Hitung turunan menggunakan aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks. Aturan untuk menghitung derivatif

Sejak Anda datang ke sini, Anda mungkin sudah melihat rumus ini di buku teks

dan buatlah wajah seperti ini:

Teman, jangan khawatir! Faktanya, semuanya sungguh keterlaluan. Anda pasti akan mengerti segalanya. Hanya satu permintaan - baca artikelnya perlahan-lahan, cobalah untuk memahami setiap langkah. Saya menulis sesederhana dan sejelas mungkin, tetapi Anda tetap perlu memahami idenya. Dan pastikan untuk menyelesaikan tugas-tugas dari artikel tersebut.

Apa yang dimaksud dengan fungsi kompleks?

Bayangkan Anda pindah ke apartemen lain dan karena itu mengemas barang-barang ke dalam kotak besar. Misalkan Anda perlu mengumpulkan beberapa barang kecil, misalnya bahan tulis sekolah. Jika Anda membuangnya begitu saja ke dalam kotak besar, antara lain mereka akan hilang. Untuk menghindarinya, masukkan dulu, misalnya ke dalam tas, lalu masukkan ke dalam kotak besar, lalu tutup rapat. Proses “kompleks” ini disajikan dalam diagram di bawah ini:

Tampaknya, apa hubungannya matematika dengan itu? Ya, meskipun fungsi kompleks dibentuk dengan cara yang PERSIS! Hanya saja kita “mengemas” bukan buku catatan dan pulpen, melainkan \(x\), sedangkan “paket” dan “kotak” berbeda.

Sebagai contoh, mari kita ambil x dan “mengemasnya” ke dalam sebuah fungsi:

Sebagai hasilnya, tentu saja kita mendapatkan \(\cos⁡x\). Ini adalah “kantong barang” kami. Sekarang mari kita masukkan ke dalam “kotak” - kemas, misalnya, ke dalam fungsi kubik.

Apa yang akan terjadi pada akhirnya? Ya, benar, akan ada “sekantong barang di dalam kotak”, yaitu “kosinus X pangkat tiga”.

Desain yang dihasilkan merupakan fungsi yang kompleks. Ini berbeda dari yang sederhana dalam hal itu BEBERAPA “pengaruh” (paket) diterapkan pada satu X berturut-turut dan ternyata “fungsi dari fungsi” - “pengemasan di dalam kemasan”.

Di sekolah, hanya ada sedikit jenis “paket” ini, hanya empat:

Sekarang mari kita “mengemas” X terlebih dahulu ke dalam fungsi eksponensial dengan basis 7, lalu ke dalam fungsi trigonometri. Kita mendapatkan:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Sekarang mari kita “mengemas” x dua kali ke dalam fungsi trigonometri, pertama ke dalam dan kemudian ke:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Sederhana, bukan?

Sekarang tulis sendiri fungsinya, di mana x:
- pertama “dikemas” ke dalam kosinus, dan kemudian ke dalam fungsi eksponensial dengan basis \(3\);
- pertama pangkat kelima, lalu singgung;
- pertama ke logaritma ke basis \(4\) , lalu pangkat \(-2\).

Temukan jawaban atas tugas ini di akhir artikel.

Bisakah kita “mengemas” X bukan dua, tapi tiga kali? Tidak masalah! Dan empat, dan lima, dan dua puluh lima kali. Di sini, misalnya, adalah fungsi di mana x “dikemas” \(4\) kali:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Namun rumus seperti itu tidak akan ditemukan dalam praktik sekolah (siswa lebih beruntung - rumusnya mungkin lebih rumit☺).

"Membongkar" fungsi yang kompleks

Lihat kembali fungsi sebelumnya. Bisakah Anda mengetahui urutan “pengemasan”? X apa yang dimasukkan terlebih dahulu, lalu apa, dan seterusnya hingga akhir. Artinya, fungsi mana yang bersarang di dalamnya? Ambil selembar kertas dan tuliskan apa yang Anda pikirkan. Anda dapat melakukan ini dengan rantai dengan panah seperti yang kami tulis di atas atau dengan cara lain.

Sekarang jawaban yang benar adalah: pertama, x “dikemas” ke dalam pangkat \(4\), kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam sinus, selanjutnya dimasukkan ke dalam logaritma ke basis \(2\) , dan pada akhirnya seluruh konstruksi ini dimasukkan ke dalam kekuatan lima.

Artinya, Anda perlu melepas urutannya DALAM URUTAN TERBALIK. Dan inilah petunjuk bagaimana melakukannya dengan lebih mudah: segera lihat X – Anda harus menari darinya. Mari kita lihat beberapa contoh.

Misalnya, berikut adalah fungsi berikut: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Kita melihat X - apa yang terjadi pertama kali? Diambil darinya. Kemudian? Garis singgung dari hasilnya diambil. Urutannya akan sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Contoh lain: \(y=\cos⁡((x^3))\). Mari kita analisis - pertama kita potong dadu X, lalu ambil kosinus hasilnya. Artinya barisannya adalah: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Perhatikan, fungsinya sepertinya mirip dengan yang pertama (yang ada gambarnya). Namun fungsi ini sangat berbeda: di sini, di dalam kubus terdapat x (yaitu, \(\cos⁡((x·x·x))))\), dan di dalam kubus terdapat kosinus \(x\) ( yaitu \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Perbedaan ini muncul dari urutan “pengemasan” yang berbeda.

Contoh terakhir (dengan informasi penting di dalamnya): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jelas di sini mereka terlebih dahulu melakukan operasi aritmatika dengan x, lalu mengambil sinus hasilnya: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Dan ini adalah poin penting: meskipun operasi aritmatika bukanlah fungsi itu sendiri, di sini operasi tersebut juga bertindak sebagai cara untuk "mengemas". Mari kita selidiki lebih dalam kehalusan ini.

Seperti yang saya katakan di atas, dalam fungsi sederhana x “dikemas” satu kali, dan dalam fungsi kompleks - dua atau lebih. Selain itu, setiap kombinasi fungsi sederhana (yaitu jumlah, selisih, perkalian, atau pembagiannya) juga merupakan fungsi sederhana. Misalnya, \(x^7\) adalah fungsi sederhana dan begitu pula \(ctg x\). Artinya semua kombinasinya merupakan fungsi sederhana:

\(x^7+ ctg x\) - sederhana,
\(x^7· tempat tidur x\) – sederhana,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – sederhana, dll.

Namun, jika fungsi lain diterapkan pada kombinasi tersebut, maka akan menjadi fungsi kompleks, karena akan ada dua “paket”. Lihat diagram:

Oke, silakan sekarang. Tuliskan urutan fungsi “pembungkus”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Jawabannya ada lagi di akhir artikel.

Fungsi internal dan eksternal

Mengapa kita perlu memahami fungsi yang bersarang? Apa manfaatnya bagi kita? Faktanya adalah tanpa analisis seperti itu kita tidak akan dapat menemukan turunan dari fungsi yang dibahas di atas dengan andal.

Dan untuk melanjutkan, kita memerlukan dua konsep lagi: fungsi internal dan eksternal. Ini adalah hal yang sangat sederhana, apalagi sebenarnya kita sudah menganalisisnya di atas: jika kita mengingat analogi kita di awal, maka fungsi internal adalah "paket", dan fungsi eksternal adalah "kotak". Itu. apa yang “dibungkus” X terlebih dahulu adalah fungsi internal, dan apa yang “dibungkus” dengan fungsi internal sudah menjadi fungsi eksternal. Yah, jelas alasannya - dia di luar, itu berarti di luar.

Dalam contoh ini: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), fungsi \(\log_2⁡x\) bersifat internal, dan
- eksternal.

Dan dalam hal ini: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) adalah internal, dan
- eksternal.

Selesaikan latihan terakhir dalam menganalisis fungsi kompleks, dan akhirnya mari kita lanjutkan ke tujuan awal kita - kita akan menemukan turunan dari fungsi kompleks:

Isilah bagian yang kosong pada tabel:

Turunan dari fungsi kompleks

Bravo bagi kami, kami akhirnya sampai pada "bos" dari topik ini - sebenarnya, turunan dari fungsi kompleks, dan khususnya, rumus yang sangat buruk dari awal artikel.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Rumusnya berbunyi seperti ini:

Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi luar terhadap konstanta fungsi dalam dan turunan fungsi dalam.

