraz karar vermeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklerin çarpımını bulun:

2 3'ler + 2 x = 9

Olmuş?

İyi o zaman en karmaşık örnek(Ancak, aklımda karar verdim...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha ilginç olan ne? O zaman işte sana kötü bir örnek. Oldukça çekici artan zorluk. Bu örnekte sizi kurtaracak şeyin yaratıcılık ve tüm matematik problemlerini çözmenin en evrensel kuralı olduğunu belirteyim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Rahatlamak için daha basit bir örnek):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karma tipte bir denklemdir! Bu derste bunu dikkate almadık. Neden bunları düşünelim, çözülmeleri gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Peki, yaratıcılığa ihtiyacın var... Ve yedinci sınıf sana yardım etsin (bu bir ipucu!).

Cevaplar (dağınık, noktalı virgülle ayrılmış):

1; 2; 3; 4; hiçbir çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555, tüm bu üstel denklemleri ayrıntılı açıklamalarla çözmektedir. Ne, neden ve neden. Ve elbette her türlü üstel denklemle çalışmaya ilişkin değerli ek bilgiler de var. Sadece bunlar değil.)

Düşünülmesi gereken son eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında tek kelime etmedim? Denklemlerde bu çok önemli bir şey bu arada...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Teçhizat:

bilgisayar,
multimedya projektörü,
ekran,
Ek 1(PowerPoint slayt sunumu) “Üstel denklemleri çözme yöntemleri”
Ek 2(“Üç farklı üsler Dereceler” Word’de)
Ek 3(Word için bildiri pratik iş).
Ek 4(ev ödevi olarak Word'de dağıtılan not).

Dersler sırasında

1. Organizasyon aşaması

Ders konusunun mesajı (tahtaya yazılır),
10-11. Sınıflarda genel bir derse duyulan ihtiyaç:

Öğrencileri aktif öğrenmeye hazırlama aşaması

Tekrarlama

Tanım.

Üstel denklem, üssü olan bir değişken içeren bir denklemdir (öğrenci cevapları).

Öğretmenin notu. Üstel denklemler aşkın denklemler sınıfına aittir. Bu telaffuz edilemeyen isim, genel olarak konuşursak, bu tür denklemlerin formüller biçiminde çözülemeyeceğini göstermektedir.

Bilgisayarlarda ancak sayısal yöntemlerle yaklaşık olarak çözülebilirler. Peki ya sınav görevleri? İşin püf noktası, incelemecinin sorunu analitik bir çözüme olanak sağlayacak şekilde çerçevelemesidir. Başka bir deyişle, aşağıdakileri yapabilirsiniz (ve yapmalısınız!) kimlik dönüşümleri Bu üstel denklemi en basit üstel denkleme indirger. Bu en basit denklem şöyle adlandırılır: en basit üstel denklem. Çözülüyor logaritma ile.

Üstel bir denklemin çözülmesindeki durum, problemin yazarı tarafından özel olarak icat edilen bir labirentte seyahat etmeyi anımsatıyor. Bunlardan çok genel muhakemeÇok spesifik tavsiyeler aşağıdadır.

Üstel denklemleri başarıyla çözmek için şunları yapmalısınız:

1. Yalnızca tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilmekle kalmayın, aynı zamanda bu kimliklerin tanımlandığı değişken değer kümelerini de bulun, böylece bu kimlikleri kullanırken gereksiz kökler elde etmezsiniz ve hatta çözümleri kaybetmezsiniz denklem.

2. Tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilin.

3. Denklemlerin matematiksel dönüşümlerini açıkça, ayrıntılı ve hatasız olarak gerçekleştirin (terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarın, işareti değiştirmeyi unutmadan, kesirleri ortak bir paydaya getirin, vb.). Buna matematik kültürü denir. Aynı zamanda, hesaplamalar otomatik olarak elle yapılmalı ve kafa, çözümün genel yol gösterici konusunu düşünmelidir. Dönüşümler mümkün olduğunca dikkatli ve ayrıntılı olarak yapılmalıdır. Yalnızca bu, doğru ve hatasız bir kararı garanti edecektir. Ve unutmayın: küçük aritmetik hata prensipte analitik olarak çözülemeyen aşkın bir denklem oluşturabilir. Görünüşe göre yolunuzu kaybetmişsiniz ve labirentin duvarına çarpmışsınız.

4. Sorunları çözme yöntemlerini bilin (yani çözüm labirentindeki tüm yolları bilin). Her aşamada doğru şekilde gezinmek için şunları yapmanız gerekir (bilinçli veya sezgisel olarak!):

tanımlamak denklem türü;
karşılık gelen türü hatırla çözüm yöntemi görevler.

Çalışılan materyalin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi aşaması.

Öğretmen, bilgisayar kullanan öğrencilerle birlikte her türlü üstel denklemi ve bunları çözme yöntemlerini gözden geçirir, derler. genel şema. (Kullanılmış eğitim bilgisayar programı L.Ya. Borevsky "Matematik Kursu - 2000", PowerPoint sunumunun yazarı T.N. Kuptsova.)

Pirinç. 1.Şekilde her türlü üstel denklemin genel bir diyagramı gösterilmektedir.

Bu şemadan da görülebileceği gibi üstel denklemleri çözme stratejisi, verilen üstel denklemi denkleme indirgemektir, öncelikle, aynı derece tabanlarına sahip , ve sonra – ve aynı derece göstergeleri ile.

Aynı taban ve üslere sahip bir denklem elde ettiğinizde, bu üssü yeni bir değişkenle değiştirirsiniz ve bu yeni değişkene göre basit bir cebirsel denklem (genellikle kesirli-rasyonel veya ikinci dereceden) elde edersiniz.

Bu denklemi çözdükten ve ters ikameyi yaptıktan sonra, şu şekilde çözülebilecek bir dizi basit üstel denklem elde edersiniz: Genel görünüm logaritma kullanarak.

Sadece (kısmi) kuvvetlerin çarpımlarının bulunduğu denklemler göze çarpmaktadır. Üstel özdeşlikleri kullanarak bu denklemleri hemen tek bir tabana, özellikle de en basit üstel denkleme indirgemek mümkündür.

Üç farklı tabanlı üstel bir denklemin nasıl çözüleceğine bakalım.

(Öğretmen L.Ya. Borevsky'nin “Matematik Dersi - 2000” eğitim bilgisayar programına sahipse, o zaman doğal olarak diskle çalışırız, yoksa, her masa için bu tür bir denklemin çıktısını alabilirsiniz, aşağıda sunulmuştur.)

Pirinç. 2. Denklemin çözümü için plan yapın.

Pirinç. 3. Denklemi çözmeye başlayın

Pirinç. 4. Denklemi çözmeyi bitirin.

Pratik çalışmalar yapmak

Denklemin türünü belirleyin ve çözün.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Dersi özetlemek

Ders için notlandırma.

Ders sonu

Öğretmen için

Cevap şemasını uygulayın.

Egzersiz yapmak: Denklem listesinden belirtilen türdeki denklemleri seçin (cevap numarasını tabloya girin):

Üç farklı derece tabanı
İki farklı taban – farklı üsler
Kuvvet esasları - bir sayının kuvvetleri
Aynı tabanlar – farklı üsler
Aynı derece tabanları - aynı derece göstergeleri
Güçlerin çarpımı
İki farklı derece bazı – aynı göstergeler
En basit üstel denklemler

1. (güçlerin ürünü)

2. (aynı tabanlar – farklı üsler)

Örnekler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Herhangi bir üstel denklemi çözerken, onu \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine getirmeye çalışırız ve ardından üslerin eşitliğine geçiş yaparız, yani:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Örneğin:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Önemli! Aynı mantıktan böyle bir geçiş için iki gereklilik ortaya çıkar:
- sayı sol ve sağ aynı olmalıdır;
- soldaki ve sağdaki dereceler “saf” olmalıdır yani çarpma, bölme vs. olmamalıdır.

Örneğin:

Denklemi \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine indirgemek için kullanılırlar.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3))))^(2x)\)
Çözüm:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

\(27 = 3^3\) olduğunu biliyoruz. Bunu dikkate alarak denklemi dönüştürüyoruz.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Kökünün \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) özelliğinden şunu elde ederiz: \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Daha sonra, derece \((a^b)^c=a^(bc)\ özelliğini kullanarak \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ elde ederiz. (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Ayrıca \(a^b·a^c=a^(b+c)\) olduğunu da biliyoruz. Bunu sol tarafa uyguladığımızda şunu elde ederiz: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Şimdi şunu unutmayın: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Bu formül şu durumlarda da kullanılabilir: ters taraf: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Sonra \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

\((a^b)^c=a^(bc)\) özelliğini sağ tarafa uygulayarak şunu elde ederiz: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

Ve artık tabanlarımız eşit ve hiçbir engelleyici katsayı vs. yok. Böylece geçiş yapabiliriz.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Çözüm:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Yine \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) kuvvet özelliğini ters yönde kullanırız.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Şimdi şunu hatırlayın: \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\)		Derecelerin özelliklerini kullanarak şunları dönüştürürüz: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Denkleme dikkatlice bakıyoruz ve \(t=2^x\) değişiminin kendisini önerdiğini görüyoruz.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Ancak \(t\) değerlerini bulduk ve \(x\)'e ihtiyacımız var. Ters değiştirme yaparak X'lere dönüyoruz.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Özelliği kullanarak ikinci denklemi dönüştürüyoruz negatif derece…
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...ve cevaba kadar karar veriyoruz.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Cevap : \(-1; 1\).

Soru hala devam ediyor: Hangi yöntemin ne zaman kullanılacağı nasıl anlaşılır? Bu deneyimle birlikte gelir. Alıncaya kadar güle güle kullan genel öneri karmaşık sorunları çözmek için - "ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın." Yani, denklemi prensipte nasıl dönüştürebileceğinizi arayın ve bunu yapmaya çalışın - ya olursa? Önemli olan yalnızca matematiksel temelli dönüşümler yapmaktır.

Çözümü olmayan üstel denklemler

Öğrencilerin sıklıkla kafasını karıştıran iki duruma daha bakalım:
- pozitif sayıüssü sıfıra eşit, örneğin, \(2^x=0\);
- pozitif bir sayının kuvveti eşittir negatif sayı, örneğin \(2^x=-4\).

