Temukan ekspresi yang identik secara online. Transformasi ekspresi yang identik
Artikel ini memberikan titik awal gagasan tentang identitas. Di sini kami akan mendefinisikan identitas, memperkenalkan notasi yang digunakan, dan tentunya memberikan berbagai contoh identitas.
Navigasi halaman.
Apa itu identitas?
Masuk akal untuk mulai menyajikan materi dengan definisi identitas. Dalam buku teks aljabar Makarychev Yu.N. untuk kelas 7, definisi identitas diberikan sebagai berikut:
Definisi.
Identitas– ini adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai variabel; persamaan numerik apa pun yang sebenarnya juga merupakan identitas.
Pada saat yang sama, penulis segera menetapkan bahwa di masa depan definisi ini akan diperjelas. Klarifikasi ini terjadi di kelas 8, setelah mengenal definisi nilai variabel dan DL yang diperbolehkan. Definisinya menjadi:
Definisi.
Identitas- ini adalah persamaan numerik yang sebenarnya, serta persamaan yang berlaku untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya.
Lalu mengapa, ketika mendefinisikan identitas, di kelas 7 kita berbicara tentang nilai variabel apa saja, dan di kelas 8 kita mulai berbicara tentang nilai variabel dari DL-nya? Hingga kelas 8, pekerjaan dilakukan secara eksklusif dengan ekspresi bilangan bulat (khususnya, dengan monomial dan polinomial), dan ekspresi tersebut masuk akal untuk setiap nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Oleh karena itu di kelas 7 kita mengatakan bahwa identitas adalah persamaan yang berlaku untuk sembarang nilai variabel. Dan di kelas 8 muncul ekspresi yang tidak lagi masuk akal bukan untuk semua nilai variabel, tetapi hanya untuk nilai dari ODZ-nya. Oleh karena itu, kita mulai menyebut persamaan yang berlaku untuk semua nilai variabel yang diperbolehkan.
Jadi, identitas adalah kasus khusus dari kesetaraan. Artinya, identitas apa pun adalah kesetaraan. Namun tidak setiap persamaan merupakan suatu identitas, melainkan hanya persamaan yang berlaku untuk setiap nilai variabel dari rentang nilai yang diperbolehkan.
Tanda identitas
Diketahui bahwa dalam penulisan persamaan digunakan tanda sama dengan berbentuk “=” yang di kiri dan kanannya terdapat bilangan atau ekspresi. Jika kita menambahkan garis horizontal lain pada tanda ini, kita peroleh tanda identitas“≡”, atau disebut juga tanda sama dengan.
Tanda identitas biasanya digunakan hanya jika perlu untuk menekankan bahwa kita tidak hanya dihadapkan pada kesetaraan, tetapi juga identitas. Dalam kasus lain, catatan identitas tidak berbeda tampilannya dengan persamaan.
Contoh identitas
Saatnya untuk membawa contoh identitas. Definisi identitas yang diberikan pada paragraf pertama akan membantu kita dalam hal ini.
Persamaan numerik 2=2 adalah contoh identitas, karena persamaan ini benar, dan setiap persamaan numerik yang sebenarnya menurut definisi adalah identitas. Mereka dapat ditulis sebagai 2≡2 dan .
Persamaan numerik berbentuk 2+3=5 dan 7−1=2·3 juga merupakan identitas, karena persamaan tersebut benar. Artinya, 2+3≡5 dan 7−1≡2·3.
Mari beralih ke contoh identitas yang tidak hanya berisi angka, tetapi juga variabel.
Perhatikan persamaan 3·(x+1)=3·x+3. Untuk setiap nilai variabel x, persamaan tertulisnya benar karena sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, oleh karena itu persamaan asli adalah contoh identitas. Berikut adalah contoh lain dari identitas: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, disini rentang nilai yang diperbolehkan dari variabel x dan y terdiri dari semua pasangan (x, y), dimana x dan y adalah bilangan apa pun kecuali nol.
Namun persamaan x+1=x−1 dan a+2·b=b+2·a bukanlah identitas, karena ada nilai variabel yang persamaannya tidak benar. Misalnya, ketika x=2, persamaan x+1=x−1 berubah menjadi persamaan salah 2+1=2−1. Selain itu, persamaan x+1=x−1 tidak tercapai sama sekali untuk nilai apa pun dari variabel x. Dan persamaan a+2·b=b+2·a akan berubah menjadi persamaan yang salah jika kita mengambilnya arti yang berbeda variabel a dan b. Misalnya, dengan a=0 dan b=1 kita akan mendapatkan persamaan yang salah 0+2·1=1+2·0. Persamaan |x|=x, dimana |x| - variabel x juga bukan merupakan identitas, karena tidak benar nilai-nilai negatif X.
