Düz bir çizginin denkleminden noktaların koordinatları nasıl bulunur? Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi: örnekler, çözümler

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi şu şekilde temsil edilebilir: çeşitli şekillerde verilen herhangi bir şeye bağlı olarak

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Elde edilen ifadede verilen A noktasının koordinatlarını yerine koyalım: 3 - 2 + C = 0 elde ederiz, dolayısıyla

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Eğer genel denklem dümdüz Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı OU.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Yazmak için gerekli Çeşitli türler denklemler

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 =k2. İki düz çizgiler diktir,

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca С 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

Bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Bu makale düzlemdeki doğrunun denklemi konusuna devam ediyor: Bu tür denklemleri bir doğrunun genel denklemi olarak ele alacağız. Teoremi tanımlayalım ve kanıtını verelim; Bir doğrunun tamamlanmamış bir genel denkleminin ne olduğunu ve genel bir denklemden bir doğrunun diğer denklem türlerine nasıl geçiş yapılacağını bulalım. Teorinin tamamını çizimlerle ve pratik problemlere yönelik çözümlerle güçlendireceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilsin.

Teorem 1

A x + B y + C = 0 formundaki birinci dereceden herhangi bir denklem; burada A, B, C bir kaçıdır gerçek sayılar(A ve B aynı anda sıfıra eşit değildir) düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde bir düz çizgi tanımlar. Buna karşılık, bir düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizgi, belirli bir A, B, C değerleri kümesi için A x + B y + C = 0 formundaki bir denklemle belirlenir.

Kanıt

Bu teorem iki noktadan oluşur; her birini kanıtlayacağız.

1. A x + B y + C = 0 denkleminin düzlemde düz bir çizgiyi tanımladığını kanıtlayalım.

Koordinatları A x + B y + C = 0 denklemine karşılık gelen bir M 0 (x 0 , y 0) noktası olsun. Böylece: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 denklemlerinin sol ve sağ taraflarından A x 0 + B y 0 + C = 0 denkleminin sol ve sağ taraflarını çıkarırsak, A (x) gibi görünen yeni bir denklem elde ederiz. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0'a eşdeğerdir.

Ortaya çıkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x) vektörlerinin dikliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur. 0, y - y 0 ). Böylece, M (x, y) noktaları kümesi, dikdörtgen bir koordinat sisteminde n → = (A, B) vektörünün yönüne dik olan düz bir çizgiyi tanımlar. Bunun böyle olmadığını varsayabiliriz, ancak o zaman n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri dik olmaz ve A (x - eşitliği) x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmaz.

Sonuç olarak, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi düzlemdeki dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir doğruyu tanımlar ve dolayısıyla A x + B y + C = 0 eşdeğer denklemi aynı çizgi. Teoremin ilk kısmını bu şekilde ispatladık.

1. Bir düzlem üzerindeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizginin birinci derece A x + B y + C = 0 denklemiyle belirtilebileceğinin kanıtını sunalım.

Bir düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde bir düz çizgi a tanımlayalım; bu çizginin geçtiği M 0 (x 0 , y 0) noktası ve bu çizginin normal vektörü n → = (A, B) .

Ayrıca bir doğru üzerinde kayan nokta olan bir M(x, y) noktası olsun. Bu durumda, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri birbirine diktir ve skaler çarpımları sıfırdır:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 denklemini yeniden yazalım, C: C = - A x 0 - B y 0'ı tanımlayalım ve sonuç A x + B y + C = 0 denklemini elde ederiz.

Böylece teoremin ikinci kısmını ispatlamış olduk ve teoremin tamamını bir bütün olarak ispatlamış olduk.

Tanım 1

Formun bir denklemi bir x + B y + C = 0 - Bu bir doğrunun genel denklemi Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeOksi.

Kanıtlanmış teoreme dayanarak, düz bir çizginin ve onun sabit bir dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemde tanımlanan genel denkleminin ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle orijinal çizgi genel denklemine karşılık gelir; bir çizginin genel denklemi belirli bir çizgiye karşılık gelir.

Teoremin kanıtından ayrıca x ve y değişkenleri için A ve B katsayılarının, A x + B y + C = çizgisinin genel denklemi ile verilen çizginin normal vektörünün koordinatları olduğu sonucu çıkar. 0.

Hadi düşünelim spesifik örnek Bir doğrunun genel denklemi.

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgiye karşılık gelen 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemi verilsin. Bu doğrunun normal vektörü vektördür n → = (2, 3) ​​​. Çizimde verilen düz çizgiyi çizelim.

Şunu da söyleyebiliriz: Çizimde gördüğümüz düz çizgi, 2 x + 3 y - 2 = 0 genel denklemiyle belirlenir, çünkü belirli bir doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denkleme karşılık gelir.

Doğrunun genel denkleminin her iki tarafını da sıfıra eşit olmayan bir λ sayısıyla çarparak λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 denklemini elde edebiliriz. Ortaya çıkan denklem orijinal genel denklemin eşdeğeridir, dolayısıyla düzlemde aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır.

Tanım 2

Bir doğrunun genel denklemini tamamlayın– A, B, C sayılarının sıfırdan farklı olduğu A x + B y + C = 0 düz çizgisinin böyle genel bir denklemi. Aksi takdirde denklem tamamlanmamış.

Bir doğrunun tamamlanmamış genel denkleminin tüm varyasyonlarını analiz edelim.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduğunda genel denklem B y + C = 0 formunu alır. Böyle tamamlanmamış bir genel denklem, O x y dikdörtgen koordinat sisteminde O x eksenine paralel bir düz çizgiyi tanımlar, çünkü x'in herhangi bir gerçek değeri için y değişkeni bu değeri alacaktır. -CB. Başka bir deyişle, A = 0, B ≠ 0 olduğunda, A x + B y + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi, koordinatları aynı sayıya eşit olan (x, y) noktalarının yerini belirtir. -CB.
2. A = 0, B ≠ 0, C = 0 ise genel denklem y = 0 formunu alır. Bu tamamlanmamış denklem apsis ekseni Ox'i tanımlar.
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 olduğunda, ordinata paralel bir düz çizgiyi tanımlayan tamamlanmamış bir A x + C = 0 genel denklemi elde ederiz.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 olsun, o zaman tamamlanmamış genel denklem x = 0 formunu alacaktır ve bu, O y koordinat çizgisinin denklemidir.
5. Son olarak A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 için tamamlanmamış genel denklem A x + B y = 0 formunu alır. Ve bu denklem orijinden geçen bir doğruyu tanımlıyor. Aslında (0, 0) sayı çifti A x + B y = 0 eşitliğine karşılık gelir, çünkü A · 0 + B · 0 = 0.

Düz bir çizginin yukarıdaki tamamlanmamış genel denklem türlerinin tümünü grafiksel olarak gösterelim.

örnek 1

Verilen düz çizginin ordinat eksenine paralel olduğu ve 2 7, - 11 noktasından geçtiği bilinmektedir. Verilen doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Ordinat eksenine paralel bir düz çizgi, A x + C = 0 formundaki bir denklemle verilir; burada A ≠ 0'dır. Koşul aynı zamanda çizginin geçtiği noktanın koordinatlarını da belirtir ve bu noktanın koordinatları tamamlanmamış A x + C = 0 genel denkleminin koşullarını karşılar, yani. eşitlik doğrudur:

bir 2 7 + C = 0

Eğer A'ya sıfır olmayan bir değer verirsek, örneğin A = 7'yi kullanarak C'yi belirlemek mümkündür. Bu durumda şunu elde ederiz: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Hem A hem de C katsayılarını biliyoruz, bunları A x + C = 0 denkleminde yerine koyuyoruz ve gerekli düz çizgi denklemini elde ediyoruz: 7 x - 2 = 0

Cevap: 7 x - 2 = 0

Örnek 2

Çizim düz bir çizgiyi gösteriyor; denklemini yazmanız gerekiyor.

Çözüm

Verilen çizim, sorunu çözmek için ilk verileri kolayca almamızı sağlar. Çizimde verilen doğrunun O x eksenine paralel olduğunu ve (0, 3) noktasından geçtiğini görüyoruz.

Apsise paralel olan düz çizgi, tamamlanmamış genel denklem B y + C = 0 ile belirlenir. B ve C değerlerini bulalım. Verilen çizgi içinden geçtiği için (0, 3) noktasının koordinatları B y + C = 0 çizgisinin denklemini sağlayacaktır, o zaman eşitlik geçerlidir: B · 3 + C = 0. B'yi sıfır dışında bir değere ayarlayalım. Diyelim ki B = 1, bu durumda B · 3 + C = 0 eşitliğinden C: C = - 3'ü bulabiliriz. Kullanırız bilinen değerler B ve C'yi kullanarak doğrunun gerekli denklemini elde ederiz: y - 3 = 0.

Cevap: y - 3 = 0 .

Düzlemde belirli bir noktadan geçen çizginin genel denklemi

Verilen çizginin M 0 (x 0 , y 0) noktasından geçmesine izin verin, o zaman koordinatları çizginin genel denklemine karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0. Bu denklemin sol ve sağ taraflarını genel denklemin sol ve sağ taraflarından çıkaralım. tam denklem dümdüz. Şunu elde ederiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, bu denklem orijinal genel denkleme eşdeğerdir, M 0 (x 0, y 0) noktasından geçer ve normaldir. vektör n → = (A, B) .

Elde ettiğimiz sonuç, doğrunun normal vektörünün koordinatları ve bu doğrunun belirli bir noktasının koordinatları bilinen bir doğrunun genel denklemini yazmayı mümkün kılmaktadır.

Örnek 3

İçinden bir çizginin geçtiği bir M 0 (- 3, 4) noktası ve bu doğrunun normal vektörü verildiğinde n → = (1 , - 2) . Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç ​​koşulları denklemi derlemek için gerekli verileri elde etmemizi sağlar: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Daha sonra:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Sorun farklı şekilde çözülebilirdi. Düz bir çizginin genel denklemi A x + B y + C = 0'dır. Verilen normal vektör, A ve B katsayılarının değerlerini elde etmemizi sağlar, o zaman:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Şimdi kullanarak C'nin değerini bulalım. koşulun verdiğiçizginin geçtiği problem noktası M 0 (- 3, 4). Bu noktanın koordinatları x - 2 · y + C = 0 denklemine karşılık gelir, yani. - 3 - 2 4 + C = 0. Dolayısıyla C = 11. Gerekli düz çizgi denklemi şu formu alır: x - 2 · y + 11 = 0.

Cevap: x - 2 y + 11 = 0 .

Örnek 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 doğrusu ve bu doğru üzerinde yer alan bir M 0 noktası veriliyor. Bu noktanın sadece apsisi bilinmektedir ve -3'e eşittir. Belirli bir noktanın koordinatını belirlemek gerekir.

Çözüm

M 0 noktasının koordinatlarını x 0 ve y 0 olarak belirleyelim. Kaynak verileri x 0 = - 3 olduğunu gösterir. Nokta belirli bir çizgiye ait olduğundan koordinatları bu çizginin genel denklemine karşılık gelir. O zaman eşitlik doğru olacaktır:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Y'yi tanımlayın: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Cevap: - 5 2

Bir doğrunun genel denkleminden diğer doğru denklem türlerine geçiş ve bunun tersi

Bildiğimiz gibi, bir düzlemdeki aynı doğru için çeşitli denklem türleri vardır. Denklem türünün seçimi problemin koşullarına bağlıdır; çözmek için daha uygun olanı seçmek mümkündür. Bir tür denklemi başka türden bir denkleme dönüştürme becerisi burada çok faydalıdır.

İlk olarak, A x + B y + C = 0 formundaki genel denklemden x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik denklemine geçişi düşünelim.

Eğer A ≠ 0 ise B y terimini şuna aktarırız: Sağ Taraf genel denklem. Sol tarafta parantezlerden A'yı çıkarıyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz: A x + C A = - B y.

Bu eşitlik orantı olarak yazılabilir: x + C A - B = y A.

B ≠ 0 ise genel denklemin sol tarafında sadece A x terimini bırakır, diğerlerini sağ tarafa aktarırız ve şunu elde ederiz: A x = - B y - C. – B'yi parantezlerden çıkarırsak: A x = - B y + C B .

Eşitliği orantı şeklinde yeniden yazalım: x - B = y + C B A.

Elbette ortaya çıkan formülleri ezberlemeye gerek yok. Genel bir denklemden kanonik bir denkleme geçerken eylemlerin algoritmasını bilmek yeterlidir.

Örnek 5

3 y - 4 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bunu kanonik bir denkleme dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Orijinal denklemi 3 y - 4 = 0 olarak yazalım. Daha sonra algoritmaya göre ilerliyoruz: 0 x terimi sol tarafta kalıyor; ve sağ tarafa - parantezlerden 3 tane koyduk; şunu elde ederiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Ortaya çıkan eşitliği oran olarak yazalım: x - 3 = y - 4 3 0 . Böylece kanonik formda bir denklem elde ettik.

Cevap: x - 3 = y - 4 3 0.

Bir doğrunun genel denklemini parametrik denklemlere dönüştürmek için önce kanonik forma, ardından bir doğrunun kanonik denkleminden parametrik denklemlere geçiş yapılır.

Örnek 6

Düz çizgi 2 x - 5 y - 1 = 0 denklemiyle verilir. Bu doğrunun parametrik denklemlerini yazınız.

Çözüm

Genel denklemden kanonik denkleme geçiş yapalım:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Şimdi ortaya çıkan kanonik denklemin her iki tarafını da λ'ya eşit alırsak:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Cevap:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Genel denklem, eğimi y = k · x + b olan bir düz çizgi denklemine dönüştürülebilir, ancak yalnızca B ≠ 0 olduğunda. Geçiş için B y terimini sol tarafta bırakıyoruz, geri kalanları sağa aktarıyoruz. Şunu elde ederiz: B y = - A x - C . Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da sıfırdan farklı olarak B'ye bölelim: y = - A B x - C B.

Örnek 7

Doğrunun genel denklemi verilmiştir: 2 x + 7 y = 0. Bu denklemi eğim denklemine dönüştürmeniz gerekiyor.

Çözüm

Algoritmaya göre gerekli işlemleri yapalım:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Cevap: y = - 2 7 x .

Bir doğrunun genel denkleminden, x a + y b = 1 formundaki bölümlerde bir denklem elde etmek yeterlidir. Böyle bir geçiş yapmak için C sayısını eşitliğin sağ tarafına taşırız, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da -C'ye böleriz ve son olarak x ve y değişkenlerinin katsayılarını paydalara aktarırız:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ Bir x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C Bir + y - C B = 1

Örnek 8

x - 7 y + 1 2 = 0 çizgisinin genel denklemini parçalı doğru denklemine dönüştürmek gerekir.

Çözüm

1 2'yi sağ tarafa taşıyalım: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Eşitliğin her iki tarafını da -1/2'ye bölelim: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Cevap: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Genel olarak ters geçiş de kolaydır: diğer denklem türlerinden genel olana.

Parçalar halinde bir doğrunun denklemi ve açısal katsayılı bir denklem, eşitliğin sol tarafındaki tüm terimlerin basitçe toplanmasıyla kolayca genel bir denkleme dönüştürülebilir:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0

Kanonik denklem aşağıdaki şemaya göre genel bir denkleme dönüştürülür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrik olanlardan geçmek için önce kanonik olana, ardından genel olana geçin:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ Bir x + B y + C = 0

Örnek 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 doğrusuna ait parametrik denklemler verilmiştir. Bu doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Parametrik denklemlerden kanonik denklemlere geçiş yapalım:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kanonikten genele geçelim:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Cevap: y - 4 = 0

Örnek 10

x 3 + y 1 2 = 1 segmentlerindeki düz bir çizginin denklemi verilmiştir. Geçiş yapmak gerekli Genel görünüm denklemler

Çözüm:

Denklemi gerekli biçimde yeniden yazıyoruz:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Cevap: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bir doğrunun genel denklemini çizmek

Yukarıda genel denklemin normal vektörün bilinen koordinatları ve doğrunun geçtiği noktanın koordinatları ile yazılabileceğini söylemiştik. Böyle bir düz çizgi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemiyle tanımlanır. Orada ilgili örneği de analiz ettik.

Şimdi daha fazlasına bakalım karmaşık örnekler, burada ilk önce normal vektörün koordinatlarını belirlemeniz gerekir.

Örnek 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 doğrusuna paralel bir doğru verilmiş. Verilen doğrunun geçtiği M 0 (4, 1) noktası da bilinmektedir. Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç ​​koşulları bize doğruların paralel olduğunu söylüyor, sonra denklemi yazılması gereken doğrunun normal vektörü olarak n → = (2, - 3) doğrusunun yön vektörünü alıyoruz: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Artık doğrunun genel denklemini oluşturmak için gerekli tüm verileri biliyoruz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Örnek 12

Verilen doğru orijinden x - 2 3 = y + 4 5 doğrusuna dik olarak geçmektedir. Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

Belirli bir çizginin normal vektörü, x - 2 3 = y + 4 5 çizgisinin yön vektörü olacaktır.

O halde n → = (3, 5) . Düz çizgi orijinden geçer, yani. O noktasından (0, 0). Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturalım:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Cevap: 3 x + 5 y = 0.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

“Geometrik algoritmalar” serisinden ders

Merhaba sevgili okuyucu!

Bugün geometri ile ilgili algoritmaları öğrenmeye başlayacağız. Gerçek şu ki, bilgisayar bilimlerinde hesaplamalı geometriyle ilgili pek çok Olimpiyat problemi var ve bu tür problemleri çözmek çoğu zaman zorluklara neden oluyor.

Birkaç ders boyunca, hesaplamalı geometrideki çoğu problemin çözümünün dayandığı bir dizi temel alt görevi ele alacağız.

Bu dersimizde bir program oluşturacağız. bir doğrunun denklemini bulma, verilenlerden geçerek iki puan. Geometrik problemleri çözmek için biraz hesaplamalı geometri bilgisine ihtiyacımız var. Dersin bir kısmını onları tanımaya ayıracağız.

Hesaplamalı Geometriden İçgörüler

Hesaplamalı geometri, geometrik problemleri çözmek için algoritmalar inceleyen bir bilgisayar bilimi dalıdır.

Bu tür problemler için başlangıç ​​verileri, bir düzlem üzerindeki bir dizi nokta, bir dizi parça, bir çokgen (örneğin, saat yönünde köşe noktalarının bir listesiyle belirtilir) vb. olabilir.

Sonuç ya bir sorunun cevabı olabilir (örneğin, bir nokta bir doğru parçasına ait midir, iki doğru parçası kesişiyor mu, ...) ya da bazı geometrik nesneler (örneğin, belirli noktaları birleştiren en küçük dışbükey çokgen, alanı) olabilir. ​​bir çokgen vb.) .

Hesaplamalı geometri problemlerini yalnızca düzlemde ve yalnızca Kartezyen koordinat sisteminde ele alacağız.

Vektörler ve koordinatlar

Hesaplamalı geometri yöntemlerini uygulamak için geometrik görüntüleri sayıların diline çevirmek gerekir. Uçağa, saat yönünün tersine dönme yönünün pozitif olarak adlandırıldığı Kartezyen koordinat sisteminin verildiğini varsayacağız.

Artık geometrik nesneler analitik bir ifade alıyor. Dolayısıyla, bir noktayı belirtmek için koordinatlarını belirtmek yeterlidir: bir çift sayı (x; y). Bir parça, uçlarının koordinatları belirtilerek belirlenebilir; düz bir çizgi, bir çift noktanın koordinatları belirtilerek belirlenebilir.

Ancak sorunları çözmek için ana aracımız vektörler olacaktır. Bu nedenle onlarla ilgili bazı bilgileri hatırlatmama izin verin.

Çizgi segmenti AB, bunun bir anlamı var A başlangıç ​​(uygulama noktası) olarak kabul edilir ve nokta İÇİNDE– uç, vektör olarak adlandırılır AB ve ikisini de belirtin veya kalın küçük harf, Örneğin A .

Bir vektörün uzunluğunu (yani karşılık gelen parçanın uzunluğunu) belirtmek için modül sembolünü kullanacağız (örneğin, ).

Rastgele bir vektör, bitiş ve başlangıcının karşılık gelen koordinatları arasındaki farka eşit koordinatlara sahip olacaktır:

,

işte noktalar A Ve B koordinatları var sırasıyla.

Hesaplamalar için bu kavramı kullanacağız. yönlendirilmiş açı yani vektörlerin göreceli konumunu hesaba katan bir açıdır.

Vektörler arasında yönlendirilmiş açı A Ve B dönüş vektörden geliyorsa pozitif A vektöre B pozitif yönde (saat yönünün tersine) ve diğer durumda negatif yönde gerçekleştirilir. Bkz. Şekil 1a, Şekil 1b. Ayrıca bir çift vektörün olduğu da söylenir. A Ve B Olumlu (olumsuz) odaklı.

Dolayısıyla yönlendirilmiş açının değeri, vektörlerin listelenme sırasına bağlıdır ve aralıktaki değerleri alabilir.

Hesaplamalı geometrideki birçok problem, vektörlerin vektör (çarpık veya sözde skaler) çarpımları kavramını kullanır.

a ve b vektörlerinin vektör çarpımı, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır:

.

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı:

Sağdaki ifade ikinci dereceden bir determinanttır:

Analitik geometride verilen tanımdan farklı olarak skalerdir.

Vektör çarpımının işareti, vektörlerin birbirine göre konumunu belirler:

A Ve B pozitif odaklı.

Değer ise, o zaman bir çift vektör A Ve B olumsuz odaklı.

Sıfır olmayan vektörlerin çapraz çarpımı ancak ve ancak aynı doğrultuda olmaları durumunda sıfırdır ( ). Bu, aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulundukları anlamına gelir.

Daha karmaşık sorunları çözerken gerekli olan birkaç basit soruna bakalım.

İki noktanın koordinatlarından bir doğrunun denklemini bulalım.

Koordinatları belirtilen iki farklı noktadan geçen bir doğrunun denklemi.

Düz bir çizgi üzerinde çakışmayan iki noktanın koordinatları (x1; y1) ve koordinatları (x2; y2) verilsin. Buna göre, başlangıcı bir noktada ve sonu bir noktada olan bir vektörün koordinatları (x2-x1, y2-y1)'dir. Eğer P(x, y) doğrumuz üzerinde rastgele bir nokta ise, vektörün koordinatları (x-x1, y – y1)'e eşittir.

Vektör çarpımı kullanılarak, vektörlerin doğrusal olma koşulu şu şekilde yazılabilir:

Onlar. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Son denklemi şu şekilde yeniden yazıyoruz:

balta + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Yani düz çizgi (1) formundaki bir denklemle belirtilebilir.

Problem 1. İki noktanın koordinatları veriliyor. Temsilini ax + by + c = 0 formunda bulun.

Bu derste hesaplamalı geometri hakkında bazı bilgiler öğrendik. İki noktanın koordinatlarından bir doğrunun denklemini bulma problemini çözdük.

Bir sonraki dersimizde denklemlerimizin verdiği iki doğrunun kesişim noktasını bulan bir program oluşturacağız.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.
Yön vektörü düzdür. Normal vektör

Düzlemdeki düz bir çizgi en basitlerinden biridir geometrik şekiller, ilkokuldan beri size tanıdık geliyor ve bugün analitik geometri yöntemlerini kullanarak bununla nasıl başa çıkacağımızı öğreneceğiz. Malzemeye hakim olmak için düz bir çizgi oluşturabilmeniz gerekir; Hangi denklemin düz bir çizgiyi, özellikle koordinatların orijininden geçen düz bir çizgiyi ve koordinat eksenlerine paralel düz çizgileri tanımladığını bilir. Bu bilgi kılavuzda bulunabilir Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri, bunu matan için oluşturdum ancak ilgili bölüm doğrusal fonksiyonÇok başarılı ve detaylı çıktı. Bu nedenle sevgili çaydanlıklar, önce orayı ısıtın. Ayrıca temel bilgilere de sahip olmanız gerekir. vektörler aksi halde materyalin anlaşılması eksik kalacaktır.

Bu derste düzlem üzerinde düz bir çizginin denklemini oluşturmanın yollarına bakacağız. Uygulamalı örnekleri (çok basit görünse bile) ihmal etmemenizi öneririm, çünkü onlara yüksek matematiğin diğer bölümleri de dahil olmak üzere gelecekte gerekli olacak temel ve önemli gerçekleri, teknik teknikleri sunacağım.

• Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?
• Nasıl ?
• Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?
• Bir nokta ve normal bir vektör verilen düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

ve başlıyoruz:

Eğimli bir doğrunun denklemi

Düz çizgi denkleminin iyi bilinen "okul" biçimine denir eğimi olan bir doğrunun denklemi. Örneğin denklemde düz bir çizgi veriliyorsa eğimi: . Hadi düşünelim geometrik anlamı verilen katsayı ve değerinin hattın konumunu nasıl etkilediği:

Bir geometri dersinde kanıtlanmıştır ki doğrunun eğimi eşittir açının tanjantı pozitif eksen yönü arasındave bu çizgi: ve açı saat yönünün tersine "açılır".

Çizimi karıştırmamak için sadece iki düz çizgiye açı çizdim. “Kırmızı” çizgiyi ve eğimini ele alalım. Yukarıdakilere göre: (“alfa” açısı yeşil bir yay ile gösterilir). Açı katsayısına sahip “mavi” düz çizgi için eşitlik doğrudur (“beta” açısı kahverengi bir yay ile gösterilir). Ve eğer açının tanjantı biliniyorsa, o zaman gerekirse bulunması kolaydır. ve köşenin kendisi kullanarak ters fonksiyon– arktanjant. Dedikleri gibi, elinizde bir trigonometrik masa veya bir mikro hesap makinesi. Böylece, açısal katsayı, düz çizginin apsis eksenine eğim derecesini karakterize eder.

Bu durumda mümkün aşağıdaki durumlar:

1) Eğim negatifse: kabaca konuşursak çizgi yukarıdan aşağıya doğru gider. Örnekler çizimdeki “mavi” ve “ahududu” düz çizgilerdir.

2) Eğim pozitifse: doğru aşağıdan yukarıya doğru gider. Örnekler - çizimdeki “siyah” ve “kırmızı” düz çizgiler.

3) Eğim sıfır ise denklem şu şekli alır: karşılık gelen düz çizgi eksene paraleldir. Bir örnek “sarı” düz çizgidir.

4) Bir eksene paralel bir çizgi ailesi için (çizimde eksenin kendisi dışında örnek yoktur), açısal katsayı bulunmuyor (90 derecenin tanjantı tanımlanmamıştır).

Mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar büyükse, düz çizgi grafiği de o kadar dik gider..

Örneğin iki düz çizgiyi düşünün. Dolayısıyla burada düz çizginin eğimi daha diktir. Modülün işareti görmezden gelmenize izin verdiğini hatırlatayım, biz sadece ilgileniyoruz mutlak değerler açısal katsayılar.

Buna karşılık düz bir çizgi, düz çizgilerden daha diktir .

Tersine: mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar küçükse, düz çizgi o kadar düz olur.

Düz çizgiler için eşitsizlik doğrudur, dolayısıyla düz çizgi daha düzdür. Kendinize morluklar ve şişlikler vermemek için çocuk kaydırağı.

Bu neden gerekli?

Eziyetinizi uzatın Yukarıdaki gerçekleri bilmek, hatalarınızı, özellikle de grafik oluştururken yaptığınız hataları - çizimin "açıkça yanlış olduğu" ortaya çıkarsa - anında görmenizi sağlar. Bunu yapmanız tavsiye edilir hemenörneğin düz çizginin çok dik olduğu ve aşağıdan yukarıya doğru gittiği, düz çizginin ise çok düz olduğu, eksene yakın bastırıldığı ve yukarıdan aşağıya doğru gittiği açıktı.

Geometrik problemlerde sıklıkla birkaç düz çizgi görünür, bu nedenle bunları bir şekilde belirlemek uygundur.

Tanımlar: düz çizgiler küçük Latin harfleriyle gösterilmiştir: . Popüler bir seçenek, bunları doğal alt simgelerle aynı harfi kullanarak belirtmektir. Örneğin az önce baktığımız beş çizgi şu şekilde gösterilebilir: .

Herhangi bir düz çizgi benzersiz olarak iki nokta tarafından belirlendiğinden, bu noktalarla gösterilebilir: vesaire. Tanım, noktaların çizgiye ait olduğunu açıkça ima eder.

Biraz ısınmanın zamanı geldi:

Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Belirli bir doğruya ait bir nokta ve bu doğrunun açısal katsayısı biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

örnek 1

Noktanın bu doğruya ait olduğu biliniyorsa, açısal katsayılı bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Formülü kullanarak düz çizginin denklemini oluşturalım . İÇİNDE bu durumda:

Cevap:

Sınav basitçe yapılır. Öncelikle ortaya çıkan denkleme bakıp eğimimizin yerinde olduğundan emin oluyoruz. İkinci olarak noktanın koordinatlarının bu denklemi sağlaması gerekir. Bunları denklemde yerine koyalım:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da noktanın ortaya çıkan denklemi karşıladığı anlamına gelir.

Çözüm: Denklem doğru bulunmuştur.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha zor bir örnek:

Örnek 2

Eksenin pozitif yönüne olan eğim açısının olduğu ve noktanın bu düz çizgiye ait olduğu biliniyorsa, düz bir çizginin denklemini yazın.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız teorik materyali yeniden okuyun. Daha doğrusu, daha pratik, birçok delili atlıyorum.

çaldı son çağrı, mezuniyet partisi geçti ve ana okulumuzun kapılarının dışında analitik geometrinin kendisi bizi bekliyor. Şakalar bitti... Ya da belki daha yeni başlıyorlar =)

Kalemimizi nostaljik bir şekilde tanıdık olana sallıyoruz ve düz bir çizginin genel denklemiyle tanışıyoruz. Çünkü analitik geometride tam olarak kullanılan şey budur:

Düz bir çizginin genel denklemi şu şekildedir:: , bazı sayılar nerede? Aynı zamanda katsayılar eşzamanlı Denklem anlamını yitirdiğinden sıfıra eşit değildir.

Takım elbise giyelim ve denklemi eğim katsayısıyla bağlayalım. Öncelikle tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İlk sıraya “X”li terim konulmalıdır:

Prensip olarak, denklem zaten şu şekle sahiptir, ancak matematiksel görgü kurallarına göre, ilk terimin katsayısı (bu durumda) pozitif olmalıdır. İşaretlerin değiştirilmesi:

Hatırla bunu teknik özellik! İlk katsayıyı (çoğunlukla) pozitif yaparız!

Analitik geometride düz bir çizginin denklemi neredeyse her zaman şu şekilde verilir: Genel form. Gerekirse, açısal katsayılı (ordinat eksenine paralel düz çizgiler hariç) kolayca "okul" formuna indirgenebilir.

Kendimize şunu soralım yeterli Düz bir çizgi çizmeyi biliyor musun? İki puan. Ancak bu çocukluk olayı hakkında daha fazlası artık ok kuralına bağlı kalıyor. Her düz çizginin çok özel bir eğimi vardır ve buna "adapte edilmesi" kolaydır. vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre o doğrunun yön vektörü denir. Herhangi bir düz çizginin sonsuz sayıda yön vektörüne sahip olduğu açıktır ve bunların hepsi eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü ya da değil - önemli değil).

Yön vektörünü şu şekilde göstereceğim: .

Ancak bir vektör düz bir çizgi oluşturmak için yeterli değildir; vektör serbesttir ve düzlemdeki herhangi bir noktaya bağlı değildir. Bu nedenle doğruya ait bazı noktaların da bilinmesi gerekmektedir.

Bir nokta ve yön vektörü kullanılarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun yön vektörü biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Bazen denir çizginin kanonik denklemi .

Ne zaman ne yapmalı koordinatlardan biri sıfıra eşit olduğunu aşağıdaki pratik örneklerde anlayacağız. Bu arada, lütfen unutmayın - ikisi de aynı anda Sıfır vektörü belirli bir yönü belirtmediğinden koordinatlar sıfıra eşit olamaz.

Örnek 3

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Çözüm: Formülü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım. Bu durumda:

Orantı özelliklerini kullanarak kesirlerden kurtuluruz:

Ve denklemi genel şekline getiriyoruz:

Cevap:

Kural olarak, bu tür örneklerde çizim yapmaya gerek yoktur, ancak anlaşılması adına:

Çizimde başlangıç ​​noktasını, orijinal yön vektörünü (düzlemdeki herhangi bir noktadan çizilebilir) ve oluşturulan düz çizgiyi görüyoruz. Bu arada, çoğu durumda açısal katsayılı bir denklem kullanarak düz bir çizgi oluşturmak en uygunudur. Denklemimizi forma dönüştürmek ve düz bir çizgi oluşturmak için kolayca başka bir nokta seçmek kolaydır.

Paragrafın başında belirtildiği gibi, düz bir çizginin sonsuz sayıda yön vektörü vardır ve bunların hepsi eşdoğrusaldır. Örneğin, böyle üç vektör çizdim: . Hangi yön vektörünü seçersek seçelim sonuç her zaman aynı düz çizgi denklemi olacaktır.

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Oranın çözümü:

Her iki tarafı da -2'ye bölün ve tanıdık denklemi elde edin:

İlgilenenler vektörleri aynı şekilde test edebilirler veya başka herhangi bir eşdoğrusal vektör.

Şimdi ters problemi çözelim:

Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?

Çok basit:

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun yön vektörüdür.

Düz çizgilerin yön vektörlerini bulma örnekleri:

İfade, sonsuz sayıdan yalnızca bir yön vektörünü bulmamızı sağlar, ancak daha fazlasına ihtiyacımız yoktur. Bazı durumlarda yön vektörlerinin koordinatlarının azaltılması tavsiye edilse de:

Dolayısıyla denklem, eksene paralel olan bir düz çizgiyi belirtir ve elde edilen yön vektörünün koordinatları uygun şekilde –2'ye bölünür ve yön vektörü olarak tam olarak temel vektör elde edilir. Mantıklı.

Benzer şekilde denklem eksene paralel bir doğruyu belirtir ve vektörün koordinatlarını 5'e bölerek yön vektörü olarak birim vektörü elde ederiz.

Şimdi yapalım Örnek 3'ün kontrol edilmesi. Örnek yukarıya çıktı, bu yüzden size bir nokta ve yön vektörü kullanarak düz bir çizginin denklemini derlediğimizi hatırlatırım.

İlk önce, düz çizginin denklemini kullanarak onun yön vektörünü yeniden oluşturuyoruz: – her şey yolunda, orijinal vektörü aldık (bazı durumlarda sonuç, orijinal vektöre eşdoğrusal bir vektör olabilir ve bunu genellikle karşılık gelen koordinatların orantılılığıyla fark etmek kolaydır).

ikinci olarak, noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Bunları denklemde yerine koyarız:

Doğru eşitlik elde edildi ve bundan çok memnunuz.

Çözüm: Görev doğru bir şekilde tamamlandı.

Örnek 4

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Az önce tartışılan algoritmayı kullanarak kontrol etmeniz şiddetle tavsiye edilir. Her zaman (mümkünse) taslağı kontrol etmeye çalışın. %100 önlenebilecek hatalar yapmak aptallıktır.

Yön vektörünün koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda çok basit bir şekilde ilerleyin:

Örnek 5

Çözüm: Sağ taraftaki payda sıfır olduğundan formül uygun değildir. Bir çıkış var! Oranın özelliklerini kullanarak formülü formda yeniden yazıyoruz ve geri kalanı derin bir iz boyunca yuvarlanıyor:

Cevap:

Sınav:

1) Düz çizginin yönlendirici vektörünü geri yükleyin:
– ortaya çıkan vektör orijinal yön vektörüne eşdoğrusaldır.

2) Noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyun:

Doğru eşitlik elde edildi

Çözüm: görev doğru şekilde tamamlandı

Şu soru ortaya çıkıyor: Her durumda işe yarayacak evrensel bir versiyon varsa neden formülle uğraşasınız ki? İki sebep var. İlk olarak formül kesir şeklindedir çok daha iyi hatırlandı. İkincisi, evrensel formülün dezavantajı şudur: kafanın karışma riski önemli ölçüde artar Koordinatları değiştirirken.

Örnek 6

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Her yerde bulunan iki noktaya dönelim:

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

İki nokta biliniyorsa, bu noktalardan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Aslında bu bir tür formüldür ve nedeni şudur: Eğer iki nokta biliniyorsa, o zaman vektör, verilen doğrunun yön vektörü olacaktır. Derste Aptallar için vektörler düşündük en basit görev– bir vektörün koordinatlarının iki noktadan nasıl bulunacağı. Bu probleme göre yön vektörünün koordinatları şöyledir:

Not : noktalar "değiştirilebilir" ve formül kullanılabilir . Böyle bir çözüm eşdeğer olacaktır.

Örnek 7

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın .

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Paydaların birleştirilmesi:

Ve desteyi karıştırın:

Artık kurtulmanın zamanı geldi kesirli sayılar. Bu durumda her iki tarafı da 6 ile çarpmanız gerekir:

Parantezleri açın ve denklemi aklınıza getirin:

Cevap:

Sınav açıktır - başlangıç ​​noktalarının koordinatları ortaya çıkan denklemi karşılamalıdır:

1) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

2) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

Çözüm: Doğrunun denklemi doğru yazılmıştır.

Eğer en az bir noktaların denklemi karşılamıyorsa, bir hata arayın.

Bu durumda grafiksel doğrulamanın zor olduğunu belirtmekte fayda var, çünkü düz bir çizgi çizin ve noktaların ona ait olup olmadığına bakın. , o kadar basit değil.

Çözümün birkaç teknik yönüne daha değineceğim. Belki bu problemde ayna formülünü kullanmak daha karlı olur ve aynı noktalarda bir denklem kuralım:

Daha az kesir. İsterseniz çözümü sonuna kadar yürütebilirsiniz, sonuç aynı denklem olmalıdır.

İkinci nokta, son cevaba bakmak ve bunun daha da basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini bulmaktır. Örneğin, denklemi elde ederseniz, onu ikiye azaltmanız önerilir: – denklem aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır. Ancak bu zaten konuşulan bir konu çizgilerin göreceli konumu.

Cevabı aldıktan Örnek 7'de her ihtimale karşı denklemin TÜM katsayılarının 2, 3 veya 7'ye bölünebilir olup olmadığını kontrol ettim. Bununla birlikte, çoğu zaman bu tür indirgemeler çözüm sırasında yapılır.

Örnek 8

Noktalardan geçen bir doğrunun denklemini yazın .

Bu, hesaplama tekniklerini daha iyi anlamanızı ve uygulamanızı sağlayacak bağımsız bir çözüm örneğidir.

Önceki paragrafa benzer: formülde ise paydalardan biri (yön vektörünün koordinatı) sıfır olur, sonra onu formda yeniden yazarız. Bir kez daha ne kadar garip ve kafası karışmış göründüğüne dikkat edin. getirmenin pek bir manasını görmüyorum pratik örnekler, çünkü böyle bir sorunu zaten çözdük (bkz. No. 5, 6).

Doğrudan normal vektör (normal vektör)

Normal olan nedir? Basit kelimelerle, normal diktir. Yani bir doğrunun normal vektörü verilen bir doğruya diktir. Açıkçası, herhangi bir düz çizgide bunlardan sonsuz sayıda vardır (aynı zamanda yön vektörleri) ve düz çizginin tüm normal vektörleri eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü olsun ya da olmasın, hiçbir fark yaratmaz).

Onlarla uğraşmak, kılavuz vektörlerle uğraşmaktan çok daha kolay olacaktır:

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun normal vektörüdür.

Yön vektörünün koordinatlarının denklemden dikkatlice "çıkarılması" gerekiyorsa, normal vektörün koordinatları basitçe "çıkarılabilir".

Normal vektör her zaman doğrunun yön vektörüne diktir. Bu vektörlerin dikliğini aşağıdakileri kullanarak doğrulayalım: nokta ürün:

Yön vektörüyle aynı denklemlere sahip örnekler vereceğim:

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini oluşturmak mümkün müdür? Bunu iliklerimde hissediyorum, bu mümkün. Normal vektör biliniyorsa, düz çizginin yönü açıkça tanımlanır - bu, 90 derecelik bir açıya sahip "sert bir yapıdır".

Bir nokta ve normal bir vektör verilen düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun normal vektörü biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Burada her şey kesirler ve diğer sürprizler olmadan yolunda gitti. Bu bizim normal vektörümüz. Onu sev. Ve saygı duyuyorum =)

Örnek 9

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Doğrunun genel denklemi elde edildi, kontrol edelim:

1) Normal vektörün koordinatlarını denklemden “çıkarın”: – evet, gerçekten de orijinal vektör koşuldan elde edildi (veya eşdoğrusal bir vektör elde edilmelidir).

2) Noktanın denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim:

Gerçek eşitlik.

Denklemin doğru oluşturulduğuna ikna olduktan sonra görevin ikinci, daha kolay kısmını tamamlayacağız. Düz çizginin yönlendirici vektörünü çıkarıyoruz:

Cevap:

Çizimde durum şöyle görünüyor:

Eğitim amacıyla, bağımsız olarak çözmek için benzer bir görev:

Örnek 10

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Dersin son bölümü daha az yaygın olanlara ayrılacak, ancak aynı zamanda önemli türler düzlemde düz bir çizginin denklemleri

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.
Parametrik formda bir doğrunun denklemi

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi, sıfırdan farklı sabitlerin olduğu formdadır. Doğru orantılılık gibi bazı denklem türleri bu biçimde temsil edilemez (çünkü serbest terim sıfıra eşittir ve sağ tarafa bir tane almanın yolu yoktur).

Bu mecazi anlamda “teknik” bir denklem türüdür. Yaygın bir görev, bir doğrunun genel denklemini parçalar halinde bir doğrunun denklemi olarak temsil etmektir. Nasıl uygun? Bir çizginin segmentler halinde denklemi, bir çizginin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar; bu, bazı yüksek matematik problemlerinde çok önemli olabilir.

Doğrunun eksenle kesişme noktasını bulalım. “Y”yi sıfıra sıfırlarız ve denklem şu şekli alır: İstenilen nokta otomatik olarak elde edilir: .

Eksen ile aynı – Düz çizginin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta.

K(x 0 ; y 0) noktasından geçen ve y = kx + a doğrusuna paralel olan doğru şu formülle bulunur:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Burada k doğrunun eğimidir.

Alternatif formül:
M 1 (x 1 ; y 1) noktasından geçen ve Ax+By+C=0 çizgisine paralel bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

K( noktasından geçen bir doğrunun denklemini yazınız.) ;) y doğrusuna paralel = x+ .

Örnek No.1. M 0 (-2,1) noktasından aynı anda geçen düz bir çizginin denklemini yazın:
a) 2x+3y -7 = 0 düz çizgisine paralel;
b) 2x+3y -7 = 0 düz çizgisine dik.
Çözüm . Eğimi y = kx + a şeklinde olan denklemi hayal edelim. Bunu yapmak için y dışındaki tüm değerleri sağ tarafa taşıyın: 3y = -2x + 7 . Daha sonra sağ tarafı 3 katına bölün. Şunu elde ederiz: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 düz çizgisine paralel, K(-2;1) noktasından geçen NK denklemini bulalım.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1'i yerine koyarsak şunu elde ederiz:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
veya
y = -2 / 3 x - 1 / 3 veya 3y + 2x +1 = 0

Örnek No.2. 2x + 5y = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle birlikte alanı 5 olan bir üçgen oluşturan bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm . Doğrular paralel olduğundan istenilen doğrunun denklemi 2x + 5y + C = 0 olur. Alan dik üçgen, burada a ve b bacaklarıdır. İstenilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulalım:
;
.
Yani A(-C/2,0), B(0,-C/5). Bunu alan formülünde yerine koyalım: . İki çözüm elde ederiz: 2x + 5y + 10 = 0 ve 2x + 5y – 10 = 0.

Örnek No. 3. (-2; 5) noktasından geçen ve 5x-7y-4=0 doğrusuna paralel bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm. Bu düz çizgi y = 5/7 x – 4/7 (burada a = 5/7) denklemiyle temsil edilebilir. İstenilen doğrunun denklemi y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) yani. 7(y-5)=5(x+2) veya 5x-7y+45=0 .

Örnek No. 4. Örnek 3'ü (A=5, B=-7) formül (2)'yi kullanarak çözdükten sonra 5(x+2)-7(y-5)=0 buluruz.

Örnek No. 5. (-2;5) noktasından geçen ve 7x+10=0 doğrusuna paralel olan bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm. Burada A=7, B=0. Formül (2) 7(x+2)=0 sonucunu verir, yani. x+2=0. Formül (1) uygulanamaz çünkü verilen denklem y'ye göre çözülemez (bu çizgi y eksenine paraleldir).