Berapakah garis singgung sudut siku-siku? Apa yang dimaksud dengan sinus dan kosinus dalam trigonometri? Rumus tangen dan kotangen dari jumlah dan selisih
Trigonometri adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan kegunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri dimulai pada zaman Yunani kuno. Selama Abad Pertengahan, para ilmuwan dari Timur Tengah dan India memberikan kontribusi penting bagi perkembangan ilmu ini.
Artikel ini dikhususkan untuk konsep dasar dan definisi trigonometri. Membahas tentang pengertian fungsi dasar trigonometri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dijelaskan dan diilustrasikan dalam konteks geometri.
Awalnya, definisi fungsi trigonometri yang argumennya adalah sudut dinyatakan dalam perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku.
Definisi fungsi trigonometri
Sinus suatu sudut (sin α) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut tersebut dengan sisi miringnya.
Kosinus sudut (cos α) - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Sudut singgung (t g α) - perbandingan sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan.
Kotangen sudut (c t g α) - rasio sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan.
Definisi berikut diberikan untuk sudut lancip segitiga siku-siku!
Mari kita beri ilustrasi.
Pada segitiga ABC dengan sudut siku-siku C, sinus sudut A sama dengan perbandingan kaki BC dan sisi miring AB.
Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen memungkinkan Anda menghitung nilai fungsi-fungsi ini dari panjang sisi-sisi segitiga yang diketahui.
Penting untuk diingat!
Kisaran nilai sinus dan kosinus adalah dari -1 sampai 1. Dengan kata lain sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 sampai 1. Kisaran nilai tangen dan kotangen adalah seluruh garis bilangan, artinya, fungsi-fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun.
Definisi yang diberikan di atas berlaku untuk sudut lancip. Dalam trigonometri, konsep sudut rotasi diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi pada 0 hingga 90 derajat.Sudut rotasi dalam derajat atau radian dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari - ∞ hingga + ∞ .
Dalam konteks ini, kita dapat mendefinisikan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut yang besarnya berubah-ubah. Mari kita bayangkan sebuah lingkaran satuan dengan pusatnya di titik asal sistem koordinat Kartesius.
Titik awal A dengan koordinat (1, 0) berputar mengelilingi pusat lingkaran satuan melalui sudut tertentu dan menuju ke titik A 1. Definisi tersebut diberikan dalam bentuk koordinat titik A 1 (x, y).
Sinus (sin) sudut rotasi
Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 (x, y). dosa α = y
Cosinus (cos) dari sudut rotasi
Kosinus sudut rotasi adalah absis titik A 1 (x, y). karena α = x
Tangen (tg) sudut putaran
Garis singgung sudut rotasi adalah perbandingan ordinat titik A 1 (x, y) dengan absisnya. tg α = yx
Kotangen (ctg) dari sudut rotasi
Kotangen sudut rotasi adalah perbandingan absis titik A 1 (x, y) terhadap ordinatnya. ctg α = x y
Sinus dan kosinus ditentukan untuk setiap sudut rotasi. Hal ini logis, karena absis dan ordinat suatu titik setelah rotasi dapat ditentukan pada sudut mana pun. Lain halnya dengan tangen dan kotangen. Garis singgung tidak terdefinisi bila suatu titik setelah rotasi menuju ke titik yang absisnya nol (0, 1) dan (0, - 1). Dalam kasus seperti itu, ekspresi tangen t g α = y x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Situasinya mirip dengan kotangen. Perbedaannya adalah kotangen tidak terdefinisi jika ordinat suatu titik mendekati nol.
Penting untuk diingat!
Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut α.
Garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Saat menyelesaikan contoh praktis, jangan ucapkan “sinus sudut rotasi α”. Kata “sudut rotasi” dihilangkan begitu saja, menyiratkan bahwa dari konteksnya sudah jelas apa yang sedang dibahas.
Angka
Bagaimana dengan pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan, dan bukan sudut putarnya?
Sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu bilangan
Sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu bilangan T adalah bilangan yang masing-masing sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen in T radian.
Misalnya sinus bilangan 10 π sama dengan sinus sudut rotasi 10 π rad.
Ada pendekatan lain untuk menentukan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan. Mari kita lihat lebih dekat.
Bilangan real apa pun T suatu titik pada lingkaran satuan dikaitkan dengan pusat di titik asal sistem koordinat kartesius persegi panjang. Sinus, cosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini.
Titik pangkal lingkaran adalah titik A dengan koordinat (1, 0).
Nomor positif T
Angka negatif T sesuai dengan titik ke mana titik awal akan berangkat jika bergerak mengelilingi lingkaran berlawanan arah jarum jam dan melewati lintasan t.
Setelah hubungan antara bilangan dan titik pada lingkaran telah diketahui, kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.
Sinus (dosa) dari t
Sinus suatu bilangan T- ordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. dosa t = y
Kosinus (cos) dari t
Kosinus suatu bilangan T- absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. biaya t = x
Garis singgung (tg) dari t
Garis singgung suatu bilangan T- rasio ordinat terhadap absis suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. t g t = y x = sin t biaya t
Definisi yang terakhir ini sesuai dan tidak bertentangan dengan definisi yang diberikan pada awal paragraf ini. Tunjuk lingkaran yang sesuai dengan nomor tersebut T, bertepatan dengan titik tujuan titik awal setelah berbelok suatu sudut T radian.
Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik
Setiap nilai sudut α sesuai dengan nilai sinus dan kosinus tertentu dari sudut tersebut. Sama seperti semua sudut α selain α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) bersesuaian dengan nilai tangen tertentu. Kotangen, sebagaimana dinyatakan di atas, didefinisikan untuk semua α kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Kita dapat mengatakan bahwa sin α, cos α, t g α, c t g α adalah fungsi dari sudut alpha, atau fungsi dari argumen sudut.
Demikian pula, kita dapat membicarakan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen sebagai fungsi argumen numerik. Setiap bilangan real T sesuai dengan nilai tertentu dari sinus atau kosinus suatu bilangan T. Semua bilangan selain π 2 + π · k, k ∈ Z, berhubungan dengan nilai tangen. Kotangen juga didefinisikan untuk semua bilangan kecuali π · k, k ∈ Z.
Fungsi dasar trigonometri
Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah fungsi dasar trigonometri.
Biasanya jelas dari konteks argumen fungsi trigonometri mana (argumen sudut atau argumen numerik) yang sedang kita hadapi.
Mari kita kembali ke definisi yang diberikan di awal dan sudut alfa, yang berkisar antara 0 hingga 90 derajat. Definisi trigonometri sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sepenuhnya konsisten dengan definisi geometri yang diberikan oleh perbandingan aspek segitiga siku-siku. Mari kita tunjukkan.
Mari kita ambil lingkaran satuan yang berpusat pada sistem koordinat kartesius persegi panjang. Mari kita putar titik awal A (1, 0) dengan sudut hingga 90 derajat dan gambar garis tegak lurus terhadap sumbu absis dari titik yang dihasilkan A 1 (x, y). Pada segitiga siku-siku yang dihasilkan, sudut A 1 O H sama dengan sudut putar , panjang kaki O H sama dengan absis titik A 1 (x, y). Panjang kaki yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang sisi miringnya sama dengan satu, karena merupakan jari-jari lingkaran satuan.
Sesuai dengan definisi geometri, sinus sudut α sama dengan perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.
dosa α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Artinya, menentukan sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku melalui rasio aspek sama dengan menentukan sinus sudut rotasi α, dengan alfa berada pada kisaran 0 hingga 90 derajat.
Demikian pula, korespondensi definisi dapat ditunjukkan untuk kosinus, tangen, dan kotangen.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Kuliah: Sinus, cosinus, tangen, kotangen dari sudut sembarang
Sinus, kosinus dari sudut sembarang
Untuk memahami apa itu fungsi trigonometri, mari kita lihat lingkaran yang berjari-jari satuan. Lingkaran ini mempunyai pusat di titik asal pada bidang koordinat. Untuk menentukan fungsi yang diberikan kita akan menggunakan vektor radius ATAU, yang dimulai dari pusat lingkaran, dan titik R adalah sebuah titik pada lingkaran. Vektor jari-jari ini membentuk sudut alfa dengan sumbu OH. Karena lingkaran mempunyai jari-jari sama dengan satu, maka ATAU = R = 1.
Jika dari intinya R turunkan tegak lurus terhadap sumbu OH, maka kita mendapatkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan satu.
Jika vektor jari-jari bergerak searah jarum jam, maka arah tersebut disebut negatif, jika bergerak berlawanan arah jarum jam - positif.
Sinus sudut ATAU, adalah ordinat titik tersebut R vektor pada lingkaran.
Artinya, untuk memperoleh nilai sinus suatu sudut alfa tertentu, perlu ditentukan koordinatnya kamu di permukaan.
Bagaimana nilai ini diperoleh? Karena kita tahu bahwa sinus sudut sembarang dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sisi miring, kita peroleh bahwa
Dan sejak itu R = 1, Itu dosa(α) = kamu 0 .
Dalam lingkaran satuan, nilai ordinatnya tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1, artinya
Sinus bernilai positif pada kuarter pertama dan kedua lingkaran satuan, dan bernilai negatif pada kuarter ketiga dan keempat.
Kosinus sudut lingkaran tertentu yang dibentuk oleh vektor jari-jari ATAU, adalah absis intinya R vektor pada lingkaran.
Artinya, untuk memperoleh nilai kosinus suatu sudut alfa tertentu, perlu ditentukan koordinatnya X di permukaan.
Kosinus sudut sembarang pada segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring, kita peroleh bahwa
Dan sejak itu R = 1, Itu cos(α) = x 0 .
Pada lingkaran satuan nilai absisnya tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1 yang artinya
Kosinus bernilai positif pada kuarter pertama dan keempat lingkaran satuan, dan bernilai negatif pada kuarter kedua dan ketiga.
Garis singgungsudut sewenang-wenang Rasio sinus terhadap kosinus dihitung.
Jika kita menganggap segitiga siku-siku, maka ini adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Jika kita berbicara tentang lingkaran satuan, maka ini adalah perbandingan ordinat terhadap absis.
Dilihat dari hubungan tersebut, dapat dipahami bahwa garis singgung tidak akan ada jika nilai absisnya nol, yaitu membentuk sudut 90 derajat. Garis singgung dapat mengambil semua nilai lainnya.
Garis singgungnya positif pada kuartal pertama dan ketiga lingkaran satuan, dan negatif pada kuartal kedua dan keempat.
|BD| - panjang busur lingkaran yang berpusat di titik A.
α adalah sudut yang dinyatakan dalam radian.
Garis singgung ( tan α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki dihadapannya |BC| dengan panjang kaki yang berdekatan |AB| .
Kotangen ( ctg α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| .
Garis singgung
Di mana N- utuh.
Dalam literatur Barat, garis singgung dilambangkan sebagai berikut:
.
;
;
.
Grafik fungsi tangen y = tan x
Kotangens
Di mana N- utuh.
Dalam literatur Barat, kotangen dilambangkan sebagai berikut:
.
Notasi berikut juga diterima:
;
;
.
Grafik fungsi kotangen y = ctg x
Sifat-sifat tangen dan kotangen
Periodisitas
Fungsi y = terima kasih dan kamu = ctg x periodik dengan periode π.
Keseimbangan
Fungsi tangen dan kotangen ganjil.
Bidang definisi dan nilai, bertambah, berkurang
Fungsi tangen dan kotangen bersifat kontinu dalam domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat-sifat utama tangen dan kotangen disajikan pada tabel ( N- utuh).
| kamu = terima kasih | kamu = ctg x | |
| Ruang lingkup dan kontinuitas | ||
| Jarak nilai | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Meningkat | - | |
| Menurun | - | |
| Ekstrem | - | - |
| Nol, y = 0 | ||
| Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0 | kamu = 0 | - |
Rumus
Ekspresi menggunakan sinus dan cosinus
;
;
;
;
;
Rumus tangen dan kotangen dari jumlah dan selisih
Rumus lainnya mudah didapat, misalnya
Produk garis singgung
Rumus jumlah dan selisih garis singgung
Tabel ini menyajikan nilai garis singgung dan kotangen untuk nilai argumen tertentu. 
Ekspresi menggunakan bilangan kompleks
Ekspresi melalui fungsi hiperbolik
;
;
Derivatif
; .
.
Turunan orde ke-n terhadap variabel x dari fungsi:
.
Menurunkan rumus tangen > > > ; untuk kotangen >> >
Integral
Ekspansi seri
Untuk mendapatkan pemuaian garis singgung pangkat x, Anda perlu mengambil beberapa suku pemuaian deret pangkat untuk fungsinya dosa x Dan karena x dan membagi polinomial ini satu sama lain, . Ini menghasilkan rumus berikut.
Pada .
pada .
Di mana Bn- Nomor Bernoulli. Mereka ditentukan baik dari relasi perulangan:
;
;
Di mana .
Atau menurut rumus Laplace: 
Fungsi terbalik
Fungsi kebalikan dari tangen dan kotangen masing-masing adalah tangen busur dan kotangen busur.
Arctangen, arctg
, Di mana N- utuh.
Arckotangen, arcctg
, Di mana N- utuh.
Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
G. Korn, Buku Pegangan Matematika untuk Ilmuwan dan Insinyur, 2012.
Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah sumbu positif (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).
Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sumbu dan koordinat sumbu. Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus terhadap sumbunya.
Segitiga itu sama dengan apa? Itu benar. Selain itu kita mengetahui bahwa itu adalah jari-jari lingkaran satuan yang artinya . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:
Segitiga itu sama dengan apa? Tentu saja! Gantikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:
Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadarinya dan itu hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai? Tentu saja koordinatnya! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Benar, koordinat! Jadi, titik.
Lalu apa yang dimaksud dan disamakan? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan, a.
Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:
Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sudut (yang berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:
Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.
Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah sumbu positif. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.
Jadi, kita mengetahui bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor jari-jari ke atau ke? Ya, tentu saja bisa! Oleh karena itu, dalam kasus pertama, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.
Dalam kasus kedua, yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.
Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar atau (jika ada bilangan bulat) berhubungan dengan posisi vektor jari-jari yang sama.
Gambar di bawah menunjukkan sebuah sudut. Gambar yang sama berhubungan dengan sudut, dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (dimana bilangan bulatnya)
Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:
Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:
Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:
Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat, oleh karena itu:
Tidak ada;
Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing bersesuaian dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.
Jawaban:
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:
Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:
Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan pada tabel di bawah, harus diingat:
Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan satu contohnya cukup sederhana untuk mengingat nilai-nilai yang sesuai:
Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, memulihkan seluruh tabel cukup sederhana - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:
Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat semua nilai dari tabel.
Koordinat suatu titik pada lingkaran
Apakah mungkin menemukan suatu titik (koordinatnya) pada lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya dan sudut putarannya?
Ya, tentu saja bisa! Mari kita keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik.
Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:
Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Koordinat suatu titik perlu dicari dengan memutar titik tersebut sebesar derajat.
Terlihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang ruas. Panjang ruas sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama. Panjang suatu segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:
Lalu kita punya itu untuk koordinat titik.
Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,
Jadi, secara umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:
Koordinat pusat lingkaran,
Jari-jari lingkaran,
Sudut rotasi jari-jari vektor.
Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:
Baiklah, mari kita coba rumus-rumus tersebut dengan berlatih mencari titik pada lingkaran?
1. Temukan koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
2. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
3. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
4. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.
5. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.
Kesulitan mencari koordinat suatu titik pada lingkaran?
Pecahkan lima contoh ini (atau jadilah ahli dalam memecahkannya) dan Anda akan belajar menemukannya!
1.
Anda bisa memperhatikannya. Tapi kita tahu apa yang berhubungan dengan revolusi penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:
2. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:
Anda bisa memperhatikannya. Kita tahu apa yang berhubungan dengan dua putaran penuh pada titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:
Sinus dan kosinus adalah nilai tabel. Kami mengingat maknanya dan mendapatkan:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
3. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:
Anda bisa memperhatikannya. Mari kita gambarkan contoh yang dimaksud pada gambar:
Jari-jari membuat sudut sama dengan dan terhadap sumbu. Mengetahui bahwa nilai tabel cosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahwa kosinus di sini bernilai negatif dan sinus bernilai positif, kita memperoleh:
Contoh-contoh tersebut dibahas lebih rinci ketika mempelajari rumus-rumus pengurangan fungsi trigonometri pada topik.
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
4.
Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi)
Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran dan sudut satuan:
Seperti yang Anda lihat, nilainya positif, dan nilainya negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, kita memperoleh bahwa:
Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, dimana
Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,
Jari-jari lingkaran (sesuai syarat)
Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi).
Mari kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:
dan - nilai tabel. Mari kita ingat dan substitusikan ke dalam rumus:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
RINGKASAN DAN FORMULA DASAR
Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.
Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.
Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).
Kotangen suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan (dekat) dengan sisi yang berhadapan (jauh).
Sinus merupakan salah satu fungsi dasar trigonometri yang penggunaannya tidak terbatas pada geometri saja. Tabel untuk menghitung fungsi trigonometri, seperti kalkulator teknik, tidak selalu tersedia, dan menghitung sinus terkadang diperlukan untuk menyelesaikan berbagai masalah. Secara umum, menghitung sinus akan membantu mengkonsolidasikan keterampilan menggambar dan pengetahuan tentang identitas trigonometri.
Permainan dengan penggaris dan pensil
Tugas sederhana: bagaimana menemukan sinus sudut yang digambar di atas kertas? Untuk menyelesaikannya, Anda memerlukan penggaris biasa, segitiga (atau kompas), dan pensil. Cara paling sederhana untuk menghitung sinus suatu sudut adalah dengan membagi kaki terjauh suatu segitiga yang mempunyai sudut siku-siku dengan sisi yang panjang - sisi miring. Jadi, pertama-tama Anda harus melengkapi sudut lancip menjadi bentuk segitiga siku-siku dengan menggambar garis tegak lurus salah satu sinar pada jarak sembarang dari titik sudut. Kita perlu mempertahankan sudut tepat 90°, sehingga kita membutuhkan segitiga klerikal.
Menggunakan kompas sedikit lebih akurat, tetapi akan memakan waktu lebih lama. Pada salah satu sinar, Anda perlu menandai 2 titik pada jarak tertentu, mengatur radius pada kompas kira-kira sama dengan jarak antar titik, dan menggambar setengah lingkaran dengan pusat di titik-titik tersebut hingga diperoleh perpotongan garis-garis tersebut. Dengan menghubungkan titik potong lingkaran kita satu sama lain, kita mendapatkan garis tegak lurus terhadap sinar sudut kita; yang tersisa hanyalah memperpanjang garis sampai berpotongan dengan sinar lain.
Pada segitiga yang dihasilkan, Anda perlu menggunakan penggaris untuk mengukur sisi yang berhadapan dengan sudut dan sisi panjang salah satu sinarnya. Rasio dimensi pertama dan kedua akan menjadi nilai sinus sudut lancip yang diinginkan.
Temukan sinus untuk sudut yang lebih besar dari 90°
Untuk sudut tumpul, tugasnya tidak lebih sulit. Kita perlu menggambar sinar dari titik sudut yang berlawanan arah dengan menggunakan penggaris hingga membentuk garis lurus dengan salah satu sinar dengan sudut yang kita minati. Sudut lancip yang dihasilkan harus diperlakukan seperti dijelaskan di atas; sinus dari sudut-sudut yang berdekatan yang bersama-sama membentuk sudut terbalik 180° adalah sama besar.
Menghitung sinus menggunakan fungsi trigonometri lainnya
Selain itu, penghitungan sinus dapat dilakukan jika nilai fungsi trigonometri sudut lainnya atau setidaknya panjang sisi segitiga diketahui. Identitas trigonometri akan membantu kita dalam hal ini. Mari kita lihat contoh umum.
Bagaimana cara mencari sinus dengan kosinus suatu sudut yang diketahui? Identitas trigonometri pertama berdasarkan teorema Pythagoras menyatakan bahwa jumlah kuadrat sinus dan kosinus sudut yang sama sama dengan satu.
Bagaimana cara mencari sinus dengan garis singgung suatu sudut yang diketahui? Garis singgung diperoleh dengan membagi sisi jauh dengan sisi dekat atau membagi sinus dengan kosinus. Jadi, sinus akan menjadi hasil kali cosinus dan tangen, dan kuadrat sinus akan menjadi kuadrat hasil kali tersebut. Kami mengganti kosinus kuadrat dengan selisih antara kesatuan dan sinus kuadrat sesuai dengan identitas trigonometri pertama dan, melalui manipulasi sederhana, kami mengurangi persamaan tersebut menjadi penghitungan sinus kuadrat melalui garis singgung; oleh karena itu, untuk menghitung sinus, Anda akan harus mengekstrak akar dari hasil yang diperoleh.
Bagaimana cara mencari sinus dengan kotangen suatu sudut yang diketahui? Nilai kotangen dapat dihitung dengan membagi panjang kaki sudut yang paling dekat dengan panjang kaki terjauh, serta membagi kosinus dengan sinus, yaitu kotangen merupakan fungsi kebalikan dari garis singgung relatif. ke angka 1. Untuk menghitung sinus, kamu bisa menghitung tangen dengan menggunakan rumus tg α = 1 / ctg α dan menggunakan rumus pada pilihan kedua. Anda juga dapat memperoleh rumus langsung dengan analogi tangen, yang akan terlihat seperti ini.
Cara mencari sinus tiga sisi segitiga
Ada rumus untuk mencari panjang sisi yang tidak diketahui suatu segitiga, bukan hanya segitiga siku-siku, dari dua sisi yang diketahui menggunakan fungsi trigonometri kosinus sudut yang berhadapan. Dia terlihat seperti ini.