Dan segera lihat diagram parsing “kata demi kata” untuk memahami apa itu:

Saya berharap istilah “turunan” dan “produk” tidak menimbulkan kesulitan. "Fungsi kompleks" - kami telah mengatasinya. Tangkapannya ada pada “turunan dari fungsi eksternal terhadap fungsi internal yang konstan.” Apa itu?

Jawaban: Ini adalah turunan biasa dari fungsi eksternal, yang hanya fungsi eksternalnya yang berubah, dan fungsi internalnya tetap sama. Masih belum jelas? Oke, mari kita gunakan sebuah contoh.

Misalkan kita mempunyai fungsi \(y=\sin⁡(x^3)\). Jelas bahwa fungsi internal di sini adalah \(x^3\), dan eksternal
. Sekarang mari kita cari turunan eksterior terhadap konstanta interior.

Dalam buku teks “lama” ini juga disebut aturan “rantai”. Jadi jika y = f (u), dan u = φ (x), itu adalah

kamu = f (φ (x))

kompleks - fungsi majemuk (komposisi fungsi) lalu

Di mana , setelah perhitungan dianggap pada kamu = φ (x).

Perhatikan bahwa di sini kami mengambil komposisi "berbeda" dari fungsi yang sama, dan hasil diferensiasi secara alami bergantung pada urutan "pencampuran".

Aturan rantai secara alami meluas ke komposisi tiga fungsi atau lebih. Dalam hal ini, akan ada tiga atau lebih “mata rantai” dalam “rantai” yang membentuk turunannya. Berikut analogi perkalian: “kita memiliki” tabel turunan; "di sana" - tabel perkalian; “bersama kita” adalah aturan rantai dan “di sana” adalah aturan perkalian “kolom”. Saat menghitung turunan "kompleks" seperti itu, tentu saja tidak ada argumen tambahan (u¸v, dll.), yang diperkenalkan, tetapi, setelah mencatat sendiri jumlah dan urutan fungsi yang terlibat dalam komposisi, tautan yang sesuai adalah "rangkai" dalam urutan yang ditunjukkan.

. Di sini, dengan "x" untuk mendapatkan nilai "y", lima operasi dilakukan, yaitu, terdapat komposisi lima fungsi: "eksternal" (yang terakhir) - eksponensial - e  ; lalu dalam urutan terbalik, kekuasaan. (♦) 2 ; dosa trigonometri(); tenang. () 3 dan terakhir logaritma ln.(). Itu sebabnya

Dengan contoh berikut kita akan “membunuh sepasang burung dengan satu batu”: kita akan berlatih membedakan fungsi kompleks dan menambahkan tabel turunan fungsi dasar. Jadi:

4. Untuk fungsi pangkat - y = x α - menulis ulang menggunakan “identitas logaritma dasar” yang terkenal - b=e ln b - dalam bentuk x α = x α ln x kita peroleh

5. Untuk fungsi eksponensial sembarang, gunakan teknik yang sama seperti yang kita miliki

6. Untuk fungsi logaritma sembarang, dengan menggunakan rumus terkenal untuk transisi ke basis baru, kita peroleh secara konsisten

.

7. Untuk membedakan garis singgung (kotangen), kita menggunakan aturan membedakan hasil bagi:

Untuk memperoleh turunan fungsi trigonometri invers, kita menggunakan relasi yang dipenuhi oleh turunan dua fungsi yang saling invers, yaitu fungsi φ (x) dan f (x) yang dihubungkan oleh relasi:

Ini adalah rasionya

Dari rumus fungsi yang saling invers ini

Dan
,

Terakhir, mari kita rangkum hal ini dan beberapa turunan lainnya yang juga mudah diperoleh pada tabel berikut.

Jika G(X) Dan F(kamu) – fungsi argumennya yang dapat diturunkan, masing-masing, pada titik X Dan kamu= G(X), maka fungsi kompleksnya juga terdiferensiasi pada suatu titik X dan ditemukan dengan rumus

Kesalahan yang umum terjadi ketika menyelesaikan masalah turunan adalah pemindahan aturan diferensiasi fungsi sederhana ke fungsi kompleks secara mekanis. Mari belajar menghindari kesalahan ini.

Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi

Solusi yang salah: hitung logaritma natural setiap suku dalam tanda kurung dan cari jumlah turunannya:

Solusi yang benar: sekali lagi kita tentukan dimana “apelnya” dan dimana “daging cincangnya”. Di sini logaritma natural dari ekspresi dalam tanda kurung adalah "apel", yaitu fungsi di atas argumen perantara kamu, dan ekspresi dalam tanda kurung adalah “daging cincang”, yang merupakan argumen perantara kamu oleh variabel independen X.

Kemudian (menggunakan rumus 14 dari tabel turunan)

Dalam banyak permasalahan kehidupan nyata, ekspresi dengan logaritma bisa menjadi lebih rumit, itulah sebabnya ada pelajaran

Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi

Solusi yang salah:

Solusi yang benar. Sekali lagi kita tentukan di mana “apel” itu dan di mana “daging cincang” itu. Di sini, kosinus dari ekspresi dalam tanda kurung (rumus 7 dalam tabel turunan) adalah "apel", disiapkan dalam mode 1, yang hanya mempengaruhinya, dan ekspresi dalam tanda kurung (turunan dari derajatnya adalah angka 3 dalam tabel turunannya) adalah “daging cincang”, disiapkan dalam mode 2, yang hanya memengaruhinya. Dan seperti biasa, kita menghubungkan dua turunan dengan tanda perkalian. Hasil:

Turunan dari fungsi logaritma kompleks adalah tugas yang sering dilakukan dalam pengujian, jadi kami sangat menyarankan Anda menghadiri pelajaran “Turunan fungsi logaritma.”

Contoh pertama adalah fungsi kompleks, di mana argumen perantara pada variabel independen adalah fungsi sederhana. Namun dalam tugas-tugas praktis sering kali perlu mencari turunan dari suatu fungsi kompleks, yang argumen perantaranya adalah fungsi kompleks itu sendiri atau berisi fungsi tersebut. Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Temukan turunan dari fungsi tersebut menggunakan tabel dan aturan diferensiasi. Ketika turunan dari argumen perantara ditemukan, maka turunan tersebut disubstitusikan ke tempat yang tepat dalam rumus. Di bawah ini adalah dua contoh bagaimana hal ini dilakukan.

Selain itu, ada baiknya mengetahui hal berikut. Jika suatu fungsi kompleks dapat direpresentasikan sebagai rantai tiga fungsi

maka turunannya harus dicari sebagai hasil kali turunan masing-masing fungsi berikut:

Banyak pekerjaan rumah Anda mungkin mengharuskan Anda membuka panduan di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi

Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks, dengan tidak lupa bahwa dalam produk turunan yang dihasilkan terdapat argumen perantara terhadap variabel bebas. X tidak berubah:

Kami menyiapkan faktor kedua dari produk dan menerapkan aturan untuk membedakan jumlah:

Suku kedua adalah akar kata, jadi

Jadi, kami menemukan bahwa argumen perantara, yang merupakan penjumlahan, mengandung fungsi kompleks sebagai salah satu syarat: menaikkan pangkat adalah fungsi kompleks, dan apa yang dipangkatkan adalah argumen perantara sehubungan dengan independen variabel X.

Oleh karena itu, kami kembali menerapkan aturan untuk membedakan fungsi kompleks:

Kita ubah derajat faktor pertama menjadi akar, dan saat mendiferensiasikan faktor kedua, jangan lupa bahwa turunan dari konstanta sama dengan nol:

Sekarang kita dapat menemukan turunan dari argumen perantara yang diperlukan untuk menghitung turunan fungsi kompleks yang diperlukan dalam rumusan masalah kamu:

Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi

Pertama, kita menggunakan aturan untuk membedakan jumlah:

Kami memperoleh jumlah turunan dari dua fungsi kompleks. Mari kita temukan yang pertama:

Di sini, menaikkan sinus ke pangkat adalah fungsi yang kompleks, dan sinus itu sendiri adalah argumen perantara untuk variabel independen X. Oleh karena itu, kita akan menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks mengeluarkan faktor tersebut dari tanda kurung :

Sekarang kita cari suku kedua dari turunan fungsi tersebut kamu:

Di sini menaikkan kosinus ke pangkat adalah fungsi yang kompleks F, dan kosinus itu sendiri merupakan argumen perantara dalam variabel bebas X. Mari kita gunakan kembali aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks:

Hasilnya adalah turunan yang diperlukan:

Tabel turunan beberapa fungsi kompleks

Untuk fungsi kompleks, berdasarkan aturan diferensiasi fungsi kompleks, rumus turunan fungsi sederhana mempunyai bentuk yang berbeda.

1. Turunan dari fungsi pangkat kompleks, dimana kamu X
2. Turunan dari akar ekspresi
3. Turunan dari fungsi eksponensial
4. Kasus khusus fungsi eksponensial
5. Turunan fungsi logaritma dengan basis positif sembarang A
6. Turunan dari fungsi logaritma kompleks, dimana kamu– fungsi argumen yang dapat dibedakan X
7. Turunan dari sinus
8. Turunan dari kosinus
9. Turunan dari garis singgung
10. Turunan dari kotangen
11. Turunan dari arcsinus
12. Turunan dari arccosine
13. Turunan dari arctangen
14. Turunan dari kotangen busur

Turunan kompleks. Turunan logaritmik.
Turunan dari fungsi eksponensial pangkat

Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Pada pembelajaran kali ini kita akan memantapkan materi yang telah kita bahas, melihat turunan yang lebih kompleks, serta mengenal teknik dan trik baru dalam mencari turunan, khususnya turunan logaritma.

Bagi pembaca yang tingkat persiapannya rendah sebaiknya merujuk pada artikel tersebut Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi, yang memungkinkan Anda meningkatkan keterampilan Anda hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman tersebut dengan cermat Turunan dari fungsi kompleks, memahami dan memecahkan Semua contoh yang saya berikan. Pelajaran ini secara logis merupakan pelajaran ketiga berturut-turut, dan setelah menguasainya Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk mengambil posisi “Di mana lagi? Cukup!”, karena semua contoh dan solusi diambil dari pengujian nyata dan sering ditemui dalam praktik.

Mari kita mulai dengan pengulangan. Di pelajaran Turunan dari fungsi kompleks Kami melihat sejumlah contoh dengan komentar terperinci. Dalam mempelajari kalkulus diferensial dan cabang analisis matematika lainnya, Anda harus sering melakukan diferensiasi, dan tidak selalu mudah (dan tidak selalu diperlukan) untuk menjelaskan contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kita akan berlatih mencari turunannya secara lisan. “Kandidat” yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:

Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Saat mempelajari topik matan lain di masa mendatang, catatan mendetail seperti itu seringkali tidak diperlukan, diasumsikan bahwa siswa mengetahui cara mencari turunan tersebut dengan autopilot. Bayangkan pada jam 3 pagi telepon berdering dan terdengar suara merdu bertanya: “Berapa turunan garis singgung dua huruf X?” Ini harus diikuti dengan tanggapan yang cepat dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan untuk solusi independen.

Contoh 1

Temukan turunan berikut secara lisan, dalam satu tindakan, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika Anda belum mengingatnya). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan membaca kembali pelajaran ini Turunan dari fungsi kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Jawaban di akhir pelajaran

Turunan kompleks

Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan fungsi bersarang 3-4-5 tidak akan terlalu menakutkan. Dua contoh berikut mungkin tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika Anda memahaminya (seseorang akan menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi

Seperti yang telah disebutkan, ketika mencari turunan dari suatu fungsi kompleks, hal pertama yang perlu dilakukan adalah Benar PAHAMI investasi Anda. Jika ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang teknik yang berguna: kita mengambil nilai eksperimen "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi buruk".

1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, yang berarti jumlah tersebut adalah penyematan terdalam.

2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:

4) Kemudian pangkatkan kosinusnya:

5) Pada langkah kelima perbedaannya:

6) Dan terakhir, fungsi terluar adalah akar kuadrat:

Rumus untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke fungsi terdalam. Kami memutuskan:

Sepertinya tidak ada kesalahan...

(1) Ambil turunan dari akar kuadrat.

(2) Kita ambil turunan selisihnya dengan menggunakan aturan

(3) Turunan rangkap tiga adalah nol. Pada suku kedua kita ambil turunan derajat (kubus).

(4) Ambil turunan dari kosinus.

(5) Ambil turunan dari logaritma.

(6) Dan terakhir, kita ambil turunan dari penyematan terdalam.

Ini mungkin tampak terlalu sulit, tapi ini bukanlah contoh yang paling brutal. Ambil contoh, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua keindahan dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa dalam ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami cara mencari turunan fungsi kompleks atau tidak.

Contoh berikut adalah untuk Anda pecahkan sendiri.

Contoh 3

Temukan turunan suatu fungsi

Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kecil dan lebih bagus.
Tidak jarang sebuah contoh menunjukkan hasil perkalian bukan dua, melainkan tiga fungsi. Bagaimana cara mencari turunan hasil kali tiga faktor?

Contoh 4

Temukan turunan suatu fungsi

Pertama kita lihat, mungkinkah mengubah hasil kali tiga fungsi menjadi hasil kali dua fungsi? Misalnya, jika kita mempunyai dua polinomial dalam hasil perkaliannya, maka kita dapat membuka tanda kurung. Namun dalam contoh yang dibahas, semua fungsinya berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.

Dalam kasus seperti itu, hal itu diperlukan secara berurutan menerapkan aturan diferensiasi produk dua kali

Triknya adalah dengan “y” kita menyatakan hasil kali dua fungsi: , dan dengan “ve” kita menyatakan logaritma: . Mengapa hal ini bisa dilakukan? Benarkah? – ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Sekarang tinggal menerapkan aturan tersebut untuk kedua kalinya untuk mengurung:

Anda juga dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik membiarkan jawabannya persis dalam bentuk ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.

Contoh yang dipertimbangkan dapat diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua solusi tersebut benar-benar setara.

Contoh 5

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk solusi independen; dalam sampel diselesaikan menggunakan metode pertama.

Mari kita lihat contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi

Ada beberapa cara yang bisa Anda lakukan di sini:

Atau seperti ini:

Namun penyelesaiannya akan ditulis lebih ringkas jika kita terlebih dahulu menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , ambil seluruh pembilangnya:

Prinsipnya contoh sudah terselesaikan, dan jika dibiarkan apa adanya tidak akan terjadi error. Namun jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa drafnya untuk melihat apakah jawabannya bisa disederhanakan? Mari kita kurangi ekspresi pembilangnya menjadi penyebut yang sama dan mari kita singkirkan pecahan tiga lantai:

Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah adanya risiko kesalahan bukan saat mencari turunannya, tetapi saat melakukan transformasi sekolah yang dangkal. Di sisi lain, guru seringkali menolak tugas tersebut dan meminta untuk “mengingatnya” turunannya.

Contoh sederhana untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 7

Temukan turunan suatu fungsi

Kami terus menguasai metode mencari turunannya, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi

Contoh 8

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini Anda dapat melakukan lebih banyak hal, menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks:

Tetapi langkah pertama segera membuat Anda putus asa - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan dari pangkat pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.

Itu sebabnya sebelum cara mengambil turunan dari logaritma “canggih”, disederhanakan terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat sekolah yang sudah terkenal:

! Jika Anda memiliki buku latihan, salin rumus ini langsung ke sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, salinlah ke selembar kertas, karena contoh pelajaran selanjutnya akan berkisar pada rumus-rumus ini.

Solusinya sendiri dapat ditulis seperti ini:

Mari kita ubah fungsinya:

Menemukan turunannya:

Pra-konversi fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusinya. Jadi, ketika logaritma serupa diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk “memecahnya”.

Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk Anda pecahkan sendiri:

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi

Contoh 10

Temukan turunan suatu fungsi

Semua transformasi dan jawaban ada di akhir pelajaran.

Turunan logaritmik

Jika turunan logaritma adalah musik yang begitu manis, maka timbul pertanyaan: apakah mungkin dalam beberapa kasus mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.

Contoh 11

Temukan turunan suatu fungsi

Kami baru-baru ini melihat contoh serupa. Apa yang harus dilakukan? Anda dapat menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi secara berurutan, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda akan mendapatkan pecahan tiga lantai yang sangat besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.

Namun dalam teori dan praktik, ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritma. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan “menggantungnya” di kedua sisi:

Catatan : Karena suatu fungsi dapat mengambil nilai negatif, maka, secara umum, Anda perlu menggunakan modul: , yang akan hilang akibat diferensiasi. Namun, desain saat ini juga dapat diterima, karena secara default sudah diperhitungkan kompleks makna. Tetapi jika dengan segala ketelitian, maka dalam kedua kasus tersebut harus dibuat reservasi.

Sekarang Anda perlu "menghancurkan" logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:

Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Kami menyimpulkan kedua bagian di bawah bilangan prima:

Turunan dari ruas kanan cukup sederhana, saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda seharusnya bisa menanganinya dengan percaya diri.

Bagaimana dengan sisi kiri?

Di sisi kiri kita punya fungsi yang kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: “Mengapa, ada satu huruf “Y” di bawah logaritma?”

Faktanya adalah "permainan satu huruf" ini - ADALAH FUNGSI SENDIRI(jika kurang jelas, lihat artikel Turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan “y” adalah fungsi internal. Dan kami menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks :

Di sisi kiri, seolah-olah secara ajaib, kita memiliki turunan. Selanjutnya, sesuai aturan proporsi, kita pindahkan “y” dari penyebut ruas kiri ke atas ruas kanan:

Dan sekarang mari kita ingat fungsi “pemain” seperti apa yang kita bicarakan selama diferensiasi? Mari kita lihat kondisinya:

Jawaban akhir:

Contoh 12

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Contoh desain contoh jenis ini ada di akhir pelajaran.

Dengan menggunakan turunan logaritma, salah satu contoh No. 4-7 dapat diselesaikan, hal lainnya adalah fungsi di sana lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritma tidak terlalu dibenarkan.

Turunan dari fungsi eksponensial pangkat

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial pangkat adalah fungsi yang baik derajat maupun alasnya bergantung pada “x”. Contoh klasik yang akan diberikan kepada Anda dalam buku teks atau kuliah apa pun:

Bagaimana cara mencari turunan fungsi eksponensial pangkat?

Penting untuk menggunakan teknik yang baru saja dibahas - turunan logaritmik. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:

Sebagai aturan, di sisi kanan derajat diambil dari bawah logaritma:

Hasilnya, di sisi kanan kita memiliki hasil kali dua fungsi, yang akan dibedakan menurut rumus standar .

Kami menemukan turunannya; untuk melakukan ini, kami menyertakan kedua bagian di bawah garis:

Tindakan selanjutnya sederhana:

Akhirnya:

Jika ada konversi yang kurang jelas, harap membaca kembali penjelasan Contoh No. 11 dengan cermat.

Dalam tugas praktek, fungsi eksponensial pangkat akan selalu lebih rumit daripada contoh kuliah yang dibahas.

Contoh 13

Temukan turunan suatu fungsi

Kami menggunakan turunan logaritma.

Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat melakukan diferensiasi, seingat kita, sebaiknya segera keluarkan konstanta dari tanda turunannya agar tidak mengganggu; dan, tentu saja, kami menerapkan aturan yang sudah lazim :

Memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrinya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometri dan fisis turunan

Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a, b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.

Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.

Arti fisis dari turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . Kecepatan rata-rata dalam jangka waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:

Aturan satu: tetapkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi

Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan suatu fungsi:

Larutan:

Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan suatu fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.

Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:

Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.

Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda menyelesaikan tes yang paling sulit dan memahami tugas-tugasnya, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.