Contoh matriks invers 4x4. Menemukan matriks terbalik

Tentukan definisi setiap matriks 2x2. Setiap elemen dari matriks apa pun, termasuk yang ditransposisikan, dikaitkan dengan matriks 2x2 yang sesuai. Untuk menemukan matriks 2x2 yang sesuai dengan elemen tertentu, coret baris dan kolom tempat elemen ini berada, yaitu, Anda perlu mencoret lima elemen dari matriks 3x3 asli. Empat elemen yang merupakan elemen dari matriks 2x2 yang sesuai akan tetap tidak dicoret.

• Misalnya, untuk mencari matriks 2x2 untuk elemen yang terletak di persimpangan baris kedua dan kolom pertama, coret lima elemen yang ada di baris kedua dan kolom pertama. Empat elemen yang tersisa adalah elemen dari matriks 2x2 yang sesuai.
• Tentukan determinan dari setiap matriks 2x2. Untuk melakukan ini, kurangi produk elemen diagonal sekunder dari produk elemen diagonal utama (lihat gambar).
• Informasi rinci tentang matriks 2x2 yang sesuai dengan elemen tertentu dari matriks 3x3 dapat ditemukan di Internet.

Buat matriks kofaktor. Catat hasil yang diperoleh tadi dalam bentuk matriks kofaktor baru. Untuk melakukan ini, tulis determinan yang ditemukan dari setiap matriks 2x2 di mana elemen yang sesuai dari matriks 3x3 berada. Misalnya, jika matriks 2x2 dianggap untuk elemen (1,1), tuliskan determinannya di posisi (1,1). Kemudian ubah tanda-tanda elemen yang sesuai sesuai dengan pola tertentu, yang ditunjukkan pada gambar.

• Skema perubahan tanda: tanda elemen pertama dari baris pertama tidak berubah; tanda elemen kedua dari baris pertama dibalik; tanda elemen ketiga dari baris pertama tidak berubah, dan seterusnya baris demi baris. Harap dicatat bahwa tanda "+" dan "-", yang ditunjukkan pada diagram (lihat gambar), tidak menunjukkan bahwa elemen yang sesuai akan positif atau negatif. Dalam hal ini, tanda “+” menunjukkan bahwa tanda unsur tidak berubah, dan tanda “-” menunjukkan bahwa tanda unsur telah berubah.
• Informasi rinci tentang matriks kofaktor dapat ditemukan di Internet.
• Ini adalah bagaimana Anda menemukan matriks terkait dari matriks asli. Kadang-kadang disebut matriks konjugat kompleks. Matriks seperti itu dilambangkan sebagai adj(M).

Bagilah setiap elemen matriks adjoint dengan determinannya. Determinan matriks M dihitung di awal untuk memeriksa bahwa matriks terbalik ada. Sekarang bagilah setiap elemen matriks adjoint dengan determinan ini. Catat hasil setiap operasi pembagian di mana elemen yang sesuai berada. Jadi Anda akan menemukan matriks, kebalikan dari aslinya.

• Determinan matriks yang ditunjukkan pada gambar adalah 1. Jadi, di sini matriks yang terkait adalah matriks terbalik (karena membagi angka apa pun dengan 1 tidak mengubahnya).
• Dalam beberapa sumber, operasi pembagian digantikan oleh operasi perkalian dengan 1/det(M). Dalam hal ini, hasil akhirnya tidak berubah.

Tuliskan matriks inversnya. Tulis elemen-elemen yang terletak di bagian kanan matriks besar sebagai matriks terpisah, yang merupakan matriks terbalik.

Masukkan matriks asli ke dalam memori kalkulator. Untuk melakukannya, klik tombol Matrix, jika tersedia. Untuk kalkulator Texas Instruments, Anda mungkin perlu menekan tombol ke-2 dan Matrix.

Pilih menu Sunting. Lakukan ini dengan menggunakan tombol panah atau tombol fungsi yang sesuai yang terletak di bagian atas keyboard kalkulator (lokasi tombol tergantung pada model kalkulator).

Masukkan penunjukan matriks. Kebanyakan kalkulator grafis dapat bekerja dengan matriks 3-10, yang dapat dilambangkan dengan huruf A-J. Sebagai aturan umum, cukup pilih [A] untuk menunjukkan matriks asli. Kemudian tekan tombol Enter.

Masukkan ukuran matriks. Artikel ini membahas tentang matriks 3x3. Tetapi kalkulator grafis dapat bekerja dengan matriks besar. Masukkan jumlah baris, tekan tombol Enter, lalu masukkan jumlah kolom dan tekan tombol Enter lagi.