Kaba kuvvetle çözmeye çalışalım. Eğer x pozitif bir sayıysa, x büyüdükçe \(2^x\)'in tüm kuvveti yalnızca artacaktır:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Ayrıca tarafından. Negatif X'ler kaldı. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ özelliğini hatırlayarak şunu kontrol ederiz:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Sayı her adımda küçülse de hiçbir zaman sıfıra ulaşmayacak. Yani negatif derece bizi kurtarmadı. Mantıklı bir sonuca varıyoruz:

Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayı olarak kalacaktır.

Dolayısıyla yukarıdaki her iki denklemin de çözümü yoktur.

Farklı tabanlara sahip üstel denklemler

Uygulamada bazen birbirine indirgenemeyen farklı tabanlara sahip, aynı zamanda aynı üslere sahip üstel denklemlerle karşılaşmaktayız. Şuna benzerler: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), burada \(a\) ve \(b\) pozitif sayılardır.

Örneğin:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Bu tür denklemler, denklemin herhangi bir tarafına (genellikle sağ tarafa, yani \(b^(f(x))\'e bölünür) bölünerek kolaylıkla çözülebilir. Pozitif bir sayı olduğu için bu şekilde bölebilirsiniz. herhangi bir kuvvete göre pozitiftir (yani sıfıra bölmeyiz) Şunu elde ederiz:

\(\frac(a^(f(x))(b^(f(x))))\) \(=1\)

Örnek . Üstel denklemi çözün \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Çözüm:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Burada beşi üçe veya tam tersini (en azından kullanmadan) üçe çeviremeyeceğiz. Bu, \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine gelemeyeceğimiz anlamına gelir. Ancak göstergeler aynı. Denklemi sağ tarafa yani \(3^(x+7)\)'ye bölelim (bunu yapabiliriz çünkü üçün hiçbir derecede sıfır olmayacağını biliyoruz).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Şimdi \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) özelliğini hatırlayın ve onu soldan ters yönde kullanın. Sağda sadece kesri azaltıyoruz.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Görünüşe göre işler daha iyiye gitmedi. Ancak kuvvetin bir özelliğini daha unutmayın: \(a^0=1\), diğer bir deyişle: "herhangi bir sayının sıfır üssü \(1\)'e eşittir." Bunun tersi de doğrudur: "bir, herhangi bir sayının sıfır üssü olarak temsil edilebilir." Sağdaki tabanı soldakiyle aynı yaparak bundan faydalanalım.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		İşte! Üslerden kurtulalım.
		Cevap yazıyoruz.

Cevap : \(-7\).

Bazen üslü sayıların "aynılığı" açık değildir ancak üslü sayıların özelliklerinin ustaca kullanılması bu sorunu çözer.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Çözüm:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Denklem çok üzücü görünüyor... Tabanlar aynı sayıya indirgenemediği gibi (yedi hiçbir şekilde \(\frac(1)(3)\)'a eşit olmayacaktır) aynı zamanda üsler de farklıdır. .. Ancak sol üslü ikiliyi kullanalım.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		\((a^b)^c=a^(b·c)\) özelliğini hatırlayarak soldan dönüşüm yaparız: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Şimdi, negatif derece \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) özelliğini hatırlayarak, sağdan dönüşüm yaparız: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Şükürler olsun! Göstergeler aynı! Zaten aşina olduğumuz şemaya göre hareket ederek cevaptan önce çözüyoruz.

Cevap : \(2\).

İlk seviye

Üstel denklemler. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Merhaba! Bugün sizinle temel olabilecek (ve bu makaleyi okuduktan sonra neredeyse hepsinin sizin için öyle olacağını umuyorum) ve genellikle "doldurmak için" verilen denklemleri nasıl çözeceğinizi tartışacağız. Görünüşe göre sonunda uykuya dalmak. Ancak artık bu tür denklemlerle karşılaştığınızda başınızın belaya girmemesi için mümkün olan her şeyi yapmaya çalışacağım. Artık ortalığı karıştırmayacağım, hemen açacağım küçük sır: bugün ders çalışacağız üstel denklemler.

Bunları çözmenin yollarını analiz etmeye geçmeden önce, bu konuya saldırmadan önce tekrarlamanız gereken bir dizi soruyu (oldukça küçük) hemen size özetleyeceğim. Yani, almak için en iyi sonuç, Lütfen, tekrarlamak:

Özellikler ve
Çözüm ve denklemler

Tekrarlandı mı? İnanılmaz! O zaman denklemin kökünün bir sayı olduğunu fark etmeniz sizin için zor olmayacaktır. Bunu tam olarak nasıl yaptığımı anladın mı? Bu doğru mu? O zaman devam edelim. Şimdi soruma cevap verin, üçüncü kuvvete eşit olan nedir? Kesinlikle haklısın: . İkinin hangi kuvveti sekizdir? Bu doğru - üçüncüsü! Çünkü. O halde şimdi şu problemi çözmeye çalışalım: Sayıyı kendisiyle bir kere çarpıp sonucu elde edeyim. Soru şu ki, kendimle kaç kez çarptım? Elbette bunu doğrudan kontrol edebilirsiniz:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( hizala)

