Verilen başlangıç ​​koşullarını sağlayan özel çözümleri bulun. Diferansiyel denklemler

Başvuru

Öğrencilerin ele aldıkları konuyu pekiştirmeleri için diferansiyel denklemleri web sitesinde çevrimiçi olarak çözme. Ve pratik becerilerinizi geliştirin. Diferansiyel denklemlerçevrimiçi. Difurs çevrimiçi, çevrimiçi matematik çözme. Adım adım çözümçevrimiçi matematik problemleri. Bir diferansiyel denklemin derecesi veya derecesi, içerdiği türevlerin en yüksek mertebesidir. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Diferansiyel denklem çözme işlemine entegrasyon denir. Bilinmeyen bir fonksiyonun bulunması, elde edilen integralin bilinen fonksiyonlar cinsinden son formda ifade edilip edilmediğine bakılmaksızın, karelemeye yol açabiliyorsa, bir diferansiyel denklemin integrali alınması sorunu çözülmüş sayılır. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Tüm diferansiyel denklemler, yalnızca bir argümanın fonksiyonlarını (ve türevlerini) içeren sıradan diferansiyel denklemlere (ODE) ve girdi fonksiyonlarının birçok değişkene bağlı olduğu kısmi diferansiyel denklemlere (PDE) ayrılabilir. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Ayrıca rastgele süreçleri içeren stokastik diferansiyel denklemler (SDE'ler) de vardır. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Türevlerin, fonksiyonların ve bağımsız değişkenlerin kombinasyonlarına bağlı olarak diferansiyel denklemler doğrusal ve doğrusal olmayan, sabit veya değişken katsayılı, homojen veya homojen olmayan olarak ayrılır. Uygulamaların önemi nedeniyle ayrı sınıf yarı doğrusal (daha yüksek türevlere göre doğrusal) kısmi diferansiyel denklemler tanımlanır. Diferansiyel denklemlerin çözümleri genel ve özel çözümlere ayrılır. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Genel çözümler, belirlenmemiş sabitleri ve kısmi diferansiyel denklemler için, ek entegrasyon koşullarından (normal diferansiyel denklemler için başlangıç ​​koşulları, kısmi diferansiyel denklemler için başlangıç ​​ve sınır koşulları) iyileştirilebilen bağımsız değişkenlerin keyfi fonksiyonlarını içerir. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Belirtilen sabit ve belirsiz fonksiyonların tipi belirlendikten sonra çözümler özel hale gelir. Sıradan diferansiyel denklemlere yönelik çözüm arayışı, uygulamalarda sıklıkla karşılaşılan ve bilinen terimlerle ifade edilemeyen işlevler olan özel işlevler sınıfının oluşturulmasına yol açtı. temel işlevler. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Özellikleri detaylı olarak incelendi, değer tabloları derlendi, karşılıklı bağlantılar belirlendi vb. Numaralandırılmış sayılar kümesi incelenebilir. Verilen problemin en iyi cevabı. İlk yaklaşım olarak, Diferansiyel denklemlerde yakınsama bölgesine giden vektörün, bulunan üst limiti bulmadan nasıl bulunacağı. Artan matematiksel fonksiyonlar için seçim açıktır. Araştırma düzeyinin üzerinde ilerlemeci bir yöntem vardır. Problemin başlangıç ​​koşulunu diferansiyel denklemlerin çözümüyle uyumlu hale getirmek, benzersiz bir şekilde seçilmiş bir değer bulmanıza yardımcı olacaktır. Bilinmeyeni anında tespit edebiliyor olabilir. Bir matematik probleminin çözümünü belirlemeye ilişkin önceki örnekte olduğu gibi, doğrusal diferansiyel denklemler, belirli bir problemin belirli bir zaman dilimi içindeki cevabıdır. Araştırma prosedürünün sürdürülmesi yerel olarak belirlenmemiştir. Her öğrenci için bir örnek bulunacak ve diferansiyel denklemlerin çözümü sorumlu kişiye atanan kişi tarafından en az iki değerden belirlenecektir. Belirli bir segmentte genel değere sahip bir fonksiyon alın ve hangi eksende boşluk olacağı konusunda uyarıda bulunun. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi inceleyerek, başlangıç ​​koşulları sağlandığı takdirde sonucun ne kadar önemli olduğunu açıkça göstermek mümkündür. Görevin yerel olarak tanımı olmadığından, işlev tanımından bir alanı çıkarmak imkansızdır. Bir denklem sisteminden bulunan cevap, genel anlamda sayılabilir bir değişken içerir ancak bir diferansiyel denklemi çevrimiçi olarak çözmek, söz konusu koşulu belirleme eylemi olmadan doğal olarak mümkün olacaktır. Segment aralığının yanında, diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenin, öğrencilerin bilgilerinin kesildiği anda araştırma sonucunu nasıl olumlu yönde ilerletebileceğini görebilirsiniz. En iyisi her zaman genel kabul görmüş bir iş yaklaşımından gelmez. 2x düzeyinde, gerekli tüm doğrusal diferansiyel denklemleri doğal bir temsilde gözden geçirmek faydalıdır, ancak sayısal değeri hesaplayabilmek, bilginin gelişmesiyle sonuçlanacaktır. Matematikte her yönteme göre, homojen veya karmaşık gibi temelde farklı ifadelerle sunulan diferansiyel denklemler vardır. Harcadıktan sonra genel analiz Fonksiyonun incelenmesiyle, diferansiyelleri bir olasılıklar dizisi olarak çözmenin değerlerde açık bir hatayı temsil ettiği açıkça görülecektir. Buradaki gerçek apsis çizgilerinin üzerindeki boşlukta yatıyor. Tanımın etki alanında bir yerde karmaşık fonksiyon Tanımının bir noktasında doğrusal diferansiyel denklemler, cevabı analitik biçimde sunabilecektir. içinde Genel görünümözü olarak. Değişkeni değiştirdiğinizde hiçbir şey değişmez. Ancak cevaba özel bir ilgiyle bakmanız gerekiyor. Esasen, hesap makinesi sonuçta ilişkiyi, yani diferansiyel denklemlerin çözümünün global değerle nasıl orantılı olduğunu ve istenen çözümün sınırları dahilinde nasıl belirlendiğini değiştirir. Bazı durumlarda büyük bir hata uyarısı kaçınılmazdır. Çevrimiçi diferansiyel denklemler problemin genel bir fikrini hayata geçirir, ancak sonuçta mümkün olan en kısa sürede sağlanması gerekir. olumlu taraflar vektör ürünü. Matematikte sayılar teorisindeki kavram yanılgıları nadir değildir. Kesinlikle bir çek gerekli olacaktır. Doğal olarak, bu hakkı kendi alanlarındaki profesyonellere vermek daha iyidir ve deneyimleri muazzam ve olumlu olduğu için diferansiyel denklemi çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaklardır. Şekillerin yüzeyleri ve alanı arasındaki fark, görmenizi sağlayacak çevrimiçi diferansiyel denklemleri çözmek değil, kesişmeyen nesneler kümesi, çizginin eksene paralel olacağı şekildedir. Sonuç olarak iki kat daha fazla değer elde edebilirsiniz. Açık olmasa da, biçimsel gösterimin doğruluğuna ilişkin anlayışımız, hem görüş alanında hem de sonucun kalitesinin kasıtlı olarak fazla tahmin edilmesiyle ilişkili olarak doğrusal diferansiyel denklemleri içerir. Tüm öğrencilerin ilgisini çeken bir konu üzerine düzenlenen panel tartışması birkaç kez gözden geçirilir. Derslerin tamamı boyunca, eğer gerçekle çelişmiyorsa, dikkatimizi diferansiyel denklemlere ve ilgili bilimsel çalışma alanlarına yoğunlaştıracağız. Yolculuğun başında birçok adımdan kaçınılabilir. Diferansiyel denklemleri çözmek öğrenciler için temelde yeni bir şeyse, eskisi hiç unutulmaz, aksine yüksek bir gelişme hızıyla geleceğe doğru ilerler. Başlangıçta matematikteki problemin koşulları farklılık gösterir, ancak bu sağdaki paragrafta belirtilmiştir. Tanım gereği belirlenen süre geçtikten sonra, vektör hareketinin çeşitli düzlemlerine orantılı bağımlı bir sonuç olasılığı göz ardı edilemez. Böylesine basit bir durum, lineer diferansiyel denklemlerin hesap makinesinde genel formda anlatılmasıyla aynı şekilde düzeltilebilir, daha hızlı olur ve hesaplamaların mahsup edilmesi hatalı bir görüşe yol açmaz. Teoriye göre isimlendirilen yalnızca beş vaka, olup bitenlerin sınırlarını zorlayabilir. Diferansiyel denklem çözümümüz, fonksiyon uzayını ayrıştırmanın ilk aşamalarında sayılardaki değeri manuel olarak hesaplamanıza yardımcı olacaktır. Doğru yerlerde dört çizginin temas noktasını temsil etmek gerekir. Genel anlam. Ancak görevi değiştirmek zorunda kalırsanız karmaşıklığı eşitlemek kolay olacaktır. Başlangıç ​​verileri, bitişik ayağı tasarlamak için yeterlidir ve çevrimiçi diferansiyel denklemler sola hizalı görünür ve yüzey, vektörün rotoruna doğru tek taraflı yönlendirilir. Üst sınırın üzerinde belirlenen koşulun ötesinde sayısal değerler mümkündür. Oranın genel değerindeki üç bilinmeyeni kullanarak matematiksel formülü dikkate alıp diferansiyel denklemi çevrimiçi olarak çözmek mümkündür. Yerel hesaplama yöntemi geçerli olarak kabul edilmektedir. Koordinat sistemi düzlemin bağıl hareketinde dikdörtgendir. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi genel çözümü, açıkça belirtilen bir fonksiyonun grafiğinin üzerinde bulunan tüm düz çizgi üzerinde matris tanımlarının hesaplamalı olarak yürütülmesi lehine açık bir şekilde bir sonuç çıkarmamıza olanak tanır. Hareket vektörünü üç yarım kürenin temas noktasına uygularsanız çözüm açıkça görülebilir. Silindir, dikdörtgenin kenar etrafında döndürülmesiyle elde edilir ve doğrusal diferansiyel denklemler, hareket yasasının verilen ifadelerine göre noktanın hareket yönünü gösterebilecektir. Başlangıç ​​verileri doğrudur ve matematikteki problem tek bir veriyle değiştirilebilir. basit durum. Ancak koşullar nedeniyle, ortaya konulan alt görevin karmaşıklığı nedeniyle diferansiyel denklemler, sayısal uzayların üç boyutlu uzay düzeyinde hesaplanması sürecini basitleştirir. Aksini kanıtlamak kolaydır ancak verilen örnekte olduğu gibi bundan kaçınılabilir. İÇİNDE yüksek Matematik Aşağıdaki noktalar verilmiştir: Görev basitleştirilmiş bir forma indirgendiğinde, öğrenciler tarafından mümkün olduğu kadar fazla çaba gösterilmelidir. Birbiri üzerine bindirilmiş çizgiler dikkate alınır. Diferansiyellerin çözümü konusunda, eğri bir çizgide sözü edilen yöntemin avantajı halen devam etmektedir. İlk önce ihtiyacınız olmayan bir şeyi fark ederseniz, o zaman Matematik formülü ifade için yeni bir değer yaratacaktır. Amaç, profesör tarafından belirlenen görevleri çözmek için en uygun yaklaşımdır. Basitleştirilmiş formdaki doğrusal diferansiyel denklemlerin beklenen sonucu aşacağını varsaymamalısınız. Sonlu bileşimli bir yüzeye üç vektör yerleştiriyoruz. birbirine dik. Ürünü hesaplayalım. Ekleme yapalım Daha sembolleri kullanın ve elde edilen ifadeden fonksiyonun tüm değişkenlerini yazın. Bir orantı var. Hesaplamanın bitiminden önceki birkaç eylem, diferansiyel denklemlerin çözümüne hemen kesin bir cevap vermeyecek, ancak yalnızca y ekseni boyunca ayrılan süre geçtikten sonra verecektir. Fonksiyondan dolaylı olarak belirtilen süreksizlik noktasının soluna, en iyi artan vektöre dik bir eksen çizeriz ve çevrimiçi diferansiyel denklemleri matematiksel nesnenin alt yüzünün en küçük sınır değeri boyunca yerleştiririz. Ekstra argümanı fonksiyon kesme alanına ekleriz. Eğri çizginin bulunduğu noktaların sağında ortak paydaya indirgemek için yazdığımız formüller diferansiyel denklemi online çözmenize yardımcı olacaktır. Çözülemeyen sorunlara teoriden pratiğe ışık tutacak tek doğru yaklaşımı genel durumda net bir şekilde ele alacağız. Koordinat yönündeki çizgiler verilen puanlar Karenin en uç noktasını hiçbir zaman kapatmadık, ancak diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmek öğrencilere, bize ve bu alanda yeni başlayanlara matematik çalışma konusunda yardımcı olacaktır. Hakkında bir alanın tüm önemli satırlarına bir değer argümanı yerleştirme olasılığı hakkında. Prensip olarak, bekleneceği gibi, doğrusal diferansiyel denklemlerimiz, verilen anlamın tek bir kavramına izole edilmiş bir şeydir. Öğrencilere yardımcı olmak için benzer hizmetler arasında en iyi hesaplayıcılardan biri. Tüm kursları alın ve kendiniz için en iyisini seçin.

=

6.1. TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR

Matematik ve fizik, biyoloji ve tıptaki çeşitli problemleri çözerken, incelenen süreci tanımlayan değişkenleri birbirine bağlayan bir formül biçiminde işlevsel bir ilişkiyi hemen kurmak çoğu zaman mümkün değildir. Genellikle bağımsız değişkene ve bilinmeyen fonksiyona ek olarak türevlerini de içeren denklemleri kullanmanız gerekir.

Tanım. Bağımsız bir değişkeni, bilinmeyen bir fonksiyonu ve onun çeşitli mertebelerdeki türevlerini birleştiren denklem denir diferansiyel.

Bilinmeyen bir fonksiyon genellikle belirtilir y(x) ya da sadece sen, ve türevleri - sen", sen" vesaire.

Başka tanımlamalar da mümkündür, örneğin: sen= x(t) ise x"(t), x""(t)- türevleri ve T- bağımsız değişken.

Tanım. Bir fonksiyon bir değişkene bağlıysa, o zaman diferansiyel denklem denir. Genel form sıradan diferansiyel denklem:

veya

Fonksiyonlar F Ve F bazı argümanlar içermeyebilir, ancak denklemlerin diferansiyel olması için bir türevin varlığı şarttır.

Tanım.Diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin mertebesine denir.

Örneğin, x 2 y"- sen= 0, y" + sin X= 0 birinci dereceden denklemlerdir ve sen"+ 2 sen"+ 5 sen= X- ikinci dereceden denklem.

Diferansiyel denklemleri çözerken, keyfi bir sabitin ortaya çıkmasıyla ilişkili olan entegrasyon işlemi kullanılır. Entegrasyon eylemi uygulanırsa N kez, o zaman, açıkçası, çözüm şunları içerecektir: N keyfi sabitler.

6.2. BİRİNCİ DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Genel form birinci dereceden diferansiyel denklem ifadeyle belirlenir

Denklem açıkça içermeyebilir X Ve sen, ama mutlaka y'yi içerir".

Denklem şu şekilde yazılabilirse

daha sonra türevine göre çözülmüş birinci dereceden bir diferansiyel denklem elde ederiz.

Tanım. Birinci dereceden diferansiyel denklemin (6.3) (veya (6.4)) genel çözümü, çözüm kümesidir , Nerede İLE- keyfi sabit.

Bir diferansiyel denklemin çözüm grafiğine denir integral eğrisi.

Keyfi bir sabit vermek İLE farklı değerlerde kısmi çözümler elde edilebilir. Yüzeyde xOyortak karar her özel çözüme karşılık gelen bir integral eğri ailesini temsil eder.

Bir nokta belirlerseniz bir (x 0, y 0), o zaman kural olarak bir dizi fonksiyondan integral eğrisinin geçmesi gereken yer Biri özel bir çözüm olarak seçilebilir.

Tanım.Özel karar Bir diferansiyel denklemin keyfi sabitler içermeyen çözümüdür.

Eğer genel bir çözümdür, o halde durumdan

bir sabit bulabilirsin İLE. Koşul denir başlangıç ​​koşulu.

Başlangıç ​​koşulunu sağlayan diferansiyel denklem (6.3) veya (6.4)'e özel bir çözüm bulma problemi en isminde Cauchy sorunu. Bu sorunun her zaman bir çözümü var mı? Cevap aşağıdaki teoremde bulunmaktadır.

Cauchy teoremi(bir çözümün varlığı ve tekliği teoremi). Diferansiyel denklemi açıklayalım sen"= f(x,y) işlev f(x,y) ve onun

kısmi türev bazılarında tanımlanmış ve sürekli

bölge D, bir nokta içeren Daha sonra bölgede D var

Denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan tek çözümü en

Cauchy teoremi, belirli koşullar altında benzersiz bir integral eğrisinin olduğunu belirtir. sen= f(x), bir noktadan geçmek Teoremin koşullarının sağlanmadığı noktalar

Cauchies denir özel. Bu noktalarda kırılıyor F(x, y) veya.

Ya birkaç integral eğri ya da hiçbiri tek bir noktadan geçmiyor.

Tanım.Çözüm (6.3), (6.4) formunda bulunursa F(x, y, C)= 0, y'ye göre izin verilmiyor, o zaman denir genel integral diferansiyel denklem.

Cauchy teoremi yalnızca bir çözümün var olduğunu garanti eder. Çözüm bulmanın tek bir yöntemi olmadığından, yalnızca bazı türdeki birinci dereceden diferansiyel denklemleri dikkate alacağız. karelemeler

Tanım. Diferansiyel denklem denir karesel olarak integrallenebilir, eğer çözümünü bulmak fonksiyonları entegre etmekten geçiyorsa.

6.2.1. Ayrılabilir değişkenli birinci dereceden diferansiyel denklemler

Tanım. Birinci dereceden diferansiyel denkleme denklem denir ayrılabilir değişkenler

Denklemin (6.5) sağ tarafı, her biri yalnızca bir değişkene bağlı olan iki fonksiyonun çarpımıdır.

Örneğin, denklem ayıran bir denklemdir

değişkenlerle
ve denklem

(6.5) formunda temsil edilemez.

Hesaba katıldığında (6.5)’i formda yeniden yazıyoruz

Bu denklemden, diferansiyellerin yalnızca karşılık gelen değişkene bağlı fonksiyonlar olduğu, ayrılmış değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem elde ederiz:

Terimi terime entegre ederek, elimizdeki

burada C = C 2 - C 1 - keyfi sabit. İfade (6.6), denklem (6.5)'in genel integralidir.

Denklemin (6.5) her iki tarafını da bölerek, aşağıdaki çözümleri kaybedebiliriz: Gerçekten eğer en

O açıkça denklemin (6.5) bir çözümüdür.

Örnek 1. Denklemi tatmin eden bir çözüm bulun

durum: sen= 6 X= 2 (y(2) = 6).

Çözüm. Değiştireceğiz sen" Daha sonra . Her iki tarafı da çarpın

dx,çünkü daha sonraki entegrasyon sırasında ayrılmak imkansızdır dx paydada:

ve sonra her iki parçayı da bölerek denklemi elde ederiz,

hangisi entegre edilebilir? İntegral alalım:

Daha sonra ; potansiyelleştirirsek y = C elde ederiz. (x + 1) - ob-

genel çözüm.

İlk verileri kullanarak keyfi bir sabit belirleriz ve bunları genel çözüme koyarız.

Sonunda elde ettik sen= 2(x + 1) özel bir çözümdür. Ayrılabilir değişkenlere sahip denklemlerin çözümüne ilişkin birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2. Denklemin çözümünü bulun

Çözüm. Hesaba katıldığında , alıyoruz .

Denklemin her iki tarafının integralini alırsak,

Neresi

Örnek 3. Denklemin çözümünü bulun Çözüm. Denklemin her iki tarafını da diferansiyel işareti altındaki değişkenle örtüşmeyen bir değişkene bağlı olan faktörlere böleriz, yani. ve entegre edin. Sonra alırız

ve sonunda

Örnek 4. Denklemin çözümünü bulun

Çözüm. Ne elde edeceğimizi bilmek. Bölüm

lim değişkenleri. Daha sonra

Entegre edersek şunu elde ederiz

Yorum.Örnek 1 ve 2'de gerekli fonksiyon: sen açıkça ifade edilmiştir (genel çözüm). Örnek 3 ve 4'te - örtülü olarak (genel integral). Gelecekte kararın şekli belirtilmeyecektir.

Örnek 5. Denklemin çözümünü bulun Çözüm.

Örnek 6. Denklemin çözümünü bulun , doyurucu

durum y(e)= 1.

Çözüm. Denklemi formda yazalım.

Denklemin her iki tarafının çarpılması dx ve sonra şunu elde ederiz

Denklemin her iki tarafını da entegre ederek (sağ taraftaki integral kısım kısım alınır), şunu elde ederiz:

Ama duruma göre sen= 1'de X= e. Daha sonra

Bulunan değerleri yerine koyalım İLE genel çözüme göre:

Ortaya çıkan ifadeye diferansiyel denklemin kısmi çözümü denir.

6.2.2. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler

Tanım. Birinci dereceden diferansiyel denklem denir homojen, eğer formda temsil edilebiliyorsa

Çözüm algoritmasını sunalım homojen denklem.

1.Bunun yerine sen yeni bir fonksiyon tanıtalımO halde ve bu nedenle

2.İşlev açısından sen denklem (6.7) şu formu alır

yani değiştirme, homojen bir denklemi ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirger.

3. Denklem (6.8)'i çözerek, önce u'yu sonra da sen=ux.

Örnek 1. Denklemi çözün Çözüm. Denklemi formda yazalım.

Değiştirmeyi yapıyoruz:
Daha sonra

Değiştireceğiz

dx ile çarpın: Bölünür X ve üzerinde Daha sonra

Denklemin her iki tarafını karşılık gelen değişkenler üzerinden entegre ettikten sonra,

veya eski değişkenlere dönersek sonunda şunu elde ederiz:

Örnek 2.Denklemi çözün Çözüm.İzin vermek Daha sonra

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: x2: Parantezleri açıp terimleri yeniden düzenleyelim:

Eski değişkenlere geçerek nihai sonuca ulaşıyoruz:

Örnek 3.Denklemin çözümünü bulun verilen

Çözüm.Standart değiştirme gerçekleştirme aldık

veya

veya

Bu, özel çözümün şu forma sahip olduğu anlamına gelir: Örnek 4. Denklemin çözümünü bulun

Çözüm.

Örnek 5.Denklemin çözümünü bulun Çözüm.

Bağımsız iş

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulun (1-9).

Homojen diferansiyel denklemlere bir çözüm bulun (9-18).

6.2.3. Birinci dereceden diferansiyel denklemlerin bazı uygulamaları

Radyoaktif bozunma sorunu

Ra'nın (radyum) zamanın her anında bozunma hızı, mevcut kütlesiyle orantılıdır. Yasayı bulun radyoaktif bozunma Ra, ilk anda Ra'nın var olduğu ve Ra'nın yarı ömrünün 1590 yıl olduğu biliniyorsa.

Çözüm.Şimdilik Ra kütlesi şöyle olsun: X= x(t) g ve Daha sonra bozunma oranı Ra eşittir

Sorunun koşullarına göre

Nerede k

Son denklemdeki değişkenleri ayırıp entegre edersek, şunu elde ederiz:

Neresi

Belirlemek için C başlangıç ​​koşulunu kullanıyoruz: ne zaman .

Daha sonra ve bu nedenle,

Orantılılık faktörü k ek koşuldan belirlenir:

Sahibiz

Buradan ve gerekli formül

Bakteriyel üreme oranı problemi

Bakterilerin üreme hızı sayılarıyla orantılıdır. Başlangıçta 100 bakteri vardı. 3 saat içinde sayıları ikiye katlandı. Bakteri sayısının zamana bağımlılığını bulun. Bakteri sayısı 9 saat içinde kaç kat artacak?

Çözüm.İzin vermek X- bir seferde bakteri sayısı T. Daha sonra duruma göre;

Nerede k- orantılılık katsayısı.

Buradan Durumdan biliniyor ki . Araç,

Ek koşuldan . Daha sonra

Aradığınız fonksiyon:

Öyleyse ne zaman T= 9 X= 800, yani 9 saat içinde bakteri sayısı 8 kat arttı.

Enzim miktarını arttırma sorunu

Bira mayası kültüründe aktif enzimin büyüme hızı, başlangıçtaki miktarıyla orantılıdır. X. Başlangıçtaki enzim miktarı A bir saat içinde ikiye katlandı. Bağımlılığı bulun

x(t).

Çözüm. Koşula göre, sürecin diferansiyel denklemi şu şekildedir:

buradan

Ancak . Araç, C= A ve daha sonra

Şu da biliniyor ki

Buradan,

6.3. İKİNCİ DERECE DİFERANSİYEL DENKLEMLER

6.3.1. Temel konseptler

Tanım.İkinci dereceden diferansiyel denklem bağımsız değişkeni, istenen fonksiyonu ve onun birinci ve ikinci türevlerini birbirine bağlayan ilişkiye denir.

Özel durumlarda denklemde x eksik olabilir, en veya y". Bununla birlikte, ikinci dereceden bir denklem mutlaka y'yi içermelidir." Genel durumda, ikinci dereceden diferansiyel denklem şu şekilde yazılır:

veya mümkünse ikinci türeve göre çözülmüş formda:

Birinci dereceden bir denklemde olduğu gibi, ikinci dereceden bir denklemin de genel ve özel çözümleri olabilir. Genel çözüm şudur:

Özel Bir Çözüm Bulmak

başlangıç ​​koşulları altında - verilen

sayılar) denir Cauchy sorunu. Geometrik olarak bu, integral eğrisini bulmamız gerektiği anlamına gelir. en= y(x), Belirli bir noktadan geçerken ve bu noktada bir teğete sahip olan

pozitif eksen yönü ile hizalanır Öküz belirtilen açı. e. (Şekil 6.1). Cauchy probleminin benzersiz bir çözümü varsa sağ kısım denklemler (6.10), aralıksız

süreksizdir ve göre sürekli kısmi türevleri vardır ah, ah" başlangıç ​​noktasının bazı mahallelerinde

Sabitleri bulmak için özel bir çözüme dahil edildiğinde sistemin çözülmesi gerekir

Pirinç. 6.1.İntegral eğri

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemi ele alalım; denklem

ve çözümlerinin bazı özelliklerini belirleyin.

Özellik 1
Doğrusal homojen bir denklemin çözümü ise, o zaman C, Nerede C- keyfi bir sabit, aynı denklemin bir çözümüdür.
Kanıt.
Söz konusu denklemin sol tarafında yerine koyma C, şunu elde ederiz: ,
ama çünkü orijinal denklemin bir çözümüdür.
Buradan,

ve bu özelliğin geçerliliği kanıtlanmıştır.

Özellik 2
Doğrusal homojen bir denklemin iki çözümünün toplamı aynı denklemin çözümüdür.
Kanıt.
Söz konusu denklemin çözümleri ve çözümleri olsun, o zaman
Ve .
Şimdi söz konusu denklemde + yerine koyarsak:
yani + orijinal denklemin çözümüdür.
Kanıtlanmış özelliklerden, ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin iki özel çözümünü bilerek çözümü elde edebileceğimiz sonucu çıkar. , iki keyfi sabite bağlı olarak, yani. Sabitlerin sayısından ikinci dereceden denklemin genel bir çözüm içermesi gerektiği sonucuna varılır. Ancak bu karar genel mi olacak? Rastgele verilen başlangıç ​​koşullarını keyfi sabitler seçerek karşılamak mümkün müdür?
Bu soruyu cevaplarken aşağıdaki gibi tanımlanabilecek fonksiyonların doğrusal bağımsızlığı kavramını kullanacağız.

İki fonksiyon denir Doğrusal bağımsız belirli bir aralıkta, eğer bu aralıktaki oranları sabit değilse; Eğer
.
Aksi takdirde işlevler çağrılır doğrusal bağımlı.
Başka bir deyişle, iki fonksiyonun belirli bir aralığa veya aralığın tamamına doğrusal olarak bağımlı olduğu söylenir.

Örnekler

1. İşlevler ve 1 = e X ve sen 2 = e - X x'in tüm değerleri için doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü
.
2. İşlevler ve 1 = e X ve sen 2 = 5 e X doğrusal bağımlı, çünkü
.

Teorem 1.

Eğer ve fonksiyonları belli bir aralığa doğrusal olarak bağımlı ise determinant denir. Vronsky'nin determinantı verilen fonksiyonlar bu aralıkta aynı şekilde sıfıra eşittir.

Kanıt.

Eğer
,
nerede , o zaman ve .
Buradan,
.
Teorem kanıtlandı.

Yorum.
Ele alınan teoremde görünen Wronski determinantı genellikle harfle gösterilir. K veya semboller.
Eğer fonksiyonlar ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin çözümleri ise, o zaman aşağıdaki ters ve üstelik daha güçlü teorem onlar için geçerlidir.

Teorem 2.

Çözümler ve ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklem için derlenen Wronski determinantı en az bir noktada sıfırsa, bu çözümler doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

Wronski determinantının bu noktada sıfır olmasına izin verin, yani. =0,
ve izin ver ve .
Doğrusal homojen bir sistem düşünün

nispeten bilinmiyor ve .
Bu sistemin determinantı Wronski determinantının değeriyle örtüşmektedir.
x= yani ile çakışır ve bu nedenle sıfıra eşittir. Bu nedenle sistemin sıfırdan farklı bir çözümü vardır ve ( ve sıfıra eşit değildir). Bu değerleri kullanarak ve fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyon ve fonksiyonlarıyla aynı denklemin çözümüdür. Ayrıca bu fonksiyon sıfır başlangıç ​​koşullarını da karşılar: , çünkü Ve .
Öte yandan, sıfır başlangıç ​​koşullarını sağlayan denklemin çözümünün fonksiyon olduğu açıktır. sen=0.
Çözümün benzersizliği nedeniyle elimizde: . Buradan şu sonuç çıkıyor
,
onlar. fonksiyonlardır ve doğrusal olarak bağımlıdır. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar.

1. Teoremlerde yer alan Wronski determinantı herhangi bir değer için sıfıra eşitse x=, o zaman herhangi bir değer için sıfıra eşittir Xdikkate alınan aralıktan.

2. Eğer çözümler doğrusal olarak bağımsızsa, Wronski determinantı incelenen aralığın hiçbir noktasında kaybolmaz.

3. Wronski determinantı en az bir noktada sıfırdan farklıysa çözümler doğrusal olarak bağımsızdır.

Teorem 3.

Eğer ve, homojen bir ikinci dereceden denklemin doğrusal olarak bağımsız iki çözümüyse, o zaman ve'nin keyfi sabitler olduğu fonksiyon, bu denklemin genel bir çözümüdür.

Kanıt.

Bilindiği gibi fonksiyon, ve'nin herhangi bir değeri için söz konusu denklemin bir çözümüdür. Şimdi başlangıç ​​koşulları ne olursa olsun bunu kanıtlayalım.
Ve ,
keyfi sabitlerin değerlerini seçmek mümkündür ve böylece karşılık gelen özel çözüm, verilen başlangıç ​​​​koşullarını karşılar.
Başlangıç ​​koşullarını eşitliklerin yerine koyarak bir denklem sistemi elde ederiz
.
Bu sistemden ve belirlemek mümkündür, çünkü bu sistemin belirleyicisi

için bir Wronski determinantı var x= ve bu nedenle sıfıra eşit değildir (çözümlerin doğrusal bağımsızlığından dolayı ve ).

; .

Elde edilen değerlere sahip ve verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan özel bir çözüm. Böylece teorem kanıtlanmıştır.

Örnekler

Örnek 1.

Denklemin genel çözümü çözümdür.
Gerçekten mi,
.

Bu nedenle sinx ve cosx fonksiyonları doğrusal olarak bağımsızdır. Bu, şu işlevlerin ilişkisi dikkate alınarak doğrulanabilir:

Örnek 2.

Çözüm y = C 1 e X +C 2 e - X denklem geneldir çünkü .

Örnek 3.

Denklem , katsayıları ve
x = 0 noktasını içermeyen herhangi bir aralıkta süreklidir, kısmi çözümleri kabul eder

(değiştirerek kontrol etmek kolaydır). Bu nedenle genel çözümü şu şekildedir:
.

Yorum

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin genel çözümünün, bu denklemin doğrusal olarak bağımsız herhangi iki kısmi çözümünün bilinmesiyle elde edilebileceğini tespit ettik. Ancak değişken katsayılı denklemler için bu tür kısmi çözümleri son formda bulmanın genel bir yöntemi yoktur. Sabit katsayılı denklemler için böyle bir yöntem mevcuttur ve daha sonra tartışılacaktır.

Günümüzde herhangi bir uzmanın en önemli becerilerinden biri diferansiyel denklemleri çözme yeteneğidir. Diferansiyel denklemlerin çözülmesi - herhangi bir fiziksel parametrenin hesaplanması veya kabul edilen bir kararın sonucu olarak değişikliklerin modellenmesi olsun, uygulanan tek bir görev bu olmadan yapamaz. makroekonomik politika. Bu denklemler aynı zamanda kimya, biyoloji, tıp vb. gibi diğer bazı bilim dalları için de önemlidir. Aşağıda diferansiyel denklemlerin ekonomide kullanımına bir örnek vereceğiz, ancak ondan önce ana denklem türlerinden kısaca bahsedeceğiz.

Diferansiyel denklemler - en basit türler

Bilgeler, evrenimizin yasalarının matematik dilinde yazıldığını söyledi. Elbette cebirde farklı denklemlerin birçok örneği vardır, ancak bunlar çoğunlukla eğitici örnekler, pratikte geçerli değildir. Gerçekten ilginç olan matematik, evrende meydana gelen süreçleri tanımlamak istediğimizde başlar. gerçek hayat. Peki gerçek süreçleri (enflasyon, çıktı veya demografik göstergeler) yöneten zaman faktörünü nasıl yansıtabiliriz?

Bir fonksiyonun türeviyle ilgili bir matematik dersinden önemli bir tanımı hatırlayalım. Türev, bir fonksiyonun değişim hızıdır, dolayısıyla zaman faktörünü denklemde yansıtmamıza yardımcı olabilir.

Yani ilgilendiğimiz göstergeyi tanımlayan bir fonksiyonla bir denklem oluşturup bu fonksiyonun türevini denkleme ekliyoruz. Bu bir diferansiyel denklemdir. Şimdi en basitlerine geçelim kuklalar için diferansiyel denklem türleri.

En basit diferansiyel denklem $y'(x)=f(x)$ biçimindedir; burada $f(x)$ belirli bir fonksiyondur ve $y'(x)$ istenen fonksiyonun türevi veya değişim oranıdır. işlev. Sıradan entegrasyonla çözülebilir: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Saniye en basit tür ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklem denir. Böyle bir denklem şuna benzer: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Bağımlı değişken $y$'ın da oluşturulan fonksiyonun bir parçası olduğu görülebilir. Denklem çok basit bir şekilde çözülebilir - "değişkenleri ayırmanız", yani onu $y'(x)/g(y)=f(x)$ veya $dy/g(y) biçimine getirmeniz gerekir. =f(x)dx$. Her iki tarafı da entegre etmeye devam ediyor $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - bu, ayrılabilir türdeki diferansiyel denklemin çözümüdür.

Son basit tür birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemdir. $y’+p(x)y=q(x)$ biçimindedir. Burada $p(x)$ ve $q(x)$ bazı işlevlerdir ve $y=y(x)$ gerekli işlevdir. Böyle bir denklemi çözmek için özel yöntemler kullanılır (Lagrange'ın keyfi bir sabitin değişimi yöntemi, Bernoulli'nin ikame yöntemi).

Daha karmaşık denklem türleri vardır - ikinci, üçüncü ve genel olarak keyfi dereceden denklemler, homojen ve homojen olmayan denklemler ve diferansiyel denklem sistemleri. Bunları çözmek, daha basit problemleri çözme konusunda ön hazırlık ve deneyim gerektirir.

Kısmi diferansiyel denklemler olarak adlandırılan denklemler fizik ve beklenmedik bir şekilde finans için büyük önem taşıyor. Bu, istenilen fonksiyonun aynı anda birden fazla değişkene bağlı olduğu anlamına gelir. Örneğin, finans mühendisliği alanındaki Black-Scholes denklemi bir seçeneğin değerini tanımlar (tip menkul kıymetler) karlılığına, ödemelerin büyüklüğüne ve ödemelerin başlangıç ​​ve bitiş tarihlerine bağlı olarak. Kısmi diferansiyel denklemi çözmek oldukça karmaşıktır; genellikle şunu kullanmanız gerekir: özel programlar Matlab veya Maple gibi.

Diferansiyel denklemin ekonomide uygulanmasına bir örnek

Söz verdiğimiz gibi diferansiyel denklem çözmenin basit bir örneğini verelim. Öncelikle görevi belirleyelim.

Bazı şirketler için, ürünlerinin satışından elde edilen marjinal gelirin fonksiyonu $MR=10-0.2q$ şeklindedir. Burada $MR$ firmanın marjinal geliridir ve $q$ üretim hacmidir. Toplam geliri bulmamız gerekiyor.

Problemden de görebileceğiniz gibi, bu mikroekonomiden uygulamalı bir örnektir. Birçok firma ve işletme, faaliyetleri sırasında sürekli olarak bu tür hesaplamalarla karşı karşıya kalmaktadır.

Çözümle başlayalım. Mikroekonomiden bilindiği gibi, marjinal gelir toplam gelirin bir türevidir ve gelir sıfıra eşittir. sıfır seviye satış

Matematiksel açıdan bakıldığında problem, $R’=10-0.2q$ diferansiyel denkleminin $R(0)=0$ koşulu altında çözülmesine indirgenmişti.

Denklemin integralini alarak alalım antiderivatif fonksiyon her iki parçadan da genel çözümü elde ederiz: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

$C$ sabitini bulmak için $R(0)=0$ koşulunu hatırlayın. Bunu yerine koyalım: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Yani C=0 ve toplam gelir fonksiyonumuz $R(q)=10q-0.1q^2$ formunu alır. Problem çözüldü.

Diğer örnekler farklı şekiller Uzaktan kumandalar sayfada toplanmıştır:

Çoğu zaman sadece bir söz diferansiyel denklemleröğrencilerin kendilerini rahatsız hissetmelerine neden olur. Bu neden oluyor? Çoğu zaman, malzemenin temellerini incelerken, bilgide bir boşluk ortaya çıktığı için, difurlarla ilgili daha fazla çalışmanın basitçe işkenceye dönüşmesi nedeniyle. Ne yapacağınız, nasıl karar vereceğiniz, nereden başlayacağınız belli değil mi?

Ancak difurların sanıldığı kadar zor olmadığını size göstermeye çalışacağız.

Diferansiyel denklem teorisinin temel kavramları

Bilinmeyen x'i bulmamız gereken en basit denklemleri okuldan biliyoruz. Aslında diferansiyel denklemler onlardan sadece biraz farklı - bir değişken yerine X içlerinde bir işlev bulmalısın y(x) bu da denklemi bir kimliğe dönüştürecektir.

D diferansiyel denklemler büyük pratik öneme sahiptir. Bu, etrafımızdaki dünyayla hiçbir ilişkisi olmayan soyut bir matematik değildir. Diferansiyel denklemler birçok gerçek durumu tanımlamak için kullanılır. doğal süreçler. Örneğin bir ipin titreşimleri, harmonik bir osilatörün hareketi, mekanik problemlerinde diferansiyel denklemler kullanılarak bir cismin hızı ve ivmesi bulunur. Ayrıca DU bulmak geniş uygulama biyoloji, kimya, ekonomi ve diğer birçok bilimde.

Diferansiyel denklem (DU), y(x) fonksiyonunun türevlerini, fonksiyonun kendisini, bağımsız değişkenleri ve diğer parametreleri çeşitli kombinasyonlarda içeren bir denklemdir.

Diferansiyel denklemlerin pek çok türü vardır: sıradan diferansiyel denklemler, doğrusal ve doğrusal olmayan, homojen ve homojen olmayan, birinci ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, kısmi diferansiyel denklemler vb.

Bir diferansiyel denklemin çözümü, onu özdeşliğe dönüştüren bir fonksiyondur. Uzaktan kumandanın genel ve özel çözümleri bulunmaktadır.

Bir diferansiyel denklemin genel çözümü, denklemi bir kimliğe dönüştüren genel bir çözüm kümesidir. Bir diferansiyel denklemin kısmi çözümü, başlangıçta belirtilen ek koşulları sağlayan bir çözümdür.

Bir diferansiyel denklemin sırası, türevlerinin en yüksek mertebesine göre belirlenir.

Adi diferansiyel denklemler

Adi diferansiyel denklemler bir bağımsız değişken içeren denklemlerdir.

Birinci dereceden en basit adi diferansiyel denklemi ele alalım. Şuna benziyor:

Böyle bir denklem, sağ tarafının basit bir şekilde integrali alınarak çözülebilir.

Bu tür denklemlere örnekler:

Ayrılabilir denklemler

Genel olarak, bu tür bir denklem şuna benzer:

İşte bir örnek:

Böyle bir denklemi çözerken değişkenleri ayırıp forma getirmeniz gerekir:

Bundan sonra geriye her iki parçanın entegre edilmesi ve bir çözüm elde edilmesi kalıyor.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Bu tür denklemler şöyle görünür:

Burada p(x) ve q(x) bağımsız değişkenin bazı fonksiyonlarıdır ve y=y(x) istenen fonksiyondur. İşte böyle bir denklemin bir örneği:

Böyle bir denklemi çözerken, çoğunlukla keyfi bir sabiti değiştirme yöntemini kullanırlar veya istenen fonksiyonu diğer iki fonksiyonun y(x)=u(x)v(x) çarpımı olarak temsil ederler.

Bu tür denklemleri çözmek için belirli bir hazırlık yapılması gerekir ve bunları "bir bakışta" anlamak oldukça zor olacaktır.

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklem çözme örneği

Bu yüzden en basit uzaktan kumanda türlerine baktık. Şimdi bunlardan birinin çözümüne bakalım. Bu ayrılabilir değişkenli bir denklem olsun.

Öncelikle türevi daha tanıdık bir biçimde yeniden yazalım:

Daha sonra değişkenleri böleriz, yani denklemin bir bölümünde tüm "I'leri", diğerinde ise "X'leri" toplarız:

Şimdi her iki parçayı da entegre etmeye devam ediyor:

Bu denklemi entegre edip genel bir çözüm elde ediyoruz:

Elbette diferansiyel denklemleri çözmek bir tür sanattır. Bunun ne tür bir denklem olduğunu anlayabilmeniz ve ayrıca, sadece farklılaştırma ve bütünleştirme yeteneğinden bahsetmek yerine, bir forma veya diğerine yol açmak için onunla hangi dönüşümlerin yapılması gerektiğini görmeyi öğrenmeniz gerekir. DE'yi çözmede başarılı olmak için (her şeyde olduğu gibi) pratik yapmanız gerekir. Ve eğer varsa şu an diferansiyel denklemlerin nasıl çözüldüğünü anlamaya vaktiniz yok ya da Cauchy problemi boğazınıza kemik gibi sıkıştı ya da bilmiyorsanız yazarlarımızla iletişime geçin. Kısa sürede size hazır ve detaylı çözüm, ayrıntılarını sizin için uygun olan herhangi bir zamanda anlayabileceğiniz. Bu arada “Diferansiyel denklemler nasıl çözülür” konulu videoyu izlemenizi öneririz: