Cara mencari determinan matriks 4x4 menggunakan metode Cramer. Aturan Cramer

Misalkan sistem persamaan linier memuat persamaan sebanyak jumlah variabel bebas, yaitu. sepertinya

Sistem seperti itu persamaan linier disebut persegi. Penentu yang terdiri dari koefisien variabel bebas sistem (1,5) disebut determinan utama sistem. Kami akan melambangkannya dengan huruf Yunani D. Jadi,

. (1.6)

Jika determinan utama mengandung sembarang ( J th) kolom, ganti dengan kolom ketentuan bebas sistem (1.5), maka Anda bisa mendapatkan N kualifikasi tambahan:

(J = 1, 2, …, N). (1.7)

aturan Cramer penyelesaian sistem kuadrat persamaan linear adalah sebagai berikut. Jika determinan utama D sistem (1.5) berbeda dari nol, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik, yang dapat dicari dengan menggunakan rumus:

(1.8)

Contoh 1.5. Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Cramer

.

Mari kita hitung determinan utama sistem:

Sejak D¹0, sistem memiliki solusi unik, yang dapat dicari menggunakan rumus (1.8):

Dengan demikian,

Tindakan pada matriks

1. Mengalikan matriks dengan suatu bilangan. Operasi perkalian matriks dengan suatu bilangan didefinisikan sebagai berikut.

2. Untuk mengalikan matriks dengan suatu bilangan, Anda perlu mengalikan semua elemennya dengan bilangan tersebut. Yaitu

. (1.9)

Contoh 1.6. .

Penambahan matriks.

Operasi ini hanya dilakukan untuk matriks-matriks berorde sama.

Untuk menjumlahkan dua matriks, perlu menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks lain ke elemen-elemen dari satu matriks:

(1.10)
Operasi penjumlahan matriks mempunyai sifat asosiatif dan komutatif.

Contoh 1.7. .

Perkalian matriks.

Jika jumlah kolom matriks A bertepatan dengan jumlah baris matriks DI DALAM, maka untuk matriks tersebut operasi perkalian dilakukan:

2

Jadi, saat mengalikan suatu matriks A ukuran M´ N ke matriks DI DALAM ukuran N´ k kita mendapatkan matriks DENGAN ukuran M´ k. Dalam hal ini, elemen matriks DENGAN dihitung oleh rumus berikut:

Masalah 1.8. Temukan, jika mungkin, produk matriks AB Dan B.A.:

Larutan. 1) Untuk mencari pekerjaan AB, Anda memerlukan baris matriks A kalikan dengan kolom matriks B:

2) Bekerja B.A. tidak ada, karena jumlah kolom matriks B tidak sesuai dengan jumlah baris matriks A.

Matriks terbalik. Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode matriks

Matriks A- 1 disebut invers matriks persegi A, jika persamaan terpenuhi:

melalui mana SAYA menunjukkan matriks identitas yang ordonya sama dengan matriks A:

.

Agar matriks persegi memiliki invers, determinannya harus berbeda dari nol. Matriks invers dicari dengan menggunakan rumus:

, (1.13)

Di mana Sebuah ij- penambahan aljabar pada elemen sebuah ij matriks A(perhatikan bahwa penambahan aljabar pada baris matriks A terletak pada matriks invers dalam bentuk kolom-kolom yang bersesuaian).

Contoh 1.9. Temukan matriks inversnya A- 1 ke matriks

.

Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus (1.13), yang untuk kasus ini N= 3 berbentuk:

.

Mari kita temukan jawabannya A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Karena determinan matriks asal bukan nol, maka matriks inversnya ada.

1) Temukan komplemen aljabar Sebuah ij:

Untuk kemudahan lokasi matriks terbalik, kami menempatkan penjumlahan aljabar pada baris matriks asli di kolom yang sesuai.

Dari penjumlahan aljabar yang diperoleh kita buat matriks baru dan membaginya dengan determinan det A. Jadi, kita mendapatkan matriks inversnya:

Sistem persamaan linier kuadrat dengan determinan utama bukan nol dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers. Untuk melakukan ini, sistem (1.5) ditulis bentuk matriks:

Di mana

Mengalikan kedua ruas persamaan (1,14) dari kiri dengan A- 1, kami mendapatkan solusi untuk sistem:

, Di mana

Jadi, untuk mencari solusinya sistem persegi, Anda perlu mencari matriks invers dari matriks utama sistem dan mengalikannya di sebelah kanan dengan matriks kolom suku bebas.

Soal 1.10. Memecahkan sistem persamaan linear

menggunakan matriks invers.

Larutan. Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks: ,

Di mana - matriks utama sistem, - kolom yang tidak diketahui dan - kolom suku bebas. Karena penentu utama sistem , lalu matriks utama sistem A mempunyai matriks invers A-1. Untuk mencari matriks invers A-1 , kita menghitung komplemen aljabar untuk semua elemen matriks A:

Dari bilangan-bilangan yang diperoleh kita akan membuat matriks (dan penjumlahan aljabar pada baris-baris matriks tersebut A tuliskan pada kolom yang sesuai) dan bagi dengan determinan D. Jadi, kita mendapatkan matriks inversnya:

Kami menemukan solusi sistem menggunakan rumus (1.15):

Dengan demikian,

Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Jordan biasa

Biarkan sistem persamaan linear sembarang (tidak harus kuadrat) diberikan:

(1.16)

Diperlukan untuk menemukan solusi untuk sistem, yaitu. sekumpulan variabel yang memenuhi semua persamaan sistem (1.16). DI DALAM kasus umum sistem (1.16) tidak hanya mempunyai satu solusi, tetapi juga solusi yang tak terhitung jumlahnya. Mungkin juga tidak ada solusi sama sekali.

Saat memecahkan masalah seperti itu, yang terkenal kursus sekolah metode eliminasi yang tidak diketahui, yang disebut juga metode eliminasi Jordan biasa. Intinya metode ini terletak pada kenyataan bahwa dalam salah satu persamaan sistem (1.16) salah satu variabel dinyatakan dalam variabel lain. Variabel ini kemudian disubstitusikan ke persamaan lain dalam sistem. Hasilnya adalah sistem yang memuat satu persamaan dan satu variabel lebih kecil dari sistem aslinya. Persamaan dari mana variabel dinyatakan diingat.

Proses ini diulangi hingga tersisa satu persamaan terakhir dalam sistem. Melalui proses menghilangkan hal yang tidak diketahui, beberapa persamaan dapat menjadi identitas sebenarnya, misalnya. Persamaan seperti itu dikecualikan dari sistem, karena persamaan tersebut dipenuhi untuk nilai variabel apa pun dan, oleh karena itu, tidak mempengaruhi solusi sistem. Jika, dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, setidaknya satu persamaan menjadi persamaan yang tidak dapat dipenuhi untuk nilai variabel apa pun (misalnya), maka kita menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak memiliki solusi.

Jika tidak ada persamaan konflik yang muncul selama penyelesaian, maka salah satu variabel yang tersisa di dalamnya ditemukan dari persamaan terakhir. Jika hanya tersisa satu variabel pada persamaan terakhir, maka variabel tersebut dinyatakan sebagai bilangan. Jika variabel lain tetap berada dalam persamaan terakhir, maka variabel tersebut dianggap sebagai parameter, dan variabel yang dinyatakan melalui variabel tersebut akan menjadi fungsi dari parameter tersebut. Lalu yang disebut “ pukulan terbalik" Variabel yang ditemukan disubstitusikan ke persamaan yang terakhir diingat dan variabel kedua ditemukan. Kemudian kedua variabel yang ditemukan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan hafalan kedua dari belakang dan ditemukan variabel ketiga, begitu seterusnya hingga persamaan hafalan pertama.

Hasilnya, kami memperoleh solusi untuk sistem. Keputusan ini akan unik jika variabel yang ditemukan berupa angka. Jika variabel pertama yang ditemukan, dan kemudian variabel lainnya, bergantung pada parameternya, maka sistem akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas (setiap kumpulan parameter berhubungan dengan solusi baru). Rumus yang memungkinkan Anda menemukan solusi suatu sistem bergantung pada sekumpulan parameter tertentu disebut solusi umum sistem.

Contoh 1.11.

X

Setelah menghafal persamaan pertama dan dengan membawa suku-suku serupa pada persamaan kedua dan ketiga, kita sampai pada sistem:

Mari berekspresi kamu dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan pertama:

Mari kita ingat persamaan kedua, dan dari persamaan pertama kita temukan z:

Dengan bekerja mundur, kami secara konsisten menemukan kamu Dan z. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita substitusikan ke persamaan terakhir yang diingat, dari mana kita menemukannya kamu:

.

Lalu kita substitusikan ke persamaan pertama yang kita hafal dimana kita bisa menemukannya X:

Soal 1.12. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.17)

Larutan. Mari kita nyatakan variabel dari persamaan pertama X dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

.

Mari kita ingat persamaan pertama

Dalam sistem ini, persamaan pertama dan kedua saling bertentangan. Memang, mengekspresikan kamu , kita mendapatkan bahwa 14 = 17. Persamaan ini tidak berlaku untuk nilai variabel apa pun X, kamu, Dan z. Akibatnya, sistem (1.17) tidak konsisten, yaitu. tidak memiliki solusi.

Kami mengajak pembaca untuk memeriksa sendiri bahwa determinan utama sistem asli (1,17) sama dengan nol.

Mari kita perhatikan sistem yang berbeda dari sistem (1.17) hanya dengan satu suku bebas.

Soal 1.13. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.18)

Larutan. Seperti sebelumnya, kita menyatakan variabel dari persamaan pertama X dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

.

Mari kita ingat persamaan pertama dan menyajikan istilah serupa dalam persamaan kedua dan ketiga. Kami sampai pada sistem:

Mengekspresikan kamu dari persamaan pertama dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua , kita memperoleh identitas 14 = 14, yang tidak mempengaruhi solusi sistem, dan oleh karena itu, dapat dikeluarkan dari sistem.

Dalam persamaan terakhir yang diingat, variabel z kami akan menganggapnya sebagai parameter. Kami percaya. Kemudian

Mari kita gantikan kamu Dan z ke dalam persamaan pertama yang diingat dan temukan X:

.

Jadi, sistem (1.18) memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, dan solusi apa pun dapat ditemukan menggunakan rumus (1.19), dengan memilih nilai parameter yang berubah-ubah. T:

(1.19)
Jadi solusi sistem, misalnya, adalah himpunan variabel berikut (1; 2; 0), (2; 26; 14), dst. Rumus (1.19) menyatakan solusi umum (apa pun) dari sistem (1.18 ).

Dalam kasus ketika sistem asli (1.16) sudah cukup jumlah besar persamaan dan hal yang tidak diketahui, metode eliminasi Jordan biasa yang ditunjukkan tampaknya tidak praktis. Namun, hal ini tidak benar. Cukup dengan menurunkan algoritma untuk menghitung ulang koefisien sistem pada satu langkah pandangan umum dan merumuskan solusi masalah dalam bentuk tabel khusus Jordan.

Biarkan sistem bentuk linier (persamaan) diberikan:

, (1.20)
Di mana xj- variabel independen (yang dicari), sebuah ij- koefisien konstan
(saya = 1, 2,…, M; J = 1, 2,…, N). Bagian kanan dari sistem kamu aku (saya = 1, 2,…, M) dapat berupa variabel (tergantung) atau konstanta. Penting untuk menemukan solusi terhadap sistem ini dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui.

Mari kita perhatikan operasi berikut, yang selanjutnya disebut “satu langkah eliminasi Yordania biasa”. Dari sewenang-wenang ( R th) persamaan kita menyatakan variabel arbitrer ( xs) dan substitusikan ke semua persamaan lainnya. Tentu saja, ini hanya mungkin jika sebuah rs¹ 0. Koefisien sebuah rs disebut elemen penyelesaian (terkadang membimbing atau utama).

Kami akan mendapatkan sistem berikut:

. (1.21)

Dari S- persamaan sistem (1.21), selanjutnya kita cari variabelnya xs(setelah variabel yang tersisa ditemukan). S Baris -th diingat dan kemudian dikeluarkan dari sistem. Sistem yang tersisa akan berisi satu persamaan dan satu variabel independen yang lebih sedikit dibandingkan sistem aslinya.

Mari kita hitung koefisien sistem yang dihasilkan (1,21) melalui koefisien sistem asli (1,20). Mari kita mulai dengan R persamaan ke-th, yang setelah menyatakan variabel xs melalui variabel yang tersisa akan terlihat seperti ini:

Jadi, koefisien baru R persamaan ke-th dihitung menggunakan rumus berikut:

(1.23)
Sekarang mari kita hitung koefisien barunya b ij(Saya¹ R) dari persamaan arbitrer. Untuk melakukan ini, mari kita substitusikan variabel yang dinyatakan dalam (1.22) xs V Saya persamaan sistem (1.20):

Dengan membawa suku-suku serupa, kita mendapatkan:

(1.24)
Dari persamaan (1.24) kita memperoleh rumus yang digunakan untuk menghitung koefisien sisa sistem (1.21) (dengan pengecualian R persamaan ke-):

(1.25)
Transformasi sistem persamaan linear dengan metode eliminasi Jordan biasa disajikan dalam bentuk tabel (matriks). Tabel-tabel ini disebut “Tabel Jordan”.

Jadi, masalah (1.20) dikaitkan dengan tabel Jordan berikut:

Tabel 1.1

	X 1	X 2	…	xj	…	xs	…	xn
kamu 1 =	A 11	A 12		A 1J		A 1S		A 1N
…………………………………………………………………..
kamu aku=	sebuah saya 1	sebuah saya 2		sebuah ij		sebuah adalah		sebuah masuk
…………………………………………………………………..
kamu r=	sebuah r 1	sebuah r 2		sebuah rj		sebuah rs		arn
………………………………………………………………….
kamu n=	sebuah m 1	sebuah m 2		sebuah mj		sebuah nona		satu hal

Jordan tabel 1.1 berisi kolom header kiri dimana bagian kanan sistem (1.20) ditulis dan baris header atas dimana variabel independen ditulis.

Elemen tabel lainnya membentuk matriks utama koefisien sistem (1.20). Jika Anda mengalikan matriksnya A ke matriks yang terdiri dari unsur-unsur baris judul atas, diperoleh matriks yang terdiri dari unsur-unsur kolom judul kiri. Artinya, tabel Jordan pada hakikatnya merupakan bentuk matriks penulisan sistem persamaan linear: . Sistem (1.21) sesuai dengan tabel Jordan berikut:

Tabel 1.2

	X 1	X 2	…	xj	…	kamu r	…	xn
kamu 1 =	B 11	B 12		B 1 J		B 1 S		B 1 N
…………………………………………………………………..
kamu saya =	b saya 1	b saya 2		b ij		b adalah		masuk
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
kamu n =	bm 1	bm 2		b mj		bms		b mn

Unsur permisif sebuah rs Kami akan menyorotnya dengan huruf tebal. Ingatlah bahwa untuk menerapkan satu langkah eliminasi Jordan, elemen penyelesaiannya harus bukan nol. Baris tabel yang berisi elemen pengaktifan disebut baris pengaktifan. Kolom yang berisi elemen aktifkan disebut kolom aktifkan. Saat berpindah dari tabel tertentu ke tabel berikutnya, satu variabel ( xs) dari baris judul atas tabel dipindahkan ke kolom judul kiri dan, sebaliknya, salah satu anggota bebas sistem ( kamu r) berpindah dari kolom kepala kiri tabel ke baris kepala atas.

Mari kita jelaskan algoritma untuk menghitung ulang koefisien ketika berpindah dari tabel Jordan (1.1) ke tabel (1.2), yang mengikuti rumus (1.23) dan (1.25).

1. Elemen penyelesaian diganti dengan bilangan invers:

2. Elemen-elemen yang tersisa dari string penyelesaian dibagi dengan elemen penyelesaian dan diubah tandanya menjadi kebalikannya:

3. Sisa unsur kolom resolusi dibagi lagi menjadi unsur resolusi:

4. Unsur-unsur yang tidak termasuk dalam baris izin dan kolom izin dihitung ulang dengan menggunakan rumus:

Rumus terakhir mudah diingat jika Anda memperhatikan unsur-unsur penyusun pecahan , berada di persimpangan Saya-oh dan R-baris dan J th dan S kolom ke-th (baris penyelesaian, kolom penyelesaian, serta baris dan kolom pada perpotongan dimana elemen yang dihitung ulang berada). Lebih tepatnya saat menghafal rumus Anda dapat menggunakan diagram berikut:

-21 -26 -13 -37

Saat melakukan langkah pertama pengecualian Jordan, Anda dapat memilih elemen apa pun dari Tabel 1.3 yang terletak di kolom sebagai elemen penyelesaian X 1 ,…, X 5 (semua elemen yang ditentukan bukan nol). Hanya saja, jangan pilih elemen pengaktifan di kolom terakhir, karena Anda perlu mencari variabel independen X 1 ,…, X 5. Misalnya, kita memilih koefisien 1 dengan variabel X 3 pada baris ketiga Tabel 1.3 (elemen pengaktif ditampilkan dalam huruf tebal). Saat berpindah ke tabel 1.4, variabel X Angka 3 dari baris header atas ditukar dengan konstanta 0 pada kolom header kiri (baris ketiga). Dalam hal ini, variabelnya X 3 dinyatakan melalui variabel yang tersisa.

Rangkaian X 3 (Tabel 1.4), setelah mengingat sebelumnya, dapat dikecualikan dari Tabel 1.4. Kolom ketiga dengan angka nol di baris judul atas juga dikecualikan dari Tabel 1.4. Intinya adalah berapapun koefisien kolom tertentu b saya 3 semua suku yang bersesuaian dari setiap persamaan 0 b saya 3 sistem akan sama dengan nol. Oleh karena itu, koefisien-koefisien ini tidak perlu dihitung. Menghilangkan satu variabel X 3 dan mengingat salah satu persamaan, kita sampai pada sistem yang sesuai dengan Tabel 1.4 (dengan garis dicoret X 3). Memilih pada tabel 1.4 sebagai elemen penyelesaian B 14 = -5, lanjutkan ke tabel 1.5. Pada Tabel 1.5, ingat baris pertama dan kecualikan dari tabel bersama dengan kolom keempat (dengan nol di atas).

Tabel 1.5 Tabel 1.6

Dari tabel terakhir 1.7 kita menemukan: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Dengan secara konsisten mengganti variabel yang sudah ditemukan ke dalam baris yang diingat, kami menemukan variabel yang tersisa:

Jadi, sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya. Variabel X 5, nilai sewenang-wenang dapat diberikan. Variabel ini bertindak sebagai parameter X 5 = t. Kami membuktikan kompatibilitas sistem dan menemukan solusi umumnya:

X 1 = - 3 + 2T

X 2 = - 1 - 3T

X 3 = - 2 + 4T . (1.27)
X 4 = 4 + 5T

X 5 = T

Memberikan parameter T arti yang berbeda, kita akan memperoleh solusi yang jumlahnya tak terhingga untuk sistem aslinya. Jadi, misalnya solusi sistem adalah himpunan variabel berikut (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Metode Cramer atau biasa disebut aturan Cramer merupakan suatu metode pencarian besaran yang tidak diketahui dari sistem persamaan. Ini hanya dapat digunakan jika jumlah nilai yang dicari setara dengan angka tersebut persamaan aljabar dalam sistem yaitu matriks utama yang dibentuk dari sistem tersebut harus berbentuk persegi dan tidak boleh mengandung baris nol, begitu pula jika determinannya tidak boleh nol.

Teorema 1

teorema Cramer Jika determinan utama $D$ dari matriks utama, yang disusun berdasarkan koefisien persamaan, tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten, dan mempunyai solusi unik. Solusi untuk sistem seperti ini dihitung melalui apa yang disebut rumus Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Apa metode Cramer?

Inti dari metode Cramer adalah sebagai berikut:

1. Untuk mencari solusi sistem menggunakan metode Cramer, pertama-tama kita menghitung determinan utama matriks $D$. Bila determinan hitung matriks utama jika dihitung dengan metode Cramer ternyata sama dengan nol, maka sistem tersebut tidak mempunyai solusi tunggal atau mempunyai jumlah solusi tak terhingga. Dalam hal ini, untuk menemukan jawaban umum atau dasar untuk sistem, disarankan untuk menggunakan metode Gaussian.
2. Kemudian Anda perlu mengganti kolom terluar dari matriks utama dengan kolom suku bebas dan menghitung determinan $D_1$.
3. Ulangi hal yang sama untuk semua kolom, dapatkan determinan dari $D_1$ hingga $D_n$, dengan $n$ adalah bilangan kolom paling kanan.
4. Setelah semua determinan $D_1$...$D_n$ ditemukan, variabel yang belum diketahui dapat dihitung menggunakan rumus $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Teknik menghitung determinan suatu matriks

Untuk menghitung determinan matriks yang dimensinya lebih besar dari 2 kali 2, Anda dapat menggunakan beberapa cara:

• Aturan segitiga, atau aturan Sarrus, mengingatkan pada aturan yang sama. Inti dari metode segitiga adalah ketika menghitung determinan, hasil kali semua bilangan yang dihubungkan pada gambar dengan garis merah di sebelah kanan ditulis dengan tanda tambah, dan semua bilangan yang dihubungkan dengan cara yang sama pada gambar di sebelah kiri. ditulis dengan tanda minus. Kedua aturan tersebut cocok untuk matriks berukuran 3 x 3. Dalam kasus aturan Sarrus, matriks itu sendiri ditulis ulang terlebih dahulu, dan di sebelahnya kolom pertama dan kedua ditulis ulang lagi. Diagonal-diagonal digambar melalui matriks dan kolom-kolom tambahan yang terletak pada diagonal utama atau sejajar dengannya ditulis dengan tanda plus, dan elemen-elemen yang terletak pada atau sejajar dengan diagonal sekunder ditulis dengan tanda minus.

Gambar 1. Aturan segitiga untuk menghitung determinan metode Cramer

• Menggunakan metode yang disebut metode Gaussian, metode ini kadang juga disebut pengurangan orde determinan. Dalam hal ini matriks diubah dan direduksi menjadi bentuk segitiga, kemudian semua bilangan pada diagonal utama dikalikan. Perlu diingat bahwa ketika mencari determinan dengan cara ini, Anda tidak dapat mengalikan atau membagi baris atau kolom dengan angka tanpa menjadikannya sebagai pengali atau pembagi. Dalam hal mencari determinan, hanya dimungkinkan untuk mengurangkan dan menjumlahkan baris dan kolom satu sama lain, setelah sebelumnya mengalikan baris yang dikurangi dengan faktor bukan nol. Selain itu, setiap kali Anda menyusun ulang baris atau kolom matriks, Anda harus ingat perlunya mengubah tanda akhir matriks.
• Saat menyelesaikan SLAE dengan 4 hal yang tidak diketahui menggunakan metode Cramer, yang terbaik adalah menggunakan metode Gauss untuk mencari dan menemukan determinan atau menentukan determinan dengan mencari minor.

Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Cramer

Mari kita terapkan metode Cramer untuk sistem yang terdiri dari 2 persamaan dan dua besaran yang diperlukan:

$\begin(kasus) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(kasus)$

Mari kita tampilkan dalam bentuk yang diperluas untuk kenyamanan:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Mari kita cari determinan matriks utama, disebut juga determinan utama sistem:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Jika determinan utama tidak sama dengan nol, maka untuk menyelesaikan slough menggunakan metode Cramer perlu menghitung beberapa determinan lagi dari dua matriks dengan kolom-kolom matriks utama diganti dengan deretan suku bebas:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sekarang mari kita cari $x_1$ dan $x_2$ yang tidak diketahui:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Contoh 1

Metode Cramer untuk menyelesaikan SLAE dengan matriks utama orde ke-3 (3 x 3) dan tiga matriks wajib.

Selesaikan sistem persamaan:

$\begin(kasus) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(kasus)$

Mari kita hitung determinan utama matriks menggunakan aturan di atas pada poin nomor 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Dan sekarang tiga faktor penentu lainnya:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Mari kita cari jumlah yang dibutuhkan:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Dengan jumlah persamaan yang sama dengan jumlah yang tidak diketahui dengan determinan utama matriks, yang tidak sama dengan nol, koefisien sistem (untuk persamaan tersebut ada solusinya dan hanya ada satu).

teorema Cramer.

Jika determinan matriks suatu sistem persegi bukan nol, berarti sistem tersebut konsisten dan mempunyai satu penyelesaian dan dapat dicari dengan cara rumus Cramer:

dimana Δ - determinan matriks sistem,

Δ Saya adalah determinan dari matriks sistem, dimana sebagai gantinya Saya Kolom ke-th berisi kolom sisi kanan.

Jika determinan suatu sistem bernilai nol berarti sistem tersebut dapat menjadi kooperatif atau tidak kompatibel.

Metode ini biasanya digunakan untuk sistem kecil dengan perhitungan ekstensif dan jika diperlukan untuk menentukan salah satu hal yang tidak diketahui. Kompleksitas metode ini adalah banyak determinan yang perlu dihitung.

Deskripsi metode Cramer.

Ada sistem persamaan:

Sistem 3 persamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Cramer yang telah dibahas di atas untuk sistem 2 persamaan.

Kami menyusun determinan dari koefisien yang tidak diketahui:

Itu akan terjadi penentu sistem. Kapan D≠0, yang berarti sistemnya konsisten. Sekarang mari kita buat 3 determinan tambahan:

,,

Kami memecahkan sistem dengan rumus Cramer:

Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan metode Cramer.

Contoh 1.

Sistem yang diberikan:

Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer.

Pertama, Anda perlu menghitung determinan matriks sistem:

Karena Δ≠0, artinya dari teorema Cramer sistem konsisten dan mempunyai satu solusi. Kami menghitung determinan tambahan. Penentu Δ 1 diperoleh dari determinan Δ dengan mengganti kolom pertamanya dengan kolom koefisien bebas. Kami mendapatkan:

Dengan cara yang sama, kita memperoleh determinan Δ 2 dari determinan matriks sistem dengan mengganti kolom kedua dengan kolom koefisien bebas:

2. Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode matriks (menggunakan matriks invers).
3. Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan.

metode Cramer.

Metode Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier ( SLAU).

Rumus menggunakan contoh sistem dua persamaan dengan dua variabel.
Diberikan: Selesaikan sistem menggunakan metode Cramer

Mengenai variabel X Dan pada.
Larutan:
Mari kita cari determinan matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien sistem Perhitungan determinan. :

Mari kita terapkan rumus Cramer dan temukan nilai variabelnya:
Dan .
Contoh 1:
Selesaikan sistem persamaan:

mengenai variabel X Dan pada.
Larutan:


Mari kita ganti kolom pertama determinan ini dengan kolom koefisien di sisi kanan sistem dan cari nilainya:

Mari kita lakukan hal serupa, mengganti kolom kedua pada determinan pertama:

Berlaku rumus Cramer dan temukan nilai variabelnya:
Dan .
Menjawab:
Komentar: Metode ini dapat menyelesaikan sistem dengan dimensi yang lebih tinggi.

Komentar: Jika ternyata , tetapi tidak dapat dibagi nol, maka dikatakan sistem tersebut tidak mempunyai solusi unik. Dalam hal ini, sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya atau tidak mempunyai solusi sama sekali.

Contoh 2(jumlah solusi tak terbatas):

Selesaikan sistem persamaan:

mengenai variabel X Dan pada.
Larutan:
Mari kita cari determinan matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien sistem:

Sistem penyelesaiannya menggunakan metode substitusi.

Persamaan sistem yang pertama adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai variabel (karena 4 selalu sama dengan 4). Artinya hanya tersisa satu persamaan. Ini adalah persamaan hubungan antar variabel.
Kami menemukan bahwa solusi sistem adalah setiap pasangan nilai variabel yang berhubungan satu sama lain dengan persamaan .
Solusi umum akan ditulis sebagai berikut:
Solusi tertentu dapat ditentukan dengan memilih nilai y yang berubah-ubah dan menghitung x menggunakan persamaan koneksi ini.

dll.
Ada banyak sekali solusi seperti itu.
Menjawab: solusi umum
Solusi pribadi:

Contoh 3(tidak ada solusi, sistem tidak kompatibel):

Selesaikan sistem persamaan:

Larutan:
Mari kita cari determinan matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien sistem:

Rumus Cramer tidak dapat digunakan. Mari kita selesaikan sistem ini dengan menggunakan metode substitusi

Persamaan kedua dari sistem ini adalah persamaan yang tidak berlaku untuk semua nilai variabel (tentu saja, karena -15 tidak sama dengan 2). Jika salah satu persamaan sistem tidak benar untuk semua nilai variabel, maka keseluruhan sistem tidak memiliki solusi.
Menjawab: tidak ada solusi

Metode Kramer Dan Gauss- salah satu metode solusi paling populer SLAU. Selain itu, dalam beberapa kasus disarankan untuk menggunakan metode tertentu. Sesi sudah dekat, dan sekarang saatnya mengulangi atau menguasainya dari awal. Hari ini kita akan melihat solusinya menggunakan metode Cramer. Bagaimanapun, menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer adalah keterampilan yang sangat berguna.

Sistem persamaan aljabar linier

Sistem persamaan aljabar linier adalah sistem persamaan yang berbentuk:

Kumpulan nilai X , yang persamaan sistemnya berubah menjadi identitas, disebut solusi sistem, A Dan B adalah koefisien nyata. Sebuah sistem sederhana yang terdiri dari dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dapat diselesaikan di kepala Anda atau dengan menyatakan satu variabel dalam variabel lainnya. Namun bisa terdapat lebih dari dua variabel (x) dalam SLAE, dan di sini manipulasi sekolah sederhana saja tidak cukup. Apa yang harus dilakukan? Misalnya, selesaikan SLAE menggunakan metode Cramer!

Jadi, biarkan sistemnya terdiri dari N persamaan dengan N tidak dikenal.

Sistem seperti itu dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks

Di Sini A – matriks utama sistem, X Dan B , masing-masing, matriks kolom dari variabel yang tidak diketahui dan suku bebas.

Menyelesaikan SLAE menggunakan metode Cramer

Jika determinan matriks utama tidak sama dengan nol (matriksnya non-tunggal), sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Cramer.

Menurut metode Cramer, penyelesaiannya ditemukan dengan menggunakan rumus:

Di Sini delta adalah determinan matriks utama, dan delta x nth – determinan yang diperoleh dari determinan matriks utama dengan mengganti kolom ke-n dengan kolom suku bebas.

Inilah inti dari metode Cramer. Mengganti nilai yang ditemukan menggunakan rumus di atas X ke dalam sistem yang diinginkan, kami yakin akan kebenaran (atau sebaliknya) solusi kami. Untuk membantu Anda memahami intinya dengan lebih cepat, mari berikan contoh di bawah ini. solusi terperinci SLAE dengan metode Cramer:

Sekalipun Anda tidak berhasil pada kali pertama, jangan berkecil hati! Dengan sedikit latihan, Anda akan mulai memecahkan SLAU seperti orang gila. Terlebih lagi, sekarang sama sekali tidak perlu mempelajari buku catatan, menyelesaikan perhitungan yang rumit dan menulis intinya. Anda dapat dengan mudah menyelesaikan SLAE menggunakan metode Cramer secara online, hanya dengan mensubstitusikan koefisien ke dalam bentuk yang sudah jadi. Cobalah kalkulator daring Solusi menggunakan metode Cramer dapat ditemukan, misalnya di website ini.

Dan jika sistem ternyata keras kepala dan tidak menyerah, Anda selalu dapat meminta bantuan penulis kami, misalnya, untuk. Jika setidaknya ada 100 hal yang tidak diketahui dalam sistem, kami pasti akan menyelesaikannya dengan benar dan tepat waktu!