O zaman kendimle defalarca çarptığım sonucuna varabilirsiniz. Bunu başka nasıl kontrol edebilirsiniz? İşte nasıl: doğrudan derece tanımıyla: . Ama itiraf etmelisiniz ki, diyelim ki ikinin kendisiyle kaç kere çarpılması gerektiğini sorsaydım bana şöyle derdiniz: Kendimi kandırmayacağım ve yüzüm mosmor olana kadar kendisiyle çarpmayacağım. Ve kesinlikle haklı olurdu. Çünkü nasıl tüm adımları kısaca yazın(ve kısalık yeteneğin kız kardeşidir)

nerede - bunlar aynı olanlar "zamanlar", kendisiyle çarptığınızda.

Sanırım biliyorsunuz (ve bilmiyorsanız, acilen, çok acilen dereceleri tekrarlayın!) o zaman sorunum şu şekilde yazılacaktır:

Mantıklı olarak şu sonuca nasıl varabilirsiniz:

Bu yüzden fark edilmeden en basitini yazdım üstel denklem:

Ve hatta onu buldum kök. Her şeyin tamamen önemsiz olduğunu düşünmüyor musun? Tamamen aynısını düşünüyorum. İşte size başka bir örnek:

Peki ne yapmalı? Sonuçta (makul) bir sayının kuvveti olarak yazılamaz. Umutsuzluğa kapılmayalım ve bu sayıların her ikisinin de aynı sayının kuvvetiyle mükemmel bir şekilde ifade edildiğini not edelim. Hangisi? Sağ: . Daha sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür:

Nerede, zaten anladığınız gibi, . Daha fazla geciktirmeyelim ve yazalım. tanım:

Bizim durumumuzda: .

Bu denklemler aşağıdaki forma indirgenerek çözülür:

ardından denklemin çözümü

Aslında önceki örnekte tam da bunu yaptık: şunu elde ettik: Ve en basit denklemi çözdük.

Karmaşık bir şey yok gibi görünüyor, değil mi? Önce en basitleri üzerinde pratik yapalım örnekler:

Denklemin sağ ve sol taraflarının bir sayının kuvvetleri olarak temsil edilmesi gerektiğini bir kez daha görüyoruz. Doğru, solda bu zaten yapıldı, ancak sağda bir sayı var. Ama sorun değil, çünkü denklemim mucizevi bir şekilde şuna dönüşecek:

Burada ne kullanmam gerekiyordu? Hangi kural? "Derece içinde derece" kuralışu şekilde okunur:

Farzedelim:

Bu soruyu yanıtlamadan önce aşağıdaki tabloyu dolduralım:

Ne kadar az olursa o kadar kolay olduğunu fark etmek bizim için kolaydır. daha az değer ancak yine de tüm bu değerler sıfırdan büyüktür. VE HER ZAMAN da öyle olacak!!! Aynı özellik, HERHANGİ BİR GÖSTERGEYİ İÇEREN HERHANGİ BİR TEMEL İÇİN de geçerlidir! (herhangi bir ve için). O halde denklem hakkında ne sonuca varabiliriz? İşte ne olduğu: o kökleri yok! Tıpkı herhangi bir denklemin kökleri olmadığı gibi. Şimdi pratik yapalım ve Basit örnekleri çözelim:

Hadi kontrol edelim:

1. Burada sizden derecelerin özellikleri hakkında bilgi sahibi olmak dışında hiçbir şey istenmeyecektir (bu arada sizden tekrarlamanızı istedim!) Kural olarak, her şey en küçük tabana götürür: , . O zaman orijinal denklem aşağıdakine eşdeğer olacaktır: Tek ihtiyacım olan kuvvetlerin özelliklerini kullanmak: Tabanları aynı olan sayıları çarparken üsleri toplanır, bölerken çıkarılır. O zaman şunu elde edeceğim: Peki, şimdi vicdan rahatlığıyla üstel denklemden doğrusal denkleme geçeceğim: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(hizala)

2. İkinci örnekte, daha dikkatli olmamız gerekiyor: Sorun şu ki, sol tarafta aynı sayının kuvvetini muhtemelen temsil edemiyoruz. Bu durumda bazen yararlı olabilir sayıları farklı tabanlara sahip fakat aynı üslere sahip kuvvetlerin çarpımı olarak temsil eder:

Denklemin sol tarafı şöyle görünecektir: Bu bize ne verdi? İşte şu: Tabanları farklı fakat üsleri aynı olan sayılar çarpılabilir.Bu durumda bazlar çarpılır ancak gösterge değişmez:

Benim durumumda bu şunu verecektir:

\begin(hizala)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(hizala)

Fena değil, değil mi?

3. Denklemin bir tarafında gereksiz yere iki terimin olması, diğer tarafında ise hiç olmamasından hoşlanmıyorum (bazen elbette bu haklı olabilir, ancak şimdi böyle bir durum yok). Eksi terimini sağa taşıyacağım:

Şimdi, daha önce olduğu gibi, her şeyi üçün kuvvetleri cinsinden yazacağım:

Soldaki dereceleri topluyorum ve eşdeğer bir denklem elde ediyorum

Kökünü kolayca bulabilirsiniz:

4. Üçüncü örnekte olduğu gibi eksi terimin sağ tarafta yeri vardır!