Contoh identitas yang paling terkenal adalah dalam bentuk sin 2 α+cos 2 α=1 dan a log a b =b.
Sebagai penutup artikel ini, saya ingin mencatat bahwa ketika mempelajari matematika kita selalu menjumpai identitas. Rekaman properti tindakan dengan angka adalah identitas, misalnya a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 dan a+(−a)=0. Juga identitasnya
§ 2. Ekspresi identik, identitas. Transformasi ekspresi yang identik. Bukti identitas
Mari kita cari nilai ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 untuk nilai variabel x yang diberikan. Mari kita tuliskan hasilnya dalam tabel:
Kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa nilai ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 untuk masing-masing nilai yang diberikan variabel x sama satu sama lain. Berdasarkan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, 2(x - 1) = 2x - 2. Oleh karena itu, untuk nilai lain dari variabel x, nilai ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 juga akan menjadi setara satu sama lain. Ekspresi seperti itu disebut sama secara identik.
Misalnya, ekspresi 2x + 3x dan 5x adalah sinonim, karena untuk setiap nilai variabel x ekspresi ini memperoleh nilai-nilai yang identik(ini mengikuti sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, karena 2x + 3x = 5x).
Sekarang mari kita perhatikan ekspresi 3x + 2y dan 5xy. Jika x = 1 dan b = 1, maka nilai-nilai yang bersesuaian dari ekspresi ini sama satu sama lain:
3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y yang nilai ekspresi ini tidak akan sama satu sama lain. Misalnya jika x = 2; y = 0, maka
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.
Akibatnya, ada nilai variabel yang nilai ekspresi 3x + 2y dan 5xy yang bersesuaian tidak sama satu sama lain. Oleh karena itu, ekspresi 3x + 2y dan 5xy tidak identik sama.
Berdasarkan penjelasan di atas, identitas khususnya adalah persamaan: 2(x - 1) = 2x - 2 dan 2x + 3x = 5x.
Identitas adalah setiap persamaan yang menggambarkan sifat-sifat operasi bilangan yang diketahui. Misalnya,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;
ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.
Identitas mencakup persamaan berikut:
sebuah + 0 = sebuah; sebuah ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Jika kita menggabungkan suku-suku serupa dalam ekspresi -5x + 2x - 9, kita mendapatkan bahwa 5x + 2x - 9 = 7x - 9. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa ekspresi 5x + 2x - 9 digantikan oleh ekspresi yang sama 7x - 9.
Transformasi identik ekspresi dengan variabel dilakukan dengan menggunakan properti operasi pada bilangan. Khususnya transformasi identik dengan tanda kurung buka, pembuatan suku serupa, dan sejenisnya.
Transformasi identik harus dilakukan ketika menyederhanakan suatu ekspresi, yaitu mengganti ekspresi tertentu dengan ekspresi yang identik sama, sehingga notasinya menjadi lebih pendek.
Contoh 1. Sederhanakan ekspresi:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 juta;
2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 B + 3 B - A= 3a + 5b + 2.
Untuk membuktikan bahwa persamaan adalah suatu identitas (dengan kata lain, untuk membuktikan identitas digunakan transformasi ekspresi yang identik.
Anda dapat membuktikan identitas dengan salah satu cara berikut:
- melakukan transformasi identik pada sisi kirinya, sehingga mereduksinya menjadi bentuk sisi kanan;
- melakukan transformasi identik pada sisi kanannya, sehingga mereduksinya menjadi bentuk sisi kiri;
- melakukan transformasi identik pada kedua bagiannya, sehingga menaikkan kedua bagian ke ekspresi yang sama.
Contoh 2. Buktikan identitasnya:
1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;
2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);
3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.
R a s i z a n i .
1) Ubah ruas kiri persamaan ini:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.
Melalui transformasi identitas, ekspresi pada ruas kiri persamaan direduksi menjadi bentuk ruas kanan dan dengan demikian membuktikan bahwa persamaan tersebut adalah suatu identitas.
2) Transformasi sisi kanan kesetaraan yang diberikan:
5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.
