rumah » Sepatu » Bagaimana menemukan nilai dari ekspresi dengan kekuatan negatif. Kekuatan negatif angka: aturan konstruksi dan contoh

Bagaimana menemukan nilai dari ekspresi dengan kekuatan negatif. Kekuatan negatif angka: aturan konstruksi dan contoh

Pada artikel ini kita akan mencari tahu apa itu derajat... Di sini kami akan memberikan definisi derajat suatu bilangan, sambil mempertimbangkan secara rinci semua eksponen yang mungkin, dimulai dengan eksponen alami, diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat, mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Derajat dengan eksponen alami, kuadrat angka, pangkat tiga angka

Mari kita mulai dengan. Ke depan, kita katakan bahwa definisi derajat suatu bilangan a dengan eksponen natural n diberikan untuk a, yang akan kita sebut gelar dasar, dan n, yang akan kita sebut eksponen... Kami juga mencatat bahwa derajat dengan eksponen alami ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami materi di bawah ini, Anda harus memiliki gagasan tentang perkalian angka.

Definisi.

pangkat dari bilangan a dengan eksponen natural n adalah ekspresi dari bentuk a n, yang nilainya sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu,.
Secara khusus, pangkat dari bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 = a.

Segera perlu disebutkan aturan untuk membaca derajat. Cara universal untuk membaca catatan a n adalah sebagai berikut: "a pangkat n". Dalam beberapa kasus, opsi berikut juga dapat diterima: "a pangkat ke-n" dan "pangkat ke-n dari angka a". Misalnya, ambil pangkat 8 12, yaitu "delapan pangkat dua belas" atau "delapan pangkat dua belas" atau "perangkat dua belas pangkat delapan".

Derajat kedua suatu bilangan, serta derajat ketiga suatu bilangan, memiliki namanya sendiri. Kekuatan kedua dari suatu bilangan disebut bilangan kuadrat misalnya, 7 2 dibaca "tujuh kuadrat" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari suatu bilangan disebut bilangan kubus misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "kubus lima" atau mengatakan "kubus angka 5".

Saatnya memimpin contoh derajat dengan indikator alami... Mari kita mulai dengan pangkat 5 7, di sini 5 adalah basis dari pangkat, dan 7 adalah eksponen. Mari berikan contoh lain: 4,32 adalah basis, dan bilangan asli 9 adalah eksponen (4,32).

Harap dicatat bahwa dalam contoh terakhir, basis pangkat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari kebingungan, kami akan memasukkan semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli ke dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami , basisnya bukan bilangan asli, jadi ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada saat ini, kami akan menunjukkan perbedaan antara entri formulir (−2) 3 dan 2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat dari 2 dengan eksponen alami 3, dan ekspresi 2 3 (dapat ditulis sebagai - (2 3)) sesuai dengan angka, nilai dari pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat suatu bilangan a dengan eksponen n berbentuk a ^ n. Selain itu, jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4 ^ 9 adalah notasi lain dari pangkat 4 9. Dan berikut ini beberapa contoh lagi penulisan derajat dengan menggunakan simbol "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi untuk derajat dari bentuk a n.

Salah satu tugas, kebalikan dari menaikkan pangkat dengan eksponen alami, adalah masalah menemukan basis derajat dari nilai derajat yang diketahui dan eksponen yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat di paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberikan pengertian derajat angka a dengan eksponen pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk. Agar properti derajat ke derajat menjadi valid, persamaan harus dipenuhi ... Jika kita memperhitungkan persamaan yang diperoleh dan cara kita menentukannya, maka logis untuk menerimanya, asalkan untuk m, n dan a yang diberikan, ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa untuk semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut. keluaran: jika untuk m, n dan a yang diberikan ekspresi masuk akal, maka pangkat dari bilangan a dengan pangkat pecahan m / n disebut akar ke-n dari a pangkat m.

Pernyataan ini membawa kita sangat dekat untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan ekspresi m, n dan a yang masuk akal. Ada dua pendekatan utama tergantung pada kendala pada m, n dan a.

Cara termudah adalah membatasi a dengan mengasumsikan a≥0 untuk m positif dan a> 0 untuk m negatif (karena untuk m≤0 derajat 0 m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi eksponen pecahan berikut.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan pangkat pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari a pangkat m, yaitu,.