Solumda neredeyse her şey yolunda, ne hariç? Evet ikisinin “yanlış derecesi” beni rahatsız ediyor. Ancak şunu yazarak bunu kolayca düzeltebilirim: . Eureka - solda tüm tabanlar farklı, ancak tüm dereceler aynı! Hemen çoğalalım!

Burada yine her şey açık: (Son eşitliği nasıl sihirli bir şekilde elde ettiğimi anlamadıysanız, bir dakika ara verin, derin bir nefes alın ve derecenin özelliklerini çok dikkatli bir şekilde tekrar okuyun. Kim söyledi? ile derece negatif gösterge? Ben de bunu söylüyorum, kimse yok). Şimdi şunu alacağım:

\begin(hizala)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(hizala)

İşte size pratik yapmanız için, yalnızca cevaplarını vereceğim (ancak "karışık" bir biçimde) bazı problemler. Onları çözün, kontrol edin, siz ve ben araştırmamıza devam edeceğiz!

Hazır? Yanıtlar bunlar gibi:

herhangi bir numara

Tamam, tamam, şaka yapıyordum! İşte bazı çözüm taslakları (bazıları çok kısa!)

Soldaki kesirlerden birinin "tersine çevrilmiş" olması sizce de tesadüf değil mi? Bundan faydalanmamak günah olur:

Bu kural üstel denklemleri çözerken çok sık kullanılır, bunu iyi unutmayın!

O zaman orijinal denklem şu şekilde olacaktır:

Buna karar verdikten sonra ikinci dereceden denklem, şu kökleri alacaksınız:

2. Başka bir çözüm: Denklemin her iki tarafını da soldaki (veya sağdaki) ifadeye bölmek. Sağdaki sayıya bölersem şunu elde ederim:

Nerede nasıl?!)

3. Kendimi tekrarlamak bile istemiyorum, her şey çoktan "çiğnendi".

4. ikinci dereceden bir denklemin eşdeğeri, kökler

5. İlk problemde verilen formülü kullanmanız gerekir, o zaman şunu elde edeceksiniz:

Denklem herkes için geçerli olan önemsiz bir kimliğe dönüştü. O zaman cevap herhangi bir gerçek sayıdır.

Artık çözme pratiği yaptınız basit üstel denklemler.Şimdi size prensipte neden ihtiyaç duyulduğunu anlamanıza yardımcı olacak birkaç yaşam örneği vermek istiyorum. Burada iki örnek vereceğim. Bunlardan biri oldukça gündeliktir, ancak diğerinin pratikten çok bilimsel olması daha olasıdır.

Örnek 1 (ticari) Rubleniz olsun ama onu rubleye çevirmek istiyorsunuz. Banka size bu parayı aylık faiz aktifleştirmesi (aylık tahakkuk) ile yıllık oranda sizden almanızı teklif ediyor. Sorun şu ki, gerekli nihai tutara ulaşmak için kaç ayda bir depozito açmanız gerekiyor? Oldukça sıradan bir görev, değil mi? Bununla birlikte, çözümü karşılık gelen üstel denklemin oluşturulmasıyla ilişkilidir: Let - başlangıç miktarı, - son miktar, - faiz oranı dönem başına - dönem sayısı. Daha sonra:

Bizim durumumuzda (oran yıllık ise aylık olarak hesaplanır). Neden bölünüyor? Bu sorunun cevabını bilmiyorsanız “” konusunu hatırlayın! O zaman şu denklemi elde ederiz:

Bu üstel denklem yalnızca bir hesap makinesi kullanılarak çözülebilir (onun dış görünüş buna dair ipuçları veriyor ve bu, biraz sonra tanışacağımız logaritma bilgisini gerektiriyor) ki bunu yapacağım: ... Dolayısıyla, bir milyon alabilmek için bir ay boyunca para yatırmamız gerekecek ( çok hızlı değil, değil mi?).

Örnek 2 (oldukça bilimsel). Belli bir "izolasyona" rağmen, ona dikkat etmenizi öneririm: o düzenli olarak "Birleşik Devlet Sınavına giriyor!! (problem “gerçek” versiyondan alınmıştır) Radyoaktif bir izotopun bozunması sırasında kütlesi yasaya göre azalır, burada (mg) izotopun başlangıç kütlesi, (min.) bozunmasından itibaren geçen süredir. başlangıç anı (min.) yarılanma ömrüdür. Zamanın ilk anında izotopun kütlesi mg'dır. Yarı ömrü min. Kaç dakika sonra izotopun kütlesi mg'a eşit olur? Sorun değil: tüm verileri alıp bize önerilen formüle yerleştiriyoruz:

Sol tarafta sindirilebilir bir şey elde etmemizi umarak her iki parçayı da bölelim:

Biz çok şanslıyız! Solda, o zaman eşdeğer denkleme geçelim:

Min nerede?