Melalui transformasi identitas, sisi kanan persamaan direduksi menjadi bentuk sisi kiri dan dengan demikian membuktikan bahwa persamaan tersebut adalah sebuah identitas.
3) Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menyederhanakan ruas kiri dan kanan persamaan dan membandingkan hasilnya:
2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;
13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.
Melalui transformasi identik, ruas kiri dan kanan persamaan direduksi menjadi bentuk yang sama: 26x - 44. Oleh karena itu, persamaan tersebut merupakan suatu identitas.
Ekspresi apa yang disebut identik? Berikan contoh ekspresi identik. Kesetaraan seperti apa yang disebut identitas? Berikan contoh identitas. Apa yang disebut transformasi identitas suatu ekspresi? Bagaimana cara membuktikan identitas?
- (Secara lisan) Atau ada ungkapan-ungkapan yang identik sama:
1) 2a + a dan 3a;
2) 7x+6 dan 6+7x;
3) x + x + x dan x 3 ;
4) 2(x - 2) dan 2x - 4;
5) m - n dan n - m;
6) 2a ∙ p dan 2p ∙ a?
- Apakah ekspresi-ekspresinya sama persis:
1) 7x - 2x dan 5x;
2) 5a - 4 dan 4 - 5a;
3) 4m+n dan n+4m;
4) a + a dan a 2;
5) 3(a - 4) dan 3a - 12;
6) 5m ∙ n dan 5m + n?
- (Secara verbal) adalah persamaan identitas Lee:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7р - 1 = -1 + 7р;
3) 3(x - y) = 3x - 5y?
- Tanda kurung buka:
- Tanda kurung buka:
- Gabungkan istilah serupa:
- Sebutkan beberapa ekspresi ekspresi yang identik 2a + 3a.
- Sederhanakan ekspresi menggunakan permutasi dan sifat ikat perkalian:
1) -2,5 x ∙ 4;
2) 4р∙(-1,5);
3) 0,2 x ∙ (0,3 gram);
4)- x ∙<-7у).
- Sederhanakan ekspresi:
1) -2р ∙ 3,5;
2) 7a∙(-1.2);
3) 0,2 x ∙ (-3y);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Lisan) Sederhanakan ekspresi:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4a∙(-2b).
- Gabungkan istilah serupa:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;
4) 5 - 7s + 1,9g + 6,9s - 1,7g.
1) 4(5x - 7) + 3x + 13;
2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);
3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- Buka tanda kurung dan gabungkan istilah serupa:
1) 3(8a - 4) + 6a;
2) 7p - 2(3p - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);
4) 3(5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4(x - 20), jika x = 2,4;
2) 1,3(2a - 1) - 16,4, jika a = 10;
3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), jika m = -3,7;
4) 2x - 3(x + y) + 4y, jika x = -1, y = 1.
- Sederhanakan ekspresi dan temukan artinya:
1) 0,7 x + 0,3(x - 4), jika x = -0,7;
2) 1,7(y - 11) - 16,3, jika b = 20;
3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), jika a = -1;
4) 5(m - n) - 4m + 7n, jika m = 1,8; n = -0,9.
- Buktikan identitasnya:
1) -(2x - y)=y - 2x;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).
- Buktikan identitasnya:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);
4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.
- Panjang salah satu sisi segitiga adalah satu cm, dan panjang kedua sisi lainnya lebih besar 2 cm. Tuliskan keliling segitiga sebagai ekspresi dan sederhanakan ekspresi tersebut.
- Lebar persegi panjang tersebut adalah x cm dan panjangnya lebih besar 3 cm dari lebarnya. Tuliskan keliling persegi panjang sebagai ekspresi dan sederhanakan ekspresi tersebut.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6a - b) - (4 a – 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Buka tanda kurung dan sederhanakan ekspresi:
1) a - (a - (3a - 1));
2) 12m - ((a - m) + 12a);
3) 5 tahun - (6 tahun - (7 tahun - (8 tahun - 1)));
6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).
- Buktikan identitasnya:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);
3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).
- Buktikan identitasnya:
1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);
2) 4(x + kamu -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Buktikan bahwa arti dari ungkapan tersebut
1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) tidak bergantung pada nilai variabel.
- Buktikan bahwa untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi
a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)
adalah nomor yang sama.
- Buktikan jumlah tiga bilangan genap berurutan habis dibagi 6.