Masukkan setiap elemen matriks. Sebuah matriks akan ditampilkan pada layar kalkulator. Jika matriks telah dimasukkan ke dalam kalkulator sebelumnya, itu akan muncul di layar. Kursor akan menyorot elemen pertama dari matriks. Masukkan nilai elemen pertama dan tekan Enter. Kursor akan secara otomatis berpindah ke elemen matriks berikutnya.

Mirip dengan invers di banyak properti.

YouTube ensiklopedis

1 / 5

Bagaimana menemukan matriks terbalik - bezbotvy

Matriks terbalik (2 cara mencari)

Matriks Invers #1

28-01-2015. Matriks Invers 3x3

27-01-2015. Matriks Invers 2x2

Subtitle

Sifat Matriks Terbalik

• det A 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), di mana det (\displaystyle \ \det ) berdiri untuk penentu.
• (A B) 1 = B 1 A 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) untuk dua matriks persegi yang dapat dibalik A (\gaya tampilan A) dan B (\gaya tampilan B).
• (A T) 1 = (A 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), di mana (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) menunjukkan matriks yang ditransposisikan.
• (k A) 1 = k 1 A 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) untuk setiap koefisien k 0 (\displaystyle k\not =0).
• E 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Jika Anda perlu memutuskan sistem linear persamaan, (b adalah vektor bukan nol) dimana x (\gaya tampilan x) adalah vektor yang diinginkan, dan jika A 1 (\displaystyle A^(-1)) ada, maka x = A 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Jika tidak, salah satu dimensi ruang angkasa solusi lebih besar dari nol, atau tidak ada sama sekali.

Cara mencari matriks invers

Jika matriks dapat dibalik, maka untuk mencari invers matriks, Anda dapat menggunakan salah satu metode berikut:

Metode yang tepat (langsung)

Metode Gauss-Jordan

Mari kita ambil dua matriks: dirinya sendiri SEBUAH dan lajang E. Mari kita bawa matriksnya SEBUAH ke matriks identitas metode Gauss-Jordan menerapkan transformasi menurut baris (Anda juga dapat menerapkan transformasi menurut kolom, tetapi tidak dicampur). Setelah menerapkan setiap operasi ke matriks pertama, terapkan operasi yang sama ke matriks kedua. Ketika reduksi matriks pertama ke bentuk identitas selesai, matriks kedua akan sama dengan A -1.

Saat menggunakan metode Gauss, matriks pertama akan dikalikan dari kiri dengan salah satu matriks dasar saya (\displaystyle \Lambda _(i)) (transveksi atau matriks diagonal dengan unit pada diagonal utama, kecuali untuk satu posisi):

Matriks kedua setelah menerapkan semua operasi akan sama dengan (\displaystyle \Lambda ), yaitu, akan menjadi yang diinginkan. Kompleksitas algoritma - O(n 3) (\gaya tampilan O(n^(3))).

Menggunakan matriks penjumlahan aljabar

Matriks Invers Matriks A (\gaya tampilan A), direpresentasikan dalam bentuk

A 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

di mana adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A)) - terlampir matriks ;

Kompleksitas algoritma tergantung pada kompleksitas algoritma untuk menghitung determinan O det dan sama dengan O(n²) O det .

Menggunakan dekomposisi LU/LUP

persamaan matriks A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) untuk matriks terbalik X (\gaya tampilan X) dapat dilihat sebagai koleksi n (\gaya tampilan n) sistem bentuk A x = b (\displaystyle Ax=b). Menunjukkan saya (\gaya tampilan i)-kolom matriks X (\gaya tampilan X) melalui X i (\gaya tampilan X_(i)); kemudian A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),karena saya (\gaya tampilan i)-kolom matriks Saya n (\displaystyle I_(n)) adalah vektor satuan ei (\gaya tampilan e_(i)). dengan kata lain, mencari matriks invers direduksi menjadi n persamaan dengan matriks yang sama dan ruas kanan yang berbeda. Setelah menjalankan ekspansi LUP (waktu O(n³)) masing-masing dari n persamaan membutuhkan waktu O(n²) untuk diselesaikan, jadi bagian dari pekerjaan ini juga membutuhkan waktu O(n³).

Jika matriks A tidak berdegenerasi, maka untuk matriks A dapat kita hitung dekomposisi LUP P A = LU (\displaystyle PA=LU). Membiarkan P A = B (\displaystyle PA=B), B 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Kemudian, dari sifat-sifat matriks terbalik, kita dapat menulis: D = U 1 L 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jika kita mengalikan persamaan ini dengan U dan L, maka kita dapat memperoleh dua persamaan dalam bentuk U D = L 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) dan D L = U 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Persamaan pertama adalah sistem persamaan linear n² untuk n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1)))(2))) yang ruas-ruasnya diketahui (dari sifat-sifat matriks segitiga). Yang kedua juga merupakan sistem persamaan linear n² untuk n (n 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) yang ruas-ruasnya diketahui (juga dari sifat-sifat matriks segitiga). Bersama-sama mereka membentuk sistem persamaan n². Dengan menggunakan persamaan ini, kita dapat menentukan secara rekursif semua n² elemen dari matriks D. Kemudian dari persamaan (PA) 1 = A −1 P 1 = B 1 = D. kita memperoleh persamaan A 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Dalam kasus penggunaan dekomposisi LU, tidak diperlukan permutasi kolom dari matriks D, tetapi solusinya mungkin divergen bahkan jika matriks A nonsingular.

Kompleksitas algoritma adalah O(n³).

Metode Iteratif

Metode Schultz

( k = E A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(kasus)))

Estimasi kesalahan

Pilihan Pendekatan Awal

Masalah pemilihan aproksimasi awal dalam proses inversi matriks iteratif yang dipertimbangkan di sini tidak memungkinkan kita untuk memperlakukannya sebagai metode universal independen yang bersaing dengan metode inversi langsung berdasarkan, misalnya, pada dekomposisi matriks LU. Ada beberapa rekomendasi untuk memilih U 0 (\gaya tampilan U_(0)), memastikan pemenuhan kondisi ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (jari-jari spektral matriks kurang dari satu), yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi proses. Namun, dalam hal ini, pertama-tama perlu diketahui dari atas perkiraan spektrum dari matriks yang dapat dibalik atau matriks A A T (\gaya tampilan AA^(T))(yaitu, jika A adalah matriks definit positif simetris dan (A) (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), maka Anda dapat mengambil U 0 = E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), di mana ; jika A adalah matriks nonsingular arbitrer dan (A A T) (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), maka misalkan U 0 = A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), dimana juga (0 , 2 ) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Tentu saja, situasinya dapat disederhanakan dan, menggunakan fakta bahwa (A A T) k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), taruh U 0 = A T A A T (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Kedua, dengan spesifikasi matriks awal seperti itu, tidak ada jaminan bahwa 0 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) akan menjadi kecil (bahkan mungkin 0 > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dan tingkat konvergensi orde tinggi tidak akan langsung terlihat.

Contoh

Matriks 2x2

Pembalikan matriks 2x2 hanya mungkin dalam kondisi bahwa a d b c = det A 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Definisi 1: Suatu matriks disebut degenerasi jika determinannya nol.

Definisi 2: Suatu matriks disebut non-singular jika determinannya tidak sama dengan nol.

Matriks "A" disebut matriks terbalik, jika kondisi A*A-1 = A-1 *A = E (matriks identitas) terpenuhi.

Matriks persegi hanya dapat dibalik jika tidak tunggal.

Skema untuk menghitung matriks terbalik:

1) Hitung determinan matriks "A" jika ∆ A = 0, maka matriks invers tidak ada.

2) Temukan semua komplemen aljabar dari matriks "A".

3) Menyusun matriks penjumlahan aljabar (Aij )

4) Transpose matriks komplemen aljabar (Aij )T

5) Kalikan matriks yang ditransposisikan dengan kebalikan dari determinan matriks ini.

6) Jalankan pemeriksaan:

Sepintas mungkin tampak sulit, tetapi sebenarnya semuanya sangat sederhana. Semua solusi didasarkan pada operasi aritmatika sederhana, hal utama saat menyelesaikannya adalah jangan bingung dengan tanda "-" dan "+", dan jangan sampai hilang.

Dan sekarang mari kita selesaikan tugas praktis bersama Anda dengan menghitung matriks terbalik.

Tugas: temukan matriks invers "A", yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

1. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari determinan matriks "A":

Penjelasan:

Kami telah menyederhanakan determinan kami dengan menggunakan fungsi utamanya. Pertama, kami menambahkan elemen baris pertama ke baris ke-2 dan ke-3, dikalikan dengan satu angka.

Kedua, kami mengubah kolom determinan ke-2 dan ke-3, dan sesuai dengan sifat-sifatnya, kami mengubah tanda di depannya.