Gördüğünüz gibi üstel denklemlerin pratikte çok gerçek uygulamaları var. Şimdi size üstel denklemleri çözmenin başka (basit) bir yolunu göstermek istiyorum; bu yöntem, ortak çarpanı parantezlerden çıkarıp terimleri gruplandırmaya dayanır. Sözlerimden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları çalışırken tanışmıştınız. Örneğin, ifadeyi çarpanlarına ayırmanız gerekiyorsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimlerin yanı sıra ikinci ve dördüncü terimleri. Birinci ve üçüncünün kareler farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncünün ortak çarpanı üçtür:

O zaman orijinal ifade şuna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden türetileceği artık zor değil:

Buradan,

Üstel denklemleri çözerken kabaca yapacağımız şey budur: terimler arasında "ortaklık" arayın ve bunu parantezlerden çıkarın ve sonra - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =)) Örneğin:

Sağda yedinin kuvveti olmaktan çok uzak (kontrol ettim!) Ve solda - biraz daha iyi, elbette a faktörünü birinci terimden ikinciden "kesebilir" ve sonra dağıtabilirsiniz. sahip olduklarınla, ama sana karşı daha ihtiyatlı olalım. "Seçerken" kaçınılmaz olarak oluşan kesirlerle uğraşmak istemiyorum, yani onu çıkarmam gerekmez mi? O zaman hiçbir kesirim olmayacak: dedikleri gibi, kurtlar besleniyor ve koyunlar güvende:

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayın. Sihirli bir şekilde, sihirli bir şekilde, bu ortaya çıkıyor (şaşırtıcı bir şekilde, başka ne beklemeliyiz ki?).

Daha sonra denklemin her iki tarafını da bu faktör kadar azaltırız. Şunu alıyoruz: , from.

İşte daha karmaşık bir örnek (gerçekten biraz):

Ne sorun! Burada bir tane yok Ortak zemin! Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil. Elimizden geleni yapalım: Önce “dörtlüyü” bir tarafa, “beşliyi” diğer tarafa taşıyın:

Şimdi soldaki ve sağdaki "genel"i çıkaralım:

Peki şimdi ne olacak? Bu kadar aptal bir grubun ne faydası var? İlk bakışta hiç görünmüyor ama daha derine bakalım:

Şimdi solda yalnızca c ifadesinin ve sağda diğer her şeyin olduğundan emin olacağız. Bunu nasıl yapabiliriz? Şöyle: Denklemin her iki tarafını da önce ikiye bölelim (böylece sağdaki üsden kurtuluruz), sonra da her iki tarafı da ikiye böleriz (böylece soldaki sayısal faktörden kurtuluruz). Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz! Solda bir ifademiz var, sağda ise basit bir ifademiz var. O zaman hemen şu sonuca varırız

İşte pekiştirmeniz için başka bir örnek:

Onun kısa çözümünü vereceğim (açıklamalarla kendimi fazla rahatsız etmeden), çözümün tüm "inceliklerini" kendiniz anlamaya çalışacağım.

Şimdi kapsanan malzemenin son konsolidasyonuna geçelim. Aşağıdaki sorunları kendiniz çözmeye çalışın. sadece vereceğim kısa öneriler ve bunları çözmek için ipuçları:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım: Nerede:
Şeklindeki ilk ifadeyi sunalım: , her iki tarafı da bölüp şunu elde edelim
, sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bu denklemi zaten nerede çözdüğümüze bakın!
Nasıl, nasıl, ah, sonra her iki tarafı da böldüğünüzü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
Parantezlerden çıkarın.
Parantezlerden çıkarın.

ÜSSEL DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

Bahsedilen ilk makaleyi okuduktan sonra sanırım üstel denklemler nedir ve nasıl çözülür, en basit örnekleri çözmek için gereken minimum bilgiye hakim oldunuz.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yönteme bakacağım, bu

“yeni bir değişken ekleme yöntemi” (veya değiştirme).Üstel denklemler (sadece denklemler değil) konusundaki çoğu "zor" problemi çözer. Bu yöntem pratikte en sık kullanılan yöntemlerden biridir. Öncelikle konuyu iyice tanımanızı tavsiye ederim.

Adından da anlayacağınız gibi bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde kolayca çözebileceğiniz bir denkleme dönüşmesini sağlayacak bir değişken değişikliği sağlamaktır. Bu çok "basitleştirilmiş denklemi" çözdükten sonra size geriye kalan tek şey "tersine değiştirme" yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene dönüş. Çok basit bir örnekle az önce söylediklerimizi açıklayalım:

Örnek 1:

Bu denklem, matematikçilerin küçümseyici bir şekilde adlandırdığı gibi "basit bir ikame" kullanılarak çözülür. Aslında buradaki değişim en bariz olanıdır. Sadece şunu görmek lazım

Daha sonra orijinal denklem şuna dönüşecektir:

Ayrıca nasıl olduğunu hayal edersek, neyin değiştirilmesi gerektiği kesinlikle açıktır: elbette . O zaman orijinal denklem ne olur? İşte şu:

Köklerini kendi başınıza kolayca bulabilirsiniz: . Şimdi ne yapmalıyız? Orijinal değişkene dönme zamanı geldi. Neyden bahsetmeyi unuttum? Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani bir türü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler! Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz. Yani sen ve ben ilgilenmiyoruz ama ikinci kök bizim için oldukça uygun:

O zaman nereden.