- Buktikan bahwa jika n bilangan asli, maka nilai persamaan -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) adalah bilangan genap.
Latihan untuk diulang
- Suatu paduan dengan berat 1,6 kg mengandung 15% tembaga. Berapa kg tembaga yang terkandung dalam paduan ini?
- Berapa persenkah angka 20 nya :
1) persegi;
- Wisatawan tersebut berjalan kaki selama 2 jam dan mengendarai sepeda selama 3 jam. Total turis menempuh jarak 56 km. Hitunglah kecepatan turis tersebut mengendarai sepeda, jika kecepatannya 12 km/jam lebih besar dari kecepatan berjalannya.
Tugas menarik untuk siswa malas
- 11 tim berpartisipasi dalam kejuaraan sepak bola kota. Setiap tim memainkan satu pertandingan melawan yang lain. Buktikan bahwa pada setiap momen kompetisi terdapat tim yang pada saat itu telah memainkan jumlah pertandingan genap atau belum memainkan satu pun pertandingan.
Saat mempelajari aljabar, kami menemukan konsep polinomial (misalnya ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, dll.) dan pecahan aljabar (misalnya $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, dll.) Kesamaan konsep ini adalah bahwa dalam polinomial dan pecahan aljabar terdapat variabel dan nilai numerik, tindakan aritmatika dilakukan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial.Perbedaan antara konsep-konsep ini adalah bahwa dalam polinomial pembagian dengan suatu variabel tidak dilakukan, tetapi dalam pecahan aljabar pembagian dengan suatu variabel dapat dilakukan.
Polinomial dan pecahan aljabar disebut ekspresi aljabar rasional dalam matematika. Tetapi polinomial adalah ekspresi rasional bilangan bulat, dan pecahan aljabar adalah ekspresi rasional pecahan.
Ekspresi aljabar utuh dapat diperoleh dari ekspresi rasional pecahan menggunakan transformasi identitas, yang dalam hal ini akan menjadi sifat utama pecahan - reduksi pecahan. Mari kita periksa ini dalam praktiknya:
Contoh 1
Konversi:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Larutan: Persamaan rasional pecahan ini dapat diubah dengan menggunakan sifat dasar reduksi pecahan, yaitu. membagi pembilang dan penyebut dengan angka atau ekspresi yang sama selain $0$.
Pecahan ini tidak bisa langsung dikurangi, pembilangnya harus diubah.
Mari kita ubah ekspresi menjadi pembilang pecahan, untuk ini kita menggunakan rumus kuadrat selisihnya: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Pecahannya terlihat seperti ini
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)\]
Sekarang kita melihat bahwa pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan - ini adalah ekspresi $x-2$, yang dengannya kita akan mengurangi pecahan tersebut
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)=x-2\]
Setelah reduksi, kami menemukan bahwa ekspresi rasional pecahan asli $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ menjadi polinomial $x-2$, yaitu. seluruhnya rasional.
Sekarang mari kita perhatikan fakta bahwa ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2\ $ dapat dianggap identik tidak untuk semua nilai variabel, Karena agar ekspresi rasional pecahan ada dan dapat direduksi dengan polinomial $x-2$, penyebut pecahan tidak boleh sama dengan $0$ (begitu juga dengan faktor pengurangannya. Dalam hal ini Misalnya, penyebut dan faktornya sama, namun hal ini tidak selalu terjadi).
Nilai variabel di mana pecahan aljabar akan ada disebut nilai variabel yang diizinkan.
Mari kita beri syarat pada penyebut pecahan: $x-2≠0$, lalu $x≠2$.
Artinya ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2$ identik untuk semua nilai variabel kecuali $2$.
Definisi 1
Sama persis ekspresi adalah ekspresi yang sama untuk semua nilai valid variabel.
Transformasi identik adalah setiap penggantian persamaan asli dengan persamaan yang identik. Transformasi tersebut meliputi melakukan tindakan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, membawa pecahan aljabar ke penyebut yang sama, mengurangi pecahan aljabar, membawa pecahan yang serupa istilah, dll. Perlu diperhatikan bahwa sejumlah transformasi, seperti reduksi, reduksi suku-suku serupa, dapat mengubah nilai variabel yang diizinkan.
