Perluasan pangkat bilangan bulat non-negatif. Perluasan deret Maclaurin menggunakan contoh

Di antara deret fungsional, tempat terpenting ditempati oleh deret pangkat.

Deret pangkat adalah deret

yang anggotanya fungsi daya, disusun dalam pangkat bilangan bulat non-negatif yang meningkat X, A C0 , C 1 , C 2 , C N - nilai konstan. Angka C1 , C 2 , C N - koefisien suku deret, C0 - anggota gratis. Anggota seri kekuatan didefinisikan pada seluruh garis bilangan.

Mari berkenalan dengan konsepnya daerah konvergensi deret pangkat. Ini adalah kumpulan nilai suatu variabel X, yang deretnya konvergen. Deret pangkat mempunyai daerah konvergensi yang cukup sederhana. Untuk nilai variabel nyata X daerah konvergensi terdiri dari satu titik, atau merupakan interval tertentu (interval konvergensi), atau bertepatan dengan seluruh sumbu Sapi .

Saat mensubstitusi nilai ke dalam deret pangkat X= 0 akan menghasilkan deret angka

C0 +0+0+...+0+... ,

yang menyatu.

Oleh karena itu, kapan X= 0 setiap deret pangkat konvergen dan, oleh karena itu, wilayah konvergensinya tidak mungkin himpunan kosong. Struktur daerah konvergensi semua deret pangkat adalah sama. Hal ini dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema 1 (Teorema Habel). Jika suatu deret pangkat konvergen pada suatu nilai tertentu X = X 0 , berbeda dari nol, maka ia konvergen, dan terlebih lagi, secara mutlak, untuk semua nilai |X| < |X 0 | . Harap dicatat: baik nilai awal "X adalah nol" dan nilai "X" apa pun yang dibandingkan dengan nilai awal diambil modulo - tanpa memperhitungkan tandanya.

Konsekuensi. Jika deret daya divergen pada nilai tertentu X = X 1 , maka ia divergen untuk semua nilai |X| > |X 1 | .

Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, setiap deret pangkat konvergen pada nilainya X= 0. Ada deret pangkat yang konvergen hanya jika X= 0 dan divergen untuk nilai lainnya X. Dengan mengecualikan kasus ini dari pertimbangan, kami berasumsi bahwa deret pangkat konvergen pada nilai tertentu X = X 0 , berbeda dari nol. Kemudian menurut teorema Abel, ia konvergen di semua titik interval ]-| X0 |, |X 0 |[ (interval yang batas kiri dan kanannya adalah nilai x di mana deret pangkat bertemu, masing-masing diambil dengan tanda minus dan tanda tambah), simetris terhadap titik asal.

Jika deret pangkat menyimpang pada nilai tertentu X = X 1 , kemudian, berdasarkan akibat wajar dari teorema Abel, ia menyimpang di semua titik di luar segmen [-| X1 |, |X 1 |] . Oleh karena itu, untuk setiap deret pangkat, terdapat interval yang simetris terhadap titik asal, yang disebut interval konvergensi , di setiap titik di mana deret tersebut bertemu, pada batasnya dapat konvergen, atau dapat menyimpang, dan belum tentu pada saat yang sama, dan di luar segmen tersebut deret tersebut menyimpang. Nomor R disebut jari-jari konvergensi deret pangkat.

Dalam kasus khusus interval konvergensi deret pangkat dapat merosot ke suatu titik (maka deret tersebut konvergen hanya jika X= 0 dan dianggap demikian R= 0) atau mewakili seluruh garis bilangan (maka deret tersebut konvergen di semua titik garis bilangan dan diasumsikan ).

Jadi, menentukan daerah konvergensi suatu deret pangkat berarti menentukannya radius konvergensi R dan mempelajari konvergensi deret tersebut pada batas interval konvergensi (at ).

Teorema 2. Jika semua koefisien suatu deret pangkat, dimulai dari suatu deret tertentu, berbeda dari nol, maka jari-jari konvergensinya sama dengan limit perbandingan nilai mutlak koefisien-koefisien anggota-anggota deret berikut yang umum. , yaitu

Contoh 1. Temukan daerah konvergensi deret pangkat

Larutan. Di Sini

Dengan menggunakan rumus (28), kita mencari jari-jari konvergensi deret ini:

Mari kita pelajari kekonvergenan deret pada ujung-ujung interval konvergensi. Contoh 13 menunjukkan bahwa deret ini konvergen di X= 1 dan divergen di X= -1. Oleh karena itu, daerah konvergensinya adalah setengah interval.

Contoh 2. Temukan daerah konvergensi deret pangkat

Larutan. Koefisien deret tersebut positif, dan

Mari kita cari limit rasio ini, mis. radius konvergensi deret pangkat:

Mari kita pelajari kekonvergenan deret pada ujung-ujung interval. Substitusi Nilai X= -1/5 dan X= 1/5 pada baris ini menghasilkan:

Deret pertama konvergen (lihat Contoh 5). Namun kemudian, berdasarkan teorema pada bagian “Konvergensi mutlak”, deret kedua juga konvergen, dan daerah konvergensinya adalah segmen

Contoh 3. Temukan daerah konvergensi deret pangkat

Larutan. Di Sini

Dengan menggunakan rumus (28) kita mencari jari-jari konvergensi deret tersebut:

Mari kita pelajari konvergensi deret nilai . Menggantinya dalam seri ini, kita memperolehnya masing-masing

Kedua deret tersebut divergen karena kondisi yang diperlukan untuk konvergensi tidak terpenuhi (suku-suku persekutuannya cenderung tidak nol pada ). Jadi, pada kedua ujung interval konvergensi, deret ini divergen, dan daerah konvergensinya adalah interval.

Contoh 5. Temukan daerah konvergensi deret pangkat

Larutan. Kami menemukan hubungan di mana , dan :

Menurut rumus (28), jari-jari konvergensi deret ini

,

artinya, deret tersebut konvergen hanya jika X= 0 dan divergen untuk nilai lainnya X.

Contoh menunjukkan bahwa pada ujung interval konvergensi deret tersebut berperilaku berbeda. Pada contoh 1, pada salah satu ujung interval konvergensi deret tersebut konvergen, dan pada ujung yang lain, deret tersebut divergen; pada contoh 2, deret tersebut konvergen pada kedua ujungnya; pada contoh 3, deret tersebut divergen pada kedua ujungnya.

Rumus jari-jari konvergensi suatu deret pangkat diperoleh dengan asumsi bahwa semua koefisien suku-suku deret tersebut, mulai dari suatu titik tertentu, berbeda dengan nol. Oleh karena itu, penggunaan rumus (28) hanya diperbolehkan dalam kasus ini. Jika syarat ini dilanggar, maka jari-jari konvergensi deret pangkat harus dicari dengan menggunakan tanda d'Alembert, atau, dengan mengganti variabel, mengubah rangkaian menjadi bentuk yang memenuhi kondisi tertentu.

Contoh 6. Tentukan interval konvergensi deret pangkat

Larutan. Deret ini tidak memuat suku-suku yang derajatnya ganjil X. Oleh karena itu, kami mengubah rangkaian tersebut menjadi pengaturan. Lalu kita mendapatkan serinya

untuk mencari jari-jari konvergensinya kita dapat menerapkan rumus (28). Karena , a , maka jari-jari konvergensi deret tersebut

Dari persamaan tersebut diperoleh , maka deret ini konvergen pada interval .

Jumlah deret pangkat. Diferensiasi dan integrasi deret pangkat

Biarkan untuk seri kekuatan

radius konvergensi R> 0, yaitu deret ini konvergen pada interval tersebut.

Kemudian setiap nilai X dari interval konvergensi sesuai dengan jumlah tertentu dari deret tersebut. Oleh karena itu, jumlah deret pangkat merupakan fungsi dari X pada interval konvergensi. Melambangkannya dengan F(X), kita dapat menulis persamaannya

pengertiannya dalam artian jumlah deret pada setiap titik X dari interval konvergensi sama dengan nilai fungsinya F(X) pada saat ini. Dengan pengertian yang sama, kita dapat mengatakan bahwa deret pangkat (29) konvergen ke fungsi tersebut F(X) pada interval konvergensi.

Di luar interval konvergensi, persamaan (30) tidak masuk akal.

Contoh 7. Temukan jumlah deret pangkat

Larutan. Ini adalah deret geometri yang A= 1, sebuah Q= X. Oleh karena itu, jumlahnya adalah sebuah fungsi . Suatu deret konvergen jika , dan merupakan interval konvergensinya. Oleh karena itu kesetaraan

hanya valid untuk nilai, meskipun fungsinya didefinisikan untuk semua nilai X, kecuali X= 1.

Dapat dibuktikan jumlah deret pangkatnya F(X) kontinu dan terdiferensiasi pada interval mana pun dalam interval konvergensi, khususnya pada titik mana pun dalam interval konvergensi deret tersebut.

Mari kita sajikan teorema tentang diferensiasi suku demi suku dan integrasi deret pangkat.

Teorema 1. Deret pangkat (30) dalam interval konvergensinya dapat dibedakan suku demi suku dalam jumlah yang tidak terbatas, dan deret pangkat yang dihasilkan mempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret aslinya, dan jumlahnya masing-masing sama dengan .

Teorema 2. Deret pangkat (30) dapat diintegrasikan suku demi suku dalam jumlah yang tidak terbatas dalam rentang dari 0 sampai X, jika , dan deret pangkat yang dihasilkan mempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret aslinya, dan jumlah keduanya sama

Perluasan fungsi menjadi deret pangkat

Biarkan fungsinya diberikan F(X), yang perlu diperluas menjadi deret pangkat, yaitu. nyatakan dalam bentuk (30):

Tugasnya adalah menentukan koefisien baris (30). Untuk melakukan ini, dengan membedakan persamaan (30) suku demi suku, kami secara konsisten menemukan:

……………………………………………….. (31)

Dengan asumsi persamaan (30) dan (31) X= 0, kita temukan

Mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalam persamaan (30), kita memperoleh

(32)

Mari kita temukan perluasan deret Maclaurin dari beberapa fungsi dasar.

Contoh 8. Perluas fungsi dalam deret Maclaurin

Larutan. Turunan dari fungsi ini sama dengan fungsi itu sendiri:

Oleh karena itu, kapan X= 0 yang kita punya

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus (32), kita memperoleh ekspansi yang diinginkan:

(33)

Deret ini konvergen pada seluruh garis bilangan (jari-jari konvergensinya).

"Temukan perluasan deret Maclaurin dari fungsi f(x)"- seperti inilah tugas dalam matematika tingkat tinggi, yang dapat dilakukan oleh beberapa siswa, sementara yang lain tidak dapat mengatasi contoh-contohnya. Ada beberapa cara untuk memperluas suatu deret pangkat; disini kami akan memberikan teknik untuk memperluas fungsi menjadi deret Maclaurin. Saat mengembangkan suatu fungsi dalam suatu deret, Anda harus pandai menghitung turunannya.

Contoh 4.7 Perluas suatu fungsi pangkat x

Perhitungan: Kami melakukan perluasan fungsi sesuai dengan rumus Maclaurin. Pertama, mari kita perluas penyebut fungsinya menjadi sebuah deret

Terakhir, kalikan ekspansi dengan pembilangnya.
Suku pertama adalah nilai fungsi di nol f (0) = 1/3.
Mari kita cari turunan dari fungsi orde pertama dan lebih tinggi f (x) dan nilai turunannya di titik x=0




Selanjutnya berdasarkan pola perubahan nilai turunannya pada 0, kita tuliskan rumus turunan ke-n

Jadi, kita nyatakan penyebutnya sebagai perluasan deret Maclaurin

Kita kalikan dengan pembilangnya dan dapatkan perluasan fungsi yang diinginkan dalam deret pangkat x

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit di sini.
Semua poin penting didasarkan pada kemampuan menghitung turunan dan dengan cepat menggeneralisasi nilai turunan orde tinggi dari nol. Contoh berikut akan membantu Anda mempelajari cara menyusun suatu fungsi dalam satu baris dengan cepat.

Contoh 4.10 Carilah perluasan fungsi deret Maclaurin

Perhitungan: Seperti yang sudah Anda duga, kita akan memasukkan cosinus pada pembilangnya secara berurutan. Untuk melakukannya, Anda dapat menggunakan rumus besaran yang sangat kecil, atau menurunkan ekspansi kosinus melalui turunan. Hasilnya, kita sampai pada deret pangkat x berikut

Seperti yang Anda lihat, kami memiliki perhitungan minimum dan representasi ringkas dari ekspansi seri.

Contoh 4.16 Perluas suatu fungsi pangkat x:
7/(12-xx^2)
Perhitungan: Dalam contoh seperti ini, pecahan perlu diekspansi melalui jumlah pecahan sederhana.
Kami tidak akan menunjukkan cara melakukannya sekarang, tetapi dengan bantuan koefisien tak tentu kami akan sampai pada jumlah pecahan.
Selanjutnya kita tuliskan penyebutnya dalam bentuk eksponensial

Masih memperluas istilah menggunakan rumus Maclaurin. Meringkas istilah-istilah di derajat yang sama"x" kita membuat rumus suku umum perluasan deret suatu fungsi



Bagian terakhir dari transisi ke rangkaian di awal sulit untuk diterapkan, karena sulit untuk menggabungkan rumus untuk indeks berpasangan dan tidak berpasangan (derajat), tetapi dengan latihan Anda akan menjadi lebih baik dalam hal itu.

Contoh 4.18 Carilah perluasan fungsi deret Maclaurin

Perhitungan: Mari kita cari turunan dari fungsi ini:

Mari kita kembangkan fungsinya menjadi rangkaian menggunakan salah satu rumus McLaren:

Kami menjumlahkan deret suku demi suku berdasarkan fakta bahwa keduanya benar-benar identik. Setelah mengintegrasikan seluruh deret suku demi suku, kita memperoleh perluasan fungsi menjadi deret pangkat x

Ada transisi antara dua baris terakhir perluasan yang akan menyita banyak waktu Anda di awal. Menggeneralisasi rumus deret tidaklah mudah bagi semua orang, jadi jangan khawatir tidak bisa mendapatkan rumus yang bagus dan ringkas.

Contoh 4.28 Carilah perluasan fungsi deret Maclaurin:

Mari kita tulis logaritmanya sebagai berikut

Dengan menggunakan rumus Maclaurin, kita memperluas fungsi logaritma dalam deret pangkat x

Konvolusi terakhir pada pandangan pertama rumit, tetapi ketika tanda-tanda berganti-ganti, Anda akan selalu mendapatkan sesuatu yang serupa. Pelajaran masukan tentang topik fungsi penjadwalan berturut-turut selesai. Lainnya tidak kurang skema yang menarik dekomposisi akan dibahas secara rinci dalam materi berikut.

Dalam teori deret fungsional, tempat sentral ditempati oleh bagian yang dikhususkan untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret.

Jadi, tugasnya ditetapkan: untuk fungsi tertentu kita perlu menemukan rangkaian pangkat seperti itu

yang konvergen pada interval tertentu dan jumlahnya sama dengan
, itu.

= ..

Tugas ini disebut masalah perluasan suatu fungsi menjadi deret pangkat.

Kondisi yang diperlukan untuk penguraian suatu fungsi dalam deret pangkat adalah diferensiasinya berkali-kali - ini mengikuti sifat-sifat deret pangkat konvergen. Kondisi ini biasanya dipenuhi untuk fungsi-fungsi dasar dalam domain definisinya.

Jadi mari kita asumsikan fungsinya
memiliki turunan dari urutan apa pun. Apakah mungkin untuk mengembangkannya menjadi rangkaian pangkat? Jika demikian, bagaimana kita dapat menemukan rangkaian ini? Bagian kedua dari masalah ini lebih mudah diselesaikan, jadi mari kita mulai.

Mari kita asumsikan fungsinya
dapat direpresentasikan sebagai jumlah deret pangkat yang konvergen pada interval yang memuat titik tersebut X 0 :

= .. (*)

Di mana A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A N ,... – koefisien yang tidak diketahui (belum).

Mari kita masukkan persamaan (*) nilainya x = x 0 , lalu kita dapatkan

.

Mari kita bedakan deret pangkat (*) suku demi suku

= ..

dan percaya di sini x = x 0 , kita dapatkan

.

Dengan diferensiasi berikutnya kita memperoleh deret tersebut

= ..

percaya x = x 0 , kita dapatkan
, Di mana
.

Setelah N-berbagai diferensiasi yang kita peroleh

Dengan asumsi persamaan terakhir x = x 0 , kita dapatkan
, Di mana

Jadi, koefisiennya ditemukan

,
,
, …,
,….,

mensubstitusikan yang ke dalam deret (*), kita peroleh

Deret yang dihasilkan disebut di sebelah Taylor untuk fungsi
.

Jadi, kami telah menetapkannya jika fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret pangkat dengan pangkat (x - x 0 ), maka pemuaian ini bersifat unik dan deret yang dihasilkan tentu saja merupakan deret Taylor.

Perhatikan bahwa deret Taylor dapat diperoleh untuk fungsi apa pun yang mempunyai turunan dengan orde apa pun di titik tersebut x = x 0 . Namun ini tidak berarti bahwa tanda sama dengan dapat ditempatkan antara fungsi dan deret yang dihasilkan, yaitu. bahwa jumlah deret tersebut sama dengan fungsi aslinya. Pertama, persamaan seperti itu hanya masuk akal di daerah konvergensi, dan deret Taylor yang diperoleh untuk fungsi tersebut mungkin berbeda, dan kedua, jika deret Taylor konvergen, maka jumlahnya mungkin tidak sesuai dengan fungsi aslinya.

3.2. Kondisi yang cukup untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Taylor

Mari kita merumuskan pernyataan yang dengannya tugas akan diselesaikan.

Jika fungsinya
di beberapa lingkungan titik x 0 memiliki turunan hingga (N+ 1) pesanan inklusif, maka di lingkungan ini kita punyarumus Taylor

Di manaR N (X)-sisa suku rumus Taylor – berbentuk (bentuk Lagrange)

Di mana dotξ terletak di antara x dan x 0 .

Perhatikan bahwa ada perbedaan antara deret Taylor dan rumus Taylor: rumus Taylor adalah jumlah berhingga, yaitu. P - nomor tetap.

Ingatlah bahwa jumlah deret tersebut S(X) dapat didefinisikan sebagai limit barisan fungsional dari jumlah parsial S N (X) pada interval tertentu X:

.

Oleh karena itu, memperluas suatu fungsi menjadi deret Taylor berarti mencari deret sedemikian rupa sehingga untuk sembarang XX

Mari kita tuliskan rumus Taylor dalam bentuk dimana

Perhatikan itu
mendefinisikan kesalahan yang kita dapatkan, ganti fungsinya F(X) polinomial S N (X).

Jika
, Itu
,itu. fungsinya diperluas menjadi deret Taylor. Begitu pula sebaliknya jika
, Itu
.

Demikianlah kami membuktikannya kriteria keteruraian suatu fungsi dalam deret Taylor.

Agar fungsinyaF(x) berkembang menjadi deret Taylor, perlu dan cukup pada interval ini
, Di manaR N (X) adalah sisa suku deret Taylor.

Dengan menggunakan kriteria yang dirumuskan, seseorang dapat memperoleh memadaikondisi untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Taylor.

Jika dibeberapa lingkungan titik x 0 nilai absolut semua turunan fungsi dibatasi pada bilangan yang sama M≥ 0, yaitu

, To di lingkungan ini fungsinya meluas menjadi deret Taylor.

Dari penjelasan di atas berikut ini algoritmaperluasan fungsi F(X) dalam deret Taylor di sekitar suatu titik X 0 :

1. Menemukan turunan fungsi F(X):

f(x), f'(x), f”(x), f’”(x), f (N) (X),…

2. Hitung nilai fungsi dan nilai turunannya di titik tersebut X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), F (N) (X 0 ),…

3. Kita tuliskan secara formal deret Taylor dan carilah daerah konvergensi deret pangkat yang dihasilkan.

4. Kami memeriksa pemenuhan syarat cukup, yaitu. kami menetapkan untuk yang mana X dari daerah konvergensi, sisa suku R N (X) cenderung nol pada
atau
.

Perluasan fungsi menjadi deret Taylor dengan menggunakan algoritma ini disebut perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor menurut definisi atau dekomposisi langsung.

Untuk siswa matematika yang lebih tinggi Perlu diketahui bahwa jumlah deret pangkat tertentu yang termasuk dalam interval konvergensi deret yang diberikan kepada kita ternyata merupakan fungsi terdiferensiasi yang kontinu dan berkali-kali tidak terbatas. Timbul pertanyaan: apakah mungkin untuk mengatakan bahwa suatu fungsi sembarang f(x) adalah jumlah dari deret pangkat tertentu? Artinya, dalam kondisi apa fungsi f(x) dapat digambarkan? seri kekuatan? Pentingnya pertanyaan ini terletak pada kenyataan bahwa fungsi f(x) dapat diganti dengan jumlah beberapa suku pertama suatu deret pangkat, yaitu polinomial. Penggantian fungsi dengan ekspresi yang cukup sederhana - polinomial - juga berguna saat menyelesaikan masalah tertentu, yaitu: saat menyelesaikan integral, saat menghitung, dll.

Telah dibuktikan bahwa untuk fungsi tertentu f(x), yang memungkinkan untuk menghitung turunan hingga orde ke-(n+1), termasuk yang terakhir, di lingkungan (α - R; x 0 + R ) suatu titik x = α, benar rumusnya:

Rumus ini dinamai ilmuwan terkenal Brooke Taylor. Deret yang diperoleh dari deret sebelumnya disebut deret Maclaurin:

Aturan yang memungkinkan dilakukannya perluasan pada deret Maclaurin:

1. Tentukan turunan orde pertama, kedua, ketiga....
2. Hitung turunannya di x=0.
3. Tuliskan deret Maclaurin untuk fungsi ini, lalu tentukan interval konvergensinya.
4. Tentukan interval (-R;R), dimana sisa rumus Maclaurin

R n (x) -> 0 pada n -> tak terhingga. Jika ada, fungsi f(x) di dalamnya harus sama dengan jumlah deret Maclaurin.

Sekarang mari kita pertimbangkan deret Maclaurin untuk masing-masing fungsi.

1. Jadi, persamaan pertama adalah f(x) = e x. Tentu saja, berdasarkan karakteristiknya, fungsi tersebut memiliki turunan dengan orde yang sangat berbeda, dan f (k) (x) = e x , dengan k sama dengan semua. Kita mendapatkan f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Berdasarkan penjelasan di atas, maka deret e x akan terlihat seperti ini:

2. Deret Maclaurin untuk fungsi f(x) = sin x. Mari kita segera perjelas bahwa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan memiliki turunan, selain itu, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), dimana k sama dengan sembarang bilangan asli. Artinya, setelah melakukan perhitungan sederhana, kita dapat menyimpulkan bahwa deret f(x) = sin x berbentuk sebagai berikut:

3. Sekarang mari kita coba perhatikan fungsi f(x) = cos x. Untuk semua yang tidak diketahui, ia memiliki turunan dengan urutan sembarang, dan |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Jadi, kami telah membuat daftar fungsi terpenting yang dapat diperluas dalam deret Maclaurin, tetapi fungsi tersebut dilengkapi dengan deret Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kami akan membuat daftarnya. Perlu juga dicatat bahwa deret Taylor dan Maclaurin adalah bagian penting dari kerja praktek dalam menyelesaikan deret dalam matematika tingkat tinggi. Jadi, deret Taylor.

1. Deret pertama adalah deret fungsi f(x) = ln(1+x). Seperti pada contoh sebelumnya, untuk f(x) = ln(1+x) yang diberikan kita dapat menjumlahkan deret tersebut menggunakan bentuk umum deret Maclaurin. namun, untuk fungsi ini deret Maclaurin dapat diperoleh dengan lebih sederhana. Setelah mengintegrasikan deret geometri tertentu, diperoleh deret f(x) = ln(1+x) dari sampel berikut:

2. Dan yang kedua, yang akan menjadi final dalam artikel kita, adalah deret untuk f(x) = arctan x. Untuk x yang termasuk dalam interval [-1;1] perluasannya valid:

Itu saja. Artikel ini membahas deret Taylor dan Maclaurin yang paling banyak digunakan dalam matematika tingkat tinggi, khususnya di universitas ekonomi dan teknik.