Cevap:

Gördüğünüz gibi önceki örnekte, yerine geçecek kişi sadece bizden izin istiyordu. Ne yazık ki bu her zaman böyle değildir. Ancak, doğrudan üzücü şeylere gitmeyelim, yerine oldukça basit bir örnek daha verelim.

Örnek 2.

Büyük olasılıkla bir değişiklik yapmamız gerekeceği açıktır (bu, denklemimizde yer alan kuvvetlerin en küçüğüdür), ancak bir değişiklik yapmadan önce denklemimizin buna "hazırlanması" gerekir, yani: , . Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederim:

Ah dehşet: Çözmek için kesinlikle berbat formüllere sahip kübik bir denklem (genel anlamda konuşursak). Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapmamız gerektiğini düşünelim. Hile yapmayı önereceğim: "Güzel" bir cevap almak için bunu üçün bir kuvveti şeklinde almamız gerektiğini biliyoruz (bu neden olsun ki, ha?). Denklemin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (tahmin etmeye üçün kuvvetleriyle başlayacağım).

İlk tahmin. Kök değil. Ne yazık ki ve ah...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ kısım: !
Yemek yemek! İlk kökü tahmin ettim. Artık işler daha da kolaylaşacak!

“Köşe” bölme şemasını biliyor musunuz? Elbette öyle, bir sayıyı diğerine bölerken bunu kullanırsın. Ancak çok az kişi aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor. Harika bir teorem var:

Benim durumuma uygulanacak olursa, bu bana bunun kalansız bölünebileceğini söylüyor. Bölme nasıl yapılır? Bu nasıl:

Clearly'yi elde etmek için hangi monomial ile çarpmam gerektiğine bakıyorum, sonra:

Sonuçta ortaya çıkan ifadeyi çıkarırsam şunu elde ederim:

Şimdi, elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor? Açıkça görülüyor ki, o zaman şunu alacağım:

ve elde edilen ifadeyi tekrar kalan ifadeden çıkarın:

Son adım, kalan ifadeyle çarpmak ve ondan çıkarmaktır:

Yaşasın, bölünme bitti! Özel olarak ne biriktirdik? Kendi kendine: .

Daha sonra orijinal polinomun aşağıdaki açılımını elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

O halde orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Sıfırdan küçük olduğu için elbette son kökü atacağız. Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Cevap: ..

Bu örnekle sizi hiç korkutmak istemedim; bunun yerine amacım, oldukça basit bir değişime sahip olmamıza rağmen yine de bunun oldukça yol açtığını göstermekti. karmaşık denklemçözümü bizden bazı özel beceriler gerektiriyordu. Eh, hiç kimse bundan muaf değildir. Ama yerine koyma bu durumda oldukça açıktı.

İşte biraz daha az belirgin bir değişime sahip bir örnek:

Ne yapmamız gerektiği hiç de açık değil: Sorun şu ki, denklemimizde iki farklı taban var ve bir tabanın diğerinden herhangi bir (doğal olarak makul) güce yükseltilmesiyle elde edilememesi. Ancak ne görüyoruz? Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir ve çarpımları bire eşit kareler farkıdır:

Tanım:

Dolayısıyla örneğimizde taban olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllı adım şu olacaktır: Denklemin her iki tarafını eşlenik sayıyla çarpın.

Örneğin, denklemin sol tarafı ve sağ tarafı eşit olacaktır. Eğer bir değişiklik yaparsak orijinal denklemimiz şu şekilde olacaktır:

öyleyse kökleri ve bunu hatırlayarak bunu anlıyoruz.

Cevap: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi çoğu "okul" üstel denklemini çözmek için yeterlidir. Aşağıdaki görevler Birleşik Devlet Sınavı C1'den alınmıştır ( artan seviye zorluklar). Zaten bu örnekleri kendi başınıza çözebilecek kadar okuryazarsınız. Sadece gerekli değişimi yapacağım.

Denklemi çözün:
Denklemin köklerini bulun:
Denklemi çözün: . Bu denklemin segmente ait tüm köklerini bulun:

Şimdi bazı kısa açıklamalar ve cevaplar:

Burada şunu belirtmemiz yeterli... O zaman orijinal denklem şuna eşdeğer olacaktır: Bu denklem değiştirmeyle çözülür. Daha fazla hesaplamayı kendiniz yapın. Sonunda göreviniz basit trigonometrik problemleri çözmeye indirgenecek (sinüs veya kosinüse bağlı olarak). Benzer örneklerin çözümlerine diğer bölümlerde bakacağız.
Burada değiştirme yapmadan da yapabilirsiniz: sadece çıkanı sağa hareket ettirin ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle temsil edin: ve ardından doğrudan ikinci dereceden denkleme gidin.
Üçüncü denklem de oldukça standart bir şekilde çözüldü: nasıl olduğunu hayal edelim. Sonra değiştirerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: o zaman,
Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyorsun, değil mi? HAYIR? O halde acilen konuyu okuyun!