Ketiga, kami menghilangkan faktor persekutuan (-1) dari baris kedua, dengan demikian mengubah tandanya lagi, dan menjadi positif. Kami juga menyederhanakan baris 3 dengan cara yang sama seperti di awal contoh.

Kami memiliki determinan segitiga, di mana elemen-elemen di bawah diagonal sama dengan nol, dan oleh properti 7 sama dengan produk elemen-elemen diagonal. Hasilnya, kami mendapat ∆ A = 26, maka matriks invers ada.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Langkah selanjutnya adalah menyusun matriks dari hasil penjumlahan:

5. Kami mengalikan matriks ini dengan kebalikan dari determinannya, yaitu dengan 1/26:

6. Nah, sekarang kita hanya perlu memeriksa:

Selama verifikasi, kami menerima matriks identitas, oleh karena itu, keputusan dibuat dengan benar.

2 cara untuk menghitung matriks terbalik.

1. Transformasi dasar matriks

2. Invers matriks melalui konverter dasar.

Transformasi matriks dasar meliputi:

1. Mengalikan string dengan angka bukan nol.

2. Menambahkan ke baris mana pun dari baris lain, dikalikan dengan angka.

3. Tukar baris matriks.

4. Menerapkan rantai transformasi dasar, kami memperoleh matriks lain.

TETAPI -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Mari kita lihat ini dalam contoh praktis dengan bilangan real.

Latihan: Temukan matriks terbalik.

Larutan:

Mari kita periksa:

Sedikit klarifikasi tentang solusinya:

Kami pertama-tama menukar baris 1 dan 2 dari matriks, lalu kami mengalikan baris pertama dengan (-1).

Setelah itu, baris pertama dikalikan dengan (-2) dan ditambahkan ke baris kedua matriks. Kemudian kami mengalikan baris ke-2 dengan 1/4.

Tahap akhir dari transformasi adalah perkalian dari baris kedua dengan 2 dan penambahan dari yang pertama. Akibatnya, kami memiliki matriks identitas di sebelah kiri, oleh karena itu, matriks terbalik adalah matriks di sebelah kanan.

Setelah memeriksa, kami yakin akan kebenaran solusi tersebut.

Seperti yang Anda lihat, menghitung matriks terbalik sangat sederhana.

Sebagai penutup kuliah ini, saya juga ingin mencurahkan waktu untuk sifat-sifat matriks semacam itu.

matriks terbalik

matriks terbalik Matriks disebut yang, ketika dikalikan di kanan dan di kiri dengan matriks yang diberikan, memberikan matriks identitas.
Nyatakan invers matriks ke matriks TETAPI melalui , maka menurut definisi kita peroleh:

di mana E adalah matriks identitas.
matriks persegi ditelepon tidak khusus (tidak merosot) jika determinannya tidak sama dengan nol. Jika tidak, itu disebut spesial (merosot) atau tunggal.

Ada teorema: setiap matriks non-singular memiliki matriks invers.

Operasi mencari matriks invers disebut menarik matriks. Pertimbangkan algoritma inversi matriks. Biarkan matriks non-tunggal diberikan n-urutan:

dimana = det SEBUAH ≠ 0.

Pelengkap elemen aljabar matriks n-urutan ke- TETAPI determinan matriks ( n–1)-urutan diperoleh dengan menghapus saya-baris dan j-kolom matriks TETAPI:

Mari kita buat apa yang disebut terlampir matriks:

di mana adalah komplemen aljabar dari elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks TETAPI.
Perhatikan bahwa komplemen aljabar dari elemen baris matriks TETAPI ditempatkan pada kolom-kolom matriks yang bersesuaian à , yaitu, matriks ditransposisikan secara bersamaan.
Membagi semua elemen matriks à pada - nilai determinan matriks TETAPI, kita mendapatkan matriks terbalik sebagai hasilnya:

Kami mencatat sejumlah sifat khusus dari matriks terbalik:
1) untuk matriks yang diberikan TETAPI matriks inversnya adalah satu-satunya;
2) jika ada matriks invers , maka terbalik kanan dan kiri mundur matriks bertepatan dengan itu;
3) matriks persegi khusus (merosot) tidak memiliki matriks terbalik.

Sifat utama dari matriks terbalik:
1) determinan matriks invers dan determinan matriks asal berbanding terbalik;
2) matriks invers dari perkalian matriks kuadrat sama dengan perkalian dari matriks invers faktor, diambil dalam urutan terbalik:

3) matriks terbalik yang ditransposisikan sama dengan matriks terbalik dari matriks yang ditransposisikan:

CONTOH Hitung invers matriks dari yang diberikan.