Teknik yang digunakan untuk membuktikan identitas
Bawa sisi kiri identitas ke kanan atau sebaliknya menggunakan transformasi identitas
Kurangi kedua ruas menjadi ekspresi yang sama menggunakan transformasi identik
Pindahkan ekspresi di satu bagian ekspresi ke bagian lain dan buktikan bahwa selisih yang dihasilkan sama dengan $0$
Teknik mana yang digunakan untuk membuktikan identitas tertentu di atas bergantung pada identitas aslinya.
Contoh 2
Buktikan identitasnya $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Larutan: Untuk membuktikan identitas tersebut kita menggunakan cara pertama di atas yaitu kita transformasikan ruas kiri identitas hingga sama dengan ruas kanan.
Mari kita perhatikan sisi kiri identitas: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - ini mewakili selisih dua polinomial. Dalam hal ini, polinomial pertama adalah kuadrat dari jumlah tiga suku.Untuk mengkuadratkan jumlah beberapa suku, kita menggunakan rumus:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan suatu bilangan dengan polinomial. Ingatlah bahwa untuk ini kita perlu mengalikan faktor persekutuan di belakang tanda kurung dengan setiap suku polinomial di dalam tanda kurung. Maka kita mendapatkan:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Sekarang mari kita kembali ke polinomial awal, bentuknya akan menjadi:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Perlu diketahui bahwa sebelum tanda kurung terdapat tanda “-”, artinya ketika tanda kurung dibuka maka semua tanda yang ada di dalam tanda kurung berubah menjadi sebaliknya.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Mari kita sajikan suku-suku serupa, lalu kita peroleh bahwa monomial $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dan $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ saling meniadakan, yaitu. jumlah mereka adalah $0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Artinya melalui transformasi identik kita memperoleh ekspresi identik di sisi kiri identitas aslinya
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan menunjukkan bahwa identitas asli adalah benar.
Harap dicatat bahwa dalam identitas asli semua nilai variabel diperbolehkan, yang berarti kami membuktikan identitas tersebut menggunakan transformasi identitas, dan ini berlaku untuk semua kemungkinan nilai variabel.
Mari kita pertimbangkan dua persamaan:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Persamaan ini berlaku untuk semua nilai variabel a. Kisaran nilai yang dapat diterima untuk persamaan tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real.
2. sebuah 12: sebuah 3 = sebuah 2 *sebuah 7 .
Pertidaksamaan ini berlaku untuk semua nilai variabel a, kecuali a sama dengan nol. Kisaran nilai yang dapat diterima untuk pertidaksamaan ini adalah seluruh himpunan bilangan real kecuali nol.
Untuk masing-masing persamaan ini dapat dikatakan bahwa persamaan tersebut akan benar untuk setiap nilai yang diperbolehkan dari variabel a. Persamaan seperti itu dalam matematika disebut identitas.
Konsep identitas
Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk setiap nilai variabel yang diperbolehkan. Jika Anda mengganti nilai valid apa pun ke dalam persamaan ini alih-alih variabel, Anda akan mendapatkan persamaan numerik yang benar.
Perlu dicatat bahwa persamaan numerik yang sebenarnya juga merupakan identitas. Identitas, misalnya, akan menjadi properti tindakan pada angka.
3. a + b = b + a;
4.a+(b+c) = (a+b)+c;
6.a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11.a*(-1) = -a.
Jika dua ekspresi untuk setiap variabel yang diperbolehkan masing-masing sama, maka ekspresi tersebut disebut identik sama. Di bawah ini adalah beberapa contoh ekspresi yang identik sama:
1. (a 2) 4 dan a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) dan -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) dan x 10.
Kita selalu dapat mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengan ekspresi pertama. Penggantian tersebut akan menjadi transformasi identitas.
Contoh identitas
Contoh 1: apakah persamaan berikut ini identik:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Tidak semua ekspresi yang disajikan di atas akan menjadi identitas. Dari persamaan tersebut, hanya 1, 2 dan 3 persamaan yang merupakan identitas. Tidak peduli angka apa yang kita substitusikan ke dalamnya, alih-alih variabel a dan b kita akan tetap mendapatkan persamaan numerik yang benar.
Namun kesetaraan bukan lagi sebuah identitas. Karena persamaan ini tidak berlaku untuk semua nilai yang valid. Misalnya dengan nilai a = 5 dan b = 2 maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:
Persamaan ini tidak benar, karena angka 3 tidak sama dengan angka -3.
Setelah memperoleh gambaran tentang identitas, masuk akal untuk melanjutkan ke perkenalan. Pada artikel ini kami akan menjawab pertanyaan tentang apa itu ekspresi yang identik sama, dan juga menggunakan contoh untuk memahami ekspresi mana yang identik sama dan mana yang tidak.
Navigasi halaman.
Apa ekspresi yang identik dan setara?
Definisi ekspresi identik yang sama diberikan secara paralel dengan definisi identitas. Hal ini terjadi pada kelas aljabar kelas 7. Dalam buku ajar aljabar kelas 7 karya penulis Yu.N. Makarychev diberikan rumusan sebagai berikut:
Definisi.
– ini adalah ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Ekspresi numerik yang memiliki nilai identik disebut juga sama identik.
Definisi ini digunakan hingga kelas 8, ini berlaku untuk ekspresi integer, karena masuk akal untuk setiap nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Dan di kelas 8, definisi ekspresi identik yang sama diperjelas. Mari kita jelaskan apa hubungannya ini.
Di kelas 8, studi tentang jenis ekspresi lain dimulai, yang, tidak seperti ekspresi utuh, mungkin tidak masuk akal untuk beberapa nilai variabel. Hal ini memaksa kita untuk memperkenalkan definisi nilai variabel yang diperbolehkan dan tidak dapat diterima, serta kisaran nilai yang diperbolehkan dari nilai variabel variabel, dan, sebagai konsekuensinya, untuk memperjelas definisi ekspresi identik yang sama.
Definisi.
Dua ekspresi yang nilainya sama untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya disebut ekspresi yang identik sama. Dua ekspresi numerik yang memiliki nilai yang sama disebut juga sama identik.
Dalam definisi ekspresi yang identik dan setara ini, perlu diperjelas arti frasa “untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya”. Ini menyiratkan semua nilai variabel yang kedua ekspresi identiknya masuk akal pada saat yang bersamaan. Kami akan menjelaskan ide ini di paragraf berikutnya dengan melihat contoh.
Definisi ekspresi identik yang sama dalam buku teks A.G. Mordkovich diberikan sedikit berbeda:
Definisi.
Ekspresi yang identik sama– ini adalah ekspresi di sisi kiri dan kanan identitas.
Arti dari definisi ini dan definisi sebelumnya adalah sama.
Contoh ekspresi yang identik sama
Definisi yang diperkenalkan pada paragraf sebelumnya memungkinkan kita untuk memberi contoh ekspresi yang identik sama.
Mari kita mulai dengan ekspresi numerik yang identik. Ekspresi numerik 1+2 dan 2+1 sama identik, karena keduanya bersesuaian dengan nilai yang sama 3 dan 3. Ekspresi 5 dan 30:6 juga identik sama, begitu pula ekspresi (2 2) 3 dan 2 6 (nilai ekspresi terakhir adalah sama berdasarkan ). Tetapi ekspresi numerik 3+2 dan 3−2 tidak sama persis, karena keduanya sesuai dengan nilai 5 dan 1, dan keduanya tidak sama.
Sekarang mari kita berikan contoh ekspresi identik yang sama dengan variabel. Ini adalah ekspresi a+b dan b+a. Memang, untuk setiap nilai variabel a dan b, ekspresi tertulisnya mengambil nilai yang sama (sebagai berikut dari angkanya). Misalnya, dengan a=1 dan b=2 kita memiliki a+b=1+2=3 dan b+a=2+1=3 . Untuk nilai lain dari variabel a dan b, kita juga akan memperoleh nilai yang sama dari ekspresi ini. Ekspresi 0·x·y·z dan 0 juga identik sama untuk semua nilai variabel x, y, dan z. Tetapi ekspresi 2 x dan 3 x tidak sama persis, karena, misalnya, ketika x=1 nilainya tidak sama. Memang benar, untuk x=1, ekspresi 2·x sama dengan 2·1=2, dan ekspresi 3·x sama dengan 3·1=3.
Ketika rentang nilai variabel yang diizinkan dalam ekspresi bertepatan, seperti, misalnya, dalam ekspresi a+1 dan 1+a, atau a·b·0 dan 0, atau dan, dan nilai ekspresi ini sama untuk semua nilai variabel dari area ini, maka semuanya jelas di sini - ekspresi ini sama untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya. Jadi a+1≡1+a untuk sembarang a, ekspresi a·b·0 dan 0 sama identik untuk semua nilai variabel a dan b, dan ekspresi dan sama identik untuk semua x dari ; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
