Memfaktorkan ekspresi literal. Cara Memfaktorkan Persamaan Aljabar

Saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, sering kali kita perlu memfaktorkan polinomial yang derajatnya tiga atau lebih tinggi. Pada artikel ini kita akan melihat cara termudah untuk melakukan ini.

Seperti biasa, mari beralih ke teori untuk mendapatkan bantuan.

teorema Bezout menyatakan bahwa sisa pembagian polinomial dengan binomial adalah .

Namun yang penting bagi kita bukanlah teorema itu sendiri, melainkan akibat wajar darinya:

Jika bilangan tersebut merupakan akar suatu polinomial, maka polinomial tersebut habis dibagi binomial tanpa sisa.

Kita dihadapkan pada tugas untuk menemukan setidaknya satu akar polinomial, kemudian membagi polinomial tersebut dengan , di mana adalah akar polinomial tersebut. Hasilnya, kita memperoleh polinomial yang derajatnya lebih kecil satu dari derajat aslinya. Dan kemudian, jika perlu, Anda dapat mengulangi prosesnya.

Tugas ini dibagi menjadi dua: cara mencari akar polinomial, dan cara membagi polinomial dengan binomial.

Mari kita lihat lebih dekat poin-poin ini.

1. Cara mencari akar suatu polinomial.

Pertama, kita periksa apakah bilangan 1 dan -1 merupakan akar polinomial.

Fakta-fakta berikut akan membantu kita di sini:

Jika jumlah seluruh koefisien suatu polinomial adalah nol, maka bilangan tersebut adalah akar dari polinomial tersebut.

Misalnya, dalam polinomial, jumlah koefisiennya adalah nol: . Sangat mudah untuk memeriksa apa itu akar polinomial.

Jika jumlah koefisien suatu polinomial pangkat genap sama dengan jumlah koefisien pangkat ganjil, maka bilangan tersebut adalah akar polinomial tersebut. Suku bebas dianggap sebagai koefisien derajat genap, karena a adalah bilangan genap.

Misalnya, dalam polinomial, jumlah koefisien pangkat genap adalah: , dan jumlah koefisien pangkat ganjil adalah: . Sangat mudah untuk memeriksa apa itu akar polinomial.

Jika 1 dan -1 bukan merupakan akar polinomial, maka kita lanjutkan.

Untuk derajat polinomial tereduksi (yaitu, polinomial yang koefisien utamanya - koefisien pada - sama dengan satu), rumus Vieta berlaku:

Dimana akar-akar polinomialnya.

Ada juga rumus Vieta mengenai sisa koefisien polinomial, namun kami tertarik dengan rumus ini.

Dari formula Vieta ini dapat disimpulkan bahwa jika akar-akar suatu polinomial adalah bilangan bulat, maka akar-akar tersebut adalah pembagi suku bebasnya, yang juga merupakan bilangan bulat.

Berdasarkan ini, kita perlu memfaktorkan suku bebas polinomial tersebut menjadi faktor-faktornya, dan secara berurutan, dari yang terkecil hingga yang terbesar, memeriksa faktor mana yang merupakan akar dari polinomial tersebut.

Misalnya saja polinomial

Pembagi istilah bebas: ; ; ;

Jumlah semua koefisien suatu polinomial sama dengan , oleh karena itu, angka 1 bukanlah akar dari polinomial tersebut.

Jumlah koefisien pangkat genap:

Jumlah koefisien pangkat ganjil:

Oleh karena itu, bilangan -1 juga bukan merupakan akar polinomial.

Mari kita periksa apakah bilangan 2 adalah akar polinomial: oleh karena itu, bilangan 2 adalah akar polinomial. Artinya, menurut teorema Bezout, polinomial habis dibagi binomial tanpa sisa.

2. Cara membagi polinomial menjadi binomial.

Polinomial dapat dibagi menjadi binomial dengan kolom.

Bagilah polinomial dengan binomial menggunakan kolom:

Ada cara lain untuk membagi polinomial dengan binomial - skema Horner.

Tonton video ini untuk memahaminya cara membagi polinomial dengan binomial dengan kolom, dan menggunakan skema Horner.

Saya perhatikan bahwa jika, ketika membagi dengan kolom, beberapa derajat yang tidak diketahui hilang dalam polinomial aslinya, kita menulis 0 sebagai gantinya - dengan cara yang sama seperti ketika menyusun tabel untuk skema Horner.

Jadi, jika kita perlu membagi polinomial dengan binomial dan sebagai hasil pembagian kita mendapatkan polinomial, maka kita dapat mencari koefisien polinomial tersebut menggunakan skema Horner:

Kita juga bisa menggunakan Skema Horner untuk memeriksa apakah suatu bilangan merupakan akar suatu polinomial: jika bilangan tersebut adalah akar suatu polinomial, maka sisa pembagian polinomial tersebut dengan sama dengan nol, yaitu pada kolom terakhir dari baris kedua dari Diagram Horner kita mendapatkan 0.

Dengan menggunakan skema Horner, kita "membunuh dua burung dengan satu batu": kita secara bersamaan memeriksa apakah bilangan tersebut merupakan akar dari polinomial dan membagi polinomial ini dengan binomial.

Contoh. Selesaikan persamaan:

1. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas dan mencari akar-akar polinomial di antara pembagi suku bebas tersebut.

Pembagi 24:

2. Mari kita periksa apakah bilangan 1 adalah akar dari polinomial.

Jumlah koefisien suatu polinomial, oleh karena itu, angka 1 adalah akar dari polinomial tersebut.

3. Bagilah polinomial asal menjadi binomial menggunakan skema Horner.

A) Mari kita tuliskan koefisien polinomial asal pada baris pertama tabel.

Karena suku yang memuatnya tidak ada, maka pada kolom tabel yang harus dituliskan koefisiennya kita tulis 0. Di sebelah kiri kita tulis akar yang ditemukan: angka 1.

B) Isi baris pertama tabel.

Di kolom terakhir, seperti yang diharapkan, kita mendapatkan nol; kita membagi polinomial asli dengan binomial tanpa sisa. Koefisien polinomial hasil pembagian ditunjukkan dengan warna biru pada baris kedua tabel:

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa angka 1 dan -1 bukan akar polinomial

B) Mari kita lanjutkan tabelnya. Mari kita periksa apakah bilangan 2 adalah akar polinomial:

Jadi derajat polinomial yang diperoleh dari hasil pembagian satu lebih kecil dari derajat polinomial aslinya, oleh karena itu jumlah koefisien dan jumlah kolomnya lebih sedikit satu.

Di kolom terakhir kita mendapatkan -40 - bilangan yang tidak sama dengan nol, oleh karena itu, polinomial tersebut habis dibagi binomial dengan sisa, dan bilangan 2 bukanlah akar dari polinomial tersebut.

C) Mari kita periksa apakah bilangan -2 adalah akar polinomial. Karena upaya sebelumnya gagal, untuk menghindari kebingungan dengan koefisien, saya akan menghapus baris yang sesuai dengan upaya ini:

Besar! Kita mendapat nol sebagai sisa, oleh karena itu polinomial tersebut habis dibagi binomial tanpa sisa, oleh karena itu bilangan -2 adalah akar dari polinomial tersebut. Koefisien polinomial yang diperoleh dengan membagi polinomial dengan binomial ditunjukkan dalam warna hijau pada tabel.

Sebagai hasil pembagian kita mendapatkan trinomial kuadrat , yang akarnya dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta:

Jadi, akar-akar persamaan aslinya adalah:

{}

Menjawab: ( }

Memperluas polinomial untuk mendapatkan suatu produk terkadang tampak membingungkan. Namun tidak terlalu sulit jika Anda memahami prosesnya langkah demi langkah. Artikel ini menjelaskan secara rinci cara memfaktorkan trinomial kuadrat.

Banyak orang tidak memahami cara memfaktorkan trinomial persegi, dan mengapa hal ini dilakukan. Pada awalnya ini mungkin tampak seperti latihan yang sia-sia. Namun dalam matematika tidak ada yang dilakukan dengan sia-sia. Transformasi diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi dan kemudahan perhitungan.

Polinomial berbentuk – ax²+bx+c, disebut trinomial kuadrat. Istilah "a" harus negatif atau positif. Dalam praktiknya, ungkapan ini disebut persamaan kuadrat. Oleh karena itu, terkadang mereka mengatakannya secara berbeda: bagaimana memperluas persamaan kuadrat.

Menarik! Polinomial disebut persegi karena derajat terbesarnya, yaitu persegi. Dan trinomial - karena 3 komponen.

Beberapa jenis polinomial lainnya:

• binomial linier (6x+8);
• segi empat kubik (x³+4x²-2x+9).

Memfaktorkan trinomial kuadrat

Pertama, ekspresinya sama dengan nol, lalu Anda perlu mencari nilai akar x1 dan x2. Mungkin tidak ada akar, mungkin ada satu atau dua akar. Kehadiran akar ditentukan oleh diskriminan. Anda perlu hafal rumusnya: D=b²-4ac.

Jika hasil D negatif maka tidak ada akar-akarnya. Jika positif, ada dua akar. Jika hasilnya nol maka akarnya satu. Akarnya juga dihitung menggunakan rumus.

Jika, saat menghitung diskriminan, hasilnya nol, Anda dapat menggunakan rumus apa pun. Dalam prakteknya, rumusnya disingkat saja: -b / 2a.

Rumus untuk arti yang berbeda diskriminan berbeda.

Jika D positif:

Jika D nol:

Kalkulator online

Di Internet ada kalkulator daring. Dapat digunakan untuk melakukan faktorisasi. Beberapa sumber memberikan kesempatan untuk melihat solusi langkah demi langkah. Layanan semacam itu membantu untuk lebih memahami topik tersebut, namun Anda perlu mencoba memahaminya dengan baik.

Video yang bermanfaat: Memfaktorkan trinomial kuadrat

Contoh

Kami mengundang Anda untuk melihat contoh sederhana, cara memfaktorkan persamaan kuadrat.

Contoh 1

Hal ini jelas menunjukkan bahwa hasilnya adalah dua x karena D positif. Mereka perlu diganti ke dalam formula. Jika akar-akarnya negatif, tanda rumusnya berubah menjadi sebaliknya.

Kita mengetahui rumus memfaktorkan trinomial kuadrat: a(x-x1)(x-x2). Kami menempatkan nilainya dalam tanda kurung: (x+3)(x+2/3). Tidak ada angka sebelum suatu suku dalam suatu pangkat. Artinya ada yang disana, turun.

Contoh 2

Contoh ini dengan jelas menunjukkan cara menyelesaikan persamaan yang memiliki satu akar.

Kami mengganti nilai yang dihasilkan:

Contoh 3

Diberikan: 5x²+3x+7

Pertama, mari kita hitung diskriminannya, seperti pada kasus sebelumnya.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminannya negatif, artinya tidak ada akar.

Setelah menerima hasilnya, Anda harus membuka tanda kurung dan memeriksa hasilnya. Trinomial aslinya akan muncul.

Solusi alternatif

Beberapa orang tidak pernah bisa berteman dengan pelaku diskriminasi. Ada cara lain untuk memfaktorkan trinomial kuadrat. Untuk kenyamanan, metode ini ditunjukkan dengan sebuah contoh.

Diberikan: x²+3x-10

Kita tahu bahwa kita harus mendapatkan 2 tanda kurung: (_)(_). Ketika ekspresi terlihat seperti ini: x²+bx+c, di awal setiap tanda kurung kita letakkan x: (x_)(x_). Dua bilangan sisanya adalah hasil perkalian “c”, yaitu dalam hal ini -10. Satu-satunya cara untuk mengetahui angka-angka ini adalah dengan seleksi. Nomor yang diganti harus sesuai dengan sisa suku.

Misalnya, mengalikan angka-angka berikut menghasilkan -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. TIDAK.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. TIDAK.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. TIDAK.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Cocok.

Artinya transformasi ekspresi x2+3x-10 terlihat seperti ini: (x-2)(x+5).

Penting! Anda harus berhati-hati agar tidak mengacaukan tanda-tandanya.

Perluasan trinomial kompleks

Jika “a” lebih besar dari satu, kesulitan dimulai. Namun semuanya tidak sesulit kelihatannya.

Untuk memfaktorkan, pertama-tama Anda perlu melihat apakah ada sesuatu yang bisa difaktorkan.

Misalnya, diberikan ekspresi: 3x²+9x-30. Di sini angka 3 dikeluarkan dari tanda kurung:

3(x²+3x-10). Hasilnya adalah trinomial yang sudah terkenal. Jawabannya seperti ini: 3(x-2)(x+5)

Bagaimana cara menguraikan jika suku yang ada pada kuadrat itu negatif? DI DALAM pada kasus ini Angka -1 dikeluarkan dari tanda kurung. Misalnya: -x²-10x-8. Ekspresinya kemudian akan terlihat seperti ini:

Skemanya sedikit berbeda dari sebelumnya. Hanya ada beberapa hal baru. Katakanlah ekspresi yang diberikan: 2x²+7x+3. Jawabannya juga ditulis dalam 2 tanda kurung yang perlu diisi (_)(_). Di kurung ke-2 tertulis x, dan di kurung ke-1 ada yang tersisa. Tampilannya seperti ini: (2x_)(x_). Jika tidak, skema sebelumnya akan diulangi.

Angka 3 diberikan oleh angka:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Kami memecahkan persamaan dengan mensubstitusi angka-angka ini. Opsi terakhir akan berhasil. Artinya transformasi ekspresi 2x²+7x+3 terlihat seperti ini: (2x+1)(x+3).

Kasus lainnya

Tidak selalu mungkin untuk mengubah suatu ekspresi. Dengan metode kedua, penyelesaian persamaan tidak diperlukan. Tetapi kemungkinan mengubah istilah menjadi suatu produk hanya diperiksa melalui diskriminan.

Penting untuk berlatih untuk memutuskan persamaan kuadrat agar tidak kesulitan dalam menggunakan rumus.

Video yang berguna: memfaktorkan trinomial

Kesimpulan

Anda dapat menggunakannya dengan cara apa pun. Namun lebih baik melatih keduanya hingga menjadi otomatis. Selain itu, mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dan polinomial faktor dengan baik juga penting bagi mereka yang berencana menghubungkan kehidupan mereka dengan matematika. Semua topik matematika berikut dibangun berdasarkan ini.

Memfaktorkan polinomial adalah transformasi identitas, akibatnya polinomial diubah menjadi produk beberapa faktor - polinomial atau monomial.

Ada beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial.

Metode 1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Transformasi ini didasarkan pada hukum perkalian distributif: ac + bc = c(a + b). Inti dari transformasi adalah mengisolasi faktor persekutuan dalam dua komponen yang dipertimbangkan dan “mengeluarkannya” dari tanda kurung.

Mari kita faktorkan polinomialnya 28x 3 – 35x 4.

Larutan.

1. Tentukan pembagi persekutuan untuk unsur-unsur 28x3 dan 35x4. Untuk tanggal 28 dan 35 akan menjadi 7; untuk x 3 dan x 4 – x 3. Dengan kata lain, faktor persekutuan kita adalah 7x 3.

2. Kami menyatakan setiap elemen sebagai produk dari faktor-faktor, salah satunya
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metode 2. Menggunakan rumus perkalian yang disingkat. “Penguasaan” menggunakan metode ini adalah memperhatikan salah satu rumus perkalian yang disingkat dalam ekspresi.

Mari kita faktorkan polinomialnya x 6 – 1.

Larutan.

1. Kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat pada persamaan ini. Untuk melakukan ini, bayangkan x 6 sebagai (x 3) 2, dan 1 sebagai 1 2, mis. 1. Ekspresinya akan berbentuk:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Kita dapat menerapkan rumus jumlah dan selisih kubus pada ekspresi yang dihasilkan:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Jadi,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metode 3. Pengelompokan. Cara pengelompokannya adalah dengan menggabungkan komponen-komponen suatu polinomial sedemikian rupa sehingga mudah untuk melakukan operasi terhadap komponen-komponen tersebut (penjumlahan, pengurangan, pengurangan faktor persekutuan).

Mari kita faktorkan polinomialnya x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Larutan.

1. Mari kita kelompokkan komponen-komponennya dengan cara ini: ke-1 dengan ke-2, dan ke-3 dengan ke-4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung: x 2 pada kasus pertama dan 5 pada kasus kedua.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Kita keluarkan faktor persekutuan x – 3 dari tanda kurung dan peroleh:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Jadi,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Mari amankan materinya.

Faktorkan polinomial a 2 – 7ab + 12b 2 .

Larutan.

1. Mari kita nyatakan monomial 7ab sebagai jumlah 3ab + 4ab. Ekspresinya akan berbentuk:
sebuah 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mari kita buka tanda kurung dan dapatkan:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Mari kita kelompokkan komponen polinomial dengan cara ini: ke-1 dengan ke-2 dan ke-3 dengan ke-4. Kita mendapatkan:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Mari kita keluarkan faktor persekutuannya:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Mari kita keluarkan faktor persekutuan (a – 3b) dari tanda kurung:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Jadi,
sebuah 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Memfaktorkan bilangan yang besar bukanlah tugas yang mudah. Kebanyakan orang kesulitan menemukan empat atau lima digit angka. Untuk mempermudah prosesnya, tuliskan angka di atas kedua kolom tersebut.

• Mari kita faktorkan bilangan 6552.

Bagilah suatu bilangan dengan pembagi prima terkecil (selain 1) yang membagi bilangan tersebut tanpa meninggalkan sisa. Tuliskan pembaginya di kolom kiri, dan tuliskan hasil pembagiannya di kolom kanan. Seperti disebutkan di atas, bilangan genap mudah difaktorkan karena faktor prima terkecilnya akan selalu sama dengan 2 (bilangan ganjil memiliki faktor prima terkecil yang berbeda).

• Dalam contoh kita, 6552 adalah bilangan genap, jadi 2 adalah faktor prima terkecilnya. 6552 2 = 3276. Tulis 2 di kolom kiri dan 3276 di kolom kanan.

Selanjutnya, bagi bilangan di kolom kanan dengan faktor prima terkecil (selain 1) yang membagi bilangan tersebut tanpa menyisakan sisa. Tuliskan pembagi ini pada kolom kiri, dan pada kolom kanan tuliskan hasil pembagiannya (lanjutkan proses ini hingga tidak tersisa 1 pada kolom kanan).

• Contoh kita: 3276 2 = 1638. Tulis 2 di kolom kiri, dan 1638 di kolom kanan.Berikutnya: 1638 2 = 819. Tulis 2 di kolom kiri, dan 819 di kolom kanan.

Anda mendapat angka ganjil; Untuk bilangan seperti itu, lebih sulit mencari pembagi prima terkecil. Jika Anda mendapatkan bilangan ganjil, coba bagi dengan bilangan ganjil prima terkecil: 3, 5, 7, 11.

• Dalam contoh kita, Anda menerima bilangan ganjil 819. Bagilah dengan 3: 819 3 = 273. Tulis 3 di kolom kiri dan 273 di kolom kanan.
• Saat memilih pembagi, cobalah semuanya bilangan prima hingga akar pangkat dua dari pembagi terbesar yang Anda temukan. Jika tidak ada pembagi yang membagi bilangan tersebut dengan bilangan bulat, kemungkinan besar Anda memiliki bilangan prima dan dapat berhenti menghitung.

Lanjutkan proses membagi bilangan dengan faktor prima hingga tersisa angka 1 di kolom kanan (jika didapat bilangan prima di kolom kanan, bagilah dengan bilangan itu sendiri untuk mendapatkan angka 1).

• Mari kita lanjutkan perhitungan pada contoh kita:
  • Bagi dengan 3: 273 3 = 91. Tidak ada sisa. Tuliskan 3 di kolom kiri dan 91 di kolom kanan.
  • Bagilah dengan 3. 91 habis dibagi 3 dan ada sisa, jadi bagilah dengan 5. 91 habis dibagi 5 dengan sisa, jadi bagilah dengan 7: 91 7 = 13. Tidak ada sisa. Tuliskan 7 di kolom kiri dan 13 di kolom kanan.
  • Bagilah dengan 7. 13 habis dibagi 7 dan ada sisa, jadi bagilah dengan 11. 13 habis dibagi 11 dengan sisa, jadi bagilah dengan 13: 13 13 = 1. Tidak ada sisa. Tulislah 13 pada kolom kiri dan 1 pada kolom kanan, perhitungan anda sudah selesai.

Kolom kiri menunjukkan faktor prima dari bilangan asli. Dengan kata lain, ketika Anda mengalikan semua angka di kolom kiri, Anda akan mendapatkan angka yang tertulis di atas kolom tersebut. Jika faktor yang sama muncul lebih dari satu kali dalam daftar faktor, gunakan eksponen untuk menunjukkannya. Dalam contoh kita, 2 muncul 4 kali dalam daftar pengganda; tuliskan faktor-faktor ini sebagai 2 4 dan bukan 2*2*2*2.

• Dalam contoh kita, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Anda memfaktorkan 6552 menjadi faktor prima (urutan faktor dalam notasi ini tidak menjadi masalah).

Memfaktorkan persamaan adalah proses menemukan suku atau ekspresi yang, jika dikalikan, menghasilkan persamaan awal. Pemfaktoran adalah keterampilan yang berguna untuk memecahkan masalah aljabar dasar, dan menjadi sangat penting ketika mengerjakan persamaan kuadrat dan polinomial lainnya. Pemfaktoran digunakan untuk menyederhanakan persamaan aljabar agar lebih mudah diselesaikan. Pemfaktoran dapat membantu Anda menghilangkan kemungkinan jawaban tertentu lebih cepat dibandingkan menyelesaikan persamaan secara manual.

Langkah

Memfaktorkan bilangan dan ekspresi aljabar dasar

1. Memfaktorkan bilangan. Konsep pemfaktoran sederhana, namun dalam praktiknya, pemfaktoran dapat menjadi tantangan (jika diberikan persamaan yang rumit). Oleh karena itu, pertama-tama mari kita lihat konsep faktorisasi dengan menggunakan contoh bilangan, dan lanjutkan persamaan sederhana, lalu lanjutkan ke persamaan kompleks. Pengganda nomor yang diberikan- Ini adalah bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Misalnya faktor bilangan 12 adalah bilangan: 1, 12, 2, 6, 3, 4, karena 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Demikian pula, Anda dapat menganggap faktor-faktor suatu bilangan sebagai pembaginya, yaitu bilangan-bilangan yang habis dibagi.
   • Temukan semua faktor dari angka 60. Kita sering menggunakan angka 60 (misalnya 60 menit dalam satu jam, 60 detik dalam satu menit, dll) dan angka ini cukup sejumlah besar pengganda.
     • 60 pengganda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60.

2. Ingat: suku-suku ekspresi yang mengandung koefisien (angka) dan variabel juga dapat difaktorkan. Untuk melakukan ini, carilah faktor koefisien untuk variabel tersebut. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku persamaan, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan persamaan ini.

   • Misalnya, suku 12x dapat ditulis sebagai hasil kali 12 dan x. Anda juga dapat menulis 12x sebagai 3(4x), 2(6x), dst., dengan mengelompokkan 12 menjadi faktor-faktor yang paling sesuai untuk Anda.
     • Anda dapat bertransaksi 12x beberapa kali berturut-turut. Dengan kata lain, Anda tidak boleh berhenti di 3(4x) atau 2(6x); lanjutkan pemuaian: 3(2(2x)) atau 2(3(2x)) (tentu saja 3(4x)=3(2(2x)), dst.)

3. Terapkan sifat distributif perkalian pada persamaan aljabar faktor. Mengetahui cara memfaktorkan bilangan dan suku ekspresi (koefisien dengan variabel), Anda dapat menyederhanakan persamaan aljabar sederhana dengan mencari faktor persekutuan suatu bilangan dan suku ekspresi. Biasanya, untuk menyederhanakan persamaan, Anda perlu mencari faktor persekutuan terbesar (PBB). Penyederhanaan ini dimungkinkan karena sifat distributif perkalian: untuk sembarang bilangan a, b, c, persamaan a(b+c) = ab+ac benar.

   • Contoh. Faktorkan persamaan 12x + 6. Pertama, carilah gcd dari 12x dan 6. 6 adalah bilangan terbesar yang membagi 12x dan 6, sehingga persamaan ini dapat difaktorkan dengan: 6(2x+1).
   • Proses ini juga berlaku untuk persamaan yang mempunyai suku negatif dan pecahan. Misalnya, x/2+4 dapat difaktorkan menjadi 1/2(x+8); misalnya -7x+(-21) dapat difaktorkan menjadi -7(x+3).

   Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

   1. Pastikan persamaan diberikan dalam bentuk kuadrat (ax 2 + bx + c = 0). Persamaan kuadrat berbentuk: ax 2 + bx + c = 0, dimana a, b, c adalah koefisien numerik selain 0. Jika diberikan persamaan dengan satu variabel (x) dan dalam persamaan tersebut terdapat satu atau lebih suku dengan variabel orde kedua , Anda dapat memindahkan semua suku persamaan ke salah satu sisi persamaan dan menyetelnya sama dengan nol.

      • Misalnya persamaan: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan x 2 + 6x + 9 = 0, yang merupakan persamaan kuadrat.
      • Persamaan dengan variabel x orde besar, misalnya x 3, x 4, dst. bukan persamaan kuadrat. Ini adalah persamaan kubik, persamaan orde keempat, dan seterusnya (kecuali persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi persamaan kuadrat dengan variabel x dipangkatkan 2).

   2. Persamaan kuadrat, dimana a = 1, diperluas menjadi (x+d)(x+e), dimana d*e=c dan d+e=b. Jika persamaan kuadrat yang diberikan kepada Anda berbentuk: x 2 + bx + c = 0 (yaitu koefisien x 2 adalah 1), maka persamaan tersebut dapat (tetapi tidak dijamin) diperluas ke faktor-faktor di atas. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan dua bilangan yang, jika dikalikan, menghasilkan “c”, dan jika dijumlahkan, “b”. Setelah Anda menemukan dua angka ini (d dan e), substitusikan keduanya ke dalam persamaan berikut: (x+d)(x+e), yang jika tanda kurung dibuka, akan menghasilkan persamaan awal.

      • Misalnya, diberikan persamaan kuadrat x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 dan 3+2=5, maka persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi (x+3)(x+2).
      • Untuk suku negatif, lakukan perubahan kecil berikut pada proses faktorisasi:
        • Jika suatu persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx+c, maka persamaan tersebut diperluas menjadi: (x-_)(x-_).
        • Jika suatu persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx-c, maka persamaan tersebut diperluas menjadi: (x+_)(x-_).
      • Catatan: spasi bisa diganti dengan pecahan atau angka desimal. Misalnya persamaan x 2 + (21/2)x + 5 = 0 diperluas menjadi (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorisasi dengan cara coba-coba. Persamaan kuadrat sederhana dapat difaktorkan hanya dengan memasukkan angka-angka tersebut ke dalam solusi yang mungkin sampai Anda menemukannya keputusan yang tepat. Jika persamaan berbentuk ax 2 +bx+c, dengan a>1, penyelesaian yang mungkin ditulis dalam bentuk (dx +/- _)(ex +/- _), dengan d dan e adalah koefisien numerik bukan nol , yang bila dikalikan menghasilkan a. D atau e (atau kedua koefisien) bisa sama dengan 1. Jika kedua koefisien sama dengan 1, maka gunakan metode yang dijelaskan di atas.

      • Misalnya diberikan persamaan 3x 2 - 8x + 4. Di sini 3 hanya memiliki dua faktor (3 dan 1), sehingga penyelesaian yang mungkin ditulis sebagai (3x +/- _)(x +/- _). Dalam hal ini, dengan mengganti spasi -2, Anda akan menemukan jawaban yang benar: -2*3x=-6x dan -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x dan -2*-2=4, artinya pemuaian seperti itu saat membuka tanda kurung akan menghasilkan suku-suku persamaan aslinya.