Sebuah kekuatan pecahan nol juga ditentukan dengan satu-satunya syarat bahwa indikator harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen pecahan positif m / n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak ditentukan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan seperti itu, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresinya masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memasukkan kondisi a≥0. Misalnya, masuk akal untuk menulis atau, dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak masuk akal, karena dasarnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan eksponen dengan eksponen pecahan m / n adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah eksponen ganjil dan genap dari akar. Pendekatan ini membutuhkan kondisi tambahan: tingkat angka a, yang indikatornya dianggap sebagai kekuatan angka a, yang indikatornya merupakan pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m / n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k, derajatnya terlebih dahulu diganti dengan.

Untuk n genap dan m positif, ekspresi masuk akal untuk semua a non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a harus tetap bukan nol (jika tidak, akan ada pembagian dengan nol ). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus bukan nol (agar tidak ada pembagian dengan nol) .

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarkan m / n menjadi pecahan tak tereduksi, m bilangan bulat, dan n bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat dibatalkan, eksponennya diganti dengan. Pangkat suatu bilangan dengan pangkat pecahan tak tereduksi m / n adalah untuk

Mari kita jelaskan mengapa gelar dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi sebelumnya diganti dengan gelar dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai, dan tidak membuat reservasi tentang ireduksibilitas pecahan m / n, maka kita akan dihadapkan pada situasi yang mirip dengan berikut: karena 6/10 = 3/5, maka persamaan harus berlaku , tetapi , A .

Eksponen digunakan untuk menyederhanakan notasi operasi perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, alih-alih menulis, Anda dapat menulis 4 5 (\ gaya tampilan 4 ^ (5))(penjelasan tentang transisi ini diberikan di bagian pertama artikel ini). Derajat mempermudah penulisan ekspresi atau persamaan yang panjang atau kompleks; juga, kekuatan dapat dengan mudah ditambahkan dan dikurangkan, yang mengarah ke penyederhanaan ekspresi atau persamaan (misalnya, 4 2 4 3 = 4 5 (\ gaya tampilan 4 ^ (2) * 4 ^ (3) = 4 ^ (5))).

Catatan: jika Anda perlu menyelesaikan persamaan eksponensial (dalam persamaan seperti itu, yang tidak diketahui adalah eksponen), baca.

Langkah

Memecahkan masalah derajat paling sederhana

Kalikan basis eksponen dengan dirinya sendiri beberapa kali sama dengan eksponen. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah derajat secara manual, tulis ulang derajat sebagai operasi perkalian, di mana basis derajat dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya, diberikan gelar 3 4 (\ gaya tampilan 3 ^ (4))... Dalam hal ini, basis pangkat 3 harus dikalikan dengan dirinya sendiri 4 kali: 3 3 3 3 (\ gaya tampilan 3 * 3 * 3 * 3)... Berikut adalah contoh lainnya:

Pertama, kalikan dua angka pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\ gaya tampilan 4 ^ (5)) = 4 4 4 4 4 (\ gaya tampilan 4 * 4 * 4 * 4 * 4)... Jangan khawatir - proses perhitungannya tidak serumit kelihatannya pada pandangan pertama. Pertama kalikan dua merangkak pertama dan kemudian ganti dengan hasil Anda. Seperti ini:

4 5 = 4 4 4 4 4 (\ gaya tampilan 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
- 4 4 = 16 (\ displaystyle 4 * 4 = 16)