İlk kökün segmente ait olmadığı açık ama ikincisi belirsiz! Ama çok yakında öğreneceğiz! O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!) Şimdi karşılaştıralım:

Her iki taraftan da çıkarırsak şunu elde ederiz:

Sol taraf şu şekilde temsil edilebilir:

her iki tarafı da şununla çarpın:

ile çarpılabilir, o zaman

Sonra karşılaştırın:

o zamandan beri:

O halde ikinci kök gerekli aralığa aittir

Cevap:

Gördüğünüz gibi, Üstel denklemlerin köklerinin seçimi, logaritmanın özellikleri hakkında oldukça derin bir bilgi gerektirir bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim. Anladığınız gibi matematikte her şey birbirine bağlıdır! Matematik öğretmenimin dediği gibi: "Tarih gibi matematik de bir gecede okunamaz."

Kural olarak hepsi C1 problemlerini çözmenin zorluğu tam olarak denklemin köklerinin seçilmesidir. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Denklemin kendisinin oldukça basit bir şekilde çözüldüğü açıktır. Bir değişiklik yaparak orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeyebiliriz:

İlk önce ilk köke bakalım. Hadi karşılaştıralım ve: o zamandan beri. (mülk logaritmik fonksiyon, en). O zaman ilk kökün bizim aralığımıza ait olmadığı açıktır. Şimdi ikinci kök: . Bu açıktır (çünkü at fonksiyonu artmaktadır). Karşılaştırmak için kalır ve ...

o zamandan beri aynı zamanda. Bu şekilde ve arasında "bir çivi çakabilirim". Bu çivi bir sayıdır. Birinci ifade küçüktür, ikincisi büyüktür. O halde ikinci ifade birinciden büyüktür ve kök aralığa aittir.

Cevap: .

Son olarak, ikamenin oldukça standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım:

Hemen ne yapılabileceğiyle ve prensipte ne yapılabileceğiyle başlayalım, ancak bunu yapmamak daha iyidir. Her şeyi üçün, ikinin ve altının kuvvetleri aracılığıyla hayal edebilirsiniz. Nereye gidiyor? Hiçbir şeye yol açmayacak: bazılarından kurtulması oldukça zor olacak bir karmakarışık dereceler. O zaman ne gerekiyor? Şunu not edelim: Peki bu bize ne verecek? Ve kararı azaltabileceğimiz gerçeği bu örnek Basit bir üstel denklemi çözmek yeterlidir! Öncelikle denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Şimdi gösteri problemlerini çözme sırası sizde ve kafanızın karışmaması için onlara sadece kısa açıklamalarda bulunacağım. doğru yol! İyi şanlar!

1. En zoru! Burada bir yedek görmek çok zor! Ancak yine de bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir. tam bir kareyi vurgulama. Bunu çözmek için şunu not etmek yeterlidir:

O zaman işte sizin yerinize:

(Lütfen burada değiştirme sırasında negatif kökü atamayacağımızı unutmayın!!! Neden düşünüyorsunuz?)

Şimdi örneği çözmek için yalnızca iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de “standart değiştirme” ile çözülebilir (ancak bir örnekte ikincisi!)

2. Bunu fark edin ve değiştirin.

3. Sayıyı eş asal faktörlere ayırın ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve yerine veya koyun.

5. ve sayılarının eşlenik olduğuna dikkat edin.

ÜSSEL DENKLEMLER. İLERİ DÜZEY

Ayrıca başka bir yola bakalım - logaritma yöntemini kullanarak üstel denklemleri çözme. Üstel denklemleri bu yöntemle çözmenin çok popüler olduğunu söyleyemem ama bazı durumlarda ancak bu bizi sonuca götürebilir. doğru karar bizim denklemimiz. Özellikle “” denilen şeyi çözmek için sıklıkla kullanılır. karışık denklemler": yani, farklı türdeki işlevlerin meydana geldiği yerler.

Örneğin, formun bir denklemi:

V Genel dava yalnızca her iki tarafın logaritmasının (örneğin tabana göre) alınmasıyla çözülebilir; bu, orijinal denklemi aşağıdakine dönüştürecektir:

Aşağıdaki örneğe bakalım:

Logaritmik fonksiyonun ODZ'sine göre sadece ilgilendiğimiz açıktır. Ancak bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, bir nedenden daha kaynaklanmaktadır. Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım:

Gördüğünüz gibi orijinal denklemimizin logaritmasını almak bizi hızla doğru (ve güzel!) cevaba götürdü. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Burada da yanlış bir şey yok: Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım, sonra şunu elde ederiz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak bir şeyi atladık! Nerede hata yaptığımı fark ettiniz mi? Sonuçta, o zaman:

bu gereksinimi karşılamıyor (nereden geldiğini düşünün!)

Cevap:

Aşağıdaki üstel denklemlerin çözümünü yazmaya çalışın:

Şimdi kararınızı şununla karşılaştırın:

1. Aşağıdakileri dikkate alarak her iki tarafı tabana göre logaritalım:

(İkinci kök değişim nedeniyle bize uygun değildir)

2. Tabana göre logaritma: