Trigonometrik Fourier serisine genişletilebilir. Kosinüslerde Fourier serisi açılımı

Periyodu 2p olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüslü terimleri içerir (yani sinüslü terimleri içermez) ve sabit bir terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2p olan tek bir periyodik fonksiyon f(x)'in Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Eğer bir fonksiyon sadece 0'dan 2p'ye değil de 0'dan p'ye kadar bir aralık için tanımlanmışsa, sadece sinüs veya sadece kosinüs cinsinden bir seriye genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine yarım çevrim Fourier serisi adı verilir.

F(x) fonksiyonunun kosinüslerinin 0 ila p aralığında yarım döngülü Fourier açılımını elde etmek istiyorsanız, o zaman çift periyodik bir fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x = 0 ila x = p aralığına dayanan f(x) = x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Eğer dikkate alınan aralığın dışında elde edilen sonucu varsayarsak üçgen şekli 2p periyoduyla periyodiktir, o zaman son grafik şöyle görünür, göster. incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Fourier açılımını yarım döngüde f(x) fonksiyonunun sinüsleri cinsinden 0 ila p aralığında elde etmek istiyorsanız, o zaman tek bir periyodik fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=p aralığına dayanan f(x) =x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz.

Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2p periyotlu periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ile akustik dalgalar tipiktir pratik örnekler Periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarına uygulanması.

Fourier serisi açılımı, hepsinin sahip olduğu varsayımına dayanmaktadır. pratik önemi-π ≤x≤ π aralığındaki fonksiyonlar, yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebilir (bir seri, terimlerinin oluşturduğu kısmi toplamlar dizisi yakınsaksa, yakınsak kabul edilir):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına Fourier katsayıları denir ve bulunabilirlerse seri (1) denir. Fourier'nin yanında f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik denir,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

(1) serisi için, (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik (a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x) adı verilir. +α 2) ikinci harmonik olarak adlandırılır ve bu şekilde devam eder.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

Bir y=f(x) fonksiyonunun, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) olsa bile olduğunu söylüyorlar. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyona iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

Bir y=f(x) fonksiyonunun, eğer f(-x)=-f(x) ise, x'in tüm değerleri için tek olduğu söylenir. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine yarım çevrim Fourier serisi adı verilir.

f(x) fonksiyonunun kosinüslerinin 0 ila π aralığında yarım döngülü Fourier açılımını elde etmek istiyorsanız, o zaman çift periyodik bir fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer f(x) fonksiyonunun sinüsleri cinsinden 0 ila π aralığında bir yarım döngü Fourier açılımı elde etmek istiyorsanız, o zaman tek bir periyodik fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegral limitleri L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; yarım çevrimde Fourier serisine dönüştürülür.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:

1 RF EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI NOVOSIBIRSK DEVLET ÜNİVERSİTESİ FAKÜLTESİ FİZİK FAKÜLTESİ R. K. Belkheeva ÖRNEKLER VE SORUNLARDA FOURIER SERİSİ Ders Kitabı Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. Örnekler ve problemlerde Fourier serisi: Ders Kitabı / Novosibirsk. durum üniversite Novosibirsk, s. ISBN-B ders kitabı Fourier serileri hakkında temel bilgiler sunulmuş, çalışılan her konu için örnekler verilmiştir. Bir ipin enine titreşimleri probleminin çözümünde Fourier yönteminin uygulanmasına ilişkin bir örnek ayrıntılı olarak analiz edilmektedir. Açıklayıcı materyal sağlanmaktadır. Bağımsız çözüm için görevler var. Öğrenciler ve öğretmenler için tasarlandı Fizik Fakültesi NSU. NSU Fizik Fakültesi metodolojik komisyonunun kararıyla yayınlandı. Hakem: Dr. Phys.-Math. Bilim. V. A. Aleksandrov Kılavuz, NRU-NSU Kalkınma Programının yıllardır uygulanmasının bir parçası olarak hazırlandı. Novosibirsk'ten ISBN Devlet Üniversitesi, 211 c Belkheeva R.K., 211

3 1. 2π-periyodik bir fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi. Tanım. f(x) fonksiyonunun Fourier serisi, a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) fonksiyonel serisidir; burada a n, b n katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,... (3) Formüllere (2) (3) Euler Fourier formülleri denir. f(x) fonksiyonunun Fourier serisi (1)'e karşılık gelmesi f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) formülüyle yazılır ve şöyle denir: sağ kısım formül (4), f(x) fonksiyonunun resmi bir Fourier serisidir. Başka bir deyişle, formül (4) sadece a n, b n katsayılarının (2), (3) formülleri kullanılarak bulunduğu anlamına gelir. 3

4 Tanım. Eğer [, π] aralığında sonlu sayıda nokta = x varsa, 2π-periyodik bir f(x) fonksiyonuna parçalı düzgün denir.< x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С geometrik nokta Görünüm açısından, (a) koşulu, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x = l/2 dikey çizgisine göre simetrik olduğu ve (b) koşulu, f(x) grafiğinin merkezi olarak simetrik olduğu anlamına gelir. apsis eksenindeki (l/2;) noktasına göre. O halde aşağıdaki ifadeler doğrudur: 1) f(x) fonksiyonu çift ise ve (a) koşulu karşılanıyorsa, o zaman b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) f(x) fonksiyonu çift ise ve (b) koşulu karşılanıyorsa, o zaman b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) f(x) fonksiyonu tekse ve (a) koşulu karşılanıyorsa, o zaman a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) f(x) fonksiyonu tekse ve (b) koşulu karşılanıyorsa, o zaman a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. SORUNLAR 1'den 7'ye kadar olan problemlerde, fonksiyonların grafiklerini çizin ve Fourier serilerini bulun (periyodlarının 2π olduğunu varsayarak: eğer< x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Lyapunov eşitliği Teoremi (Lyapunov eşitliği). f: [, π] R fonksiyonu f 2 (x) dx olacak şekilde olsun.< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Dolayısıyla f(x) fonksiyonu için Lyapunov eşitliği şu formu alır: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. a π için son eşitlikten sin 2 na n 2 = a(π a) 2'yi buluruz. a = π 2 ayarlandığında, n = 2k 1 için sin2 na = 1 ve n = 2k için sin 2 na = elde ederiz. Dolayısıyla k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ÖRNEK 14. f(x) = x cosx, x [, π] fonksiyonu için Lyapunov eşitliğini yazalım ve bunu sayının toplamını bulmak için kullanalım. seri (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Çözüm. Doğrudan hesaplamalar şunu verir: = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x çünkü x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 f(x) çift fonksiyon olduğundan, tüm n'ler için elimizde b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) bulunur. )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, eğer n = 2k ise, 2, eğer n = 2k + 1 ise. a 1 katsayısı ayrıca hesaplanmalıdır, çünkü Genel formül n = 1'de kesrin paydası sıfır olur. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu için Lyapunov eşitliği şu şekildedir: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, buradan (4n 2) sayı serisinin toplamını buluruz + 1) 2 (4n 2 1) = π π SORUNLAR 32. ( x f(x) = 2 πx, eğer x fonksiyonu için Lyapunov eşitliğini yazın< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Cevaplar + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, burada c n, f(x) fonksiyonunun Fourier katsayısı 2π'dir, ve d n Fourier katsayı fonksiyonları g(x)'tir. 6. Fourier serilerinin türevlenmesi f: R R, sürekli türevlenebilir 2π-periyodik bir fonksiyon olsun. Fourier serisi şu şekildedir: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Bu fonksiyonun türevi f(x), sürekli ve 2π-periyodik bir fonksiyon olacaktır ve bunun için resmi bir Fourier serisi yazabiliriz: f (x) a 2 + (an cos nx + b n sin nx), burada a, a n , b n, n = 1 , 2,... f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları. 51

52 Teorem (Fourier serilerinin terim terim farklılaşması hakkında). Yukarıdaki varsayımlar altında a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 eşitlikleri geçerlidir. ÖRNEK 15. Parçalı düzgün fonksiyon f(x)'in [, π] aralığında sürekli olduğunu varsayalım. f(x)dx = koşulu karşılanırsa, Steklov eşitsizliği adı verilen 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlayalım ve bu eşitliğin yalnızca f(x) = formundaki fonksiyonlar için geçerli olduğundan emin olalım. Bir cosx. Başka bir deyişle Steklov eşitsizliği, türevin küçüklüğünün (ortalama karede) fonksiyonun küçüklüğünü (ortalama karede) ima ettiği koşulları verir. Çözüm. f(x) fonksiyonunu [, ] aralığına eşit bir şekilde genişletelim. Genişletilmiş fonksiyonu aynı f(x) sembolüyle gösterelim. Bu durumda genişletilmiş fonksiyon [, π] aralığında sürekli ve parçalı düzgün olacaktır. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundan f 2 (x) aralıkta süreklidir ve 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Devam eden fonksiyon çift olduğuna göre b n =, a = koşuluna göre. Sonuç olarak Lyapunov eşitliği 1 π 2 dx = a 2 π n formunu alır. (17) f(x) için Fourier serisinin terim terim farklılaşmasına ilişkin teoremin sonucunun karşılandığından emin olalım, yani a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. f(x) türevinin [, π] aralığında x 1, x 2,..., x N noktalarında bükülmelere uğramasına izin verin. x =, x N+1 = π'yi gösterelim. İntegral aralığını [, π] N +1 aralıklara (x, x 1),..., (x N, x N+1) bölelim; bunların her biri f(x) sürekli türevlenebilir. Daha sonra, integralin toplanabilirlik özelliğini kullanarak ve parçalara göre integral alarak şunu elde ederiz: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Son eşitlik, f(x) fonksiyonunun çift yönlü devam etmesinden kaynaklanmaktadır, yani f(π) = f(). Benzer şekilde a n = nb n elde ederiz. [, π] aralığındaki türevi birinci tür süreksizliklere maruz kalan, sürekli parçalı pürüzsüz bir 2π-periyodik fonksiyon için Fourier serisinin terim terim farklılaşmasına ilişkin teoremin doğru olduğunu gösterdik. Bu, f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx anlamına gelir, çünkü a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... 2 dx'ten beri< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 (18)'deki serideki her terim (17)'deki serideki karşılık gelen terimden büyük veya ona eşit olduğundan, o zaman 2 dx 2 dx. f(x)'in orijinal fonksiyonun çift devamı olduğunu hatırlarsak, 2 dx 2 dx elde ederiz. Bu da Steklov'un eşitliğini kanıtlıyor. Şimdi Steklov eşitsizliğinde eşitliğin hangi işlevler için geçerli olduğunu inceliyoruz. En az bir n 2 için a n katsayısı sıfırdan farklıysa, o zaman a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 SORUNLAR 37. Parçalı düzgün fonksiyon f(x)'in [, π] aralığında sürekli olduğunu varsayalım. f() = f(π) = koşulu karşılandığında, Steklov eşitsizliği olarak da adlandırılan 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlayın ve eşitliğin yalnızca f(x) formundaki fonksiyonlar için geçerli olduğundan emin olun. = B sin x. 38. f fonksiyonu [, π] aralığında sürekli olsun ve içinde (belki sonlu sayıda nokta hariç) kare integrali alınabilen bir f(x) türevi olsun. f() = f(π) ve f(x) dx = koşulları karşılanırsa, Wirtinger eşitsizliği adı verilen 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu ve içindeki eşitliğin yalnızca f formundaki fonksiyonlar için geçerli olduğunu kanıtlayın. (x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için Fourier serilerinin uygulanması Gerçek bir nesneyi (doğal olay, üretim süreci, kontrol sistemi vb.) incelerken iki faktör önemlidir: incelenen nesne hakkında birikmiş bilgi düzeyi ve Matematiksel aparatın geliştirilmesi. Açık modern sahne bilimsel araştırma Aşağıdaki zincir geliştirilmiştir: fenomen fiziksel modeli matematiksel modeli. Sorunun fiziksel formülasyonu (modeli) şu şekildedir: Sürecin gelişimi için koşullar ve onu etkileyen ana faktörler belirlenir. Matematiksel formülasyon (model), fiziksel formülasyonda seçilen faktörlerin ve koşulların bir denklem sistemi (cebirsel, diferansiyel, integral vb.) biçiminde tanımlanmasından oluşur. Belirli bir fonksiyonel uzayda problemin çözümü benzersiz ve sürekli olarak başlangıç ​​ve sınır koşullarına bağlıysa, bu problem iyi konumlanmış olarak adlandırılır. Matematiksel model, söz konusu nesnenin aynısı değildir ancak onun yaklaşık bir açıklamasıdır. Bir ipin serbest küçük enine titreşimleri için denklemin türetilmesi Ders kitabını takip edeceğiz. İpin uçlarının sabitlenmesine ve ipin kendisinin gergin olmasına izin verin. Bir ipi denge konumundan hareket ettirirseniz (örneğin geri çekerseniz veya vurursanız), o zaman ip 57'ye doğru hareket etmeye başlayacaktır.

58 tereddüt ediyorum. İpin tüm noktalarının denge konumuna dik olarak hareket ettiğini (enine titreşimler) ve ipin zamanın her anında aynı düzlemde bulunduğunu varsayacağız. Bu düzlemde xou dikdörtgen koordinatlarından oluşan bir sistem alalım. Daha sonra, eğer başlangıç ​​anında t = ip Ox ekseni boyunca bulunuyorsa, o zaman u, ipin denge konumundan sapması, yani ipin apsis x ile olan noktasının konumu anlamına gelecektir. zamanın rastgele bir anı t, u(x, t) fonksiyonunun değerine karşılık gelir. Her sabit t değeri için, u(x, t) fonksiyonunun grafiği, titreşen ipin t zamanındaki şeklini temsil eder (Şekil 32). Şu tarihte: sabit değer x fonksiyonu u(x, t), apsisi x olan bir noktanın Ou eksenine paralel bir doğru boyunca hareket yasasını verir, u t türevi bu hareketin hızıdır ve ikinci türev 2 u t 2 ise ivmedir. Pirinç. 32. Bir ipin sonsuz küçük bir bölümüne uygulanan kuvvetler Şimdi u(x, t) fonksiyonunun sağlaması gereken bir denklem oluşturalım. Bunu yapmak için birkaç basitleştirici varsayım daha yapacağız. Dizinin kesinlikle esnek olduğunu düşüneceğiz - 58

59 koy yani ipin bükülmeye karşı dayanıklı olmadığını varsayacağız; bu, ipte ortaya çıkan gerilimlerin her zaman anlık profiline teğet olarak yönlendirildiği anlamına gelir. İpin elastik olduğu ve Hooke kanununa tabi olduğu varsayılır; bu, çekme kuvvetinin büyüklüğündeki değişikliğin ipin uzunluğundaki değişiklikle orantılı olduğu anlamına gelir. Dizinin homojen olduğunu varsayalım; bu onun doğrusal yoğunluğunun ρ sabit olduğu anlamına gelir. Dış güçleri ihmal ediyoruz. Bu, serbest titreşimleri dikkate aldığımız anlamına gelir. İpin yalnızca küçük titreşimlerini inceleyeceğiz. Eğer apsis ekseni ile apsis x'in olduğu noktada ipe teğet arasındaki açıyı t zamanında ϕ(x, t) ile belirtirsek, o zaman küçük salınımların koşulu ϕ 2 (x, t) değerinin olmasıdır. ϕ (x, t), yani ϕ 2 ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir. ϕ açısı küçük olduğundan cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u dolayısıyla (u x x,) 2 değeri de ihmal edilebilir. Bundan hemen sonra, titreşim süreci sırasında ipin herhangi bir bölümünün uzunluğundaki değişikliği ihmal edebileceğimiz sonucu çıkar. Gerçekten de, x 2 = x 1 + x olan apsis ekseni aralığına yansıtılan bir M 1 M 2 ip parçasının uzunluğu, l = x 2 x () 2 u dx x'e eşittir. x Varsayımlarımız altında, T çekme kuvvetinin büyüklüğünün tüm ip boyunca sabit olacağını gösterelim. Bunun için M 1 M 2 dizisinin (Şekil 32) t zamanındaki herhangi bir bölümünü alalım ve atılan bölümlerin hareketini değiştirelim - 59

Gerilme kuvvetleri T 1 ve T 2 ile 60 kov. Koşula göre ipin tüm noktaları Ou eksenine paralel hareket ettiğinden ve dış kuvvetler yoksa, Ox ekseni üzerindeki gerilim kuvvetlerinin izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşit olmalıdır: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Dolayısıyla, ϕ 1 = ϕ(x 1, t) ve ϕ 2 = ϕ(x 2, t) açılarının küçük olmasından dolayı T 1 = T 2 olduğu sonucuna varırız. Genel anlam T 1 = T 2'den T'ye kadar. Şimdi aynı kuvvetlerin Ou ekseni üzerindeki F u projeksiyonlarının toplamını hesaplayalım: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Küçük açılar için sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t) ve tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x olduğundan, denklem (2) F u olarak yeniden yazılabilir. T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . x 1 noktası keyfi olarak seçildiği için F u T 2 u x2(x, t) x olur. M 1 M 2 kesitine etki eden tüm kuvvetler bulunduktan sonra, kütle ve ivmenin çarpımının hepsinin toplamına eşit olduğu Newton'un ikinci yasasını ona uyguluyoruz. aktif kuvvetler. Bir M 1 M 2 sicim parçasının kütlesi m = ρ l ρ x'e eşittir ve ivme ise 2 u(x, t)'ye eşittir. Newton'un t 2 denklemi şu biçimi alır: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, burada α 2 = T ρ sabit pozitif sayı. 6

61 x ile azaltarak 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) elde ederiz. (21) Sonuç olarak sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem elde ettik. Buna sicim titreşim denklemi veya tek boyutlu dalga denklemi denir. Denklem (21) aslında Newton yasasının yeniden formüle edilmiş halidir ve sicimin hareketini açıklar. Ancak problemin fiziksel formülasyonunda ipin uçlarının sabit olması ve ipin belirli bir andaki konumunun bilinmesi gereklilikleri vardı. Bu koşulları aşağıdaki gibi denklemler halinde yazacağız: a) ipin uçlarının x = ve x = l noktalarında sabit olduğunu varsayacağız, yani tüm t için u(, t) =, u ilişkilerinin olduğunu varsayacağız. (l, t) = ; (22) b) t = zamanında dizenin konumunun f(x) fonksiyonunun grafiğiyle çakıştığını varsayacağız, yani tüm x [, l] için u(x,) = eşitliğinin olduğunu varsayacağız. f( x); (23) c) t = apsis x'li ipin noktasına g(x) hızının verildiğini varsayacağız, yani u (x,) = g(x) olduğunu varsayacağız. (24) t İlişkiler (22) sınır koşulları olarak adlandırılır ve ilişkiler (23) ve (24) denir başlangıç ​​koşulları. Serbest küçük eninelerin matematiksel modeli 61

62 dize salınımları için, denklem (21)'i sınır koşulları (22) ve başlangıç ​​koşulları (23) ve (24) ile çözmenin gerekli olmasıdır. Serbest küçük enine dize salınımları denkleminin Fourier yöntemiyle çözülmesi Denklem (21)'in çözülmesi bölge xl,< t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63, λ ile gösterdiğimiz bir sabit olmalıdır: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Buradan iki sıradan alıyoruz diferansiyel denklemler: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Bu durumda sınır koşulları (22) X()T(t) = ve X(l)T(t) = formunu alacaktır. Tüm t, t> için bunların sağlanması gerektiğinden, bu durumda X() = X(l) =. (3) Denklem (28)'in sınır koşullarını (3) sağlayan çözümler bulalım. Üç durumu ele alalım. Durum 1: λ>. λ = β 2'yi gösterelim. Denklem (28) X (x) β 2 X(x) = formunu alır. Karakteristik denklemi k 2 β 2 ='nin kökleri k = ±β'dır. Buradan, ortak karar denklem (28) X(x) = C e βx + De βx formuna sahiptir. Sınır koşullarının (3) karşılanması için C ve D sabitlerini seçmeliyiz, yani X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. β olduğundan bu denklem sisteminin tek bir çözümü vardır: C = D =. Bu nedenle X(x) ve 63

64 u(x, t). Böylece durum 1'de daha fazla ele almayacağımız önemsiz bir çözüm elde ettik. Durum 2: λ =. O zaman denklem (28) X(x) = formunu alır ve çözümü açıkça şu formülle verilir: X(x) = C x+d. Bu çözümü sınır koşullarında (3) yerine koyarak X() = D = ve X(l) = Cl = elde ederiz, bu da C = D = anlamına gelir. Dolayısıyla X(x) ve u(x, t) ve yine önemsiz bir çözümümüz var. Durum 3: λ