Kalikan hasilnya (16 dalam contoh kita) dengan angka berikut. Setiap hasil selanjutnya akan meningkat secara proporsional. Dalam contoh kita, kalikan 16 dengan 4. Seperti ini:
- 4 5 = 16 4 4 4 (\ gaya tampilan 4 ^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
  - 16 4 = 64 (\ gaya tampilan 16 * 4 = 64)
- 4 5 = 64 4 4 (\ gaya tampilan 4 ^ (5) = 64 * 4 * 4)
  - 64 4 = 256 (\ displaystyle 64 * 4 = 256)
- 4 5 = 256 4 (\ gaya tampilan 4 ^ (5) = 256 * 4)
  - 256 4 = 1024 (\ gaya tampilan 256 * 4 = 1024)
- Lanjutkan mengalikan dua angka pertama dengan angka berikutnya sampai Anda mendapatkan jawaban akhir. Untuk melakukan ini, kalikan dua angka pertama, lalu kalikan hasilnya dengan angka berikutnya dalam urutan. Metode ini berlaku untuk tingkat apa pun. Dalam contoh kami, Anda harus mendapatkan: 4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024 (\ gaya tampilan 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .
Selesaikan tugas-tugas berikut. Periksa jawabannya dengan kalkulator.
- 8 2 (\ gaya tampilan 8 ^ (2))
- 3 4 (\ gaya tampilan 3 ^ (4))
- 10 7 (\ gaya tampilan 10 ^ (7))
Pada kalkulator, temukan kunci berlabel "exp", atau " x n (\ gaya tampilan x ^ (n))", Atau" ^ ". Dengan kunci ini Anda akan menaikkan angka menjadi kekuatan. Hampir tidak mungkin menghitung derajat dengan eksponen besar secara manual (misalnya, derajat 9 15 (\ gaya tampilan 9 ^ (15))), tetapi kalkulator dapat menangani tugas ini dengan mudah. Di Windows 7, kalkulator standar dapat dialihkan ke mode teknik; untuk melakukan ini, klik "Lihat" -> "Teknik". Untuk beralih ke mode normal, klik "Lihat" -> "Normal".
- Periksa jawaban yang diterima menggunakan mesin pencari (Google atau Yandex)... Menggunakan tombol "^" pada keyboard komputer Anda, masukkan ekspresi ke dalam mesin pencari, yang akan langsung menampilkan jawaban yang benar (dan mungkin menyarankan ekspresi serupa untuk dijelajahi).
Penambahan, pengurangan, perkalian kekuatan
1. Anda dapat menambah dan mengurangi derajat hanya jika mereka memiliki basis yang sama. Jika Anda perlu menambahkan kekuatan dengan basis dan eksponen yang sama, maka Anda dapat mengganti operasi penambahan dengan operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 5 + 4 5 (\ gaya tampilan 4 ^ (5) + 4 ^ (5))... Ingatlah bahwa gelar 4 5 (\ gaya tampilan 4 ^ (5)) dapat direpresentasikan sebagai 1 4 5 (\ gaya tampilan 1 * 4 ^ (5)); dengan demikian, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\ gaya tampilan 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) = 2 * 4 ^ (5))(di mana 1 +1 = 2). Artinya, hitung jumlah derajat tersebut, lalu kalikan derajat ini dan angka ini. Dalam contoh kita, naikkan 4 pangkat lima, lalu kalikan hasilnya dengan 2. Ingat bahwa operasi penjumlahan dapat diganti dengan operasi perkalian, misalnya, 3 + 3 = 2 3 (\ gaya tampilan 3 + 3 = 2 * 3)... Berikut adalah contoh lainnya:
  - 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\ gaya tampilan 3 ^ (2) + 3 ^ (2) = 2 * 3 ^ (2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 3 * 4 ^ (5))
  - 4 5 - 4 5 + 2 = 2 (\ tampilan gaya 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 = 2)
  - 4 x 2 - 2 x 2 = 2 x 2 (\ gaya tampilan 4x ^ (2) -2x ^ (2) = 2x ^ (2))
2. Saat mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya ditambahkan (basis tidak berubah). Misalnya, diberikan ekspresi x 2 x 5 (\ gaya tampilan x ^ (2) * x ^ (5))... Dalam hal ini, Anda hanya perlu menjumlahkan indikator, membiarkan basis tidak berubah. Dengan demikian, x 2 x 5 = x 7 (\ gaya tampilan x ^ (2) * x ^ (5) = x ^ (7))... Berikut adalah penjelasan visual dari aturan ini:
  
  Saat menaikkan kekuatan ke kekuatan, indikatornya dikalikan. Misalnya, gelar diberikan. Karena eksponen dikalikan, maka (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\ gaya tampilan (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2 * 5) = x ^ (10))... Arti dari aturan ini adalah Anda mengalikan derajat (x 2) (\ gaya tampilan (x ^ (2))) dirinya lima kali. Seperti ini:
  - (x 2) 5 (\ gaya tampilan (x ^ (2)) ^ (5))
  - (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (\ gaya tampilan (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
  - Karena basisnya sama, eksponennya hanya ditambahkan: (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = x 10 (\ gaya tampilan (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) = x ^ (10))
3. Eksponen dengan eksponen negatif harus dikonversi ke pecahan (ke eksponen kebalikannya). Tidak masalah jika Anda tidak tahu apa derajat kebalikannya. Jika Anda diberi gelar dengan eksponen negatif, misalnya, 3 - 2 (\ gaya tampilan 3 ^ (- 2)), tuliskan derajat ini ke dalam penyebut pecahan (masukkan 1 ke pembilangnya), dan buat eksponennya menjadi positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (3 ^ (2))))... Berikut adalah contoh lainnya:
  
