Kesirli olarak rasyonel. Kesirli denklemler nasıl çözülür?

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

• kesirli rasyonel denklemler kavramının oluşumu;
• kesirli rasyonel denklemleri çözmenin çeşitli yollarını düşünün;
• kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
• kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek;
• Bir test yaparak konuya hakimiyet düzeyini kontrol etmek.

Gelişimsel:

• edinilen bilgilerle doğru şekilde çalışma ve mantıksal düşünme yeteneğini geliştirmek;
• entelektüel becerilerin ve zihinsel işlemlerin geliştirilmesi - analiz, sentez, karşılaştırma ve genelleme;
• inisiyatifin geliştirilmesi, karar verme yeteneği ve orada durmamak;
• eleştirel düşünmenin gelişimi;
• araştırma becerilerinin geliştirilmesi.

Eğitim:

• yetiştirme bilişsel ilgi konuya;
• eğitim sorunlarının çözümünde bağımsızlığın teşvik edilmesi;
• Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.

Ders türü: ders - yeni materyalin açıklaması.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı.

Merhaba beyler! Tahtada yazılı denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?

Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.

2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sınıfla sözlü çalışma.

Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni Konu. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:

1. Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
2. 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Doğrusal denklemleri çözmek için bir yöntem. ( Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3. 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. ( Vieta teoremini ve onun sonuçlarını kullanan formülleri kullanarak tam bir kareyi ayırma.)
4. Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
5. Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfır ve payda sıfır olmadığında kesir sıfıra eşittir..)

3. Yeni materyalin açıklanması.

2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 10.

Hangi kesirli rasyonel denklem Oranın temel özelliğini kullanarak çözmeyi deneyebilir misiniz? (Numara 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Cevap: 3;4.

Şimdi 7 numaralı denklemi aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak çözmeye çalışın.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Cevap: 0;5;-2.			Cevap: 5;-2.

Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.

• 2 ve 4 numaralı denklemlerin 5,6,7 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-7 numaralı denklemler değişkenli ifadelerdir.)
• Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.)
• Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Çek yap.)

Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: Kesirli rasyonel denklemleri çözmenin, bu hatayı ortadan kaldırmamıza olanak tanıyan bir yolu var mı? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Eğer x=5 ise x(x-5)=0 olur, bu da 5'in yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.

Eğer x=-2 ise x(x-5)≠0 olur.

Cevap: -2.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

1. Her şeyi sol tarafa taşıyın.
2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
3. Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında kesir sıfıra eşittir.
4. Denklemi çözün.
5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
6. Cevabı yazın.

Tartışma: Oranın temel özelliğini kullanırsanız ve denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarparsanız çözümü nasıl resmileştirirsiniz? (Çözüme şunu ekleyin: ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden çıkarın).

4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); 601(a,e,g). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 – yabancı kök. Cevap: 3.

c) 2 – yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

g) Cevap: 1;1.5.

5. Ödev verme.

1. Ders kitabındaki 25. paragrafı okuyun, 1-3. örnekleri analiz edin.
2. Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma öğrenin.
3. 600 (a, d, e) numaralı defterlerde çözün; 601(g,h).
4. 696(a) numaralı soruyu (isteğe bağlı) çözmeye çalışın.

6. Çalışılan konuyla ilgili bir kontrol görevinin tamamlanması.

İş kağıt parçaları üzerinde yapılır.

Örnek görev:

A) Denklemlerden hangileri kesirli rasyoneldir?

B) Bir kesirin payı ______________________ ve paydası _______________________ olduğunda sıfıra eşittir.

Soru) -3 sayısı 6 numaralı denklemin kökü müdür?

D) 7 numaralı denklemi çözün.

Görev için değerlendirme kriterleri:

• Öğrenci görevin %90'ından fazlasını doğru tamamlamışsa “5” verilir.
• "4" - %75-%89
• "3" - %50-%74
• Görevin %50'sinden azını tamamlayan öğrenciye “2” verilir.
• Dergide 2 notu verilmemektedir, 3 opsiyoneldir.

7. Yansıma.

Bağımsız çalışma sayfalarına şunu yazın:

• 1 – eğer ders sizin için ilginç ve anlaşılırsa;
• 2 – ilginç ama net değil;
• 3 – ilginç değil ama anlaşılır;
• 4 – ilginç değil, net değil.

8. Dersi özetlemek.

Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik Farklı yollar, bilgilerini bir eğitimle test ettiler bağımsız iş. Bir sonraki derste bağımsız çalışmanızın sonuçlarını öğreneceksiniz ve evde bilginizi pekiştirme fırsatına sahip olacaksınız.

Size göre kesirli rasyonel denklemleri çözmenin hangi yöntemi daha kolay, daha erişilebilir ve daha rasyoneldir? Kesirli rasyonel denklemleri çözme yöntemi ne olursa olsun, neyi hatırlamanız gerekir? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?

Herkese teşekkürler, ders bitti.

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri ele alıyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri, ikinci eşitsizliği çözerken elde edilen değişkenin geçersiz değerleriyle çakışmadığı için her ikisi de bu denklemin çözümüdür.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm terimleri, sağ taraf 0 olacak şekilde sol tarafa taşıyın.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta tüm terimleri şuraya taşıyalım: Sol Taraf 0 sağda kalacak şekilde şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Kaynakça

1. Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. - M.: Eğitim, 2006.

1. Pedagojik Fikirler Festivali" Herkese açık ders" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

hakkında konuşmaya devam edelim denklem çözme. Bu yazımızda bu konuyu detaylı olarak ele alacağız. rasyonel denklemler ve tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözüm ilkeleri. Öncelikle hangi tür denklemlere rasyonel denildiğini bulalım, tam rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerin tanımını verelim ve örnekler verelim. Daha sonra rasyonel denklemleri çözmek için algoritmalar elde edeceğiz ve elbette çözümleri ele alacağız tipik örnekler gerekli tüm açıklamalarla.

Sayfada gezinme.

Belirtilen tanımlara dayanarak, birkaç rasyonel denklem örneği veriyoruz. Örneğin, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, ,'nin tümü rasyonel denklemlerdir.

Gösterilen örneklerden, rasyonel denklemlerin ve diğer türdeki denklemlerin tek değişkenli veya iki, üç vb. olabileceği açıktır. değişkenler. Aşağıdaki paragraflarda tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözümünden bahsedeceğiz. İki değişkenli denklemleri çözme ve onları Büyük bir sayıözel ilgiyi hak ediyor.

Rasyonel denklemler bilinmeyen değişken sayısına bölünmenin yanı sıra tamsayı ve kesirli olarak da ayrılırlar. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Rasyonel denklem denir tüm, eğer hem sol hem de sağ tarafları tamsayı rasyonel ifadeler ise.

Tanım.

Rasyonel bir denklemin parçalarından en az biri kesirli bir ifade ise, böyle bir denklem denir. kesirli rasyonel(veya kesirli rasyonel).

Tam denklemlerin bir değişkene göre bölmeyi içermediği açıktır; aksine, kesirli rasyonel denklemler zorunlu olarak bir değişkene (veya paydadaki bir değişkene) bölmeyi içerir. Yani 3 x+2=0 ve (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– bunlar tam rasyonel denklemlerdir, her iki parçası da tam ifadelerdir. A ve x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 kesirli rasyonel denklem örnekleridir.

Bu noktayı bitirirken, şu ana kadar bilinen lineer denklemlerin ve ikinci dereceden denklemlerin tamamen rasyonel denklemler olduğuna dikkat edelim.

Denklemlerin tamamını çözme

Denklemlerin tamamını çözmenin temel yaklaşımlarından biri onları eşdeğer denklemlere indirgemektir. cebirsel denklemler. Bu her zaman denklemin aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirilerek yapılabilir:

• ilk olarak orijinal tamsayı denkleminin sağ tarafındaki ifade ile sol tarafa aktarılır. zıt işaret sağ tarafta sıfır almak için;
• bundan sonra denklemin sol tarafında sonuç standart görünüm.

Sonuç: cebirsel denklem orijinal tamsayı denklemine eşdeğerdir. Böylece, en basit durumlarda denklemlerin tamamının çözülmesi, doğrusal veya ikinci dereceden denklemlerin çözümüne indirgenir ve Genel dava– n dereceli bir cebirsel denklemi çözmek. Açıklık sağlamak için, örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Tüm denklemin köklerini bulun 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Çözüm.

Tüm bu denklemin çözümünü eşdeğer bir cebirsel denklemin çözümüne indirgeyelim. Bunun için öncelikle ifadeyi sağ taraftan sola aktarıyoruz ve bunun sonucunda denkleme ulaşıyoruz. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi gerekli işlemleri tamamlayarak standart formda bir polinom haline dönüştürüyoruz: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Böylece, orijinal tamsayı denkleminin çözümü ikinci dereceden x 2 −5·x−6=0 denkleminin çözümüne indirgenir.

Diskriminantını hesaplıyoruz D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49 pozitiftir, bu da denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir; bunu ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak buluruz:

Tamamen emin olmak için hadi yapalım Denklemin bulunan köklerinin kontrol edilmesi. İlk önce kök 6'yı kontrol ederiz, orijinal tamsayı denkleminde x değişkeni yerine onu kullanırız: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 63=63 aynıdır. Bu geçerli bir sayısal denklemdir, dolayısıyla x=6 aslında denklemin köküdür. Şimdi −1 kökünü kontrol edersek, elimizde 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, buradan, 0=0 . X=−1 olduğunda orijinal denklem de doğru bir sayısal eşitliğe dönüşür, dolayısıyla x=−1 aynı zamanda denklemin köküdür.

Cevap:

6 , −1 .

Burada ayrıca "tüm denklemin derecesi" teriminin, bir denklemin tamamının cebirsel bir denklem biçiminde temsil edilmesiyle ilişkili olduğuna da dikkat edilmelidir. İlgili tanımı verelim:

Tanım.

Tüm denklemin gücü eşdeğer cebirsel denklemin derecesi denir.

Bu tanıma göre önceki örnekteki denklemin tamamı ikinci dereceye sahiptir.

Bu, tek bir şey olmasa bile, tüm rasyonel denklemleri çözmenin sonu olabilirdi…. Bilindiği gibi derecesi ikinciden yüksek olan cebirsel denklemlerin çözümü önemli zorluklarla ilişkilidir ve derecesi dördüncüden yüksek olan denklemler için herhangi bir çözüm söz konusu değildir. genel formüller kökler. Bu nedenle üçüncü, dördüncü ve daha fazla denklemin tamamını çözmek için yüksek derecelerÇoğu zaman başka çözüm yöntemlerine başvurmak zorunda kalırsınız.

Bu gibi durumlarda rasyonel denklemlerin tamamının çözümüne dayalı bir yaklaşım çarpanlara ayırma yöntemi. Bu durumda aşağıdaki algoritmaya uyulur:

• Öncelikle denklemin sağ tarafında sıfır olmasını sağlarlar, bunun için denklemin tamamının sağ tarafındaki ifadeyi sola aktarırlar;
• daha sonra sol tarafta ortaya çıkan ifade, birkaç faktörün çarpımı olarak sunulur ve bu da birkaç basit denklem dizisine geçmemize olanak tanır.

Bir denklemin tamamını çarpanlara ayırma yoluyla çözmek için verilen algoritma, bir örnek kullanılarak ayrıntılı bir açıklama gerektirir.

Örnek.

Denklemin tamamını çöz (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Çözüm.

Öncelikle her zamanki gibi ifadeyi denklemin sağ tarafından sol tarafına aktarıyoruz, işareti değiştirmeyi unutmadan, şunu elde ediyoruz: (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Burada, ortaya çıkan denklemin sol tarafını standart formda bir polinom haline dönüştürmenin tavsiye edilmeyeceği oldukça açıktır, çünkü bu, formun dördüncü derecesinin cebirsel bir denklemini verecektir. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0 bunun çözümü zordur.

Öte yandan, ortaya çıkan denklemin sol tarafında x 2 −10 x+13'ü bir çarpım olarak sunabileceğimiz açıktır. Sahibiz (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ortaya çıkan denklem orijinal denklemin tamamına eşdeğerdir ve bu da iki ikinci dereceden denklem x 2 −10·x+13=0 ve x 2 −2·x−1=0 ile değiştirilebilir. Bir diskriminant aracılığıyla bilinen kök formüllerini kullanarak köklerini bulmak zor değildir; kökler eşittir. Bunlar orijinal denklemin istenen kökleridir.

Cevap:

Ayrıca rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için de faydalıdır yeni bir değişken ekleme yöntemi. Bazı durumlarda derecesi orijinal denklemin tamamının derecesinden daha düşük olan denklemlere geçmenize olanak tanır.

Örnek.

Bulmak gerçek kökler rasyonel denklem (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Çözüm.

Tüm bu rasyonel denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek, en hafif deyimle, pek iyi bir fikir değil, çünkü bu durumda rasyonel kökleri olmayan dördüncü dereceden bir denklemi çözme ihtiyacı duyacağız. Bu nedenle başka bir çözüm aramanız gerekecek.

Burada yeni bir y değişkeni tanıtabileceğinizi ve x 2 +3·x ifadesini bununla değiştirebileceğinizi görmek kolaydır. Bu değiştirme bizi tüm (y+1) 2 +10=−2·(y−4) denklemine götürür; bu, −2·(y−4) ifadesini sol tarafa taşıdıktan ve ardından ifadeyi dönüştürdükten sonra burada oluşan ikinci derece denklem y 2 +4·y+3=0'a indirgenir. Bu denklemin y=−1 ve y=−3 köklerini bulmak kolaydır, örneğin Vieta teoreminin tersi olan teoreme göre seçilebilirler.

Şimdi yeni bir değişken ekleme yönteminin ikinci kısmına, yani ters değiştirme işlemine geçiyoruz. Ters değiştirme işlemini gerçekleştirdikten sonra, x 2 +3 x=−1 ve x 2 +3 x=−3 olmak üzere iki denklem elde ederiz; bunlar x 2 +3 x+1=0 ve x 2 +3 x+3 olarak yeniden yazılabilir. =0 . İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak ilk denklemin köklerini buluruz. Ve ikinci ikinci dereceden denklemin diskriminantı negatif olduğundan gerçek kökleri yoktur (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Cevap:

Genel olarak, yüksek dereceli denklemlerin tamamıyla uğraşırken her zaman araştırmaya hazır olmalıyız. standart dışı yöntem veya bunları çözmek için yapay bir yöntem.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

İlk olarak, p(x) ve q(x)'in tamsayı rasyonel ifadeler olduğu kesirli rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini anlamak faydalı olacaktır. Daha sonra diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümünün belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne nasıl indirgeneceğini göstereceğiz.

Denklemi çözmeye yönelik bir yaklaşım şu ifadeye dayanmaktadır: v'nin sıfır olmayan bir sayı olduğu u/v sayısal kesri (aksi takdirde tanımsız olan ile karşılaşırız), ancak ve ancak payının şu şekilde olması durumunda sıfıra eşittir: sıfıra eşitse, ancak ve ancak u=0 ise olur. Bu ifade sayesinde denklemin çözümü, p(x)=0 ve q(x)≠0 olmak üzere iki koşulun yerine getirilmesine indirgenir.

Bu sonuç aşağıdakilere karşılık gelir kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma. Formun kesirli rasyonel denklemini çözmek için ihtiyacınız olan şey

• p(x)=0 rasyonel denkleminin tamamını çözün;
• ve bulunan her kök için q(x)≠0 koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin;
• eğer doğruysa bu kök orijinal denklemin köküdür;
• eğer karşılanmazsa bu kök yabancıdır, yani orijinal denklemin kökü değildir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken duyurulan algoritmayı kullanmanın bir örneğine bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel bir denklemdir ve şu şekildedir: p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Bu tür kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya göre, öncelikle 3 x−2=0 denklemini çözmemiz gerekir. Bu Doğrusal Denklem, kökü x=2/3'tür.

Geriye bu kökü kontrol etmek, yani 5 x 2 −2≠0 koşulunu karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek kalıyor. 5 x 2 −2 ifadesinde x yerine 2/3 sayısını koyarsak ve elde ederiz. Koşul karşılanmıştır, dolayısıyla x=2/3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

2/3 .

Kesirli bir rasyonel denklemin çözümüne biraz farklı bir açıdan yaklaşabilirsiniz. Bu denklem, orijinal denklemin x değişkeni üzerindeki p(x)=0 tamsayı denklemine eşdeğerdir. Yani buna bağlı kalabilirsiniz kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma :

• p(x)=0 denklemini çözün;
• x değişkeninin ODZ'sini bulun;
• kabul edilebilir değerlerin bölgesine ait kökleri alın - bunlar orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir.

Örneğin bu algoritmayı kullanarak kesirli bir rasyonel denklemi çözelim.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Öncelikle ikinci dereceden x 2 −2·x−11=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri çift ikinci katsayı için kök formülü kullanılarak hesaplanabilir, elimizdeki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ve .

İkinci olarak, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini buluyoruz. x 2 +3·x≠0 olan ve x·(x+3)≠0 ile aynı olan tüm sayılardan oluşur; dolayısıyla x≠0, x≠−3.

Geriye ilk adımda bulunan köklerin ODZ'ye dahil edilip edilmediğini kontrol etmek kalıyor. Açıkçası evet. Bu nedenle, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

ODZ'nin bulunması kolaysa bu yaklaşımın ilkinden daha karlı olduğunu ve özellikle p(x) = 0 denkleminin köklerinin irrasyonel veya rasyonel olması ancak oldukça büyük bir paya sahip olması durumunda özellikle faydalı olduğunu unutmayın. /veya payda, örneğin, 127/1101 ve −31/59. Bunun nedeni, bu tür durumlarda q(x)≠0 koşulunun kontrol edilmesinin önemli miktarda hesaplama çabası gerektirmesi ve ODZ kullanılarak yabancı köklerin hariç tutulmasının daha kolay olmasıdır.

Diğer durumlarda, denklemi çözerken, özellikle p(x) = 0 denkleminin kökleri tamsayı olduğunda, verilen algoritmalardan ilkini kullanmak daha karlı olur. Yani, p(x)=0 denkleminin tamamının köklerini hemen bulmak ve ardından ODZ'yi bulup denklemi çözmek yerine q(x)≠0 koşulunun onlar için karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmek tavsiye edilir. Bu ODZ'de p(x)=0. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Belirtilen nüansları göstermek için iki örneğin çözümünü ele alalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce tüm denklemin köklerini bulalım (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kesrin payı kullanılarak oluşturulur. Bu denklemin sol tarafı bir çarpım, sağ tarafı ise sıfırdır, dolayısıyla denklemleri çarpanlara ayırma yöntemine göre bu denklem dört denklemden oluşan bir sete eşdeğerdir 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Bu denklemlerden üçü doğrusal, biri ikinci derecedendir; bunları çözebiliriz. İlk denklemden x=1/2, ikinciden - x=6, üçüncüden - x=7, x=−2, dördüncüden - x=−1 buluyoruz.

Bulunan köklerle, orijinal denklemin sol tarafındaki kesirin paydasının kaybolup kaybolmadığını kontrol etmek oldukça kolaydır, ancak tam tersine ODZ'yi belirlemek o kadar basit değildir, çünkü bunun için çözmeniz gerekecek beşinci derecenin cebirsel denklemi. Bu nedenle, kökleri kontrol etmek adına ODZ'yi bulmayı bırakacağız. Bunu yapmak için ifadedeki x değişkeni yerine bunları birer birer değiştiriyoruz. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, değiştirmeden sonra elde edilenleri sıfırla karşılaştırın: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dolayısıyla, 1/2, 6 ve −2 orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir ve 7 ve −1 ise yabancı köklerdir.

Cevap:

1/2 , 6 , −2 .

Örnek.

Kesirli bir rasyonel denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce denklemin köklerini bulalım (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Bu denklem iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir: kare 5 x 2 −7 x−1=0 ve doğrusal x−2=0. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak iki kök buluruz ve ikinci denklemden x=2 elde ederiz.

X'in bulunan değerlerinde paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek oldukça tatsızdır. Ve orijinal denklemde x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını belirlemek oldukça basittir. Bu nedenle ODZ üzerinden hareket edeceğiz.

Bizim durumumuzda, orijinal kesirli rasyonel denklemin x değişkeninin ODZ'si, x 2 +5·x−14=0 koşulunun karşılandığı sayılar dışındaki tüm sayılardan oluşur. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri x=−7 ve x=2'dir ve bundan ODZ hakkında bir sonuç çıkarıyoruz: tüm x'lerden oluşur, öyle ki .

Geriye bulunan köklerin ve x=2'nin kabul edilebilir değerler aralığına ait olup olmadığını kontrol etmek kalır. Kökler aittir, dolayısıyla orijinal denklemin kökleridir ve x=2 ait değildir, dolayısıyla yabancı bir köktür.

Cevap:

Ayrıca, kesirli bir rasyonel denklemde payda bir sayının olduğu, yani p(x)'in bir sayı ile temsil edildiği durumlar üzerinde ayrı ayrı durmak faydalı olacaktır. burada

• eğer bu sayı sıfır değilse, o zaman denklemin kökleri yoktur, çünkü bir kesir ancak ve ancak payı sıfıra eşitse sıfıra eşittir;
• bu sayı sıfırsa denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayıdır.

Örnek.

Çözüm.

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden herhangi bir x için bu kesrin değeri sıfır olamaz. Buradan, verilen denklem kökleri yoktur.

Cevap:

kök yok.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfır içerir, dolayısıyla bu kesrin değeri, anlamlı olduğu herhangi bir x için sıfırdır. Başka bir deyişle, bu denklemin çözümü bu değişkenin ODZ'sinden herhangi bir x değeridir.

Geriye bu kabul edilebilir değer aralığını belirlemek kalıyor. x 4 +5 x 3 ≠0 olan tüm x değerlerini içerir. x 4 +5 x 3 =0 denkleminin çözümleri 0 ve −5'tir, çünkü bu denklem x 3 (x+5)=0 denklemine eşdeğerdir ve bu da iki x denkleminin birleşimine eşdeğerdir 3 =0 ve x +5=0, bu köklerin görülebildiği yerden. Bu nedenle kabul edilebilir değerlerin istenilen aralığı x=0 ve x=−5 dışında herhangi bir x'tir.

Dolayısıyla, kesirli bir rasyonel denklemin sıfır ve eksi beş dışında herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Son olarak, keyfi biçimdeki kesirli rasyonel denklemlerin çözümü hakkında konuşmanın zamanı geldi. r(x)=s(x) şeklinde yazılabilirler; burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir ve bunlardan en az biri kesirlidir. İleriye baktığımızda, çözümlerinin bize zaten tanıdık gelen formdaki denklemleri çözmeye bağlı olduğunu varsayalım.

Bir terimin denklemin bir kısmından ters işaretli diğer kısmına aktarılmasının eşdeğer bir denklem oluşturduğu bilinmektedir, dolayısıyla r(x)=s(x) denklemi r(x)−s(x) denklemine eşdeğerdir. )=0.

Ayrıca bu ifadeye eşit olan herhangi bir ifadenin mümkün olduğunu da biliyoruz. Böylece r(x)−s(x)=0 denkleminin sol tarafındaki rasyonel ifadeyi her zaman formun özdeş eşit rasyonel kesrine dönüştürebiliriz.

Dolayısıyla, orijinal kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'ten denkleme geçiyoruz ve bunun çözümü, yukarıda öğrendiğimiz gibi, p(x)=0 denkleminin çözümüne indirgeniyor.

Ancak burada, r(x)−s(x)=0 ile ve ardından p(x)=0 ile değiştirilirken, x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığının genişleyebileceği gerçeğini hesaba katmak gerekir. .

Sonuç olarak, ulaştığımız orijinal r(x)=s(x) denklemi ile p(x)=0 denklemi eşit olmayabilir ve p(x)=0 denklemini çözerek kökleri elde edebiliriz. bunlar orijinal r(x)=s(x) denkleminin yabancı kökleri olacaktır. Bir kontrol yaparak veya bunların orijinal denklemin ODZ'sine ait olup olmadığını kontrol ederek yabancı kökleri tanımlayabilir ve cevaba dahil etmeyebilirsiniz.

Bu bilgileri şöyle özetleyelim r(x)=s(x) kesirli rasyonel denklemini çözmek için algoritma. Kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'i çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

• İfadeyi sağ taraftan ters işaretle hareket ettirerek sağdaki sıfırı alın.
• Denklemin sol tarafında kesirler ve polinomlarla işlemler gerçekleştirin, böylece onu formun rasyonel bir kesirine dönüştürün.
• p(x)=0 denklemini çözün.
• Yabancı kökleri orijinal denklemde değiştirerek veya orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek tanımlayın ve ortadan kaldırın.

Daha fazla netlik sağlamak için, kesirli rasyonel denklemlerin çözüm zincirinin tamamını göstereceğiz:
.

Verilen bilgi bloğunu açıklığa kavuşturmak için çözüm sürecinin ayrıntılı bir açıklamasıyla birlikte birkaç örneğin çözümlerine bakalım.

Örnek.

Kesirli rasyonel denklemi çözün.

Çözüm.

Az önce elde edilen çözüm algoritmasına göre hareket edeceğiz. Ve önce terimleri denklemin sağ tarafından sola kaydırıyoruz, sonuç olarak denkleme geçiyoruz.

İkinci adımda, ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi kesir formuna dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indiririz ve ortaya çıkan ifadeyi basitleştiririz: . Böylece denkleme geliyoruz.

Bir sonraki adımda −2·x−1=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. x=−1/2'yi buluyoruz.

Bulunan −1/2 sayısının orijinal denklemin yabancı bir kökü olup olmadığını kontrol etmek kalır. Bunu yapmak için orijinal denklemdeki x değişkeninin VA'sını kontrol edebilir veya bulabilirsiniz. Her iki yaklaşımı da gösterelim.

Kontrol ederek başlayalım. Orijinal denklemde x değişkeni yerine −1/2 sayısını koyarsak aynı şeyi elde ederiz: −1=−1. Değiştirme doğru sayısal eşitliği verir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi algoritmanın son noktasının ODZ üzerinden nasıl gerçekleştirildiğini göstereceğiz. Orijinal denklemin izin verilen değerlerinin aralığı -1 ve 0 dışındaki tüm sayıların kümesidir (x=−1 ve x=0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Önceki adımda bulunan x=−1/2 kökü ODZ'ye aittir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

−1/2 .

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmemiz gerekiyor, hadi algoritmanın tüm adımlarını izleyelim.

İlk önce terimi sağ taraftan sola kaydırırız, şunu elde ederiz.

İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi dönüştürüyoruz: . Sonuç olarak x=0 denklemine ulaşıyoruz.

Kökü bellidir; sıfırdır.

Dördüncü adımda, bulunan kökün orijinal kesirli rasyonel denkleme yabancı olup olmadığını bulmaya devam ediyor. Orijinal denklemde yerine konulduğunda ifade elde edilir. Açıkçası sıfıra bölmeyi içerdiği için mantıklı değil. Buradan 0'ın yabancı bir kök olduğu sonucuna vardık. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri yoktur.

7, bu da Denklem'e yol açar. Buradan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sağ taraftaki paydadaki ifadeye eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. Şimdi üçlünün her iki tarafından da çıkarıyoruz: . Benzetme yoluyla, nereden ve daha ileri.

Kontrol, bulunan her iki kökün de orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olduğunu gösterir.

Cevap:

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Kesirli denklemler zor değildir ve çok ilginçtir. Kesirli denklem türlerine ve bunların nasıl çözüleceğine bakalım.

Payda x olan kesirli denklemler nasıl çözülür?

Bilinmeyenlerin payda olduğu kesirli bir denklem verilirse, çözüm ek koşullar gerektirmez ve gereksiz güçlükler olmadan çözülür. Genel form böyle bir denklem x/a + b = c'dir; burada x bilinmeyendir, a, b ve c sıradan sayılardır.

X'i bulun: x/5 + 10 = 70.

Denklemi çözmek için kesirlerden kurtulmanız gerekir. Denklemdeki her terimi 5 ile çarpın: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ve 5 sadeleştirilir, 10 ve 70 5 ile çarpılır ve şunu elde ederiz: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

X'i bulun: x/5 + x/10 = 90.

Bu örnek, ilkinin biraz daha karmaşık bir versiyonudur. Burada iki olası çözüm var.

• Seçenek 1: Denklemin tüm terimlerini daha büyük bir paydayla yani 10 ile çarparak kesirlerden kurtuluruz: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = >x=300.
• Seçenek 2: Denklemin sol tarafını ekleyin. x/5 + x/10 = 90. Ortak payda 10. 10'u 5'e bölüp x ile çarparsak 2x elde ederiz. 10'u 10'a bölüp x ile çarparsak x: 2x+x/10 = 90 elde ederiz. Dolayısıyla 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

X'lerin eşit işaretinin zıt taraflarında olduğu kesirli denklemlerle sıklıkla karşılaşırız. Bu gibi durumlarda X'li tüm kesirleri bir tarafa, sayıları da diğer tarafa taşımak gerekir.

• X'i bulun: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• 2x/5'i ters işaretle sağa doğru hareket ettirin: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• 5x/5'i azaltırsak x = 130 elde ederiz.

Paydada x olan kesirli bir denklem nasıl çözülür?

Bu tür kesirli denklemler ek koşulların yazılmasını gerektirir. Bu koşulların belirtilmesi zorunlu ve ayrılmaz bir parçasıdır. doğru karar. Bunları eklemeyerek riske girersiniz çünkü cevap (doğru olsa bile) sayılmayabilir.

X'in paydada olduğu kesirli denklemlerin genel formu şöyledir: a/x + b = c, burada x bilinmeyendir, a, b, c sıradan sayılardır. Lütfen x'in herhangi bir sayı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin x, 0'a bölünemediği için sıfıra eşit olamaz. Bu tam olarak belirtmemiz gereken ek koşuldur. Buna izin verilen değerler aralığı denir ve VA olarak kısaltılır.

x'i bulun: 15/x + 18 = 21.

Hemen x: x ≠ 0 için ODZ'yi yazıyoruz. Artık ODZ belirtildiğine göre denklemi şunu kullanarak çözüyoruz: standart şema, kesirlerden kurtulmak. Denklemin tüm terimlerini x ile çarpın. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Çoğu zaman paydanın yalnızca x'i değil aynı zamanda onunla toplama veya çıkarma gibi başka işlemleri de içerdiği denklemler vardır.

x: 15/(x-3) + 18 = 21'i bulun.

Paydanın sıfıra eşit olamayacağını zaten biliyoruz, bu da x-3 ≠ 0 anlamına gelir. -3'ü aktarıyoruz Sağ Taraf"-" işaretini "+" olarak değiştirirsek x ≠ 3 elde ederiz. ODZ gösterilir.

Denklemi çözüyoruz, her şeyi x-3 ile çarpıyoruz: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

X'leri sağa, sayıları sola hareket ettirin: 24 = 3x => x = 8.

Bu denklemi basitleştirmek için en düşük ortak payda kullanılır. Bu yöntem, belirli bir denklemi denklemin her iki tarafında bir rasyonel ifadeyle yazamadığınız (ve çapraz çarpma yöntemini kullanamadığınız) durumlarda kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesirli olması durumunda çapraz çarpımı kullanmak daha iyidir).

Kesirlerin en küçük ortak paydasını (veya en küçük ortak katını) bulun. NOZ, her paydaya eşit olarak bölünebilen en küçük sayıdır.

• Bazen NPD bariz bir sayıdır. Örneğin x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 denklemi verilirse 3, 2 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 6 olduğu açıktır.
• BOH açık değilse, en büyük paydanın katlarını yazın ve bunların arasından diğer paydaların katı olacak olanı bulun. Çoğunlukla NOD basitçe iki paydanın çarpılmasıyla bulunabilir. Örneğin denklem x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 olarak verilirse NOS = 8*9 = 72 olur.
• Bir veya daha fazla payda bir değişken içeriyorsa süreç biraz daha karmaşık hale gelir (ancak imkansız değildir). Bu durumda NOC, her paydaya bölünen bir ifadedir (bir değişken içerir). Örneğin, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) denkleminde, çünkü bu ifade her paydaya bölünür: 3x(x-1)/(x) -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Her kesrin hem payını hem de paydasını, NOC'yi her kesrin karşılık gelen paydasına bölmenin sonucuna eşit bir sayı ile çarpın. Hem payı hem de paydayı aynı sayıyla çarptığınız için kesri etkili bir şekilde 1 ile çarpmış olursunuz (örneğin, 2/2 = 1 veya 3/3 = 1).

• Örneğimizde, 2x/6 elde etmek için x/3'ü 2/2 ile çarpın ve 3/6 elde etmek için 1/2'yi 3/3 ile çarpın (3x +1/6 kesrinin çarpılmasına gerek yoktur çünkü bu kesir payda 6'dır).
• Değişken paydada olduğunda da benzer şekilde ilerleyin. İkinci örneğimizde, NOZ = 3x(x-1), dolayısıyla 5(3x)/(3x)(x-1) elde etmek için 5/(x-1)'i (3x)/(3x) ile çarpın; 1/x 3(x-1)/3(x-1) ile çarpıldığında 3(x-1)/3x(x-1) elde edilir; 2/(3x) (x-1)/(x-1) ile çarpıldığında 2(x-1)/3x(x-1) elde edilir.

x'i bulun. Artık kesirleri ortak bir paydaya indirdiğinize göre paydadan kurtulabilirsiniz. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını ortak paydayla çarpın. Daha sonra ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Bunu yapmak için değişkeni denklemin bir tarafında izole edin.

• Örneğimizde: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. 2 kesir ekleyebilirsiniz aynı payda denklemini şu şekilde yazın: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarpın ve paydalardan kurtulun: 2x+3 = 3x +1. Çözün ve x = 2 elde edin.
• İkinci örneğimizde (paydasında bir değişken varken), denklem şöyle görünür (ortak bir paydaya indirildikten sonra): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Denklemin her iki tarafını da N3 ile çarparak paydadan kurtulursunuz ve şunu elde edersiniz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) veya 15x = 3x - 3 + 2x -2 veya 15x = x - 5 Çözün ve şunu elde edin: x = -5/14.