  Saat membagi derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi (basis tidak berubah). Pembagian adalah kebalikan dari perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 4 4 2 (\ gaya tampilan (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))))... Kurangi eksponen di penyebut dari eksponen di pembilang (jangan ubah basisnya). Dengan demikian, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\ displaystyle (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) = 4 ^ (4-2) = 4 ^ (2)) = 16 .
  - Derajat penyebut dapat ditulis sebagai berikut: 1 4 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\ gaya tampilan 4 ^ (- 2))... Ingat bahwa pecahan adalah angka (eksponen, ekspresi) dengan eksponen negatif.
4. Berikut adalah beberapa ekspresi untuk membantu Anda mempelajari cara menyelesaikan masalah daya. Ungkapan yang diberikan mencakup materi di bagian ini. Untuk melihat jawabannya, cukup sorot ruang kosong setelah tanda sama dengan.
Memecahkan masalah dengan eksponen pecahan
1. Jika eksponen adalah pecahan biasa, maka eksponen ini dapat diperluas menjadi dua pangkat untuk menyederhanakan penyelesaian masalah. Tidak ada yang sulit dalam hal ini - ingat saja aturan untuk mengalikan derajat. Misalnya, gelar diberikan. Ubah pangkat tersebut menjadi akar, yang pangkatnya akan sama dengan penyebut pangkat pecahan, lalu naikkan akar ini ke pangkat yang sama dengan pembilang pangkat pecahan. Untuk melakukan ini, ingatlah itu 5 3 (\ displaystyle (\ frac (5) (3))) = (1 3) 5 (\ displaystyle ((\ frac (1) (3))) * 5)... Dalam contoh kami:
  - x 5 3 (\ gaya tampilan x ^ (\ frac (5) (3)))
  - x 1 3 = x 3 (\ gaya tampilan x ^ (\ frac (1) (3)) = (\ sqrt [(3)] (x)))
  - x 5 3 = x 5 x 1 3 (\ gaya tampilan x ^ (\ frac (5) (3)) = x ^ (5) * x ^ (\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\ gaya tampilan ((\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
2. Beberapa kalkulator memiliki tombol untuk menghitung derajat (pertama Anda harus memasukkan basis, lalu tekan tombol, lalu masukkan eksponen). Hal ini dilambangkan sebagai ^ atau x ^ y.
3. Ingatlah bahwa setiap angka dalam kekuatan pertama sama dengan dirinya sendiri, misalnya, 4 1 = 4. (\ gaya tampilan 4 ^ (1) = 4.) Selain itu, bilangan apa pun yang dikalikan atau dibagi satu sama dengan dirinya sendiri, misalnya, 5 1 = 5 (\ gaya tampilan 5 * 1 = 5) dan 5/1 = 5 (\ gaya tampilan 5/1 = 5).
4. Sadarilah bahwa derajat 0 0 tidak ada (derajat ini tidak memiliki solusi). Jika Anda mencoba menyelesaikan gelar seperti itu di kalkulator atau di komputer, Anda akan menerima kesalahan. Tapi ingat bahwa setiap angka pangkat nol adalah 1, misalnya, 4 0 = 1. (\ gaya tampilan 4 ^ (0) = 1.)
5. Dalam matematika yang lebih tinggi, yang beroperasi dengan bilangan imajiner: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\ gaya tampilan e ^ (a) ix = cosax + isinax), di mana i = (- 1) (\ gaya tampilan i = (\ sqrt (()) - 1)); e adalah konstanta yang kira-kira sama dengan 2,7; a adalah konstanta arbitrer. Bukti persamaan ini dapat ditemukan di semua buku teks tentang matematika tingkat tinggi.
- Dengan peningkatan eksponen, nilainya meningkat dengan kuat. Jadi, jika jawabannya tampak salah bagi Anda, mungkin itu benar. Anda dapat memeriksanya dengan memplot fungsi eksponensial apa pun, misalnya 2 x.

Rumus kekuatan digunakan dalam proses mereduksi dan menyederhanakan ekspresi kompleks, dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan.

Nomor C adalah n-kekuatan nomor A Kapan:

Operasi dengan derajat.

1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:

NSA n = a m + n.

2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:

3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor tersebut:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Kekuatan pecahan sama dengan rasio kekuatan dividen dan pembagi:

(a / b) n = a n / b n.

5. Menaikkan derajat ke derajat, eksponen dikalikan:

(a m) n = a m n.

Setiap rumus di atas benar dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Sebagai contoh. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Operasi akar.

1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini:

2. Akar hubungan sama dengan rasio bagi hasil dan pembagi dari akar-akarnya:

3. Saat menaikkan akar ke pangkat, cukup menaikkan nomor akar ke pangkat ini:

4. Jika Anda meningkatkan derajat akar di n sekali dan pada saat yang sama membangun n-th kekuatan nomor root, maka nilai root tidak akan berubah:

5. Jika Anda mengurangi tingkat akar di n sekali dan pada saat yang sama ekstrak root n pangkat -th dari bilangan radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Derajat dengan eksponen negatif. Kekuatan angka dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai unit dibagi dengan kekuatan angka yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:

Rumus NS: a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk M> n, tetapi juga di M< n.

Sebagai contoh. A4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sehingga rumusnya NS: a n = a m - n menjadi adil ketika m = n, keberadaan derajat nol diperlukan.

Nilai nol. Kekuatan dari setiap angka bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Sebagai contoh. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Eksponen pecahan. Untuk mendirikan bilangan real A ke derajat M N, Anda perlu mengekstrak root n-derajat M-kekuatan nomor ini A.

Melanjutkan percakapan tentang derajat suatu bilangan, adalah logis untuk mencari cara menemukan nilai derajat. Proses ini disebut eksponensial... Dalam artikel ini, kita hanya akan mempelajari bagaimana eksponensial dilakukan, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin - alami, utuh, rasional, dan irasional. Dan menurut tradisi, kami akan mempertimbangkan secara rinci solusi dari contoh menaikkan angka ke berbagai kekuatan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan eksponensial?

Anda harus mulai dengan menjelaskan apa yang disebut eksponensial. Berikut adalah definisi yang sesuai.

Definisi.

Eksponen- ini adalah menemukan nilai kekuatan angka.

Jadi, mencari nilai pangkat suatu bilangan a dengan pangkat r dan menaikkan bilangan a ke pangkat r adalah sama. Misalnya, jika masalahnya adalah "hitung nilai derajat (0,5) 5", maka dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: "Naikkan angka 0,5 ke pangkat 5".

Sekarang Anda dapat langsung menuju ke aturan yang digunakan untuk melakukan eksponensial.

Menaikkan angka menjadi kekuatan alami

Dalam praktiknya, kesetaraan atas dasar biasanya diterapkan dalam bentuk. Artinya, ketika menaikkan angka a menjadi pangkat pecahan m / n, akar ke-n dari angka a pertama kali diekstraksi, setelah itu hasilnya dinaikkan menjadi pangkat bilangan bulat m.

Mari kita pertimbangkan solusi dari contoh menaikkan ke pangkat pecahan.

Contoh.

Hitung nilai eksponennya.

Larutan.

Kami akan menunjukkan dua cara untuk menyelesaikannya.

Cara pertama. Menurut definisi, eksponen pecahan. Kami menghitung nilai derajat di bawah tanda akar, setelah itu kami mengekstrak akar pangkat tiga: .

Cara kedua. Dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan dan berdasarkan sifat-sifat akar, persamaan adalah benar ... Sekarang kita ekstrak root akhirnya, naikkan ke seluruh kekuatan .

Jelas, hasil yang diperoleh dari peningkatan ke kekuatan fraksional bertepatan.

Menjawab:

Perhatikan bahwa eksponen pecahan dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal atau bilangan campuran, dalam kasus ini harus diganti dengan pecahan biasa yang sesuai, setelah itu eksponen dilakukan.

Contoh.

Hitung (44,89) 2.5.

Larutan.

Mari kita tulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa (jika perlu, lihat artikel): ... Sekarang kita melakukan eksponensial pecahan:

Menjawab:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Juga harus dikatakan bahwa menaikkan angka ke pangkat rasional adalah proses yang agak melelahkan (terutama ketika ada angka yang cukup besar dalam pembilang dan penyebut dari eksponen pecahan), yang biasanya dilakukan dengan menggunakan teknologi komputer.

Sebagai kesimpulan dari poin ini, mari kita membahas tentang menaikkan angka nol menjadi pangkat pecahan. Kami telah memberikan arti berikut ke tingkat pecahan nol dari bentuk: untuk, kami memiliki , dan pada nol pangkat m / n tidak terdefinisi. Jadi, nol dalam pangkat positif fraksional adalah nol, misalnya, ... Dan nol dalam pangkat negatif fraksional tidak masuk akal, misalnya, ekspresi dan 0 -4,3 tidak masuk akal.

Perpangkatan irasional

Kadang-kadang menjadi perlu untuk mengetahui arti dari kekuatan angka dengan eksponen irasional. Dalam hal ini, untuk tujuan praktis, biasanya cukup untuk memperoleh nilai derajat yang akurat untuk suatu tanda tertentu. Kami segera mencatat bahwa nilai ini dihitung dalam praktik menggunakan komputer elektronik, karena menaikkan ke daya irasional secara manual membutuhkan banyak perhitungan yang rumit. Tapi tetap saja, kami akan menjelaskan secara umum esensi dari tindakan.

Untuk mendapatkan nilai perkiraan pangkat dari angka a dengan eksponen irasional, beberapa pendekatan desimal dari eksponen diambil, dan nilai eksponen dihitung. Nilai ini merupakan nilai perkiraan pangkat dari bilangan a dengan eksponen irasional. Semakin akurat perkiraan desimal dari angka yang akan diambil pada awalnya, semakin akurat nilai derajat yang akan diperoleh pada akhirnya.

Sebagai contoh, mari kita hitung perkiraan nilai pangkat 2 1.174367 .... Mari kita ambil pendekatan desimal berikut dari eksponen irasional :. Sekarang kita naikkan 2 ke pangkat rasional 1,17 (kita menggambarkan esensi dari proses ini di paragraf sebelumnya), kita mendapatkan 2 1,17 2.250116. Dengan demikian, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Jika kita mengambil pendekatan desimal yang lebih akurat dari eksponen irasional, misalnya, kita mendapatkan nilai eksponen asli yang lebih akurat: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku pelajaran Matematika Zh untuk kelas 5 SD. institusi pendidikan.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 7. institusi pendidikan.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8 institusi pendidikan.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 9. institusi pendidikan.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan analisis awal: Buku teks untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan untuk pelamar ke sekolah teknik).

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan, seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2.
Jumlah a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan derajat yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a2 dan 3a2 adalah 5a2.

Juga jelas bahwa jika Anda mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat variabel yang berbeda dan derajat yang bervariasi variabel identik, harus ditambahkan dengan penambahannya dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3.

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, tidak sama dengan dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6.

Pengurangan derajat dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Perkalian derajat

Angka dengan kekuatan dapat dikalikan, seperti jumlah lainnya, dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara mereka.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan mengambil bentuk: a 5 b 5 y 3.

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m + n.

Untuk n, a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n sama;

Dan a m diambil sebagai faktor sebanyak pangkat m;

Itu sebabnya, derajat dengan batang yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Dan x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5. Ini dapat ditulis sebagai (1 / aa).(1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi persegi, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Pembagian derajat

Bilangan pangkat dapat dibagi, seperti bilangan lainnya, dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi dengan b 2 sama dengan a 3.

Atau:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Notasi a 5 dibagi 3 terlihat seperti $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Tapi ini sama dengan 2. Dalam serangkaian angka
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan eksponen dari bilangan yang dapat dibagi.

Saat membagi derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi..

Jadi, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Artinya, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

Dan a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Artinya, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Atau:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan dengan negatif nilai-nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa).\ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 atau $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Perkalian dan pembagian derajat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh dengan pecahan yang mengandung angka dengan kekuatan

1. Turunkan eksponen dalam $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Jawaban: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Turunkan eksponen dalam $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Jawaban: $\frac (2x) (1) $ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1, pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 / a -1 dan 1 / a -1.

4. Kurangi eksponen 2a 4 / 5a 3 dan 2 / a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b) / b 4 dengan (a - b) / 3.

6. Kalikan (a 5 + 1) / x 2 dengan (b 2 - 1) / (x + a).

7. Kalikan b 4 / a -2 dengan h -3 / x dan a n / y -3.

8. Bagi 4 / y 3 dengan 3 / y 2. Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1) / d 4 dengan (d n + 1) / h.

Tampilan